2018学年高中数学人教A版必修五课件：第3章 不等式 3-3 第3课时
2018版 第3章 3.4 基本不等式ab≤a+b2(a≥0,b≥0) 3.4.1 基本不等式的证明
，b
a＋b＝4， ∴ ab＝4，
【答案】 2 2
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教材整理2
基本不等式
阅读教材P97～P98，完成下列问题． a＋b 如果a，b是正数，那么 ab___ ≤ a＝b 时取“＝”)，我们把 2 (当且仅当_______ a＋b ab≤ 2 (a≥0，b≥0) 称为基本不等式． 不等式______________________
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[基础· 初探]
教材整理1 算术平均数与几何平均数
阅读教材P96，完成下列问题． a＋b ab 称为a，b的 对于正数a，b，我们把_______ 2 称为a，b的算术平均数，_____ 几何平均数．
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若两个正数a，b的算术平均数为2，几何平均数为2，则a＝ ＝ .
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a2 b2 c2 (2)∵a，b，c， b ， c ， a 均大于0， a2 ∴ b ＋b≥2 a2 b＝2a， b·
a2 当且仅当 b ＝b时等号成立． b2 c ＋c≥2 b2 c＝2b， c·
b2 当且仅当 c ＝c时等号成立．
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c2 a ＋a≥2
c2 a＝2c， a·
阶 段 一
3.4
基本不等式 ab≤ 3.4.1
a＋b
2
阶 段 三
(a≥0，b≥0)
学 业 分 层 测 评
基本不等式的证明
阶 段 二
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1．理解基本不等式的内容及证明．(重点) 2．能运用基本不等式证明简单的不等式．(重点) 3．能用基本不等式求解简单的最大(小)值问题．(难点)
2018_2019学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式习题课件
柯西不等式与排序不等式
一
二维形式的柯西不等式
[A A．a2＋b2≥2ab(a，b∈R)
基础达标] )
1．二维形式的柯西不等式可用下列式子表示的为( B．(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ab＋cd)2(a，b，c，d∈R) C．(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R) D．(a2＋b2)(c2＋d2)≤(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R)
3．函数 y＝ x－5＋2 6－x的最大值是( A． 3 C．3 B． 5 D．5
)
解析：选 B.设 m＝( x－5， 6－x)，n＝(1，2)， 则 m· n＝ x－5＋2 6－x≤|m||n|＝ （ x－5）2＋（ 6－x）2· 12＋22＝ 26 5，当且仅当 6－x＝2 x－5，即 x＝ 时等号成立． 5
9 解：因为 a＞0，b＞0，且 a ＋b ＝ ， 2
2 2
所以 9＝(a2＋b2)(12＋12)≥(a＋b)2. 所以
3 a＋b≤3当且仅当a＝b，即a＝b＝2时取等号.
又因为 a＋b≤m 恒成立，所以 m≥3.
[B
能力提升]
1 2 1．设 x，y∈R＋，且 x＋2y＝36， 则x＋y 的最小值为________．
解析：因为 a2＋b2＝9，x2＋y2＝4， 由柯西不等式(a2＋b2)(x2＋y2)≥(ax＋by)2， 得 36≥(ax＋by)2，当且仅当 ay＝bx 时取等号， 所以 ax＋by 的最大值为 6，最小值为－6， 即 m＝6，n＝－6， 所以 mn＝－36.
答案：－36
8．若函数 y＝a x＋1＋ 6－4x的最大值为 2 5，则正数 a 的 值为________．
4 9 4．已知x＋y ＝2，x，y∈R＋，则 x＋y 的最小值是( 25 A． 2 5 C． 2 25 B． 4 D．5
2018学年高中数学人教A版必修五课件：第3章 不等式 3-1 第1课时
(8)性质8：如果a>b>0，那么 a _______ b，(n∈N，n≥2)．
n
>
n
1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是 导学号 68370612 ( A．M>N C．M<N
2
A
)
B．M＝N D．与x有关
12 3 [ 解析] M－N＝x ＋x＋1＝(x＋2) ＋4>0， ∴M>N，故选A．
1 1 [ 解析] 由1<b<2得2<b<1，又1<a<7， 1 a ∴2<b<7．
1 5．依据反比例函数f(x)＝x的图象与 性质用不等号填空： 导学号 68370616 1 > 1 (1)0<a<b时，a______b； 1 > 1 (2)c<d<0时，c______d．
互动探究学案
•命题方向1 ⇨用不等式表示不等关系
•命题方向2 ⇨比较数或式子的大小
•例 导学号 题 68370619 2
已知x＜y＜0，比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．
• [解析] ∵x＜y＜0，xy＞0，x－y＜0，
Байду номын сангаас
• ∴(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝－2xy(x －y ) ＞ 0 ， • ∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．
〔跟踪练习1〕 导学号 68370618 某种杂志原以每本2．5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若 单价每提高0．1元，销售量就可能相应减少2 000本，若把提价后杂志的定价设 为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？
x－2.5 [ 解析] 提价后杂志的定价为x元，则销售的总收入为(8－ 0.1 ×0．2)x万 元，那么不等关系“销售的收入不低于20万元”用不等式可以表示为： x－2.5 (8－ 0.1 ×0．2)x≥20．
人教A版高中数学必修5 第三章 不等式 精品课件课件
又 m2＋mn＋n2＝m＋n22＋34n2＞0， ∴(m－n)2(m2＋mn＋n2)＞0. ∴x－y＞0，∴x＞y.
(2)p－q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝logaaa32＋ ＋11. 当 a＞1 时，a3＋1＞a2＋1， ∴aa32＋ ＋11＞1，∴logaaa32＋＋11＞0； 当 0＜a＜1 时，a3＋1＜a2＋1， ∴aa32＋ ＋11＜1，∴logaaa32＋＋11＞0. 综上，p－q＞0，∴p＞q.
D．5
【解题探究】判断不等关系的真假，要紧扣不等式的性
质，应注意条件与结论之间的联系． 【答案】C 【解析】①c 的范围未知，因而判断 ac 与 bc 的大小缺乏
依据，故该结论错误．
②由 ac2>bc2 知 c≠0，则 c2>0，
∴a>b，∴②是正确的．
③a<b， ⇒a2>ab，a<b， ⇒ab>b2，
3.2 一元二次不等式及其解法
第1课时 一元二次不等式及其解法
目标定位
重点难点
1.理解一元二次方程、一元二
次不等式与二次函数的关系． 重法解一元二次不 次不等式与二次函数的关系．
等式的方法．
难点：一元二次不等式的解法
3．培养数形结合、分类讨论 及应用.
的思想方法.
重点难点
重点：比较两个 数大小的方法． 难点：掌握不等 式的性质及其应 用.
1．不等式中常用的不等符号有_＞__，__＜__，__≤__，__≥_，__≠_____． 2．(1)a－b＞0⇔__a_＞__b___； (2)a－b＝0⇔__a_＝__b___； (3)a－b＜0⇔__a_＜__b___.
【 方 法 规 律 】1. 作 差 法 比 较 两 个 实 数 ( 代 数 式 ) 大 小 的 步 骤：
【人教A版】高中数学必修五：第3章《不等式》课件 3-4-1
要点3 利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，则：
①如果积xy是定值P，那么当x＝y时，x＋y有最小值2 P ；
②如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值
1 4
S2.(可简
记为：积定和最小，和定积最大)
(2)利用此公式求最值，必须同时满足以下三个条件：
①各项均为正数；②其和或积为常数；③等号必须成
思考题3 (1)函数y＝log2(x＋
1 x－1
＋5)(x>1)的最小值为
() A．－3
B．3
C．4
D．－4
【解析】 x＋x－1 1＋5＝(x－1)＋x－1 1＋6 ≥2 x－1·x－1 1＋6＝2＋6＝8， 当且仅当x－1＝x－1 1即x＝2时取“＝”号， ∴y＝log2(x＋x－1 1＋5)≥log28＝3. 【答案】 B
【答案】 (1)①小 1 ②大，－1
(2)若0<a<2，则a·(2－a)有最大值________，此时a＝ ________.
【答案】 1,1
例3 (1)已知x>－1，求f(x)＝x＋x＋1 1的最小值． (2)已知x>0、y>0，且5x＋7y＝20.求xy的最大值．
【解析】 (1)∵x>－1，∴x＋1>0. ∴f(x)＝x＋x＋1 1＝x＋1＋x＋1 1－1 ≥2 x＋1·x＋1 1－1＝1. 当且仅当x＋1＝x＋1 1，即x＝0时取“＝”． ∴f(x)min＝1.
题型二 利用基本不等式求最值 例2 (1)已知a>0，b>0，且a·b＝2，则当a＝b＝________ 时，a＋b有最小值________． (2)已知a>0，b≥0，且a＋b＝2.则当a＝b＝________时，a·b 有最大值________．
(人教版)高中数学必修5课件：第3章 不等式3.3.1
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合作探究 课堂互动
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2 ． 不 在 不 等 式 3x ＋ 2y<6 表 示 的 平 面 区 域 内 的 一 个 点 是
()
A．(0,0)
B．(1,1)
C．(0,2)
D．(2,0)
解析： 将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2,0)
代入后不等式不成立，故此点不在不等式3x＋2y<6表示的平面
数学 必修5
第三章 不等式
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解析： 设生产甲、乙两种产品分别为 x 件和 y 件，根据
4x＋3y≤480， 2x＋5y≤500， 题意需满足以下条件：x≥0， y≥0， x，y∈N*.
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第三章 不等式
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表示的平面区域的面
积．
[思路点拨] 画出平面区域 → 观察形状，选择面积公式
→ 求所需的量 → 求出其面积
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第三章 不等式
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解析： 不等式x－y＋6≥0表 示直线x－y＋6＝0上及右下方的 点的集合；x＋y≥0表示直线x＋y ＝0上及右上方的点的集合；x≤3 表示直线x＝3上及左方的点的集 合．作出原不等式组表示的平面 区域如图所示．该平面区域的面 积也就是△ABC的面积．
不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画 成____实_．线
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第三章 不等式
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二元一次不等式表示平面区域的确定
2018学年高中数学必修5课件：第3章 不等式3.3.2 第1课时 精品
1．满足条件yx－ ＋22xy≤ ＋03， >0， 5x＋3y－5<0，
的可行域中共有整点的个数
为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析： 画出可行域，由可行域知有4个整点，分别是 (0,0)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－2)．
因此 ω＝yx－ ＋11的取值范围为－12，1. 答案： －12，1
(1)对形如z＝(x－a)2＋(y－b)2型的目标函数 均可化为求可行域内的点(x，y)与点(a，b)间的距离平方的最值 问题．
(2)对形如 z＝acxy＋＋db(ac≠0)型的目标函数，可先变形为 z＝
a c
·yx－ －－ －badc
小值问题
求解线性规划问题的注意事项 (1)线性约束条件是指一组对变量x，y的限制条件，它可以 是一组关于变量x，y的一次不等式，也可以是一次方程． (2) 有时可将目标函数z ＝ax ＋by 改写成y ＝mx ＋nz 的形 式．将nz看作直线y＝mx＋nz在y轴上的截距来处理．
(3)目标函数所对应的直线系的斜率，若与约束条件中的某 一约束条件所对应的直线斜率相等，则最优解可能有无数个．
x－y－2≤0，
求 z＝x
－2y 的最大值和最小值．
[思路点拨] 先根据约束条件作出可行域，再平移直线 x
－2y＝0 找到最大值点，代入 z＝x－2y 可求出最大值．找到最
小值点，代入 z＝x－2y 可求出最小值．
[边听边记] 作出可行域如图所示，把 z＝x－2y 变形为 y ＝2x－2z，得到斜率为12，在 y 轴上的截距为－2z，随 z 变化的一 组平行直线．
2018版高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)2(二)学案 新人教A版必
3.4 基本不等式：√ab≤（a+b）2（二）[学习目标] 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．知识点一基本不等式求最值1．理论依据：(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值为s2 4 .(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2p.2．基本不等式求最值的条件：(1)x，y必须是正数；(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．3．利用基本不等式求最值需注意的问题：(1)各数(或式)均为正．(2)和或积为定值．(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．知识点二基本不等式在实际中的应用基本不等式在实际中的应用是指利用基本不等式解决生产、科研和日常生活中的问题．解答不等式的应用题一般可分为四步：(1)阅读并理解材料；(2)建立数学模型；(3)讨论不等关系；(4)作出结论．题型一利用基本不等式求最值例1 (1)已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1(2)已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为____．(3)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为____．答案 (1)D (2)－2 (3)3解析 (1)f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝（x －2）2＋12（x －2）＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －2）＋1x －2≥1.当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． (2)y ＝t 2＋1－4t t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1t，即t ＝1或t ＝－1(舍)时，等号成立，∴y 的最小值为－2.(3)xy ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3·y 4≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 3＋y 422＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝3， 当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝32，y ＝2时，等号成立，∴xy 的最大值为3.反思与感悟 在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件． 跟踪训练1 (1)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知x ，y 为正数，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________．答案 (1)D (2)3＋2 2 解析 (1)a 2＋1ab＋1a （a －b ）＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a （a －b ）＝a (a －b )＋1a （a －b ）＋ab ＋1ab≥2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1且ab ＝1， 即a ＝2，b ＝22时取“＝”． (2)由2x ＋y ＝1，得1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋yy＝3＋y x＋2xy ≥3＋2 y x ·2xy＝3＋22， 当且仅当y x ＝2xy，即x ＝2－22，y ＝2－1时，等号成立．题型二 基本不等式的综合应用例2 (1)已知x ＞1，y ＞1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy ( )A ．有最大值eB ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e 答案 C解析 由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝14ln x ln y ，∴ln x ln y ＝14，∵x ＞1，y ＞1，∴ln x ln y ＞0， 又ln(xy )＝ln x ln y ≥2ln x ln y ＝1， ∴xy ≥e ，即xy 有最小值为e. (2)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求a 的取值范围．解 设f (x )＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3，∵x ＞0，∴x ＋1x≥2，∴f (x )≤15，即f (x )max ＝15，∴a ≥15.反思与感悟将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法，其一般类型有： (1)f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min . (2)f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max .跟踪训练2 (1)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．2B ．4C ．1 D.12(2)函数y ＝kx ＋2k －1的图象恒过定点A ，若点A 又在直线mx ＋ny ＋1＝0上，则mn 的最大值为________． 答案 (1)B (2)18解析 (1)由题意得，3a·3b＝(3)2，即a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab ＝4， 当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，等号成立．(2)y ＝k (x ＋2)－1必经过(－2，－1)，即点A (－2，－1)， 代入得－2m －n ＋1＝0， ∴2m ＋n ＝1，∴mn ＝12(2mn )≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋n 22＝18，当且仅当2m ＝n ＝12时，等号成立．题型三 基本不等式的实际应用例3 要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm ，请确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值． 解 设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，ab ＝9 000.① 广告的高为a ＋20，宽为2b ＋25，其中a ＞0，b ＞0. 广告的面积S ＝(a ＋20)(2b ＋25)＝2ab ＋40b ＋25a ＋500 ＝18 500＋25a ＋40b ≥18 500＋225a ×40b ＝18 500＋2 1 000ab ＝24 500.当且仅当25a ＝40b 时，等号成立，此时b ＝58a ，代入①式得a ＝120，从而b ＝75，即当a ＝120，b ＝75时，S 取得最小值24 500，故广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小，最小值为24 500 cm 2. 反思与感悟 利用基本不等式解决实际问题的步骤(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，应用基本不等式求出函数的最大值或最小值． (4)正确写出答案．跟踪训练3 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时． 答案 8解析 设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则t ＝400＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202v＝400v ＋16v 400≥2 400v ×16v400＝8(小时)， 当且仅当400v ＝16v400，即v ＝100时，等号成立，此时t ＝8小时．1．下列函数中，最小值为4的函数是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x (0＜x ＜π)C ．y ＝e x＋4e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 81 答案 C解析 A 中x ＝－1时，y ＝－5＜4，B 中y ＝4时，sin x ＝2，D 中x 与1的关系不确定，选C.2．函数y ＝x 2－x ＋1x －1(x ＞1)在x ＝t 处取得最小值，则t 等于( )A ．1＋ 2B ．2C ．3D ．4 答案 B 解析 y ＝x （x －1）＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3， 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A ．6.5 m B ．6.8 m C ．7 m D ．7.2 m 答案 C解析 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．∵要求够用且浪费最少，故选C. 4．函数f (x )＝x (4－2x )的最大值为________． 答案 2解析 ①当x ∈(0，2)时，x ，4－2x ＞0， f (x )＝x (4－2x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（4－2x ）22＝2，当且仅当2x ＝4－2x ，即x ＝1时，等号成立． ②当x ≤0或x ≥2时，f (x )≤0，故f (x )max ＝2.5．当x ＜54时，函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值为________．答案 1解析 ∵x ＜54，∴4x －5＜0，∴y ＝4x －5＋14x －5＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（5－4x ）＋15－4x ＋3 ≤－2（5－4x ）·15－4x＋3＝1当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立．1.用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y ＝x ＋px(p >0)的单调性求得函数的最值． 2．求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．。
2018学年高中数学人教A版课件必修五 第三章 不等式 第3节 3-2 精品
满足线__性__约__束__条__件__的解(x，y)
可行域
所有_可__行__解__组成的集合
最优解
使目标函数取得最__大__或__最__小__值__的可行解
线性规划问题 在线__性__约__束__条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)可行域是一个封闭的区域． (2)在线性约束条件下，最优解是唯一的． (3)最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解． (4)线性规划问题一定存在最优解．
【答案】 3
x＋y－5≤0， 3．(2015·全国卷Ⅱ)若 x，y 满足约束条件2x－y－1≥0， x－2y＋1≤0，
则 z＝2x＋y 的
最大值为________．
【解析】 画出可行域(如图所示)，通过平移直线 y＝－2x 分析最优解．
∵z＝2x＋y，∴y＝－2x＋z，将直线 y＝－2x 向上平移，经过点 B 时 z 取得 最大值．
() () () ()
【解析】 (1)错误．可行域是约束条件表示的平面区域，不一定是封闭的． (2)错误．在线性约束条件下，最优解可能有一个或多个，也可能有无数个， 也可能无最优解，故该说法错误． (3)正确．满足线性约束条件的解称为可行解，但不一定是最优解，只有使 目标函数取得最大值或最小值的可行解，才是最优解，所以最优解一定是可行 解． (4)错误．线性规划问题不一定存在可行解，存在可行解也不一定存在最优 解，故该说法是错误的． 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×
下取值．x，y 取不同
某人承揽一项业务，需做文字标牌 4 个，绘画标牌 5 个．现有两种 规格的原料，甲种规格每张 3 m2，可做文字标牌 1 个，绘画标牌 2 个；乙种规 格每张 2 m2，可做文字标牌 2 个，绘画标牌 1 个，求两种规格的原料各用多少 张，才能使得总用料面积最小．
2018_2019学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式三排序不等式习题课件
3．设 x＞0，求证：1＋x＋x2(1)当 x≥1 时，1≤x≤x2≤…≤xn. 由排序原理知， 1· 1＋ x· x＋x2·x2＋…＋xn·xn≥xn·1＋xn－1·x＋…＋1· xn， 所以 1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn.① 又因为 x，x2，…，xn，1 为 1，x，x2，…，xn 的一个排序，于 是由排序原理得 1·x＋x· x2＋…＋xn－1·xn＋xn·1≥ 1·xn＋x· xn 1＋…＋xn 1·x＋xn·1.
第三讲
柯西不等式与排序不等式
三
排序不等式
[A a1 a2 a3 则 ＋ ＋ 的最小值为( a′1 a′2 a′3 A．3 C．9
基础达标]
1．设正实数 a1，a2，a3 的任一排列为 a′1，a′2，a′3， ) B．6 D．12
1 1 1 解析：选 A.设 a1≥a2≥a3>0，则 ≥ ≥ >0， a3 a2 a1 a1 a2 a3 a1 a2 a3 由排序不等式可知 ＋ ＋ ≥ ＋ ＋ ＝3. a′1 a′2 a′3 a1 a2 a3 当且仅当 a′1＝a1，a′2＝a2，a′3＝a3 时等号成立．
5．已知 a，b，c 为正实数，则 a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2 －ab)( ) B．大于等于零 D．小于等于零 A．大于零 C．小于零
解析：选 B.设 a≥b≥c＞0，所以 a3≥b3≥c3. 根据排序原理，得 a3×a＋b3×b＋c3×c≥a3b＋b3c＋c3a. 又知 ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2， 所以 a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab， 所以 a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab， 即 a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.
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3．(2017· 天津文，16)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时， 需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播 放时长、收视人次如下表所示： 导学号 68370810 连续剧播放时长(min) 甲 乙 70 60 广告播放时长(min) 5 5 收视人次(万) 60 25
• 目标函数为z＝2100x＋900y． • 其可行域为四边形OMNC及其内部区域中 的整点，其中点O(0,0)，M(0,200)， N(60,100)，C(90,0)，当直线z＝2 100x＋ 900y经过点N(60,100)时，z取得最大值， zmax＝2100×60＋900×100＝216 000，即 生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 216 000元．
设计划生产甲种产品用x工时，生产乙种产品用y工时，则获得利润总额为t
②
• 于是问题转化为，在x、y满足条件②的情 况下，求t＝30x＋40y的最大值． • 画出不等式组②表示的平面区域OABC如图 ．
1．设x、y满足约束条件 导学号 68370808 ( A．8 C．28
D
x－y＋2≥0 2x＋y－5≥0， 2x－y－3≤0
则z＝3x＋2y的最大值为
) B．9 D．29
• [解析] 约束条件满足的区域如图阴影部分 所示，目标函数z＝3x＋2y在点A(5,7)处取 得最大值29．
(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y． 12 z 12 考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－ 5 x＋ 25 ，这是斜率为－ 5 ，随z变化的 z 一族平行直线．25为直线在y轴上的截距， z 当25取得最大值时，z的值就最大．
又因为x、y满足约束条件，所以由图②可知，当直线z＝60x＋25y经过可行 z 域上的点M时，截距25最大，即z最大．
[ 解析] (1)由已知x、y满足的数学关系式为 70x＋60y≤600 7x＋6y≤60 5x＋5y≥30 x＋y≥6 x≤2y ，即x－2y≤0 ． x≥0，x∈N x≥0，x∈N y≥0，y∈N y≥0，y∈N 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分中的整数点．
216 000
[ 解析] 设某高科技企业生产产品A和产品B分 别为x件，y件，生产产品A、产品B的利润之和为z 元．依题意得 1.5x＋0.5y≤150 3x＋y≤300 x＋0.3y≤90 10x＋3y≤900 5x＋3y≤600 ，即5x＋3y≤600 ， x∈N x∈N y∈N y∈N
第三章
不等式
3.3 二元一次不等式(组)与简单的线
第3课时 线性规划的应用
性规划问题
1
自主预习 学 案 互动探究 学 案
23Leabharlann 课时作业 学 案自主预习学案
某加工厂用某原料由甲车间加工A产品，由乙车 间加工B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小 时可生产出7 kgA产品，每千克A产品获利40元，乙车 间加工一箱原料需耗费工时6 h，可生产出4 kgB产 品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能 完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480 h，你 能为甲、乙两车间制定一个生产计划，使每天的获利达到最大吗？
生产甲产品 工时需要A种原料3 kg，B种原料1 kg；生产乙产品1工时需要A种原 题 11 料2 kg，B种原料2 kg．现有A种原料1 200 kg，B种原料800 kg．如果生产甲产 品每工时的平均利润是30元，生产乙产品每工时的平均利润是40元，问甲、乙 两种产品各生产多少工时能使利润的总额最大？最大利润是多少？ 导学号 68370811
• 1．线性规划常用来解决下列问题： • (1)给定一定数量的人力、物力、资金等资 大 大 源，怎样安排运用这些资源，才能使完成 的任务量最________，收到的效益最 小 调运 安排 ________ ． 原点 • (2)给定一项任务，怎样统筹安排，才能使 完成这项任务的人力、资金、物力资源最 ______．常见问题有：物资________、产 品_______、下料等问题．
7x＋6y＝60 解方程组 ， x－2y＝0 x＝6 得 ． y＝3
则点M的坐标为(6,3)． 所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次 最多．
互动探究学案
•命题方向1 ⇨收益最大问题(利润、收入、 产量等 •例 ) 某工厂计划生产甲、乙两种产品，这两种产品都需要两种原料.
2．(2016· 全国卷Ⅰ文，16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种 新型材料．生产一件产品A需要甲材料1．5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产 一件产品B需要甲材料0．5 kg，乙材料0．3 kg，用3个工时，生产一件产品A的 利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材 料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最 大值为_______________元． 导学号 68370809
• 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总 播放时间不多于600 min，广告的总播放时 间不少于30 min，且甲连续剧播放的次数 不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x 、y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧 的次数． • (1)用x、y列出满足题目条件的数学关系式 ，并画出相应的平面区域； • (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各 多少次，才能使总收视人次最多？
[ 解析] 依题意可列表如下： 产品 生产甲种产品1工时 生产乙种产品1工时 限额数量 ＝30x＋40y． 3x＋2y≤1 200 x＋2y≤800 其中x、y满足下列条件 x≥0 y≥0 原料A数量(kg) 3 2 1 200 原料B数量(kg) 1 2 800 ① 利润(元) 30 40