多元函数偏微分
多元函数微分学知识点梳理
多元函数微分学知识点梳理
第九章多元函数微分学
内容复
一、基本概念
1.多元函数的基本概念包括n维空间、n元函数、二重极限、连续等。
其中，偏导数和全微分也是重要的概念。
2.重要定理：
1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系为偏导数
连续→可微。
同时，偏导数存在和函数连续是可微的必要条件。
2）二元函数的极值必须满足必要条件和充分条件。
二、基本计算
一）偏导数的计算
1.偏导数值的计算有三种方法：先代后求法、先求后代法
和定义法。
2.偏导函数的计算包括简单的多元初等函数和复杂的多元
初等函数。
对于复杂的函数，可以使用链式法则，或者隐函数求导法。
3.高阶导数的计算需要注意记号表示和求导顺序。
二）全微分的计算
1.叠加原理可以用于计算全微分，即dz=∂z/∂x dx+∂z/∂y dy。
2.一阶全微分形式不变性对于自变量和中间变量均成立。
三、偏导数的应用
在优化方面，多元函数的极值和最值是常见的应用。
1.无条件极值可以用必要条件和充分条件来求解。
2.条件极值可以使用Lagrange乘数法来求解。
3.最值可以通过比较区域内部驻点处函数值和区域边界上最值的大小来确定。
《多元函数的全微分》课件
1 近似计算
2 可微性判断
3 优化求解
全微分可以用于近似计 算。
全微分可以用于判断多 元函数的可微性。
全微分可以用于优化问 题的求解。
总结
新的函数
全微分是一个新的函数，用于表示微小变化 量。
多种计算方法
计算方法包括偏导数法和向量法。
具有可加性和路径无关性
全微分具有可加性和路径无关性。
广泛应用
全微分在近似计算、可微性判断、优化求解 等方面有广泛应用。
《多元函数的全微分》 PPT课件
多元函数的全微分是指对多元函数进行微分得到的一个新的函数。
概念介绍
1 定义
2 表示方法
全微分是对多元函数进行微分得到的一个 新的函数。
全微分的常用表示方法为 $df = rac{partial f}{partial x}dx + rac{partial f}{partial y}dy + rac{partial f}{partial z}dz$。
Hale Waihona Puke 全微分的性质1 可加性
全微分具有可加性，即 $df = df_1 + df_2$。
2 路径无关性
全微分的微分形式与路径无关。
计算方法
偏导数法
通过对多元函数中每个变量分别求偏导数，得 到全微分的表达式。
向量法
在 $R^n$ 空间中，将全微分理解为函数在某一 点的切向量，用向量的内积表示全微分。
应用
多元函数微分法
u z v , x v x
z y
z u u y
z v
v y
(4) 类似地再推广，设u ( x, y)、v ( x, y)、
w w( x, y)都在点( x, y)具有对 x和 y 的偏导数，
复合函数z f [ ( x, y), ( x, y), w( x, y)]在对应点
( x, y)的两个偏导数存在，且可用下列公式计算
f x
2z xy
(
fuu
u y
fuy )e y
fu e y
f xu
u y
f xy
fuu xe2 y fuye y fu e y f xu xe y f xy
练习：求z f ( xy, x2 y2 )的偏导数。
解：zx f1( xy, x2 y2 ) y f2( xy, x2 y2 ) 2x
x0 x
x0
x0 x
lim o() lim xu2 xv2
0
x0
x
0 o()
lim lim
0
x0
xu x
2
xv x
2
z z u z v x u x v x
从而 z f (u,v) u ( x, y) v ( x, y)
链式法则如图示
u
x
z
v
y
z x
z u
求全导数dz .
解:
dt
dz dt
z du u dt
z v
dv dt
z t
ve t
usin t
cos t
et cos t et sin t cos t
et (cost sin t) cost.
例 2 设z eu sin v ，而u xy ，v x y ，
第九章多元函数微分法及其应用
E
• 若点 P 的任一去心邻域 U (P) 中总有 E 中的点， 则称 P 为 E 的 聚点 。 聚点 可能 属于 E，也可能 不属于 E 。 聚点 是 内点 或者 边界点。
E
• 若点 PE，且 P 不是聚点， 则称 P 为 E 的 孤立点 。
孤立点 属于 E
3.开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
同理可以定ffx义y((xx函,,yy数))，z liyfxmf，0( xfz,
，或 z x( x, y xy) y)对自变量y y
f (x, y)
的偏导数，
记作
f
y
(
x,
y)，
f y
，
z
y
，或
z y
由上述定义可知，求二元函数 z f (x, y) 关于某个变量的偏导数， 只需将另一个自变量 看作常数，然后利用一元函数求导公式和求导法 则，就可求得结果。
② 找两种不同趋近方式，使 lim f ( x, y) 存在， x x0 y y0 但两者不相等，则极限不存在。
例2
讨论函数
f
( x,
y)
xy x2 y2
在点 (0, 0) 的极限.
解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 则有
kx2
lim
x0
f
( x,
y)
lim
如果存在
lim
P P0
f (P)
f (P0 )
则称 二元函数 f (P)在点P0 连续;
否则称为不连续, 此时 称为间断点 。
如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上连续。
例如, 函数
多元函数微分学知识点
多元函数微分学知识点多元函数微分学是微积分的重要内容，它研究的是在多变量条件下函数的导数和微分的性质。
在实际应用中，多元函数微分学为我们解决各种问题时提供了有效的数学工具。
本文将介绍一些多元函数微分学的基本知识点，包括偏导数、全微分和梯度。
多元函数微分学的第一个知识点是偏导数。
在一元函数中，导数表示函数在某一点上的变化率。
而在多元函数中，我们需要引入偏导数的概念。
偏导数表示函数在某一点上沿着一个坐标轴的变化率。
对于一个两个自变量的函数f(x, y)，偏导数可以用∂f/∂x和∂f/∂y表示。
它们分别表示函数沿x轴和y轴的变化率。
偏导数可以帮助我们理解函数的局部变化情况，并在解决最优化问题时提供重要的线索。
第二个知识点是全微分。
全微分是多元函数微分学中的一个重要概念，它表示函数在某一点上的微小变化量。
全微分可以用df表示，其中df = ∂f/∂x*dx + ∂f/∂y*dy。
全微分可以帮助我们推导函数的逼近值和误差，从而得出函数在某一点的性质和特点。
例如，在工程学中，通过对一个物理过程的全微分分析，我们可以推导出近似解，并估计误差。
最后一个知识点是梯度。
梯度是多元函数微分学中的一个重要工具，它表示函数在某一点的最大变化方向。
对于一个函数f(x, y)，梯度可以用∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)表示。
梯度的方向是函数变化最快的方向，它的模长表示函数的变化速率。
通过研究梯度，我们可以找到函数的极大值、极小值和鞍点，并解决最优化问题。
多元函数微分学是高级数学中的一个重要分支，它在各个学科领域都有广泛的应用。
在物理学中，我们可以通过多元函数微分学的方法推导出物理方程，并解决各种动力学问题。
在经济学中，多元函数微分学可以帮助我们分析供求关系，推导出边际效应，并解决最优决策问题。
在金融学中，多元函数微分学可以帮助我们研究金融风险和资产定价。
综上所述，多元函数微分学是微积分的重要内容之一，它研究的是多变量条件下函数的导数和微分的性质。
多元函数微分总结
多元函数微分总结引言微分是微积分的重要概念之一，用于研究函数在给定点的变化率。
在单变量函数中，我们可以通过导数来求得函数在某一点的斜率。
然而，在多元函数中，我们需要使用多元微分来描述函数在给定点的变化情况。
本文将总结多元函数微分的基本概念、性质和计算方法。
多元函数的微分定义对于一个具有多个自变量的函数f(x1,x2,...,x n)，其微分可以表示为：$$df = \\frac{\\partial f}{\\partial x_1}dx_1 + \\frac{\\partial f}{\\partialx_2}dx_2 + ... + \\frac{\\partial f}{\\partial x_n}dx_n$$其中，dx1,dx2,...,dx n是自变量的微小变化量，$\\frac{\\partial f}{\\partial x_1}, \\frac{\\partial f}{\\partial x_2}, ..., \\frac{\\partial f}{\\partial x_n}$ 是对应的偏导数。
多元函数微分的几何意义多元函数微分可以理解为函数在某一点处的线性近似。
具体而言，对于函数f(x1,x2)，在点(x1,x2)处微分为 $df = \\frac{\\partial f}{\\partial x_1}dx_1 +\\frac{\\partial f}{\\partial x_2}dx_2$。
我们可以将微分视为一个切平面，该平面与函数曲面相切于给定点，且与切平面平行的向量与函数的变化率相等。
多元函数微分的性质多元函数微分具有以下几个重要性质：1. 线性性质对于两个函数f(x1,x2)和g(x1,x2)，以及常数c，有：$$d(cf + g) = c \\cdot df + dg$$2. 链式法则对于复合函数f(g(x1,x2),ℎ(x1,x2))，其微分可以表示为：$$df = \\frac{\\partial f}{\\partial g} \\cdot dg + \\frac{\\partial f}{\\partial h} \\cdot dh$$其中，$\\frac{\\partial f}{\\partial g}$ 和 $\\frac{\\partial f}{\\partial h}$ 分别为函数f对于g和ℎ的偏导数。
多元函数微分法
F F z F F z 0, 0 x z x y z y
Fy Fx z z F 若 ， 0则有 x Fz y Fz y
医用高等数学
例4-27 求由方程 e z xyz 0所确定的函数z的偏
导数. 解: 令F ( x, y, z ) e z xyz 则
2 2 2
u
x
由锁链法则
z
r
v
w
y
z dz z u z v z w ( ) x dr u x v x w x
医用高等数学
1 u v w 2 ( 2 x 2 x 2 y) r r r r
2 3 ( xu xv yw) r 2x 2 2 2 (x y )
同理
2y z dz z u z v z w ( ) 2 y dr u y v y w y ( x y 2 )2
医用高等数学
2. 中间变量既有一元函数又有二元函数的情形
z f (u, x, y) 其中 u ( x, y) u
即
2x 2x 2 ln(3x 2 y ) 2 y y (3x 2 y )
医用高等数学
2
2
z z 例4-21 设 z (1 xy ) , 求 、 . x y
y
v z u 解: 令 u 1 xy, v y, 则
z z u z v x u x v x
2(2 x y) 3x 7 x 2 y
医用高等数学
3. 中间变量均为一元函数
设 z f (u, v)可微,且 u u ( x), v v ( x) ,则复合函数
z f [u ( x), v( x)]为 x 的一元函数, 对 x 求导,得
多元函数微分学
多元函数微分学一：全微分函数在处可微的充分条件：(,)z f x y =00(,)x y ''22(,)(,)()()x y z f x y x f x y y x y ∆-∆-∆∆+∆22()()0x y ∆+∆→当时是无穷小量222222221()sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩例1：函数在[(0,0)(0,0)]()x y z f x f y o ρ∆-∆+∆＝（0，0）处是否可微？0(0,0)(0,0)lim x y z f x f yρρ→∆-∆-∆22222201[()()]sin ()()lim ()()x y x y x y ρ→∆+∆∆+∆=∆+∆0=即函数f (x , y )在原点(0,0)可微.sin 2yz y x e μ=++例2：计算的全微分11,cos ,22yz yz u u y u ze ye x y z∂∂∂==+=∂∂∂解：1(cos )22yz yz y du dx ze dy ye dz =+++所求全微分：二：复合函数求偏导1、偏导数求法(1) 求关于x的偏导数，把z=f (x , y) 中的y看成常数，对x仍用一元函数求导法求偏导.(2) 求关于y的偏导数，把z=f (x , y) 中的x看成常数，对y仍用一元函数求导法求偏导.(3)求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求.2：链式法则的几种情况：1:),(,),(,),(,)x y x y x y z f u f v f w x u x v x w xz f u f v f w y u y v y w yμυωμμυυωω===∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂中间变量多于两个的情况：设z=f(,,''2:),(,)(),()x y z f u u z f u u f u f u x u x x y u y yμμμ=∂∂∂∂∂∂∂∂====∂∂∂∂∂∂∂∂中间变量只有一个的情况：设z=f(3:,),(),(),v x v v x z x z f u f v x u x u xμμμ==∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂自变量只有一个的情况：设z=f(则是的一元复合函数，它对x 的导数称为全导数，有(,,),(,),(,),,z f x y t x x s t y y s t z f x f y z f x f y f s x s y s t x t y t t===∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂4:设则例3：).1())),(,(,()(,)1,1(,)1,1(,1)1,1(,),(2ϕϕ'=='='=求，可微x x f x f x f x b f a f f y x f y x解⋅='))),(,(,(2)(x x f x f x f x ϕ⋅'+'))),(,(,())),(,(,({21x x f x f x f x x f x f x f ⋅'+')),(,()),(,([21x x f x f x x f x f ))]},(),((21x x f x x f '+')]}([{12)1(b a b a b a +++⋅⋅='ϕ)(232b ab ab a +++=解：3个方程, 4个变量的方程组,)(),(),(x z z x y y x u u ===确定3个1元函数:方程组两边对x 求导=x u d d ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧x g x h x f x y f y d d +x y g y d d ⋅+x z g z d d ⋅+0=xz h z d d ⋅+0=⎪⎩⎪⎨⎧===.0),(,0),,(),,()(z x h z y x g y x f u x u 由方程组设函数例4：,0,0,≠∂∂≠∂∂zh y g 且所确定.d d x u 求=x u d d ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧x g x h x f x y f y d d +)1(x y g y d d ⋅+x z g z d d ⋅+0=)2(x z h z d d ⋅+0=)3(代入可得：d d y x y z x x y y zf g f g h u f x g g h ⋅⋅⋅=-+⋅三：高阶偏导定理 如果函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数x y z ∂∂∂2及yx z ∂∂∂2在区域D 内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．215()(),y z z f xy xf f y x x y ∂=+∂∂例：有连续二阶偏导数，求'()'()'()z y y y f xy f f x x x x ∂=+-∂解：2()z z x y y x ∂∂∂=∂∂∂∂11''()''()'()''()y y y y xf xy f f f x x x x x x=+--22222222(0,0)(0,0)22(),06:(,),|,|0,0xy x y x y f f f x y x y x y y x x y ⎧-+>∂∂⎪=+⎨∂∂∂∂⎪+=⎩例求22232222222222()(3)2(),0()0,0x y x y y x y x y x y f x y x x y ⎧+---+>∂⎪=+⎨∂⎪+=⎩解：2(0,)(0,0)(0,0)0|||lim 1y y f f f x x x y y →∂∂-∂∂∂==-∂∂22322222222222()(3)2(),0()0,0x y x xy xy x y x y f x y y x y ⎧+---+>∂⎪=+⎨∂⎪+=⎩(,0)(0,0)2(0,0)0|||lim 1x y f f f y y y x x→∂∂-∂∂∂==∂∂注：对不连续的函数求导，用定义法四：隐函数求导1：一个方程的情况:1．1 显化法:(一元隐函数）把一元隐函数化为显函数后，再利用显函数求导的方法，来求该一元隐函数的导数，即(,)0F x y =()y y x ='()xdy dy x y dx dx==2'ln()0,(x y x xy y x+-=例7：设求一元隐函数）22ln()x y y x xy xy e x x -=--⇒-=21x e y x x -⇒=-利用显函数求导方法，有：22222'211(12)(12)11()()x x x e x y x x y x x x x -----==--1．2公式法: .x yF dy dx F =-1．3对数求导法:80,,x zz z z y x y ∂∂-=∂∂例：设求（多元隐函数）ln ln x zz y x z z y ==解：原方程可化为，方程两边同时取对数得:2ln ln ln ln (ln )x y z z z z x z y x y z z z y x z y ⎧==⎪--⎪⎨⎪=⎪-⎩所以2ln ln ln ln (ln )x y z z z z x z y x y z z z y x z y ⎧==⎪--⎪⎨⎪=⎪-⎩所以2：方程组的情况：2.1直接对方程两边求偏导，再解关于偏导数的方程sin ,,cos uu x e u v u u x y y e u v ⎧=+∂∂⎪⎨∂∂=-⎪⎩例9：设求1sin cos 0s cos (sin )u u x u u v e v u v x x xu u v e v u v x x x∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂=---∂∂∂两个方程两边关于求偏导，得：(1)(2)(1)sin (2)cos v v v x ∂⨯-⨯∂，消去得22sin (sin cos )(sin cos )uu u v e v v v v x x ∂∂=-++∂∂sin 1sin cos u u u v x e v e v∂=∂+-同理可求：cos 1sin cos u u u v y e v e v∂-=∂+-Thanks for your listening!。
多元函数微分学
面,点P为切点.
定理3 曲面z f (x, y)在点P(x0, y0, f (x0, y0))存在 不平行于z轴的切平面的充要条件是函数 f 在点 P0(x0, y0)可微. 定理3说明若函数 f 在(x0, y0)可微, 则曲面z f (x, y) 在点P(x0, y0, z0)处的切平面方程为 z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ). 过切点P与切平面垂直的直线称为曲面在点P的 法线. 由切平面方程知道, 法线的方向数是
1
z f ( x, y )
S
S1
R2
P1
1
1
y y0 曲线P0 N z f ( x, y) x x0 曲线P0 R z f ( x, y)
P1 S1 P1 R2 R2 S1 z P1 R2 Q1 R1 dy y M 0
0
M ( x0 dx, y0 dy)
f x
x
tan
M0
偏导与连续的关系.
例 讨论函数
x 2 y 2 , xy 0 f ( x, y) , xy 0 1,
在(0,0)点的偏导数及连续性.
二、 可微性与全微分
定义 设函数 z = f (x, y)在点P0(x0, y0)的某邻域U (P0) 内有定义, 对于U (P0)中的点P(x, y) (x0 x, y0 y), 若函数 f 在P0处的全增量z可表示为: z f (x0 x, y0 y) f (x0, y0) Ax By o(), 其中A, B是仅与点P0有关的常数, (1)
d f |(x0, y0) fx(x0, y0)· fy(x0, y0)· dx dy.
第五节多元函数微分法
复合函数求导法则特征说明 u z z u z v = + z x u x v x v
x y
项数等于路径条数 因子数等于连线数
公式与结构图两者之间的联系: 公式与结构图两者之间的联系 ①公式中偏导数由 两项组成, 的路径. 两项组成 对应结构图中有两条 x 到达 z 的路径 公式中每项为两个偏导数的乘积, ②公式中每项为两个偏导数的乘积 这两个偏导数形式 与结构图中相连接的两个变量的偏导数相对应. 与结构图中相连接的两个变量的偏导数相对应 基本规律: 分路向加, 连线相乘, 分清变量, 逐层求导. 基本规律 分路向加 连线相乘 分清变量 逐层求导 复合函数求导法则虽然是多种多样, 复合函数求导法则虽然是多种多样 但是把握了 其规律就 可以直接写出给定的复合函数的偏导数的公 式.
一,复合函数求导法则 设函数 z= f (u, v) , 而 u = (x), v =ψ (x), 则有复合 中间变量为一元函数) 函数 z = f [(x),ψ (x)] (中间变量为一元函数 定理 处均可导, 设函数 u = (x) 与v = ψ(x) 在x 处均可导 二元函数 z = f (x , y)在 x 对应点 , v)处有一阶连续偏 在 对应点(u 处有一阶连续偏 的导数存在, 导数则复合函数 z = f [(x),ψ (x)] 对 x 的导数存在 且 u dz z du z dv x z = + . v dx u dx v dx
z z u z v = + . y u y v y
z u z v z u z v + + dy dx + 所以 dz = u x v x u y v y z u u z v v = dx + dy + dx + dy u x y v x y z z = du + dv. u v
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二. 多元函数的偏导数
定义 1. 设函数 f ( x , y ) 在点 P0 ( x 0 , y 0 ) 的某邻域内有定 义。若一元函数 f ( x , y 0 ) 在 x x 0 处可导, 则称此导 数为 f ( x , y ) 在点 P0 处关于x 的偏导数, 记作 f x ( x 0 , y 0 ) .
fy y
2
其中 和 f y x 称为混合偏导数。 类似可定义更高阶偏导数。
y
.
例 4. 设 z e 解：z x 2 e 2 x y
2 x y
,
求
zx y, zy
2x y
x
, z yxx .
,
z y e
,
zx
y
( z x ) y 2e
2x y y
y 0
x y x y 0,
y
2
2
2 2
, ( x , y ) (0, 0) ( x , y ) (0, 0)
lim x
y 0
求 f yx ( 0 , 0 ) .
2 2 2
y) f ( x, 0)
x y x y
2
x.
f yx ( 0 , 0 )
d f y ( x ,0 ) d x
在原点处不连 于是
续，考虑两个偏导数是否存在？ 答：存在 可微 各偏导数存在 连续
五. 连续、可微与偏导数存在之间的关系
一元函数： 可导 连续 多元函数： 各偏导数存在 连续 可微 可微 各偏导数连续
作业：
P16. 1; 7. P24. 2. (1);
4.
求 f xy ( 0 , 0 ) .
x y x y
2 2 2 2
解：f x ( 0 , y )
lim
f ( x , y ) f (0, y ) x
d y
x 0
lim y
x 0
y.
f xy ( 0 , 0 )
d f x (0, y )
y0
1.
xy 例 6. 设 f ( x , y ) f (x, 解：f y ( x , 0 ) lim
第 14 讲
多元函数的偏导数和全微分
一. 多元连续函数的性质
多元连续函数具有类似一元连续函数的性质。 1. 多元连续函数作有限次加、减、乘、除（分母不 为零）及复合运算后所得函数仍然连续。 2. 有界闭区域上的连续函数有最大值和最小值。 3. 有界闭区域上的连续函数能取得介于最大值和最 小值间的任何值。
2 x ,
0
lim
h
lim
x
2 x
x 0
2 2
0.
与假设矛盾。
因此 f 在原点不可微。
函数在一点处可微，则在该点处偏导数一定存在， 反之不然。 定理： 若函数 f 在点 P 0 的某邻域内存在一阶偏导数, 且偏导数在 P0 处连续, 则 f 在 P0 可微。
练习. 考虑
即有
f x ( x0 , y0 )
x 0
lim
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 )
lim
x f ( x , y0 ) f ( x0 , y0 )
x x0
.
x x0
.
此偏导数也记作
f
x ( x 0 , y0 )
类似可定义关于y 的偏导数.
z f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) A x o( | x | ) .
由此得
x 0
lim
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 )
类似可得 定理： 若函数 z f ( x , y ) 在点 P0 ( x 0 , y 0 ) 可微, 则在 P0 存 在一阶偏导数, 且 d z P f x ( P0 ) x f y ( P0 ) y . 上式也习惯地写成 d z P f x ( P0 ) d x f y ( P0 ) d y .
x0
1.
可见
fx y
和
f y x 未必相等.
定理： 若
fx y
和
f y x 都在点 ( x 0 , y 0 ) 处连续,则
f x y ( x0 , y0 ) f y x ( x0 , y0 ) .
四. 偏导数和可微性
定义 4. 设函数 z f ( x , y ) 在点 P0 ( x 0 , y 0 ) 的某邻域 U ( P0 ) 内有定义。 若对任意 P ( x 0 x , y 0 y ) U ( P0 ) , 函数 在点 P0 处的全增量 z f ( x 0 x , y 0 y ) f ( x 0 , y 0 ) 可以表示为 z A x B y o( ) , 其中A, B 是只与 2 2 P0 有关的常数， ( x ) ( y ) , 则称 f ( x , y ) 在 P 0 处可微。 A x B y 为 f ( x , y ) 在 P0 处的全微分， 称 记作 d z P A x B y .
例 1. 设
sin( x 3 2 y 3 ) , ( x , y ) (0, 0) 2 2 f ( x, y ) x y 0 , ( x , y ) (0, 0)
求 f x (0, 0) .
sin x 3 , x 0 2 解： f ( x , 0 ) x 0, x 0. 2 3 (sin x ) x f ( x ,0 ) f ( 0 ,0 ) lim f x ( 0 , 0 ) lim 1. x 0 x 0 x x 类似可求 f y ( 0 , 0 ) 2 .
1 2 2 ( x y ) sin , ( x , y ) (0, 0) 2 2 f ( x, y ) x y 0, ( x , y ) (0, 0)
在原点的可微性及偏导数的连续性。 答：可微，偏导数存在但不连续。
函数在一点处可微，则在该点处偏导数一定存在， 反之不然。 定理： 若函数 f 在点 P 0 的某邻域内存在一阶偏导数, 且偏导数在 P0 处连续, 则 f 在 P0 可微。 上述关于偏导数、可微的概念和结论也可以推广到 n 元函数。 n 元函数 z f ( x 1 , x 2 , x n ) 在点 ( x 1 , x 2 , x n ) 处的全微分为 d z f1' dx1 f 2 ' dx2 f n ' dxn , 其中
lim
f ( x ,0 ) f ( 0 ,0 )
0 , 类似可得 f y ( 0 , 0 ) 0 .
x y .
设
f
在原点可微，
,
令 h z ( f x ( 0 , 0 ) x f y ( 0 , 0 ) y ), ( x )2 ( y )2 则由定理有 h o ( ) . 但若取 x y , 则 h x ,
zy
(0, 0)
1 ,
因此
dz
( 0, 0 )
d xd y.
例 8. 求 f ( x , y ) x y 在点 ( 0 , 0 ) 处的偏导数, 并讨论 f 在该点的可微性。 解：f x ( 0 , 0 )
x z f ( x , y ) f (0, 0)
x 0
f x (1 , 0 ) 3 .
练习. 设 u ( x , y , z ) sin( 答：
u y
2
x y e ),
z
2
z
求
u y
, u z ( 0 , 1 , 0 ).
2 y cos( x y e ),
u z ( 0 , 1, 0 ) 1 .
x ln( x 2 y 2 ) , ( x , y ) (0, 0) 例 3. 设 f ( x , y ) 0, ( x , y ) (0, 0) 2x y 解：若 ( x , y ) ( 0 , 0 ) , 则 f y ( x , y ) 2 2 , x y 若 ( x , y ) (0, 0) , 则
定义2. 设函数 z f ( x , y ) 在区域 D 内任一点处都存在 对 x ( 或 y ) 的偏导数, 则可得 f ( x , y ) 对 x ( 或 y ) 的 偏导函数（简称偏导数）, 记作 f x ( x , y ) ; z x . 3 2 2 f ( x , y ) x 2 x y y , 求 f y , f x ( 1 , 0 ). 例 2. 设 解： x 视为常数， y 求导得 f y 2 x 2 2 y . 将 对 将 y 视为常数， x 求导得 f x 3 x 2 4 x y . 对
f x ( x0 , y0 ) x f y ( x0 , y0 ) y o( ) .
当
0
时, 上式右端趋于 0 , 即函数在该点连续。 可微 各偏导数存在
连续
五. 连续、可微与偏导数存在之间的关系
函数
xy , 2 2 f ( x, y ) x y 0, ( x , y ) (0, 0) ( x , y ) (0, 0)
三. 高阶偏导数
定义 3. 多元函数 f 的偏导数的偏导数称为 f 的二阶 二元函数 f ( x , y ) 的二阶偏导数有四种： 偏导数。
fx x
fy x fx y
fx x
fy x
f x
2
2
2
,
fx y
,
fx
y