2020年湖南省张家界市中考数学试卷(含解析)印刷版
2．（3 分）如图是由 5 个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看有三列，从左到右依次有 2、1、1 个正方形，图形如下：
故选：A．
3．（3 分）下列计算正确的是（ ） A．2a+3a＝5a2 C．（a+1）2＝a2+1
9．（3 分）因式分解：x2﹣9＝
．
10．（3 分）今年夏季我国南方多地连降暴雨，引发了严重的洪涝灾害，给国家和人民的财产造成了严重的
损失，为支持地方各级政府组织群众进行抗灾自救，国家发展改革委员会下达了 211000000 元救灾应急
资金支持暴雨洪涝灾区用于抗洪救灾，则 211000000 元用科学记数法表示为
∴△ABC 的面积等于△ABO 的面积，
连接 OA、OB，如下图所示：
则
＝
．故选：B．
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，满分 18 分） 9．（3 分）因式分解：x2﹣9＝ （x+3）（x﹣3） ．
【分析】原式利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式＝（x+3）（x﹣3），故答案为：（x+3）（x﹣3）． 10．（3 分）今年夏季我国南方多地连降暴雨，引发了严重的洪涝灾害，给国家和人民的财产造成了严重的 损失，为支持地方各级政府组织群众进行抗灾自救，国家发展改革委员会下达了 211000000 元救灾应急 资金支持暴雨洪涝灾区用于抗洪救灾，则 211000000 元用科学记数法表示为 2.11×108 元． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：211000000 的小数点向左移动 8 位得到 2.11， 所以 211000000 用科学记数法表示为 2.11×108，故答案为：2.11×108． 11．（3 分）如图，∠AOB 的一边 OA 为平面镜，∠AOB＝38°，一束光线（与水平线 OB 平行）从点 C 射
2020 年湖南省张家界市中考数学试卷
一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，满分 24 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的）
1．（3 分）
的倒数是（ ）
A．﹣
B．
C．2020
D．﹣2020
2．（3 分）如图是由 5 个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的主视图是（ ）
的图象交于点 A 和点 B，若点 C 是 x 轴上任意一点，连接 AC，BC，则△ABC 的面积为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．14
【分析】根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知，当 C 点位于 O 点时，△ABC 的面积与△ABO
的面积相等，由此即可求解．
【解答】解：∵AB∥x 轴，且△ABC 与△ABO 共底边 AB，
A．100°
B．110°C．120°源自D．130°【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算，得到答案．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，故选：C．
6．（3 分）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几
1
为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．2 或 4
8．（3 分）如图所示，过 y 轴正半轴上的任意一点 P，作 x 轴的平行线，分别与反比例函数 y＝﹣ 和 y＝
的图象交于点 A 和点 B，若点 C 是 x 轴上任意一点，连接 AC，BC，则△ABC 的面积为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．14
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，满分 18 分）
根据上面的规律计算：
＝
．
三、解答题（本大题共 9 个小题，满分 0 分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的答题区域内作 答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效） 15．计算：|1﹣ |﹣2sin45°+（3.14﹣π）0﹣（ ）﹣2．
16．如图，在矩形 ABCD 中，过对角线 BD 的中点 O 作 BD 的垂线 EF，分别交 AD，BC 于点 E，F． （1）求证：△DOE≌△BOF； （2）若 AB＝6，AD＝8，连接 BE，DF，求四边形 BFDE 的周长．
何？译文为：今有若干人乘车，每 3 人共乘一车，最终剩余 2 辆车；若每 2 人共乘一车，最终剩余 9
个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有 x 人，可列方程（ ）
A．
﹣9
B． +2＝
C． ﹣2＝
D．
+9
【分析】根据车的辆数不变，即可得出关于 x 的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：依题意，得： +2＝ ．故选：B．
分数（分） 93 95 97 98 99
人数（人） 2 3
5
21
根据以上图表提供的信息，解答下列问题： （1）请补全条形统计图；
3
（2）D 组成绩的中位数是
分；
（3）假设该校有 1200 名学生都参加此次测试，若成绩 80 分以上（含 80 分）为优秀，则该校成绩优秀
的学生人数约有多少人？
19．今年疫情防控期间，某学校花 2000 元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要．随着疫情的缓解以 及各种抗疫物资供应更充足，消毒液每瓶下降了 2 元，学校又购买了一批消毒液，花 1600 元购买到的 数量与第一次购买到的数量相等，求第一批购进的消毒液的单价．
何？译文为：今有若干人乘车，每 3 人共乘一车，最终剩余 2 辆车；若每 2 人共乘一车，最终剩余 9
个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有 x 人，可列方程（ ）
A．
﹣9
B． +2＝
C． ﹣2＝
D．
+9
7．（3 分）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程 x2﹣6x+8＝0 的两根，则该等腰三角形的底边长
元．
11．（3 分）如图，∠AOB 的一边 OA 为平面镜，∠AOB＝38°，一束光线（与水平线 OB 平行）从点 C 射
入经平面镜反射后，反射光线落在 OB 上的点 E 处，则∠DEB 的度数是
度．
12．（3 分）新学期开学，刚刚组建的七年级（1）班有男生 30 人，女生 24 人，欲从该班级中选出一名值
6
抽样调查得到的调查结果接近准确数值，从而可得答案． 【解答】解：了解澧水河的水质，采用普查不太可能做到，所以采用抽样调查，故 A 合适， 了解一批灯泡的使用寿命，不宜采用全面调查，因为调查带有破坏性，故 B 不合适， 了解张家界市中学生睡眠时间，工作量大，宜采用抽样调查，故 C 合适， 了解某班同学的数学成绩，采用全面调查．合适，故 D 合适，故选：B． 5．（3 分）如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BCD 为 120°，则∠BOD 的度数为（ ）
17．先化简，再求值：（ ﹣
）÷
，其中 x＝ ．
18．为保障学生的身心健康和生命安全，政府和教育职能部门开展“安全知识进校园”宣传活动．为了调 查学生对安全知识的掌握情况，从某中学随机抽取 40 名学生进行了相关知识测试，将成绩（成绩取整 数）分为“A：69 分及以下，B：70～79 分，C：80～89 分，D：90～100 分”四个等级进行统计，得 到如图未画完整的统计图： D 组成绩的具体情况是：
7．（3 分）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程 x2﹣6x+8＝0 的两根，则该等腰三角形的底边长
为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．2 或 4
【分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可
得出答案．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0
（x﹣4）（x﹣2）＝0 解得：x＝4 或 x＝2，
D．了解某班同学的数学成绩，采用全面调查
5．（3 分）如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BCD 为 120°，则∠BOD 的度数为（ ）
A．100°
B．110°
C．120°
D．130°
6．（3 分）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几
4．（3 分）下列采用的调查方式中，不合适的是（ ）
A．了解澧水河的水质，采用抽样调查
B．了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查
C．了解张家界市中学生睡眠时间，采用抽样调查
D．了解某班同学的数学成绩，采用全面调查
【分析】根据调查对象的特点，结合普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而
B．（a2）3＝a5 D．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4
【分析】根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式逐一进行判断即可
【解答】解：A、2a+3a＝5a，故原式错误；B、（a2）3＝a6，故原式错误； C、（a+1）2＝a2+2a+1，故原式错误；D、（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故原式正确，故选：D．
4
22．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以 AB 为直径作⊙O，过点 C 作直线 CD 交 AB 的延长线于点 D， 使∠BCD＝∠A． （1）求证：CD 为⊙O 的切线； （2）若 DE 平分∠ADC，且分别交 AC，BC 于点 E，F，当 CE＝2 时，求 EF 的长．
湖南省张家界市2020年中考数学试卷
湖南省张家界市2020年中考数学试卷一、单选题（共8题；共16分）1.的倒数是（）A. B. C. 2020 D. 020202.如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的主视图是（）A. B. C. D.3.下列计算正确的是（）A. B. C. D.4.下列采用的调查方式中，不合适的是（）A. 了解澧水河的水质，采用抽样调查．B. 了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查．C. 了解张家界市中学生睡眠时间，采用抽样调查．D. 了解某班同学的数学成绩，采用全面调查．5.如图，四边形为的内接四边形，已知为，则的度数为（）A. B. C. D.6.《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（）A. B. C. D.7.已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（）A. 2B. 4C. 8D. 2或48.如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接，则的面积为（）A. 6B. 7C. 8D. 14二、填空题（共6题；共6分）9.因式分解：=________.10.今年夏季我国南方多地连降暴雨，引发了严重的洪涝灾害，给国家和人民的财产造成了严重的损失，为支持地方各级政府组织群众进行抗灾自救，国家发展改革委员会下达了211000000元救灾应急资金支持暴雨洪涝灾区用于抗洪救灾，则211000000元用科学记数法表示为________元．11.如图，的一边为平面镜，，一束光线（与水平线平行）从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在上的点E处，则的度数是________度．12.新学期开学，刚刚组建的七年级（1）班有男生30人，女生24人，欲从该班级中选出一名值日班长，任何人都有同样的机会，则这班选中一名男生当值日班长的概率是________．13.如图，正方形的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到位置，使得点B落在对角线上，则阴影部分的面积是________．14.观察下面的变化规律：，……根据上面的规律计算：________．三、解答题（共9题；共72分）15.计算：．16.如图，在矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交于点．（1）求证：；（2）若，连接，求四边形的周长．17.先化简，再求值：，其中．18.为保障学生的身心健康和生命安全，政府和教育职能部门开展“安全知识进校园”宣传活动．为了调查学生对安全知识的掌握情况，从某中学随机抽取40名学生进行了相关知识测试，将成绩（成绩取整数）分为“A：69分及以下，B：70~79分，C：80~89分，D：90~100分”四个等级进行统计，得到右边未画完整的统计图：D组成绩的具体情况是：根据以上图表提供的信息，解答下列问题：（1）请补全条形统计图；（2）D组成绩的中位数是________分；（3）假设该校有1200名学生都参加此次测试，若成绩80分以上（含80分）为优秀，则该校成绩优秀的学生人数约有多少人？19.今年疫情防控期间，某学校花2000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要．随着疫情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足，消毒液每瓶下降了2元，学校又购买了一批消毒液，花1600元购买到的数量与第一次购买到的数量相等，求第一批购进的消毒液的单价．20.阅读下面的材料：对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如：．根据上面的材料回答下列问题：（1）________；（2）当时，求x的取值范围．21.“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端．2010年1月25日，“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”．如图，航拍无人机以的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景．在A处测得“南天一柱”底部C的俯角为，继续飞行到达B处，这时测得“南天一柱”底部C的俯角为，已知“南天一柱”的高为，问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？（参考数据：，，）22.如图，在中，，以为直径作，过点C作直线交的延长线于点D，使．（1）求证：为的切线；（2）若平分，且分别交于点，当时，求的长．23.如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．直线经过点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l与直线相交于点P，连接，判定的形状，并说明理由；（3）在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分一、单选题1.【解析】【解答】解：∵×2020=1，∴的倒数是2020．故答案为C．【分析】根据倒数的定义解答即可．2.【解析】【解答】从正面看有三列，从左到右依次有2、1、1个正方形，图形如下：故答案为：A．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．3.【解析】【解答】解：A、，故原式不符合题意；B、，故原式不符合题意；C、，故原式不符合题意；D、，故原式符合题意，故答案为：D．【分析】根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式逐一进行判断即可4.【解析】【解答】解：A.了解澧水河的水质，采用普查不太可能做到，所以采用抽样调查，故A合适，B.了解一批灯泡的使用寿命，不宜采用全面调查，因为调查带有破坏性，故B不合适，C.了解张家界市中学生睡眠时间，工作量大，宜采用抽样调查，故C合适，D.了解某班同学的数学成绩，采用全面调查．合适，故D合适，故答案为：B．【分析】根据调查对象的特点，结合普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果接近准确数值，从而可得答案．5.【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A＝180°−∠BCD＝60°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，故答案为：C．【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算，得到答案．6.【解析】【解答】解：设有x人，根据车的辆数不变列出等量关系，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则车辆数为：，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则车辆数为：，∴列出方程为：．故答案为：B．【分析】设有x人，根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．7.【解析】【解答】解：x2－6x+8=0（x－4）（x－2）=0解得：x=4或x=2，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，所以三角形的底边长为2，故答案为：A．【分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．8.【解析】【解答】解：∵AB∥x轴，且△ABC与△ABO共底边AB，∴△ABC的面积等于△ABO的面积，连接OA、OB，如下图所示：则．故答案为：B．【分析】根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知，当C点位于O点是，△ABC的面积与△ABO的面积相等，由此即可求解．二、填空题9.【解析】【解答】x2-9=x2-32=(x+3)(x-3).故答案为(x+3)(x-3).【分析】运用平方差公式因式分解.10.【解析】【解答】211000000的小数点向左移动8位得到2.11，所以211000000用科学记数法表示为2.11×108，故答案为：2.11×108．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．11.【解析】【解答】解：∵DC∥OB，∴∠ADC=∠AOB=38°，由光线的反射定理易得，∠ODE=∠ACD=38°，∠DEB=∠ODE+∠AOB =38°+38°=76°，故答案为：76°．【分析】根据平行线的性质可得∠ADC的度数，由光线的反射定理可得∠ODE的度数，在根据三角形外角性质即可求解．12.【解析】【解答】全班共有学生30+24=54（人），其中男生30人，则这班选中一名男生当值日班长的概率是= ，故答案为：．【分析】先求出全班的学生数，再根据概率公式进行求解即可．13.【解析】【解答】解：过E点作MN∥BC交AB、CD于M、N点，设AB与EF交于点P点，连接CP,如下图所示，∵B在对角线CF上，∴∠DCE=∠ECF=45°，EC=1，∴△ENC为等腰直角三角形，∴MB=CN= EC= ，又BC=AD=CD=CE，且CP=CP，△PEC和△PBC均为直角三角形，∴△PEC≌△PBC(HL)，∴PB=PE，又∠PFB=45°，∴∠FPB=45°=∠MPE，∴△MPE为等腰直角三角形，设MP=x，则EP=BP= ，∵MP+BP=MB，∴，解得，∴BP= ，∴阴影部分的面积= ．故答案为：．【分析】如下图所示，△ENC、△MPF为等腰直角三角形，先求出MB=NC= ，证明△PBC≌△PEC，进而得到EP=BP，设MP=x，则EP=BP= ，解出x，最后阴影部分面积等于2倍△BPC面积即可求解．14.【解析】【解答】由题干信息可抽象出一般规律：（均为奇数，且）．故．故答案：．【分析】本题可通过题干信息总结分式规律，按照该规律展开原式，根据邻项相消求解本题．三、解答题15.【解析】【分析】根据绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂进行运算即可．16.【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得，，，即可证的两个三角形全等；（2）设，根据已知条件可得，由（1）可推得,可得ED=EB，可证得四边形EBFD是菱形，根据勾股定理可得BE的长，即可求得周长；17.【解析】【分析】括号内后面的分式分子、分母先分解因式，约分后进行分式的减法运算，然后再进行分式的除法运算进行化简，最后把x的值代入进行计算即可．18.【解析】【解答】解：（2）D组共有13名学生，按照从小到大的顺序排列：93、93、95、95、95、97、97、97、97、97、98、98、99第七个数据为中位数，是97，故答案为：97；【分析】（1）用总人数减去A，B，D三组的人数和即可得出C组的人数，然后补全条形统计图即可；（2）D组共有13人，把数据按照从小到大（从大到小）的顺序排列，找到中间第七个数据即可；（3）用1200乘以80分以上的人数所占的比例即可得出人数．19.【解析】【分析】设第一批购进的消毒液的单价为x元，根据两次购买到的数量相等可列出方程求解．20.【解析】【解答】解：（1）由题意得﹣1故答案为：﹣1；【分析】（1）比较大小，即可得出答案；（2）根据题意判断出解不等式即可判断x的取值范围．21.【解析】【分析】设无人机距地面xm，直线AB与南天一柱相交于点D，根据AD-BD=AB列方程求出x 的值，与南天一柱的高度比较即可．22.【解析】【分析】（1）如图，连接OC，欲证明CD是的切线，只需求得∠OCD= ；（2）由角平分线及三角形外角性质可得，即∠CEF=∠CFE，根据勾股定理可求得EF的长．23.【解析】【分析】（1）先根据直线经过点，即可确定B、C的坐标，然后用带定系数法解答即可；（2）先求出A、B的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB为等腰三角形；再结合OB=OC得到∠ABP=45°，进一步说明∠APB=90°，则∠APC=90°即可判定的形状；（3）作AN⊥BC 于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E；然后说明△ANB为等腰直角三角形，进而确定N的坐标；再求出AC的解析式，进而确定M1E的解析式；然后联立直线BC和M1E的解析式即可求得M1的坐标；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，利用中点坐标公式即可确定点M2的坐标。
2020年湖南省张家界市中考数学试卷和答案解析
2020年湖南省张家界市中考数学试卷和答案解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）的倒数是（）A．﹣B．C．2020D．﹣2020解析：根据倒数之积等于1可得答案．参考答案：解：的倒数是2020，故选：C．点拨：此题主要考查了倒数，解题的关键是掌握倒数定义．2．（3分）如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的主视图是（）A．B．C．D．解析：根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．参考答案：解：从正面看有三列，从左到右依次有2、1、1个正方形，图形如下：故选：A．点拨：本题考查了简单组合体的三视图，解题时注意从正面看得到的图形是主视图．3．（3分）下列计算正确的是（）A．2a+3a＝5a2B．（a2）3＝a5C．（a+1）2＝a2+1D．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4解析：根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式逐一进行判断即可参考答案：解：A、2a+3a＝5a，故原式错误；B、（a2）3＝a6，故原式错误；C、（a+1）2＝a2+2a+1，故原式错误；D、（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故原式正确，故选：D．点拨：此题考查了合并同类项、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．4．（3分）下列采用的调查方式中，不合适的是（）A．了解澧水河的水质，采用抽样调查B．了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查C．了解张家界市中学生睡眠时间，采用抽样调查D．了解某班同学的数学成绩，采用全面调查解析：根据调查对象的特点，结合普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果接近准确数值，从而可得答案．参考答案：解：了解澧水河的水质，采用普查不太可能做到，所以采用抽样调查，故A合适，了解一批灯泡的使用寿命，不宜采用全面调查，因为调查带有破坏性，故B不合适，了解张家界市中学生睡眠时间，工作量大，宜采用抽样调查，故C 合适，了解某班同学的数学成绩，采用全面调查．合适，故D合适，故选：B．点拨：本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．5．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD 为120°，则∠BOD的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°解析：根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算，得到答案．参考答案：解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，故选：C．点拨：本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．6．（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x 人，可列方程（）A．﹣9B．+2＝C．﹣2＝D．+9解析：根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．参考答案：解：依题意，得：+2＝．故选：B．点拨：本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．7．（3分）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为（）A．2B．4C．8D．2或4解析：解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．参考答案：解：x2﹣6x+8＝0（x﹣4）（x﹣2）＝0解得：x＝4或x＝2，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为2，故选：A．点拨：本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．8．（3分）如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y＝﹣和y＝的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为（）A．6B．7C．8D．14解析：根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知，当C点位于O点时，△ABC的面积与△ABO的面积相等，由此即可求解．参考答案：解：∵AB∥x轴，且△ABC与△ABO共底边AB，∴△ABC的面积等于△ABO的面积，连接OA、OB，如下图所示：则＝．故选：B．点拨：本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数上一点向坐标轴作垂线，与原点构成的矩形的面积为|k|这个结论．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）9．（3分）因式分解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．解析：原式利用平方差公式分解即可．参考答案：解：原式＝（x+3）（x﹣3），故答案为：（x+3）（x﹣3）．点拨：此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．10．（3分）今年夏季我国南方多地连降暴雨，引发了严重的洪涝灾害，给国家和人民的财产造成了严重的损失，为支持地方各级政府组织群众进行抗灾自救，国家发展改革委员会下达了211000000元救灾应急资金支持暴雨洪涝灾区用于抗洪救灾，则211000000元用科学记数法表示为 2.11×108元．解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．参考答案：解：211000000的小数点向左移动8位得到2.11，所以211000000用科学记数法表示为2.11×108，故答案为：2.11×108．点拨：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．11．（3分）如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝38°，一束光线（与水平线OB平行）从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在OB上的点E处，则∠DEB的度数是76度．解析：根据平行线的性质可得∠ADC的度数，由光线的反射定理可得∠ODE的度数，再根据三角形外角性质即可求解．参考答案：解：∵DC∥OB，∴∠ADC＝∠AOB＝38°，由光线的反射定理易得，∠ODE＝∠ADC＝38°，∠DEB＝∠ODE+∠AOB＝38°+38°＝76°，故答案为：76°．点拨：本题考查平行线的性质、三角形外角性质和光线的反射定理，掌握入射角＝反射角是解题的关键．12．（3分）新学期开学，刚刚组建的七年级（1）班有男生30人，女生24人，欲从该班级中选出一名值日班长，任何人都有同样的机会，则这班选中一名男生当值日班长的概率是．解析：先求出全班的学生数，再根据概率公式进行求解即可．参考答案：解：全班共有学生30+24＝54（人），其中男生30人，则这班选中一名男生当值日班长的概率是＝．故答案为：．点拨：本题考查了简单的概率计算，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．13．（3分）如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到CEFG位置，使得点B落在对角线CF上，则阴影部分的面积是．解析：如图所示，△ENC、△MPF为等腰直角三角形，先求出MB ＝NC＝，证明△PBC≌△PEC，进而得到EP＝BP，设MP＝x，则EP＝BP＝，解出x，最后阴影部分面积等于2倍△BPC面积即可求解．参考答案：解：过E点作MN∥BC交AB、CD于M、N点，设AB与EF交于点P点，连接CP，如下图所示，∵B在对角线CF上，∴∠DCE＝∠ECF＝45°，EC＝1，∴△ENC为等腰直角三角形，∴MB＝CN＝EC＝，又BC＝AD＝CD＝CE，且CP＝CP，△PEC和△PBC均为直角三角形，∴Rt△PEC≌Rt△PBC（HL），∴PB＝PE，又∠PFB＝45°，∴∠FPB＝45°＝∠MPE，∴△MPE为等腰直角三角形，设MP＝x，则EP＝BP＝，∵MP+BP＝MB，∴，解得，∴BP＝，∴阴影部分的面积＝．故答案为：．点拨：本题考查了正方形的性质及旋转的性质，本题关键是能想到过E点作BC的平行线，再证明△ENC、△MPF为等腰直角三角形进而求解线段长．14．（3分）观察下面的变化规律：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，＝﹣，…根据上面的规律计算：＝．解析：本题可通过题干信息总结分式规律，按照该规律展开原式，根据邻项相消求解本题．参考答案：解：由题干信息可抽象出一般规律：（a，b均为奇数，且b＝a+2）．故＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．故答案：．点拨：本题考查规律型：数字的变化类，规律的抽象总结，解答该类型题目需要准确识别题干所给的例子包含何种规律，严格按照该规律求解．三、解答题（本大题共9个小题，满分0分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效）15．计算：|1﹣|﹣2sin45°+（3.14﹣π）0﹣（）﹣2．解析：根据绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂进行运算即可．参考答案：解：原式＝﹣1﹣2×+1﹣4＝﹣1﹣+1﹣4＝﹣4．点拨：本题考查了绝对值的性质、特殊角的三角函数值、零次幂、负整数指数幂，熟知以上运算是解题的关键．16．如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．解析：（1）根据矩形的性质可得BO＝DO，∠EOD＝∠FOB，∠EDO ＝∠FBO，即可证的两个三角形全等；（2）设AE＝x，根据已知条件可得AE＝8﹣x，由（1）可推得△EBO≌△EDO，可得ED＝EB，可证得四边形EBFD是菱形，根据勾股定理可得BE的长，即可求得周长；参考答案：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，DO＝BO，∴∠EDO＝∠FBO，又∵EF⊥BD，∴∠EOD＝∠FOB＝90°，在△DOE和△BOF中，，∴△DOE≌△BOF（ASA）；（2）解：∵由（1）可得，ED∥BF，ED＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∵BO＝DO，EF⊥BD，∴ED＝EB，∴四边形BFDE是菱形，根据AB＝6，AD＝8，设AE＝x，可得BE＝ED＝8﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2+AE2，即（8﹣x）2＝x2+62，解得：，∴，∴四边形BFDE的周长＝．点拨：本题主要考查了矩形的性质应用，结合菱形的判定与性质、全等三角形的判定进行求解是解题的关键．17．先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．解析：括号内后面的分式分子、分母先分解因式，约分后进行分式的减法运算，然后再进行分式的除法运算进行化简，最后把x的值代入进行计算即可．参考答案：解：（﹣）÷＝＝＝＝，当时，原式＝＝1．点拨：本题考查了分式的混合运算﹣﹣化简求值，涉及了二次根式的运算、分式的约分、分式的除法运算、减法运算等，熟练掌握各运算法则是解题的关键．18．为保障学生的身心健康和生命安全，政府和教育职能部门开展“安全知识进校园”宣传活动．为了调查学生对安全知识的掌握情况，从某中学随机抽取40名学生进行了相关知识测试，将成绩（成绩取整数）分为“A：69分及以下，B：70～79分，C：80～89分，D：90～100分”四个等级进行统计，得到如图未画完整的统计图：D组成绩的具体情况是：分数（分）9395979899人数（人）23521根据以上图表提供的信息，解答下列问题：（1）请补全条形统计图；（2）D组成绩的中位数是97分；（3）假设该校有1200名学生都参加此次测试，若成绩80分以上（含80分）为优秀，则该校成绩优秀的学生人数约有多少人？解析：（1）用总人数减去A、B、D三组的人数和即可得出C组的人数，然后补全条形统计图即可；（2）D组共有13人，把数据按照从小到大（从大到小）的顺序排列，找到中间第七个数据即可；（3）用1200乘以80分以上的人数所占的比例即可得出人数．参考答案：解：（1）C的人数为：40﹣（5+12+13）＝40﹣30＝10，补全条形统计图如右图所示：（2）D组共有13名学生，按照从小到大的顺序排列是：93、93、95、95、95、97、97、97、97、97、98、98、99，第七个数据为中位数，是97，故答案为：97；（3）1200×＝690（人），即该校成绩优秀的学生人数约有690人，故答案为：690人．点拨：本题主要考查的是条形统计图，中位数以及用样本估计总体，解决本题的关键就是明确题意，找出所求问题的条件，仔细计算．19．今年疫情防控期间，某学校花2000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要．随着疫情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足，消毒液每瓶下降了2元，学校又购买了一批消毒液，花1600元购买到的数量与第一次购买到的数量相等，求第一批购进的消毒液的单价．解析：设第一批购进的消毒液的单价为x元，则第二批购进的消毒液的单价为（x﹣2）元，根据数量＝总价÷单价结合花2000元购买的第一批消毒液和花1600元购买的第二批消毒液数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．参考答案：解：设第一批购进的消毒液的单价为x元，则第二批购进的消毒液的单价为（x﹣2）元，依题意，得：＝，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意．答：第一批购进的消毒液的单价为10元．点拨：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．20．阅读下面的材料：对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5．根据上面的材料回答下列问题：（1）min{﹣1，3}＝﹣1；（2）当min时，求x的取值范围．解析：（1）比较大小，即可得出答案；（2）根据题意判断出，解不等式即可判断x的取值范围．参考答案：解：（1）由题意得min{﹣1，3}＝﹣1；故答案为：﹣1；（2）由题意得：3（2x﹣3）≥2（x+2）6x﹣9≥2x+44x≥13x≥，∴x的取值范围为x≥．点拨：本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．21．“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端．2010年1月25日，“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”．如图，航拍无人机以9m/s的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景．在A处测得“南天一柱”底部C的俯角为37°，继续飞行6s到达B处，这时测得“南天一柱”底部C的俯角为45°，已知“南天一柱”的高为150m，问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）解析：设无人机距地面xm，直线AB与南天一柱相交于点D，根据AD﹣BD＝AB列方程求出x的值，与南天一柱的高度比较即可．参考答案：解：设无人机距地面xm，直线AB与南天一柱相交于点D，由题意得∠CAD＝37°，∠CBD＝45°．在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝，∴AD＝．在Rt△BCD中，∵tan∠CBD＝，∴BD＝x．∵AD﹣BD＝AB，∴﹣x＝9×6，∴x＝162，∵162＞150，∴这架航拍无人机继续向正东飞行安全．点拨：本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为直径作⊙O，过点C作直线CD交AB的延长线于点D，使∠BCD＝∠A．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DE平分∠ADC，且分别交AC，BC于点E，F，当CE＝2时，求EF的长．解析：（1）如图，连接OC，欲证明CD是⊙O的切线，只需求得∠OCD＝90°；（2）由角平分线及三角形外角性质可得∠A+∠ADE＝∠BCD+∠CDF，即∠CEF＝∠CFE，根据勾股定理可求得EF的长．参考答案：（1）证明：如图，连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即∠A+∠ABC＝90°，又∵OC＝OB，∴∠ABC＝∠OCB，∵∠BCD＝∠A，∴∠BCD+∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，∵OC是圆O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠ADE，又∵∠BCD＝∠A，∴∠A+∠ADE＝∠BCD+∠CDF，即∠CEF＝∠CFE，∵∠ACB＝90°，CE＝2，∴CE＝CF＝2，∴EF＝．点拨：此题主要考查切线的判定方法、角平分线及三角形外角性质和勾股定理，熟练进行推理论证是解题关键．23．如图，抛物线y＝ax2﹣6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x+5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由；（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解析：（1）先根据直线y＝﹣x+5经过点B，C，即可确定B、C的坐标，然后用带定系数法解答即可；（2）先求出A、B的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB 为等腰三角形；再结合OB＝OC得到∠ABP＝45°，进一步说明∠APB＝90°，则∠APC＝90°即可判定△APC的形状；（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E；然后说明△ANB为等腰直角三角形，进而确定N的坐标；再求出AC的解析式，进而确定M1E的解析式；然后联立直线BC和M1E的解析式即可求得M1的坐标；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，利用中点坐标公式即可确定点M2的坐标．参考答案：解：（1）∵直线y＝﹣x+5经过点B，C，∴当x＝0时，可得y＝5，即C的坐标为（0，5）．当y＝0时，可得x＝5，即B的坐标为（5，0）．∴．解得．∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5；（2）△APC的为直角三角形，理由如下：∵解方程x2﹣6x+5＝0，则x1＝1，x2＝5．∴A（1，0），B（5，0）．∵抛物线y＝x2﹣6x+5的对称轴l为x＝3，∴△APB为等腰三角形．∵C的坐标为（5，0），B的坐标为（5，0），∴OB＝CO＝5，即∠ABP＝45°．∴∠ABP＝45°．∴∠APB＝180°﹣45°﹣45°＝90°．∴∠APC＝180°﹣90°＝90°．∴△APC的为直角三角形；（3）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E，∵M1A＝M1C，∴∠ACM1＝∠CAM1．∴∠AM1B＝2∠ACB．∵△ANB为等腰直角三角形．∴AH＝BH＝NH＝2．∴N（3，2）．设AC的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）．∵C（0，5），A（1，0），∴．解得b＝5，k＝﹣5．∴AC的函数解析式为y＝﹣5x+5，设EM1的函数解析式为y＝x+n，∵点E的坐标为（）．∴＝×+n，解得：n＝．∴EM1的函数解析式为y＝x+．∵．解得．∴M1的坐标为（）；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，设M2（a，﹣a+5），则有：3＝，解得a＝．∴﹣a+5＝．∴M2的坐标为（，）．综上，存在使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）．点拨：本题属于二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数图象、三角形外角等知识，考查知识点较多，综合应用所学知识成为解答本题的关键．。
2020年湖南省张家界市中考数学试卷
2020年湖南省张家界市中考数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）（2020•张家界）12020的倒数是( ) A ．12020- B ．12020 C ．2020 D ．2020-2．（3分）（2020•张家界）如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的主视图是( )A ．B ．C ．D ．3．（3分）（2020•张家界）下列计算正确的是( )A ．2235a a a +=B ．235()a a =C ．22(1)1a a +=+D ．2(2)(2)4a a a +-=-4．（3分）（2020•张家界）下列采用的调查方式中，不合适的是( )A ．了解澧水河的水质，采用抽样调查B ．了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查C ．了解张家界市中学生睡眠时间，采用抽样调查D ．了解某班同学的数学成绩，采用全面调查5．（3分）（2020•张家界）如图，四边形ABCD为O的内接四边形，已知BCD∠为120︒，则BOD∠的度数为( )A．100︒B．110︒C．120︒D．130︒6．（3分）（2020•张家界）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程()A．2932x x+=-B．9232x x-+=C．9232x x+-=D．2932x x-=+7．（3分）（2020•张家界）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程2680x x-+=的两根，则该等腰三角形的底边长为()A．2B．4C．8D．2或48．（3分）（2020•张家界）如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数6 yx =-和8yx=的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC，BC，则ABC∆的面积为()A．6B．7C．8D．14二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）9．（3分）（2020•张家界）因式分解：29x-=．10．（3分）（2020•张家界）今年夏季我国南方多地连降暴雨，引发了严重的洪涝灾害，给国家和人民的财产造成了严重的损失，为支持地方各级政府组织群众进行抗灾自救，国家发展改革委员会下达了211000000元救灾应急资金支持暴雨洪涝灾区用于抗洪救灾，则211000000元用科学记数法表示为 元．11．（3分）（2020•张家界）如图，AOB ∠的一边OA 为平面镜，38AOB ∠=︒，一束光线（与水平线OB 平行）从点C 射入经平面镜反射后，反射光线落在OB 上的点E 处，则DEB ∠的度数是 度．12．（3分）（2020•张家界）新学期开学，刚刚组建的七年级（1）班有男生30人，女生24人，欲从该班级中选出一名值日班长，任何人都有同样的机会，则这班选中一名男生当值日班长的概率是 ．13．（3分）（2020•张家界）如图，正方形ABCD 的边长为1，将其绕顶点C 按逆时针方向旋转一定角度到CEFG 位置，使得点B 落在对角线CF 上，则阴影部分的面积是 ．14．（3分）（2020•张家界）观察下面的变化规律：211133=-⨯，2113535=-⨯，2115757=-⨯，2117979=-⨯，⋯ 根据上面的规律计算：222213355720192021+++⋯+=⨯⨯⨯⨯ ．三、解答题（本大题共9个小题，满分0分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效）15．（2020•张家界）计算：021|122sin 45(3.14)()2π--︒+--．16．（2020•张家界）如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：DOE BOF∆≅∆；（2）若6AB=，8AD=，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．17．（2020•张家界）先化简，再求值：224221()1211x xx x x x---÷--+-，其中3x=．18．18．（2020•张家界）为保障学生的身心健康和生命安全，政府和教育职能部门开展“安全知识进校园”宣传活动．为了调查学生对安全知识的掌握情况，从某中学随机抽取40名学生进行了相关知识测试，将成绩（成绩取整数）分为“:69A分及以下，:70~79B分，:80~89C分，:90~100D分”四个等级进行统计，得到如图未画完整的统计图：D组成绩的具体情况是：分数（分)9395979899人数（人)23521根据以上图表提供的信息，解答下列问题：（1）请补全条形统计图；（2）D组成绩的中位数是分；（3）假设该校有1200名学生都参加此次测试，若成绩80分以上（含80分）为优秀，则该校成绩优秀的学生人数约有多少人？19．（2020•张家界）今年疫情防控期间，某学校花2000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要．随着疫情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足，消毒液每瓶下降了2元，学校又购买了一批消毒液，花1600元购买到的数量与第一次购买到的数量相等，求第一批购进的消毒液的单价．20．（2020•张家界）阅读下面的材料：对于实数a ，b ，我们定义符号{min a ，}b 的意义为：当a b <时，{min a ，}b a =；当a b 时，{min a ，}b b =，如：{4min ，2}2-=-，{5min ，5}5=．根据上面的材料回答下列问题：（1）{1min -，3}= ；（2）当2322,233x x x min -++⎧⎫=⎨⎬⎩⎭时，求x 的取值范围．21．（2020•张家界）“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端．2010年1月25日，“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”．如图，航拍无人机以9/m s 的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景．在A 处测得“南天一柱”底部C 的俯角为37︒，继续飞行6s 到达B 处，这时测得“南天一柱”底部C 的俯角为45︒，已知“南天一柱”的高为150m ，问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？（参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75)︒≈22．（2020•张家界）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以AB 为直径作O ，过点C 作直线CD 交AB 的延长线于点D ，使BCD A ∠=∠．（1）求证：CD 为O 的切线；（2）若DE 平分ADC ∠，且分别交AC ，BC 于点E ，F ，当2CE =时，求EF 的长．23．（2020•张家界）如图，抛物线26y ax x c =-+交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．直线5y x =-+经过点B ，C ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l 与直线BC 相交于点P ，连接AC ，AP ，判定APC ∆的形状，并说明理由；（3）在直线BC 上是否存在点M ，使AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．。
2020年湖南省张家界市中考数学试卷
2020年湖南省张家界市中考数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.的倒数是（）A. -B.C. 2020D. -20202.如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的主视图是（）A.B.C.D.3.下列计算正确的是（）A. 2a+3a=5a2B. （a2）3=a5C. （a+1）2=a2+1D. （a+2）（a-2）=a2-44.下列采用的调查方式中，不合适的是（）A. 了解澧水河的水质，采用抽样调查B. 了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查C. 了解张家界市中学生睡眠时间，采用抽样调查D. 了解某班同学的数学成绩，采用全面调查5.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为（）A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°6.《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（）7.已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2-6x+8=0的两根，则该等腰三角形的底边长为（）A. 2B. 4C. 8D. 2或48.如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y=-和y=的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC 的面积为（）A. 6B. 7C. 8D. 14二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.因式分解：x2-9=______．10.今年夏季我国南方多地连降暴雨，引发了严重的洪涝灾害，给国家和人民的财产造成了严重的损失，为支持地方各级政府组织群众进行抗灾自救，国家发展改革委员会下达了211000000元救灾应急资金支持暴雨洪涝灾区用于抗洪救灾，则211000000元用科学记数法表示为______元．11.如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB=38°，一束光线（与水平线OB平行）从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在OB上的点E处，则∠DEB的度数是______度．12.新学期开学，刚刚组建的七年级（1）班有男生30人，女生24人，欲从该班级中选出一名值日班长，任何人都有同样的机会，则这班选中一名男生当值日班长的概率是______．13.如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到CEFG位置，使得点B落在对角线CF上，则阴影部分的面积是______．14.观察下面的变化规律：=1-，=-，=-，=-，…根据上面的规律计算：=______．三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）15.计算：|1-|-2sin45°+（3.14-π）0-（）-2．16.先化简，再求值：（-）÷，其中x=．四、解答题（本大题共7小题，共56.0分）17.如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若AB=6，AD=8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．18.为保障学生的身心健康和生命安全，政府和教育职能部门开展“安全知识进校园”宣传活动．为了调查学生对安全知识的掌握情况，从某中学随机抽取40名学生进行了相关知识测试，将成绩（成绩取整数）分为“A：69分及以下，B：70～79分，C：80～89分，D：90～100分”四个等级进行统计，得到如图未画完整的统计图：D组成绩的具体情况是：分数（分）9395979899人数（人）23521根据以上图表提供的信息，解答下列问题：（1）请补全条形统计图；（2）D组成绩的中位数是______分；（3）假设该校有1200名学生都参加此次测试，若成绩80分以上（含80分）为优19.今年疫情防控期间，某学校花2000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要．随着疫情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足，消毒液每瓶下降了2元，学校又购买了一批消毒液，花1600元购买到的数量与第一次购买到的数量相等，求第一批购进的消毒液的单价．20.阅读下面的材料：对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a＜b时，min{a，b}=a；当a≥b时，min{a，b}=b，如：min{4，-2}=-2，min{5，5}=5．根据上面的材料回答下列问题：（1）min{-1，3}=______；（2）当min时，求x的取值范围．21.“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端．2010年1月25日，“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”．如图，航拍无人机以9m/s的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景．在A处测得“南天一柱”底部C的俯角为37°，继续飞行为150m，问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AB为直径作⊙O，过点C作直线CD交AB的延长线于点D，使∠BCD=∠A．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DE平分∠ADC，且分别交AC，BC于点E，F，当CE=2时，求EF的长．23.如图，抛物线y=ax2-6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=-x+5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由；（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：的倒数是2020，故选：C．根据倒数之积等于1可得答案．此题主要考查了倒数，解题的关键是掌握倒数定义．2.【答案】A【解析】解：从正面看有三列，从左到右依次有2、1、1个正方形，图形如下：故选：A．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，解题时注意从正面看得到的图形是主视图．3.【答案】D【解析】解：A、2a+3a=5a，故原式错误；B、（a2）3=a6，故原式错误；C、（a+1）2=a2+2a+1，故原式错误；D、（a+2）（a-2）=a2-4，故原式正确，故选：D．根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式逐一进行判断即可此题考查了合并同类项、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键4.【答案】B【解析】解：了解澧水河的水质，采用普查不太可能做到，所以采用抽样调查，故A合适，了解一批灯泡的使用寿命，不宜采用全面调查，因为调查带有破坏性，故B不合适，了解张家界市中学生睡眠时间，工作量大，宜采用抽样调查，故C合适，了解某班同学的数学成绩，采用全面调查．合适，故D合适，故选：B．根据调查对象的特点，结合普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果接近准确数值，从而可得答案．本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．5.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A=180°-∠BCD=60°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°，根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算，得到答案．本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：依题意，得：+2=．故选：B．根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．7.【答案】A【解析】解：x2-6x+8=0（x-4）（x-2）=0解得：x=4或x=2，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为2，故选：A．解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．8.【答案】B【解析】解：∵AB∥x轴，且△ABC与△ABO共底边AB，∴△ABC的面积等于△ABO的面积，连接OA、OB，如下图所示：则=．故选：B．根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知，当C点位于O点时，△ABC的面积与△ABO的面积相等，由此即可求解．本题考查了反比例函数的图形和性质，熟练掌握反比例函数上一点向坐标轴作垂线，与原点构成的矩形的面积为|k|这个结论．9.【答案】（x+3）（x-3）【解析】【分析】本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．原式利用平方差公式分解即可．解：原式=（x+3）（x-3），故答案为：（x+3）（x-3）．10.【答案】2.11×108【解析】解：211000000的小数点向左移动8位得到2.11，所以211000000用科学记数法表示为2.11×108，故答案为：2.11×108．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．11.【答案】76【解析】解：∵DC∥OB，∴∠ADC=∠AOB=38°，由光线的反射定理易得，∠ODE=∠ACD=38°，∠DEB=∠ODE+∠AOB=38°+38°=76°，故答案为：76°．根据平行线的性质可得∠ADC的度数，由光线的反射定理可得∠ODE的度数，再根据三角形外角性质即可求解．本题考查平行线的性质、三角形外角性质和光线的反射定理，掌握入射角=反射角是解题的关键．12.【答案】【解析】解：全班共有学生30+24=54（人），其中男生30人，则这班选中一名男生当值日班长的概率是=．故答案为：．先求出全班的学生数，再根据概率公式进行求解即可．本题考查了简单的概率计算，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．13.【答案】【解析】解：过E点作MN∥BC交AB、CD于M、N点，设AB与EF交于点P点，连接CP，如下图所示，∵B在对角线CF上，∴∠DCE=∠ECF=45°，EC=1，∴△ENC为等腰直角三角形，∴MB=CN=EC=，又BC=AD=CD=CE，且CP=CP，△PEC和△PBC均为直角三角形，∴Rt△PEC≌Rt△PBC（HL），∴PB=PE，又∠PFB=45°，∴∠FPB=45°=∠MPE，∴△MPE为等腰直角三角形，设MP=x，则EP=BP=，∵MP+BP=MB，∴，解得，∴BP=，∴阴影部分的面积=．故答案为：．如图所示，△ENC、△MPF为等腰直角三角形，先求出MB=NC=，证明△PBC≌△PEC，进而得到EP=BP，设MP=x，则EP=BP=，解出x，最后阴影部分面积等于2倍△BPC 面积即可求解．本题考查了正方形的性质及旋转的性质，本题关键是能想到过E点作BC的平行线，再证明△ENC、△MPF为等腰直角三角形进而求解线段长．14.【答案】【解析】解：由题干信息可抽象出一般规律：（a，b均为奇数，且b=a+2）．故=1-+-+-+…+-=1-=．故答案：．本题可通过题干信息总结分式规律，按照该规律展开原式，根据邻项相消求解本题．本题考查规律型：数字的变化类，规律的抽象总结，解答该类型题目需要准确识别题干所给的例子包含何种规律，严格按照该规律求解．15.【答案】解：原式=-1-2×+1-4=-1-+1-4=-4．【解析】根据绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂进行运算即可．本题考查了绝对值的性质、特殊角的三角函数值、零次幂、负整数指数幂，熟知以上运算是解题的关键．16.【答案】解：（-）÷====，当时，原式==1．【解析】括号内后面的分式分子、分母先分解因式，约分后进行分式的减法运算，然后再进行分式的除法运算进行化简，最后把x的值代入进行计算即可．本题考查了分式的混合运算--化简求值，涉及了二次根式的运算、分式的约分、分式的除法运算、减法运算等，熟练掌握各运算法则是解题的关键．17.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，DO=BO，∴∠EDO=∠FBO，又∵EF⊥BD，∴∠EOD=∠FOB=90°，在△DOE和△BOF中，，∴△DOE≌△BOF（ASA）；（2）解：∵由（1）可得，ED∥BF，ED=BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∵BO=DO，EF⊥BD，∴ED=EB，∴四边形BFDE是菱形，根据AB=6，AD=8，设AE=x，可得BE=ED=8-x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE2=AB2+AE2，即（8-x）2=x2+62，解得：，∴，∴四边形BFDE的周长=．【解析】（1）根据矩形的性质可得BO=DO，∠EOD=∠FOB，∠EDO=∠FBO，即可证的两个三角形全等；（2）设AE=x，根据已知条件可得AE=8-x，由（1）可推得△EBO≌△EDO，可得ED=EB，可证得四边形EBFD是菱形，根据勾股定理可得BE的长，即可求得周长；本题主要考查了矩形的性质应用，结合菱形的判定与性质、全等三角形的判定进行求解是解题的关键．18.【答案】97【解析】解：（1）C的人数为：40-（5+12+13）=40-30=10，补全条形统计图如右图所示：（2）D组共有13名学生，按照从小到大的顺序排列是：93、93、95、95、95、97、97、97、97、97、98、98、99，第七个数据为中位数，是97，故答案为：97；（3）1200×=690（人），即该校成绩优秀的学生人数约有690人，故答案为：690人．（1）用总人数减去A、B、D三组的人数和即可得出C组的人数，然后补全条形统计图即可；（2）D组共有13人，把数据按照从小到大（从大到小）的顺序排列，找到中间第七个数据即可；（3）用1200乘以80分以上的人数所占的比例即可得出人数．本题主要考查的是条形统计图，中位数以及用样本估计总体，解决本题的关键就是明确题意，找出所求问题的条件，仔细计算．19.【答案】解：设第一批购进的消毒液的单价为x元，则第二批购进的消毒液的单价为（x-2）元，依题意，得：=，解得：x=10，经检验，x=10是原方程的解，且符合题意．答：第一批购进的消毒液的单价为10元．【解析】设第一批购进的消毒液的单价为x元，则第二批购进的消毒液的单价为（x-2）元，根据数量=总价÷单价结合花2000元购买的第一批消毒液和花1600元购买的第二批消毒液数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．20.【答案】-1【解析】解：（1）由题意得min{-1，3}=-1；故答案为：-1；（2）由题意得：3（2x-3）≥2（x+2）6x-9≥2x+44x≥13x≥，∴x的取值范围为x≥．（1）比较大小，即可得出答案；（2）根据题意判断出，解不等式即可判断x的取值范围．本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．21.【答案】解：设无人机距地面xm，直线AB与南天一柱相交于点D，由题意得∠CAD=37°，∠CBD=45°．在Rt△ACD中，∵tan∠CAD=，∴AD=．在Rt△BCD中，∵tan∠CBD=，∴BD=x．∵AD-BD=AB，∴-x=9×6，∴x=162，∵162＞150，∴这架航拍无人机继续向正东飞行安全．【解析】设无人机距地面xm，直线AB与南天一柱相交于点D，根据AD-BD=AB列方程求出x的值，与南天一柱的高度比较即可．本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．22.【答案】（1）证明：如图，连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠A+∠ABC=90°，又∵OC=OB，∴∠ABC=∠OCB，∵∠BCD=∠A，∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，∵OC是圆O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵DE平分∠ADC，∴∠CDE=∠ADE，又∵∠BCD=∠A，∴∠A+∠ADE=∠BCD+∠CDF，即∠CEF=∠CFE，∵∠ACB=90°，CE=2，∴CE=CF=2，∴EF=．【解析】（1）如图，连接OC，欲证明CD是⊙O的切线，只需求得∠OCD=90°；（2）由角平分线及三角形外角性质可得∠A+∠ADE=∠BCD+∠CDF，即∠CEF=∠CFE，根据勾股定理可求得EF的长．此题主要考查切线的判定方法、角平分线及三角形外角性质和勾股定理，熟练进行推理论证是解题关键．23.【答案】解：（1）∵直线y=-x+5经过点B，C，∴当x=0时，可得y=5，即C的坐标为（0，5）．当y=0时，可得x=5，即B的坐标为（5，0）．∴．解得．∴该抛物线的解析式为y=x2-6x+5；（2）△APC的为直角三角形，理由如下：∵解方程x2-6x+5=0，则x1=1，x2=5．∴A（1，0），B（5，0）．∵抛物线y=x2-6x+5的对称轴l为x=3，∴△APB为等腰三角形．∵C的坐标为（5，0），B的坐标为（5，0），∴OB=CO=5，即∠ABP=45°．∴∠ABP=45°．∴∠APB=180°-45°-45°=90°．∴∠APC=180°-90°=90°．∴△APC的为直角三角形；（3）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E，∵M1A=M1C，∴∠ACM1=∠CAM1．∴∠AM1B=2∠ACB．∵△ANB为等腰直角三角形．∴AH=BH=NH=2．∴N（3，2）．设AC的函数解析式为y=kx+b（k≠0）．∵C（0，5），A（1，0），∴．解得b=5，k=-5．∴AC的函数解析式为y=-5x+5，设EM1的函数解析式为y=x+n，∵点E的坐标为（）．∴=×+n，解得：n=．∴EM1的函数解析式为y=x+．∵．解得．∴M1的坐标为（）；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，设M2（a，-a+5），则有：3=，解得a=．∴-a+5=．∴M2的坐标为（，）．综上，存在使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）．【解析】（1）先根据直线y=-x+5经过点B，C，即可确定B、C的坐标，然后用带定系数法解答即可；（2）先求出A、B的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB为等腰三角形；再结合OB=OC得到∠ABP=45°，进一步说明∠APB=90°，则∠APC=90°即可判定△APC的形状；（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E；然后说明△ANB为等腰直角三角形，进而确定N的坐标；再求出AC的解析式，进而确定M1E的解析式；然后联立直线BC和M1E的解析式即可求得M1的坐标；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，利用中点坐标公式即可确定点M2的坐标．本题属于二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数图象、三角形外角等知识，考查知识点较多，综合应用所学知识成为解答本题的关键．。
湖南省张家界市2020年中考数学试题(Word版,含答案与解析)
湖南省张家界市2020年中考数学试卷一、单选题（共8题；共16分）1.12020的倒数是（）A. −12020B. 12020C. 2020D. 02020【答案】C【考点】有理数的倒数【解析】【解答】解：∵12020×2020=1，∴12020的倒数是2020．故答案为C．【分析】根据倒数的定义解答即可．2.如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的主视图是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】简单组合体的三视图【解析】【解答】从正面看有三列，从左到右依次有2、1、1个正方形，图形如下：故答案为：A．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．3.下列计算正确的是（）A. 2a+3a=5a2B. (a2)3=a5C. (a+1)2=a2+1D. (a+2)(a−2)=a2−4【答案】 D【考点】完全平方公式及运用，平方差公式及应用，合并同类项法则及应用，幂的乘方【解析】【解答】解：A、2a+3a=5a，故原式不符合题意；B、(a2)3=a6，故原式不符合题意；C、(a+1)2=a2+2a+1，故原式不符合题意；D、(a+2)(a−2)=a2−4，故原式符合题意，故答案为：D．【分析】根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式逐一进行判断即可4.下列采用的调查方式中，不合适的是（）A. 了解澧水河的水质，采用抽样调查．B. 了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查．C. 了解张家界市中学生睡眠时间，采用抽样调查．D. 了解某班同学的数学成绩，采用全面调查．【答案】B【考点】全面调查与抽样调查【解析】【解答】解：A.了解澧水河的水质，采用普查不太可能做到，所以采用抽样调查，故A合适，B.了解一批灯泡的使用寿命，不宜采用全面调查，因为调查带有破坏性，故B不合适，C.了解张家界市中学生睡眠时间，工作量大，宜采用抽样调查，故C合适，D.了解某班同学的数学成绩，采用全面调查．合适，故D合适，故答案为：B．【分析】根据调查对象的特点，结合普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果接近准确数值，从而可得答案．5.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为（）A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°【答案】C【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A＝180°−∠BCD＝60°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，故答案为：C．【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算，得到答案．6.《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（）A. x+23=x2−9 B. x3+2=x−92C. x3−2=x+92D. x−23=x2+9【答案】B【考点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题【解析】【解答】解：设有x人，根据车的辆数不变列出等量关系，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则车辆数为：x3+2，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则车辆数为：x−92，∴列出方程为：x3+2=x−92．故答案为：B．【分析】设有x人，根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．7.已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2−6x+8=0的两根，则该等腰三角形的底边长为（）A. 2B. 4C. 8D. 2或4【答案】A【考点】一元二次方程的根，三角形三边关系，等腰三角形的性质【解析】【解答】解：x2－6x+8=0（x－4）（x－2）=0解得：x=4或x=2，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，所以三角形的底边长为2，故答案为：A．【分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．8.如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y=−6x 和y=8x的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC,BC，则△ABC的面积为（）A. 6B. 7C. 8D. 14【答案】B【考点】反比例函数系数k的几何意义【解析】【解答】解：∵AB∥x轴，且△ABC与△ABO共底边AB，∴△ABC的面积等于△ABO的面积，连接OA、OB，如下图所示：则SΔABO=SΔPBO+SΔPAO=12PO⋅PB+12PO⋅PA=12×|8|+12×|−6|=4+3=7．故答案为：B．【分析】根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知，当C点位于O点是，△ABC的面积与△ABO的面积相等，由此即可求解．二、填空题（共6题；共6分）9.因式分解：x2−9=________.【答案】(x+3)(x-3)【考点】因式分解﹣运用公式法【解析】【解答】x2-9=x2-32=(x+3)(x-3).故答案为(x+3)(x-3).【分析】运用平方差公式因式分解.10.今年夏季我国南方多地连降暴雨，引发了严重的洪涝灾害，给国家和人民的财产造成了严重的损失，为支持地方各级政府组织群众进行抗灾自救，国家发展改革委员会下达了211000000元救灾应急资金支持暴雨洪涝灾区用于抗洪救灾，则211000000元用科学记数法表示为________元．【答案】2.11×108【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】211000000的小数点向左移动8位得到2.11，所以211000000用科学记数法表示为2.11×108，故答案为：2.11×108．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．11.如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB=38°，一束光线（与水平线OB平行）从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在OB上的点E处，则∠DEB的度数是________度．【答案】76°【考点】平行线的性质，三角形的外角性质【解析】【解答】解：∵DC∥OB，∴∠ADC=∠AOB=38°，由光线的反射定理易得，∠ODE=∠ACD=38°，∠DEB=∠ODE+∠AOB =38°+38°=76°，故答案为：76°．【分析】根据平行线的性质可得∠ADC的度数，由光线的反射定理可得∠ODE的度数，在根据三角形外角性质即可求解．12.新学期开学，刚刚组建的七年级（1）班有男生30人，女生24人，欲从该班级中选出一名值日班长，任何人都有同样的机会，则这班选中一名男生当值日班长的概率是________．【答案】59【考点】概率公式【解析】【解答】全班共有学生30+24=54（人），其中男生30人，则这班选中一名男生当值日班长的概率是3054= 59，故答案为：59．【分析】先求出全班的学生数，再根据概率公式进行求解即可．13.如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到CEFG位置，使得点B 落在对角线CF上，则阴影部分的面积是________．【答案】√2−1【考点】正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形【解析】【解答】解：过E点作MN∥BC交AB、CD于M、N点，设AB与EF交于点P点，连接CP,如下图所示，∵B在对角线CF上，∴∠DCE=∠ECF=45°，EC=1，∴△ENC为等腰直角三角形，∴MB=CN= √22EC= √22，又BC=AD=CD=CE，且CP=CP，△PEC和△PBC均为直角三角形，∴△PEC≌△PBC(HL)，∴PB=PE，又∠PFB=45°，∴∠FPB=45°=∠MPE，∴△MPE为等腰直角三角形，设MP=x，则EP=BP= √2x，∵MP+BP=MB，∴x+√2x=√22，解得x=2−√22，∴BP= √2x=√2−1，∴阴影部分的面积= 2SΔPBC=2×12×BC×BP=1×(√2−1)=√2−1．故答案为：√2−1．【分析】如下图所示，△ENC、△MPF为等腰直角三角形，先求出MB=NC= √22，证明△PBC≌△PEC，进而得到EP=BP，设MP=x，则EP=BP= √2x，解出x，最后阴影部分面积等于2倍△BPC面积即可求解．14.观察下面的变化规律：2 1×3=1−13,23×5=13−15,25×7=15−17,27×9=17−19，……根据上面的规律计算：2 1×3+23×5+25×7+⋯+22019×2021=________．【答案】20202021【考点】探索数与式的规律，有理数的加减混合运算【解析】【解答】由题干信息可抽象出一般规律：2a•b =1a−1b（a,b均为奇数，且b=a+2）．故21×3+23×5+25×7+⋯+22019×2021=1−13+13−15+15−17+⋯+12019−12021=1+(13−13)+(15−15)+⋯+(1 2019−12019)−12021=1−12021=20202021．故答案：20202021．【分析】本题可通过题干信息总结分式规律，按照该规律展开原式，根据邻项相消求解本题．三、解答题（共9题；共72分）15.计算：|1−√2|−2sin45°+(3.14−π)0−(12)−2．【答案】解：|1−√2|−2sin45°+(3.14−π)0−(12)−2=√2−1−2×√22+1−4=√2−1−√2+1−4=−4【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值【解析】【分析】根据绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂进行运算即可．16.如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD,BC于点E,F．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若AB=6,AD=8，连接BE,DF，求四边形BFDE的周长．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，DO=BO，∴∠EDO=∠FBO，又∵EF⊥BD，∴∠EOD=∠FOB=90°，在△DOE和△BOF中，{∠EDO=∠FBO DO=BO∠EOD=∠FOB=90°，∴△DOE≌△BOF(ASA)．（2）解：由（1）可得，ED∥BF，ED=BF，∴四边形BFDE是平行四边形，在△EBO和△EDO中，{DO=BO∠EOD=∠FOB=90°EO=EO，∴△EBO≅△EDO，∴ED=EB，∴四边形BFDE是菱形，根据AB=6,AD=8，设AE=x，可得BE=ED=8−x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE2=AB2+AE2，即(8-x)2=x2+62，解得：x=74，∴BE=8−74=254，∴四边形BFDE的周长= 254×4=25．【考点】三角形全等及其性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，矩形的性质，三角形全等的判定（ASA）【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得BO=DO，∠EOD=∠FOB，∠EDO=∠FBO，即可证的两个三角形全等；（2）设AE=x，根据已知条件可得AE=8−x，由（1）可推得△EBO≅△EDO,可得ED=EB，可证得四边形EBFD是菱形，根据勾股定理可得BE的长，即可求得周长；17.先化简，再求值：(4x−1−2x−2x2−2x+1)÷x2−1x−1，其中x=√3．【答案】解：(4x−1−2x−2x2−2x+1)÷x2−1x−1= [4x−1−2(x−1)(x−1)2]÷(x+1)(x−1)x−1= (4x−1−2x−1)·x−1(x+1)(x−1)= 2x−1·1 x+1= 2x2−1，当x=√3时，原式=(√3)2−1=1．【考点】利用分式运算化简求值【解析】【分析】括号内后面的分式分子、分母先分解因式，约分后进行分式的减法运算，然后再进行分式的除法运算进行化简，最后把x的值代入进行计算即可．18.为保障学生的身心健康和生命安全，政府和教育职能部门开展“安全知识进校园”宣传活动．为了调查学生对安全知识的掌握情况，从某中学随机抽取40名学生进行了相关知识测试，将成绩（成绩取整数）分为“A：69分及以下，B：70~79分，C：80~89分，D：90~100分”四个等级进行统计，得到右边未画完整的统计图：D组成绩的具体情况是：根据以上图表提供的信息，解答下列问题：（1）请补全条形统计图；（2）D组成绩的中位数是________分；（3）假设该校有1200名学生都参加此次测试，若成绩80分以上（含80分）为优秀，则该校成绩优秀的学生人数约有多少人？【答案】（1）解：∵随机抽取40名学生，根据条形统计图可以得出：A为5人，B为12人，D为13人，∴C的人数为：40−(5+12+13)=40−30=10，补全条形统计图如下图：（2）97（3）解：80分以上的是C、D两组，共有10+13=23人，所占的比列为：23÷40=0.575所以1200名学生中80分以上的人数有：1200×0.575=690（人），故答案为：690人．【考点】用样本估计总体，统计表，条形统计图【解析】【解答】解：（2）D组共有13名学生，按照从小到大的顺序排列：93、93、95、95、95、97、97、97、97、97、98、98、99第七个数据为中位数，是97，故答案为：97；【分析】（1）用总人数减去A，B，D三组的人数和即可得出C组的人数，然后补全条形统计图即可；（2）D组共有13人，把数据按照从小到大（从大到小）的顺序排列，找到中间第七个数据即可；（3）用1200乘以80分以上的人数所占的比例即可得出人数．19.今年疫情防控期间，某学校花2000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要．随着疫情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足，消毒液每瓶下降了2元，学校又购买了一批消毒液，花1600元购买到的数量与第一次购买到的数量相等，求第一批购进的消毒液的单价．【答案】解：设第一批购进的消毒液的单价为x元，根据题意可得：2000x =1600x−2，解得：x=10，经检验，x=10是原方程的根，答：第一批购进的消毒液的单价为10元．【考点】分式方程的实际应用【解析】【分析】设第一批购进的消毒液的单价为x元，根据两次购买到的数量相等可列出方程求解．20.阅读下面的材料：对于实数a,b，我们定义符号min{a,b}的意义为：当a<b时，min{a,b}=a；当a⩾b时，min{a,b}=b，如：min{4,−2}=−2,min{5,5}=5．根据上面的材料回答下列问题：（1）min{−1,3}=________；（2）当min{2x−32,x+23}=x+23时，求x的取值范围．【答案】（1）﹣1（2）解：由题意得：2x－32≥x+233（2x－3）≥2（x+2）6x－9≥2x+44x≥13X≥ 134∴x的取值范围为x≥ 134．【考点】解一元一次不等式，定义新运算【解析】【解答】解：（1）由题意得min{−1,3}=﹣1 故答案为：﹣1；【分析】（1）比较大小，即可得出答案；（2）根据题意判断出2x－32≥x+23解不等式即可判断x的取值范围．21.“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端．2010年1月25日，“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”．如图，航拍无人机以9m/s的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景．在A处测得“南天一柱”底部C的俯角为37°，继续飞行6s到达B处，这时测得“南天一柱”底部C的俯角为45°，已知“南天一柱”的高为150m，问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】解：设无人机距地面xm，直线AB与南天一柱相交于点D，由题意得∠CAD=37°，∠CBD=45°．在Rt△ACD中，∵tan∠CAD= CDAD =xAD=0.75，∴AD= 43x．在Rt△BCD中，∵tan∠CBD= CDBD =xBD=1，∴BD= x．∵AD-BD=AB，∴43x- x=9×6，∴x=162，∵162>150，∴这架航拍无人机继续向正东飞行安全．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题【解析】【分析】设无人机距地面xm，直线AB与南天一柱相交于点D，根据AD-BD=AB列方程求出x的值，与南天一柱的高度比较即可．22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AB为直径作⊙O，过点C作直线CD交AB的延长线于点D，使∠BCD=∠A．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DE平分∠ADC，且分别交AC,BC于点E,F，当CE=2时，求EF的长．【答案】（1）证明：如图，连接OC∵AB为⊙O的直径∴∠ACB=90°，即∠A+∠ABC= 90°又∵OC=OB∴∠ABC=∠OCB∵∠BCD=∠A∴∠BCD+∠OCB= 90°，即∠OCD= 90°∵OC是圆O的半径∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵DE平分∠ADC∴∠CDE=∠ADE又∵∠BCD=∠A∴∠A+∠ADE=∠BCD+∠CDF，即∠CEF=∠CFE∵∠ACB= 90°，CE=2∴CE=CF=2∴EF= √CE2+CF2=2√2【考点】三角形的外角性质，勾股定理，圆周角定理，切线的判定，角平分线的定义【解析】【分析】（1）如图，连接OC，欲证明CD是⊙O的切线，只需求得∠OCD= 90°；（2）由角平分线及三角形外角性质可得∠A+∠ADE=∠BCD+∠CDF，即∠CEF=∠CFE，根据勾股定理可求得EF的长．23.如图，抛物线y=ax2−6x+c交x轴于A,B两点，交y轴于点C．直线y=−x+5经过点B,C．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P，连接AC,AP，判定△APC的形状，并说明理由；（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：∵直线y=−x+5经过点B,C∴当x=0时，可得y=5，即C的坐标为（0,5）当y=0时，可得x=5，即B的坐标为（5,0）∴{5=a⋅02−6×0+c 0=52a−6×5+c 解得{a=1c=5∴该抛物线的解析式为y=x2−6x+5（2）解：△APC的为直角三角形，理由如下：∵解方程x2−6x+5=0，则x1=1，x2=5∴A（1,0），B（5,0）∵抛物线y=x2−6x+5的对称轴l为x=3∴△APB为等腰三角形∵C的坐标为（5,0）, B的坐标为（5,0）∴OB=CO=5,即∠ABP=45°∴∠ABP=45°，∴∠APB=180°-45°-45°=90°∴∠APC=180°-90°=90°∴△APC的为直角三角形；（3）解：如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E，∵M1A=M1C，∴∠ACM1=∠CAM1∴∠AM1B=2∠ACB∵△ANB为等腰直角三角形.∴AH=BH=NH=2∴N（3，2）设AC的函数解析式为y=kx+b∵C(0，5),A(1，0)∴{5=k⋅0+b0=k+b解得b=5，k=-5 ∴AC的函数解析式为y=-5x+5设EM1的函数解析式为y= 15x+n∵点E的坐标为（12,52）∴52= 15× 12+n，解得：n= 125∴EM1的函数解析式为y= 15x+ 125∵{y=−x+5y=15x+125解得{x=136y=176∴M1的坐标为（136,176）；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2设M2（a，-a+5）则有：3= 136+a2，解得a= 236∴-a+5= 76∴M2的坐标为（236，76）．综上，存在使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍的点，且坐标为M1（136,176），M2（236，76）．【考点】待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，轴对称的性质，等腰直角三角形，二次函数y=ax^2+bx+c的性质【解析】【分析】（1）先根据直线y=−x+5经过点B,C，即可确定B、C的坐标，然后用带定系数法解答即可；（2）先求出A、B的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB为等腰三角形；再结合OB=OC 得到∠ABP=45°，进一步说明∠APB=90°，则∠APC=90°即可判定△APC的形状；（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E；然后说明△ANB为等腰直角三角形，进而确定N的坐标；再求出AC的解析式，进而确定M1E的解析式；然后联立直线BC和M1E的解析式即可求得M1的坐标；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，利用中点坐标公式即可确定点M2的坐标。
2020年湖南省张家界市中考数学试卷-普通用卷
2020年湖南省张家界市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.12020的倒数是()A. −12020B. 12020C. 2020D. −20202.如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的主视图是()A.B.C.D.3.下列计算正确的是()A. 2a+3a=5a2B. (a2)3=a5C. (a+1)2=a2+1D. (a+2)(a−2)=a2−44.下列采用的调查方式中，不合适的是()A. 了解澧水河的水质，采用抽样调查B. 了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查C. 了解张家界市中学生睡眠时间，采用抽样调查D. 了解某班同学的数学成绩，采用全面调查5.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为()A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°6.《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程()A. x+23=x2−9 B. x3+2=x−92C. x3−2=x+92D. x−23=x2+97.已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2−6x+8=0的两根，则该等腰三角形的底边长为()A. 2B. 4C. 8D. 2或48.如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y=−6x 和y=8x的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为()A. 6B. 7C. 8D. 14二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.因式分解：x2−9=______．10.今年夏季我国南方多地连降暴雨，引发了严重的洪涝灾害，给国家和人民的财产造成了严重的损失，为支持地方各级政府组织群众进行抗灾自救，国家发展改革委员会下达了211000000元救灾应急资金支持暴雨洪涝灾区用于抗洪救灾，则211000000元用科学记数法表示为______元．11.如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB=38°，一束光线(与水平线OB平行)从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在OB上的点E处，则∠DEB的度数是______度．12.新学期开学，刚刚组建的七年级(1)班有男生30人，女生24人，欲从该班级中选出一名值日班长，任何人都有同样的机会，则这班选中一名男生当值日班长的概率是______．13.如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到CEFG位置，使得点B落在对角线CF上，则阴影部分的面积是______．14.观察下面的变化规律：2 1×3=1−13，23×5=13−15，25×7=15−17，27×9=17−19，…根据上面的规律计算：21×3+23×5+25×7+⋯+22019×2021=______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）15.计算：|1−√2|−2sin45°+(3.14−π)0−(12)−2．四、解答题（本大题共8小题，共64.0分）16.如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．(1)求证：△DOE≌△BOF；(2)若AB=6，AD=8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．17.先化简，再求值：(4x−1−2x−2x2−2x+1)÷x2−1x−1，其中x=√3．18.为保障学生的身心健康和生命安全，政府和教育职能部门开展“安全知识进校园”宣传活动．为了调查学生对安全知识的掌握情况，从某中学随机抽取40名学生进行了相关知识测试，将成绩(成绩取整数)分为“A：69分及以下，B：70～79分，C：80～89分，D：90～100分”四个等级进行统计，得到如图未画完整的统计图：D组成绩的具体情况是：分数(分)9395979899人数(人)23521根据以上图表提供的信息，解答下列问题：(1)请补全条形统计图；(2)D组成绩的中位数是______分；(3)假设该校有1200名学生都参加此次测试，若成绩80分以上(含80分)为优秀，则该校成绩优秀的学生人数约有多少人？19.今年疫情防控期间，某学校花2000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要．随着疫情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足，消毒液每瓶下降了2元，学校又购买了一批消毒液，花1600元购买到的数量与第一次购买到的数量相等，求第一批购进的消毒液的单价．20.阅读下面的材料：对于实数a，b，我们定义符号min{a,b}的意义为：当a<b时，min{a,b}=a；当a≥b时，min{a,b}=b，如：min{4,−2}=−2，min{5,5}=5．根据上面的材料回答下列问题：(1)min{−1,3}=______；(2)当min{2x−32,x+23}=x+23时，求x的取值范围．21.“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端．2010年1月25日，“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”.如图，航拍无人机以9m/s的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景．在A处测得“南天一柱”底部C的俯角为37°，继续飞行6s 到达B处，这时测得“南天一柱”底部C的俯角为45°，已知“南天一柱”的高为150m，问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AB为直径作⊙O，过点C作直线CD交AB的延长线于点D，使∠BCD=∠A．(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若DE平分∠ADC，且分别交AC，BC于点E，F，当CE=2时，求EF的长．23.如图，抛物线y=ax2−6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C.直线y=−x+5经过点B，C．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由；(3)在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C的倒数是2020，【解析】解：12020故选：C．根据倒数之积等于1可得答案．此题主要考查了倒数，解题的关键是掌握倒数定义．2.【答案】A【解析】解：从正面看有三列，从左到右依次有2、1、1个正方形，图形如下：故选：A．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，解题时注意从正面看得到的图形是主视图．3.【答案】D【解析】解：A、2a+3a=5a，故原式错误；B、(a2)3=a6，故原式错误；C、(a+1)2=a2+2a+1，故原式错误；D、(a+2)(a−2)=a2−4，故原式正确，故选：D．根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式逐一进行判断即可此题考查了合并同类项、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键4.【答案】B【解析】解：了解澧水河的水质，采用普查不太可能做到，所以采用抽样调查，故A合适，了解一批灯泡的使用寿命，不宜采用全面调查，因为调查带有破坏性，故B不合适，了解张家界市中学生睡眠时间，工作量大，宜采用抽样调查，故C合适，了解某班同学的数学成绩，采用全面调查，故D合适．故选：B．根据调查对象的特点，结合普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果接近准确数值，从而可得答案．本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．5.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A=180°−∠BCD=60°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°，故选：C．根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算，得到答案．本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【解答】解：依题意，得：x3+2=x−92．故选：B．7.【答案】A【解析】【分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．【解答】解：x2−6x+8=0(x−4)(x−2)=0解得：x=4或x=2，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为2，故选A．8.【答案】B【解析】解：∵AB//x轴，且△ABC与△ABO共底边AB，∴△ABC的面积等于△ABO的面积，连接OA、OB，如下图所示：则S△ABO=S△PBO+S△PAO=12PO⋅PB+12PO⋅PA=12×|8|+12×|−6|=4+3=7．故选：B．根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知，当C点位于O点时，△ABC的面积与△ABO的面积相等，由此即可求解．本题考查了反比例函数的图形和性质，熟练掌握反比例函数上一点向坐标轴作垂线，与原点构成的矩形的面积为|k|这个结论．9.【答案】(x+3)(x−3)【解析】【分析】本题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=(x+3)(x−3)，故答案为：(x+3)(x−3)．10.【答案】2.11×108【解析】解：211000000的小数点向左移动8位得到2.11，所以211000000用科学记数法表示为2.11×108，故答案为：2.11×108．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．11.【答案】76【解析】解：∵DC//OB，∴∠ADC=∠AOB=38°，由光线的反射定理易得，∠ODE=∠ADC=38°，∠DEB=∠ODE+∠AOB=38°+38°=76°，故答案为：76°．根据平行线的性质可得∠ADC的度数，由光线的反射定理可得∠ODE的度数，再根据三角形外角性质即可求解．本题考查平行线的性质、三角形外角性质和光线的反射定理，掌握入射角=反射角是解题的关键．12.【答案】59【解析】解：全班共有学生30+24=54(人)，其中男生30人，则这班选中一名男生当值日班长的概率是3054=59．故答案为：59．先求出全班的学生数，再根据概率公式进行求解即可．本题考查了简单的概率计算，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P(A)=m n ． 13.【答案】√2−1【解析】解：过E 点作MN//BC 交AB 、CD 于M 、N 点，设AB 与EF 交于点P 点，连接CP ，如下图所示，∵B 在对角线CF 上，∴∠DCE =∠ECF =45°，EC =1，∴△ENC 为等腰直角三角形，∴MB =CN =√22EC =√22， 又BC =AD =CD =CE ，且CP =CP ，△PEC 和△PBC 均为直角三角形，∴Rt △PEC≌Rt △PBC(HL)，∴PB =PE ，又∠PFB =45°， ∴∠FPB =45°=∠MPE ，∴△MPE 为等腰直角三角形，设MP =x ，则EP =BP =√2x ，∵MP +BP =MB ，∴x +√2x =√22，解得x =2−√22，∴BP =√2x =√2−1，∴阴影部分的面积=2S △PBC =2×12×BC ×BP =1×(√2−1)=√2−1．故答案为：√2−1．如图所示，△ENC 、△MPF 为等腰直角三角形，先求出MB =NC =√22，证明△PBC≌△PEC ，进而得到EP =BP ，设MP =x ，则EP =BP =√2x ，解出x ，最后阴影部分面积等于2倍△BPC 面积即可求解．本题考查了正方形的性质及旋转的性质，本题关键是能想到过E 点作BC 的平行线，再证明△ENC、△MPF为等腰直角三角形进而求解线段长．14.【答案】20202021【解析】解：由题干信息可抽象出一般规律：2a⋅b =1a−1b(a,b均为奇数，且b=a+2)．故21×3+23×5+25×7+⋯+22019×2021=1−13+13−15+15−17+⋯+12019−12021=1−12021=20202021．故答案：20202021．本题可通过题干信息总结分式规律，按照该规律展开原式，根据邻项相消求解本题．本题考查规律型：数字的变化类，规律的抽象总结，解答该类型题目需要准确识别题干所给的例子包含何种规律，严格按照该规律求解．15.【答案】解：原式=√2−1−2×√22+1−4=√2−1−√2+1−4=−4．【解析】根据绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂进行运算即可．本题考查了绝对值的性质、特殊角的三角函数值、零次幂、负整数指数幂，熟知以上运算是解题的关键．16.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，DO=BO，∴∠EDO=∠FBO，又∵EF⊥BD，∴∠EOD=∠FOB=90°，在△DOE和△BOF中，{∠EDO=∠FBODO=BO∠EOD=∠FOB=90°，∴△DOE≌△BOF(ASA)；(2)解：∵由(1)可得，ED//BF，ED=BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∵BO=DO，EF⊥BD，∴ED=EB，∴四边形BFDE是菱形，根据AB=6，AD=8，设AE=x，可得BE=ED=8−x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE2=AB2+AE2，即(8−x)2=x2+62，解得：x=74，∴BE=8−74=254，∴四边形BFDE的周长=254×4=25．【解析】本题主要考查了矩形的性质的应用，结合菱形的判定与性质、全等三角形的判定进行求解是解题的关键．(1)根据矩形的性质可得BO=DO，∠EOD=∠FOB，∠EDO=∠FBO，即可证得两个三角形全等；(2)设AE=x，根据已知条件可得BE=8−x，由(1)可得ED=EB，可证得四边形EBFD 是菱形，根据勾股定理可得BE的长，即可求得周长；17.【答案】解：(4x−1−2x−2x2−2x+1)÷x2−1x−1=[4x−1−2(x−1)(x−1)2]÷(x+1)(x−1)x−1 =(4x−1−2x−1)⋅x−1(x+1)(x−1) =2x−1⋅1x+1=2x2−1，当x=√3时，原式=(√3)2−1=1．【解析】括号内后面的分式分子、分母先分解因式，约分后进行分式的减法运算，然后再进行分式的除法运算进行化简，最后把x的值代入进行计算即可．本题考查了分式的混合运算--化简求值，涉及了二次根式的运算、分式的约分、分式的除法运算、减法运算等，熟练掌握各运算法则是解题的关键．18.【答案】解：(1)C的人数为：40−(5+12+13)=40−30=10，补全条形统计图如图所示：(2)97；=690(人)，(3)1200×10+1340即该校成绩优秀的学生人数约有690人．【解析】【分析】本题主要考查的是条形统计图，中位数以及用样本估计总体，解决本题的关键就是明确题意，找出所求问题的条件，仔细计算．(1)用总人数减去A、B、D三组的人数和即可得出C组的人数，然后补全条形统计图即可；(2)D组共有13人，把数据按照从小到大(从大到小)的顺序排列，找到中间第七个数据即可；(3)用1200乘以80分以上的人数所占的比例即可得出人数．【解答】解：(1)见答案；(2)D组共有13名学生，按照从小到大的顺序排列是：93、93、95、95、95、97、97、97、97、97、98、98、99，第七个数据为中位数，是97，故答案为：97；(3)见答案．19.【答案】解：设第一批购进的消毒液的单价为x元，则第二批购进的消毒液的单价为(x−2)元，依题意，得：2000x =1600x−2，解得：x=10，经检验，x=10是原方程的解，且符合题意．答：第一批购进的消毒液的单价为10元．【解析】设第一批购进的消毒液的单价为x元，则第二批购进的消毒液的单价为(x−2)元，根据数量=总价÷单价结合花2000元购买的第一批消毒液和花1600元购买的第二批消毒液数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．20.【答案】解：(1)−1；(2)由题意得：2x−32≥x+233(2x−3)≥2(x+2)6x−9≥2x+44x≥13x≥134，∴x的取值范围为x≥134．【解析】解：(1)由题意得min{−1,3}=−1；故答案为：−1；(2)见答案．(1)比较大小，即可得出答案；(2)根据题意判断出2x−32≥x+23，解不等式即可判断x的取值范围．本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．21.【答案】解：设无人机距地面xm，直线AB与南天一柱相交于点D，由题意得∠CAD=37°，∠CBD=45°．在Rt△ACD中，∵tan∠CAD=CDAD =xAD=0.75，∴AD=43x．在Rt△BCD中，∵tan∠CBD=CDBD =xBD=1，∴BD=x．∵AD−BD=AB，∴43x−x=9×6，∴x=162，∵162>150，∴这架航拍无人机继续向正东飞行安全．【解析】设无人机距地面xm，直线AB与南天一柱相交于点D，根据AD−BD=AB列方程求出x的值，与南天一柱的高度比较即可．本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．22.【答案】(1)证明：如图，连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠A+∠ABC=90°，又∵OC=OB，∴∠ABC=∠OCB，∵∠BCD=∠A，∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，∵OC是圆O的半径，∴CD是⊙O的切线；(2)解：∵DE平分∠ADC，∴∠CDE=∠ADE，又∵∠BCD=∠A，∴∠A+∠ADE=∠BCD+∠CDF，即∠CEF=∠CFE，∵∠ACB=90°，CE=2，∴CE=CF=2，∴EF=√CE2+CF2=2√2．【解析】(1)如图，连接OC ，欲证明CD 是⊙O 的切线，只需求得∠OCD =90°；(2)由角平分线及三角形外角性质可得∠A +∠ADE =∠BCD +∠CDF ，即∠CEF =∠CFE ，根据勾股定理可求得EF 的长．此题主要考查切线的判定方法、角平分线及三角形外角性质和勾股定理，熟练进行推理论证是解题关键．23.【答案】解：(1)∵直线y =−x +5经过点B ，C ，∴当x =0时，可得y =5，即C 的坐标为(0,5)．当y =0时，可得x =5，即B 的坐标为(5,0)．∴{5=a ⋅02−6×0+c 0=52a −6×5+c． 解得{a =1c =5． ∴该抛物线的解析式为y =x 2−6x +5；(2)△APC 的为直角三角形，理由如下：∵解方程x 2−6x +5=0，则x 1=1，x 2=5．∴A(1,0)，B(5,0)．∵抛物线y =x 2−6x +5的对称轴l 为x =3，∴△APB 为等腰三角形．∵C 的坐标为(5,0)，B 的坐标为(5,0)，∴OB =CO =5，即∠ABP =45°．∴∠PAB =45°．∴∠APB =180°−45°−45°=90°．∴∠APC =180°−90°=90°．∴△APC 的为直角三角形；(3)如图：作AN ⊥BC 于N ，NH ⊥x 轴于H ，作AC 的垂直平分线交BC 于M 1，AC 于E ，∵M 1A =M 1C ，∴∠ACM 1=∠CAM 1．∴∠AM 1B =2∠ACB ．∵△ANB 为等腰直角三角形．∴AH =BH =NH =2．∴N(3,2)．设AC 的函数解析式为y =kx +b(k ≠0)．∵C(0,5)，A(1,0)，∴{5=k ⋅0+b 0=k +b． 解得b =5，k =−5．∴AC 的函数解析式为y =−5x +5，设EM 1的函数解析式为y =15x +n ，∵点E 的坐标为(12,52).∴52=15×12+n ， 解得：n =125．∴EM 1的函数解析式为y =15x +125． ∵{y =−x +5y =15x +125． 解得{x =136y =176． ∴M 1的坐标为(136,176)；在直线BC 上作点M 1关于N 点的对称点M 2，设M2(a,−a+5)，则有：3=136+a2，解得a=236．∴−a+5=76．∴M2的坐标为(236,7 6 ).综上，存在使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍的点，且坐标为M1(136,176)，M2(236,76).【解析】(1)先根据直线y=−x+5经过点B，C，即可确定B、C的坐标，然后用带定系数法解答即可；(2)先求出A、B的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB为等腰三角形；再结合OB=OC得到∠ABP=45°，进一步说明∠APB=90°，则∠APC=90°即可判定△APC的形状；(3)作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E；然后说明△ANB为等腰直角三角形，进而确定N的坐标；再求出AC的解析式，进而确定M1E 的解析式；然后联立直线BC和M1E的解析式即可求得M1的坐标；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，利用中点坐标公式即可确定点M2的坐标．本题属于二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数图象、三角形外角等知识，考查知识点较多，综合应用所学知识成为解答本题的关键．。
2020年湖南张家界中考数学试卷(解析版)
2020年湖南张家界中考数学试卷（解析版）一、选择题1.的倒数是（ ）．A. B. C. D.2.如图是由个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的主视图是（ ）．正面A. B. C. D.3.下列计算正确的是（ ）．A. B.C. D.4.下列采用的调查方式中，不合适的是（ ）．A.了解澧水河的水质，采用抽样调查B.了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查C.了解张家界市中学生睡眠时间，采用抽样调查D.了解某班同学的数学成绩，采用全面调查5.如图，四边形为⊙的内接四边形，已知为，则的度数为（ ）．A.B.C.D.6.《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每人共乘一车，最终剩余辆车；若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有人，可列方程（ ）．A.B.C.D.7.已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ）．A.B.C.D.或8.如图所示，过轴正半轴上的任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点，若点是轴上任意一点，连接，，则的面积为（ ）．A.B.C.D.二、填空题9.因式分解： ．10.今年夏季我国南方多地连降暴雨，引发了严重的洪涝灾害，给国家和人民的财产造成了严重的损失，为支持地方各级政府组织群众进行抗灾自救，国家发展改革委员会下达了元救灾应急资金支持暴雨洪涝灾区用于抗洪救灾，则元用科学记数法表示为 元．11.如图，的一边为平面镜，，一束光线（与水平线平行）从点射入经平面镜反射后，反射光线落在上的点处，则的度数是 度．12.新学期开学，刚刚组建的七年级（）班有男生人，女生人，欲从该班级中选出一名值日班长，任何人都有同样的机会，则这班选中一名男生当值日班长的概率是 ．13.如图，正方形的边长为，将其绕顶点按逆时针方向旋转一定角度到位置，使得点落在对角线上，则阴影部分的面积是 ．14.观察下面的变化规律：，，，，根据上面的规律计算：．三、解答题15.计算：．（1）（2）16.如图，在矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交，于点，．求证：≌．若，，连接，，求四边形的周长．17.先化简，再求值：，其中．18.为保障学生的身心健康和生命安全，政府和教育职能部门开展“安全知识进校园”宣传活动．为了调查学生对安全知识的掌握情况，从某中学随机抽取名学生进行了相关知识测试，将成绩（成绩取整数）分为“：分及以下，：分，：分，：分”四个等级进行统计，得到右边未画完整的统计图：（1）（2）（3）人数等级组成绩的具体情况是：分数（分）人数（人）根据以上图表提供的信息，解答下列问题：请补全条形统计图．组成绩的中位数是 分．假设该校有名学生都参加此次测试，若成绩分以上（含分）为优秀，则该校成绩优秀的学生人数约有多少人？19.今年疫情防控期间，某学校花元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要．随着疫情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足，消毒液每瓶下降了元，学校又购买了一批消毒液，花元购买到的数量与第一次购买到的数量相等，求第一批购进的消毒液的单价．（1）（2）20.阅读下面的材料：对于实数，，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如：，．根据上面的材料回答下列问题：．当时，求的取值范围．21.“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端．年月日，“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”．如图，航拍无人机以的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景．在处测得“南天一柱”底部的俯角为，继续飞行到达处，这时测得“南天一柱”底部的俯角为，已知“南天一柱”的高为，问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？（参考数据：，，）C南北天一柱（1）（2）22.如图，在中，，以为直径作⊙，过点作直线交的延长线于点，使．求证：为⊙的切线．若平分，且分别交，于点，，当时，求的长．（1）（2）（3）23.如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．直线经过点，．求抛物线的解析式．抛物线的对称轴与直线相交于点，连接，，判定的形状，并说明理由．在直线上是否存在点，使与直线的夹角等于的倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解析:∵，∴的倒数是．故选．解析:从正面看有三列，从左到右依次有、、个正方形，如选项所示．故选．解析:∵四边形是⊙的内接四边形，∴，由圆周角定理得，．故选．解析:设有人，根据车的辆数不变列出等量关系，每人共乘一车，最终剩余辆车，则车辆数为：，每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，则车辆数为：，C 1.A 2.D 3.B 4.C 5.B 6.∴列出方程为：．故选：．解析:，，解得：或，当等腰三角形的三边为，，时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为，，时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，所以三角形的底边长为．故选．解析:∵轴，且与共底边，∴的面积等于的面积，连接、，如下图所示：则．故选．A 7.B 8.9.解析:．故答案为：．10.解析:的小数点向左移动位得到，所以用科学记数法表示为，故答案为：．11.解析:∵，∴，由光线的反射定理易得，，，故答案为：．12.解析:全班共有学生（人），其中男生人，则这班选中一名男生当值日班长的概率是．故答案为：．13.解析:过点作交、于、点，设与交于点点，连接，如下图所示，∵在对角线上，∴，，∴为等腰直角三角形，∵，又，且，和均为直角三角形，∴≌，∴，又，∴，∴为等腰直角三角形，设，则，∵，∴，解得，∴，∴阴影部分的面积．故答案为：．14.解析:由题干信息可抽象出一般规律：（，均为奇数，且）．（1）（2）故．解析:．解析:∵四边形是矩形，∴，，∴，又∵，∴，在和中，，∴≌．由（）可得，，，∴四边形是平行四边形，在和中，，∴≌，∴，．15.（1）证明见解析．（2）．16.（1）∴四边形是菱形，根据，，设，可得，在中，根据勾股定理可得：，即，解得：，∴，∴四边形的周长．解析:，当时，原式．解析:∵随机抽取名学生，根据条形统计图可以得出：为人，为人，为人，∴的人数为：，补全条形统计图如下图：，．17.（1）画图见解析．（2）（3）人．18.（2）（3）（1）（2）人数等级组共有名学生，按照从小到大的顺序排列：、、、、、、、、、、、、，第七个数据为中位数，是．故答案为：．分以上的是、两组，共有人，所占的比例为：，所以名学生中分以上的人数有： （人），故答案为：人．解析:设第一批购进的消毒液的单价为元，根据题意可得：，解得：，经检验，是原方程的根，答：第一批购进的消毒液的单价为元．解析:由题意得．故答案为：．由题意得：元．19.（1）（2）．20.（1），∴的取值范围为．解析:设无人机距地面，直线与南天一柱相交于点，由题意得，．南北天一柱在中，∵，∴．在中，∵，∴．∵，∴，∴，∵，∴这架航拍无人机继续向正东飞行安全．解析:如图，连接，∵为⊙的直径，安全．21.（1）证明见解析．（2）．22.（2）（1）（2）∴，即，又∵，∴，∵，∴，即，∵是圆的半径，∴是⊙的切线．∵平分，∴，又∵，∴，即，∵，，∴，∴．解析:∵直线经过点，，∴当时，可得，即的坐标为，当时，可得，即的坐标为，∴，解得，∴该抛物线的解析式为．为直角三角形，∵解方程，则，，∴，．∵抛物线的对称轴为，∴为等腰三角形．∵的坐标为，的坐标为，∴，即，（1）．（2）为直角三角形，证明见解析．（3）存在，，．23.（3）∴，，∴，∴为直角三角形．如图：作于，轴于，作的垂直平分线交于，于，∵，∴，∴，∵为等腰直角三角形，∴，∴，设的函数解析式为，∵，，∴，解得，，∴的函数解析式为，设的函数解析式为，∵点的坐标为，∴，解得：，∴的函数解析式为，∵，解得，∴的坐标为，在直线上作点关于点的对称点，设，则有：，解得，∴，∴的坐标为．综上，存在使与直线的夹角等于的倍的点，且坐标为，．。
2020年湖南省张家界市中考数学试题及参考答案(word解析版)
湖南省张家界市2020年普通初中学业水平考试试卷数学（满分100分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．的倒数是（）A．﹣B．C．2020 D．﹣20202．如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的主视图是（）A．B．C．D．3．下列计算正确的是（）A．2a+3a＝5a2B．（a2）3＝a5C．（a+1）2＝a2+1 D．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣44．下列采用的调查方式中，不合适的是（）A．了解澧水河的水质，采用抽样调查B．了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查C．了解张家界市中学生睡眠时间，采用抽样调查D．了解某班同学的数学成绩，采用全面调查5．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD 的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°6．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（）A．﹣9 B．+2＝C．﹣2＝D．+97．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为（）A．2 B．4 C．8 D．2或48．如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y＝﹣和y＝的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为（）A．6 B．7 C．8 D．14二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）9．因式分解：x2﹣9＝．10．今年夏季我国南方多地连降暴雨，引发了严重的洪涝灾害，给国家和人民的财产造成了严重的损失，为支持地方各级政府组织群众进行抗灾自救，国家发展改革委员会下达了211000000元救灾应急资金支持暴雨洪涝灾区用于抗洪救灾，则211000000元用科学记数法表示为元．11．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝38°，一束光线（与水平线OB平行）从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在OB上的点E处，则∠DEB的度数是度．12．新学期开学，刚刚组建的七年级（1）班有男生30人，女生24人，欲从该班级中选出一名值日班长，任何人都有同样的机会，则这班选中一名男生当值日班长的概率是．13．如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到CEFG位置，使得点B落在对角线CF上，则阴影部分的面积是．14．观察下面的变化规律：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，＝﹣，…根据上面的规律计算：＝．三、解答题（本大题共9个小题，满分58分，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明）15．（5分）计算：|1﹣|﹣2sin45°+（3.14﹣π）0﹣（）﹣2．16．（5分）如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．17．（5分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．18．（6分）为保障学生的身心健康和生命安全，政府和教育职能部门开展“安全知识进校园”宣传活动．为了调查学生对安全知识的掌握情况，从某中学随机抽取40名学生进行了相关知识测试，将成绩（成绩取整数）分为“A：69分及以下，B：70～79分，C：80～89分，D：90～100分”四个等级进行统计，得到如图未画完整的统计图：D组成绩的具体情况是：分数（分）93 95 97 98 99人数（人） 2 3 5 2 1 根据以上图表提供的信息，解答下列问题：（1）请补全条形统计图；（2）D组成绩的中位数是分；（3）假设该校有1200名学生都参加此次测试，若成绩80分以上（含80分）为优秀，则该校成绩优秀的学生人数约有多少人？19．（6分）今年疫情防控期间，某学校花2000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要．随着疫情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足，消毒液每瓶下降了2元，学校又购买了一批消毒液，花1600元购买到的数量与第一次购买到的数量相等，求第一批购进的消毒液的单价．20．（6分）阅读下面的材料：对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5．根据上面的材料回答下列问题：（1）min{﹣1，3}＝；（2）当min时，求x的取值范围．21．（7分）“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端．2010年1月25日，“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”．如图，航拍无人机以9m/s的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景．在A处测得“南天一柱”底部C的俯角为37°，继续飞行6s到达B处，这时测得“南天一柱”底部C的俯角为45°，已知“南天一柱”的高为150m，问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为直径作⊙O，过点C作直线CD交AB的延长线于点D，使∠BCD＝∠A．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DE平分∠ADC，且分别交AC，BC于点E，F，当CE＝2时，求EF的长．23．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x+5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由；（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案与解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．的倒数是（）A．﹣B．C．2020 D．﹣2020【知识考点】倒数．【思路分析】根据倒数之积等于1可得答案．【解题过程】解：的倒数是2020，故选：C．【总结归纳】此题主要考查了倒数，解题的关键是掌握倒数定义．2．如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的主视图是（）A．B．C．D．【知识考点】简单组合体的三视图．【思路分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解题过程】解：从正面看有三列，从左到右依次有2、1、1个正方形，图形如下：故选：A．【总结归纳】本题考查了简单组合体的三视图，解题时注意从正面看得到的图形是主视图．3．下列计算正确的是（）A．2a+3a＝5a2B．（a2）3＝a5C．（a+1）2＝a2+1 D．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4【知识考点】整式的混合运算．【思路分析】根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式逐一进行判断即可【解题过程】解：A、2a+3a＝5a，故原式错误；B、（a2）3＝a6，故原式错误；C、（a+1）2＝a2+2a+1，故原式错误；D、（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故原式正确，故选：D．【总结归纳】此题考查了合并同类项、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．4．下列采用的调查方式中，不合适的是（）A．了解澧水河的水质，采用抽样调查B．了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查C．了解张家界市中学生睡眠时间，采用抽样调查D．了解某班同学的数学成绩，采用全面调查【知识考点】全面调查与抽样调查．【思路分析】根据调查对象的特点，结合普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果接近准确数值，从而可得答案．【解题过程】解：了解澧水河的水质，采用普查不太可能做到，所以采用抽样调查，故A合适，了解一批灯泡的使用寿命，不宜采用全面调查，因为调查带有破坏性，故B不合适，了解张家界市中学生睡眠时间，工作量大，宜采用抽样调查，故C合适，了解某班同学的数学成绩，采用全面调查．合适，故D合适，故选：B．【总结归纳】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．5．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°【知识考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质．【思路分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算，得到答案．【解题过程】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，故选：C．【总结归纳】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．6．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（）A．﹣9 B．+2＝C．﹣2＝D．+9【知识考点】由实际问题抽象出一元一次方程．【思路分析】根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【解题过程】解：依题意，得：+2＝．故选：B．【总结归纳】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．7．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为（）A．2 B．4 C．8 D．2或4【知识考点】解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【思路分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．【解题过程】解：x2﹣6x+8＝0（x﹣4）（x﹣2）＝0解得：x＝4或x＝2，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为2，故选：A．【总结归纳】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．8．如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y＝﹣和y＝的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为（）A．6 B．7 C．8 D．14【知识考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．【思路分析】根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知，当C点位于O点时，△ABC的面积与△ABO的面积相等，由此即可求解．【解题过程】解：∵AB∥x轴，且△ABC与△ABO共底边AB，∴△ABC的面积等于△ABO的面积，连接OA、OB，如下图所示：则＝．故选：B．【总结归纳】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数上一点向坐标轴作垂线，与原点构成的矩形的面积为|k|这个结论．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）9．因式分解：x2﹣9＝．【知识考点】因式分解﹣运用公式法．【思路分析】原式利用平方差公式分解即可．【解题过程】解：原式＝（x+3）（x﹣3），故答案为：（x+3）（x﹣3）．【总结归纳】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．10．今年夏季我国南方多地连降暴雨，引发了严重的洪涝灾害，给国家和人民的财产造成了严重的损失，为支持地方各级政府组织群众进行抗灾自救，国家发展改革委员会下达了211000000元救灾应急资金支持暴雨洪涝灾区用于抗洪救灾，则211000000元用科学记数法表示为元．【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解题过程】解：211000000的小数点向左移动8位得到2.11，所以211000000用科学记数法表示为2.11×108，故答案为：2.11×108．【总结归纳】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．11．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝38°，一束光线（与水平线OB平行）从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在OB上的点E处，则∠DEB的度数是度．【知识考点】平行线的性质．【思路分析】根据平行线的性质可得∠ADC的度数，由光线的反射定理可得∠ODE的度数，再根据三角形外角性质即可求解．【解题过程】解：∵DC∥OB，∴∠ADC＝∠AOB＝38°，由光线的反射定理易得，∠ODE＝∠ADC＝38°，∠DEB＝∠ODE+∠AOB＝38°+38°＝76°，故答案为：76°．【总结归纳】本题考查平行线的性质、三角形外角性质和光线的反射定理，掌握入射角＝反射角是解题的关键．12．新学期开学，刚刚组建的七年级（1）班有男生30人，女生24人，欲从该班级中选出一名值日班长，任何人都有同样的机会，则这班选中一名男生当值日班长的概率是．【知识考点】概率公式．【思路分析】先求出全班的学生数，再根据概率公式进行求解即可．【解题过程】解：全班共有学生30+24＝54（人），其中男生30人，则这班选中一名男生当值日班长的概率是＝．故答案为：．【总结归纳】本题考查了简单的概率计算，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．13．如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到CEFG位置，使得点B落在对角线CF上，则阴影部分的面积是．【知识考点】正方形的性质；扇形面积的计算；旋转的性质．【思路分析】如图所示，△ENC、△MPF为等腰直角三角形，先求出MB＝NC＝，证明△PBC ≌△PEC，进而得到EP＝BP，设MP＝x，则EP＝BP＝，解出x，最后阴影部分面积等于2倍△BPC面积即可求解．【解题过程】解：方法一：正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到CEFG位置，使得点B落在对角线CF上，∴EF＝CE＝1，∴CF＝，∴BF＝﹣1，∵∠BFE＝45°，∴阴影部分的面积＝×1×1﹣×（﹣1）2＝﹣1；方法二：∵过E点作MN∥BC交AB、CD于M、N点，设AB与EF交于点P点，连接CP，如下图所示，∵B在对角线CF上，∴∠DCE＝∠ECF＝45°，EC＝1，∴△ENC为等腰直角三角形，∴MB＝CN＝EC＝，又BC＝AD＝CD＝CE，且CP＝CP，△PEC和△PBC均为直角三角形，∴Rt△PEC≌Rt△PBC（HL），∴PB＝PE，又∠PFB＝45°，∴∠FPB＝45°＝∠MPE，∴△MPE为等腰直角三角形，设MP＝x，则EP＝BP＝，∵MP+BP＝MB，∴，解得，∴BP＝，∴阴影部分的面积＝．故答案为：．【总结归纳】本题考查了正方形的性质及旋转的性质，本题关键是能想到过E点作BC的平行线，再证明△ENC、△MPF为等腰直角三角形进而求解线段长．14．观察下面的变化规律：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，＝﹣，…根据上面的规律计算：＝．【知识考点】有理数的混合运算；规律型：数字的变化类．【思路分析】本题可通过题干信息总结分式规律，按照该规律展开原式，根据邻项相消求解本题．【解题过程】解：由题干信息可抽象出一般规律：（a，b均为奇数，且b＝a+2）．故＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．故答案：．【总结归纳】本题考查规律型：数字的变化类，规律的抽象总结，解答该类型题目需要准确识别题干所给的例子包含何种规律，严格按照该规律求解．三、解答题（本大题共9个小题，满分58分．必须写出运算步骤、推理过程或文字说明）15．（5分）计算：|1﹣|﹣2sin45°+（3.14﹣π）0﹣（）﹣2．【知识考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【思路分析】根据绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂进行运算即可．【解题过程】解：原式＝﹣1﹣2×+1﹣4＝﹣1﹣+1﹣4＝﹣4．【总结归纳】本题考查了绝对值的性质、特殊角的三角函数值、零次幂、负整数指数幂，熟知以上运算是解题的关键．16．（5分）如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．【知识考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质．【思路分析】（1）根据矩形的性质可得BO＝DO，∠EOD＝∠FOB，∠EDO＝∠FBO，即可证的两个三角形全等；（2）设AE＝x，根据已知条件可得AE＝8﹣x，由（1）可推得△EBO≌△EDO，可得ED＝EB，可证得四边形EBFD是菱形，根据勾股定理可得BE的长，即可求得周长；【解题过程】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，DO＝BO，∴∠EDO＝∠FBO，又∵EF⊥BD，∴∠EOD＝∠FOB＝90°，在△DOE和△BOF中，，∴△DOE≌△BOF（ASA）；（2）解：∵由（1）可得，ED∥BF，ED＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∵BO＝DO，EF⊥BD，∴ED＝EB，∴四边形BFDE是菱形，根据AB＝6，AD＝8，设AE＝x，可得BE＝ED＝8﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2+AE2，即（8﹣x）2＝x2+62，解得：，∴，∴四边形BFDE的周长＝．【总结归纳】本题主要考查了矩形的性质应用，结合菱形的判定与性质、全等三角形的判定进行求解是解题的关键．17．（5分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．【知识考点】分式的化简求值．【思路分析】括号内后面的分式分子、分母先分解因式，约分后进行分式的减法运算，然后再进行分式的除法运算进行化简，最后把x的值代入进行计算即可．【解题过程】解：（﹣）÷＝＝＝＝，当时，原式＝＝1．【总结归纳】本题考查了分式的混合运算﹣﹣化简求值，涉及了二次根式的运算、分式的约分、分式的除法运算、减法运算等，熟练掌握各运算法则是解题的关键．18．（6分）为保障学生的身心健康和生命安全，政府和教育职能部门开展“安全知识进校园”宣传活动．为了调查学生对安全知识的掌握情况，从某中学随机抽取40名学生进行了相关知识测试，将成绩（成绩取整数）分为“A：69分及以下，B：70～79分，C：80～89分，D：90～100分”四个等级进行统计，得到如图未画完整的统计图：D组成绩的具体情况是：分数（分）93 95 97 98 99人数（人） 2 3 5 2 1 根据以上图表提供的信息，解答下列问题：（1）请补全条形统计图；（2）D组成绩的中位数是分；（3）假设该校有1200名学生都参加此次测试，若成绩80分以上（含80分）为优秀，则该校成绩优秀的学生人数约有多少人？【知识考点】用样本估计总体；条形统计图；加权平均数；中位数．【思路分析】（1）用总人数减去A、B、D三组的人数和即可得出C组的人数，然后补全条形统计图即可；（2）D组共有13人，把数据按照从小到大（从大到小）的顺序排列，找到中间第七个数据即可；（3）用1200乘以80分以上的人数所占的比例即可得出人数．【解题过程】解：（1）C的人数为：40﹣（5+12+13）＝40﹣30＝10，补全条形统计图如右图所示：（2）D组共有13名学生，按照从小到大的顺序排列是：93、93、95、95、95、97、97、97、97、97、98、98、99，第七个数据为中位数，是97，故答案为：97；（3）1200×＝690（人），即该校成绩优秀的学生人数约有690人，故答案为：690人．【总结归纳】本题主要考查的是条形统计图，中位数以及用样本估计总体，解决本题的关键就是明确题意，找出所求问题的条件，仔细计算．19．（6分）今年疫情防控期间，某学校花2000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要．随着疫情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足，消毒液每瓶下降了2元，学校又购买了一批消毒液，花1600元购买到的数量与第一次购买到的数量相等，求第一批购进的消毒液的单价．【知识考点】分式方程的应用．【思路分析】设第一批购进的消毒液的单价为x元，则第二批购进的消毒液的单价为（x﹣2）元，根据数量＝总价÷单价结合花2000元购买的第一批消毒液和花1600元购买的第二批消毒液数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解题过程】解：设第一批购进的消毒液的单价为x元，则第二批购进的消毒液的单价为（x﹣2）元，依题意，得：＝，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意．答：第一批购进的消毒液的单价为10元．【总结归纳】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．20．（6分）阅读下面的材料：对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5．根据上面的材料回答下列问题：（1）min{﹣1，3}＝；（2）当min时，求x的取值范围．【知识考点】实数大小比较；实数的运算；解一元一次不等式．【思路分析】（1）比较大小，即可得出答案；（2）根据题意判断出，解不等式即可判断x的取值范围．【解题过程】解：（1）由题意得min{﹣1，3}＝﹣1；故答案为：﹣1；（2）由题意得：3（2x﹣3）≥2（x+2）6x﹣9≥2x+44x≥13x≥，∴x的取值范围为x≥．【总结归纳】本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．21．（7分）“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端．2010年1月25日，“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”．如图，航拍无人机以9m/s的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景．在A处测得“南天一柱”底部C的俯角为37°，继续飞行6s到达B处，这时测得“南天一柱”底部C的俯角为45°，已知“南天一柱”的高为150m，问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【知识考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【思路分析】设无人机距地面xm，直线AB与南天一柱相交于点D，根据AD﹣BD＝AB列方程求出x的值，与南天一柱的高度比较即可．【解题过程】解：设无人机距地面xm，直线AB与南天一柱相交于点D，由题意得∠CAD＝37°，∠CBD＝45°．在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝，∴AD＝．在Rt△BCD中，∵tan∠CBD＝，∴BD＝x．∵AD﹣BD＝AB，∴﹣x＝9×6，∴x＝162，∵162＞150，∴这架航拍无人机继续向正东飞行安全．【总结归纳】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为直径作⊙O，过点C作直线CD交AB 的延长线于点D，使∠BCD＝∠A．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DE平分∠ADC，且分别交AC，BC于点E，F，当CE＝2时，求EF的长．【知识考点】圆周角定理；切线的判定与性质．【思路分析】（1）如图，连接OC，欲证明CD是⊙O的切线，只需求得∠OCD＝90°；（2）由角平分线及三角形外角性质可得∠A+∠ADE＝∠BCD+∠CDF，即∠CEF＝∠CFE，根据勾股定理可求得EF的长．【解题过程】（1）证明：如图，连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即∠A+∠ABC＝90°，又∵OC＝OB，∴∠ABC＝∠OCB，∵∠BCD＝∠A，∴∠BCD+∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，∵OC是圆O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠ADE，又∵∠BCD＝∠A，∴∠A+∠ADE＝∠BCD+∠CDF，即∠CEF＝∠CFE，∵∠ACB＝90°，CE＝2，∴CE＝CF＝2，∴EF＝．【总结归纳】此题主要考查切线的判定方法、角平分线及三角形外角性质和勾股定理，熟练进行推理论证是解题关键．23．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x+5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由；（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）先根据直线y＝﹣x+5经过点B，C，即可确定B、C的坐标，然后用带定系数法解答即可；（2）先求出A、B的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB为等腰三角形；再结合OB＝OC得到∠ABP＝45°，进一步说明∠APB＝90°，则∠APC＝90°即可判定△APC的形状；（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E；然后说明△ANB为等腰直角三角形，进而确定N的坐标；再求出AC的解析式，进而确定M1E的解析式；然后联立直线BC和M1E的解析式即可求得M1的坐标；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，利用中点坐标公式即可确定点M2的坐标．【解题过程】解：（1）∵直线y＝﹣x+5经过点B，C，∴当x＝0时，可得y＝5，即C的坐标为（0，5）．当y＝0时，可得x＝5，即B的坐标为（5，0）．∴．解得．∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5；（2）△APC为直角三角形，理由如下：∵解方程x2﹣6x+5＝0，则x1＝1，x2＝5．∴A（1，0），B（5，0）．∵抛物线y＝x2﹣6x+5的对称轴l为x＝3，∴△APB为等腰三角形．∵C的坐标为（0，5），B的坐标为（5，0），∴OB＝CO＝5，即∠ABP＝45°．∴∠ABP＝45°．∴∠APB＝180°﹣45°﹣45°＝90°．∴∠APC＝180°﹣90°＝90°．∴△APC为直角三角形；（3）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E，∵M1A＝M1C，∴∠ACM1＝∠CAM1．∴∠AM1B＝2∠ACB．∵△ANB为等腰直角三角形．∴AH＝BH＝NH＝2．∴N（3，2）．设AC的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）．∵C（0，5），A（1，0），∴．解得b＝5，k＝﹣5．∴AC的函数解析式为y＝﹣5x+5，设EM1的函数解析式为y＝x+n，∵点E的坐标为（）．∴＝×+n，解得：n＝．∴EM1的函数解析式为y＝x+．∵．解得．∴M1的坐标为（）；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，设M2（a，﹣a+5），则有：3＝，解得a＝．∴﹣a+5＝．∴M2的坐标为（，）．综上，存在使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）．【总结归纳】本题属于二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数图象、三角形外角等知识，考查知识点较多，综合应用所学知识成为解答本题的关键．。
2020年湖南省张家界市中考数学试卷-解析版
2020年湖南省张家界市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.12020的倒数是()A. −12020B. 12020C. 2020D. −20202.如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的主视图是()A.B.C.D.3.下列计算正确的是()A. 2a+3a=5a2B. (a2)3=a5C. (a+1)2=a2+1D. (a+2)(a−2)=a2−44.下列采用的调查方式中，不合适的是()A. 了解澧水河的水质，采用抽样调查B. 了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查C. 了解张家界市中学生睡眠时间，采用抽样调查D. 了解某班同学的数学成绩，采用全面调查5.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为()A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°6.《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程()A. x+23=x2−9 B. x3+2=x−92C. x3−2=x+92D. x−23=x2+97.已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2−6x+8=0的两根，则该等腰三角形的底边长为()A. 2B. 4C. 8D. 2或48.如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y=−6x 和y=8x的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为()A. 6B. 7C. 8D. 14二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.因式分解：x2−9=______．10.今年夏季我国南方多地连降暴雨，引发了严重的洪涝灾害，给国家和人民的财产造成了严重的损失，为支持地方各级政府组织群众进行抗灾自救，国家发展改革委员会下达了211000000元救灾应急资金支持暴雨洪涝灾区用于抗洪救灾，则211000000元用科学记数法表示为______元．11.如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB=38°，一束光线(与水平线OB平行)从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在OB上的点E处，则∠DEB的度数是______度．12.新学期开学，刚刚组建的七年级(1)班有男生30人，女生24人，欲从该班级中选出一名值日班长，任何人都有同样的机会，则这班选中一名男生当值日班长的概率是______．13.如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到CEFG位置，使得点B落在对角线CF上，则阴影部分的面积是______．14.观察下面的变化规律：2 1×3=1−13，23×5=13−15，25×7=15−17，27×9=17−19，…根据上面的规律计算：21×3+23×5+25×7+⋯+22019×2021=______．三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）15.计算：|1−√2|−2sin45°+(3.14−π)0−(12)−2．16.先化简，再求值：(4x−1−2x−2x2−2x+1)÷x2−1x−1，其中x=√3．四、解答题（本大题共7小题，共56.0分）17.如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．(1)求证：△DOE≌△BOF；(2)若AB=6，AD=8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．18.为保障学生的身心健康和生命安全，政府和教育职能部门开展“安全知识进校园”宣传活动．为了调查学生对安全知识的掌握情况，从某中学随机抽取40名学生进行了相关知识测试，将成绩(成绩取整数)分为“A：69分及以下，B：70～79分，C：80～89分，D：90～100分”四个等级进行统计，得到如图未画完整的统计图：分数(分)9395979899人数(人)23521根据以上图表提供的信息，解答下列问题：(1)请补全条形统计图；(2)D组成绩的中位数是______分；(3)假设该校有1200名学生都参加此次测试，若成绩80分以上(含80分)为优秀，则该校成绩优秀的学生人数约有多少人？19.今年疫情防控期间，某学校花2000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要．随着疫情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足，消毒液每瓶下降了2元，学校又购买了一批消毒液，花1600元购买到的数量与第一次购买到的数量相等，求第一批购进的消毒液的单价．20.阅读下面的材料：对于实数a，b，我们定义符号min{a,b}的意义为：当a<b时，min{a,b}=a；当a≥b时，min{a,b}=b，如：min{4,−2}=−2，min{5,5}=5．根据上面的材料回答下列问题：(1)min{−1,3}=______；(2)当min{2x−32,x+23}=x+23时，求x的取值范围．21.“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端．2010年1月25日，“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”.如图，航拍无人机以9m/s的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景．在A处测得“南天一柱”底部C的俯角为37°，继续飞行6s 到达B处，这时测得“南天一柱”底部C的俯角为45°，已知“南天一柱”的高为150m，问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AB为直径作⊙O，过点C作直线CD交AB的延长线于点D，使∠BCD=∠A．(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若DE平分∠ADC，且分别交AC，BC于点E，F，当CE=2时，求EF的长．23.如图，抛物线y=ax2−6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C.直线y=−x+5经过点B，C．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由；(3)在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C的倒数是2020，【解析】解：12020故选：C．根据倒数之积等于1可得答案．此题主要考查了倒数，解题的关键是掌握倒数定义．2.【答案】A【解析】解：从正面看有三列，从左到右依次有2、1、1个正方形，图形如下：故选：A．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，解题时注意从正面看得到的图形是主视图．3.【答案】D【解析】解：A、2a+3a=5a，故原式错误；B、(a2)3=a6，故原式错误；C、(a+1)2=a2+2a+1，故原式错误；D、(a+2)(a−2)=a2−4，故原式正确，故选：D．根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式逐一进行判断即可此题考查了合并同类项、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键4.【答案】B【解析】解：了解澧水河的水质，采用普查不太可能做到，所以采用抽样调查，故A合适，了解一批灯泡的使用寿命，不宜采用全面调查，因为调查带有破坏性，故B不合适，了解张家界市中学生睡眠时间，工作量大，宜采用抽样调查，故C合适，了解某班同学的数学成绩，采用全面调查．合适，故D合适，故选：B．根据调查对象的特点，结合普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果接近准确数值，从而可得答案．本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．5.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A=180°−∠BCD=60°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°，故选：C．根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算，得到答案．本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：依题意，得：x3+2=x−92．故选：B．根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．7.【答案】A【解析】解：x2−6x+8=0(x−4)(x−2)=0解得：x=4或x=2，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为2，故选：A．解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．8.【答案】B【解析】解：∵AB//x轴，且△ABC与△ABO共底边AB，∴△ABC的面积等于△ABO的面积，连接OA、OB，如下图所示：则S△ABO=S△PBO+S△PAO=12PO⋅PB+12PO⋅PA=12×|8|+12×|−6|=4+3=7．故选：B．根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知，当C点位于O点时，△ABC的面积与△ABO的面积相等，由此即可求解．本题考查了反比例函数的图形和性质，熟练掌握反比例函数上一点向坐标轴作垂线，与原点构成的矩形的面积为|k|这个结论．9.【答案】(x+3)(x−3)【解析】【分析】本题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=(x+3)(x−3)，故答案为：(x+3)(x−3)．10.【答案】2.11×108【解析】解：211000000的小数点向左移动8位得到2.11，所以211000000用科学记数法表示为2.11×108，故答案为：2.11×108．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．11.【答案】76【解析】解：∵DC//OB，∴∠ADC=∠AOB=38°，由光线的反射定理易得，∠ODE=∠ACD=38°，∠DEB=∠ODE+∠AOB=38°+38°=76°，故答案为：76°．根据平行线的性质可得∠ADC的度数，由光线的反射定理可得∠ODE的度数，再根据三角形外角性质即可求解．本题考查平行线的性质、三角形外角性质和光线的反射定理，掌握入射角=反射角是解题的关键．12.【答案】59【解析】解：全班共有学生30+24=54(人)，其中男生30人，则这班选中一名男生当值日班长的概率是3054=59．故答案为：59．先求出全班的学生数，再根据概率公式进行求解即可．本题考查了简单的概率计算，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．13.【答案】√2−1【解析】解：过E点作MN//BC交AB、CD于M、N点，设AB与EF交于点P点，连接CP，如下图所示，∵B在对角线CF上，∴∠DCE =∠ECF =45°，EC =1， ∴△ENC 为等腰直角三角形， ∴MB =CN =√22EC =√22， 又BC =AD =CD =CE ，且CP =CP ，△PEC 和△PBC 均为直角三角形， ∴Rt △PEC≌Rt △PBC(HL)， ∴PB =PE ， 又∠PFB =45°，∴∠FPB =45°=∠MPE ， ∴△MPE 为等腰直角三角形， 设MP =x ，则EP =BP =√2x ， ∵MP +BP =MB ， ∴x +√2x =√22，解得x =2−√22，∴BP =√2x =√2−1，∴阴影部分的面积=2S △PBC =2×12×BC ×BP =1×(√2−1)=√2−1． 故答案为：√2−1．如图所示，△ENC 、△MPF 为等腰直角三角形，先求出MB =NC =√22，证明△PBC≌△PEC ，进而得到EP =BP ，设MP =x ，则EP =BP =√2x ，解出x ，最后阴影部分面积等于2倍△BPC 面积即可求解．本题考查了正方形的性质及旋转的性质，本题关键是能想到过E 点作BC 的平行线，再证明△ENC 、△MPF 为等腰直角三角形进而求解线段长．14.【答案】20202021【解析】解：由题干信息可抽象出一般规律：2a⋅b =1a −1b (a,b 均为奇数，且b =a +2)． 故21×3+23×5+25×7+⋯+22019×2021=1−13+13−15+15−17+⋯+12019−12021 =1−12021=20202021． 故答案：20202021．本题可通过题干信息总结分式规律，按照该规律展开原式，根据邻项相消求解本题．本题考查规律型：数字的变化类，规律的抽象总结，解答该类型题目需要准确识别题干所给的例子包含何种规律，严格按照该规律求解．15.【答案】解：原式=√2−1−2×√22+1−4 =√2−1−√2+1−4=−4．【解析】根据绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂进行运算即可．本题考查了绝对值的性质、特殊角的三角函数值、零次幂、负整数指数幂，熟知以上运算是解题的关键．16.【答案】解：(4x−1−2x−2x2−2x+1)÷x2−1x−1=[4x−1−2(x−1)(x−1)2]÷(x+1)(x−1)x−1 =(4−2)⋅x−1=2x−1⋅1x+1=2x2−1，当x=√3时，原式=(√3)2−1=1．【解析】括号内后面的分式分子、分母先分解因式，约分后进行分式的减法运算，然后再进行分式的除法运算进行化简，最后把x的值代入进行计算即可．本题考查了分式的混合运算--化简求值，涉及了二次根式的运算、分式的约分、分式的除法运算、减法运算等，熟练掌握各运算法则是解题的关键．17.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，DO=BO，∴∠EDO=∠FBO，又∵EF⊥BD，∴∠EOD=∠FOB=90°，在△DOE和△BOF中，{∠EDO=∠FBODO=BO∠EOD=∠FOB=90°，∴△DOE≌△BOF(ASA)；(2)解：∵由(1)可得，ED//BF，ED=BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∵BO=DO，EF⊥BD，∴ED=EB，∴四边形BFDE是菱形，根据AB=6，AD=8，设AE=x，可得BE=ED=8−x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE2=AB2+AE2，即(8−x)2=x2+62，解得：x=74，∴BE=8−74=254，∴四边形BFDE的周长=254×4=25．【解析】(1)根据矩形的性质可得BO=DO，∠EOD=∠FOB，∠EDO=∠FBO，即可证的两个三角形全等；(2)设AE=x，根据已知条件可得AE=8−x，由(1)可推得△EBO≌△EDO，可得ED= EB，可证得四边形EBFD是菱形，根据勾股定理可得BE的长，即可求得周长；本题主要考查了矩形的性质应用，结合菱形的判定与性质、全等三角形的判定进行求解是解题的关键．18.【答案】97【解析】解：(1)C的人数为：40−(5+12+13)=40−30=10，补全条形统计图如右图所示：(2)D组共有13名学生，按照从小到大的顺序排列是：93、93、95、95、95、97、97、97、97、97、98、98、99，第七个数据为中位数，是97，故答案为：97；(3)1200×10+1340=690(人)，即该校成绩优秀的学生人数约有690人，故答案为：690人．(1)用总人数减去A、B、D三组的人数和即可得出C组的人数，然后补全条形统计图即可；(2)D组共有13人，把数据按照从小到大(从大到小)的顺序排列，找到中间第七个数据即可；(3)用1200乘以80分以上的人数所占的比例即可得出人数．本题主要考查的是条形统计图，中位数以及用样本估计总体，解决本题的关键就是明确题意，找出所求问题的条件，仔细计算．19.【答案】解：设第一批购进的消毒液的单价为x元，则第二批购进的消毒液的单价为(x−2)元，依题意，得：2000x =1600x−2，解得：x=10，经检验，x=10是原方程的解，且符合题意．答：第一批购进的消毒液的单价为10元．【解析】设第一批购进的消毒液的单价为x元，则第二批购进的消毒液的单价为(x−2)元，根据数量=总价÷单价结合花2000元购买的第一批消毒液和花1600元购买的第二批消毒液数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．20.【答案】−1【解析】解：(1)由题意得min{−1,3}=−1；故答案为：−1；(2)由题意得：2x−32≥x+233(2x−3)≥2(x+2)6x−9≥2x+44x≥13x≥134，∴x的取值范围为x≥134．(1)比较大小，即可得出答案；(2)根据题意判断出2x−32≥x+23，解不等式即可判断x的取值范围．本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．21.【答案】解：设无人机距地面xm，直线AB与南天一柱相交于点D，由题意得∠CAD=37°，∠CBD=45°．在Rt△ACD中，∵tan∠CAD=CDAD =xAD=0.75，∴AD=43x．在Rt△BCD中，∵tan∠CBD=CDBD =xBD=1，∴BD=x．∵AD−BD=AB，∴43x−x=9×6，∴x=162，∵162>150，∴这架航拍无人机继续向正东飞行安全．【解析】设无人机距地面xm，直线AB与南天一柱相交于点D，根据AD−BD=AB列方程求出x的值，与南天一柱的高度比较即可．本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．22.【答案】(1)证明：如图，连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠A+∠ABC=90°，又∵OC=OB，∴∠ABC=∠OCB，∵∠BCD=∠A，∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，∵OC是圆O的半径，∴CD是⊙O的切线；(2)解：∵DE平分∠ADC，∴∠CDE=∠ADE，又∵∠BCD=∠A，∴∠A+∠ADE=∠BCD+∠CDF，即∠CEF=∠CFE，∵∠ACB=90°，CE=2，∴CE=CF=2，∴EF=√CE2+CF2=2√2．【解析】(1)如图，连接OC，欲证明CD是⊙O的切线，只需求得∠OCD=90°；(2)由角平分线及三角形外角性质可得∠A+∠ADE=∠BCD+∠CDF，即∠CEF=∠CFE，根据勾股定理可求得EF的长．此题主要考查切线的判定方法、角平分线及三角形外角性质和勾股定理，熟练进行推理论证是解题关键．23.【答案】解：(1)∵直线y =−x +5经过点B ，C ，∴当x =0时，可得y =5，即C 的坐标为(0,5)．当y =0时，可得x =5，即B 的坐标为(5,0)．∴{5=a ⋅02−6×0+c 0=52a −6×5+c． 解得{a =1c =5． ∴该抛物线的解析式为y =x 2−6x +5；(2)△APC 的为直角三角形，理由如下：∵解方程x 2−6x +5=0，则x 1=1，x 2=5．∴A(1,0)，B(5,0)．∵抛物线y =x 2−6x +5的对称轴l 为x =3，∴△APB 为等腰三角形．∵C 的坐标为(5,0)，B 的坐标为(5,0)，∴OB =CO =5，即∠ABP =45°．∴∠ABP =45°．∴∠APB =180°−45°−45°=90°．∴∠APC =180°−90°=90°．∴△APC 的为直角三角形；(3)如图：作AN ⊥BC 于N ，NH ⊥x 轴于H ，作AC 的垂直平分线交BC 于M 1，AC 于E ，∵M 1A =M 1C ，∴∠ACM 1=∠CAM 1．∴∠AM 1B =2∠ACB ．∵△ANB 为等腰直角三角形．∴AH =BH =NH =2．∴N(3,2)．设AC 的函数解析式为y =kx +b(k ≠0)．∵C(0,5)，A(1,0)，∴{5=k ⋅0+b 0=k +b． 解得b =5，k =−5．∴AC 的函数解析式为y =−5x +5，设EM 1的函数解析式为y =15x +n ，∵点E 的坐标为(12,52).∴52=15×12+n ， 解得：n =125．∴EM 1的函数解析式为y =15x +125． ∵{y =−x +5y =15x +125． 解得{x =136y =176． ∴M 1的坐标为(136,176)；在直线BC 上作点M 1关于N 点的对称点M 2，设M 2(a,−a +5)，则有：3=136+a 2，解得a =236． ∴−a +5=76．∴M 2的坐标为(236,76).综上，存在使AM 与直线BC 的夹角等于∠ACB 的2倍的点，且坐标为M 1(136,176)，M 2(236,76). 【解析】(1)先根据直线y =−x +5经过点B ，C ，即可确定B 、C 的坐标，然后用带定系数法解答即可；(2)先求出A 、B 的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB 为等腰三角形；再结合OB =OC 得到∠ABP =45°，进一步说明∠APB =90°，则∠APC =90°即可判定△APC 的形状；(3)作AN ⊥BC 于N ，NH ⊥x 轴于H ，作AC 的垂直平分线交BC 于M 1，AC 于E ；然后说明△ANB 为等腰直角三角形，进而确定N 的坐标；再求出AC 的解析式，进而确定M 1E 的解析式；然后联立直线BC 和M 1E 的解析式即可求得M 1的坐标；在直线BC 上作点M 1关于N 点的对称点M 2，利用中点坐标公式即可确定点M 2的坐标．本题属于二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数图象、三角形外角等知识，考查知识点较多，综合应用所学知识成为解答本题的关键．。
2020年湖南省张家界市中考数学试题(含答案)
2020年湖南省张家界市中考数学试题（含答案）一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．的倒数是（）A．﹣B．C．2020D．﹣20202．如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的主视图是（）A．B．C．D．3．下列计算正确的是（）A．2a+3a＝5a2B．（a2）3＝a5C．（a+1）2＝a2+1D．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣44．下列采用的调查方式中，不合适的是（）A．了解澧水河的水质，采用抽样调查B．了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查C．了解张家界市中学生睡眠时间，采用抽样调查D．了解某班同学的数学成绩，采用全面调查5．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°6．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（）A．﹣9B．+2＝C．﹣2＝D．+97．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为（）A．2B．4C．8D．2或48．如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y＝﹣和y＝的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为（）A．6B．7C．8D．14二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）9．因式分解：x2﹣9＝．10．今年夏季我国南方多地连降暴雨，引发了严重的洪涝灾害，给国家和人民的财产造成了严重的损失，为支持地方各级政府组织群众进行抗灾自救，国家发展改革委员会下达了211000000元救灾应急资金支持暴雨洪涝灾区用于抗洪救灾，则211000000元用科学记数法表示为元．11．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝38°，一束光线（与水平线OB平行）从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在OB上的点E处，则∠DEB的度数是度．12．新学期开学，刚刚组建的七年级（1）班有男生30人，女生24人，欲从该班级中选出一名值日班长，任何人都有同样的机会，则这班选中一名男生当值日班长的概率是．13．如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到CEFG位置，使得点B落在对角线CF上，则阴影部分的面积是．14．观察下面的变化规律：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，＝﹣，…根据上面的规律计算：＝．三、解答题（本大题共9个小题，满分0分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效）15．计算：|1﹣|﹣2sin45°+（3.14﹣π）0﹣（）﹣2．16．如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．17．先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．18．为保障学生的身心健康和生命安全，政府和教育职能部门开展“安全知识进校园”宣传活动．为了调查学生对安全知识的掌握情况，从某中学随机抽取40名学生进行了相关知识测试，将成绩（成绩取整数）分为“A：69分及以下，B：70～79分，C：80～89分，D：90～100分”四个等级进行统计，得到如图未画完整的统计图：D组成绩的具体情况是：分数（分）9395979899人数（人）23521根据以上图表提供的信息，解答下列问题：（1）请补全条形统计图；（2）D组成绩的中位数是分；（3）假设该校有1200名学生都参加此次测试，若成绩80分以上（含80分）为优秀，则该校成绩优秀的学生人数约有多少人？19．今年疫情防控期间，某学校花2000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要．随着疫情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足，消毒液每瓶下降了2元，学校又购买了一批消毒液，花1600元购买到的数量与第一次购买到的数量相等，求第一批购进的消毒液的单价．20．阅读下面的材料：对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5．根据上面的材料回答下列问题：（1）min{﹣1，3}＝；（2）当min时，求x的取值范围．21．“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端．2010年1月25日，“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”．如图，航拍无人机以9m/s的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景．在A处测得“南天一柱”底部C的俯角为37°，继续飞行6s 到达B处，这时测得“南天一柱”底部C的俯角为45°，已知“南天一柱”的高为150m，问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为直径作⊙O，过点C作直线CD交AB的延长线于点D，使∠BCD＝∠A．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DE平分∠ADC，且分别交AC，BC于点E，F，当CE＝2时，求EF的长．23．如图，抛物线y＝ax2﹣6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x+5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由；（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2020年湖南省张家界市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：的倒数是2020，故选：C．2．【解答】解：从正面看有三列，从左到右依次有2、1、1个正方形，图形如下：故选：A．3．【解答】解：A、2a+3a＝5a，故原式错误；B、（a2）3＝a6，故原式错误；C、（a+1）2＝a2+2a+1，故原式错误；D、（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故原式正确，故选：D．4．【解答】解：了解澧水河的水质，采用普查不太可能做到，所以采用抽样调查，故A合适，了解一批灯泡的使用寿命，不宜采用全面调查，因为调查带有破坏性，故B不合适，了解张家界市中学生睡眠时间，工作量大，宜采用抽样调查，故C合适，了解某班同学的数学成绩，采用全面调查．合适，故D合适，故选：B．5．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，故选：C．6．【解答】解：依题意，得：+2＝．故选：B．7．【解答】解：x2﹣6x+8＝0（x﹣4）（x﹣2）＝0解得：x＝4或x＝2，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为2，故选：A．8．【解答】解：∵AB∥x轴，且△ABC与△ABO共底边AB，∴△ABC的面积等于△ABO的面积，连接OA、OB，如下图所示：则＝．故选：B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）9．【解答】解：原式＝（x+3）（x﹣3），故答案为：（x+3）（x﹣3）．10．【解答】解：211000000的小数点向左移动8位得到2.11，所以211000000用科学记数法表示为2.11×108，故答案为：2.11×108．11．【解答】解：∵DC∥OB，∴∠ADC＝∠AOB＝38°，由光线的反射定理易得，∠ODE＝∠ACD＝38°，∠DEB＝∠ODE+∠AOB＝38°+38°＝76°，故答案为：76°．12．【解答】解：全班共有学生30+24＝54（人），其中男生30人，则这班选中一名男生当值日班长的概率是＝．故答案为：．13．【解答】解：过E点作MN∥BC交AB、CD于M、N点，设AB与EF交于点P点，连接CP，如下图所示，∵B在对角线CF上，∴∠DCE＝∠ECF＝45°，EC＝1，∴△ENC为等腰直角三角形，∴MB＝CN＝EC＝，又BC＝AD＝CD＝CE，且CP＝CP，△PEC和△PBC均为直角三角形，∴Rt△PEC≌Rt△PBC（HL），∴PB＝PE，又∠PFB＝45°，∴∠FPB＝45°＝∠MPE，∴△MPE为等腰直角三角形，设MP＝x，则EP＝BP＝，∵MP+BP＝MB，∴，解得，∴BP＝，∴阴影部分的面积＝．故答案为：．14．【解答】解：由题干信息可抽象出一般规律：（a，b均为奇数，且b＝a+2）．故＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．故答案：．三、解答题（本大题共9个小题，满分0分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效）15．【解答】解：原式＝﹣1﹣2×+1﹣4＝﹣1﹣+1﹣4＝﹣4．16．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，DO＝BO，∴∠EDO＝∠FBO，又∵EF⊥BD，∴∠EOD＝∠FOB＝90°，在△DOE和△BOF中，，∴△DOE≌△BOF（ASA）；（2）解：∵由（1）可得，ED∥BF，ED＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∵BO＝DO，EF⊥BD，∴ED＝EB，∴四边形BFDE是菱形，根据AB＝6，AD＝8，设AE＝x，可得BE＝ED＝8﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2+AE2，即（8﹣x）2＝x2+62，解得：，∴，∴四边形BFDE的周长＝．17．【解答】解：（﹣）÷＝＝＝＝，当时，原式＝＝1．18．【解答】解：（1）C的人数为：40﹣（5+12+13）＝40﹣30＝10，补全条形统计图如右图所示：（2）D组共有13名学生，按照从小到大的顺序排列是：93、93、95、95、95、97、97、97、97、97、98、98、99，第七个数据为中位数，是97，故答案为：97；（3）1200×＝690（人），即该校成绩优秀的学生人数约有690人，故答案为：690人．19．【解答】解：设第一批购进的消毒液的单价为x元，则第二批购进的消毒液的单价为（x﹣2）元，依题意，得：＝，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意．答：第一批购进的消毒液的单价为10元．20．【解答】解：（1）由题意得min{﹣1，3}＝﹣1；故答案为：﹣1；（2）由题意得：3（2x﹣3）≥2（x+2）6x﹣9≥2x+44x≥13x≥，∴x的取值范围为x≥．21．【解答】解：设无人机距地面xm，直线AB与南天一柱相交于点D，由题意得∠CAD＝37°，∠CBD＝45°．在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝，∴AD＝．在Rt△BCD中，∵tan∠CBD＝，∴BD＝x．∵AD﹣BD＝AB，∴﹣x＝9×6，∴x＝162，∵162＞150，∴这架航拍无人机继续向正东飞行安全．22．【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即∠A+∠ABC＝90°，又∵OC＝OB，∴∠ABC＝∠OCB，∵∠BCD＝∠A，∴∠BCD+∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，∵OC是圆O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠ADE，又∵∠BCD＝∠A，∴∠A+∠ADE＝∠BCD+∠CDF，即∠CEF＝∠CFE，∵∠ACB＝90°，CE＝2，∴CE＝CF＝2，∴EF＝．23．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+5经过点B，C，∴当x＝0时，可得y＝5，即C的坐标为（0，5）．当y＝0时，可得x＝5，即B的坐标为（5，0）．∴．解得．∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5；（2）△APC的为直角三角形，理由如下：∵解方程x2﹣6x+5＝0，则x1＝1，x2＝5．∴A（1，0），B（5，0）．∵抛物线y＝x2﹣6x+5的对称轴l为x＝3，∴△APB为等腰三角形．∵C的坐标为（5，0），B的坐标为（5，0），∴OB＝CO＝5，即∠ABP＝45°．∴∠ABP＝45°．∴∠APB＝180°﹣45°﹣45°＝90°．∴∠APC＝180°﹣90°＝90°．∴△APC的为直角三角形；（3）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E，∵M1A＝M1C，∴∠ACM1＝∠CAM1．∴∠AM1B＝2∠ACB．∵△ANB为等腰直角三角形．∴AH＝BH＝NH＝2．∴N（3，2）．设AC的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）．∵C（0，5），A（1，0），∴．解得b＝5，k＝﹣5．∴AC的函数解析式为y＝﹣5x+5，设EM1的函数解析式为y＝x+n，∵点E的坐标为（）．∴＝×+n，解得：n＝．∴EM1的函数解析式为y＝x+．∵．解得．∴M1的坐标为（）；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，设M2（a，﹣a+5），则有：3＝，解得a＝．∴﹣a+5＝．∴M2的坐标为（，）．综上，存在使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）．。