新版第4章-快速傅里叶变换(-F-F-T)-课件.ppt
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《快速傅里叶变换》课件
FFT算法的出现极大地推动了数字信号 处理技术的发展和应用。
FFT的历史背景
01
1960年代，Cooley和Tukey提 出了基于“分治”思想的FFT 算法，为快速傅里叶变换的实 用化奠定了基础。
02
随后，出现了多种FFT算法的 变种和优化，如Radix-2、 Radix-4等。
03
随着计算机技术的发展，FFT 算法在硬件实现上也得到了广 泛应用，如FPGA、GPU等。
《快速傅里叶变换》ppt课件
contents
目录
• FFT简介 • FFT基本原理 • FFT实现 • FFT的应用 • FFT的优化与改进 • FFT的挑战与未来发展
01 FFT简介
FFT的定义
快速傅里叶变换（FFT）：一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换的 算法。它将复杂度为$O(N^2)$的DFT计算降低到$O(Nlog N)$，大大提高了计 算效率。
详细描述
混合基数FFT算法结合了基数-2和基数-4算法的特点，利用两者在计算过程中的 互补性，减少了计算量，提高了计算效率。同时，该算法在处理大规模数据时 ，能够保持较高的精度。
分段FFT算法
总结词
分段FFT算法将输入数据分成若干段，对每一段进行快速傅里叶变换，以降低计算复杂度和提高计算效率。
详细描述
02 FFT基本原理
离散傅里叶变换（DFT）
定义
应用
DFT是时间域信号到频域的变换，通 过计算信号中各个频率成分的幅度和 相位，可以分析信号的频谱特性。
DFT在信号处理、图像处理、频谱分 析等领域有广泛应用。
计算量
DFT的计算量随着信号长度N的增加 而呈平方关系增长，因此对于长信号 ，计算量巨大。
FFT的历史背景
01
1960年代，Cooley和Tukey提 出了基于“分治”思想的FFT 算法，为快速傅里叶变换的实 用化奠定了基础。
02
随后，出现了多种FFT算法的 变种和优化，如Radix-2、 Radix-4等。
03
随着计算机技术的发展，FFT 算法在硬件实现上也得到了广 泛应用，如FPGA、GPU等。
《快速傅里叶变换》ppt课件
contents
目录
• FFT简介 • FFT基本原理 • FFT实现 • FFT的应用 • FFT的优化与改进 • FFT的挑战与未来发展
01 FFT简介
FFT的定义
快速傅里叶变换（FFT）：一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换的 算法。它将复杂度为$O(N^2)$的DFT计算降低到$O(Nlog N)$，大大提高了计 算效率。
详细描述
混合基数FFT算法结合了基数-2和基数-4算法的特点，利用两者在计算过程中的 互补性，减少了计算量，提高了计算效率。同时，该算法在处理大规模数据时 ，能够保持较高的精度。
分段FFT算法
总结词
分段FFT算法将输入数据分成若干段，对每一段进行快速傅里叶变换，以降低计算复杂度和提高计算效率。
详细描述
02 FFT基本原理
离散傅里叶变换（DFT）
定义
应用
DFT是时间域信号到频域的变换，通 过计算信号中各个频率成分的幅度和 相位，可以分析信号的频谱特性。
DFT在信号处理、图像处理、频谱分 析等领域有广泛应用。
计算量
DFT的计算量随着信号长度N的增加 而呈平方关系增长，因此对于长信号 ，计算量巨大。
《快速傅里叶变换》PPT课件
然后计算圆周卷积
此时y(n)能代表线性卷积结果。
用FFT计算y(n)步骤如下： （1）求
，N点
（2）求
，N点
（3）计算
；
（4）求
，N点
工作量分析 FFT计算工作量
（4.105）
用线性相位滤波器来比较直接计算线性卷积和FFT法 计算线性卷积时比值
（4.106）
运算量分析：
（1）x(n)与h(n)点数差不多，设M＝L，
2
X1 k
x1
r
W rk N2
x
2r
W rk N2
r0
r0
（4.6）
N 1
N 1
2
2
X2 k
x2
r
W rk N2
x
2r
1
W rk N2
（4.7）
r 0
r0
应用系数的周期性
可得
N 1
X1
N 2
k
2 r 0
x1
r
W x r
N 2
k
N2
N 1 2
1
r0
比较可知，只要把DFT运算中的每一个系数
变成
，最后再乘常数1/N，则以上所有
按时间抽选或按频率抽选的FFT都可以拿来运算
IDFT。
不改FFT的程序计算IFFT方法： 对4.29式取共轭
因而
4.6 N为复合数的FFT算法 －－混合基算法
当N不满足
时，可有以下几种办法
（1）将x(n)补一些零值点的办法
y(n)也是有限长序列，其点数为L＋M－1。 2. 线性卷积运算量 乘法次数
线性相位滤波器满足条件
运算结构如图5.26,5.27所示 线性相位FIR滤波器的乘法运算量
此时y(n)能代表线性卷积结果。
用FFT计算y(n)步骤如下： （1）求
，N点
（2）求
，N点
（3）计算
；
（4）求
，N点
工作量分析 FFT计算工作量
（4.105）
用线性相位滤波器来比较直接计算线性卷积和FFT法 计算线性卷积时比值
（4.106）
运算量分析：
（1）x(n)与h(n)点数差不多，设M＝L，
2
X1 k
x1
r
W rk N2
x
2r
W rk N2
r0
r0
（4.6）
N 1
N 1
2
2
X2 k
x2
r
W rk N2
x
2r
1
W rk N2
（4.7）
r 0
r0
应用系数的周期性
可得
N 1
X1
N 2
k
2 r 0
x1
r
W x r
N 2
k
N2
N 1 2
1
r0
比较可知，只要把DFT运算中的每一个系数
变成
，最后再乘常数1/N，则以上所有
按时间抽选或按频率抽选的FFT都可以拿来运算
IDFT。
不改FFT的程序计算IFFT方法： 对4.29式取共轭
因而
4.6 N为复合数的FFT算法 －－混合基算法
当N不满足
时，可有以下几种办法
（1）将x(n)补一些零值点的办法
y(n)也是有限长序列，其点数为L＋M－1。 2. 线性卷积运算量 乘法次数
线性相位滤波器满足条件
运算结构如图5.26,5.27所示 线性相位FIR滤波器的乘法运算量
数字信号处理快速傅立叶变换PPT课件
第4章 快速傅立叶变换（FFT）
4.1 引
DFT是数字信号分析与处理中的一种重要变换。
但直接计算DFT的计算量与变换区间长度N的平方成正
比，当N较大时，计算量太大，所以在快速傅里叶变
换FFT(Fast Fourier Transform)出现以前，直接用
DFT算法进行谱分析和信号的实时处理是不切实际的。
i0
(4.2.11)
X X
2 2
(k) X5(k) WNk/2 X6 (k)
(k
N
/
4)
X5
(k)
Wk N/2
X
6
, (k )
k
0,1,N
/
4
1
第18页/共79页
第4章 快速傅立叶变换（FFT）
x1(0) x(0) x1(1) x(2) x1(2) x(4) x1(3) x(6)
X1(0)
1 N
N 1
X
(k
)W
nk N
,
k0
n 0,1,, N 1
两者的差别仅在指数的符号和因子1/N.
第2页/共79页
第4章 快速傅立叶变换（FFT）
一个X(k)的值的工作量,如X(1)
X(1) x(0)WN0 x(1)WN1 x(2)WN2 x(N 1)WNN1
计算一个X(k)的值： N次复数乘法运算 N-1 次复数加法运算.
N 2
X 1 (1)
点DFT X1(2)
X1(3)
x2(0) x(1) x2(1) x(3) x2(2) x(5) x2(3) x(7)
X 2 (0) WN0
N 2
X 2 (1)
W
1 N
点DFT X 2(2)
4.1 引
DFT是数字信号分析与处理中的一种重要变换。
但直接计算DFT的计算量与变换区间长度N的平方成正
比，当N较大时，计算量太大，所以在快速傅里叶变
换FFT(Fast Fourier Transform)出现以前，直接用
DFT算法进行谱分析和信号的实时处理是不切实际的。
i0
(4.2.11)
X X
2 2
(k) X5(k) WNk/2 X6 (k)
(k
N
/
4)
X5
(k)
Wk N/2
X
6
, (k )
k
0,1,N
/
4
1
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第4章 快速傅立叶变换（FFT）
x1(0) x(0) x1(1) x(2) x1(2) x(4) x1(3) x(6)
X1(0)
1 N
N 1
X
(k
)W
nk N
,
k0
n 0,1,, N 1
两者的差别仅在指数的符号和因子1/N.
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第4章 快速傅立叶变换（FFT）
一个X(k)的值的工作量,如X(1)
X(1) x(0)WN0 x(1)WN1 x(2)WN2 x(N 1)WNN1
计算一个X(k)的值： N次复数乘法运算 N-1 次复数加法运算.
N 2
X 1 (1)
点DFT X1(2)
X1(3)
x2(0) x(1) x2(1) x(3) x2(2) x(5) x2(3) x(7)
X 2 (0) WN0
N 2
X 2 (1)
W
1 N
点DFT X 2(2)
《快速傅里叶变换FF》课件
《快速傅里叶变换ff 》ppt课件
contents
目录
• FFT简介 • FFT的基本原理 • FFT的应用 • FFT的实现 • FFT的性能优化 • FFT的局限性
CHAPTER 01
FFT简介
FFT的定义
快速傅里叶变换（FFT）：一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换的 算法。它将复杂度为$O(N^2)$的DFT计算降低到$O(Nlog N)$，极大地提高了 计算效率。
通过选择适合特定数据集的基数，混 合基数FFT可以在不同的应用场景下 获得最佳性能。
混合基数FFT结合了基于2的幂次和基 于其他基数的算法，以获得更好的计 算效率和精度。
CHAPTER 06
FFT的局限性
浮点运算的开销
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的算法，用于计算离散傅里叶变换（DFT）和其逆变换。然而， 由于FFT涉及到大量的复数运算，因此其计算开销相对较大，尤其是对于大规模数据。
分段FFT
分段FFT是一种将大规模FFT分 解为多个小规模FFT的方法， 可以显著提高计算速度。
通过将输入数据分成多个段， 每个段可以独立进行FFT计算 ，从而并行处理多个段。
分段FFT适用于大规模数据集 ，可以有效地利用多核处理器 和分布式计算资源，提高计算 效率。
混合基数FFT
混合基数FFT是一种将不同基数算法 结合在一起的FFT方法，可以获得更 好的性能。
快速傅里叶变换（FFT）算法
定义
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算离散傅里叶变换（ DFT）和其逆变换的算法。它通过一系列数学运算将DFT的 计算量从N^2降低到了Nlog2N，大大提高了计算效率。
算法原理
FFT算法基于DFT的周期性和对称性，将一个N点的DFT分解 为多个较短序列的DFT，然后利用递归和分治的思想进行计 算，最终得到原始序列的频域表示。
contents
目录
• FFT简介 • FFT的基本原理 • FFT的应用 • FFT的实现 • FFT的性能优化 • FFT的局限性
CHAPTER 01
FFT简介
FFT的定义
快速傅里叶变换（FFT）：一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换的 算法。它将复杂度为$O(N^2)$的DFT计算降低到$O(Nlog N)$，极大地提高了 计算效率。
通过选择适合特定数据集的基数，混 合基数FFT可以在不同的应用场景下 获得最佳性能。
混合基数FFT结合了基于2的幂次和基 于其他基数的算法，以获得更好的计 算效率和精度。
CHAPTER 06
FFT的局限性
浮点运算的开销
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的算法，用于计算离散傅里叶变换（DFT）和其逆变换。然而， 由于FFT涉及到大量的复数运算，因此其计算开销相对较大，尤其是对于大规模数据。
分段FFT
分段FFT是一种将大规模FFT分 解为多个小规模FFT的方法， 可以显著提高计算速度。
通过将输入数据分成多个段， 每个段可以独立进行FFT计算 ，从而并行处理多个段。
分段FFT适用于大规模数据集 ，可以有效地利用多核处理器 和分布式计算资源，提高计算 效率。
混合基数FFT
混合基数FFT是一种将不同基数算法 结合在一起的FFT方法，可以获得更 好的性能。
快速傅里叶变换（FFT）算法
定义
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算离散傅里叶变换（ DFT）和其逆变换的算法。它通过一系列数学运算将DFT的 计算量从N^2降低到了Nlog2N，大大提高了计算效率。
算法原理
FFT算法基于DFT的周期性和对称性，将一个N点的DFT分解 为多个较短序列的DFT，然后利用递归和分治的思想进行计 算，最终得到原始序列的频域表示。
精品课件-数字信号处理(第四版)(高西全)-第4章
点DFT和(4.2.10)式或(4.2.11)式所示的N/4个蝶形运算，
如图4.2.3所示。依次类推，经过M次分解，最后将N点DFT
分解成N个1点DFT和M级蝶形运算，而1点DFT就是时域序列
本身。一个完整的8点DIT－FFT运算流图如图4.2.4所示。
图中用到关系式
。W图N中k / m输入W序Nmk列不是顺序排
In Time FFT，简称DIT－FFT )； 频域抽取法FFT (Decimation In Frequency FFT，简称DIF－FFT)。本节介 绍DIT－FFT
设序列x(n)的长度为N，且满足N=2M，M为自然数。按n 的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列
x1(r) x(2r)， x2 (r) x(2r 1)，
x1
(2l
1)WNk
( /
2l 2
1)
l 0
l 0
N / 41
N / 41
x3 (l)WNkl/ 4 WNk / 2
x4
(l
)WNk
l /
4
l 0
l 0
X 3 (k ) WNk/ 2 X 4 (k )
k 0， 1， ， N 1 2
(4.2.9)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
式中
N / 41
r0
2
(4.2.6)
由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，
kN
WN 2
WNk
且
，因此X(k)又可表示为
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
X (k) X1(k) WNk X 2 (k)，
X
(k
N 2
)
X1(k)
WNk
X
快速傅里叶变换PPT课件
W
0 N
运算即可求出
所有8点X(k)的
W
1 N
值。
W
2 N
W
3 N
分解一次后所需的运算量＝2个N/2的DFT＋N/2蝶形
-
14
运算量比较
N点DFT的运算量
每次蝶形含一次复数
复数乘法次数： N2
乘和两次复数加
复数加法次数： N(N－1)
分解一次后所需的运算量＝2个N/2的DFT＋ N/2蝶形：
复数乘法次数： 2*(N/2)2+N/2=N2/2+N/2
-
3
4.2 直接计算DFT的问题及改进的途径
DFT的运算量 设复序列x(n) 长度为N点，其DFT为
N1
X(k) x(n)WNnk n0
k=0，，…，N-1
（1）计算一个X(k) 值的运算量
复数乘法次数： N
复数加法次数： N－1
（2）计算全部N个X(k) 值的运算量
复数乘法次数： N2
复数加法次数： N(N－1)
-
5
4.2.2 减少运算工作量的途径
主要原理是利用系数
W
nk N
的以下特性对DFT进行分解：
（1）周期性 W N (nN)kW N n(kN)W N nk
（2）对称性
(WNnk )
W nk N
W k(N n) N
（3）可约性
Wmnk mN
WNnk
WNnk WNnk/m/m
另外，
WNN/2 1
W(kN/2) N
复数加法次数： 2*(N/2)(N/2－1)+2*N/2=N2/2
通过一次分解后，运算工作量减少了差不多一半。
数字信号处理教学课件-第四章 快速傅立叶变换
此外，还有4个蝶形结，每个蝶形结需要1次复乘，2次复加。 一共是：复乘4次，复加8次。
用分解的方法得到X (k)需要： 复乘：32+4 = 36次 复加：24+8 = 32次
2020/4/17
N点DFT的一次时域抽取分解图(N=8)
x(0)
X1(0)
x(2)
4点 X1(1)
x(4)
DFT X1(2)
2020/4/17
第二节 改善DFT运算效率的基本途径
1、利用DFT运算的系数
W
kn N
的固有对称性和周期
性，改善DFT的运算效率。
1）对称性
2）周期性
3）可约性
2020/4/17
WNnk的特性
WNnk
j2nk
e N
对 称 性 ( W N n k ) * W N n k W N ( N n ) k W N n ( N k )
2020/4/17
以DFT为例：
N 1
X (k ) D[x F (n ) T ] x (n )W N nk0 k N 1
n 0
计算机运算时（编程实现）：
k 0 X ( 0 ) x ( 0 ) W N 0 0 x ( 1 ) W N 1 0 x ( N 1 ) W N ( N 1 ) 0
X(4)~X(7)，由X(k+N/2)给出
N=8点的直接DFT的计算量为： 复乘：N2次 = 64次 复加：N(N-1)次 = 8×7=56次
X(k)X1(k)W N kX2(k)
k0,,N/21
X(kN/2)X1(k)W N kX2(k)
得到X1(k)和X2(k)需要： 复乘：(N/2)2+ (N/2)2次 = 32次 复加：N/2(N/2-1)+N/2(N/2-1) =12+12 =24次
用分解的方法得到X (k)需要： 复乘：32+4 = 36次 复加：24+8 = 32次
2020/4/17
N点DFT的一次时域抽取分解图(N=8)
x(0)
X1(0)
x(2)
4点 X1(1)
x(4)
DFT X1(2)
2020/4/17
第二节 改善DFT运算效率的基本途径
1、利用DFT运算的系数
W
kn N
的固有对称性和周期
性，改善DFT的运算效率。
1）对称性
2）周期性
3）可约性
2020/4/17
WNnk的特性
WNnk
j2nk
e N
对 称 性 ( W N n k ) * W N n k W N ( N n ) k W N n ( N k )
2020/4/17
以DFT为例：
N 1
X (k ) D[x F (n ) T ] x (n )W N nk0 k N 1
n 0
计算机运算时（编程实现）：
k 0 X ( 0 ) x ( 0 ) W N 0 0 x ( 1 ) W N 1 0 x ( N 1 ) W N ( N 1 ) 0
X(4)~X(7)，由X(k+N/2)给出
N=8点的直接DFT的计算量为： 复乘：N2次 = 64次 复加：N(N-1)次 = 8×7=56次
X(k)X1(k)W N kX2(k)
k0,,N/21
X(kN/2)X1(k)W N kX2(k)
得到X1(k)和X2(k)需要： 复乘：(N/2)2+ (N/2)2次 = 32次 复加：N/2(N/2-1)+N/2(N/2-1) =12+12 =24次
数字信号处理课件(第4章 快速傅里叶变换)
X 1 (k )
（4-8） （4-9）
N X 2 k X 2 (k ) 2
式（4-8）、式（4-9）说明了后半部分k值（N/2≤k≤N-1）所对应
的X1(k)， Ｘ 2(k)分别等于前半部分k值（0≤k≤N/2-1）所对应的 X1(k)，X2(k)。
第4章 快速傅里叶变换 再考虑到WkN 的以下性质:
X (k ) x(n )W
n 0
N 1
nk N
k=0, 1, …, N-1
（4-1）
反变换（IDFT）为
1 x ( n) N
X (k )W
k 0
N 1
nk N
n=0, 1, …, N-1
（4-2）
第4章 快速傅里叶变换 二者的差别只在于WN的指数符号不同，以及差一个常数乘 因子1/N，所以IDFT与DFT具有相同的运算工作量。 下面我们
N N X k X1 k W 2 2
k N N k 2 N
N X2k 2
（4-12）
X 1 (k ) W X 2 (k )
N k 0,1,, 1 2
第4章 快速傅里叶变换
X1 (k)
第4章 快速傅里叶变换 例1 根据式（4-1），对一幅N×N点的二维图像进行DFT变
换，如用每秒可做10万次复数乘法的计算机，当N=1024时，问
需要多少时间（不考虑加法运算时间）？ 解 直接计算DFT所需复乘次数为（N2)2≈1012次，因此用每秒可做
10万次复数乘法的计算机，则需要近3000小时。
N 1 2 r 0
rk k rk k X (k ) x1 ( r )WN / 2 WN x2 ( r )WN / 2 X 1 (k ) WN X 2 (k )
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第4章 快速傅里叶变换(FFT)
偶数点的 N/2 DFT
序列DFT 的N/2个点
WNk
奇数点的 N/2 DFT
序列DFT 的后N/2个
点
图4.2.1 蝶形运算符号
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
自从1965年库利和图基在《计算数学》杂志上发 表了著名的《机器计算傅里叶级数的一种算法》论文 后，桑德—图基等快速算法相继出现，又经人们进行 改进，很快形成一套高效计算方法，这就是现在的快 速傅里叶变换（FFT）。
这种算法使DFT的运算效率提高了1 ~ 2个数量级， 为数字信号处理技术应用于各种信号的实时处理创造 了条件，大大推动了数字信号处理技术的发展。
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.1 引言 4.2 基2FFT算法 4.3 进一步减少运算量的措施 4.4 其他快速算法简介
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.1 引 言
DFT是数字信号分析与处理中的一种重要变换。但 直接计算DFT，当N较大时，计算量太大，所以在快速 傅里叶变换FFT(Fast Fourier Transform)出现以前，直 接用DFT算法进行谱分析和信号的实时处理是不切实际 的。直到1965年提出DFT的一种快速算法以后，情况才 发生了根本的变化。
2
(4.2.5)
N / 21
X 2 (k)
x2 (r)WNkr/ 2 DFT[x2 (r)]N
r0
2
(4.2.6)
由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，且WNk
N 2
WNk
，因此
X(k)又可表示为
X (k) X1(k) WNk X2 (k) k 0,1,2, , N -1
m N
WN 2
WNm
(4.2.3a) (4.2.3b)
FFT算法就是不断地把长序列的DFT分解成几个短序 列的DFT，并利用WNkn的周期性和对称性来减少DFT 的运算次数。算法最简单最常用的是基2FFT。
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理
基2FFT算法分为两类：时域抽取法FFT(Decimation
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
当 N 1 时，N(N－1)≈N2。由上述可见，N点 DFT的乘法和加法运算次数均为N2。当N较大时，运算 量相当可观。例如N=1024时，N2=1 048 576。这对于 实时信号处理来说，必将对处理设备的计算速度提出 难以实现的要求。所以，必须减少其运算量，才能使 DFT
x2 (r) x(2r 1)，
r 0， 1， ， N 1 2
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
则x(n)的DFT为
X (k)
x(n)WNkn
x(n)WNkn
n偶数
n奇数
N / 21
N / 21
x(2r)WN2kr
x(2r 1)WNk (2r1)
r0
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
人类的求知欲和科学的发展是永无止境的。多年来， 人们继续寻求更快、更灵活的好算法。1984年，法国的 杜哈梅尔(P. Dohamel)和霍尔曼(H. Hollmann)提出的分 裂基快速算法，使运算效率进一步提高。本章主要讨论 基2FFT
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.2 基2FFT
4.2.1 直接计算DFT的特点及减少运算量的基本
有限长序列x(n)的N点DFT为
N 1
X (k) x(n)WNkn k 0， 1， ， N 1 n0
（4.2.1）
考虑x(n)为复数序列的一般情况，对某一个k值，直接按 (4.2.1)式计算X(k)的1个值需要N次复数乘法和 (N－1)次复数加法。因此，计算X(k)的所有N个值，共需N2次 复数乘法和N(N－1)次复数加法运算。
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
X (k) X1(k) WNk X 2 (k)，
k 0， 1， ， N 1 2
(4.2.7)
X
(kΒιβλιοθήκη N 2)X1
(k)
WNk
X
2
(k)，
k 0， 1， ， N 1 2
(4.2.8)
这样，就将N点DFT分解为两个N/2点DFT和(4.2.7)式以及 (4.2.8)式的运算。(4.2.7)和(4.2.8)式的运算可用图4.2.1所示 的流图符号表示，称为蝶形运算符号。采用这种图示法， 经过一次奇偶抽取分解后，N点DFT运算图可以用图4.2.2 表示。图中，N=23=8， X(0)~X(3)由(4.2.7)式给出，而 X(4)~ X(7)则由(4.2.8)式给出。
In Time FFT，简称DIT－FFT )； 频域抽取法FFT
(Decimation In Frequency FFT，简称DIF－FFT)。本节
介绍DIT－FFT
设序列x(n)的长度为N，且满足N=2M，M为自然数。
按n的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列
x1(r) x(2r)，
r 0， 1， ， N 1 2
r 0
r 0
X1(k ) WNk X 2 (k ) k 0,1, 2, , N -1
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
其中Ｘ1(k)和X2(k)分别为x1(r)和x2(r)的N/2点DFT, 即
N / 21
X1(k)
x1(r)WNkr/ 2 DFT[x1(r)]N
r0
r0
N / 21
N / 21
x1(r)WN2kr WNk
x2 (r)WN2kr
r0
r0
因为
W 2kr N
j2π 2kr
e N
j 2π kr
e N2
W kr N/
2
所以
N /21
N /21
X (k)
x1 (r)WNkr/2 WNk
x2 (r)WNkr/2
如前所述，N点DFT的复乘法次数等于N2。显然， 把N点DFT分解为几个较短的DFT，可使乘法次数大大
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
另外，旋转因子具有明显的周期性和对称性。其周期性表现为
W mlN N
j2 π (mlN )
e N
j2π m
e N
WNm
其对称性表现为
WNm WNN m 或者 [WNN m ]* WNm