傅里叶变换经典
快速傅里叶变换FFT算法源码经典
快速傅里叶变换FFT算法源码经典以下是一个经典的快速傅里叶变换（FFT）算法的源码，包含详细的注释解释每个步骤的作用。
```pythonimport cmath#递归实现快速傅里叶变换def fft(x):N = len(x)#基本情况：如果输入向量只有一个元素，则直接返回该向量if N <= 1:return x#递归步骤：#将输入向量分成两半even = fft(x[0::2]) # 偶数索引的元素odd = fft(x[1::2]) # 奇数索引的元素T = [cmath.exp(-2j * cmath.pi * k / N) * odd[k] for k in range(N // 2)]#组合结果return [even[k] + T[k] for k in range(N // 2)] + \[even[k] - T[k] for k in range(N // 2)]#逆傅里叶变换def ifft(X):N = len(X)#将输入向量取共轭X_conj = [x.conjugate( for x in X]#应用快速傅里叶变换x_conj = fft(X_conj)#将结果取共轭并归一化return [(x.conjugate( / N).real for x in x_conj]#示例测试if __name__ == "__main__":x=[1,2,3,4]X = fft(x)print("快速傅里叶变换结果：", X)print("逆傅里叶变换恢复原始向量：", ifft(X))```这个源码实现了一个经典的快速傅里叶变换（FFT）算法。
首先，`fft`函数实现了递归的快速傅里叶变换，接收一个输入向量`x`作为参数，返回傅里叶变换后的结果`X`。
如果输入向量只有一个元素，则直接返回。
否则，将输入向量分成两半，分别对偶数索引和奇数索引的元素递归应用FFT。
傅里叶变换性质及常见函数傅里叶变换总结,表格打印版
（为虚、奇函数）
7
奇偶性
（为实、偶函数）
（为实、偶函数）
（为实、奇函数）
（为虚、奇函数）
8
尺度展缩
，
9
时域延迟
，
10
频移
▲初值：
（条件:）
（条件:）
（条件： ）
11
时域微分
▲ 函数的性质
·
·
＊
＊
·
·
＊ ；
＊
·
·
＊
＊
·
12
时域积分
பைடு நூலகம்13
频域微分
14
频域积分
15
时域卷积
16
频域卷积
17
时域抽烟
序号
性质名称
▲信号功率:
（直流分量+各次谐波分量）
▲能量信号:
1.一个信号只能是功率信号或
能量信号二者之一,但也可
以两者都不是。
2.直流信号与周期信号为功率
信号；收敛和有界的非周期
信号为能量信号。
3.功率信号能量为∞,能量信
号功率为0.
1
唯一性
2
齐次性
3
叠加性
4
线性
5
折叠性
6
对称性
（一般函数）
（为实、偶函数）
18
频域抽样
常用时间信号傅里叶变换
常用非周期信号的傅里叶变换
周期信号的傅里叶变换
序号
↔
1
1
↔
2
↔
3
单位直流信号1
↔
4
5
6
一般周期信号
↔
其中
或,
或 ，
典型信号的傅里叶变换
f
t 非 周周 期期
统一的分析方法：傅里叶变换
由欧拉公式
cos0t
1 2
e j0t
e j0t
sin0t
1 2j
e j0t
e j0t
已知
1 2π
由频移性质
1 ej 0 t 2 0
1 ej0 t 2 0
cos0t
同理
1 2
2π
0
2π
0
π
0
π
0
sin0t jπ 0 jπ 0
dt
t
2
E
ejt d t E
e
j
t
e
jt
dt
E
e
j
t
e
jt
dt
2
4
4
ESa
E
2
Sa
π
E
2
Sa
π
F
E sin
1
2
π
E Sa
1 2
π
F
E
E
2
O π 2π 3π
其频谱比矩形脉冲更集中。
4π
•冲激函数 •冲激偶 •单位阶跃函数
F( ) t ej t d t 1
f t
1
O
t
F
1
O
t看作
1 的矩形脉冲，
0时, B
冲激函数积分是有限值，可以用公式求。而u(t)不
满足绝对可积条件，不能用定义求。
(t) 1 ( ) 1
2π
f t
1
O
t
F
1
O
F
1
O
1 f t
傅里叶变换公式
傅里叶变换公式傅里叶变换是数学中一种重要的变换方法，用于将一个函数从时域表示（函数在时间上的表示）转换为频域表示（函数在频率上的表示）。
它是由法国数学家约瑟夫·傅里叶于19世纪提出的，广泛应用于信号处理、图像处理、通信、音频处理等领域。
F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dt其中，F(ω)表示频率为ω的正弦波在函数f(t)中的振幅，即将函数f(t)分解为振幅谱F(ω)。
e代表自然对数的底数，j表示虚数单位，ω为频率。
这个公式的意义在于将一个函数f(t)转换成一系列振幅谱F(ω)，表示不同频率正弦波在函数中所占的比重。
由于函数f(t)是由无数个不同频率的正弦波叠加而成的，因此通过傅里叶变换，我们可以分析一个函数中不同频率的成分。
这个过程也被称为频域分析。
傅里叶变换公式中的积分符号表示对整个时域进行积分，求出对应频率的振幅谱。
e^(-jωt)表示频率为ω的正弦波，振幅谱F(ω)表示频率为ω的正弦波在函数f(t)中的振幅。
通过在不同频率上进行积分，我们可以得到整个函数在频域上的表示。
傅里叶变换公式的应用非常广泛。
在信号处理领域，我们经常需要对信号进行频谱分析，以了解信号的频率成分。
例如，通过分析音频信号的频谱，我们可以分辨出不同乐器在音乐中的音高，从而实现音乐的识别和分类。
在图像处理领域，傅里叶变换可用于图像滤波、边缘检测等任务，提取图像中不同频率的特征。
此外，傅里叶变换还具有一些重要的性质，如线性性、位移性、尺度性等，这些性质使得傅里叶变换成为一种强大的工具。
例如，线性性质使得我们可以将傅里叶变换应用于信号的线性叠加，通过对不同频率的信号进行叠加，得到整体信号的频域表示。
总之，傅里叶变换是一种重要的数学工具，它能够将函数从时域表示转换为频域表示，帮助我们更好地理解信号和图像。
通过傅里叶变换，我们可以分析信号中不同频率的成分，实现信号处理、图像处理、通信等领域中的一系列任务。
光学经典理论傅里叶变换
光学经典理论｜傅里叶光学基础2018-02-24 17:00今天的光学经典理论为大家带来的是傅里叶光学基础，傅里叶光学是现代光学的一个分支，将电信理论中使用的傅里叶分析方法移植到光学领域而形成的新学科。
光学人们可以看看！在电信理论中，要研究线性网络怎样收集和传输电信号，一般采用线性理论和傅里叶频谱分析方法。
在光学领域里，光学系统是一个线性系统，也可采用线性理论和傅里叶变换理论，研究光怎样在光学系统中的传播。
两者的区别在于，电信理论处理的是电信号，是时间的一维函数，频率是时间频率，只涉及时间的一维函数的傅里叶变换；在光学领域，处理的是光信号，它是空间的三维函数，不同方向传播的光用空间频率来表征，需用空间的三维函数的傅里叶变换。
包含内容60年代发明了激光器，使人们获得了新的相干光源后，傅里叶光学无论在理论和应用领域均得到了迅速发展。
傅里叶光学运用傅里叶频谱分析方法和线性系统理论对广泛的光学现象作了新的诠释。
其主要内容包括标量衍射理论、透镜成像规律以及用频谱分析方法分析光学系统性质等。
推导演示一个光学信息系统和一个电学信息系统有许多相同之处，它们都是收集信息和传递信息，它们都有共同的数学工具──线性系统理论和傅里叶分析。
从信息论角度,关心的是信息在系统中传递过程;同样，对一个光学系统来讲，物和像的关系，也可以根据标量衍射理论由系统中光场的传播来确定，因此光学系统可以看成一个通信信道。
这样，通信理论中已经成熟的线性系统理论可以用来描述大部分光学系统。
当物体用非相干光照射时，在系统像平面上强度分布与物体上强度分布成线性（正比）关系。
而用来描述电学系统的脉冲响应h(t，τ)概念，即系统对一窄脉冲δ(t)（狄喇克δ函数）的响应，也可以用来描述光学系统，即用光学系统对点光源δ(x，y)的响应(点光源的像)h(x,y；ξ，η)来描述系统的性质，两者的区别仅仅在于电学系统的脉冲响应是时间一维函数，光学系统的脉冲函数是空间二维函数，另外两者都具有位移不变性，前者分布不随时间位移而变，后者分布不随空间位移而变（即等晕条件）。
常用傅里叶变换公式大全
常用傅里叶变换公式大全傅里叶变换是一种重要的数学工具，它可以将时域信号转换为频域信号，从而更好地理解信号的特性。
下面就是常用的傅里叶变换公式大全：1、傅里叶变换：$$F(u)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\pi iux}dx$$2、傅里叶反变换：$$f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}F(u)e^{2\pi iux}du$$3、离散傅里叶变换：$$F(u)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n)e^{-2\pi iun}$$4、离散傅里叶反变换：$$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=-\infty}^{\infty}F(u)e^{2\pi iun}$$5、快速傅里叶变换：$$F(u)=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)W_N^{nu}$$6、快速傅里叶反变换：$$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}F(u)W_N^{-nu}$$7、离散余弦变换：$$F(u)=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)\cos\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$8、离散余弦反变换：$$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}F(u)\cos\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$9、离散正弦变换：$$F(u)=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)\sin\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$10、离散正弦反变换：$$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}F(u)\sin\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$以上就是常用的傅里叶变换公式大全，它们可以帮助我们更好地理解信号的特性，并且可以用来解决许多实际问题。
因此，傅里叶变换在科学研究和工程应用中都有着重要的作用。
傅里叶变换的11个性质公式
傅里叶变换的11个性质公式傅里叶变换的11个性质公式是傅立叶变换的基本性质，由他们可以推出其它性质。
其中包括线性性质、有穷性质、周期性质、旋转性质、折叠性质、应变性质、平移性质、对称性质、频域算子性质、滤波性质、压缩性质等共11条。
1、线性性质：如果x(t)和y(t)是两个信号，则有：X(ω)=F[x(t)]，Y(ω)=F[y(t)]，则有：X(ω)+Y(ω)=F[x(t)+y(t)]；αX(ω)=F[αx(t)]；X(ω)*Y(ω)=F[x(t)*y(t)]。
2、有穷性质：如果x(t)是有穷的，则X(ω)也是有穷的。
3、周期性质：如果x(t)在周期T内无穷重复，则X(ω)也在周期2π/T内无穷重复。
4、旋转性质：X(ω-ω0) = F[x(t)e^(-jω0t)]，即信号x(t)经过相位旋转成x(t)e^(-jω0t)，其傅里叶变换也会经过相位旋转成X(ω-ω0)。
5、折叠性质：X(ω+nω0)=F[x(t)e^(-jnω0t)]，即信号x(t)经过频率折叠后变为x(t)e^(-jnω0t)，其傅里叶变换也会经过频率折叠成X(ω+nω0)。
6、应变性质：X(aω)=F[x(at)]，即信号x(t)经过时间应变成x(at)，其傅里叶变换也会经过频率应变成X(aω)。
7、平移性质：X(ω-ω0) = F[x(t-t0)]，即信号x(t)经过时间平移成x(t-t0)，其傅里叶变换也会经过频率平移成X(ω-ω0)。
8、对称性质：X(-ω) = X*(-ω)，即傅里叶变换的实部和虚部对称。
9、频域算子性质：X(ω)Y(ω)=F[h(t)*x(t)]，即傅里叶变换不仅可以表示信号，还可以表示系统的频域表示，即h(t)*x(t)，其傅里叶变换为X(ω)Y(ω)。
10、滤波性质：H(ω)X(ω)=F[h(t)*x(t)]，即傅里叶变换可以用来表示滤波器的频域表示，即h(t)*x(t)，其傅里叶变换为H(ω)X(ω)。
傅里叶变换经典
t 具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表
单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
2
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.—— Fourier级数
布在整个数轴上:
2
2
T
T
{ {
O 1 2 3
n-1n
令 n n1 2 T (与n无关)，T 2 0 T ,此时视n为(连续变量)
21
f
t lim 1 T T
n
T
f2
T T
2
e jn
d
e
jn
t
lim 1
2 n 0
n
T
f2
T T
2
e jn
d
e
jn
t
n
T
令 FT
n
2 T
fT
e jn
d
2
f
t
1 lim
2 n 0
FT
n
n
2
f
cos t
d d。
24
又考虑到积分
f cos t d是 的偶函数,
从 f t 1
2
f
cos t
傅里叶变换__经典ppt
1
§1 Fourier积分公式 积分公式
1.1 Recall: 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随时间 变化的周期函数f 打交道. 例如: 变化的周期函数 T(t)打交道. 例如:
t 具有性质f 称作周期, 具有性质 T(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表 代表 单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹( 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz). , ).
sinc(x)
x
12
前面计算出
1 cn = sinc(ωn ) (n = 0, ±1, ±2,L) 2 2π nπ ωn = nω = n , 可将cn以竖线标在频率图上 = T 2
ω
13
现在将周期扩大一倍, 现在将周期扩大一倍 令T=8, 以f (t)为基础构造 为基础构造 一周期为8的周期函数 的周期函数f 一周期为 的周期函数 8(t)
6
1 合并为： 合并为： cn = T
+∞
∫
fT (t )e −T 2
T 2
−in ωt
dt (n = 0, ±1, ±2,L)
级数化为： 级数化为：
n =−∞
cne in ωt ∑
T 2 1 +∞ = ∑ ∫ fT (τ )e −in ωτ dτ e in ωt T n =−∞ −T 2
19
积分公式与Fourier积分存在定理 1.2 Fourier积分公式与 积分公式与 积分存在定理
− T , T 上满足Dirichlet条件, 设fT (t ) 为T − 周期函数，在 2 2 则 fT (t ) 可展开为Fourier级数: fT (t ) =
傅里叶变换常用公式大全
傅里叶变换常用公式大全
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具。
以下是傅里叶变换的常用公式：
1. 傅里叶变换公式：
F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(-jωt) dt
f(t) = ∫[−∞,+∞] F(ω) e^(jωt) dω
2. 傅里叶变换的线性性质：
F(a*f(t) + b*g(t)) = a*F(ω) + b*G(ω)
3. 傅里叶变换的频移性质：
F(f(t - τ)) = e^(-jωτ) F(ω)
4. 傅里叶变换的时移性质：
f(t - τ) = F^(-1)(ω) e^(jωτ)
5. 傅里叶变换的尺度变换性质：
F(f(a*t)) = (1/|a|) F(ω/a)
6. 傅里叶变换的对称性质：
F(-t) = F^*(ω)
f(-ω) = F^*(-t)
7. 傅里叶变换的卷积定理：
F(f * g) = F(f) * F(g)
8. 傅里叶变换的相关定理：
∫[−∞,+∞] f(t)g*(t) dt = 1/2π ∫[−∞,+∞]
F(ω)G^*(ω) dω
9. 傅里叶变换的能量守恒性质：
∫[−∞,+∞] |f(t)|^2 dt = 1/2π ∫[−∞,+∞]
|F(ω)|^2 dω
10. 傅里叶变换的Parseval定理：
∫[−∞,+∞] f(t)g*(t) dt = 1/2π ∫[−∞,+∞]
F(ω)G^*(ω) dω
以上是傅里叶变换的一些常用公式，可以用于分析和处理信号的频谱特性。
在实际应用中，根据具体问题选择合适的公式进行计算和推导。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
但是因为lim x 0
sin x
x
1
所以定义sinc 0
1,用不严格的形式就写作
sin x x
x
0
1,
则函数在整个实轴连续。
sinc(x)
x
12
前面计算出
cn
1 2
sinc
n
n 0, 1, 2,
n
n
n
2
T
n
2
,
可将c
n 以竖线标在频率图上
13
现在将周期扩大一倍, 令T=8, 以f (t)为基础构造
19
1.2 Fourier积分公式与Fourier积分存在定理
设fT t为T周期函数，在T2 ,T2上满足Dirichlet条件,
则fT t可展开为Fourient ,
n
n
n n2n T,cn T1
积分变换
Fourier变换
Recall: 周期函数在一定条件下可以展开为Fourier级数； 但全直线上的非周期函数不能用Fourier表示； 引进类似于Fourier级数的Fourier积分
(周期趋于无穷时的极限形式)
1
§1 Fourier积分公式
1.1 Recall: 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随时间 变化的周期函数fT(t)打交道. 例如:
7
对任何一个非周期函数f (t)都可以看成是由某个周期
函数fT(t)当T时转化而来的. 作周期为T的函数fT(t), 使其在[-T/2,T/2]之内等于
f (t), 在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个数轴上, 则T 越大, fT(t)与f (t)相等的范围也越大, 这就说明当T 时,周期函数fT(t)便可转化为f (t), 即有
cn
1 T
T
2 T
fT
t e jntdt
2
1 T
1 e jntdt
1
1
Tjn
e jnt
1 1
1
Tjn
e jn
e jn
2 T
sin n n
2 T
sinc n
n
0, 1, 2,
18
当周期T越来越大时, 各个频率的正弦波的频率间 隔越来越小, 而它们的强度在各个频率的轮廓则总是 sinc函数的形状, 因此, 如果将方波函数f (t)看作是周 期无穷大的周期函数, 则它也可以看作是由无穷多个无 穷小的正弦波构成, 将那个频率上的轮廓即sinc函数的 形状看作是方波函数f (t)的各个频率成份上的分布, 称 作方波函数f (t)的傅里叶变换.
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近 3
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的
情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内函数变化的
情况.
fT
t
是以T为周期的函数，在
T 2
T ,
2
上满足
Dirichlet条件：
fT t 连续或只有有限个第一类间断点；
fT t 只有有限个极值点；
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表
单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
2
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.—— Fourier级数
fT t 可展开成Fourier级数，且在连续点t处成立：
fT
t
a 0
2
an
n 1
cosnt
bn
sinnt
4
其中2 T,
an T2
f T 2
T 2 T
tcosntdt
n0,1,2,
bn T2
f T 2
T 2 T
tsinntdt
在 间 断 点 t处 成 立 ：
n1,2,
fTt0 2fTt0a 2 0n 1ancosntbnsinnt
1 4
sinc
n
n
0, 1, 2,
15
则在T=8时,
cn
1 4
sinc
n
n
0, 1, 2,
n
n
n
2
8
n
4
, 再将c
n 以竖线标在频率图上
16
如果再将周期增加一倍, 令T=16, 可计算出
cn
1 8
sinc
n
n
0, 1, 2,
n
n
n
2
16
n
8
,
再将c n 以竖线标在频率图上
17
一般地, 对于周期T
引进复数形式：
c o snt e in t e in t, 2
s in nt e in t 2 i e in t
5
级数化为：
a 0 2 n1
aneint
eint 2
bneint
eint 2i
a
0
an ibneint an ibneint
2 n1 2
2
令c0 a20,cn
fT
t e jntdt
2
1 4
2 2
f 4
t e jntdt
1 4
1 e jntdt
1
1
4jn
e jnt
1 1
1
4jn
e jn
e jn
1 sin n 2 n
1 2
sinc
n
n
0, 1, 2,
11
sinc函数介绍
sinc函数定义为 sinc
x
sin x
x
严格讲函数在x
0处是无定义的,
lim
T
fT
t
f
t
8
例 矩形脉冲函数为
f t 1 0
t 1 t 1
如图所示: f (t)
1
-1
O
1
t
9
现以f (t)为基础构造一周期为T的周期函数fT(t), 令T=4, 则
f 4
t
f t 4n ,
n
2
T
2
4
2
,
n
n n
2
f4(t)
t -1 1 3
T=4
10
则
cn
1 T
T
2 T
级数化为：n c n e in t T 1n T T 2 2fT e in d e in t
cn Fn fTt的离散频谱；
cn fTt的离散振幅频谱； argcn fTt的离散相位频谱；n.
若以fT t 描述某种信号，则c n 可以刻画fT t 的特征频率。
an
ibn 2
,dn
an
ibn 2
,则c0
T1
TT22fTtdt
cn
T1
TT22fTtcosntisinntdt T1
T2 f
T 2
tTeintdt
dn
T1
TT22fTtcosntisinntdt T1
T2 f
T 2
tTeintdtcn
n1,2, cn cn
6
合并为： c n T 1 T T 2 2fT t e in td t n 0 , 1 , 2 ,
一周期为8的周期函数f8(t)
f
8
t
f t 8n ,
n
2
T
2
8
4
,
n
n n
4
f8(t)
-1 1
7
t
T=8
14
则
cn
1 T
T
2 T
fT
t
e jntdt
2
1 8
4 4
f
8
t e jntdt
1 8
1 e jntdt
1
1
8jn
e jnt
1 1
1
8jn
e jn
e jn
1 sin n 4 n