经典的傅里叶变换(上)
拉氏变换和傅里叶变换的关系
拉氏变换和傅里叶变换的关系一、拉氏变换1、拉氏变换的定义：如果有一个以时间t 为自变量的实变函数 ()t f ，它的定义域是 0≥t ，，那么()t f 的的拉普拉斯变换定义为()()()0e d st F s L f t f t t ∞-=∆⎡⎤⎣⎦⎰ (2.10) s 是复变数， ωσj +=s （σ、ω均为实数）， ⎰∞-0e st 称为拉普拉斯积分； )(s F 是函数)(t f 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 )(s F 为 )(t f 的象函数，而称 )(t f 为 )(s F 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。
式（）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数 )(s F 。
2、拉氏变换的意义工程数学中常用的一种积分变换。
它是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。
对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。
拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。
在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。
在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s 域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用二、傅里叶变换1、傅里叶变换的定义：f(t ）是t 的函数，如果t 满足狄里赫莱条件：具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。
则有下图①式成立。
称为积分运算f(t ）的傅立叶变换，②式的积分运算叫做F （ω）的傅立叶逆变换。
F （ω）叫做f(t ）的像函数，f(t ）叫做 F （ω）的像原函数。
F （ω）是f(t ）的像。
f(t ）是F （ω）原像。
数学建模十大经典算法
数学建模十大经典算法数学建模是将现实问题抽象化成数学问题，并通过数学模型和算法进行解决的过程。
在数学建模中，常用的算法能够帮助我们分析和求解复杂的实际问题。
以下是数学建模中的十大经典算法：1.线性规划算法线性规划是一种用于求解线性约束下的最优解的方法。
经典的线性规划算法包括单纯形法、内点法和对偶理论等。
这些算法能够在线性约束下找到目标函数的最大（小）值。
2.整数规划算法整数规划是在线性规划的基础上引入了整数变量的问题。
经典的整数规划算法包括分枝定界法、割平面法和混合整数线性规划法。
这些算法能够在整数约束下找到目标函数的最优解。
3.动态规划算法动态规划是一种将一个问题分解为更小子问题进行求解的方法。
经典的动态规划算法包括背包问题、最短路径问题和最长公共子序列问题等。
这些算法通过定义递推关系，将问题的解构造出来。
4.图论算法图论是研究图和图相关问题的数学分支。
经典的图论算法包括最小生成树算法、最短路径算法和最大流算法等。
这些算法能够解决网络优化、路径规划和流量分配等问题。
5.聚类算法聚类是将相似的数据点划分为不相交的群体的过程。
经典的聚类算法包括K均值算法、层次聚类算法和密度聚类算法等。
这些算法能够发现数据的内在结构和模式。
6.时间序列分析算法时间序列分析是对时间序列数据进行建模和预测的方法。
经典的时间序列分析算法包括平稳性检验、自回归移动平均模型和指数平滑法等。
这些算法能够分析数据中的趋势、周期和季节性。
7.傅里叶变换算法傅里叶变换是将一个函数分解成一系列基础波形的过程。
经典的傅里叶变换算法包括快速傅里叶变换和离散傅里叶变换等。
这些算法能够在频域上对信号进行分析和处理。
8.最优化算法最优化是研究如何找到一个使目标函数取得最大（小）值的方法。
经典的最优化算法包括梯度下降法、共轭梯度法和遗传算法等。
这些算法能够找到问题的最优解。
9.插值和拟合算法插值和拟合是通过已知数据点来推断未知数据点的方法。
经典的插值算法包括拉格朗日插值和牛顿插值等。
《傅里叶变换经典》PPT课件
43
2. 位移性质:
若F [f t ] F ，t0 ,0 为实常数，则
F [f t t0 ] ejt0F ， F 1[F 0 ] e j0t f t
或F [e j0t f t ] F 0
证明：F
[f
F f t eitdt(实自变量的复值函数)
称为f t 的Fourier变换，记为F [f t ]。
1 F eitd 称为F 的Fourier逆变换，
2 记为F 1[F ] .
26
若F f t F ,则F 1 F f t ； 若F 1 F f t ,则F f t F f t F ：一一对应，称为一组Fourier变换对。 f t 称为原像函数，F 称为像函数。
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表
单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
2
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.—— Fourier级数
1
2
1
2
1,
t
0
42
§3 Fourier变换与逆变换的性质
这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方 便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函 数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.
1.线性性质:
F [af t bg t ] aF [f t ] bF [g t ]
19
1.2 Fourier积分公式与Fourier积分存在定理
halcon 傅里叶变换的四种基本形式
halcon 傅里叶变换的四种基本形式下载温馨提示:该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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波函数与傅里叶变换
波矢定义为：k 2 / 所以看出自由粒子的频率和
波矢均为常量。
改写de Broglie关系为
h
p
h
e
k
2 , h / 2
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三、自由粒子的波函数（3）
函数 描和述k都为Ac常os量(k 的 r 波应t) 该或是平 面Ae波xp[，i(k可 r用以t)下]
在经典力学中，宏观粒子在任何时刻都有完全 确定的位置、动量、能量等。然而，对于微观粒 子，其波动性远远大于宏观粒子，以致于它的某 些成对的物理量（如位置坐标和动量、时间和能 量等）不可能同时具有确定的量值。这就叫不确 定度关系或测不准原理。
下面以电子 单缝衍射为 例讨论这个 问题
多晶 铝 箔
汤姆逊（1927）：电子圆孔衍射实7 验
对于de Broglie波，有关系： k 2 / 2m
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
vg
k / m
dvg dk
m
0
根据波包说：粒子为三维空间中连续分布的一
种物质波包，波包的大小即粒子的大小。由于
dvg / dk 0 ，则波包会随着运动发生扩散，即： 粒子的大小随时间会变大。
难道电子会随着时间 “变胖”？ 22
四、一般粒子的波函数及其物理意义（7）
代入de Broglie关系得到：
k
A exp[ i
(pr
Et)]
即：自由粒子的波函数，它将粒子的波动同其能
量和动量联系了起来。它是时间和空间的函数。
15
三、自由粒子的波函数（4）
总结：由于自由粒子的能量和动量为常量，根据de
Broglie关系，其对应物质波的角频率和波矢也为常量，
ftir经典案例
ftir经典案例
傅里叶变换红外光谱仪（FTIR）是一种广泛应用于化学、生物学、医学和环境科学等领域的光谱分析技术。
以下是一些FTIR的经典应用案例：
1. 化学结构分析：FTIR能够检测分子中的特定化学键，从而推断出物质的
化学结构。
例如，它可以用于检测有机化合物中的C-H、O-H、N-H等基团。
2. 生物样品分析：在生物学中，FTIR被用于研究生物大分子的结构和功能，例如蛋白质和核酸。
此外，它还可以用于研究细胞和组织的结构和组成。
3. 法医学应用：在法医学中，FTIR被用于分析物证样本，例如纤维、涂料
和塑料，以确定其成分和来源。
4. 环境监测：在环境科学中，FTIR被用于监测空气、水和土壤中的污染物，例如温室气体、油和有毒化学物质。
5. 材料科学：在材料科学中，FTIR被用于研究材料的结构和性质，例如塑料、纤维和陶瓷。
6. 食品科学：在食品科学中，FTIR被用于研究食品的成分和品质，例如脂肪、蛋白质和碳水化合物。
这些只是傅里叶变换红外光谱仪的一些应用案例，实际上它的应用远不止这些。
傅里叶变换__经典ppt
1
§1 Fourier积分公式 积分公式
1.1 Recall: 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随时间 变化的周期函数f 打交道. 例如: 变化的周期函数 T(t)打交道. 例如:
t 具有性质f 称作周期, 具有性质 T(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表 代表 单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹( 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz). , ).
sinc(x)
x
12
前面计算出
1 cn = sinc(ωn ) (n = 0, ±1, ±2,L) 2 2π nπ ωn = nω = n , 可将cn以竖线标在频率图上 = T 2
ω
13
现在将周期扩大一倍, 现在将周期扩大一倍 令T=8, 以f (t)为基础构造 为基础构造 一周期为8的周期函数 的周期函数f 一周期为 的周期函数 8(t)
6
1 合并为： 合并为： cn = T
+∞
∫
fT (t )e −T 2
T 2
−in ωt
dt (n = 0, ±1, ±2,L)
级数化为： 级数化为：
n =−∞
cne in ωt ∑
T 2 1 +∞ = ∑ ∫ fT (τ )e −in ωτ dτ e in ωt T n =−∞ −T 2
19
积分公式与Fourier积分存在定理 1.2 Fourier积分公式与 积分公式与 积分存在定理
− T , T 上满足Dirichlet条件, 设fT (t ) 为T − 周期函数，在 2 2 则 fT (t ) 可展开为Fourier级数: fT (t ) =
傅里叶红外光谱仪分类
傅里叶红外光谱仪可以分为以下几类：
1. 经典傅里叶红外光谱仪(Classical Fourier Transform Infrared Spectrometer,CFTIR):是一种采用经典傅里叶变换原理的红外光谱仪。
它通过样品吸收光的方式来测量样品的分子结构，具有高灵敏度和高精度的优点，被广泛应用于化学、生物、医药等领域的研究中。
2. 近红外光谱仪(Near-Infrared Spectroscopy,NIRS):是一种基于近红外波段进行光谱分析的仪器。
相比于经典傅里叶红外光谱仪，近红外光谱仪具有更高的分辨率和更快的数据采集速度，适用于实时监测和快速分析的应用场景，如食品、环境、材料科学等领域。
3. 表面增强拉曼光谱仪(Surface-Enhanced Raman Spectroscopy,SERS):是一种利用表面增强拉曼效应进行光谱分析的仪器。
它可以在无需破坏样品的情况下获取样品表面的振动信息，因此具有非侵入性、高灵敏度和快速响应的优点，被广泛应用于生物医学、环境监测、材料表征等领域。
4. 多波长傅里叶红外光谱仪(Multi-Wavelength Fourier Transform Infrared Spectrometer,MWFT-NIRS):是一种同时测量多个波长的红外光谱仪。
它可以在同一样品中同时获得多个波长的光谱信息，从而提高分析的准确性和可靠性，被广泛应用于复杂样品的分析中。
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什么是正弦波？
正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单 元也可以理解为一个始终在旋转的圆。
介绍完了频域的基本组成单元，我们就可以看一看一个矩形波，在 频域里的另一个模样了：
老实说，在我学傅里叶变换时，维基的这个图还没有出现，那时我 就想到了这种表达方法，而且，后面还会加入维基没有表示出来的 另一个谱——相位谱。
但是在讲相位谱之前，我们先回顾一下刚刚的这个例子究竟意味着 什么。记得前面说过的那句“世界是静止的”吗？估计好多人对这 句话都已经吐槽半天了。想象一下，世界上每一个看似混乱的表象， 实际都是一条时间轴上不规则的曲线，但实际这些曲线都是由这些 无穷无尽的正弦波组成。我们看似不规律的事情反而是规律的正弦 波在时域上的投影，而正弦波又是一个旋转的圆在直线上的投影。 那么你的脑海中会产生一个什么画面呢？
未完待续
傅里叶变换（上）
孔 孔 出品
一、什么是频域
从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身 高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观 察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为， 世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如 果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒 不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做 频域。
在这几幅图中，最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和， 也就是越来越接近矩形波的那个图形。而后面依不同颜色排列而成 的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。这些正弦波按照频率从低 到高从前向后排列开来，而每一个波的振幅都是不同的。一定有细 心的读者发现了，每两个正弦波之间都还有一条直线，那并不是分 割线，而是振幅为 0 的正弦波！也就是说，为了组成特殊的曲线， 有些正弦波成分是不需要的。
先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子： 在你的理解中，一段音乐是什么呢？
一、什么是频域
这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。但我相 信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的
将以上两图简化：时域： Nhomakorabea
频域：
在时域，我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动，就如同一支 股票的走势；而在频域，只有那一个永恒的音符。
二、傅里叶级数(Fourier Series)的频谱
如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带 90 度角的矩形 波来，你会相信吗？你不会，就像当年的我一样。但是看看下图：
详解
第一幅图是一个郁闷的正弦波 cos（x）
第二幅图是 2 个卖萌的正弦波的叠加 cos (x) +a.cos (3x) 第三幅图是 4 个发春的正弦波的叠加
第四幅图是 10 个便秘的正弦波的叠加
随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形， 大家从中体会到了什么道理？
只要努力，弯的都能掰直！
随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的 曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处 时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。 但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准 90 度角的矩形波 呢？不幸的告诉大家，答案是无穷多个。 （上帝：我能让你们猜着我？）
这里，不同频率的正弦波我们成为频率分量。
时域的基本单元就是“1 秒”，如果我们将一个角频率为的正弦波 cos（t）看作基础，那么频域的基本单元就是。
有了“1”，还要有“0”才能构成世界，那么频域的“0”是什么呢？ cos（0t）就是一个周期无限长的正弦波，也就是一条直线！所以在 频域，0 频率也被称为直流分量，在傅里叶级数的叠加中，它仅仅 影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。
我们眼中的世界就像皮影戏的大幕布，幕布的后面有无数的齿轮， 大齿轮带动小齿轮，小齿轮再带动更小的。在最外面的小齿轮上有 一个小人——那就是我们自己。我们只看到这个小人毫无规律的在 幕布前表演，却无法预测他下一步会去哪。而幕布后面的齿轮却永 远一直那样不停的旋转，永不停歇。这样说来有些宿命论的感觉。 说实话，这种对人生的描绘是我一个朋友在我们都是高中生的时候 感叹的，当时想想似懂非懂，直到有一天我学到了傅里叶级数……