傅里叶变换 经典课件
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经典傅里叶变换讲解ppt课件
)dt
t2 t1
t2 t1
f (t) sin(n1t)dt
6
或
f
(t )
a0 2
(an
n 1
cos n1t
bn
sin n1t)
傅里叶级数的 三角展开式
2
an t2 t1
t2 t1
f (t )cos(n1t )dt
同上式
另一种形式
f
(t )
a0 2
cn
n 1
cos(n1t
n )
t
T 4
,
Fn
T
Sa( n
T
)
1 4
Sa( n
4
)
第一个过零点为n =4 。 Fn 在 2π/ 有 4值1（谱线）
T
f (t)
1
2
o
2
谱线间隔 2π T
1 Fn
4
2
O
T
t
第一个过零点：
Sa(
2
)
0
π 2
2π
23
情况2：
T 8
,
Fn
T
Sa( n
T
)
1 8
Sa( n
8
)
第一个过零点n=8
2
)
21
（2）双边频谱：
1
Fn T
/2
e jn1 tdt
1
e jn1 t
/2
2
sin
n1 2
b
b2 4ac
/ 2
T jn1 / 2 T n1
2a
T
sin
n1 2
n1
2
T
Sa( n1
2
《傅里叶变换经典》PPT课件
F 1[AF BG ] AF 1[F ] BF 1[G ]
43
2. 位移性质:
若F [f t ] F ，t0 ,0 为实常数，则
F [f t t0 ] ejt0F ， F 1[F 0 ] e j0t f t
或F [e j0t f t ] F 0
证明：F
[f
F f t eitdt(实自变量的复值函数)
称为f t 的Fourier变换，记为F [f t ]。
1 F eitd 称为F 的Fourier逆变换，
2 记为F 1[F ] .
26
若F f t F ,则F 1 F f t ； 若F 1 F f t ,则F f t F f t F ：一一对应，称为一组Fourier变换对。 f t 称为原像函数，F 称为像函数。
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表
单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
2
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.—— Fourier级数
1
2
1
2
1,
t
0
42
§3 Fourier变换与逆变换的性质
这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方 便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函 数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.
1.线性性质:
F [af t bg t ] aF [f t ] bF [g t ]
19
1.2 Fourier积分公式与Fourier积分存在定理
43
2. 位移性质:
若F [f t ] F ，t0 ,0 为实常数，则
F [f t t0 ] ejt0F ， F 1[F 0 ] e j0t f t
或F [e j0t f t ] F 0
证明：F
[f
F f t eitdt(实自变量的复值函数)
称为f t 的Fourier变换，记为F [f t ]。
1 F eitd 称为F 的Fourier逆变换，
2 记为F 1[F ] .
26
若F f t F ,则F 1 F f t ； 若F 1 F f t ,则F f t F f t F ：一一对应，称为一组Fourier变换对。 f t 称为原像函数，F 称为像函数。
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表
单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
2
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.—— Fourier级数
1
2
1
2
1,
t
0
42
§3 Fourier变换与逆变换的性质
这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方 便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函 数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.
1.线性性质:
F [af t bg t ] aF [f t ] bF [g t ]
19
1.2 Fourier积分公式与Fourier积分存在定理
傅里叶变换的性质课件
c n
1 T0
T0
2 T0
2
f ( t ) e j d0 t t d
c n
1 2
f ( t ) e j td td
F ( ) f ( t ) e j t d t
cn
1 2
F ( )d
(4―22) (4―23) (4―24) (4―25)
现将信号f(t)的傅里叶级数展开式重写如下
1sin2ft]
n
n1,3,5,
4.2 信号的频谱
4.2.1 信号频谱 上一节我们指出,信号可分解为傅里叶级数,即信号
可由系列复数指数函数加权之和构成。一般我们称这 里的复数指数函数ejnΩt为n次谐波,在该函数上所加的权 为谐波的振幅,nΩ为谐波的角频率,可以说所有的信号均 是由系列角频率不同的谐波叠加而成的(角频率可简称 为频率）。
0
t
(a)
F()
2
1
－ 0
(b)
图4.8 双边指数信号及其频谱
例4―6 求单位直流信号的频谱。
解 幅度为1的单位直流信号可表示为
f(t)=1,-∞<t<∞
(4―44)
它可以看作是双边指数信号在α取极限趋近0时的 一个特例,即
1limetu(t), 0 0
[1]
[limet 0
u(t)]
lim[et
4.2.4 常见信号的频谱分析举例 例4―2求冲激信号δ(t)的频谱。 解 由频谱函数的定义式（4―28）有
F() (t)ejtdt 1
(t) 1
(4―34) (4―35)
(t)
(1)
0 (a)
F()
1
t
0
(b)
第五章 傅里叶变换85页PPT
f (1) (0) 0 f (1) (l) 0
例1，要求在（- ，）上，f (x)=x2,
展开为Fourier 级数，在本题 展开所得中置 x=0，由此验证:
1212 312 412 122
解：f (x)=x2，为偶函数；bk 0
1
a0
02d313
0
2
3
kx
f(x)a 0 a kco s k 1
★得
bk
1 l
l l
f()sin kd
l
★称
a
、
k
bk
为周期函数的傅里叶系数！
4、狄里希利定理：
若f (x) 满足：
(1)处处连续，或在每个周期有 有限个第一类间断点；
(2)或在每个周期有有限个极值 点，则级数收敛，且
级数和
=
f (x)
1[f(x0)f(x0)] 2
(在连续点x ) (在间断点x )
l
sinx, sin2x, L, sinkx,L
l
l
l
★设f(x)为周期为 2l 的函数将 f (x) 展开
f(x)a 0k 1(akco kls xb ksikn lx)
3、再谈周期函数族的正交性
l 1coksxdx0
l
l
l
kx
1sin dx0
l
l
lcoksxconsxd x0 (k n)
l
lHale Waihona Puke llsiknxsin nxd x0
l
l
l
(k
n)
l kx nx
cos sin d x0
l
l
l
l cos
k
x
傅里叶变换专题教育课件
Ω
-
2
３双边奇指数信号
et
f
(t )
e t
旳傅里叶变换为 ：
t 0 t 0
f (t) 1
0
t
F () f (t)e jt dt
-1
0 et e jt dt et e jt dt
0
1
j
2 2 2
| F() |
其幅度频谱和相位频谱为
|
F
()
|
2
2
||
2
() 2
2
0 0
2.在任何有限区间内，只有有限个最大值和最小值。
3.在任何有限区间内，只有有限个不连续点，而且在 每个不连续点上信号都必须取有限值，这时傅里叶 变换收敛于间断点两边函数值旳平均值。
常见非周期信号旳傅里叶变换
１矩形脉冲信号
f(t)
E
E f (t )
0
| t |
2
| t |
2
-
0
t
2
2
E：脉冲幅度，τ：脉冲宽度。其傅里叶变换为
信号可进行傅里叶变换旳条件： 一般来讲，若信号函数满足绝对可积条件，即：
f (t) dt
则信号可进行傅里叶变换。注：此式只是信号函数进行傅里叶变换 旳充分条件。在引入广义函数后，有些不满足此式旳信号函数也能够 进行傅里叶变换。
周期信号旳傅里叶变换：
设有周期性矩形脉冲信号f(t)，
E
f (t )
“非周期信号都能够用正弦信号旳 加权积分来表达”——傅里叶旳第 二个主要论点
§3 傅里叶变换
3.2信号旳傅里叶变换 傅里叶变换有下列积分定义：
： 傅里叶正变换公式
F () F [ f (t )] f (t )e jt dt
傅里叶变换__经典ppt
1
§1 Fourier积分公式 积分公式
1.1 Recall: 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随时间 变化的周期函数f 打交道. 例如: 变化的周期函数 T(t)打交道. 例如:
t 具有性质f 称作周期, 具有性质 T(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表 代表 单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹( 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz). , ).
sinc(x)
x
12
前面计算出
1 cn = sinc(ωn ) (n = 0, ±1, ±2,L) 2 2π nπ ωn = nω = n , 可将cn以竖线标在频率图上 = T 2
ω
13
现在将周期扩大一倍, 现在将周期扩大一倍 令T=8, 以f (t)为基础构造 为基础构造 一周期为8的周期函数 的周期函数f 一周期为 的周期函数 8(t)
6
1 合并为： 合并为： cn = T
+∞
∫
fT (t )e −T 2
T 2
−in ωt
dt (n = 0, ±1, ±2,L)
级数化为： 级数化为：
n =−∞
cne in ωt ∑
T 2 1 +∞ = ∑ ∫ fT (τ )e −in ωτ dτ e in ωt T n =−∞ −T 2
19
积分公式与Fourier积分存在定理 1.2 Fourier积分公式与 积分公式与 积分存在定理
− T , T 上满足Dirichlet条件, 设fT (t ) 为T − 周期函数，在 2 2 则 fT (t ) 可展开为Fourier级数: fT (t ) =
傅里叶变换优质获奖课件
FT[ fe (t)] Re[F ()]
FT[ fo (t)] j Im[F ()]
fe (t)
1[ 2
f
(t)
f
(t)]
fo (t)
1[ 2
f
(t)
f
(t)]
FT[ fe (t)]
1 f (t)e jt dt 2
1 f (t)e jt dt 2
作为 一条 性质 使用
1 f (t)e jtdt 1 f ()e j d
FT[sgn(t)]
F
()
lim
a0
F1
F1 ( )
a2
j 2 2
FT[sgn(t)]
F
(
)
lim
a0
a2
j2 2
2
j
F () 2
( )
2
2
0
0
13
3 20 函数f (t)可以表示成偶函数fe (t)与奇函数fo (t)之和.
试证明: 若f (t)是实函数, 且FT[ f (t)] F ()
Fn
1 T1
T1
2 T1
f (t)e jn1t dt
2
T1Fn
T1
2 T1
2
f (t)e jn1t dt 2Fn 1
频谱密度函数 旳定义
F
()
lim
T1
FnT1
lim
1 0
2Fn 1
3
Fn
E
T1
Sa
n1
2
F () lim 2Fn E Sa( )
18
单边指数信号旳频谱
f (t) eatu(t)
F () 1 F () e j() a j
经典的傅里叶变换上PPT课件
•未完待续
• 只要努力，弯的都能掰直！
• 随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部 分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡， 而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升 到最高处时继续上升的部分使其变为水平 线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要 多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准 90 度角的矩形波呢？不幸的告诉大家，答 案是无穷多个。
• 有了“1”，还要有“0”才能构成世界，那么 频域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一个 周期无限长的正弦波，也就是一条直线！ 所以在频域，0 频率也被称为直流分量，在 傅里叶级数的叠加中，它仅仅影响全部波 形相对于数轴整体向上或是向下而不改变
什么是正弦波？
• 正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的 投影。所以频域的基本单元也可以理解为 一个始终在旋转的圆。
傅里叶变换 （上）
孔 孔 出品
一、什么是频域
• 从我们出生，我们看到的世界都以时间贯 穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹 都会随着时间发生改变。这种以时间作为 参照来观察动态世界的方法我们称其为时 域分析。而我们也想当然的认为，世间万 物都在随着时间不停的改变，并且永远不 会静止下来。但如果我告诉你，用另一种 方法来观察世界的话，你会发现世界是永 恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有 疯，这个静止的世界就叫做频域。
一、什么是频域
• 这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着 时间变化的震动。但我相信对于乐器小能 手们来说，音乐更直观的理解是这样的
• 将以上两图简化： • 时域： •
• 频域：
二、傅里叶级数(Fourier Series)的 频谱
• 如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加 出一个带 90 度角的矩形波来，你会相信吗？ 你不会，就像当年的我一样。但是看看下 图：
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fT
t
0
2
fT
t
0
a0 2
an
n 1
cosnt
bn
sinnt
引进复数形式：
cosnt eint e int , sin nt eint e int
2
2i
5
级数化为：
a0
2
n 1
an
e in t
e int 2
bn
e in t
e int 2i
a0 an ibn eint an ibn e int
lim
T
fT
t
f
t
8
例 矩形脉冲函数为
1 t 1
f t 0 t 1
如图所示:
f (t)
1
-1
O
1
t
9
现以f (t)为基础构造一周期为T的周期函数fT(t), 令T=4, 则
f4 t f t 4n , n
2
T
2
4
2
,
n
n
n
2
f4(t)
t -1 1 3
T=4
10
则
cn
1 T
2 n 1
2
2
令c0
a0 2
,cn
an
ibn 2
,dn
an
ibn 2
,则c0
1 T
T2
T 2 fT t dt
cn
1 T
T T
2
2 fT
t
cosnt
i
sinnt dt
1 T
T 2 f t T e intdt
T 2
dn
1 T
T T
2
2 fT
t
cosnt
i sinnt dt
1 T
T T
2
f
f8 t f t 8n , n
2
T
2
8
4
,
n
n
n
4
f8(t)
-1 1
7
t
T=8
14
则
cn
1 T
T
2 T
fT
t e jntdt
2
1 8
4
4 f8
t e jntdt
1 8
1 e jntdt
1
1
1
e jnt
1 e jn e jn
8jn
1 8jn
1 sin n 4 n
1 4
设fT
t 为T
周期函数，在 T2
,T 2
上满足Dirichlet条件,
则 fT t 可展开为Fourier级数:
积分变换
Fourier变换
Recall: 周期函数在一定条件下可以展开为Fourier级数； 但全直线上的非周期函数不能用Fourier表示； 引进类似于Fourier级数的Fourier积分
(周期趋于无穷时的极限形式)
1
§1 Fourier积分公式
1.1 Recall: 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随时间
变化的周期函数fT(t)打交道. 例如:
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表
单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
2
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.—— Fourier级数
2
t
T
e intdt
cn
n 1, 2,L cn cn
6
合并为：
cn
1 T
T2
f , 1,2,L
级数化为： cneint
n
1 T
n
T2
f T 2 T
e ind eint
cn F n fT t 的离散频谱；
cn fT t 的离散振幅频谱； argcn fT t 的离散相位频谱； n .
sinc n
n
0, 1, 2,
15
则在T=8时,
cn
1 4
sinc
n
n
0, 1, 2,
n
n
n
2
8
n
4
, 再将cn以竖线标在频率图上
w
16
如果再将周期增加一倍, 令T=16, 可计算出
cn
1 8
sinc
n
n
0, 1, 2,
n
n
n
2
16
n
8
,
再将cn以竖线标在频率图上
w
17
一般地, 对于周期T
若以fT t 描述某种信号，则cn 可以刻画fT t 的特征频率。
7
对任何一个非周期函数f (t)都可以看成是由某个周期 函数fT(t)当T时转化而来的.
作周期为T的函数fT(t), 使其在[-T/2,T/2]之内等于 f (t), 在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个数轴上, 则T 越大, fT(t)与f (t)相等的范围也越大, 这就说明当T 时,周期函数fT(t)便可转化为f (t), 即有
cn
1 T
T
2 T
fT
t e jntdt
2
1 1 e jntdt T 1
1
1
e jnt
1 e jn e jn
T jn
1 T jn
2 sin n T n
2 T
sinc n
n
0, 1, 2,
18
当周期T越来越大时, 各个频率的正弦波的频率间
隔越来越小, 而它们的强度在各个频率的轮廓则总是
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近 3
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的
情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内函数变化的
情况.
fT
t 是以T为周期的函数，在
T2
,T 2
上满足
Dirichlet条件：
fT t 连续或只有有限个第一类间断点；
fT t 只有有限个极值点；
T
2 T
fT
t e jntdt
2
1 4
2 2
f4
t
e
jntdt
1 4
1 e jntdt
1
1
1
e jnt
1 e jn e jn
4jn
1 4jn
1 sin n 2 n
1 2
sinc n
n
0, 1, 2,
11
sinc函数介绍
sinc函数定义为sinc x sin x x
严格讲函数在x 0处是无定义的, 但是因为lim sin x 1 x 0 x
sinc函数的形状, 因此, 如果将方波函数f (t)看作是周
期无穷大的周期函数, 则它也可以看作是由无穷多个无 穷小的正弦波构成, 将那个频率上的轮廓即sinc函数的
形状看作是方波函数f (t)的各个频率成份上的分布, 称 作方波函数f (t)的傅里叶变换.
19
1.2 Fourier积分公式与Fourier积分存在定理
fT t 可展开成Fourier级数，且在连续点t处成立：
fT
t
a0 2
an
n 1
cosnt
bn
sin n t
4
其中 2 T ,
an
2 T
T2
T 2 fT t cosntdt
bn
2 T
T2
T 2 fT t sinntdt
在间断点t 处成立：
n 0,1, 2,L n 1, 2,L
所以定义sinc 0 1, 用不严格的形式就写作 sin x
1,
x x 0
则函数在整个实轴连续。
sinc(x)
x
12
前面计算出
cn
1 2
sinc
n
n 0, 1, 2,
n
n
n
2
T
n
2
,
可将cn以竖线标在频率图上
w
13
现在将周期扩大一倍, 令T=8, 以f (t)为基础构造
一周期为8的周期函数f8(t)