6.2.3向量的数乘运算-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册课件
数学（必修·第二册RJA）
返回航
第六章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
[解析] (1)原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a＝－7a＋7b. (2)原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c.
(3)原式＝32(4a－3b＋13b－23a＋74b)＝32(52a－1112b)＝35a－1118b. [归纳提升] 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算 中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算 中也可以使用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作 是向量的系数.
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第六章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
2．向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)＝__(_λμ__)a___. (2)(λ＋μ)a＝__λ_a_＋__μ_a__. (3)λ(a＋b)＝__λ_a_＋__λ_b__. 特别地，我们有(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
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第六章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
题型二 用向量的线性运算表示未知向量
典例 2 如图所示，四边形 OADB 是以向量O→A＝a，O→B＝b 为邻边 的平行四边形，又 BM＝31BC，CN＝13CD，试用 a，b 表示O→M、O→N、M→N.
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第六章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
[知识解读] (1)λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩 大或缩小|λ|倍.
(2)λ是实数，a是向量，它们的积λa仍然是向量.实数与向量可以相 乘，但是不能相加减，如λ＋a，λ－a均没有意义.
(3)注意向量数乘的特殊情况： ①若λ＝0，则λa＝0； ②若a＝0，则λa＝0．
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第六章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
【对点练习】❶ (1)下列各式计算正确的有
(C )
①(－7)6a＝－42a；②7(a＋b)－8b＝7a＋15b；
③a－2b＋a＋2b＝2a；④4(2a＋b)＝8a＋4b.
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
(2)若 a＝b＋c，化简 3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)的结果为( A )
1．了解向量数乘的概念并理解 1．要进一步深化类比实数的乘法运算，
数乘运算的几何意义.(直观想象) 加强对向量的数乘运算的理解，并且感
2．理解并掌握向量数乘的运算 受两者的差异.
律，会进行向量的数乘运算.(数 2．类比三角函数伸缩变换的特征感受
学运算)
向量的数乘运算中向量伸缩的含义，进
3．理解并掌握两向量共线的性 一步理解两个平面向量共线的含义.
第六章
平面向量及其应用
6.2 平面向量的运算
6.2.3 向量的数乘运算
素养目标·定方向 必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能
第六章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
素养目标·定方向
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第六章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
素养目标
学法指导
质及判定方法，并能熟练地运用 3．进一步深化对线性运算几何意义的
这些知识处理有关向量共线问题 理解，把握平面几何中位置关系与向量
.(逻辑推理)
共线之间的联系.
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第六章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
必备知识·探新知
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第六章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
知识点1 向量的数乘运算
1．向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个__向__量___，这种运算叫 做向量的_数__乘____，记作 λa，它的长度与方向规定如下： (1)|λa|＝___|_λ_|_|a__|_. (2)λa(a≠0)的方向当当λλ><00时时，，与与aa方方向向__相 相____同 反________；. 由(1)知，当 λ＝0 时，λa＝0，由(1)(2)知，(－1)a＝－a.
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第六章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
3．向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结 果 仍 是 向 量 . 对 于 任 意 向 量 a ， b ， 以 及 任 意 实 数 λ ， μ1 ， μ2 ， 恒 有 λ(μ1a±μ2b)＝__λ_μ_1_a_±__λ_μ_2_b__.
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第六章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
关键能力·攻重难
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第六章 平面向量及其应用
题型探究 题型一 向量的线性运算
典例 1 计算： (1)4(a＋b)－3(a－b)－8a； (2)(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)； (3)32[(4a－3b)＋13b－14(6a－7b)]. [分析] 运用向量数乘的运算律求解.
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第六章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
知识点2 向量共线定理
向 量 a(a≠0) 与 b 共 线 的 充 要 条 件 是 ： 存 在 唯 一 一 个 实 数 λ ， 使 __b_＝__λ_a__.
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第六章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
[知识解读] 关于共线向量定理的说明： (1)定理中，向量 a 为非零向量，即定理不包含 0 与 0 共线的情况. (2)条件 a≠0 是必须的.否则当 a＝0，b≠0 时，虽然 b 与 a 共线，但 不存在实数 λ，使得 b＝λa；当 a＝0，b＝0 时，λ 可以是任意实数. (3)要证明向量 a，b 共线，只需证明存在实数 λ，使得 b＝λa 即可. (4)若 b＝λa(λ∈R)，则 a 与 b 共线. (5)由本性质定理知，若向量A→B＝λA→C，则A→B，A→C共线.又A→B，A→C有 公共点 A，从而 A，B，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法.
A．－a
B．－4b
C．c
D．a－b
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第六章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
[解析] (1)①③④正确，②错，7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－ b.
(2)3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3－2)a＋(6－6－2)b－2c＝a－2(b ＋c)＝a－2a＝－a.
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数学人教A版(2019)必修第二册6.2.3向量的数乘运算(共31张ppt)
思考：你对零向量、相反向量有什么新的认识?
相反向量： − = −；
零向量： = 或 = ⇔ =
例题剖析
例1.把下列小题中的向量表示为向量的数乘形式。
Ԧ
՜
՜
՜
() = , = ՜
;
՜
= ՜
՜
՜
՜
() = , = − ՜
方向：当 > 0时，的方向与的方向相同；
当 < 0时， 的方向与的方向相反；
当 = 0时， =
概念讲解
注意
①向量数乘的结果仍然是向量，这个向量的长度、方向都和λ以及 有关；
②实数和向量可以相乘，但不能相加减， + ， − 无意义；
||
③ 表示和向量 方向相同的单位 向量
概念讲解
例2：计算（）(−) ×
（）( + ) − ( − ) −
（）( + − ) − ( − + )
解：（1）原式= − × ՜
= − ՜
՜
՜ ՜
՜
՜
՜
（2）原式= + − + − =
情境导入
夏季的雷雨天,我们往往先看到闪电,后听到雷声,这说明声速与
光速的大小不同,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ速是声速的88万倍.
思考：若设光速为v1,声速为v2,将向量类比于实数,则v1与v2有何
关系?
PART.02
向量的数乘运算
概念讲解
探究1：已知非零向量，请同学们作出 + + 和 − + − + − ，并请同学们
相反向量： − = −；
零向量： = 或 = ⇔ =
例题剖析
例1.把下列小题中的向量表示为向量的数乘形式。
Ԧ
՜
՜
՜
() = , = ՜
;
՜
= ՜
՜
՜
՜
() = , = − ՜
方向：当 > 0时，的方向与的方向相同；
当 < 0时， 的方向与的方向相反；
当 = 0时， =
概念讲解
注意
①向量数乘的结果仍然是向量，这个向量的长度、方向都和λ以及 有关；
②实数和向量可以相乘，但不能相加减， + ， − 无意义；
||
③ 表示和向量 方向相同的单位 向量
概念讲解
例2：计算（）(−) ×
（）( + ) − ( − ) −
（）( + − ) − ( − + )
解：（1）原式= − × ՜
= − ՜
՜
՜ ՜
՜
՜
՜
（2）原式= + − + − =
情境导入
夏季的雷雨天,我们往往先看到闪电,后听到雷声,这说明声速与
光速的大小不同,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ速是声速的88万倍.
思考：若设光速为v1,声速为v2,将向量类比于实数,则v1与v2有何
关系?
PART.02
向量的数乘运算
概念讲解
探究1：已知非零向量，请同学们作出 + + 和 − + − + − ，并请同学们
必修第二册6.2.3向量的数乘运算课件(人教版)
问题1：在上面的动画中，小马所走路
线如何用向量a表示？
++
问题2：该向量的长度为多少？与
向量 的模长有何关系？
Ԧ
| + + | = = ||
问题3：该向量方向与向量 Ԧ 有何关系？
相同
新知生成
O
A
B
C
= + + = Ԧ + Ԧ + .
2
3
，=
b=2 Ԧ
1
3
1
b=− Ԧ
2
7
b=− Ԧ
4
（2）=8 ，=-14
（4）=−
3
，
4
=−
2
3
8
b= Ԧ
9
实数与向量的积与原向量有何位置关系？
向量共线定理：
向量 （ ≠ 0 ）与 共线的充要条件：存在唯一一个实数 λ ，
使 = .
四、向量共线定理
【考点一】判定向量共线与三点共线
= λ(或者 = λ)即可。
四、向量共线定理
例4：如图，已知任意两个非零向量 ，，试做
Ԧ
= Ԧ + ，
= Ԧ + 2， = Ԧ + 3.猜想A, B, C三点之间的位置关系，
并证明你的猜想。
证明：由题意可知
= − = (Ԧ + 2) − (Ԧ + ) =
= − = (Ԧ + 3) − (Ԧ + ) = 2
所以， = 2，且有公共点A
因此A，B，C三点共线。
C
B
A
线如何用向量a表示？
++
问题2：该向量的长度为多少？与
向量 的模长有何关系？
Ԧ
| + + | = = ||
问题3：该向量方向与向量 Ԧ 有何关系？
相同
新知生成
O
A
B
C
= + + = Ԧ + Ԧ + .
2
3
，=
b=2 Ԧ
1
3
1
b=− Ԧ
2
7
b=− Ԧ
4
（2）=8 ，=-14
（4）=−
3
，
4
=−
2
3
8
b= Ԧ
9
实数与向量的积与原向量有何位置关系？
向量共线定理：
向量 （ ≠ 0 ）与 共线的充要条件：存在唯一一个实数 λ ，
使 = .
四、向量共线定理
【考点一】判定向量共线与三点共线
= λ(或者 = λ)即可。
四、向量共线定理
例4：如图，已知任意两个非零向量 ，，试做
Ԧ
= Ԧ + ，
= Ԧ + 2， = Ԧ + 3.猜想A, B, C三点之间的位置关系，
并证明你的猜想。
证明：由题意可知
= − = (Ԧ + 2) − (Ԧ + ) =
= − = (Ԧ + 3) − (Ԧ + ) = 2
所以， = 2，且有公共点A
因此A，B，C三点共线。
C
B
A
6.2.3 向量的数乘运算-高一数学新教材配套课件(人教A版2019必修第二册)
课堂小结
1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如 λ＋a，λ－a 是没
有意义的．
2.若 b＝λa(a≠0)，且 b 与 a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，
→ → →→
→→
若AB＝λAC，则AB与AC共线，又AB与AC有公共点 A，从而 A，B，C 三点共线，
这是证明三点共线的重要方法．
D．2a－3b
解析: A→C＝A→B＋A→D＝2a＋3b.
3.在△ABC 中，若A→B＋A→C＝2A→P，则P→B等于( )
A．－12A→B＋32A→C
B. 12A→B－32A→C
√C. 12A→B－12A→C
D．－12A→B＋12A→C
解析：由A→B＋A→C＝2A→P得A→P＝12(A→B＋A→C)，所以P→B＝P→A＋A→B＝－12(A→B＋A→C) ＋A→B＝12A→B－12A→C.
总结
1.若 b＝λa(a≠0)，且 b 与 a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行． 2.若 b＝λa(a≠0)，且 b 与 a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合． 例如，若A→B＝λA→C，则A→B与A→C共线，又A→B与A→C有公共点 A，从而 A， B，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
二．向量共线定理 1.向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 λ，使 b＝λa ．
注意： (1)定理中，向量 a 为非零向量 (2)要证明向量 a，b 共线，只需证明存在实数 λ，使得 b＝λa 即可． (3)由定理知，若向量A→B＝λA→C，则A→B，A→C共线．又A→B，A→C有公共点 A，从而 A，B， C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
由O→D＝O→A＋O→B＝a＋b，得O→N＝12O→D＋16O→D＝23O→D＝23a＋23b.
向量的数乘运算+课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
2
2
3
4
例3 在△ABC中.
(1)若 D 是 BC 边的中点,试用, 表示;
(2)若 E 是 BC 边上一点,且 =
1
,试用, 表示.
4
(2)如图,因为 = + ,
而
1
= 4
所以
1
1
= 5 = 5 ( − ),
1
4
1
= + 5 ( − )=5 + 5 .
(1 ± 2) = 1 ± ��．
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，线性运算的
结果仍为向量
(1)根据定义,求作向量()和() (为非零向量),并进行比较.
(2)已知向量求作向量( + )和 + ，并进行比较.
a
（
3 2a）
6a
a
结合律
向量的数乘
定义：一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算
叫做向量的数乘，记作．
（1）长度： || = || · ||
（2）方向：当 > 0时，的方向与 方向相同；
当 < 0时，的方向与方向相反；
特别地，当 = 0时， = ．当 = −1时， = −
OP xOA yOB且x y 1.
归纳提升
证明或判断三点共线的方法：
1．证明或判断三点共线的方法
(1)一般来说，要判定 A，B，C 三点是否共线，只需看是否存在
→
→
→
→
实数 λ，使得AB＝λAC(或BC＝λAB等)即可．
(2)利用结论：若 A，B，C 三点共线，O 为直线外一点⇔存在实
③和向量 a 方向相同的单位向量是什么？
2
3
4
例3 在△ABC中.
(1)若 D 是 BC 边的中点,试用, 表示;
(2)若 E 是 BC 边上一点,且 =
1
,试用, 表示.
4
(2)如图,因为 = + ,
而
1
= 4
所以
1
1
= 5 = 5 ( − ),
1
4
1
= + 5 ( − )=5 + 5 .
(1 ± 2) = 1 ± ��．
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，线性运算的
结果仍为向量
(1)根据定义,求作向量()和() (为非零向量),并进行比较.
(2)已知向量求作向量( + )和 + ，并进行比较.
a
（
3 2a）
6a
a
结合律
向量的数乘
定义：一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算
叫做向量的数乘，记作．
（1）长度： || = || · ||
（2）方向：当 > 0时，的方向与 方向相同；
当 < 0时，的方向与方向相反；
特别地，当 = 0时， = ．当 = −1时， = −
OP xOA yOB且x y 1.
归纳提升
证明或判断三点共线的方法：
1．证明或判断三点共线的方法
(1)一般来说，要判定 A，B，C 三点是否共线，只需看是否存在
→
→
→
→
实数 λ，使得AB＝λAC(或BC＝λAB等)即可．
(2)利用结论：若 A，B，C 三点共线，O 为直线外一点⇔存在实
③和向量 a 方向相同的单位向量是什么？
数学人教A版(2019)必修第二册6.2.3向量的数乘运算(共27张ppt)
| Ԧ|=| Ԧ |=| Ԧ |,则点 M 为△ABC 的外心.
(3)三角形的垂心:三角形三条高线的交点.
(4)三角形的重心:三角形三条中线的交点.若 G 是△ABC 内一点,且满足 Ԧ +
Ԧ + Ԧ =0,则 G 是△ABC 的重心.
三、课堂小结
1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，
(3)向量－8a(a≠0)的模是向量4a的模的2倍．( √ )
(4)若b＝λa(a≠0)，则a与b方向相同或相反．( × )
(5)若a∥b，则存在λ∈R，使得b＝λa.( × )
a
(6) 表示向量a方向上的单位向量．( √ )
|a|
二、课堂练习
探究一
向量的线性运算
例1(1)化简下列各向量表达式:
①3(6a+b)-9
(2)若 8a＋kb 与 ka＋2b 共线，求实数 k 的值；
(3)已知 A,B,P 三点共线,O 为直线外任意一点.若
的值.
=x
+y
,求 x+y
→ →
→
→
→
(1)证明：∵AB ＝OB －OA ＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，而BC ＝OC
→
→
→ →
－OB ＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2AB ，∴AB 与BC 共线，且有
即 Ԧ−
Ԧ=λ(
Ԧ−
Ԧ ),∴ Ԧ =(1-λ) Ԧ+λ Ԧ.
又 Ԧ =x Ԧ+y Ԧ,
∴x Ԧ+y Ԧ=(1-λ) Ԧ +λ Ԧ ,即(x+λ-1) Ԧ =(λ-y) Ԧ .
∵ Ԧ,
Ԧ 不共线,∴x+y-1=0,λ-y=0.
(3)三角形的垂心:三角形三条高线的交点.
(4)三角形的重心:三角形三条中线的交点.若 G 是△ABC 内一点,且满足 Ԧ +
Ԧ + Ԧ =0,则 G 是△ABC 的重心.
三、课堂小结
1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，
(3)向量－8a(a≠0)的模是向量4a的模的2倍．( √ )
(4)若b＝λa(a≠0)，则a与b方向相同或相反．( × )
(5)若a∥b，则存在λ∈R，使得b＝λa.( × )
a
(6) 表示向量a方向上的单位向量．( √ )
|a|
二、课堂练习
探究一
向量的线性运算
例1(1)化简下列各向量表达式:
①3(6a+b)-9
(2)若 8a＋kb 与 ka＋2b 共线，求实数 k 的值；
(3)已知 A,B,P 三点共线,O 为直线外任意一点.若
的值.
=x
+y
,求 x+y
→ →
→
→
→
(1)证明：∵AB ＝OB －OA ＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，而BC ＝OC
→
→
→ →
－OB ＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2AB ，∴AB 与BC 共线，且有
即 Ԧ−
Ԧ=λ(
Ԧ−
Ԧ ),∴ Ԧ =(1-λ) Ԧ+λ Ԧ.
又 Ԧ =x Ԧ+y Ԧ,
∴x Ԧ+y Ԧ=(1-λ) Ԧ +λ Ԧ ,即(x+λ-1) Ԧ =(λ-y) Ԧ .
∵ Ԧ,
Ԧ 不共线,∴x+y-1=0,λ-y=0.
6.2.3向量的数乘运算-【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件
一般地，我们规定实数λ与向量 a 的积是一
个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a ， 它的长度和方向规定如下：
（1） a a
（2）当 0 时，a 的方向与 a 的方向相同；
当 0 时，a 的方向与 a 的方向相反 。
特别地，当 0 时， a 0
注：数乘运算的结果是一个向量，有大小和方向
特别地，我们有 a a = a a b a b
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 对于任意向量 a, b，以及任意实数 , 1, 2 ， 恒有
1a 2b 1a 2b
仍是向量
练习：化简下列各式：
(1)3(6a b) 9(a 1 b) 3
(2)
1 12
故A, B,C三点共线
b a
O
结论
1.对于a, b ，若存在不全为0的实数, ，
使 a b 0 ，则a与b 共线。
2.若a与b不共线，当a b 0,一定有==0
3. 已知A,B,C三点共线，O为直线外任意一点，
存在唯一一对实数， ，
使 OC OA OB ，且 =1 .
三点共线的判定定理
6.2.3向量的数乘运算
探究：已知非零向量 a , 作出 a a a 和
(a) (a) (a) , 它们的长度和方向分别是怎样的？
a
aa a
OA
B
C
记作 3a
OC OA AB BC a a a
a a a
NM Q
P
记作 3a
PN PQ QM MN （ a）（ a）（ a）
定义
A→N＝A→D＋D→N＝23A→B＋13(b－a)＝13(a＋b).
2.已知向量 a、b，且A→B＝a＋2b，B→C＝－5a＋6b，C→D＝7a－2b，则一定
个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a ， 它的长度和方向规定如下：
（1） a a
（2）当 0 时，a 的方向与 a 的方向相同；
当 0 时，a 的方向与 a 的方向相反 。
特别地，当 0 时， a 0
注：数乘运算的结果是一个向量，有大小和方向
特别地，我们有 a a = a a b a b
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 对于任意向量 a, b，以及任意实数 , 1, 2 ， 恒有
1a 2b 1a 2b
仍是向量
练习：化简下列各式：
(1)3(6a b) 9(a 1 b) 3
(2)
1 12
故A, B,C三点共线
b a
O
结论
1.对于a, b ，若存在不全为0的实数, ，
使 a b 0 ，则a与b 共线。
2.若a与b不共线，当a b 0,一定有==0
3. 已知A,B,C三点共线，O为直线外任意一点，
存在唯一一对实数， ，
使 OC OA OB ，且 =1 .
三点共线的判定定理
6.2.3向量的数乘运算
探究：已知非零向量 a , 作出 a a a 和
(a) (a) (a) , 它们的长度和方向分别是怎样的？
a
aa a
OA
B
C
记作 3a
OC OA AB BC a a a
a a a
NM Q
P
记作 3a
PN PQ QM MN （ a）（ a）（ a）
定义
A→N＝A→D＋D→N＝23A→B＋13(b－a)＝13(a＋b).
2.已知向量 a、b，且A→B＝a＋2b，B→C＝－5a＋6b，C→D＝7a－2b，则一定
人教版数学必修第二册6.2.3向量的数乘运算课件
题型三
[例3]
用已知向量表示未知向量
(1)如图，▱ABCD中，E是BC的中点，若 ＝a， ＝b，
则 ＝( D )
1
2
1
2
A． a－b
B． a＋b
1
2
1
2
C．a＋ b
D．a－ b
＝ +
1
2
＝ + (− )
＝ −
＝−
1
2
1
2
(2)如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分
11
18
= －
(2)已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y
满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y.
3x－2y＝a ①
－4x＋3y＝b ②
由①×3＋②×2得，x＝3a＋2b，
代入①得3×(3a＋2b)－2y＝a，所以y＝4a＋3b.
所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.
即 － ＝λ( － )，
所以 ＝(1－λ) ＋λ ，
故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.
多维探究
变式1 本例(1)中把条件改为“ ＝e1＋2e2，＝－5e1＋6e2， ＝
7e1－2e2”，则A，B，C，D中哪三点共线？
∵ ＝e1＋2e2，
＝ ＋＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)＝2.
原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.
方法总结
向量数乘运算的方法
①向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、
合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是
2019-2020学年度新人教A版必修第二册6.2.3、向量的数乘运算课件
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[思路探究] (1) 表示出A→B与A→D → 证明A→B＝λA→D → A，B，D三点共线 (2) A，B，P三点线 → A→P＝λA→B → 用O→A，O→B表示O→P → 观察x＋y的值
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[解] (1)证明：∵C→B＝e1＋3e2，C→D＝2e1－e2， ∴B→D＝C→D－C→B＝e1－4e2. 又A→B＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)， ∴A→B＝2B→D，∴A→B∥B→D. ∵AB与BD有交点B， ∴A，B，D三点共线．
D [由题意可知：A→B＝－3B→C；A→C＝－2B→C＝2C→B.故只有D正 确．]
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3．化简：2(3a＋4b)－8a＝________. －2a＋8b [原式＝6a＋8b－8a＝－2a＋8b.]
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4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O， A→B＋A→D＝λA→O，则λ＝________.
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3x－2y＝a ①， (2) －4x＋3y＝b ②，
由①×3＋②×2得，x＝3a＋2b，代入
①得3×(3a＋2b)－2y＝a，所以y＝4a＋3b.
所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.
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向量共线定理 [探究问题] 1．如何证明向量a与b共线？ [提示] 要证明向量a与b共线，只需证明存在实数λ，使得b＝ λa(a≠0)即可，一般地，把a和b用相同的两个向量m，n表示出来， 观察a与b具有倍数关系即可．
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向量数乘运算的方法 (1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去 括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘 积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看 作是向量的系数．
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[思路探究] (1) 表示出A→B与A→D → 证明A→B＝λA→D → A，B，D三点共线 (2) A，B，P三点线 → A→P＝λA→B → 用O→A，O→B表示O→P → 观察x＋y的值
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[解] (1)证明：∵C→B＝e1＋3e2，C→D＝2e1－e2， ∴B→D＝C→D－C→B＝e1－4e2. 又A→B＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)， ∴A→B＝2B→D，∴A→B∥B→D. ∵AB与BD有交点B， ∴A，B，D三点共线．
D [由题意可知：A→B＝－3B→C；A→C＝－2B→C＝2C→B.故只有D正 确．]
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3．化简：2(3a＋4b)－8a＝________. －2a＋8b [原式＝6a＋8b－8a＝－2a＋8b.]
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4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O， A→B＋A→D＝λA→O，则λ＝________.
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3x－2y＝a ①， (2) －4x＋3y＝b ②，
由①×3＋②×2得，x＝3a＋2b，代入
①得3×(3a＋2b)－2y＝a，所以y＝4a＋3b.
所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.
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向量共线定理 [探究问题] 1．如何证明向量a与b共线？ [提示] 要证明向量a与b共线，只需证明存在实数λ，使得b＝ λa(a≠0)即可，一般地，把a和b用相同的两个向量m，n表示出来， 观察a与b具有倍数关系即可．
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向量数乘运算的方法 (1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去 括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘 积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看 作是向量的系数．
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2019-2020学年人教A版必修 第二册 6.2.3 向量的数乘运算 课件
【习练·破】
已知a=4d，b=5d，c=-3d，则2a-3b+c等于
A.10d
B.-10d
C.20d
D.-20d
【解析】选B.2a-3b+c=8d-15d-3d=-10d.
()
【加练·固】 已知向量a，b，且5x+2y=a，3x-y=b，求x，y.
【解析】将3x-y=b两边同乘2， 得6x-2y=2b.与5x+2y=a相加， 得11x=a+2b，即x= a+ b.
所以y=3x-b=3
1 =2 a- b.
11 11
( 1 a 2 b) 3
5
11 11
11 11
类型二 用已知向量表示相关向量
【典例】1.(2019·长沙高一检测)设D，E分别是△ABC
的边AB，BC上的点，AD= AB，BE= BC.若 =
λ 1 +λ 2 _______.
(λ 1，λ 12为实数)，则2 λ 1+λ 2u的ur 值为
【解析】设λ
则
则
AB＝BP， OB＝OA AB， OP＝OB BP
所以x+y=1+λ-λ=1.
＝OA AB BP＝OA OB OA （OB OA）＝O（B 1 ） OA，
【习练·破】
已知非零向量e1，e2不共线. (1)如果 =e1+e2， =2e1+8e2， 证：A，B，D三点共线.
即：a+ +(-AB aB)C+(-CbD)=0D，A
所以 uu=rb- 1a， 又因为uu在r B四C 边形1 A2DMN中，有
=0，
即：bB+C a+ 2 +(- a)=u0u，ur uuur uuur uuur
6.2.3向量的数乘运算-人教A版(2019)高中数学必修第二册课件
例3 如图, OA、OB 不共线,且 AP t AB P (t R), 用OA, OB 表示 OP .
B A O
1.三个向量有共同的起点O 2.两数之和为1
思考：若O是ABC内部一点，且OA OB OC 0。 求证：O是ABC的重心。 证明：如图，设D是BC的中点，则OB OC 2OD
∵D 是 BC 的中点， →→→
四边形 ABEC 是平行四边形．∴AB＋AC＝AE. 又∵A→G＝23A→D＝2312A→E＝13A→E， ∴A→G＝13(A→B＋A→C)．
六、课时小结 1、向量数乘的定义及运算律
2、向量共线定理： a(a 0)//b b a.
4、定理的应用： ⑴证明向量共线 ⑵证明三点共线：
若AD 2DB，CD 1 CA CB,则 ( A )
3
2
1
A. B.
3
3
1 C.-
3
2 D. -
3
五、针对性练习
3、如图所示，D是 ABC的边AB上的中点，
则向量CD ( A )
A、 BC 1 BA 2
C、BC 1 BA 2
B、 BC 1 BA 2
D、BC 1 BA 2
A
D
B
C
向量数乘运算
一、复习回顾 1、向量加法 三角形法则 C 首
尾 ab b
相
接 Aa B
2、向量减法三角形法则
平行四边形法则
B aC
起 点
b ab
b
相 同
O aA
a
B
b
BA a b
指连同 被终起 减点点
b
O a A BA OA OB
热身：化简：(1)―A→B －―C→B －―D→C ＋―D→E ＋―F→A ； (2)(―A→C ＋―B→O ＋―O→A )－(―D→C －―D→O －―O→B )．