kriging(克里金方法-克里金插值)汇总
(h) C(0) C(h)
（二阶平稳假设条件下变差函数与协方差的关系）
变程(Range) ：指区域化变量在空间上具有相关性的 范围。在变程范围之内，数据具有相关性；而在变 程之外，数据之间互不相关，即在变程以外的观测 值不对估计结果产生影响。
具不同变程 的克里金插 值图象
块金值(Nugget) ：变差函数如果在原点间断，在地质统计学中称 为“块金效应”，表现为在很短的距离内有较大的空间变异性， 无论h多小，两个随机变量都不相关 。它可以由测量误差引起， 也可以来自矿化现象的微观变异性。在数学上，块金值c0相当于 变量纯随机性的部分。
F(u; z) Pr ob{Z(u) z}
P
条件累积分布函数（ccdf）后验 conditional cumulative distribution function
F(u; z | (n)) Pr ob{Z(u) z | (n)}
离散变量（类型变量）：
P
F(u;k | (n)) Prob{Z(u) k | (n)}
E[ξ-E(ξ)]2存在，则称它为ξ的方差，记为D(ξ)， 或Var(ξ)，或σξ2。
D(ξ)= E[ξ-E(ξ)]2 其简算公式为
D(ξ)=E(ξ2) –[E(ξ)]2
方差的平方根为标准差，记为σξ
σξ=
D( ) E[ - E( )]2 E( 2) -[E( )]2
从矩的角度说，方差是ξ的二阶中心矩。
随机函数在空间上的变化没有明显趋势， 围绕m值上下波动。
② 在整个研究区内，Z(u)的协方差函数存在且平稳 (即只依赖于滞后h，而与u无关)， 即
Cov{Z(u),Z(u+h)} = E[Z(u)Z(u+h)]-E[Z(u)]E[Z(u+h)] = E[Z(u)Z(u+h)]-㎡ = C(h)
协方差不依赖于空间绝对位置，而依赖于相对位置 ， 即具有空间的平稳不变性。
绝对收敛，则称它为ξ的数学期望，记为E(ξ)。
E(ξ) =
xp( x)dx
数学期望是随机变量的最基本的数字特征，
相当于随机变量以其取值概率为权的加权平均数。
从矩的角度说，数学期望是ξ的一阶原点矩。
对于一组样本：
N
( zi )
m i1 N
(2)方差 为随机变量ξ的离散性特征数。若数学期望
P (ξ=xk)= pk, k=1,2,….
则当级数 xk pk 绝对收敛时，称此级数的 k 1
和为ξ的数学期望，记为E(ξ)，或Eξ。
E(ξ) = xk pk k 1
②设连续型随机变量ξ的可能取值区间为(-∞，+∞)，
p(x)为其概率密度函数，若无穷积分
xp(x)dx
跃迁现象
一维情况下的定义：
假设空间点x只在一维的x轴上变化，则将区域化 变量Z(x)在x，x+h两点处的值之差的方差之半定义
为Z(x)在x轴方向上的变差函数，记为 (x, h)
(x,h)
=
1 2
Var[Z(x)-Z(x+h)]
=
1 2
E[Z(x)-Z(x+h)]2-{E[Z(x)-Z(x+h)]}2
相当于要求：Z(u)的变差函数存在且平稳。
可出现协方差函数不存在，但变差函数存在的情况。
例：物理学上的著名的布朗运动是一种呈现出无限 离散性的物理现象，其随机函数的理论模型就是维 纳-勒维(Wiener-Levy)过程(或随机游走过程)。
布朗运动:
既不能确定验前方差，也不能确定协方差函数。
但是其增量却具有有限的方差： Var[Z(x)-Z(x+h)] = 2 (h)= A·|h| (其中，A是个常数)，
变差函数= A ·|h|，且随着|h|线性地增大。
2
准二阶平稳假设及准本征假设
若区域化变量Z(x)在整个区域内不满足二阶平 稳(或本征假设) ，但在有限大小的邻域内是二阶平 稳(或本征)的，则称Z(x)是准二阶平稳的(或准本征 的)。
三、克里金估计(基本思路
----以普通克里金为例
设 x1,, xn 为区域上的一系列观测点，zx1 ,, zxn
半变差函数(或半变异函数)
在二阶平稳假设，或作本征假设，此时：
E[Z(x)-Z(x+h)] = 0 h
则：
( x, h)
=
1 2
Var[Z(x)-Z(x+h)]
=
1 2
E[Z(x)-Z(x+h)]2-{E[Z(x)-Z(x+h)]}2
(x,h)
=
1 2
E[Z(x)-Z(x+h)]2
地质统计学中最常用 的基本公式之一。
处的一个随机实现。
空间各点处随机变量的集合构成一个随机函数。
（可以应用随机函数理论解决插值和模拟问题）
考虑邻近点，推断待估点 ----空间统计推断要求平稳假设
严格平稳
F(u1,,uK ; z1,, zK ) F(u1 h,,uK h; z1,, zK )
对于单变量而言：
可得到关系式:
n
i 1
i 1
Z*(x0)
（2）估计方差最小
k 2 E Z * x0 Zx0 EZ * x0 Zx0 2 E Z *x0 Zx0 2
min
应用拉格朗日乘数法求条件极值
Z*(x0)
（1）无偏条件
从本征假设出发, 可知 EZx为常数,有
EZ * x0 Zx0
E n i Z xi Z x0
i1
n i m m 0 i1
（在搜寻邻域内为 常数，不同邻域可 以有差别）
不同的取值方式：估计（estimation）
模拟（simulation）
连续型地质变量
构造深度 砂体厚度 有效厚度 孔隙度 渗透率 含油饱和度
离散型地质变量
（范畴变量） 类型变量
砂体 相 流动单元 隔夹层 断层
随机变量的特征值：
(1)数学期望 是随机变量ξ的整体代表性特征数。
①设离散型随机变量ξ的所有可能取值为 x1，x2，…，其相应的概率为
2. 随机函数
研究范围内的一组随机变量。
{Z(u),u 研究范围} 简记为 Z(u)
条件累积分布函数（ccdf）
F(u1,,uK ; z1,, zK | (n)) Prob{Z(u1) z1,, Z(uK ) zK | (n)}
随机场：
P
当随机函数依赖于多个
自变量时，称为随机场。
当随机函数不满足二阶平稳,而满足内蕴（本征）假设时, 可用变差函数来表示克里金方程组如下:
i
n 1
xi x j
i
x0 x j
n
i 1
i 1
j 1,, n
Z*(x0)
最小的估计方差,即克里金方差可用以下公式求解:
为相应的观测值。区域化变量在 x0处的值 z* x0 可
采用一个线性组合来估计：
n
z*x0 i zxi i 1
无偏性和估计方差最小被作为 i 选取的标准
无偏 E Zx0 Z * x0 0 最优 Var Zx0 Z * x0 min
H. S. Sichel (1947) D.G. Krige (1951)
应用统计学方法研究金矿品位
Kriging法（克里金法，克立格 法）:“根据样品空间位置不同、样 品间相关程度的不同，对每个样品 品位赋予不同的权，进行滑动加权 平均，以估计中心块段平均品位”
G. Materon(1962)
提出了“地质统计学”概念 (法文Geostatistique)
如具有三个自变量(空间
点的三个直角坐标)的随
机场
随机函数的特征值
协方差(Variance)： 二个随机变量ξ，η的协方差为二维随机变量(ξ，
η)的二阶混合中心矩μ11，记为Cov(ξ，η)，或σξ,η。
Cov(ξ,η) = σξ,η = E[ξ-E(ξ)][η-E(η)]
其简算公式为 Cov(ξ,η) = E (ξη)-E(ξ) ·E(η)
特殊地，当h=0时，上式变为 Var[Z(u)]=C(0), 即方差存在且为常数。
u+h u
本征假设 intrinsic hypothese
（比二阶平稳更弱的平稳假设）
当区域化变量Z(u)的增量[Z(u)-Z(u+h)]满足下列二 条件时，称其为满足本征假设或内蕴假设。
①在整个研究区内有 E[Z(u)-Z(u+h)] = 0
可出现E[Z(u)]不存在， 但E[Z(u)-Z(u+h)]存在并为零的情况
E[Z(u)]可以变化,但E[Z(u)-Z(u+h)]=0
② 增量[Z(u)-Z(u+h)]的方差函数 (变差函数,Variogram)
存在且平稳 (即不依赖于u)，即：
Var[Z(u)-Z(u+h)] = E[Z(u)-Z(u+h)]2-{E[Z(u)-Z(u+h)]}2 = E[Z(u)-Z(u+h)]2 = 2γ(u,h) = 2γ(h),
（应用随机函数理论）
井眼 地震
第一节 基本原理
一、随机变量与随机函数 1. 随机变量
为一个实值变量，可根据概率分布取不同的值。 每次取值（观测）结果z为一个确定的数值，称为 随机变量Z的一个实现。
P
连续变量：
累积分布函数（cdf）
克里格插值
克里格插值什么是克里格插值？距离权重倒数插值和样条法插值被归类为确定性的插值方法，因为它们是直接基于周围已知点的值进行计算或是用指定的数学公式来决定输出表面的平滑度的插值方法。
而第二个插值方法家族包括的是一些地统计学的插值方法（如克里格插值），这些方法基于一定的包括诸如自相关（已知点间的统计关系）之类的统计模型。
因此，这些方法不仅有能力生成一个预测表面，而且还可以给出预测结果的精度或确定性的度量。
克里格插值与距离权重倒数插值相似之处在于给已知的样本点赋权重来派生出未知点的预测值。
这两种内插方法的通用公式如下，表达为数据的权重总和。
其中， Z(Si)是已测得的第i个位置的值；λi是在第i个位置上测得值的未知的权重；S0是预测的位置；N 是已知点（已测得值的点）的数目。
在距离权重倒数插值中，权重λi仅取决于距预测位置的距离。
然而，在克里格插值中，权重不仅建立在已知点和预测点位置间的距离的基础上，而且还要依据已知点的位置和已知点的值的整体的空间分布和排列。
应用权重的空间排列，空间自相关必须量化。
因此，运用普通克里格插值（Ordinary Kriging），权重λi取决于已知点的拟合模型、距预测位置的距离和预测点周围的已知点间的空间关系。
利用克里格方法进行预测，必须完成以下两个任务：（1）揭示相关性规则。
（2）进行预测。
要完成这两项任务，克里格插值方法通过以下两个步骤完成：（1）生成变异函数和协方差函数，用于估算单元值间的统计相关（也叫空间自相关），而变异函数和协方差函数也取决于自相关模型（拟合模型）。
（2）预测未知点的值。
因为前面已经说过的两个明确的任务，因此要用克里格方法对数据进行两次运算：第一次是估算这些数据的空间自相关而第二次是做出预测。
变异估计（Variography）变异估计就是拟合一个数学模型或空间模型，象已知的结构分析。
在已测点结构的空间建模中，首先得出经验半变异函数的曲线图，计算如下：半变异函数（距离h）＝ 0.5*均值[ (在i 位置的值－在j 位置的值)2 ]用于计算被距离h分隔的每一点对相对应的位置。
克里金法
Z ( x ) i Z ( x i )
* i 1
n
i 为权重系数，表示各空间样本点处的观测值对估值的影响度或者贡
献程度。 显然，克里格估值的关键问题就是在于求解 i 的值，同时根据估值 的基本原则，即无偏性和估计方差最小（最优性）的要求，具体就是要满 足以下条件：
整理后得：
n j c( xi , x j ) c( xi , x) j 1 n 1 i i=1，2，3…… i 1
解上式线性方程组,求出权重系数λi和拉格朗日系数μ,代入公式
2 E c( x, x) i j c( xi , x j ) 2 i c( xi , x) i 1 j 1 i 1 n n n
可得克里格估计方差
2 σ E c( x, x) i c( xi , x) i 1 n
上述过程也可用矩阵形式表示，令
c11 c12 c 21 c22 K cn1 cn 2 1 1
c1n c2 n cnn 1
1 1 , 1 0
1 2 , n
c( x1 , x) c ( x , x ) 2 D c ( xn , x ) 1
首先，假设区域变化变量为Z(x)，其满足内蕴假设条件和 二阶平稳条件，数学期望为m，协方差函数c(h)及变异函数 (h) 存在，即：
E[ Z ( x)] m c(h) E[ Z ( x) Z ( x h)] m 2 1 (h) E[ Z ( x) Z ( x h)]2 2
克里金插值法（参考内容）
克⾥⾦插值法（参考内容）克⾥⾦插值法克⾥⾦插值法⼜称空间局部插值法，是以变异函数理论和结构分析为基础，在有限区域内对区域化变量进⾏⽆偏最优估计的⼀种⽅法，是地统计学的主要内容之⼀，由南⾮矿产⼯程师D. Matheron 于1951年在寻找⾦矿时⾸次提出，法国著名统计学家G. Matheron 随后将该⽅法理论化、系统化，并命名为Kriging ，即克⾥⾦插值法。
1 克⾥⾦插值法原理克⾥⾦插值法的适⽤范围为区域化变量存在空间相关性，即如果变异函数和结构分析的结果表明区域化变量存在空间相关性，则可以利⽤克⾥⾦插值法进⾏内插或外推。
其实质是利⽤区域化变量的原始数据和变异函数的结构特点，对未知样点进⾏线性⽆偏、最优估计，⽆偏是指偏差的数学期望为0，最优是指估计值与实际值之差的平⽅和最⼩[1]。
因此，克⾥⾦插值法是根据未知样点有限领域内的若⼲已知样本点数据，在考虑了样本点的形状、⼤⼩和空间⽅位，与未知样点的相互空间关系，以及变异函数提供的结构信息之后，对未知样点进⾏的⼀种线性⽆偏最优估计。
假设研究区域a 上研究变量Z （x ），在点x i ∈A （i=1，2，……，n ）处属性值为Z （x i ），则待插点x 0∈A 处的属性值Z （x 0）的克⾥⾦插值结果Z*（x 0）是已知采样点属性值Z （x i ）（i=1，2，……，n ）的加权和，即：)()(10*i ni i x Z x Z ∑==λ（1）式中i λ是待定权重系数。
其中Z(x i )之间存在⼀定的相关关系，这种相关性除与距离有关外，还与其相对⽅向变化有关，克⾥⾦插值⽅法将研究的对象称“区域化变量”针对克⾥⾦⽅法⽆偏、最⼩⽅差条件可得到⽆偏条件可得待定权系数i λ (i=1，2，……，n)满⾜关系式： 11=∑=n i i λ（2）以⽆偏为前提，kriging ⽅差为最⼩可得到求解待定权系数i λ的⽅程组：==+∑∑= = 1 )n ,2,1 )( , ( ) , (1 1 n iijjin iijx x C x x C λµ（3）式中，C（x i，x j）是Z(x i)和Z(x j)的协⽅差函数。
克里金插值法.pptx
针对克里金方法无偏、最小方差条件可得到无偏条件可得待定权系数i (i=1，2，……，
n)满足关系式：
n
i 1
i 1
以无偏为前提，kriging 方差为最小可得到求解待定权系数i 的方程组：
（5）根据求出的权重值，代入公式（1），即可求得评估领域内 n 个采样值的线性组合[2]。
克里金插值法的方法路线图如下：
3
导入数据
数据分析
是否服从 正态分布
是
是否存在 趋势
否
否 数据变换
是 泛克里金方法
根据数据选择 合适的方法
进行预测
计算克里金系数
拟合理论半 变异函数图
绘制经验半 变异函数图
绘制方差 变异云图
c 1
i
ni
dw 1
i1 c d w
（2）根据搜索策略选择合适的参估点，如图 2：
（4）
2
图 2 参估点图示
（3）根据已经求出的变异函数以及采样点数量，三个采样点列出三个等式，求出方程 组的系数，公式为：
C(1,1) C(2,1)
C(3,1)
C(1,2) C(2,2) C(3,2)
C(1,3)1 C(0,1) C(2,3)2 C(0,2)
不取决于 s 点的位置，而取决于位移量 h。为了确保自相关方程有解，必须允许某两点间自 相关可以相等。
然后，可以对方程式左边 Z(s) 进行变换。例如，可以将其转换成指示变量，即如果Z(s)
低于一定的阈值，则将其值转换为 0，将高于阈值的部分转换为 1，然后对高于阈值部分作 出预测，基于此模型作出预测便形成了指示克里金模型。如果将指示值转变成含有变量的
插值方法比较
1. 克里金法（Kriging）克里金法是通过一组具有z 值的分散点生成估计表面的高级地统计过程。
与其他插值方法不同，选择用于生成输出表面的最佳估算方法之前应对由z 值表示的现象的空间行为进行全面研究。
克里金插值与IDW插值的区别在于权重的选择，IDW仅仅将距离的倒数作为权重,而克里金考虑到了空间相关性的问题。
它首先将每两个点进行配对，这样就能产生一个自变量为两点之间距离的函数。
对于这种方法，原始的输入点可能会发生变化.在数据点多时，结果更加可靠。
该方法通常用在土壤科学和地质中。
2. 反距离权重法(Inverse Distance Weighted，IDW）反距离权重法（反距离权重法）工具所使用的插值方法可通过对各个待处理像元邻域中的样本数据点取平均值来估计像元值。
点到要估计的像元的中心越近，则其在平均过程中的影响或权重越大.此方法假定所映射的变量因受到与其采样位置间的距离的影响而减小。
例如,为分析零售网点而对购电消费者的表面进行插值处理时,在较远位置购电影响较小，这是因为人们更倾向于在家附近购物.反距离权重法主要依赖于反距离的幂值。
幂参数可基于距输出点的距离来控制已知点对内插值的影响。
幂参数是一个正实数，默认值为2。
通过定义更高的幂值,可进一步强调最近点.因此，邻近数据将受到最大影响，表面会变得更加详细（更不平滑）。
随着幂数的增大，内插值将逐渐接近最近采样点的值。
指定较小的幂值将对距离较远的周围点产生更大影响，从而导致更加平滑的表面。
由于反距离权重公式与任何实际物理过程都不关联，因此无法确定特定幂值是否过大。
作为常规准则，认为值为30 的幂是超大幂，因此不建议使用.此外还需牢记一点，如果距离或幂值较大，则可能生成错误结果。
3。
含障碍的样条函数（Spline with Barriers)含障碍的样条函数工具使用的方法类似于样条函数法工具中使用的技术，其主要差异是此工具兼顾在输入障碍和输入点数据中编码的不连续性.含障碍的样条函数工具应用了最小曲率方法，其实现方式为通过单向多格网技术，以初始的粗糙格网(在本例中是已按输入数据的平均间距进行初始化的格网)为起点在一系列精细格网间移动，直至目标行和目标列的间距足以使表面曲率接近最小值为止。
克里金差值
（应用随机函数理论）
2021/4/9
井眼 地震
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第一节 基本原理
一、随机变量与随机函数 1. 随机变量
为一个实值变量，可根据概率分布取不同的值。 每次取值（观测）结果z为一个确定的数值，称为 随机变量Z的一个实现。
P
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连续变量：
布朗运动:
•既不能确定验前方差，也不能确定协方差函数。
•但是其增量却具有有限的方差：
Var[Z(x)-Z(x+h)] = 2 (h)= A·|h| (其中，A是个常数)， 变差函数= A ·|h|，且随着|h|线性地增大。
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准二阶平稳假设及准本征假设
若区域化变量Z(x)在整个区域内不满足二阶平 稳(或本征假设) ，但在有限大小的邻域内是二阶平 稳(或本征)的，则称Z(x)是准二阶平稳的(或准本征 的)。
E(ξ) = x k p k
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k 1
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②设连续型随机变量ξ的可能取值区间为(-∞，+∞)，
p(x)为其概率密度函数，若无穷积分
ห้องสมุดไป่ตู้
xp(x)dx
绝对收敛，则称它为ξ的数学期望，记为E(ξ)。
E(ξ) = xp(x)dx
•数学期望是随机变量的最基本的数字特征，
相当于随机变量以其取值概率为权的加权平均数。
①在整个研究区内有 E[Z(u)-Z(u+h)] = 0
可出现E[Z(u)]不存在， 但E[Z(u)-Z(u+h)]存在并为零的情况
E[Z(u)]可以变化,但E[Z(u)-Z(u+h)]=0
python克里金插值法
python克里金插值法Python克里金插值法克里金插值法（Kriging）是一种用于空间插值的统计方法，常用于地质学、地球物理学、环境科学等领域。
它通过样本点的空间分布信息，推断未知点的值，并生成一幅连续的表面。
一、克里金插值法的原理克里金插值法的核心思想是通过已知点之间的空间相关性来估计未知点的值。
该方法基于两个假设：1）空间上相近的点具有相似的值；2）相邻点之间的差异可以通过某种函数来描述。
插值的第一步是计算已知点之间的空间相关性。
通常使用半方差函数（semivariogram）来量化相邻点之间的差异。
半方差函数表示了不同距离下的样本点间的差异，可以通过实际数据的半方差函数图来选择合适的函数模型。
插值的第二步是确定权重。
克里金插值法假设未知点的值是已知点的线性组合，权重由已知点之间的空间相关性决定。
一般来说，距离已知点越近且权重越大，距离已知点越远且权重越小。
插值的第三步是计算未知点的值。
根据已知点的值和权重，使用线性插值的方法来估计未知点的值。
这样，就可以生成一幅连续的表面，反映了未知点的分布情况。
二、克里金插值法的应用克里金插值法在地质学、地球物理学、环境科学等领域有广泛的应用。
以下是一些典型的应用案例：1. 地下水位插值地下水位的空间分布对于水资源管理和环境保护至关重要。
通过收集已知点的地下水位数据，可以利用克里金插值法推断未知点的地下水位值，从而绘制出地下水位的分布图。
2. 污染物扩散模拟污染物扩散对于环境风险评估和污染治理具有重要意义。
通过收集已知点的污染物浓度数据，可以利用克里金插值法推断未知点的污染物浓度值，从而模拟污染物的扩散情况。
3. 地震震级插值地震震级是评估地震强度的重要指标。
通过收集已知点的地震震级数据，可以利用克里金插值法推断未知点的地震震级值，从而绘制出地震震级的分布图。
4. 土壤质量评估土壤质量是农业生产和生态环境保护的关键因素。
通过收集已知点的土壤质量数据，可以利用克里金插值法推断未知点的土壤质量值，从而评估土壤质量的空间分布。
克里金插值法
克里金插值法克里金插值法又称空间局部插值法，是以变异函数理论和结构分析为基础，在有限区域内对区域化变量进行无偏最优估计的一种方法，是地统计学的主要内容之一，由南非矿产工程师D. Matheron 于1951年在寻找金矿时首次提出，法国著名统计学家G. Matheron 随后将该方法理论化、系统化，并命名为Kriging ，即克里金插值法。
1 克里金插值法原理克里金插值法的适用范围为区域化变量存在空间相关性，即如果变异函数和结构分析的结果表明区域化变量存在空间相关性，则可以利用克里金插值法进行内插或外推。
其实质是利用区域化变量的原始数据和变异函数的结构特点，对未知样点进行线性无偏、最优估计，无偏是指偏差的数学期望为0，最优是指估计值与实际值之差的平方和最小[1]。
因此，克里金插值法是根据未知样点有限领域内的若干已知样本点数据，在考虑了样本点的形状、大小和空间方位，与未知样点的相互空间关系，以及变异函数提供的结构信息之后，对未知样点进行的一种线性无偏最优估计。
假设研究区域a 上研究变量Z （x ），在点x i ∈A （i=1，2，……，n ）处属性值为Z （x i ），则待插点x 0∈A 处的属性值Z （x 0）的克里金插值结果Z*（x 0）是已知采样点属性值Z （x i ）（i=1，2，……，n ）的加权和，即：)()(10*i ni i x Z x Z ∑==λ （1） 式中i λ是待定权重系数。
其中Z(x i )之间存在一定的相关关系，这种相关性除与距离有关外，还与其相对方向变化有关，克里金插值方法将研究的对象称“区域化变量”针对克里金方法无偏、最小方差条件可得到无偏条件可得待定权系数i λ (i=1，2，……，n)满足关系式：11=∑=n i i λ（2）以无偏为前提，kriging 方差为最小可得到求解待定权系数i λ的方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋯⋯==+∑∑==1)n ,2,1)(,(),(101n i i j j i n i i j x x C x x C λμλ， （3） 式中，C （x i ，x j ）是Z(x i )和Z(x j )的协方差函数。
克里金插值法
克里金插值法克里金插值法又称空间局部插值法，是以变异函数理论和结构分析为根底，在有限区域对区域化变量进展无偏最优估计的一种方法，是地统计学的主要容之一，由南非矿产工程师D. Matheron 于1951年在寻找金矿时首次提出，法国著名统计学家G. Matheron 随后将该方法理论化、系统化，并命名为Kriging ，即克里金插值法。
1克里金插值法原理克里金插值法的适用围为区域化变量存在空间相关性，即如果变异函数和结构分析的结果说明区域化变量存在空间相关性，那么可以利用克里金插值法进展插或外推。
其实质是利用区域化变量的原始数据和变异函数的结构特点，对未知样点进展线性无偏、最优估计，无偏是指偏差的数学期望为0，最优是指估计值与实际值之差的平方和最小[1]。
因此，克里金插值法是根据未知样点有限领域的假设干样本点数据，在考虑了样本点的形状、大小和空间方位，与未知样点的相互空间关系，以与变异函数提供的结构信息之后，对未知样点进展的一种线性无偏最优估计。
假设研究区域a 上研究变量Z 〔x 〕，在点x i ∈A 〔i=1，2，……，n 〕处属性值为Z 〔x i 〕，那么待插点x 0∈A 处的属性值Z 〔x 0〕的克里金插值结果Z*〔x 0〕是采样点属性值Z 〔x i 〕〔i=1，2，……，n 〕的加权和，即：)()(10*i n i i x Z x Z ∑==λ 〔1〕 式中i λ是待定权重系数。
其中Z(x i )之间存在一定的相关关系，这种相关性除与距离有关外，还与其相对方向变化有关，克里金插值方法将研究的对象称“区域化变量〞针对克里金方法无偏、最小方差条件可得到无偏条件可得待定权系数i λ (i=1，2，……，n)满足关系式： 11=∑=n i i λ〔2〕以无偏为前提，kriging 方差为最小可得到求解待定权系数i λ的方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋯⋯==+∑∑==1)n ,2,1)(,(),(101n i i j j i n i i j x x C x x C λμλ， 〔3〕 式中，C 〔x i ，x j 〕是Z(x i )和Z(x j )的协方差函数。
地统计内插方法 克里金插值(Kriging)
8.1 Introduction
8.1 Introduction
Review of Probability
•Frequency table records how often (in terms of percentage) observed values fall within certain intervals or classes.
•Example with data on grid: –25 data points on a 5x5 grid of separation distance 10m
8.2 Random Field
Variogram
8.2 Random Field
Variogram
8.2 Random Field
8.2 Random Field
First view to Variogram
h C0 w[1 eh/ a2 ]
w=10
w=5
8.2 Random Field
Variogram Some quantities of a variogram:
Distance>Range (变程） 两点的高程完全独立
Spatial heterogeneity/ variability
Low variance
High variance
8.1 Introduction