空间插值
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空间插值介绍简洁明了
f (d
i 1
n
ej
)
其中 n 是已知点数， f d ej
表示对于插值点(xe, ye) 的权重函数。
d 与已知点 (xj,, yj ) 之间距离ej
f d ej 最常用的一种形式是：
1 f d Leabharlann j b d ejb 是合适的常数。当 b 取值为 1 或 2 时，对应的是距离倒数插值和 距离倒数平方插值。b 也可以对不同的已知点选择不同的值，即 bj 。
一般插值过程
① 内插方法（模型）的选择； ② 空间数据的探索性分析，包括对数据的均值、方 差、协方差、独立性和变异函数的估计等；
③ 进行内插；
④ 内插结果评价； ⑤ 重新选择内插方法，直到合理；
⑥ 内插生成最后结果。
插值方法选择的原则
① 精确性：
② 参数的敏感性：许多的插值方法都涉及到一个或多个参数， 如距离反比法中距离的阶数等。有些方法对参数的选择相当 敏感，而有些方法对变量值敏感。后者对不同的数据集会有 截然不同的插值结果。希望找到对参数的波动相对稳定，其 值不过多地依赖变量值的插值方法。 耗时：一般情况下，计算时间不是很重要，除非特别费时。 存储要求：同耗时一样，存储要求不是决定性的。特别是在 计算机的主频日益提高，内存和硬盘越来越大的情况下，二 者都不需特别看重。
距离反比插值评价
• 优点——简便易行；可为变量值变化很大的数据集提 供一个合理的插值结果；不会出现无意义的插值结果 而无法解释。
• 不足——对权重函数的选择十分敏感；易受数据点集 群的影响，结果常出现一种孤立点数据明显高于周围 数据点的“鸭蛋”分布模式； • 全局最大和最小变量值都散布于数据之中。 • 距离反比很少有预测的特点，内插得到的插值点数据 在样点数据取值范围内。
空间插值方法对比整理版
• 由于建立在统计学的基础上，因此不仅可 以产生预测曲面，而且可以产生误差和不 确定性曲面，用来评估预测结果的好坏
• 多种 kriging 方法
a
9
3、精确插值和近似插值
• 精确插值：产生通过所有观测点的曲面。
• 在精确插值中，插值点落在观测点上，内插值等 于估计值。
• 近似插值：插值产生的曲面不通过所有观测 点。
a
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插值方法选择的原则
① 精确性：
② 参数的敏感性：许多的插值方法都涉及到一个或多个参数， 如距离反比法中距离的阶数等。有些方法对参数的选择相当 敏感，而有些方法对变量值敏感。后者对不同的数据集会有 截然不同的插值结果。希望找到对参数的波动相对稳定，其 值不过多地依赖变量值的插值方法。
③ 耗时：一般情况下，计算时间不是很重要，除非特别费时。
空间插值 Spatial Interpolation
• 空间插值的概念 • 空间插值的类型 • 空间插值的方法
a
1
空间插值概念
空间插值——空间插值常用于将离散点的测量数据转换为连 续的数据曲面，以便与其它空间现象的分布模式进行比较， 它包括了空间内插和外推两种算法。空间内插算法：通过已 知点的数据推求同一区域未知点数据。空间外推算法：通过 已知区域的数据，推求其它区域数据。
• 典型例子是：全局趋势面分析 、Fourier Series （周期序列）
a
4
局部内插法
➢ 局部内插法只使用邻近的数据点来估计未知点的值，步骤如 下： • 定义一个邻域或搜索范围； • 搜索落在此邻域范围的数据点； • 选择能表达这有限个点空间变化的数学函数； • 为未知的数据点赋值。
➢ 局部内插方法： • 样条函数插值法 • 距离倒数插值 • Kriging插值（空间自由协方差最佳内插）
空间插值
将内插点周围的16个点的数据带入多项式，可计算 出所有的系数。
16个点
样条函数
Kriging插值
Kriging 插值方法在空间相关范围分析的基础上，用相关 范围内的采样点来估计待插点属性值。 （1）数据检验与分析，删去明显偏离实际的采样数据点。 （2）数据预处理。 （3）绘制方差图，了解空间变量的集聚范围与方向。 （4）克里金插值估计。 相对来说，克里金插值则能较好地反映各种地形变化，但 克里金方法的计算量很大，因此在对大面积区域大数据量 内插时，这是一个不能不考虑的因素。
测量怎么拟合？
●测量数据是二维的，所以需要用二维的 拟合方式。
二元二次或高次多项式：
自然表面的拟合要求
●多数自然现象的分布比较复杂，即比一次 趋势面生成的倾斜面更加复杂。因此，拟合 更加复杂的面要求用更高次的趋势面模型。 比如三次趋势面模型。
z b b x b y b x2 b xy b y 2 x, y 0 1 2 3 4 5 b x3 b x 2 y b xy2 b y3 6 7 8 9
h为各点之间距离，n 是由h 分开的成对样本点的数量，z 是点的属性值。 2.在不同距离的半方差值都计算出来后，绘制半方差图，横轴代表距离，纵 轴代表半方差。半方差图中有三个参数nugget（表示距离为零时的半方差）,sill （表示基本达到恒定的半方差值）,range(表示一个值域范围，在该范围内半方 差随距离增加，超过该范围，半方差值趋于恒定)。利用做出的半方差图找出与 之拟合的最好的理论变异函数模型（这是关键所在），可用于拟合的模型包括 高斯模型、线性模型、球状模型、指数模型、圆形模型
面来逼近(或拟合)现象的实际表面——这种数
学表面叫趋势面。
总之，趋势面分析就是用多项式方程来近
实验3空间插值分析实验
卫星遥感数据
通过卫星遥感技术获取地 表覆盖、植被分布、水体 等空间信息数据。
数据预处理
数据清洗
对原始数据进行清洗，去 除异常值、缺失值和重复 值，确保数据的准确性和 可靠性。
数据格式化
将不同来源和格式的数据 进行统一格式化处理，以 便进行后续的空间插值分 析。
数据转换
根据空间插值分析的需要， 将数据转换为相应的空间 坐标系和投影方式。
将本次实验的插值结果与已知的观测数据进行对比，分析其误差 和精度。
对比结果
通过对比发现，本次实验的插值结果与观测数据较为接近，误差 较小，精度较高。
误差分析
对误差进行了来源分析，发现误差主要来源于数据本身的波动和 插值方法的局限性。
误差来源与改进方向
误差来源
误差主要来源于数据本身的波动和插值方法的局限性。具体来说，数据波动可能由于观测设备的误差、观测环境 的干扰等因素造成；而插值方法的局限性则可能由于所选方法的假设条件与实际情况的差异、算法本身的误差等 造成。
在实验过程中，我们采用了多种空间插值方法，包括全局插值和局部插值。通过对比分析，我们发现局 部插值方法在处理非均匀分布的数据时具有更好的预测效果。
实验结果表明，空间插值分析在解决实际问题中具有广泛的应用前景，尤其在地理信息系统、环境监测、 气象预报等领域。
应用前景与展望
随着大数据和人工智能技术的不断发展，空间插 值分析将与这些技术相结合，进一步提高预测的 准确性和效率。例如，利用机器学习算法优化插 值参数，提高预测精度。
利用全局样条曲线对整个数据集进行 拟合，以估计未知点的值。这种方法 在处理大规模数据集时效率较高，但 可能无法捕捉到局部变化。
混合插值方法
局部多项式全局样条插值法
空间插值方法
数据拟合问题就是根据若干参考点上的已知值求出待定点 上（未知点）的研究值。数据拟合问题通常可分为插值问 题和光顺逼近问题。 插值问题的解要求严格经过已知量测点，而光顺逼近问题 的解虽不要求严格经过已知点，但它要求在某种约束条件 下（比如最上 乘意义下 最小曲面能或最小粗糙度意义 下（比如最上二乘意义下、最小曲面能或最小粗糙度意义 下）达到整体逼近效果。
6/21/2010
空间插值方法
第6讲 空间插值方法及 TIN/TEN构建算法
6.1 问题的提出 6.2 空间数据插值方法概述 6.3 几种空间数据插值方法原理
6.1 空间插值问题的提出
6.2 空间数据插值方法概述
GIS在实际应用过程中，很多情况下，比如采样密度不够、 曲线与曲面光滑处理、空间趋势预测、采样结果的可视化 等，必须对空间数据进行插值和拟合，因此空间数据插值 是GIS数据处理的一项重要任务。其主要目的是根据一组 已知的离散数据，按照某种数学关系推求其他未知点和未 知区域的数据的过程。
Delauny三角化方法自提出后并未引起足够多 的重视，到了20世纪80年代才开始研究这个算 法，目前比较有效的算法有：
分治算法 逐点加入法 生长算法 凸壳法
分治算法
分治算法的基本思想是一个递归思想，把点集划分到足够小， 使其易于生成三角网，然后把子集中的三角网合并生成最终 的三角网。 逐点加入法有两个基本步：1.定位，找到包含新加点的三角 形；2.更新，形成新的三角形。 生长法从第一个DT开始，而后由三角形边逐步形成新的DT。 如果二维上的任意一点对应到三维点，可以计算出提升点的 凸壳，除去朝上的凸壳面，剩下的朝下的面就是原始点的DT （这个关系适合于任意n维）。
第六讲 空间插值
每个采样点对插值结果的影响随距离增加而减弱，因 此距目标点近的样点赋予的权重较大。
n
a ttr0 a ttri * w i i1
wi
1 pow er (D isti )n
n
1 pow er(D isti )n
i1
二、空间插值方法
4. 距离反比加权法—参数对插值结果的影响
权重的影响
权重过高，较近点的影响较大，拟合表面更细致（不光 滑）；
趋势面分析的一个基本要求就是，所选择的趋势面模型应 该是剩余值最小，而趋势值最大，这样拟合度精确度才能 达到足够的准确性；
在数学上，拟合数学曲面要注意两个问题：一是数学曲面 类型（数学表达式）的确定，二是拟合精度的确定。
二、空间插值方法
5.1 趋势面模型的建立
设地理要素的实际观测数据为Zi(xi,yi)(i=1,2,…,n)，
基本内容
空间插值：定义及应用 空间插值方法及特征
泰森多边形（ Voronoi ）及不规则三角网（TIN） 距离反比加权法（IDW） 地质统计学（Geostatistics)
利用样条曲线优化插值结果 插值精度评估 三参数插值方法（体数据或者动态演化特征）
为何进行插值？
1. 2D离散点转化为连续面，如地表、地层界面 如基于空间离散点，剖面数据和等高线等来构建连续
不足——对权重函数的选择十分敏感；易受数据点集群的 影响，结果常出现一种孤立点数据明显高于周围数据点的 “鸭蛋”分布模式；
全局最大和最小变量值都散布于数据之中。 距离反比很少有预测的特点，内插得到的插值点数据在样
点数据取值范围内。
二、空间插值方法
5. 趋势面分析
实际的地理曲面分解为趋势面和剩余面两部分，前者反应 地理要素的宏观分布规律，属于确定性因素作用的结果； 而后者则对应于微观区域，被认为是随机因素影响的结果。
空间插值
一、空间插值的要素
进行空间插值要有两个基本条件：已知点和插值方 法 1 控制点 控制点是已知数值的点，也称为已知点、样本点 或观测点。 控制点提供了为空间插值建立插值方法的必要数 据。 空间插值的一个基本假设是估算点的数值受到邻 近控制点的影响比较远控制点的影响更大。
二、空间插值的类型
空间插值有多种分类方法 第一，它可以分为全局和局部拟合法。 全局插值法利用现有的每个已知点来估算未 知点的值。 而局部插值法则是用已知点的样本来估算位 置点的值。 这两种方法的区别就是用于估算的控制点数 目不一样
• 但是平整的纸张无法精确贴合带有山谷地 形的地表。不过，如果可以将纸张弯曲一 下，就会更贴合。为数学公式添加一个项 也可以达到类似的效果，即平面的弯曲。 平面（纸张无弯曲）是一个一阶多项式 （线性）。二阶多项式（二次）允许一次 弯曲，三阶多项式（三次）允许两次弯曲， 依此类推；在 Geostatistical A展示出一 个与山谷拟合的二阶多项式。
• 橙色点是使用经测量 的绿色采样点根据拟 合的多项式（绿色线） 预测而来的， • 而褐色点是根据浅紫 色多项式预测而来的。
在以下两幅图中，为预测另外两个位置（蓝 绿色点和绿色点）对另外两个多项式（黄色 线和灰色线）进行了拟合。
将针对各位置重复执行上述过程。您可以看 到如何为以下采样点创建表面（紫色表面 线）。
何时使用全局多项式插值法
• 使用全局多项式插值法获得的是一个可表示感兴 趣区域表面渐进趋势的平滑表面。 • 全局多项式插值法用于下列情况： • 在全局多项式插值法中，将利用可描述某种物理 过程（例如，污染情况和风向）的低阶多项式创 建渐变表面。不过，应注意的是，使用的多项式 越复杂，为其赋予物理意义就越困难。此外，计 算得出的表面对异常值（极高值和极低值）非常 敏感，尤其是在表面的边缘处。
空间插值
适用范围 满足内蕴假设,其区域化变量的平均值 是未知的常数 满足二阶平稳假设,其变量的平均值为 已知的常数 区域化变量的数学期望是未知的变化值 有真实的特异值、数据不服从正态分布 时使用 求某种变量含量的概率时使用 计算可采储量时使用 适用于相互关联的多元区域化变量 数据服从正态分布时使用
IDW插值
Professor Georges Matheron (1930-2000.8.7) 法国数学家和地质学家
区域化变量，是当一个变量呈现一定的空间分布时， 它反映了区域内的某种特征或现象。区域化变量与 一般的随机变量不同之处在于，一般的随机变量取 值符合一定的概率分布，而区域化变量根据区域内 位置的不同而取不同的值。而当区域化变量在区域 内确定位置取值时，表现为一般的随机变量，也就 是说，它是与位置有关的随机变量。 区域化变量具有两个最显著，也是最重要的特征： 随机性和结构性。
运用克里格方法进行插值的过程可 以分为两步：
第一步：变异函数分析。即，样点的空间结 构量化分析，是指对样点数据拟合一个空 间独立模型。
第二步：对未知点值进行预测。利用第一步 拟合的变异函数、样点数据的空间分布以 及样点数据值对未知点进行预测。
类型 普通克里格方法(Ordinary Kriging) 简单克里格方法( Simple Kriging) 泛克里格方法(Universal Kriging) 指示克里格方法( Indicator Kriging) 概率克里格方法(Probability Kriging) 析取克里格方法(Disjunctive Kriging) 协同克里格方法(Co-Kriging) 对数正态克里格方法(Logistic Normal Kriging) ARCGIS演示操作
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习作4：用普通克里金作插值
习作5：用泛克里金作插值
挑战性任务
参考文献
2
空间插值
空间插值是用已知点的数值来估算其他点的数值的过程。 在GIS应用中，空间插值主要用于估算出栅格中每个像元的 值。因此，空间插值是将点数据转换成面数据的一种方法。
3
控制点
控制点是已知数值的点，它提供了为空间插值建立插值方 法（例如数学方程）的必要数据。 控制点的数目和分布对空间插值精度的影响极大。
假设不存在漂移，普通克里金法重点考虑空间相关的因 素，并用拟合的半变异直接进行插值。
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图15.20 基于指数模型的普通克里 金插值法生成的等雨量线图。
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图15.21 图15.20中的年降水 量曲面的标准误差。
39
泛克里金法（Universal Kriging）
泛克里金法假设除了样本点之间的空间相关性外，空间变 量的z值还受到漂移或倾向等影响。
4
图15.1 爱达荷州及其周边的 175个气象站地图。
5
空间插值的类型
1. 空间插值方法可分成全局和局部拟合法。 2. 空间插值方法可分成精确的和不精确的。 3. 空间插值方法可分成确定的和随机的。
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表15.1 空间插值方法的分类
整体拟合法
局部拟合法
确定性 随机性
确定性
随机性
趋势面*
回归
泰森 密度估算 距离倒数权重 薄板样条
注释栏15.6 用普通克里金法估算的实例
15.4.4 泛克里金法（Universal Kriging）
注释栏15.7 泛克里金法估算的实例
15.4.5 其它克里金法
15.5 空间插值方法的比较
重要概念和术语
复习题
应用：空间插值
习作1：用趋势面模型作插值
习作2：利用核密度估算法
习作3：用 IDW 作插值
第15章 空间插值
15.1 空间插值的元素 15.1.1 控制点 15.1.2 空间插值的类型
15.2 整体拟合法 15.2.1 趋势面模型
注释栏15.1 趋势面分析的实例
15.2.2 回归模型 15.3 局部拟合法
15.3.1 泰森多边形 15.3.2 密度估算
注释栏15.2 核密度估算的实例
15.3.3 距离倒数权重插值
半变异云图包含所有的控制点对，使之操作和使用不方便。区 间分组（binning）的过程，是以距离和方向来平均半变异数据。
29
图15.15 对图（a）中的1和2 样本按方向进行区间归类的常用方法是径 向扇区（b）。ArcGIS 中的Geostatistical Analyst 则使用如图（c）的格 网像元。
23
图15.12 规则样条法生成的等 雨量线图。
24
图15.13 张力样条法生成 的等雨量线图。
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克里金法
克里金法是一种用于空间插值的地统计学方法。与前面介绍的其它插 值法相比，克里金法可用估计的预测误差来评估预测的质量。 克里金法假设某种属性的空间变异既不是完全随机性的也不是完全确 定性的。相反，空间变异可能包括三种影响因素：表征区域变量变异的 空间相关因素；表征趋势的“漂移”或结构；还有随机误差。 对几种影响的不同解释，形成用于空间插值的不同克里金法。
图15.3 0号站点的未知值由其周围具有已知值的5个站点插值。
10
图15.4 由三阶趋势面模型生成的等值线 图（图中点符号表示位于爱达荷州内的 已知点）。
11
局部拟合法
局部拟合法用一组已知点的样本来估算未知值，确定用于 估算的已知点个数和已知点选择是很重要的。
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图15.5 搜索样本点的三种方法：（a）找到与估算点最邻近的点； （b）以半径搜索点；（c）用象限搜索点。
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图15.8 核函数是一个概率密度函数，在图上显示就象格网上的一 个“隆起”（“bump”）。
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图15.9 由核密度估算法 计算的每公顷范围内看 到鹿的次数。字母 X 标 记的像元用做注释栏15.2 中的例子。
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距离倒数权重（IDW）插值
距离倒数权重（IDW）插值法是一种精确插值方法，它 假设未知值的点受近距离已知点的影响比远距离已知点的影 响更大。
克里金
* 考虑到一些前提假设，趋势面分析可以看作一种特殊的回归分析，因而是一 种随机方法。
图15.2 精确插值（a）和不精确插值（b）。
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整体拟合法
■ 趋势面分析是一种不精确的插值方法, 它用已知值和 多项式方程一起来近似估算点。 ■ 回归模型将一个因变量与一系列独立变量以线性方 程作相关分析, 然后作为插值用于预测或估计。
注释栏15.3 距离倒数权重法估算的实例
15.3.4 薄板样条函数（Thin-plate Splines）
注释栏15.4 径向基（Radial Basis）函数 注释栏15.5 薄板张力样条函数的实例
15.4 克里金法（Kriging）
15.4.1 半变异图
15.4.2 模型
15.4.3 普通克里金法
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图15.24 普通克里金和距离 倒数权重法生成的插值面 的差异。
45
20
图15.10 距离倒数平方 法生成的年平均降水量 曲面。
21
图15.11 距离倒数平方法 生成的等雨量线图。
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薄板样条函数（ Thin-Plate Splines）
薄板样条函数生成一个通过控制点的表面，并使所有点连接形成的所 有坡面的斜度变化最小（Franke 1982）。也就是说，薄板样条函数基于生 成最小曲率的面来拟合控制点。
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半变异图
克里金法用半变异测定空间相关要素，这里的要素是指对空间依赖 的要素或称之空间自相关要素。 相对于数据集中各对已知点的距离点绘半变异云图。如果数据集不 存在空间相关，那么近距离已知点之间的半变异很小，相反，较远距 离的已知点之间的半变异较大。
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图15.14 半变异云图。
28
区间分组（binning）
30
图15.16 通过距离区间分组后的半变异图。
31
模型拟合
半变异图通常须用某一数学函数或模型来拟合。拟合的 半变异图可用于估算任意给定距离的半变异。
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图15.17 用数学函数或模型拟合半变异。
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图15.18 拟合半变异图的两种常见模型：球体模型和指数模型。
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块金(nugget)、变程(range)和总基台值（sill）
40Biblioteka 图15.22 基于线性漂移和球 体模型的泛克里金插值法 的等雨量线图。
41
图15.23 图15.22中年 降水量曲面的标准差 分布图。
42
其它克里金法
除了普通克里金和泛克里金外，其它克里金法包括指示性 克里金法、离析克里金法和块克里金法
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空间插值方法的比较
基于相同数据，不同的插值方法将生成不同的插值结果。 同样，用 相同的方法，不同的参数值，将得出不同的预测值。
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泰森多边形
泰森多边形假设泰森多边形内的任意点与多边形内的已 知点的距离最近。
14
图15.6 由已知点和德劳奈三角形（细线表示的）插值生成的泰 森多边形（粗线表示的）。
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密度估算
密度估算用已知点的样本来量测栅格中的像元密度。 密度估算分成简单密度估算和核密度估算两种方法。
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图15.7 由简单密度估算法的每公顷范围内看到鹿的次数。
块金(nugget)是样对距离为0时的半变异，表示测量及分 析误差或微小变异，或两者。 变程(range)是半变异开始稳定时的样对距离。 超过该变程，半变异趋平于相对恒定值。此时的半变异 称为总基台值（sill）
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图15.19 块金、变程、总基台值和基台值。
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普通克里金法（Ordinary Kriging）