空间内插方法
空间插值方法对比整理版
• 由于建立在统计学的基础上，因此不仅可 以产生预测曲面，而且可以产生误差和不 确定性曲面，用来评估预测结果的好坏
• 多种 kriging 方法
a
9
3、精确插值和近似插值
• 精确插值：产生通过所有观测点的曲面。
• 在精确插值中，插值点落在观测点上，内插值等 于估计值。
• 近似插值：插值产生的曲面不通过所有观测 点。
a
11
插值方法选择的原则
① 精确性：
② 参数的敏感性：许多的插值方法都涉及到一个或多个参数， 如距离反比法中距离的阶数等。有些方法对参数的选择相当 敏感，而有些方法对变量值敏感。后者对不同的数据集会有 截然不同的插值结果。希望找到对参数的波动相对稳定，其 值不过多地依赖变量值的插值方法。
③ 耗时：一般情况下，计算时间不是很重要，除非特别费时。
空间插值 Spatial Interpolation
• 空间插值的概念 • 空间插值的类型 • 空间插值的方法
a
1
空间插值概念
空间插值——空间插值常用于将离散点的测量数据转换为连 续的数据曲面，以便与其它空间现象的分布模式进行比较， 它包括了空间内插和外推两种算法。空间内插算法：通过已 知点的数据推求同一区域未知点数据。空间外推算法：通过 已知区域的数据，推求其它区域数据。
• 典型例子是：全局趋势面分析 、Fourier Series （周期序列）
a
4
局部内插法
➢ 局部内插法只使用邻近的数据点来估计未知点的值，步骤如 下： • 定义一个邻域或搜索范围； • 搜索落在此邻域范围的数据点； • 选择能表达这有限个点空间变化的数学函数； • 为未知的数据点赋值。
➢ 局部内插方法： • 样条函数插值法 • 距离倒数插值 • Kriging插值（空间自由协方差最佳内插）
空间内插方法比较
I插方法比较i一.空间数据的插值用各种方法采集的空间数据往往是按用户自己的要求获取的采样观测值，亦既数据集合是由感兴趣的区域内的随机点或规则网点上的观测值组成的。
但有时用户却需要获取未观测点上的数据.而已观测点上的数据的空间分布使我们有可能从已知点的数据推算出未知点的数据值。
在已观测点的区域内估算未观测点的数据的过程称为内插：在已观测点的区域外估算未观测点的数据的过程称为外推。
空间数据的内插和外推在GIS中使用十分普遍c 一般情况下.空间位宜越靠近的点越有可能获得与实际值相似的数据.而空间位宜越远的点则获得与实际值相似的数据的可能性越小。
下面介绍一些常用的内插方法。
K边界内插使用边界内插法时.首先要假定任何重要的变化都发生在区域的边界上，边界内的变化则是均匀的、同质的。
边界内插的方法之一是泰森女边形法。
泰森多边形法的基木原理是，未知点的昴佳值由最邻近的观测值产生。
如图4・6・1所示。
泰森女边形的生成算法见§。
2、趋势面分析趋势而分析是一种多项式回归分析技术。
筝项式回归的基木思想是用筝项式表示线或而.按員小二乘法原理对数据点进行拟合.拟合时假定数据点的空间坐标X、Y为独立变虽，而表示特征值的Z坐标为因变虽。
X数据为一维时，可用回归线近似表示为：2二勺+©左其中.a。
、a】为女项式的系数c M1n个采样点方差和为最小时，则认为线性回归方程与被拟合曲线达到了> （Z i - G）' = min 最佳配准，如图4-6-2左图所示，即：Z = CI O + a x X + a2X 2（二次曲线）在GIS中.数据往往是二维的，在这种情况下，需婆用到二元二次或岛次多项式:2 = %,+珂*+02丫+色才+%刃+色护（欤曲血）多项式的次数并非越商越好.超过3次的多元笫项式往往会导致奇异解，因此.通常使用二次藝项式。
趋势而是一种平滑函数，难以正好通过原始数据点，除非数据点数和笋项式的系数的个数正好相同。
ArcGIS中几种空间插值方法
ArcGIS 中几种空间插值方法1. 反距离加权法(IDW)ArcGIS 中最常用的空间内插方法之一，反距离加权法是以插值点与样本点之间的距离为权重的插值方法，插值点越近的样本点赋予的权重越大，其权重贡献与距离成反比。
可表示为：1111()()n nip p i i i i Z Z D D ===∑∑ 其中Z 是插值点估计值，Z i (i=1Λn)是实测样本值，n 为参与计算的实测样本数，D i 为插值点与第i 个站点间的距离，p 是距离的幂，它显著影响内插的结果，它的选择标准是最小平均绝对误差。
2.多项式法多项式内插法(Polynomial Interpolation)是根据全部或局部已知值，按研究区域预测数据的某种特定趋势来进行内插的方法,属统计方法的范畴。
在GA 模块中，有二种类型的多项式内插方法，即全局多项式内插和局部多项式内插。
前者多用于分析数据的全局趋势；后者则是使用多个平面来拟合整个研究区域，能表现出区域内局部变异的情况。
3.样条函数内插法样条函数是一个分段函数，进行一次拟合只有少数点拟合，同时保证曲线段连接处连续，这就意味着样条函数可以修改少数数据点配准而不必重新计算整条曲线。
样条函数的一些缺点是：样条内插的误差不能直接估算，同时在实践中要解决的问题是样条块的定义以及如何在三维空间中将这些“块”拼成复杂曲面,又不引入原始曲面中所没有的异常现象等问题。
4.克里格插值法克里格法是GIS 软件地理统计插值的重要组成部分。
这种方法充分吸收了地理统计的思想，认为任何在空间连续性变化的属性是非常不规则的，不能用简单的平滑数学函数进行模拟，可以用随机表面给予较恰当的描述。
这种连续性变化的空间属性称为“区域性变量”，可以描述象气压、高程及其它连续性变化的描述指标变量。
地理统计方法为空间插值提供了一种优化策略，即在插值过程中根据某种优化准则函数动态的决定变量的数值。
Kriging 插值方法着重于权重系数的确定，从而使内插函数处于最佳状态，即对给定点上的变量值提供最好的线性无偏估计。
克里金插值法
克里金插值法克里金插值法又称空间局部插值法，是以变异函数理论和结构分析为基础，在有限区域内对区域化变量进行无偏最优估计的一种方法，是地统计学的主要内容之一，由南非矿产工程师D. Matheron 于1951年在寻找金矿时首次提出，法国著名统计学家G. Matheron 随后将该方法理论化、系统化，并命名为Kriging ，即克里金插值法。
1 克里金插值法原理克里金插值法的适用范围为区域化变量存在空间相关性，即如果变异函数和结构分析的结果表明区域化变量存在空间相关性，则可以利用克里金插值法进行内插或外推。
其实质是利用区域化变量的原始数据和变异函数的结构特点，对未知样点进行线性无偏、最优估计，无偏是指偏差的数学期望为0，最优是指估计值与实际值之差的平方和最小[1]。
因此，克里金插值法是根据未知样点有限领域内的若干已知样本点数据，在考虑了样本点的形状、大小和空间方位，与未知样点的相互空间关系，以及变异函数提供的结构信息之后，对未知样点进行的一种线性无偏最优估计。
假设研究区域a 上研究变量Z （x ），在点x i ∈A （i=1，2，……，n ）处属性值为Z （x i ），则待插点x 0∈A 处的属性值Z （x 0）的克里金插值结果Z*（x 0）是已知采样点属性值Z （x i ）（i=1，2，……，n ）的加权和，即：)()(10*i ni i x Z x Z ∑==λ （1） 式中i λ是待定权重系数。
其中Z(x i )之间存在一定的相关关系，这种相关性除与距离有关外，还与其相对方向变化有关，克里金插值方法将研究的对象称“区域化变量”针对克里金方法无偏、最小方差条件可得到无偏条件可得待定权系数i λ (i=1，2，……，n)满足关系式： 11=∑=n i i λ（2）以无偏为前提，kriging 方差为最小可得到求解待定权系数i λ的方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋯⋯==+∑∑==1)n ,2,1)(,(),(101n i i j j i n i i j x x C x x C λμλ， （3） 式中，C （x i ，x j ）是Z(x i )和Z(x j )的协方差函数。
3.9。空间内插
3．9。
空间内插3．9．1 空间内插的定义和种类一、定义空间数据的内插通过已知点或分区的数据，推求任意点或分区数据的方法称为空间数据的内插。
其方法是从存在的观测数据中找到一个函数关系式，使该关系式最好地逼近这些已知的空间数据，并能根据函数关系式推求出区域范围内其它任意点或任意分区的值。
它是地理信息系统数据处理常用的方法之一，广泛应用于等值线自动制图、数字高程模型的建立、不同区域界线现象的相关分析和比较研究等。
二、分类：根据以知点或以知分区数据的不同，将空间数据分为点的内插和区域的内插：1、点的内插：是研究具有连续变化特征现象的数值内插方法，根据内插精度的不同可以将点的内插分为：精确和概略两种。
2、区域的内插：是研究根据一组分区的以知数据来推求同一地区另一组分区未知数据的内插方法，主要有重叠法和比重法两种。
三、意义遍历研究区域中的每个位置以测量该位置的高度、大小或某种特性通常都是困难的，或者是昂贵的，因而一般都是采用抽样的方法，按照一定原则，选出一些样点进行测量，然后使用插值函数，估计出所有其它位置的值。
输入的点可以是规则的空间点，也可以是离散点，它们都含有高度、大小或某种特性的值对输入的点进行插值，生成规则栅格网，通常有四种插值（生成表面）的方法：距离反转权重法（IDW）、样条函数法（Spline）、克里格法（Kriging）以及多项式趋势法（Polynomial trend）。
每种方法都有其独特之处，都有一些基本的假设，适用于不同的源数据和应用。
3．9．2 ARCINFO下的空间内插步骤：① Grid Tools----Statistics------Surface , 弹出对话框如下：主要有如下内插法：反距离内插、克里格内插、趋势面内插、拓扑格网内插等。
点击不同内插将进行不同的参数设置，从而根据需要进行各种内插运算。
②以做趋势面内插为例，加以说明：（1）点击 Trend Surface Interoolation 弹出Trend Function对话框：在Output grid 中输入生成的文件名在Name of input 中找到做为Z值的文件(2) 点击，弹出如下对话框，设置参数：（2）内插完成后可在ArcView中打开做内插分析的图，可多做几种内插分析来对比各个内插的区别。
ArcGIS中几种空间插值方法
ArcGIS 中几种空间插值方法1. 反距离加权法(IDW)ArcGIS 中最常用的空间内插方法之一，反距离加权法是以插值点与样本点之间的距离为权重的插值方法，插值点越近的样本点赋予的权重越大，其权重贡献与距离成反比。
可表示为：1111()()n nip p i i i i Z Z D D ===∑∑其中Z 是插值点估计值，Z i (i=1Λn)是实测样本值，n 为参与计算的实测样本数，D i 为插值点与第i 个站点间的距离，p 是距离的幂，它显著影响内插的结果，它的选择标准是最小平均绝对误差。
2.多项式法多项式内插法(Polynomial Interpolation)是根据全部或局部已知值，按研究区域预测数据的某种特定趋势来进行内插的方法,属统计方法的范畴。
在GA 模块中，有二种类型的多项式内插方法，即全局多项式内插和局部多项式内插。
前者多用于分析数据的全局趋势；后者则是使用多个平面来拟合整个研究区域，能表现出区域内局部变异的情况。
3.样条函数内插法样条函数是一个分段函数，进行一次拟合只有少数点拟合，同时保证曲线段连接处连续，这就意味着样条函数可以修改少数数据点配准而不必重新计算整条曲线。
样条函数的一些缺点是：样条内插的误差不能直接估算，同时在实践中要解决的问题是样条块的定义以及如何在三维空间中将这些“块”拼成复杂曲面,又不引入原始曲面中所没有的异常现象等问题。
4.克里格插值法克里格法是GIS 软件地理统计插值的重要组成部分。
这种方法充分吸收了地理统计的思想，认为任何在空间连续性变化的属性是非常不规则的，不能用简单的平滑数学函数进行模拟，可以用随机表面给予较恰当的描述。
这种连续性变化的空间属性称为“区域性变量”，可以描述象气压、高程及其它连续性变化的描述指标变量。
地理统计方法为空间插值提供了一种优化策略，即在插值过程中根据某种优化准则函数动态的决定变量的数值。
Kriging 插值方法着重于权重系数的确定，从而使内插函数处于最佳状态，即对给定点上的变量值提供最好的线性无偏估计。
克里格空间插值法ppt课件
4．高斯模型（Gaussian model） 变程为 。
1.9 理论变异函数模型
图是球状模型、指数模型和高斯模型的比较，可以看出，球状模型的变程最小，指数的模型变程最大，高斯模型的变程介于二者之间。球状模型和指数模型过原点存在切线，高斯模型则没有。
1.9 理论变异函数模型
3．指数模型(Exponential model) 其中，d是控制方程空间范围的距离参数。这里，仅在无穷远处相关性完全消失。变程为3d。指数模型在统计理论中地位重要，它表示了空间随机性的要素，是一阶自回归和马尔可夫过程的半方差函数。作为自相关函数，它们是采样设计有效性的理论基础。
1.4邻域函数的统计函数及其意义
摄影测量得到的正射航片或卫星影象； 卫星或航天飞机的扫描影象； 野外测量采样数据，采样点随机分布或有规律的线性分布（沿剖面线或沿等高线； 数字化的多边形图、等值线图；
1.5 空间插值的数据源
图1 各种不同的采样布置方式
1.6 采样布置方式
1.8 方差变异函数
2）曲线从较低的方差值升高，到一定的间隔值时到达基台值，这一间隔称为变程（range）。在理论函数模型中，变程用a表示。 变程是半方差函数中最重要的参数，它描述了该间隔内样点的空间相关特征。在变程内，样点越接近，两点之间相似性、即空间上的相关性越强。很明显，如果某点与已知点距离大于变程，那么该点数据不能用于数据内插（或外推），因为空间上的自相关性不复存在。 变程的高低取决于观测的尺度，说明了相互作用所影响的范围。不同的属性，其变程值可以变化很大。
1.2.2局部插值方法 分类
1.4邻域函数的统计函数及其意义
众数（majority)：邻域中出现频率最高的数值 最大值(max)：邻域中最大的数值 最小值(min)：邻域中最小的数值 中位数(median)：邻域中数值从小到大排列后位于中间的数 平均值(mean)：邻域中数值的算术平均 频率最小数(minority)：邻域中出现频率最小的数值 范围(range)：邻域中数值的范围，最大值与最小值之差 标准差(std)：邻域中数值的标准差 和(sum)：邻域中数值的和 变异度(varity)：邻域中不同数值的个数
空间内插
经过压缩后获得新点序A‘：{As1, As2,As3,… Asn} 经过压缩后获得新点序A ： As2,As3, 则压缩比为： 则压缩比为：a=m/n>1
数据压缩
数据压缩
光滑
道格拉斯——普克法 普克法 道格拉斯 (Douglas—Peucker)
基本思路是：对每一条曲线的首末点虚连一条直线， 基本思路是：对每一条曲线的首末点虚连一条直线，求 所有点与直线的距离，并找出最大距离值dmax dmax， 所有点与直线的距离，并找出最大距离值dmax，用dmax 与限差D相比： 与限差D相比： 若dmax＜D，这条曲线上的中间点全部舍去； dmax＜ 这条曲线上的中间点全部舍去； 若dmax≥D，保留dmax对应的坐标点，并以该点为界， dmax≥D，保留dmax对应的坐标点，并以该点为界， dmax对应的坐标点 把曲线分为两部分，对这两部分重复使用该方法。 把曲线分为两部分，对这两部分重复使用该方法。
叠置法； 叠置法； 比重法;
§5-8 数据压缩
数据压缩的概念：从所取得的数据集中抽出一个子集， 数据压缩的概念：从所取得的数据集中抽出一个子集，将 这个子集作为一个新的数据源，来代替原数据集在GIS GIS中 这个子集作为一个新的数据源，来代替原数据集在GIS中 进行各种作业，从而减少存储空间，降低运算时间。 进行各种作业，从而减少存储空间，降低运算时间。 要求： 要求：1）在规定的精度范围内最好地逼近原集合； 在规定的精度范围内最好地逼近原集合； 2）取得尽可能大的压缩比。 取得尽可能大的压缩比。 压缩比：信息载量的减少程度。 压缩比：信息载量的减少程度。 对曲线的压缩中，原点序A 对曲线的压缩中，原点序A为：{A1，A2，A3，… {A1，A2，A3， Am}
局部函数法
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
空间采样点分布的选择
规则采样和随机采样好的结合方法是成层随机采样，即单个 的点随机的分布于规则的格网内
聚集采样可用于分析不同尺度的空间变化
规则断面采样常用于河流、山坡剖面的测量
等值线采样是数字化等高线图插值数字高程模型最常用的方
▪ 离散空间数据内插 对于离散空间，假定任何重要变化发生在边界上，则在边界内的 变化是均匀的，同质的，即在各个方面都是相同的。对于这种空 间的最佳内插方法是邻近元法，即以最邻近图元的特征值表征未 知图元的特征值。这种方法在边界会产生一定的误差，但在处理 大面积多边形时，则十分方便。在Arc View中，无离散数据的内 差功能，只有把矢量的离散数据转换为GRID数据的功能。
法
（1）规则采样
（2）随机采样
（3）断面采样
（4）成层随机采样
（5）聚集采样
（6）等值线采样
空间插值分析
连续空间与离散空间
▪ 现实空间可以分为具有渐变特征的连续空间和具有跳跃特征的离散 空间。举例来讲，土地类型分布属离散空间，而地形表面分布则是 连续空间
空间插值分析
空间插值的理论假设是空间位置上越靠近的点，越可能具有 相似的特征值，而距离越远的点，其特征值相似的可能性越 小。
空间插值的基础
理论假设
▪ 空间位置上越靠近的点，越可能具有相似的特征值 ▪ 而距离越远的点，其特征值相似的可能性越小
需要空间插值的情况
▪ 现有的离散曲面的分辨率、象元大小或方向与所要求的不符，需要重 新插值 例如将影象从一种分辨率或方向转换到另一种分辨率或方向
▪ 现有连续曲面的数据模型与所需的数据模型不符，需要重 新插值
zˆ x0
1 n
n i 1
z
xi
效果
▪ 要求离散点均匀分布，并且密集程度足以满足条件
▪ 距离倒数法计算值易受数据点集群的影响，计算结果经常出现一种孤 立点数据明显高于周围数据点的“鸭蛋”分布模式，可以在插值过程 中通过动态修改搜索准则进行一定程度的改进
空间内插方法
移动拟合法内插
▪ 移动拟合法是典型的单点移面内插方法。对每一个待定点取一个多 项式曲面来拟合该点附近的地形表面。此时，取待定点作为平面坐 标的原点，并以待定点为圆心，以r为半径的圆内诸数据点来定义函 数的待定系数
▪ 取二次多项式来拟合数据，则待求点的高程可写成下列的一般式
zP Ax 2 Bxy Cy 2 Dx Ey F
▪ 连续表面的内插 技术必须采用连续的空间渐变模型实现这些连续变化，可用一种 平滑的数学表面加以描述。分为整体插值方法和部分（局部）插 值方法两类。
空间内插方法
空间内插方法分类
▪ 分块内插是把需要地区，切割成一定大小的规则方块，形状通常为 正方形。优点是可以得到光滑连续的空间曲面
▪ 剖分内插是把需要建立DTM的地区切割成大小和形状不同的子区，子 区间拥有公共边但不重叠，在该子区内展铺一个数学面，内插剖分 区内任意点的高程。得到的空间曲面既不连续，也不光滑
线或沿等高线） ▪ 数字化的多边形图、等值线图
空间插值的数据
▪ 通常是复杂空间变化有限的采样点的测量数据 ▪ 假设采样点之间的数据变化是平滑变化 ▪ 并假设服从某种分布概率和统计稳定性关系
插值的结果
▪ 如果一种插值方法计算的数据，其中采样点的计算数据等于已知的 采样数据，称这种插值方法是精确插值方法；所有的其它插值方法 为近似插值方法
空间内插方法
二元多项式拟合内插
用二元多项多来拟合地形表面，则有
mm
z f (x, y)
Cij xi y j (m 3)
i0 j0
特点是拟合曲面不通过所有数据点，而是取得最靠近数据点的光滑曲面， 以保证邻块间的光滑连续拼接
空间内插方法
二元样条函数内插
▪ 设分块范围内的数据点按单位边长正方形格网结点排列，一个单位 边长的正方形为一个分片。为了保证展铺的曲面在相邻分片上连续 且光滑，必须满足弹性材料的力学条件，即 ： 相邻分片拼接处在x和y轴方向的斜率都应保持连续 相邻分片拼接处的扭矩连续
空间内插方法
距离倒数知点x0处属性值是在局部邻域内中所有数据点的距离加权平均 值
▪ 距离倒数加权
r=2
n
zˆ x j
z
xi
d
r ij
i 1
n
d r ij
i 1
线性插值(r=0)
di2j (x j xi )2 ( y j yi )2
将一个连续的曲面从一种空间切分方式变为另一种空间切分方式 从TIN到栅格、栅格到TIN或矢量多边形到栅格
▪ 现有的数据不能完全覆盖所要求的区域范围，需要插值
如将离散的采样点数据内插为连续的数据表面。
空间插值的数据源
数据源
▪ 摄影测量得到的正射航片或卫星影象 ▪ 卫星或航天飞机的扫描影象 ▪ 野外测量采样数据，采样点随机分布或有规律的线性分布（沿剖面
第5 章 土地信息处理与分析技术
5.7 空间内插方法
二元多项式拟合内插 二元样条函数内插 移动拟合法内插 加权平均内插法
空间插值
概念 ▪ 将离散点的测量数据转换为连续的数据曲面，以便与其它 空间现象的分布模式进行比较
空间内插：通过已知点的数据推求同一区域其它未知点数据的计 算方法
空间外推：通过已知区域的数据，推求其它区域数据的方法
▪ 把坐标原点平移到待定点处，并代入上式，得移动拟合法二次多项 式公式为
zP ax 2 bxy cy 2 dx ey f
空间内插方法
加权平均插值法
▪ 加权平均法是最简单的单点移面内插方法，它是搜索区域内的高程 数据点，并求得加权平均值作为待定点的高程值。一般情况下，所 考虑的权仅是距离的单调下降函数。为了提高插值精度，还应考虑 数据点的分布方向，权衡搜索圆内所有点的方向和距离的分布情况 赋权。搜索圆内数据点一般为4个，最多10个
▪ 单点移面内插是以待插点为中心，以适当半径或边长的圆或正方形 作为移动面去捕捉适当数目的数据点，并以此展铺一张数学面，内 插该中心的高程
分块内插区域 剖分内插区域 单点移面插值区域
空间内插方法
空间内插方法分类
空间内插即在一个由x、y坐标平面构成的二维空间中，由已知若 干离散点的高程估算待内插点的高程值