简单的逻辑联结词

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断2．全称量词和存在量词3．1．命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是()A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1解析：选A改变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀，x0改为x，否定结论，即ln x≠x－1.2．已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件． 则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．綈p ∧綈q C ．綈p ∧qD ．p ∧綈q解析：选D 因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x ∈R ，y ＝2x >0恒成立，故p 为真命题；因为当x >1时，x >2不一定成立，反之当x >2时，一定有x >1成立，故“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，故q 为假命题，则p ∧q ，綈p 为假命题，綈q 为真命题，綈p ∧綈q ，綈p ∧q 为假命题，p ∧綈q 为真命题．3．命题“任意两个等边三角形都相似”的否定为__________________． 答案：存在两个等边三角形，它们不相似1．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．2．p 或q 的否定易误写成“綈p 或綈q ”；p 且q 的否定易误写成“綈p 且綈q ”．[小题纠偏]1．命题p ：∀x ∈R ，sin x <1；命题q ：∃x 0∈R ，cos x 0≤－1，则下列结论是真命题的是( )A ．p ∧qB ．綈p ∧qC ．p ∨綈qD ．綈p ∧綈q解析：选B p 是假命题，q 是真命题，所以綈p ∧q 为真命题． 2．命题“若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”，其否定为________________． 答案：若ab ＝0，则a ≠0且b ≠0考点一 全称命题与特称命题的真假判断(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．下列命题中是假命题的是( ) A ．∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，x >sin x B ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2 C ．∀x ∈R,3x >0 D ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0解析：选B 因为对∀x ∈R ，sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2，所以“∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x0＝2”为假命题．2．设非空集合A，B满足A⊆B，则以下表述正确的是()A．∃x0∈A，x0∈B B．∀x∈A，x∈BC．∃x0∈B，x0∉A D．∀x∈B，x∈A解析：选B根据集合的关系以及全称、特称命题的含义可得B正确．[谨记通法]全称命题与特称命题真假的判断方法不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假.考点二含有一个量词的命题的否定(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(易错题)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为()A．对任意x∈R，都有x2<0B．不存在x∈R，使得x2<0C．存在x0∈R，使得x20≥0D．存在x0∈R，使得x20<0解析：选D全称命题的否定是特称命题．“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为“存在x0∈R，使得x20<0”．2．写出下列命题的否定并判断其真假：(1)p：不论m取何实数值，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；(2)p：有的三角形的三条边相等；(3)p：菱形的对角线互相垂直；(4)p：∃x0∈N，x20－2x0＋1≤0.解：(1)綈p：存在一个实数m0，使方程x2＋m0x－1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝m20＋4>0恒成立，故綈p为假命题．(2)綈p：所有的三角形的三条边不全相等．显然綈p为假命题．(3)綈p：有的菱形的对角线不垂直．显然綈p为假命题．(4)綈p：∀x∈N，x2－2x＋1>0.显然当x＝1时，x2－2x＋1>0不成立，故綈p是假命题．[谨记通法]对全(特)称命题进行否定的方法(1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词．(2)对原命题的结论进行否定．如“题组练透”第1题易错．考点三含有逻辑联结词命题真假的判断(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]已知命题p：∀x∈R，x2>0，命题q：∃α，β∈R，使tan (α＋β)＝tan α＋tan β，则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．p∨綈qC．綈p∧q D．p∧綈q解析：选C因为∀x∈R，x2≥0，所以命题p是假命题．因为当α＝－β时，tan(α＋β)＝tan α＋tan β，所以命题q是真命题，所以p∧q是假命题，p∨綈q是假命题，綈p∧q 是真命题，p∧綈q是假命题．[由题悟法]判断含有逻辑联结词命题真假的2个步骤(1)先判断简单命题p，q的真假．(2)再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假．[即时应用]1．若命题p：函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝x－1x的单调递增区间是[1，＋∞)，则()A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．綈p是真命题D．綈q是真命题解析：选D因为函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，所以p是真命题；因为函数y＝x－1x的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q是假命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题，綈q为真命题．2．“p∨q”为真命题是“p∧q”为真命题的________条件．解析：若命题“p∨q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题．若命题“p∧q”为真命题，则p，q都为真命题，因此“p∨q”为真命题是“p∧q”为真命题的必要不充分条件．答案：必要不充分考点四利用复合命题的真假求参数范围(题点多变型考点——纵引横联)[典型母题]根据命题真假求参数的3步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．[越变越明][变式1]母题条件不变，若p∧q为真，则a的取值范围为________．解析：由p∧q为真知p，q都为真．∴a的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1.答案：⎝⎛⎭⎫12，1[变式2]在母题条件下，若命题q∨(p∧q)真、綈p真，求实数a的取值范围．解：由命题q∨(p∧q)真、綈p真知p假，q真．p假，则a≤0或a≥1；q真，则a＞12.∴实数a的取值范围为[)1，＋∞.解决本题应由q∨(p∧q)真、綈p真先判断出p假，q真，再借助集合的交、并运算法则求解．[变式3]已知a>0，且a≠1，命题p：函数y＝log a命题q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．若“p∨q”为假，则a的取值范围为()A.⎝⎛⎦⎤1，52 B.⎝⎛⎦⎤－∞，12∪⎝⎛⎦⎤1，52C.⎣⎡⎭⎫12，52 D.⎣⎡⎭⎫12，1∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞解析：选A当0<a<1时，函数y＝log a(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减；当a>1时，函数y＝log a(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减的．若p为假，则a>1.曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点等价于(2a－3)2－4>0，即a<12或a>52.若q为假，则a∈⎣⎡⎦⎤12，52.若使“p ∨q”为假，则a∈(1，＋∞)∩⎣⎡⎦⎤12，52，即a∈⎝⎛⎦⎤1，52.本题的巧妙之处就是将“函数”“曲线”与“命题的真假”三者综合交汇考查．看似较难，但只要将命题p，命题q分别利用函数、曲线的知识分而破之，问题便迎刃而解．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．下列命题中是全称命题并且是真命题的是()A．π是无理数B．若2x为偶数，则任意x∈N[破译玄机][破译玄机]C．若对任意x∈R，则x2＋2x＋1>0D．所有菱形的四条边都相等解析：选D对于A：“π是无理数”不是全称命题．对于B：偶数包括正偶数、负偶数和0，所以“2x为偶数，则任意x∈N”为假命题．对于C：“若对任意x∈R，则x2＋2x＋1>0”是全称命题，但由于当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0，即此命题为假命题．对于D：根据菱形的定义，知“所有菱形的四条边都相等”是全称命题，且是真命题．2．命题“∃x0∈R，x20－2x0＋1<0”的否定是()A．∃x0∈R，x20－2x0＋1≥0B．∃x0∈R，x20－2x0＋1>0C．∀x∈R，x2－2x＋1≥0D．∀x∈R，x2－2x＋1<0解析：选C原命题是特称命题，“∃”的否定是“∀”，“<”的否定是“≥”，因此该命题的否定是“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”．3．已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是()A．p∧綈q B．綈p∧qC．綈p∧綈q D．p∧q解析：选A由题意知命题p是真命题，命题q是假命题，故綈p是假命题，綈q是真命题，由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p∧綈q是真命题．4．已知命题p：“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题q：“a2>b2”是“a>b”的充要条件，则() A．p∨q为真B．p∧q为真C．p真q假D．p∨q为假解析：选D由x>3能够得出x2>9，反之不成立，故命题p是假命题；由a2>b2可得|a|>|b|，但a不一定大于b，反之也不一定成立，故命题q是假命题．所以p∨q为假．5．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A因为綈p为真，所以p为假，那么p∧q为假，所以“綈p为真”是“p ∧q为假”的充分条件；反过来，若“p∧q为假”，则“p真q假”或“p假q真”或“p假q假”，所以由“p∧q 为假”不能推出綈p 为真．综上可知，“綈p 为真”是“p ∧q 为假”的充分不必要条件． 二保高考，全练题型做到高考达标1．已知命题p ：∃x 0∈R ，sin x 0＜12x 0，则綈p 为( )A ．∃x 0∈R ，sin x 0＝12x 0B ．∀x ∈R ，sin x ＜12xC ．∃x 0∈R ，sin x 0≥12x 0D ．∀x ∈R ，sin x ≥12x解析：选D 原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即綈p ：∀x ∈R ，sin x ≥12x .2．命题p ：若sin x >sin y ，则x >y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( )A ．p 或qB ．p 且qC ．qD ．綈p解析：选B 取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 不正确；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q正确，故綈p 为真命题，p 或q 是真命题，p 且q 是假命题．3．已知命题p ：∃x 0∈N ，x 30<x 20；命题q ：∀a ∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f (x )＝log a (x －1)的图象过点(2,0)，则( )A ．p 假q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 假D ．p 真q 真解析：选A 由x 30<x 20，得x 20(x 0－1)<0，解得x 0<0或0<x 0<1，在这个范围内没有自然数，∴命题p 为假命题；∵对任意的a ∈(0,1)∪(1，＋∞)，均有f (2)＝log a 1＝0，∴命题q 为真命题．4．下列说法错误的是( )A ．命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”B ．若命题p ：存在x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0，则綈p ：对任意x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0C ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≥⎝⎛⎭⎫x ＋y 22”的充要条件D ．已知命题p 和q ，若“p 或q ”为假命题，则命题p 与q 中必一真一假解析：选D 由原命题与逆否命题的关系知A 正确；由特称命题的否定知B 正确；由xy ≥⎝⎛⎭⎫x ＋y 22⇔4xy ≥(x ＋y )2⇔4xy ≥x 2＋y 2＋2xy ⇔(x －y )2≤0⇔x ＝y 知C 正确；对于D ，命题“p 或q ”为假命题，则命题p 与q 均为假命题，所以D 不正确．5．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)解析：选D 因为命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0， 所以命题綈p ：∃x 0∈R ，ax 20＋ax 0＋1<0，则a <0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a >0，解得a <0或a >4. 6．命题p 的否定是“对所有正数x ，x ＞x ＋1”，则命题p 可写为________________________．解析：因为p 是綈p 的否定，所以只需将全称命题变为特称命题，再对结论否定即可． 答案：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0≤x 0＋17．若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：当a ＝0时，不等式显然成立；当a ≠0时，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝a 2＋8a ≤0，得－8≤a <0.综上，－8≤a ≤0. 答案：[－8,0]8．已知命题p ：∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：命题“p ∧q ”是真命题，则p 和q 均为真命题；当p 是真命题时，a ≥(e x )max ＝e ；当q 为真命题时，Δ＝16－4a ≥0，a ≤4；所以a ∈[e,4]．答案：[e,4] 9．下列结论：①若命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝2；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋12>0.则命题“p ∧(綈q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3；③“设a ，b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2>4”的否命题为：“设a ，b ∈R ，若ab <2，则a 2＋b 2≤4”．其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)解析：在①中，命题p 是真命题，命题q 也是真命题，故“p ∧(綈q )”是假命题是正确的．在②中，由l 1⊥l 2，得a ＋3b ＝0，所以②不正确．在③中“设a ，b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2>4”的否命题为：“设a ，b ∈R ，若ab <2，则a 2＋b 2≤4”正确．答案：①③10．已知命题p ：“存在a >0，使函数f (x )＝ax 2－4x 在(－∞，2]上单调递减”，命题q ：“存在a ∈R ，使∀x ∈R,16x 2－16(a －1)x ＋1≠0”．若命题“p ∧q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解：若p 为真，则对称轴x ＝－－42a ＝2a 在区间(－∞，2]的右侧，即2a ≥2，∴0<a ≤1.若q 为真，则方程16x 2－16(a －1)x ＋1＝0无实数根． ∴Δ＝[16(a －1)]2－4×16<0，∴12<a <32.∵命题“p ∧q ”为真命题，∴命题p ，q 都为真， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，12<a <32，∴12<a ≤1. 故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤12，1. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知命题p ：∃x 0∈R ，e x 0－mx 0＝0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．[0,2]C ．RD ．∅解析：选B 若p ∨(綈q )为假命题，则p 假q 真．命题p 为假命题时，有0≤m ＜e ；命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2.所以当p ∨(綈q )为假命题时，m 的取值范围是0≤m ≤2.2．下列说法正确的是( )A ．命题“∀x ∈R ，e x >0”的否定是“∃x 0∈R ，e x 0>0”B ．命题“已知x ，y ∈R ，若x ＋y ≠3，则x ≠2或y ≠1”的逆否命题是真命题C ．“x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立”⇔“(x 2＋2x )min ≥(ax )max 在x ∈[1,2]上恒成立”D ．命题“若a ＝－1，则函数f (x )＝ax 2＋2x －1只有一个零点”的逆命题为真命题 解析：选B A ：命题的否定是“∃x 0∈R ，e x 0≤0”，∴A 错误；B ：逆否命题为“已知x ，y ∈R ，若x ＝2，y ＝1，则x ＋y ＝3”，易知为真命题，∴B 正确；C ：分析题意可知，不等式两边的最值不一定在同一个点取到，故C 错误；D ：若函数f (x )＝ax 2＋2x －1只有一个零点，则：①a ＝0，符合题意；②a ≠0，Δ＝4＋4a ＝0，a ＝－1，故逆命题是假命题，∴D 错误．3．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＞0.q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解：由x 2－4ax ＋3a 2＜0，a ＞0，得a ＜x ＜3a ， 即p 为真命题时，a ＜x ＜3a ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x ＞2或x ＜－4， 即2＜x ≤3，即q 为真命题时，2＜x ≤3.(1)a ＝1时，p ：1<x <3.由p ∧q 为真知p ，q 均为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧1＜x ＜3，2＜x ≤3，得2＜x ＜3， 所以实数x 的取值范围为(2,3)．(2)设A ＝{x |a ＜x ＜3a }，B ＝{x |2＜x ≤3}，由题意知p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，有⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ≤2，3a ＞3，∴1＜a ≤2， 所以实数a 的取值范围为(1,2]．。