高等代数专题研究模拟试题(05春)
高三数学5月模拟试题含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校华东师范大学第二附属2021届高三数学5月模拟试题〔含解析〕z满足1zi i=--1+2i，那么z等于_____．【答案】1+i【解析】【分析】由题得iz+i＝﹣1+2i，利用复数的乘除运算化简即可【详解】∵1zi i=-iz+i∴iz+i＝﹣1+2i∴z＝1+i故答案为：1+i．【点睛】此题考察行列式，复数的运算，准确计算是关键，是根底题2.计算：3381nnClimn→∞=+_____【答案】1 48【解析】【分析】由二项式定理得()()323123266nn n n n n nC---+==，再求极限即可【详解】()()323123266nn n n n n n C---+ ==；∴33223333213216814864848nn n nC n n n n nlim lim limn nn→∞→∞→∞-+-+===+++．故答案为：1 48．【点睛】此题考察极限，考察二项式定理，是根底题的时间是〔单位：分钟〕分别为x，y，10，11，9．这组数据的平均数为10，方差为2，那么x2+y2＝_____．【答案】4【解析】试题分析：利用平均数、方差的概念列出关于x、y的方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x-y|即可，故可设x=10+t，y=10-t，求解即可。
解：由题意可得：x+y=20，〔x-10〕2+〔y-10〕2=8，设x=10+t，y=10-t，那么2t2=8，解得t=±2，∴|x-y|=2|t|=4，故答案为4.考点：平均值点评：此题考察统计的根本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法，比较简单．x，y的二元一次方程的增广矩阵为32111m⎛⎫⎪⎝⎭．假设D x＝5，那么实数m＝_____．【答案】-2【解析】【分析】由题意，D x1232m-==-5，即可求出m的值．【详解】由题意，D x1232m-==-5，∴m＝-2，故答案为-2．【点睛】此题考察x，y的二元一次方程的增广矩阵，考察学生的计算才能，比较根底．x 、y 满足不等式组22000x y x y y --≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，那么11y w x -=+的取值范围是_____【答案】1,12⎡-⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】画出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用w 的几何意义即可得到结论． 【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：〔阴影局部〕．11y w x -=+的几何意义为阴影局部的动点〔x ，y 〕到定点P 〔﹣1，1〕连线的斜率的取值范围． 由图象可知当点与OB 平行时，直线的斜率最大，当点位于A 时，直线的斜率最小，由A 〔1，0〕，∴AP 的斜率k 12=- 又OB 的斜率k ＝1 ∴12-≤w <1． 那么11y w x -=+的取值范围是：112⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，． 故答案为：112⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，． 【点睛】此题主要考察线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．101)2x展开式中，含x 的负整数指数幂的项一共有_____项． 【答案】4 【解析】 【分析】先写出展开式的通项：103211012rrr r T C x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭由0≤r ≤10及532r -为负整数，可求r 的值，即可求解【详解】1012x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为103211012rrr r T C x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭其中r ＝0，1，2…10 要使x 的指数为负整数有r ＝4，6，8，10 故含x 的负整数指数幂的项一共有4项 故答案为：4【点睛】此题主要考察了二项展开式的通项的应用，解题的关键是根据通项及r 的范围确定r 的值 7.一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的外表积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为_____． 【答案】【解析】试题分析：设圆柱的高为2，由题意圆柱的侧面积为2×2π=4π，圆柱的体积为2122ππ⋅⋅=，那么球的外表积为4π，故球的半径为1；球的体积为43π，∴这个圆柱的体积与这个球的体积之比为23423ππ=，故填考点：此题考察了球与圆柱的体积、外表积公式点评：此类问题主要考察学生的计算才能，正确利用题目条件，面积相等关系，挖掘题设中的条件，解题才能得心应手m ，n ，作向量a=〔m ，n 〕，那么a 与b =〔1，﹣1〕的夹角成为直角三角形内角的概率是_____．【答案】712【解析】 【分析】根据分步计数原理可以得到试验发生包含的所有事件数，满足条件的事件数通过列举得到即可求解 【详解】由题意知此题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件数6×6， ∵m ＞0，n ＞0， ∴a=〔m ，n 〕与b =〔1，﹣1〕不可能同向．∴夹角θ≠0． ∵θ∈〔0，2π] a •b ≥0，∴m ﹣n ≥0， 即m ≥n ．当m ＝6时，n ＝6，5，4，3，2，1； 当m ＝5时，n ＝5，4，3，2，1； 当m ＝4时，n ＝4，3，2，1； 当m ＝3时，n ＝3，2，1； 当m ＝2时，n ＝2，1； 当m ＝1时，n ＝1．∴满足条件的事件数6+5+4+3+2+1∴概率P 65432176612+++++==⨯．故答案为：712【点睛】此题考察古典概型，考察向量数量积，考察分类讨论思想，准确计算是关键A ＝{〔x ，y 〕||x ﹣a |+|y ﹣1|≤1}，B ＝{〔x ，y 〕|〔x ﹣1〕2+〔y ﹣1〕2≤1}，假设A ∩B ≠∅，那么实数a 的取值范围为_____． 【答案】[﹣1，3] 【解析】【分析】先分别画出集合A ＝{〔x ，y 〕||x ﹣a |+|y ﹣1|≤1}，B ＝{〔x ，y 〕|〔x ﹣1〕2+〔y ﹣1〕2≤1}，表示的平面图形，集合A 表示是一个正方形，集合B 表示一个圆．再结合题设条件，欲使得A ∩B ≠∅，只须A 或者B 点在圆内即可，将点的坐标代入圆的方程建立不等式求解即可．【详解】分别画出集合A ＝{〔x ，y 〕||x ﹣a |+|y ﹣1|≤1}，B ＝{〔x ，y 〕|〔x ﹣1〕2+〔y ﹣1〕2≤1}，表示的平面图形，集合A 表示是一个正方形，集合B 表示一个圆．如下列图． 其中A 〔a +1，1〕，B 〔a ﹣1，1〕，欲使得A ∩B ≠∅，只须A 或者B 点在圆内即可，∴〔a +1﹣1〕2+〔1﹣1〕2≤1或者〔a ﹣1﹣1〕2+〔1﹣1〕2≤1， 解得：﹣1≤a ≤1或者1≤a ≤3， 即﹣1≤a ≤3． 故答案为：[﹣1，3]．【点睛】本小题主要考察二元一次不等式〔组〕与平面区域、集合关系中的参数取值问题、不等式的解法等根底知识，考察运算求解才能，考察数形结合思想、化归与转化思想．属于根底题．ABC ∆中，1BC AC ==，以AB 为边作等腰直角三角形ABD 〔B 为直角顶点，C D 、两点在直线AB 的两侧〕，当C ∠变化时，线段CD 长的最大值为__________．【答案】3 【解析】 试题分析：设CBA α∠=，AB BD a==，那么在三角形BCD 中，由余弦定理可知222CD a α=++，在三角形ABC 中，由余弦定理可知2cosα=，可得sinα=，所以222CD a =+，令22t a =+，那么2CD t t ==59≤=，当2(5)4t -=时等号成立．考点：解三角形11.如图，B 是AC 的中点，2BEOB =，P 是平行四边形BCDE 内〔含边界〕的一点，且()OP xOA yOB x y R =+∈，．有以下结论：①当x ＝0时，y ∈[2，3]； ②当P 是线段CE 的中点时，1522xy =-=，；③假设x +y 为定值1，那么在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段； ④x ﹣y 的最大值为﹣1；其中你认为正确的所有结论的序号为_____． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】利用向量一共线的充要条件判断出①错，③对；利用向量的运算法那么求出OP ，求出x ，y 判断出②对,利用三点一共线解得④对 【详解】对于①当OPyOB =，据一共线向量的充要条件得到P 在线段BE 上，故1≤y ≤3，故①错对于②当P 是线段CE 的中点时，()132OP OE EP OB EB BC =+=++ ()11532222OB OB AB OA OB =+-+=-+故②对 对于③x +y 为定值1时，A ，B ，P 三点一共线，又P 是平行四边形BCDE 内〔含边界〕的一点，故P 的轨迹是线段，故③对 对④，()OPxOA yOB xOA y OB=+=--，令OB OF -=，那么()xOA y OF OP =-，当,,P A F 一共线，那么1x y -=，当AF 平移到过B 时，x ﹣y 的最大值为﹣1，故④对故答案为②③④【点睛】此题考察向量的运算法那么、向量一共线的充要条件,考察推理才能，是中档题x 和任意02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，恒有221(32)()8x sin cos x asin acos θθθθ+++++≥，那么实数a 的取值范围为_____． 【答案】a ≤a 72≥【解析】 【分析】原不等式等价于〔3+2sinθcosθ﹣a sinθ﹣a cosθ〕214≥，θ∈[0，2π]，从而可得a1322sin cos sin cos θθθθ++≥+，或者a 1322sin cos sin cos θθθθ+-≤+，于是问题转化为求函数的最值问题加以解决，对上述分式进展合理变形，利用函数单调性、根本不等式即可求得最值．【详解】原不等式等价于〔3+2sin θcos θ﹣a sin θ﹣a cos θ〕214≥，θ∈[0，2π]①，由①得a 1322sin cos sin cos θθθθ++≥+②，或者a 1322sin cos sin cos θθθθ+-≤+③，在②中，1sin cos θθ≤+≤，1322sin cos sin cos θθθθ++=+〔sin θ+cos θ〕()52sin cos θθ++， 显然当1≤x ≤f 〔x 〕＝x 52x+为减函数，从而上式最大值为f 〔1〕＝15722+=， 由此可得a 72≥； 在③中，1322sin cos sin cos θθθθ+-=+〔sin θ+cos θ〕()32sin cos θθ+≥=+ 当且仅当sin θ+cosθ=时取等号，所以1322sin cos sin cos θθθθ+-+，由此可得a ≤综上，a ≤a 72≥． 故答案为：a ≤a 72≥．【点睛】此题考察函数恒成立问题，转化为函数最值问题是解决该类题目的常用方法，解决此题的关键是先对不等式进展等价变形去掉x ，变为关于θ的恒等式处理．{}2=540A x x x -+<{}B=1x x a -<，那么“()2,3a ∈〞是“B A ⊆〞的〔〕A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】()()1,4,1,1A B a a ==-+，假设B A ⊆，那么1114a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得[]2,3a ∈，所以()2,3a ∈是[]2,3a ∈的充分不必要条件，应选A 。
高等代数专题研究模拟试题及答案(05春)
高等代数专题研究试题模拟试题(05春)一、单项选择题(每小题3分，本题共15分)1.如果函数f (x )满足条件：对任意x 1与x 2，有)()()(22112211x f q x f q x q x q f +≥+其中( )，则称f (x )是上凸函数．(A) 0,021≥≥q q (B) 021≥⋅q q 且121=+q q(C) ,0,021≥≥q q 且121=⋅q q (D) 0,021≠≠q q 且121=+q q2. 下列环中是非交换环的为( )(A) 整数环Z (B) 剩余类环Z 5(C) n 阶方阵环 (D) 高斯整数环Z [i ]={a +bi ∣a ,b 为整数}3. 剩余类环Z 8的一个真零因子是( )． (A) 3 (B)7 (C) 5 (D) 24. 一副扑克牌有红桃、黑桃、方片和梅花各13张，共52张．从中任取一张，则不同取法有( )种．(A) 52 (B)4 (C) 134 (D) 4135. 将r 个不可区分的小球投入n 个盒子，每一个盒子的容量不超过一个球(n ≥r )，若计算有多少种不同投球方式，应该用( )．(A) 允许重复组合数公式 (B) 不重复组合数公式(C) 允许重复排列数公式 (D) 不重复排列数公式二、填空题(每小题3分，本题共15分)6. 设a 1,a 2,…,a 5是正实数，可构造两组正实数列和 ．用柯西不等式，证明25)1...11)(...(521521≥++++++a a a a a a ． 7. 若(a ,b )~1，那么(a ,a +b )~ ．8. 在有无穷多个元素的域上，设多项式f (x )=a n x n +a n －1x n －1+…+a 0和g (x )=b n x n +b n －1x n－1+…+b 0 ，从代数学的观点，如果 ，则称f (x )=g (x )．9. π是有理数域上的超越元，是因为π不是 多项式的根．10. 计算31019710098100)(P C C +＝ ．三、简述题(每小题5分，共10分)11. 试列出三种证明不等式常用的方法．12. 找出整数环Z中的可逆元素，并说明为什么是可逆元素．四、计算题(每小题10，本题共40分)13. 设集合A={ ，a，{a},b}，求P(A)．14. 设x，y，z为非负实数，且满足x+2y+5z=6求f(x,y,z)=xyz的极大值．15. 求f (x )=2322123+--x x x 的重因式．16. 试求多项式(x 1+x 2+x 3+x 4+x 5)10展开合并同类项后的项数以及2543231x x x x 的系数．四、证明题(每小题10分，本题共20分)17. 设R 是实数集，+R 是正实数集，任给+R 的元素x ,令映射 σ(x )＝x lg证明σ是+R 到R 的双射．18. 证明恒等式11--=k n k n nC kC ．高等代数专题研究模拟试题（05春） 参考答案一、单项选择题(每小题3分，本题共15分) 1. B ．2. C ．3. D ．4. A ．5. B ． 二、填空题(每小题3分，本题共15分)6. 521,...,,a a a ，5211,...,1,1a a a ． 7. 1． 8. a k =b k (k =0,1,2,…,n )．9. 任何有理系数． 10. 61． 三、简述题(每小题5分，共10分)11.列出三种或三种以上的方法，可得满分5分．参考方法列举：(1)欲证A >B ，可证A －B >0；(2) 当A >0,B >0时，欲证A >B ，可证1>BA ； (3) 欲证A >B ，可证A >C ,C >B ；(4) 欲证A >B ，可将A －B 化为(A －B )2；等．12. 在整数环Z 中，只有1和－1是可逆元素．1是恒等元．因为1和－1都不是零元，但(－1)×(－1)=1，1×1＝1，根据可逆的定义知道，它们是可逆元素． (5分)四、计算题(每小题10，本题共40分)13. 由幂集合的定义，P (A)={∅,{∅},{a },{{a }},{b }, (2分){∅,a },{∅,{a }},{∅,b },{a ,{a }},{a ,b },{{a },b } (6分){∅,a ,{a }},{∅,a ,b },{∅,{a },b },{a ,{a },b } (9分){∅,a ,{a },b }} (10分)14. 利用均值不等式x +2y +5z ≥333103523xyz z y x =⋅⋅ (3分)54102761027)52(33=⨯=⨯++≤z y x xyz (9分) 当x =2y =5z 时，得x =2,y =1,z =52时，xyz 的极大值是54． (10分) 15. 只要求出f (x )与f '(x )的公因式即可．(1分)23)(2--='x x x f)1(625)61)((296233)(323---'=+--=x x x f x x x x f (4分) 而 )1)(23(23)(2-+=--='x x x x x f ，有 (f (x ),f '(x ))~(x －1) (8分)所以x －1是f (x )的二重因式． (10分)16. 所求项数为1001!411121314414101510=⨯⨯⨯==-+C C (5分) 2543231x x x x 的系数为12600!2!0!4!1!3!10= (10分)四、证明题(每小题10分，本题共20分)17. 由对数函数的定义域和函数值，知σ(x )＝x lg 是+R 到R 的映射．(2分)(1) 任给+R 的两个元素x 1,x 2且x 1≠x 2，由对数函数的严格单调性，有)(lg lg )(2211x x x x σσ=≠= 这表明σ(x )＝x lg 是单射． (6分)(2) 任给R 的元素y ，则存在y x 10=属于+R ，则有 σ(x )=y x y ==10lg lg这表明σ(x )＝x lg 是满射． (9分)总之，σ是+R 到R 的双射． (10分) 18. )!(!!k n k n k kC kn -⋅⋅= (4分) ＝))!1(1()!1()!1(----⋅-⋅⋅k n k k n n k (7分) ＝11))!1()1(()!1()!1(--=-----k n nC k n k n n ． (10分)。
湖南大学高等代数2005--2009年考研真题
高等代数——2005年真题一．（20分）证明：数域F 上的一个n 次多项式()f x 能被它的导数整除的充要条件是()()nf x a x b =-，(),a b F 其中是中的数.二．（20分）设120n a a a ≠ ，计算下面的行列式：12311111111111111111111na a a a ++++三．（15分）已知矩阵A PQ =，其中2431P ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2121Q ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，Q '，求矩阵2100,A A A 和。
四．（20分）给定线性方程组23112131231222322313233323142434x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩ （1） 当1234,,,a a a a 满足什么条件时，方程组（1）有惟一解？无穷多解？无解？ 五．（20分）设()fX XA X '=是一实二次型，若有实n 维向量1X ,2X 使得()()12f X f X >0,<0，证明：必存在实n 维向量00X ≠使()00f X =。
六．设W 是齐次线性方程组1234512352300x x x x x x x x x +-+-=⎧⎨+- +=⎩ （2）的解空间。
1.W 中的向量与方程组（2）的系数矩阵的行向量有何关系？2。
求W 的一组标准正交基。
七．（15分）求复矩阵131616576687⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭的不变因子，初等因子及Jordan 标准形。
八．（10分）设整系数线性方程组1nij ji j a xb ==∑，()1,2,,i n = 对任意整数12,,,n b b b 均有整数解。
证明该方程组的系数矩阵的行列式必为1±。
九．（15分）设,,A B C 为复数域上n 维空间V 的线性变换，AB BA C -=,并且C 可以与,A B 交换。
海事05年高代
大连海事大学2005年硕士研究生招生考试试题考试科目：高等代数适用专业：应用数学考生须知：１、所有答案必须写在答纸上，写在试题纸上无效；２、考生不得在答题上作与答题内容无关的标记，否则试卷作废。
一、（共20分）设向量β可由向量组r αα,,1 线性表出，证明：表法唯一的充分必要条件是向量组r αα,,1 线性无关。
二、（共15分）设A 是一个n 阶方阵，n I 是n 阶单位阵。
若A 满足下面三个条件中的两个，则一定也满足第三个：(1) A 2=n I ；(2)AA T =n I ；(3) A T ＝A 。
三、（共20分）设H 是一个Euclid 空间，x ，y 是H 中的两个向量。
(1) 证明：x 与y 正交的充分必要条件为x y +＝x －y ；(2) 在2维欧氏空间中，对(1)的结论给出几何解释。
四、（共20分）设线性方程组Ax=b 有解，但不唯一。
(1)求a 的值；(2)求正交矩阵Q ，使得Q T AQ 为对角阵。
这里，A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111111a a a ，b ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-211。
五、（20分）设A 是n 阶实对称阵，证明：存在一个n 阶正定阵B ，使得对于任意一个实n 维向量x ，都有Bx x Ax x T T ≤。
如果A 不是对称阵，上述结论是否成立？说明理由。
六、（共20分）设n P 是n 维实向量空间，a ∈n P ，a ≠0。
令{}0| T n =∈=x a P x π， l ={}R k ka x P x ∈=∈，| n 。
证明：(1) π和l 均为n P 的子空间；(2) l ⊥π；(3)当n =3时，l P ⊕=π3。
七、（共15分）设A ，B 均为n 阶实矩阵，并且A ，B ，AB －n I ，均可逆，n I 为n 阶单位阵。
证明：A －B 1－，(A －B 1－)1－－A 1－也可逆。
八、（共20分）设T 是线性空间n V 的线性变换，构造子空间{}n n V x x T x V ∈==，0|1，{}n n V x x T x V ∈==+，0|12。
2005高等代数试卷答案
2005高等代数试卷A答案一、单项选择题（63=18分）1．设A是n阶实矩阵，且秩R(A)=n，则二次型X’ (A’A)X是（ C ）A．不定二次型 B．半负定二次型C．正定二次型 D．负定二次型2．设A、B为n阶方阵, 则下列各式成立的是（ C ）A．|A+B|=|A|+|B|; B．(AB)k=A k B k ;C．|AB|=|BA|; D．A T B=B T A.3．设A为n阶方阵, A的秩R(A)=r<n, 那么在A的n个行向量中（ A ）A．必有r个行向量线性无关;B．任意r个行向量线性无关;C．任意r个行向量都构成最大线性无关组;D．任何一个行向量都可以由其它r个行向量线性表出.4．若A是方阵且方程组AX=0只有零解, 则AX=β(≠0)（ B ）A．必有无穷多组解;B．必有唯一解;C．必定没有解;D．A、B、C都不对.5．n阶方阵A与B相似的充分必要条件是（ C ）A．矩阵A与B的行列式的值相等;B．矩阵A与B有相同的特征值;C．存在n阶满秩矩阵P, 使P -1AP=B;D．存在n阶满秩矩阵P, 使P T AP=B.6．设A =,B =,则A与B（ A ）A．合同且相似；B．合同但不相似；C．不合同但相似；D．不合同且不相似.二、填空题（83=24分）1. 若n阶方阵A 中每行元素之和为定值S, 则A 的一个特征向量可写成x =（ 1, 1, · · · 1 ）’2. 设x, y R n (标准内积), 则x y与 |x|2 +| y|2 = | x+y|2 是 _等价__ 关系..3 设4．从 的基，到基，的过渡矩阵为 .5.. 设n阶矩阵A的最小多项式为g(λ) = λ 2 - 3λ + 2, 则A-1 = ( 3I – A ) , 且A必相似于 ( _对角阵 ) .6. 设V是实数域上次数小于3 的多项式构成的线性空间, D: VV是求导变换, 则D的核Ker(D)= { c | c是实数} = R_D在基{1, X 1,X 2 }下的表示阵A =三、（10分）设3阶方阵A,B满足A* BA = 2BA - 8I, 为A的伴随阵且A=,求B .四、（8分）设7阶方阵A的特征阵(λI - A)相抵(等价)于下面对角阵D = diag { λ2 – 3, λ2 – 1, λ- 2, (λ – 2)2, 1, 1, 1}(1) 写出A 的初等因子与不变因子;(2) 求A 的若当标准形.五、（8分）设A写出特征阵λI - A的法式与A的最小多项式;六、（10分）讨论 λ 取何值时，下面方程组有解; 当方程组有无穷多解时求其通解.七、（12分）设列向量（1）求A的特征多项式|λI – A|；（2）求正交阵Q 使Q’AQ为对角阵.八、（10分）设A, B均为n阶正定矩阵，且A B = BA, 证明:(1) AB为正定矩阵 ;(2) 存在可逆阵P, 使 P-1AP 与 P-1BP 都是对角阵;(3) |A+B | | A | + | B |答案三. (10分)由A*BA=2BA–8I, 两边同时左乘A,右乘A-1,整理得即左乘得四.(8分)答案：（1）矩阵A的初等因子组为。
2005年高考数学仿真试题（四）
2005年高考数学仿真试题（四）第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1.设全集Ｉ＝｛1，3，5，7，9｝，集合A＝｛1，｜a－5｜，9｝，＝｛5，7｝，则A的值是A.2B.８C.－2或8D.2或82.以下结论正确的是A.B.C.D.3.等边△ABC的顶点A、B、C按顺时针方向排列，若复平面内，A、B两点对应的复数分别为－1＋2ｉ和1，则C点对应的复数为A.－2B.－2－ｉC.-2- ID.-34.已知直线m、n、l，平面α、β，以下命题中，正确命题的个数是(1)若m∥α，n∥α，则m∥n （2）若α⊥β，m⊥l，l β则m⊥β (3)若m、n为异面直线，m∥α，则n与α相交 (4)若m⊥n，m⊥α，n α则n∥αA.0B.1C.2D.35.甲、乙、丙三个单位分别需要招聘工作人员2名、1名、1名，现从10名应聘人员中招聘4人到甲、乙、丙三个单位，那么不同的招聘方法共有A.1260种B.2025种C.2520种D.5040种6.设ｗ∈R+，如果y＝2sinwx在［－，］上单调递增，那么ｗ的取值范围是A. B.C.D.7.直线(x＋1)a＋（y＋1）b＝0与圆x2＋y2＝2的位置关系是A.相交B.相切C.相离D.相交或相切8.设θ是三角形的一个内角，且sinθ＋cosθ＝，则方程x2sinθ－y2cosθ＝1表示A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆C.焦点在x轴上的双曲线D.焦点在y轴上的双曲线9.等比数列｛an｝的公比为q，则“a1＞0，且q＞1”是“对于任意自然数n，都有an+1＞an”的A.充分非必要条件B.必要非充分C.充要条件D.既非充分又非必要条件10.已知f（x）是奇函数，定义域为｛x｜x∈R，x≠0｝，又f（x）在区间(0，＋∞)上是增函数，且f（－1）＝0，则满足f（x）＞0的x 的取值范围是A.（1，＋∞）B.（0，1）C.（－1，0）∪（1，＋∞）D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）11.数列｛an｝中，a1＝1，Sn是前n项和，当n≥2时，an＝3Sn，则的值是A.－B.－2C.1D.－12.对于抛物线C：y2＝4x，我们称满足y02＜4x0的点M(x0，y0)在抛物线内部，若点M(x0，y0)在抛物线内部，则直线l：y0y＝2（x＋x0）与CA.恰有一个公共点B.恰有两个公共点C.可能一个公共点，也可能两个D.没有公共点第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.设变量x、y满足则y=5x+4y的最大值是 .14.若的展开式中第三项系数为36，则自然数n的值是 .15.若集合{(x，y)|x+y-2=0且x-2y+4=0} {(x，y)|y=3x+b}，则b= .16.已知函数f（x）＝｜x2－2ax＋b｜(x∈R)，给出下列命题：①f（x）必是偶函数；②当f（0）＝f（2）时f（x）的图象必关于直线x＝1对称；③若a2－b≤0，则f（x）在区间［a，＋∞］上是增函数；④f（x）有最大值a2－b，其中正确命题序号是 .三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本小题满分12分)一名学生骑自行车上学，从他的家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是独立的，并且概率都是 .(Ⅰ)求这名学生首次遇到红灯前，已经过了两个交通岗的概率；(Ⅱ)求这名学生在途中遇到红灯数ξ的期望与方差.18.(本小题满分12分)如图正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，A1C1的中点为D.(Ⅰ)求证BC1∥平面AB1D；(Ⅱ)求二面角A1－B1D－A的大小；(Ⅲ)求点B到平面AB1D的距离.19.(本小题满分12分)已知f（x）＝2x－1的反函数为（x），g（x）＝log4（3x＋1）.(Ⅰ)若f-1（x）≤g（x），求x的取值范围D；(Ⅱ)设函数H（x）＝g（x）－（x），当x∈D时，求函数Ｈ（x）的值域.20.(本小题满分12分)某种商品进价80元，零售价每个100元，为了促进销售可以采取买一个这种商品，赠送一个小礼品的办法.实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为n＋1元时，比礼品价值为n元(n∈N)时的销售量增加10%.(Ⅰ)写出礼品价值n元时，利润yn(元)与n的函数关系式；(Ⅱ)请你设计礼品价值，以使商店获得最大利润.21.(本小题满分12分)以y轴为右准线的双曲线C经过点M(1，2)，它的右焦点F在曲线(x－1)2＋（y－2）2＝4（x＞0)上.(Ⅰ)当MＦ∥x轴时，求双曲线C方程；(Ⅱ)求直线MＦ与双曲线C右支的另一个交点N的轨迹方程.22.(本小题满分14分)对于函数f（x），若存在x0∈R,使f（x0）＝x0成立，则称x0为f（x）的不动点.如果函数f（x）＝ax2＋bx＋1（a＞0）有两个相异的不动点x1，x2.(Ⅰ)若x1＜1＜x2，且ｆ（x）的图象关于直线x＝m对称,求证：＜m＜1；(Ⅱ)若｜x1｜＜2且｜x1－x2｜＝2，求b的取值范围.答案一、1.D 2.B 3.D 4.B 5.C 6.A 7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.D二、13.14 14.9 15. 2 16.③三、17.解：(Ⅰ)∵这名学生第一、第二交通岗未遇到红灯，第三个交通岗遇到红灯2分6分(Ⅱ)ξ～B（6，） 8分∴Ｅξ＝6× ＝2 10分Dξ＝6×（）×（1－）＝ 12分18.(Ⅰ)证明：连结A1B，设A1B与AB1相交于O，则O为A1B 的中点，连结DO，因D为A1C1中点，所以DO为△A1BC1的中位线，∴DO∥BC1又DO 平面AB1D，BC1 平面AB1D ∴BC1∥平面AB1D ∥平面AB1D 4分(Ⅱ)解：由题意知，B1D是正△A1B1C1的中线，∴A1C1⊥B1D在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1 ∴AD⊥B1D，∴∠ADA1是二面角A1－B1D－A的平面角，在Rt△ADA1中，tgADA1＝∴∠ADA1＝60°即二面角A1－B1D－A等于60° 8分(Ⅲ)解：因为O为A1B的中点，所以点B到平面AB1D的距离等于点A1到平面AB1D的距离.由(Ⅱ)知B1D⊥平面A1ACC1 ∴平面AB1D⊥平面A1ACC1且平面AB1D∩平面A1ACC1＝AD，过点A1作A1H⊥AD，垂足为H，则A1H⊥平面A1BD，所以线段A1H的长度就是点A1到平面AB1D的距离在Rt△A1AD中，∴点B到平面AB1D距离为 12分19.解：(Ⅰ)∵∴ (x＞-1) 2分由≤g（x）∴14分解得0≤x≤1 ∴D＝［0，1］ 6分(Ⅱ)H（x）＝g（x）－ 9分∵0≤x≤1 ∴1≤3－≤2∴0≤H（x）≤ ∴H（x）的值域为［0，］ 12分20.解：（Ⅰ）设未赠礼品时销售量为ｍ件，则当礼品ｎ元时，销售量为ｍ（1＋10％）n，利润yn＝（100－80－ｎ）·ｍ·（1＋10％）n＝（20－ｎ）ｍ×1.1n（0＜ｎ＜20，ｎ∈N)?4分(Ⅱ)设礼品赠送ｎ元时，利润最大则 ?8分∴9≤ｎ≤10 10分∴礼品价值为9元或10元时，商店获利最大?12分21.解：(Ⅰ)可知M为圆心，，F(3，2)，M为右顶点 2分设双曲线方程为即双曲线方程为 6分(Ⅱ)设N（x，y）（x＞0），则｜∴9（x＋）2－3（y－2）2＝16（x＞0） 12分22.(Ⅰ)证明：g（x）＝f（x）－x＝ax2＋（b－1）x＋1?且a＞0 ∵x1＜1＜x2＜2∴（x1－1）（x2－1）＜0即x1x2＜（x1＋x2）－1 2分于是＞［（x1+x2）-1］= 4分又∵x1＜1＜x2＜2 ∴x1x2＞x1于是有ｍ＝（x1＋x2）－ x1x2＜（x1＋x2）－ x1＝ x2＜1 ∴ ＜m＜1 6分(Ⅱ)解：由方程＞0，∴x1x2同号（ⅰ）若0＜x1＜2则x2－x1＝2∴x2＝x1＋2＞2 ∴g（2）＜0即4a＋2b－1＜0 ①又(x2－x1)2＝; 8分∴ ，（∵a＞0）代入①式得＜3－2b，解之得：b＜ 10分(ⅱ)若－2＜x1＜0，则x2＝－2＋x1＜－2 ∴g（－2）＜0，即4a －2b＋3＜0 ②又代入②得＜2b－1解之得b＞综上可知b的取值范围为 14分https:///。
2005年研究生入学考试数学一模拟试题参考答案.doc
2005 年研究生入学考试数学一模拟试题参照答案一、填空题（此题共 6 小题，每题 4 分，满分 24 分 . 把答案填在题（1） [ 解 ] f ( x x) f (x) f (x x) f (x)limxxx 0f (xx) f (x)f ( xx) f ( x)limxxxf ( x)f ( x) () f ( x)x,0 x 1 （ 2）[ 解]f ( x)1 , x 1xef ( x) dx 1 e13xdxdx21x（ 3） [ 解 ] 令 uy , y ux, dy u xdux dudx 1 dx代入方程 u x u (dx )du dxuln Cx.1 x( )udu 1由通解 yx ln Cx x1 ..两边取微分，ln Cxyu1 ) u( u 得 111211u 2(u )u( x)x 2 .()u （4） [ 解]xdy ydx?Lx24 y 2P(x, y)y,P4 y 2 x 2x 24 y 2y( x 22) 24 y感谢赏析Q( x, y)x,Q 4 y 2 x 2x 24 y 2xx 2 4 y 2 2L 包括 O (0,0) 于其内，∴P Q y.x作 L * : x 2 4 y 22,( (0,1))则xdy ydx1xdy ydxx 2 4 y 22LL *L *1(1 1)dxdy2dxdy222 22D *D *（ 5）[ 解] A 23A 11E (A 2E)( A 5E) E 0( A 2E)( A 5E)E,∴(A 2E) 1A 5E.（ 6） [ 解 ]E(2 X 3Y 4) 2 D (2 X 3y 4) [ E(2 X 3Y 4)] 24D( X ) 9D(Y) 2cov(2 X , 3Y ) (43 4) 24 25 9 36 2 2 ( 3) 0.4 5 6 25305二、选择题（此题共8 小题，每题4 分，满分32 分，每题给出的四个选项中，只有一项切合要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）lim 1 1 2n 11ln x 01（7）[ 解](＋ )dx 1 . 选（A ）I e n n n n ne 0x e （8）[ 解 ] y2 yy 1 0. f (x 0 ) 2 f ( x 0 ) f ( x 0 ) 1 0,f ( x 0 ) 0, f ( x 0 ) 1选（ A ）（9）[ 解]( 1)n 1 u n ,( u n 0) 条件收敛 .n 1由条件收敛级数的全部正项与全部负项所组成的级数发散. ∴ 选(C)（10 [ 解]f y 22, f y 2y C 1 ( x)感谢赏析由 f y ( x,0) x C 1 (x) xf y 2 y xf (x, y) y 2 xy C 2 ( x)由 f (x,0)1C 2 ( x) 1.故 f (x, y) y 2xy 1选 (B)a11a12a1nb 1a21 a32 a2nb 2选 (B)（11） [ 解] Aa m1 a m2 a mnb m先考虑：行对行、列对列即可知（12） [ 解] 选 (C)（ 13）[ 解 ]由题设 ( X ,Y ) 的结合散布密度yy x1 , 0 x b,0 y bf ( x, y) b 20,其余 oyxy x(min( X , Y))min( X ,Y ) f (X ,Y) dxdyx= x12dxdyy 12 dxdyy xby xb2b yb2dy xdxb 00 3选 (C)（14） [ 解]∵ u 0 已知，拒绝域只好是 (A),(B) ，又∵是单侧查验，∴选 (B)三、解答题（此题共 9 小题，满分 94 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）(15)( 此题满分 12 分)[ 解 ] I lim1 2 x0 x 0x 2t1 sin tdt x感谢赏析limx 21 u sin xu xdux0 0lim1 21 u sin xudu11 xlim(1 u)sin xudux 0xxlim11 cos2 x sin2 x 2sin xx 0x x x 2 lim 1 cos2x sin2x 2sin x 1 x 2 x 3 x 0(16) ( 此题满分 11 分)[ 解 ] 等式两边从 0 到积分22 ( 2 f (tx) f (t)dt )dx2cos 4 xdxxItf (t x)dx)2 f (t )dt(令u t x2f (t )dt (t1( 2 f (u)du) 2f (u)du)2 0又2cos 4 xdx 3 14 2 21 (2 f (u)du) 23 2 016 2f (u)du1 64∵ f (x) 在 0, 上的均匀值 A . 222 2 6 1 6 Af (u)du42(17) ( 此题满分 12 分)2(u 1)sin xudu1 xx t2ot2[ 解 ]设两旋转抛物面由xoy 平面上两抛物线 yAx 2 , y Bx 2 a ，绕 y 轴旋转而成，设 V 1H (y a)dy( H a)2为被第二个抛物面所排开液体体积，则V 1.aB2 By感谢赏析2y Bx ah a设被挤上涨的液体体积为V2，则V2 h a ydy h a y a dyH HA B(h a)2 H 2 h2 (H a) 22 A A B B由 V1 V2,得( H a)22 [ (h a)2 H 2 h2 (H a)2]2 B A A B B(h a) 2 H 2 A h2.B∵ h a 0 .∴h a H 2 A h2B故液面上涨高度h a H H 2 A h2 HB（18）（此题满分11 分）(1) 由题设F ( x) x[ 解 ] f (t) dt ,又 ( xy) ' e x xy e x cy e x clim y l xe x c1 , cx x 0 xe xc 1 y F ( x)1 xf ( x) d (e x 1) d (1 x x2 ..... x n 1 ....)dx x dx 2! 3! n!1 2 x 3 x3 ..... n 1x n 2 .....2! 3! 4! n!n 2 ( n 1 x n 2 n 1 x n 2 nx n 12)! n n 2 n! n 1 (n 1)!(2) 即nx n 1 1 x1)e x1 (n 1)! x2 (e xna感谢赏析感谢赏析令 x 1,得n 1(n 1)!n 1（19）（此题满分12 分）[ 解 ] (1) 0 P Q 2x ' ( y) 2 ' ( y) 2x ( y) 2y2 2 ( y) ＊○L y x令 x 0 ' ( y) ( y) y2 ①代入＊○' ( y) ( y) ②'' ( y) ' ( y) ③''( y) ( y) y2③代入①得 :特点方程 2 1 0, i* ( y) 1 y2 (1 D 2 ) y2 y2 2D 2 1故( y) c1 cos y c2 sin y y2 2令 y 0 ,得 2 c1 2 c1 0( y) c2 sin y y2 2'( y) c2 cos y 2 y令 y 0,' (0)c2 1( y) sin y y2 2( y) ' ( y) cos y 2y故 ( x) sin x x2 2(x) cos x 2 x(2)yA B(, )2感谢赏析2O (0,0)x感谢赏析IOA AB 02 x ( ) ( ) dx2 2x2 ( ) 2x ( ) 2()2 ( )2 2 0 2 2 （20）1 a1 a12 3a1[解] ①1 a2 a2 2 a2 3A =2 31 a3 a3 a31 a4 a42 a4 31 a1 a12 a1 3A1 a2 a2 2 a2 3= ( a j a i )2 3 i j1 a3 a3 a3 1 41 a4 a42 a4 3因为a1,a2,a3, a4 两两不相等进而A 0于是 R(A) 4,而R( A) 3,故方程组无解., ,②当 a1 a3 k ,a2 a4 k( k 0) 时,方程组为x1 kx2 k 2 x3 k 3x1 kx2 k 2 x3 k 3，即x1 kx2 k2 x3 k 3x1 kx2 k 2 x3 k 3 x1 kx2 k 2 x3 k3x1 kx2 k 2 x3 k 3R( A) R( A) 2, 导出组的基础解系所含向量个数n R(A) 3 2 121 2 0 ,-------- 为导出组的基础解系,故原方程组的通解21 2x1 k 1 + k 0 ,(k 为随意常数 )1 2感谢赏析感谢赏析（21）（此题满分9 分）[ 解] A为正定矩阵∴对随意的n 维非零列向量x 有xTAx >0,, ,设m 个常数k1, k2 , k m , 使k1 x1 k2 x2 k m x m 0两边左乘以 A ,得k1Ax1k2Ax2 k m Ax m 0两边左乘以x i T (i 1,2,m) ，由题设x i T Ax j 0,( i j ) k i x i T Ax i 0因为 x i T Ax i 0 ,则 k i 0 ( i 1,2, m)故 x1, x2, , x m线性没关。
2004-2005届高考数学仿真试题(五)
2004-2005届高考数学仿真试题(五)命题：廖美东 考试时刻：2005-4-16本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时刻120分钟.注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型(A 或B)用铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3.考试终止，监考人将本试卷和答题卡一并收回. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 正棱锥、圆锥的侧面积公式P （A+B ）=P （A ）+P （B ） cl S 21=锥侧 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中c 表示底面周长，l 表示斜P （AB ）=P （A ）P （B ） 高或母线长 如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 334R V π=k n k k n n P P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.满足|x －1|+|y －1|≤1的图形面积为A.1B.2C.2D.42.不等式|x+log3x|<|x|+|log3x|的解集为A.(0，1)B.(1，+∞）C.(0,+∞)D.(－∞,+∞)3.已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于右焦点到右顶点的距离的2倍，则双曲线的离心率e 的值为A.2B.35 C.3D.24.一个等差数列{an}中，a1=－5,它的前11项的平均值是5，若从中抽取一项，余下项的平均值是4，则抽取的是A.a11B.a10C.a9D.a85.设函数f(x)=logax(a>0,且a ≠1)满足f(9)=2,则f －1(log92)等于A.2B.2C.21D.±26.将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD=a,则三棱锥D —ABC 的体积为A.63a B.123a C.3123aD.3122a 7.设O 、A 、B 、C 为平面上四个点，OA =a ，OB =b ，OC =c ，且a+b+c=0，a ·b=b ·c=c ·a=－1,则|a|+|b|+|c|等于A.22B.23C.32D.338.将函数y=f(x)sinx 的图象向右平移4π个单位，再作关于x 轴的对称曲线，得到函数y=1－2sin2x 的图象，则f(x)是A.cosxB.2cosxC.sinxD.2sinx9.椭圆92522y x +=1上一点P 到两焦点的距离之积为m ，当m 取最大值时，P 点坐标为A.（5，0），（－5，0）B.（223,52）（223,25-）C.（23,225）（－23,225） D.（0，－3）（0，3）10.已知P 箱中有红球1个，白球9个，Q 箱中有白球7个，（P 、Q 箱中所有的球除颜色外完全相同）.现随意从P 箱中取出3个球放入Q 箱，将Q 箱中的球充分搅匀后，再从Q 箱中随意取出3个球放入P 箱，则红球从P 箱移到Q 箱，再从Q 箱返回P 箱中的概率等于A.51B.1009 C.1001D.53第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）11.已知(p x x -22)6的展开式中，不含x 的项是2720,则p 的值是______. 12.点P 在曲线y=x3－x+32上移动，设过点P 的切线的倾斜角为α,则α的取值范畴是______.13.在如图的1×6矩形长条中涂上红、黄、蓝三种颜色，每种颜色限涂两格，且相邻两格不同色，则不同的涂色方案有______种.14.同一个与正方体各面都不平行的平面去截正方体，截得的截面是四边形的图形可能是①矩形；②直角梯形；③菱形；④正方形中的______（写出所有可能图形的序号）.三、解答题(本大题共6小题，共80分.解承诺写出文字讲明、证明过程或演算步骤)15.（本小题满分12分）某种电路开关闭合后，会显现红灯或绿灯闪动.已知开关第一次闭合后，显现红灯和显现绿灯的概率差不多上21，从开关第二次闭合起，若前次显现红灯，则下一次显现红灯的概率是31，显现绿灯的概率是32，若前次显现绿灯，则下一次显现红灯的概率是53，显现绿灯的概率是52.咨询：（1）第二次闭合后，显现红灯的概率是多少？（2）三次发光中，显现一次红灯，两次绿灯的概率是多少？16.(本小题满分12分)已知△ABC 的面积为1，tanB=21,tanC=－2,求△ABC 的边长及tanA.17.(本小题满分13分)如右图α－l－β是120°的二面角，A、B两点在棱l上，AB=2，D在α内，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°,C在β内，三角形ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°.（1）求三棱锥D－ABC的体积;（2）求二面角D－AC－B的大小.（3）求异面直线AB、CD所成的角.18.(本小题满分13分)已知△OFQ的面积为26，且OF·FQ=m，（1）设6<m<46,求向量OF 与FQ 的夹角θ的取值范畴；（2）设以O 为中心，F 为焦点的双曲线通过点Q （如图），|OF |=c ，m=(46－1)c2,当|OQ |取最小值时，求此双曲线的方程.19.(本小题满分14分)设f(x)是定义在［－1，1］上的偶函数，f(x)与g(x)的图象关于直线x= 1对称，且当x∈［2,3］时，g(x)=a(x－2)－2(x－2)3(a为常数).(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)在［0，1］上是增函数，求a的取值范畴；(3)若a∈(－6,6),咨询能否使f(x)最大值为4.20.(本小题满分16分)已知f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*),且y=f(x)的图象通过点（1，n 2），数列{an}为等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；(2)当n 为奇数时，设g(x)=21［f(x)－f(－x)］，是否存在自然数m 和M ，使不等式m<g(21)<M 恒成立？若存在，求出M －m 的最小值；若不存在，讲明理由.2004-2005届高考数学仿真试题（五）（广东） 参考答案一、1.C 2.A 3.B 4.A 5.B 6.D 7.C 8.B 9.D 10.B 二、11.3 12.［0,2π)∪［43π,π) 13.30 14.①③④ 三、15.(1)如果第一次显现红灯，则接着又显现红灯的概率是21×31, 如果第一次显现绿灯，则接着显现红灯的概率为21×53. ∴第二次显现红灯的概率为21×31+21×53=157. 6分（2）由题意，三次发光中，显现一次红灯，两次绿灯的情形共有如下三种方式：①显现绿、绿、红的概率为21×52×53；②显现绿、红、绿的概率为21×53×32；③显现红、绿、绿的概率为21×32×52；10分 所求概率为21×52×53+21×53×32+21×32×52=7534.12分16.tanA=tan ［π－(B+C)］=－tan(B+C),=－4311221tan tan 1tan tan =+-=-+C B C B . 2分 ∵tanB=21,0<B<2π,∴sinB=55,cosB=552,又tanC=－2,2π<C<π,∴sinC=552,cosC=－55∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=55(－55)+552·552=53 6分∵,sin sin B bA a =∴a=b B A b 53sin sin =, 8分 又S △ABC=21absinC=21·53b2·552=1,解得b=315,因此a=3,10分∴c=3152sin sin =A C a . 12分17.（1）过D 向平面β作垂线，垂足为O,连结OA 并延长至E ，∵AB ⊥AD ，OA 为DA 在平面β内的射影， ∴AB ⊥OA ，∴∠DAE 为二面角α－l －β的平面角 2分∴∠DAE=120°;∠DAO=60°, ∵AD=AB=2,∴DO=3,∵△ABC 是等腰直角三角形，斜边AB=2. ∴S △ABC=1,又D 到平面β的距离DO=3， ∴VD －ABC=33. 4分 （2）过O 在β内作OM ⊥AC ，连结DM ，则AC ⊥DM ， ∴∠DMO 为二面角D －AC －B 的平面角，6分在△DOA 中，OA=2cos60°=1, 且∠OAM=∠CAE=45°,∴OM=22, ∴tanDMO=6,∴∠DMO=arctan 6.8分 （3）在β内过C 作AC 的平行线交AE 于F ， ∠DCF 为异面直线AB 、CD 所成的角 10分∵AB ⊥AF ，AB ⊥AD ，CF ∥AB ，∴CF ⊥DF ， 又∠CAE=45°，即△ACF 为等腰直角三角形，又AF 等于C 到AB 的距离，即为△ABC 斜边上的高，∴AF=CF=1，∴DF2=AD2+AF2－2AD ·AF ·cos120°=7,∴tanDCF=7=CFDF, ∴∠DCF=arctan 7,即异面直线AB 、CD 所成的角为arctan 7. 13分18.(1)由已知，得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅=-⋅.cos ||||,62)sin(||||21m FQ OF θπ 2分∴,646,64tan <<=m mΘθ 4分 ∴1<tan θ<4,则4π<θ<arctan4. 6分（2）设所求的双曲线方程为2222by a x -=1,(a>0,b>0),Q(x1,y1),则=(x1－c,y1)∵△OFQ 的面积21|OF ||y1|=26,∴y1=±c64, 又由OF ·=(c,0)·(x1－c,y1)=(x1－c)c=(46－1)c2,∴x1=46c, 8||=2121y x =+≥12,当且仅当c=4.现在Q 的坐标为(6,6)，或(6，－6).由此可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=-,16,1662222b a b a解得⎩⎨⎧==.12,422b a 11分 故所求方程为12422y x -=1.13分 19.(1)∵f(x)与g(x)的图象关于直线x －1=0对称， ∴f(x)=g(2－x),1分 当x ∈［－1,0］时，2－x ∈［2,3］, ∴f(x)=g(2－x)=－ax+2x3,2分又f(x)是偶函数，∴x ∈［0,1］时，－x ∈［－1,0］ f(x)=f(－x)=ax －2x3,3分∴f(x)=⎩⎨⎧∈--∈+-]1,0[ ,2]0,1[,233x x ax x x ax4分(2)f ′(x)=a －6x2,∵f(x)为［0，1］上的增函数， ∴f ′(x)=a －6x2≥0, 6分∴a ≥6x2在x ∈［0,1］上恒成立，∵6x2≤6,∴a ≥6.8分 (3)当x ∈［0,1］时， 由f ′(x)=0,得x=6a,11分 由f(6a)=4,得a=6, ∴a ∈(－6,6)时,f(x)的最大值不可能为4. 14分20.(1)由题意，f(1)=n2,即 a0+a1+a2+…+an=n2,2分令n=1,a0+a1=1,∴a1=1－a0,令n=2,a0+a1+a2=4,∴a2=4－(a0+a1)=3, 令n=3,a0+a1+a2+a3=9, ∴a3=9－(a0+a1+a2)=5,5分 ∵{an}为等差数列，∴d=a3－a2=2, ∴a1=3－2=1,∴a0=0,an=2n －1. 6分(2)f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn, ∵n 为奇数，∴f(－x)=－a1x+a2x2－a3x3+…+an －1xn －1－anxn, g(x)=21［f(x)－f(－x)］=a1x+a3x3+a5x5…+anxn.g(21)=(21)+5(21)3+9(21)5+…+(2n －3)·(21)n －2+(2n －1)(21)n. 8分41g(21)=(21)3+5(21)5+…+(2n －3)(21)n+(2n －1)(21)n+2. 两式相减，得43g(21)=21+4［(21)3+(21)5+…+(21)n ］－(2n －1)·(21)n+2, ∴g(21)=913914-·(21)n －32n ·(21)n,11分令Cn=32n ·(21)n,∵Cn+1－Cn=32n ·(21)n ·21n-≤0,(n ∈N*)∴Cn+1≤Cn,Cn 随n 的增大而减小，又913·(21)n 随n 的增大而减小. ∴g(21)为n 的增函数，当n=1时，g(21)min=21,而913914 （21）n －32n ·(21)n<914.∴21≤g(21)<914, 13分∴使m<g(21)<M 恒成立的自然数m 的最大值为0，M 的最小值为2，∴M －m 的最小值为2.16分.。
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高等代数专题研究试题模拟试题(05春)
一、单项选择题(每小题3分，本题共15分)
1.如果函数f (x )满足条件：对任意x 1与x 2，有
)()()(22112211x f q x f q x q x q f +≥+
其中( )，则称f (x )是上凸函数．
(A) 0,021≥≥q q (B) 021≥⋅q q 且121=+q q
(C) ,0,021≥≥q q 且121=⋅q q (D) 0,021≠≠q q 且121=+q q
2. 下列环中是非交换环的为( )
(A) 整数环Z (B) 剩余类环Z 5
(C) n 阶方阵环 (D) 高斯整数环Z [i ]={a +bi ∣a ,b 为整数}
3. 剩余类环Z 8的一个真零因子是( )． (A) 3 (B)7 (C) 5 (D) 2
4. 一副扑克牌有红桃、黑桃、方片和梅花各13张，共52张．从中任取一张，则不同取法有( )种．
(A) 52 (B)4 (C) 134 (D) 413
5. 将r 个不可区分的小球投入n 个盒子，每一个盒子的容量不超过一个球(n ≥r )，若计算有多少种不同投球方式，应该用( )．
(A) 允许重复组合数公式 (B) 不重复组合数公式
(C) 允许重复排列数公式 (D) 不重复排列数公式
二、填空题(每小题3分，本题共15分)
6. 设a 1,a 2,…,a 5是正实数，可构造两组正实数列
和 ．用柯西不等式，证明25)1...11)(
...(5
21521≥++++++a a a a a a ． 7. 若(a ,b )~1，那么(a ,a +b )~ ．
8. 在有无穷多个元素的域上，设多项式f (x )=a n x n +a n －1x n －1+…+a 0和g (x )=b n x n +b n －1x n
－1+…+b 0 ，从代数学的观点，如果 ，则称f (x )=g (x )．
9. π是有理数域上的超越元，是因为π不是 多项式的根．
10. 计算3101
9710098100)(P C C +＝ ．
三、简述题(每小题5分，共10分)
11. 试列出三种证明不等式常用的方法．
12. 找出整数环Z中的可逆元素，并说明为什么是可逆元素．
四、计算题(每小题10，本题共40分)
13. 设集合A={ ，a，{a},b}，求P(A)．
14. 设x，y，z为非负实数，且满足
x+2y+5z=6
求f(x,y,z)=xyz的极大值．
15. 求f (x )=2322123+--
x x x 的重因式．
16. 试求多项式(x 1+x 2+x 3+x 4+x 5)10展开合并同类项后的项数以及2543231x x x x 的系数．
四、证明题(每小题10分，本题共20分)
17. 设R 是实数集，+R 是正实数集，任给+R 的元素x ,令映射 σ(x )＝x lg
证明σ是+R 到R 的双射．
18. 证明恒等式11--=k n k n nC kC ．
高等代数专题研究模拟试题（05春） 参考答案
一、单项选择题(每小题3分，本题共15分) 1. B ．2. C ．3. D ．4. A ．5. B ． 二、填空题(每小题3分，本题共15分)
6. 521,...,,a a a ，5
211,...,1,1a a a ． 7. 1． 8. a k =b k (k =0,1,2,…,n )．
9. 任何有理系数． 10. 61． 三、简述题(每小题5分，共10分)
11.列出三种或三种以上的方法，可得满分5分．
参考方法列举：
(1)欲证A >B ，可证A －B >0；
(2) 当A >0,B >0时，欲证A >B ，可证1>B
A ； (3) 欲证A >
B ，可证A >
C ,C >B ；
(4) 欲证A >B ，可将A －B 化为(A －B )2；
等．
12. 在整数环Z 中，只有1和－1是可逆元素．1是恒等元．因为1和－1都不是零元，但(－1)×(－1)=1，1×1＝1，根据可逆的定义知道，它们是可逆元素． (5分)
四、计算题(每小题10，本题共40分)
13. 由幂集合的定义，
P (A)={∅,{∅},{a },{{a }},{b }, (2分)
{∅,a },{∅,{a }},{∅,b },{a ,{a }},{a ,b },{{a },b } (6分)
{∅,a ,{a }},{∅,a ,b },{∅,{a },b },{a ,{a },b } (9分)
{∅,a ,{a },b }} (10分)
14. 利用均值不等式
x +2y +5z ≥333103523xyz z y x =⋅⋅ (3分)
5
4102761027)52(33=⨯=⨯++≤z y x xyz (9分) 当x =2y =5z 时，得x =2,y =1,z =52时，xyz 的极大值是5
4． (10分) 15. 只要求出f (x )与f '(x )的公因式即可．(1分)
23)(2--='x x x f
)1(6
25)61)((296233)(323---'=+--=x x x f x x x x f (4分) 而 )1)(23(23)(2-+=--='x x x x x f ，有 (f (x ),f '(x ))~(x －1) (8分)
所以x －1是f (x )的二重因式． (10分)
16. 所求项数为1001!411121314414101510=⨯⨯⨯=
=-+C C (5分) 2543231x x x x 的系数为12600!
2!0!4!1!3!10= (10分) 四、证明题(每小题10分，本题共20分)
17. 由对数函数的定义域和函数值，知σ(x )＝x lg 是+R 到R 的映射．(2分)
(1) 任给+R 的两个元素x 1,x 2且x 1≠x 2，由对数函数的严格单调性，有
)(lg lg )(2211x x x x σσ=≠= 这表明σ(x )＝x lg 是单射． (6分)
(2) 任给R 的元素y ，则存在y x 10=属于+R ，则有 σ(x )=y x y ==10lg lg
这表明σ(x )＝x lg 是满射． (9分)
总之，σ是+R 到R 的双射． (10分) 18. )!
(!!k n k n k kC k
n -⋅⋅= (4分) ＝))!
1(1()!1()!1(----⋅-⋅⋅k n k k n n k (7分) ＝11))!1()1(()!1()!1(--=-----k n nC k n k n n ． (10分)。