2018届高三数学4月月考模拟试题1(1)
重庆市巴蜀中学月考(一)2024届高三数学答案
数学参考答案·第1页（共8页） 巴蜀中学2024届高考适应性月考卷（一）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号 12345678答案 C A D A B C B D【解析】1．{|13}A x x =-≤≤， {|2}B x x =≥，所以[23]A B = ，，故选C ．数学参考答案·第2页（共8页）图1ln ()x f x ，则1()()ln ()0g x f x x f x x''=+< ，0，所以当01x <<时，()0g x >，当1x >时，g 时，ln 0x >，所以当)1(0x ∈，时，()0f x <. 0时，()0f x <；又()f x 为奇函数，所以当x 0>可化为09850x x <⎧⎨->⎩，或09850x x >⎧⎨-<⎩，，解得0，故选D ．（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号 9 10 11 12 答案 BC AC ACD ABC【解析】A 选项错误；11()()()24P A P B P AB P ====，图2（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13 14 15128 30数学参考答案·第3页（共8页）数学参考答案·第4页（共8页） 【解析】17．（本小题满分10分）（1）证明：1211(1)140b a a =+=++=≠，……………………………………………（1分）1222121221(1)12222(1)2n n n n n n n b a a a a a b ++++=+=++=+=+=+=，…………………（3分） ∴12n nb b +=，∴{}n b 为以4为首项，2为公比的等比数列．……………………………（5分） （2）解：由（1）知：11122142221n n n n n n b a a -++=+===- ，，∴……………………（6分） 又112212112122n n n n n a a a ++--=+=-=-，，∴……………………………………………（7分） 所以2135212462()()n n n S a a a a a a a a -=+++++++++34(12)4(12)2238.1212n n n n n n +⎡⎤⎡⎤--=-+-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦……………………………………（10分）数学参考答案·第5页（共8页） 18．（本小题满分12分）……………………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分） （1）证明：222111AC A C AA A C AC +=⊥，，∵∴又1111111ACC A ABC ACC A ABC AC A C ACC A ⊥=⊂ 平面平面，平面平面，平面，1.A C ABC ⊥平面∴又AB ABC ⊂平面，1.A C AB ⊥∴ ………………………………………………………（4分）（2）解：由111111121222332B ACC A B ACA A ABC ABC V V V S A C AC BC A C ---====⨯⨯⨯ △133BC == BC =∴………………………………………………………………………………（5分）以C 为坐标原点，1CA CB CA，，分别为x y z ，，的正向建立空间直角坐标系，则各点坐标如下：数学参考答案·第6页（共8页）1(000)00)(00)(00C A B A ，，，，，，，， ………………………………（7分）取平面1CA B 的法向量为(100)m = ，，，设平面11A BB 的法向量为000()n x y z =，，，取111(0(0BB AA A B ===，，则01100x n BB n A B ⎧=⎪=⎨=⎪⎩，………………………………………………（10分） 设二面角11C A B B --的大小为θ，则|cos ||cos |m n θ=〈〉==，所以二面角11C A B B --的正弦值为sin θ== …………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）患病者被误诊即被判定为阴性的概率为： 197.5950.002(10095)0.5%.10095P -=⨯⨯-=- ………………………………………………（3分）（2）当[95100)c ∈，时， 95()5%0.002(10095)(15%)10095c f c -=⨯⨯⨯-+-⨯-41000.010(10095)0.002(105100)(949500)1010095c c --⎡⎤⨯⨯-+⨯-=-+⨯⎢⎥-⎣⎦，…………（6分）当[100105]c ∈，时，100105()5%0.002(10095)0.012(105100)(15%)105100105100c c f c --⎡⎤=⨯⨯-+⨯⨯-+-⨯⎢⎥--⎣⎦40.002(105100)(131400)10c -⨯⨯-=-+⨯，……………………………………………（9分）∴44(949500)10[95100)()(131400)10[100105]c c f c c c --⎧-+⨯∈⎪=⎨-+⨯∈⎪⎩，，，，，，………………………………………（10分） ()f c ∵在[95105]c ∈，单调递减，所以105c =时()f c ，最小．……………………（12分）21．（本小题满分12分）数学参考答案·第7页（共8页）数学参考答案·第8页（共8页）。
普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(二)数学(文)试题word含答案
普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(二)数学(文)试题word含答案普通高等学校招生全国统一考试模拟试题——文科数学（二）本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 $A=\{x|x-\frac{1}{2}<0\}$，$B=\{x|x-\frac{(2a+8)}{a(a+8)}<0\}$，若 $A\cap B=A$，则实数 $a$ 的取值范围是A。
$(-4,-3)$B。
$[-4,-3]$C。
$(-\infty,-3)\cup(4,+\infty)$D。
$(-3,4)$2.已知复数 $z=\frac{3+i}{2-3i}$，则 $z$ 的实部与虚部的和为A。
$-\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$B。
$-\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i$C。
$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$D。
$\frac{3}{5}+\frac{2}{5}i$3.某景区管理部门为征求游客对景区管理方面的意见及建议，从景区出口处随机选取 $5$ 人，其中 $3$ 人为跟团游客，$2$ 人为自驾游散客，并从中随机抽取 $2$ 人填写调查问卷，则这 $2$ 人中既有自驾游散客也有跟团游客的概率是A。
$\frac{2}{3}$B。
$\frac{1}{5}$C。
$\frac{2}{5}$D。
$\frac{3}{5}$4.已知双曲线 $E:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为$\frac{\sqrt{10}}{3}$，斜率为 $-\frac{3}{2}$ 的直线 $l$ 经过双曲线的右顶点 $A$，与双曲线的渐近线分别交于 $M$，$N$ 两点，点 $M$ 在线段$AN$ 上，则 $\frac{AN}{AM}$ 等于A。
四川省成都市2018届高考三诊模拟考试数学试题(文)含答案
成都七中2018届高三三诊模拟试题(文科)数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}230A x x x =->，{B x y ==，则A B 为（ ） A ．[)0,3 B ．()1,3 C ．(]0,1 D ．∅2. 已知复数z 满足1+1z z i=- (i 为虚数单位)，则z 的虚部为（ ） A ． i B ．-1 C ． 1 D ．i -3. 把[]0,1内的均匀随机数x 分别转化为[]0,4和[]4,1内的均匀随机数1y ，2y ，需实施的变换分别为A ．124,54y x y x =-=-B ．1244,43y x y x =-=+C ． 124,54y x y x ==-D ． 124,43y x y x ==+4. 已知命题:p x R ∃∈,20x ->，命题:q x R ∀∈x <，则下列说法中正确的是（ ）A ．命题p q ∨是假命题B ．命题p q ∧是真命题C. 命题()p q ∧⌝真命题 D ．命题()p q ∨⌝是假命题5. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（ ）A ． 4B ．6+．26. 已知O 为ABC ∆内一点，且1()2AO OB OC =+，AD t AC =，若B ,O ,D 三点共线，则t 的值为（ ）A ．14B ． 13 C. 12 D ．237. 在约束条件4224x y x y y x +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩下，目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．26B ． 24 C. 22 D ．208. 运行下列框图输出的结果为43，则判断框应填入的条件是（ ）A ．42z ≤B ． 45z ≤ C. 50z ≤ D ．52z ≤9. 已知函数2,0()(),0x x x f x g x x ⎧-≥=⎨<⎩是奇函数，则((2))g f -的值为（ ）A ． 0B ．-1 C.-2 D ．-410.将函数()sin f x x =图象上每一点的缩短为原来的一半(纵坐标不变)，再向右平移6π个单位长度得到()y g x =的图象，则函数()y g x =的单调递增区间为（ ） A ．52,21212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ． 52,266k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C. 5,1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ D ．5,66k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 11. 已知双曲线222:41(0)x C y a a -=>的右顶点到其一条渐近线的距离等于4，抛物线2:2E y px =的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线1:4360l x y -+=和2:1l x =-距离之和的最小值为（ ）A ．1B ． 2 C. 3 D ．412. 定义函数348,12,2()1(),222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩,则函数()()6g x xf x =-在区间[]1,2()n N *''∈内的所有零点的和为（ ）A ．nB ．2n C. 3(21)4''- D ．3(21)2''- 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.ln133log 18log 2e -+= ．14. 在平面直角坐标系中，三点(0,0)O ,(2,4)A ，(6,2)B ，则三角形OAB 的外接圆方程是 ．15. 在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，且A 、B 、C成等差数列，b =则ABC ∆面积的取值范围是 ．16. 四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥S ABCD -的体积取值范围为83⎤⎥⎣⎦，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知公差不为零的等差数列{}n a 中，37a =，且1a ，4a ，13a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}2n n a ⋅的前n 项和n S ，求n S . 18.某县共有90间农村淘宝服务站，随机抽取5间，统计元旦期间的网购金额(单位：万元)的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）若网购金额(单位：万元)不小于18的服务站定义为优秀服务站，其余为非优秀服务站.根据茎叶图推断90间服务站中有几间优秀服务站？（3）从随机抽取的5间服务站中再任取2间作网购商品的调查，求恰有1间是优秀服务站的概率.19. 在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是梯形，四边形ADEF 是正方形，//AB DC ，CD AD ⊥，面ABCD ⊥面ADEF ，1AB AD ==.2CD =.（1）求证：平面EBC ⊥平面EBD ；（2）设M 为线段EC 上一点，3EM EC =，试问在线段BC 上是否存在一点T ，使得//MT 平面BDE ，若存在，试指出点T 的位置；若不存在，说明理由?（3）在（2）的条件下，求点A 到平面MBC 的距离.20. 设1F 、2F 分别是椭圆222:14x y E b+=的左、右焦点.若P 是该椭圆上的一个动点，12PF PF 的最大值为1.（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线:1l x ky =-与椭圆交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围.21.已知函数1()ln f x a x x=+，其中a R ∈； （Ⅰ）若函数()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值，（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，若关于x 的不等式22(2)2(1)()32x t x t f x t N x x *+++++>∈++，当1x ≥时恒成立，求t 的值.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,2sin ,x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩ (α为参数).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系屮，曲线22:4cos 2sin 40C ρρθρθ+-+=. （Ⅰ）写出曲线1C ，2C 的普通方程；（Ⅱ）过曲线1C 的左焦点且倾斜角为4π的直线l 交曲线2C 于,A B 两点，求AB . 23.选修4-5：不等式选讲已知x R ∃∈，使不等式12x x t ---≥成立.（1）求满足条件的实数t 的集合T ；（2）若1m >，1n >，对t T ∀∈，不等式33log log m n t ⋅≥恒成立，求22m n +的最小值.试卷答案一、选择题1-5: CCCCB 6-10: BAACC 11、12：BD二、填空题13. 3 14. 22620x y x y +--= 15. 24⎛ ⎝⎦ 16.28,203S ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦三、解答题17.（1）∴21n a n =+（2）12(12)2n n +--⨯ 18.解:（1）样本均值46121820125X ++++== （2）样本中优秀服务站为2间，频率为25，由此估计90间服务站中有290365⨯=间优秀服务站；（3）由于样本中优秀服务站为2间，记为12,a a ，非优秀服务站为3间，记为123,,b b b ，从随机抽取的5间服务站中任取2间的可能性有12111213212223(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a b a b a b a b a b a b121323(,),(,),(,)a b b b b b 共10种情况，其中恰有1间是优秀服务站的情况为111213212223(,),(,),(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b a b a b 6种情况，故所求概率为35p =. 19. 解:（1）因为面ABCD ⊥面ADEF ，面ABCD ⋂面ADEF AD =，ED AD ⊥，所以ED ⊥面ABCD ，ED BC ⊥.在梯形ABCD 中，过点作B 作BH CD ⊥于H ，故四边形ABHD 是正方形，所以45ADB ∠=︒.在BCH ∆中，1BH CH ==，∴45BCH ∠=︒.BC =∴45BDC ∠=︒，∴90DBC ∠=︒∴BC BD ⊥.因为BD ED D =，BD ⊂平面EBD ，ED ⊂平面EBD .∴BC ⊥平面EBD ,BC ⊂平面EBC ，∴平面EBC ⊥平面EBD .（2）在线段BC 上存在点T ，使得//MT 平面BDE在线段BC 上取点T ，使得3BT BE =，连接MT .在EBC ∆中，因为13BT EM BC EC ==，所以CMT ∆与CEB ∆相似，所以//MT EB 又MT ⊄平面BDE ，EB ⊂平面BDE ，所以//MT 平面BDE .（320.解:（1）易知2a =，c =，24b <所以()1F ，)2F ，设(),P x y ，则()12,PF PF x y ⋅=-，)222222222,44(1)444b x b x y x y b x b b x b b -=++-=+-+-=-+-+ 因为[]2,2x ∈-，故当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅有最大值1，即221(1)444b b b =-⨯+-+，解得1b = 故所求的椭圆方程为2214x y += （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由22114x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得 22(4)230k y ky +--=， 故12224k y y k +=+，12234y y k -⋅=+. 222(2)12(4)16480k k k ∆=++=+>又AOB ∠为锐角cos 00AOB OA OB ⇔∠>⇔⋅>，∴12120OA OB x x y y ⋅=+>又212121212(1)(1)()1x x ky ky k y y k y y =--=-++∴()2221212121222321()1(1)144k x x y y k y y k y y k k k -+=+-++=+⋅-+++ 222222332414044k k k k k k---++-==>++， ∴214k <-，解得1122k -<<∴k 的取值范围是11(,)22-. 21.解:（Ⅰ）2211()a ax f x x x x -'=-+= 当1x =时，()0f x '=，解得1a =经验证1a =满足条件，（Ⅱ）当1a =时，22(2)21(1)3221x t x t x t f x x x x x ++++++>=+++++ 整理得(2)ln(1)t x x x <++-令()(2)ln(1)h x x x x =++-， 则21()ln(1)1ln(1)011x h x x x x x +'=++-=++>++，(1)x ≥ 所以min ()3ln 21h x =-，即3ln 21(0,2)t <-∈∴1t =22.解:（Ⅰ）2222()cos sin 122sin y x y αααα⎧=⎪⇒+=+=⎨=⎪⎩ 即曲线1C 的普通方程为221204x y += ∵222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρ=曲线2C 的方程可化为224240x y x y ++-+=即222:(2)(1)1C x y ++-=.（Ⅱ）曲线1C 左焦点为(4,0)-直线l 的倾斜角为4πα=，sin cos 2αα== 所以直线l 的参数方程为422x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 参数）将其代入曲线2C 整理可得240t -+=，设,A B对应的参数分别为12,t t则所以12t t +=124t t =.所以12AB t t =-==.23.解：（1）令1,1()1223,121,2x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩，则1()1f x -≤≤，由于x R ∃∈使不等式12x x t ---≥成立，有{}1t T t t ∈=≤.（2）由（1）知，33log log 1m n ⋅≥，根据基本不等式33log log 2m n +≥≥， 从而23mn ≥，当且仅当3m n ==时取等号，再根据基本不等式6m n +≥≥，当且仅当3m n ==时取等号. 所以m n +的最小值为18.。
2023-2024学年江苏省镇江市高三下学期4月月考数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年江苏省镇江市高三下学期4月月考数学模拟试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}{ln 10},21,x A x x B y y x A=-<==-∈，则A B ⋃=（）A.()1,2 B.()1,3 C.()1,3- D.()1,-+∞【正确答案】B【分析】化简集合,A B ，根据并集的定义求A B ⋃.【详解】因为不等式()ln 10x -<的解集为()1,2，所以()1,2A =，函数21,x y x A =-∈的值域为()1,3，所以()1,3B =，所以()1,3A B = ，故选：B.2.函数()πln cos(2)2f x x x =+的图象可能为（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】先利用函数的奇偶行排除选项B,D ，再利用特殊值即可求解.【详解】因为函数()πln cos(2)ln sin 22f x x x x x =+=-，定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且()ln sin(2)ln sin 2()f x x x x x f x -=---==-，所以函数()f x 为奇函数，图像关于原点对称，故排除选项B,D ；当(0,1)x ∈时，ln 0x <，sin 20x >，所以()ln sin 20f x x x =->，故排除选项C .故选.A3.已知,αβ为两个不同的平面，,m n 为两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A.若//,,m n αβαβ⊂⊂，则//m nB.若,m αβα⊥⊥，则//m βC.若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥D.若,//m αβα⊥，则m β⊥【正确答案】C【分析】根据面面平行的性质定理可得选项A 的正误；考虑直线m 是否在平面β内可得选项B 的正误；选项C 根据面面垂直的判定定理可得正误；选项D 考虑直线m 与平面β的位置关系可得正误.【详解】对于选项A ，缺少,m n 共面的条件，因此得不到//m n ，直线,m n 还可以互为异面直线，故A 错误；对于选项B ，直线m 还可以在平面β内，故B 错误；对于选C ，由,,m n m n αβ⊥⊥⊥得,m n 分别为,αβ的垂线，两个平面的垂线互相垂直则这两个平面互相垂直，故C 正确；对于选项D ，直线m 与平面β或平行，或相交，或直线在平面内，故D 错误.故选：C.4.已知甲盒中有2个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有4个白球，3个红球，2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，记事件A =“甲盒中取出的球与乙盒中取出的球颜色不同”，则()P A =（）A.712B.2945 C.2150D.2950【正确答案】D【分析】分类讨论甲盒中随机取出一个球的颜色，根据题意结合独立事件的概率乘法公式运算求解.【详解】若甲盒中随机取出一个球为白球的概率为25，放入乙盒，此时乙盒中有5个白球，3个红球，2个黑球，再取出一个非白球的概率为51102=；若甲盒中随机取出一个球为红球的概率为25，放入乙盒，此时乙盒中有4个白球，4个红球，2个黑球，再取出一个非红球的概率为63105=；若甲盒中随机取出一个球为黑球的概率为15，放入乙盒，此时乙盒中有4个白球，3个红球，3个黑球，再取出一个非黑球的概率为710；故()21231729525551050P A =⨯+⨯+⨯=.故选：D.5.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，半焦距为c ．在椭圆上存在点P 使得1221sin sin a cPF F PF F =∠∠，则椭圆离心率的取值范围是（）A.)1,1B.)1,1-C.()1-D.(1⎤-⎦【正确答案】B【分析】由正弦定理及椭圆定义得11211221sin sin 2PF PF PF F c a PF F PF a PF ∠===∠-，得12acPF a c=+，结合()1,PF a c a c ∈-+，得关于e 的不等式，从而求出e 的范围.【详解】由1221sin sin a c PF F PF F =∠∠，得11211221sin sin 2PF PF PF F c a PF F PF a PF ∠===∠-，得12ac PF a c=+，又()1,PF a c a c ∈-+，则2aca c a c a c-<<++，∴()2222a c ac a c -<<+，即2210e e +->，又()0,1e ∈，∴)1,1e ∈-．故选：B ．6.已知函数()()2sin (0,R)f x x ωϕωϕ=+>∈在区间7π51π,1260⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足74π12π3f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为（）A.810,33⎛⎤⎥⎝⎦ B.830,311⎛⎤⎥⎝⎦C.510,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.530,311⎛⎤ ⎥⎝⎦【正确答案】B 【分析】由74π12π3f f ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得出函数()f x 的对称中心，结合已知的单调区间，限定ω的范围，由函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，再得到ω的一个范围，取两个范围的交集即可.【详解】()f x 在区间7π51π,1260⎛⎫⎪⎝⎭上单调，7π3π3π7π51π,,12441260⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f ，()f x \的对称中心为2π,03⎛⎫⎪⎝⎭，且51π2π11π2π7π5π6036031260-=>-=，T 11π460∴≥，即1115T π≥，即2π11π15ω≥，30011ω∴<≤.又()f x 的对称中心为2π,03⎛⎫⎪⎝⎭，2π03⎛⎫∴= ⎪⎝⎭f ，()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，相邻两个零点之间的距离为2T ，五个零点之间即2T ，六个零点之间即52T ，只需2π13π2π523632T T +<≤+即可，即81033ω<≤，又30011ω<≤ ，830311ω∴<≤.故选：B .7.已知ABO 中，1OA =，2OB =，1OA OB ⋅=-，过点O 作OD 垂直AB 于点D ，则（）A.5277OD OA OB=+B.3477OD OA =+C.2577OD OA OB=+ D.4377OD OA =+ 【正确答案】A【分析】根据1OA OB ⋅=-求得120AOB ︒∠=，再用余弦定理求得AB =，利用等面积法求得7OD =，勾股定理求得7AD=，从而27AD AB = ，最后分解为已知向量即可.【详解】cos 2cos 1,OA OB OA OB AOB AOB ⋅=∠=∠=- 即1cos 2AOB ∠=-，又因为0180AOB ︒︒<∠<，所以120AOB ︒∠=.在AOB 中，根据余弦定理可得：2222cos1207AB OA OB OA OB ︒=+-⋅⋅=，即AB =，根据三角形面积公式11sin12022AOB S AB OD OA OB ︒=⋅=⋅⋅ ，解得OD =，7AD ∴==，27AD AB ∴= ，()22527777OD OA AD OA AB OA OB OA OA OB ∴=+++-===+ .故选：A8.若函数()ln f x x =与()()10g x ax a =->的图像有且仅有一个交点，则关于x 的不等式()433x f x a --<-的解集为（）A.(),4-∞ B.()4,+∞ C.()3,4 D.()3,5【正确答案】C【分析】将条件()f x 与()g x 只有1个交点转换为函数()ln 1h x x ax =-+只有1个零点，参数分离求出a ，再构造函数()()4ln 331x k x x -=-+-，利用其单调性求解即可.【详解】()f x 与()g x 只有1个交点等价于函数()ln 1h x x ax =-+只有1个零点，即ln 1x a x+=只有1个解，令()ln 1x p x x +=，则()2ln xp x x-='，()10p '=，当01x <<时，()()0,p x p x '＞单调递增，当1x >时，()()0,p x p x '<单调递减，并且()0p x >，所以()()max 11p x p ==，()2ep -<，函数()p x 的大致图像如下图：0,1a a >∴= ，原不等式为：()4ln 313x x --<-，即()4ln 3310x x --+-<，令()()4ln 331x k x x -=-+-，显然()k x 在3x >时是增函数，又()40k =，∴()0k x <的解集是34x <<.故选：C.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9.已知事件A ，B 满足()0.5P A =，()0.2P B =，则（）A.若B A ⊆，则()0.5P AB =B.若A 与B 互斥，则()0.7P A B +=C.若A 与B 相互独立，则()0.9P AB = D.若()|0.2P B A =，则A 与B 相互独立【正确答案】BD【分析】对于A ，由题意可得()()P AB P B =，从而即可判断；对于B ，由互斥事件的概率计算公式计算即可；对于C ，先求得()0.8P B =，再根据独立事件的计算公式计算即可；对于D ，判断()()()P AB P A P B =⋅是否成立即可.【详解】解：对于A ，因为()0.5P A =，()0.2P B =，B A ⊆，所以()()0.2P AB P B ==，故错误；对于B ，因为A 与B 互斥，所以()()()0.50.20.7P A B P A P B +=+=+=，故正确；对于C ，因为()0.2P B =，所以()10.20.8P B =-=，所以()0.50.80.4P AB =⨯=，故错误；对于D ，因为()|0.2P B A =，即()0.2()P AB P A =，所以()0.2()0.1P AB P A =⨯=，又因为()()0.50.20.1P A P B ⨯=⨯=，所以()()()P AB P A P B =⋅，所以A 与B 相互独立，故正确.故选：BD10.设n S 是公差为d （0d ≠）的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题正确的是（）A.若0d <，则1S 是数列{}n S 的最大项B.若数列{}n S 有最小项，则0d >C.若数列{}n S 是递减数列，则对任意的：*N n ∈，均有0nS <D.若对任意的*N n ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列【正确答案】BD【分析】取特殊数列判断A ；由等差数列前n 项和的函数特性判断B ；取特殊数列结合数列的单调性判断C ；讨论数列{}n S 是递减数列的情况，从而证明D.【详解】对于A ：取数列{}n a 为首项为4，公差为2-的等差数列，2146S S =<=，故A 错误；对于B ：等差数列{}n a 中，公差0d ≠，211(1)(222n n n d dS na d n a n -=+=+-，n S 是关于n 的二次函数.当数列{}n S 有最小项，即n S 有最小值，n S 对应的二次函数有最小值，对应的函数图象开口向上，0d >，B 正确；对于C ：取数列{}n a 为首项为1，公差为2-的等差数列，22n S n n =-+，122(1)2(1)(2)210n n S n n n n S n =-+++-+---=+<＋，即1n n S S <＋恒成立，此时数列{}n S 是递减数列，而110S =>，故C 错误；对于D ：若数列{}n S 是递减数列，则10(2)n n n a S S n -=-<≥，一定存在实数k ，当n k >时，之后所有项都为负数，不能保证对任意*N n ∈，均有0n S >.故若对任意*N n ∈，均有0n S >，有数列{}n S 是递增数列，故D 正确．故选：BD11.已知圆22:4O x y +=，下列说法正确有（）A.对于R m ∀∈，直线()()211740+++--=m x m y m 与圆O 都有两个公共点B.圆O 与动圆22:()()4C x k y -+-=有四条公切线的充要条件是2k >C.过直线40x y +-=上任意一点P 作圆O 的两条切线,PA PB （,A B 为切点），则四边形PAOB 的面积的最小值为4D.圆O 上存在三点到直线20x y +-=距离均为1【正确答案】BC【分析】对于选项A ，转化为判断直线恒过的定点与圆的位置关系即可；对于选项B ，转化为两圆外离，运用几何法求解即可；对于选项C ，由2PAOB OAP S S == ，转化为求||OP 最小值即可；对于选项D ，设圆心到直线的距离为d ，比较r d -与1的关系即可.【详解】对于选项A ，因为(21)(1)740m x m y m +++--=，即：(27)40m x y x y +-++-=，所以2703401x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩，所以直线恒过定点(3,1)，又因为22314+>，所以定点(3,1)在圆O 外，所以直线(21)(1)740m x m y m +++--=与圆O 可能相交、相切、相离，即交点个数可能为0个、1个、2个.故选项A 错误；对于选项B ，因为圆O 与动圆C 有4条公切线，所以圆O 与圆C 相离，又因为圆O 的圆心(0,0)O ，半径12r =，圆C 的圆心()C k ，半径22r =，所以12||OC r r >+4>，解得.||2k >故选项B 正确；对于选项C ，1122||||2||22PAOB OAP S S OA PA OA ==⨯⨯⨯=⨯⨯=△，又因为O 到P 的距离的最小值为O 到直线40x y +-=的距离，即：min ||OP ==所以四边形PAOB 的面积的最小值为4=.故选项C 正确；对于选项D ，因为圆O 的圆心(0,0)O ，半径12r =，则圆心O 到直线20x y +-=的距离为d ==所以121r d -=<，所以圆O 上存在两点到直线20x y +-=的距离为1.故选项D 错误.故选：BC.12.如图，点M 是棱长为l 的正方体1111ABCD A B C D -中的侧面11ADD A 上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（）A.不存在点M 满足CM ⊥平面1C BDB.存在无数个点M 满足1CM AD ⊥C.当点M 满足1113A M A D =uuuu r uuu r 时，平面1BD M 截正方体所得截面的面积为2D.满足12MD MD =的点M 的轨迹长度是2π9【正确答案】BCD【分析】对于A ：根据线面垂直关系可得11AC C BD ⊥平面，分析判断；对于B ：根据线面垂直关系可得111AD A DCB ⊥平面，分析判断；对于C ：根据平行线的性质以及利用空间向量分析运算求截面，进而可求截面面积；对于D ：利用空间向量求点M 的轨迹，进而求点M 的轨迹长度.【详解】对于选项A ：连接11,AC AC ，因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，∵1AA ABCD ⊥平面，且BD ⊂平面ABCD ，所以1A A BD ⊥，1AC A A A ⋂=，1,AC A A ⊂平面1A AC ，所以BD ⊥平面11A ACC ，且1AC ⊂平面11A ACC ，可得1BD AC ⊥，同理可证11BC AC ^，1BD BC B = ，1,BD BC ⊂平面1C BD ，所以11AC C BD ⊥平面，又点M 是面11ADD A 上的一个动点（包含边界），所以当M 与A 1重合时，1,CM C BD ⊥平面故A 错误；对于选项B ：连接11,A D B C ，11CD ADD A ⊥侧面，111AD ADD A ⊂侧面，则1CD AD ⊥，又因为11AD A D ⊥，1A D DC D = ，111,A D DC A DCB ⊂平面，所以111AD A DCB ⊥平面，可知当M 在线段1A D 上时，有1,CM AD ⊥故存在无数个点满足1CM AD ⊥，故B 正确；对于选项C ：延长1D M 交1D E 于点E ，∵1113A M A D =uuuu r uuu r，则M 为线段1A D 靠近点1A 的三等分点，且1A A 1D D ，则11112A E A M D D DM ==，则E 为线段1A A 的中点，如图，以D 点为原点建立空间直角坐标系，则()()110,0,1,1,1,0,1,0,2D B E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得()111,1,1,0,1,2BD BE ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭uuu r uur ，设平面1BD M 的法向量为(),,n x y z = ，则1012n BD x y z n BE y z ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令2z =，则1,1y x ==，即()1,1,2n =，设平面11BD M CC F =I ，点()0,1,F c ，则()1,0,BF c =-uu u r，则120n BF c ⋅=-+=r uu u r，解得12c =，则10,1,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()1,1,0EF =- ，可得()()()11111100BD EF ⋅=-⨯-+-⨯+⨯=uuu r uu u r ，即1BD EF ⊥uuu r uu u r ，且1BD EF ===uuu r uu u r故截面1BED F面积111222S BD EF =⨯⨯==uuu r uu u r ，故C 正确；对于选项D ：因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为l ，所以设()()()1,0,,0,0,0,0,0,1,M x z D D 所以(),0,MD x z =-- ，()1,0,1MD x z =--，因为12MD MD =)01,01,x z =≤≤≤≤化简得：2244220,13933x z x z ⎛⎫⎛⎫+-=≤≤≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点M 的轨迹是一段以40,0,3N ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，半径为23的圆弧，设圆弧与111,A D DD 分别交于点,P Q ，取0x =，则23z =，即23DQ =；取1z =，则33x =，即1D P =；则111,33PD D N ==，则111tan PD PND D N ∠==且1π0,2PND ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，即1π3PND ∠=，∴轨迹长度是2π2π339⨯=，故D 正确．故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设平面向量a ，b 的夹角为60︒，且2a b == ，则a 在b上的投影向量是______.【正确答案】12b【分析】根据题意，求得cos 601a = ，进而求得a 在b 上的投影向量，得到答案.【详解】由题意知，平面向量a ，b的夹角为60︒，且2a b == ，则cos 601a =，所以则a 在b 上的投影向量为112b b b ⨯=.故12b 14.若直线l ：y kx b =+为曲线()e xf x =与曲线()2e ln g x x =⋅的公切线（其中e 为自然对数的底数，e 2.71828≈⋯），则实数b=___________.【正确答案】0或2e -##2e -或0【分析】设切点坐标，求导，根据切线方程的求解，分别得到()f x ，()g x 的切线方程，由两条切线方程相同可联立方程即可求出切点横坐标，进而可求解.【详解】根据切线方程的求解，联立方程即可解得切点，进而可求b .设l 与()f x 的切点为()11,x y ，则由()e x f x '=，有()111:e 1e x xl y x x =+-.同理，设l 与()g x 的切点为()22,x y ，由()2e g x x'=，有()2222e :e ln 1l y x x x =+-.故()()1122212e e 1e e ln 1,x x x x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，①②由①式两边同时取对数得：12212ln ln 1=1x x x x =-⇒--③，将③代入②中可得：()()121e 01e x x --=，进而解得121,e x x =⎧⎨=⎩或122,1x x =⎧⎨=⎩.则:e l y x =或22e e .y x =-故0b =或2e -.故0或2e -15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PD ⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若3PD =，π3APD BAD ∠=∠=，则三棱锥P AOD -的外接球的体积为______.【正确答案】36π【分析】根据棱锥的性质，证明PA 的中点就是三棱锥P AOD -的外接球球心，得出半径后可求体积．【详解】取PA 中点M ，DA 中点E ，连接,ME EO ，则//ME PD ，因为PD ⊥底面ABCD ，所以ME ⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 是菱形，则AO OD ⊥，所以E 是AOD △的外心，又PD ⊥底面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥，所以M 到,,,P A D O 四点距离相等，即为三棱锥P AOD -的外接球球心．又3PD =，π3APD ∠=，所以36πcos 3PA ==，所以3MA MP ==，所以三棱锥P AOD -的外接球体积为34π336π3V =⨯=．故36π．16.已知点P 是椭圆22:14x C y +=上一点，椭圆C 在点P 处的切线l 与圆22:4O x y +=交于A ，B 两点，当三角形AOB 的面积取最大值时，切线l 的斜率等于_______【正确答案】22±【分析】根据面积公式分析可得当AOB 是等腰三角形，面积最大，此时点O 到切线l 的距离等于d =.解法一：设切线l 的方程，根据点到直线的距离和直线与椭圆相切分别可得()22222141,m k m k =+=+，求解即可；解法二：设点P 的坐标为00(,)x y ，切线l 的方程为0014x xy y +=，结合点到直线的距离公式运算求解.【详解】∵圆22:4O x y +=的圆心()0,0O ，半径2r =，设()0,πAOB θ∈∠=，则Δ11sin 22sin 2sin 222AOB S OA OB θθθ=⋅=⨯⨯⨯=≤，当且仅当sin 1θ=，即π2θ=时，等号成立，当π2θ=时，AOB 是等腰三角形，此时点O 到切线l的距离等于d =解法一：设切线l 的方程为y kx m =+，即0kx y m -+=，=，整理得：()2221m k =+①联立方程2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：222(41)8440k x kmx m +++-=，由相切得：()()2222Δ64164110,k m k m =-+-=整理得：2241m k =+②由①②得：()222141=k k ++，解得2k =±.解法二：设点P 的坐标为00(,)x y ，切线l 的方程为0014x x y y +=，即00104x xy y +-==，整理得22001612x y =+，∵点P 在椭圆上，则220014x y +=，则22002200141162x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2020831,3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以切线l的斜率00242x k y =-==±.故答案为.2±四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知6a c +=，()()3cos sin sin 1cos A B A B -=+.（1）求边b 的大小；（2）求ABC 的面积的最大值.【正确答案】（1）2b =；（2）.【分析】（1）先利用三角恒等变换化简得3sin sin sin B A C =+，再利用正弦定理化简即得解；（2）先利用基本不等式求出9ac ≤，再利用余弦定理求出cos B 得到sin B ，即得解.【小问1详解】()()3cos sin sin 1cos A B A B -=+ ，则3sin sin sin cos cos sin sin sin()B A A B A B A A B =++=++，A +B +C =π，∴3sin sin sin B A C =+，∴由正弦定理可得36b a c =+=，∴2b =.【小问2详解】6a c +=，6a c ∴=+≥9ac ≤（当且仅当3a c ==时等号成立），2222()2416cos 22a c b a c ac acB ac ac ac+-+---∴===，可得sin B ===11sin 22S ac B ac ∴==⨯=≤=（当且仅当3a c ==时等号成立）.∴ABC的面积的最大值为18.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足12n n S n S n++=，11a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 为等比数列，数列{}n c 满足112nn n n n a c a a b +++=⋅⋅，若22b =，10123452b b b b b =，求证.121n c c c ++⋅⋅⋅+<【正确答案】（1）n a n =，n *∈N （2）证明见解析.【分析】（1）先由累乘法求得n S ，再根据n a 与n S 的关系即可求得数列{}n a 的通项公式；（2）先由条件求得数列{}n b 的通项公式，即可得到n c ，然后根据裂项相消法即可证明.【小问1详解】因为12n n S n S n ++=，则3124123213451,,,,,12321n n n n S S S S S n n S S S S n S n ---+=====-- ，累乘可得，()113451123212n n n S n n S n n ++=⨯⨯⨯⨯⨯=-- ，2n ≥所以()1,22n n n S n +=≥，又111S a ==符合式子，所以()1,2n n n S n *+=∈N ，当2n ≥时，()()2211122n n n n n S--+--==，所以两式相减可得1n n n a S S n -=-=，2n ≥，又11a =符合上式，所以n a n =，n *∈N 【小问2详解】因为数列{}n b 为等比数列，22b =，且10123452b b b b b =，设数列{}n b 的公比为q ，则()51022b q =，即()51022q =，所以2q =，则12n n b -=所以()()121112212n n n nn c n n n n -+==-+⋅⋅+⋅，即()1211111111144121232212n n n c c c n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()11112nn =-<+⋅19.在直角梯形11AA B B 中，11∥A B AB ，1AA AB ⊥，11126AB AA A B ===，直角梯形11AA B B 绕直角边1AA 旋转一周得到如下图的圆台1A A ，已知点,P Q 分别在线段1,CC BC 上，二面角111B AA C --的大小为θ．（1）若120θ=，123CP CC =，⊥AQ AB ，证明：PQ ∥平面11AA B B ；（2）若90θ= ，点P 为1CC 上的动点，点Q 为BC 的中点，求PQ 与平面11AAC C 所成最大角的正切值，并求此时二面角Q AP C --的余弦值．【正确答案】（1）证明见详解（2，28989【分析】（1）构造面面平行来推线面平行，作QE ∥AB 交AC 于E ，连接PE 即证面PEQ ∥面AB 1即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求出PQ 与平面11AAC C 所成最大角时的P 点位置，求其正切，再求二面角即可.【小问1详解】如图所示，过Q 作QE ∥AB 交AC 于E ，连接PE ，过C 1作C 1F ∥A 1A ，交AC 于F ，∵120θ= ，结合圆台的特征知30BAC ∠= ，又∵⊥AQ AB，解三角形得12AQ QC BQ ====，故12CQ CE BQ AE ==，即2CE =，∵123CP CC =，由题意易知四边形11AC CA 为直角梯形，∴113AF AC FC ===，123EC PC FC CC ==，故11PE C F A A ∥∥，∵QE ⊄面11A B BA ，AB ⊂面11A B BA ，∴QE ∥面11A B BA ，同理PE ∥面11A B BA ，又QE PE E QE PE =⊂ ，、面PQE ，∴面PEQ ∥面11A B BA ，PQ ⊂面PEQ ，∴PQ ∥平面11AA B B ，得证；【小问2详解】如图，结合圆台的特征，当90θ= 时，此时1A A AB AC 、、两两垂直，故以A 为中心，以AB 、AC 、AA 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，则()()()()16,0,0,0,6,0,0,3,6,3,3,0B C C Q ，设[]1,0,1CP CC λλ=∈ ，则()()00,36,600,3,6CP λλλ=---=-，()()()3,3,00,3,63,33,6PQ CQ CP λλλλ=-=---=--，易知x 轴⊥面11A ACC ，不妨取()1,0,0m =作为面11A ACC 的一个法向量，设PQ 与平面11AAC C 所成角为π,0,2αα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则sin cos ,3PQ m α===，即当15λ=时，sin α取得最大值，此时α为最大角，tan 2α==，设此时面APQ 的一个法向量为(),,n x y z =，易得()2763,3,0,0,,55AQ AP ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，则330276055n AP x y n AQ y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令9z =，则2,2y x =-=，即()2,2,9n =-，由图可知该二面角的平面角为锐角，设其为φ，故289cos cos ,89m n φ===，故PQ 与平面11AAC C，此时二面角Q AP C --的余弦值为28989.20.某学校为了弘扬中华传统文化，组织开展中华传统文化活动周，活动周期间举办中华传统文化知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛，每班通过中华传统文化知识竞答活动，择优选拔5人代表班级参加年级比赛.年级比赛分为预赛与决赛二阶段进行，预赛阶段的赛制为：将两组中华传统文化的们答题放在甲、乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个班级代表队在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个班级代表队先抽取一题作答，答完后试题不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个试题放回原纸箱中.（1）若1班代表队从甲箱中抽取了2个试题，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着2班代表队答题，2班代表队抽取第一题时，从乙箱中抽取试题.已知2班代表队从乙箱中取出的是选择题，求1班代表队从甲箱中取出的是2个选择题的概率；（2）经过预赛，成绩最好的6班代表队和18班代表队进入决赛，决赛采用成语接龙的形式进行，采用五局三胜制，即两班代表队中先胜三局的代表队赢得这场比赛，比赛结束.已知第一局比赛6班代表队获胜的概率为35，18班代表队胜的概率为25，且每一局的胜者在接下来一局获胜的概率为25，每局必分胜负.记比赛结束时比赛局数为随机变量X ，求随机变量X 的数学期望()E X .【正确答案】（1）2049（2）()537125E X =.【分析】（1）根据古典概型概率公式、全概率公式可得2班代表队从乙箱中取出1个选择题的概率，然后根据条件概率公式计算即可；（2）由题意知：X 的可能取值为3，4，5，分别计算对应的概率，利用数学期望的公式计算()E X .【小问1详解】设事件A 为“2班代表队从乙箱中取出1个选择题”，事件1B 为“1班代表队从甲箱中取出2个都是选择题”，事件2B 为“1班代表队从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，事件3B 为“I 班代表队从甲箱中取出2个题都是填空题”则1B 、2B 、3B 彼此互斥，且123=B B B Ω ，因为25128C 5()C 14P B ==，1153822C C 15()C 28P B ==，22338C 3()C 28P B ==所以16(|)9P A B =，25(|)9P A B =，34(|)9P A B =，()()()()()()()1122335615534714928928912P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=⨯+⨯+⨯=，所求概率即是A 发生的条件下1B 发生的概率：111156()()(|)20149(|)7()()4912P B A P B P A B P B A P A P A ⨯====.【小问2详解】由题意知：X 的可能取值为3、4、5，两班代表队打完三局恰好结束比赛的基本事件有{三局6班胜}，{三局18班胜}，而第一局比赛6班获胜的概率为35，则第一局比赛18班获胜的概率为25，又胜者在接下来一局获胜的概率为25，所以3222221284(3)55555512512525P X ==⨯⨯+⨯⨯=+=，当4X =时，前三局{两局6班胜，一局18班胜，最后6班胜}，{两局18班胜，一局6班胜，最后18班胜}，最后6班胜概率为1232233323233132++555555555555625P =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=，最后18班胜概率为2332223322233108++555555555555625P =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=，所以13210848(4)625625125P X ==+=，则有57(5)1(4)(3)=125P X P X P X ==-=-=，综上，44857537()34525125125125E X =⨯+⨯+⨯=.21.已知双曲线C .2213x y -=（1）若点P 在曲线C 上，点A ，B 分别在双曲线C 的两渐近线1l 、2l 上，且点A 在第一象限，点B 在第四象限，若AP PB λ=，1,23λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求AOB 面积的最大值；（2）设双曲线C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过左焦点1F 作直线l 交双曲线的左支于G 、Q 两点，求2GQF △周长的取值范围.【正确答案】（1）3（2）,3⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦【分析】（1）易得两渐近线12:,:33l y x l y x ==-，设()()1122100,,,,0,,33A x x B x x x P x y ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据AP PB λ= ，将P 点的坐标用12,,x x λ表示，再根据点P 在曲线C 上，可得12,,x x λ的关系，再根据1sin 2AOB S OA OB AOB =∠△化简整理即可得解；（2）分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，设()()3344,,,Q x y G x y ，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()2y k x =+，根据线l 交双曲线的左支于G 、Q 两点求出k 的范围，再根据弦长公式求出QG ，再根据2GQF △周长为2242QF GF QG a QG ++=+，从而可得出结论.【小问1详解】双曲线C ：2213x y -=的两渐近线1233:,:33l y x l y x ==-，设()()1122100,,,,0,,33A x x B x x x P x y ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由AP PB λ=，得01012020,,33x x y x x x x y λ⎛⎫⎛⎫--=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()0120012033x x x x y x x y λλ⎧-=-⎪⎛⎫⎨-=-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩，所以120120131x x x x x y λλλλ+⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⋅⎪+⎩，因为点P 在曲线C 上，所以212212311331x x x x λλλλ+⎛⎫ ⎪⎛⎫-+⎝⎭-⋅= ⎪ ⎪+⎝⎭，整理得()212314x x λλ+=，12,OA x OB x ====，因为直线1233,33l l k k ==-，所以直线1l 的倾斜角为π6，所以π3AOB ∠=，()212111sin 22344AOB S OA OB AOB x x λλλλ+⎫=∠==⋅=++⎪⎝⎭，令()11,,23f x x x x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，则()()()221111x x f x x x +-'=-=，当113x ≤<时，()0f x '<，当12x <≤时，()0f x ¢>，所以函数()f x 在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，在1,23⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增，又()1105,2332f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()max 11033f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以当13λ=时，()max 433AOB S = ；【小问2详解】()12,0F -，设()()3344,,,Q x y G x y ，若直线l 的斜率不存在时，则:2l x =-，在2213x y -=中，令2x =-，得33y =±，则3QG =，2GQF △周长为22163423QF GF QG a QG ++=+=，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()2y k x =+，联立()22213y k x x y ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩，消y 得()222213121230k x k x k ----=，因为直线l 交双曲线的左支于G 、Q 两点，所以()()()2222223422342130Δ12413123012013123013k k k k k x x k k x x k ⎧-≠⎪⎪=----->⎪⎪⎨+=<⎪-⎪--⎪=>⎪-⎩，得213k >，2GQF △周长为2242QF GF QG a QG++=+==+22113k k+=+-22131k k +=+-()2214313331kk-+=-213331k=+⋅-，因为213k>，所以2310k->，所以2133313k+⋅>-，所以2GQF△周长的范围为3⎛⎫+∞⎪⎪⎝⎭，综上所述，2GQF△周长的取值范围为163,3⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦.方法点睛：解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：1、几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；2、函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.22.已知函数()()lnf x x n x=+.（1）若1n=，求函数()()()()12g x f x k x k=-->的零点个数，并说明理由；（2）当0n=时，若方程()f x b=有两个实根12,x x，且12x x<，求证.213e2e123b x x b-+<-<++【正确答案】（1）3，理由见解析（2）证明见解析【分析】（1）先求导数，构造函数2()ln1kh x x kx=+-+，利用导数研究单调性和图象的大致走势，结合零点存在定理和单调性可得答案；（2）先找出曲线()y f x=的两条切线，利用切线与y b=的交点证明213e232x bx-<++-，再利用割线与y b=的交点证明21e1x x b->+.【小问1详解】当1n=时，()()1lnf x x x=+，()()()()21ln 11ln 1k g x x x k x x x k x ⎛⎫=+--=++- ⎪+⎝⎭，显然1x =是()g x 的一个零点，令2()ln 1k h x x k x =+-+，则()()()22222112()11x k x k h x x x x x +-+'=-=++()0x >；设()()2221x x k x ϕ=+-+()0x >，因为2k >，其对应方程的判别式()420k k ∆=->，所以()0x ϕ=有两个根，设为12,x x ，则1212220,1x x k x x +=->=；不妨设1201x x <<<，令()0h x '>，则()()120,,x x x ∞∈⋃+；令()0h x '<，则()12,x x x ∈；所以()h x 在区间()()120,,,x x +∞单调递增，在区间()12,x x 单调递减，又1201x x <<<，所以12()(1)0()h x h h x >=>；又当x 无限趋近于正无穷大时，()h x 也无限趋近于正无穷大；当x 无限趋近于0时，()h x 无限趋近于负无穷大；根据零点存在定理和函数单调性、连续性可知()h x 在()()120,,,x x ∞+各有一个零点，所以()g x 总共有3个零点.【小问2详解】证明：先证右半部分不等式：213e 232x b x -<++-；因为()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+，所以333(1)0,(e )3e ,(1)1,(e )2f f f f ---''==-==-；可求曲线()y f x =在3x e -=和1x =处的切线分别为31:2e l y x -=--和2:1l y x =-；设直线y b =与直线1l ，函数()f x 的图象和直线2l 交点的横坐标分别为1122,,,,x x x x ''则312e ,1,2b x x b -+''=-=+则332121e e 23(1)(22b b x x x x b --+++''-<-=+--=；因此213e 232x b x -<++-.再证左半部分不等式.21e 1x x b ->+设取曲线上两点11(,(1,0)e e A B -，用割线:OA y x =-，1:(1)e 1AB y x =--来限制21x x -，设直线y b =与直线1(1)e 1,y x y x =---=的交点的横坐标分别为34,x x ，则1342x x x x <<<，且3x b =-，4(e 1)1,x b =-+所以2143(e 1)1()e 1x x x x b b b ->-=-+--=+.综上可得213e 2e 123b x x b -+<-<++成立.方法点睛：导数证明不等式的方法常有：（1）最值法：移项构造函数，通过求解最值来证明；（2）放缩法：通过构造切线或割线，利用切线放缩或者割线放缩来证明.。
高2021届高2018级高三数学一轮专题训练试题及考试参考答案 (5)
[考案5]第五章 综合过关规范限时检测(时间：120分钟 满分150分)一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1.数列32，－54，78，－916，…的一个通项公式为( D )A.a n ＝(－1)n·2n ＋12nB.a n ＝(－1)n ·2n ＋12nC.a n ＝(－1)n ＋1·2n ＋12n D.a n ＝(－1)n ＋1·2n ＋12n【试题解答】 该数列是分数形式，分子为奇数2n ＋1，分母是指数2n ，各项的符号由(－1)n＋1来确定，所以D 选项正确.2.(2020·湖北八校联考)已知数列{a n }满足a n ＝5n －1(n ∈N *)，将数列{a n }中的整数项按原来的顺序组成新数列{b n }，则b 2 019的末位数字为( D )A.8B.2C.3D.7【试题解答】 由a n ＝5n －1(n ∈N *)，可得此数列为4，9，14，19，24，29，34，39，44，49，54，59，64，…，整数项为4，9，49，64，144，169，…，所以数列{b n }的各项依次为2,3,7,8,12,13,17,18，…，末位数字分别是2,3,7,8,2,3,7,8，…，因为2 019＝4×504＋3，所以b 2 019的末位数字为7.故选D.3.(2020·贵州贵阳监测)如果在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝( C ) A.14 B.21 C.28D.35【试题解答】 由题意得3a 4＝12，则a 4＝4，所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4＝7a 4＝28.故选C.4.(2020·山东潍坊期末)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝28，a 2m a m ＝2m ＋21m －2，则数列{a n }的公比为( B )A.2B.3C.12D.13【试题解答】 设数列{a n }的公比为q ，由题意知q ≠1，因为S 2m S m ＝28，a 2m a m ＝2m ＋21m －2，所以1＋q m ＝28，q m ＝2m ＋21m －2，所以m ＝3，q ＝3.故选B.5.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13>0，S 14＜0，则S n 取最大值时n 的值为( B ) A.6 B.7 C.8D.13【试题解答】 根据S 13>0，S 14＜0，可以确定a 1＋a 13＝2a 7>0，a 1＋a 14＝a 7＋a 8＜0.所以a 7>0，a 8＜0，则S n 取最大值时n 的值为7.故选B.6.(2020·江西南昌三中模拟)在等比数列{a n }中，已知对任意的正整数n ，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n ＋m ，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝( A )A.13(4n －1) B.2n －1 C.13(2n －1) D.4n －1【试题解答】 通解：设{a n }的公比为q ，∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n ＋m 对任意的正整数n 均成立，∴a 1＝2＋m ，a 2＝2，a 3＝4.∵{a n }是等比数列，∴m ＝－1，a 1＝1，q ＝2，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n＝1＋4＋42＋…＋4n －1＝1－4n 1－4＝13(4n－1).故选A. 优解：∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n ＋m ，∴当n ≥2时，a n ＝2n －1，又a 1＝2＋m ，满足上式，∴m ＝－1，即等比数列{a n }的首项为1，公比为2，∴a n ＝2n －1，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1＋4＋42＋…＋4n －1＝1－4n 1－4＝13(4n－1).故选A.7. (2020·河北六校第三次联考)“泥居壳屋细莫详，红螺行沙夜生光.”是宋代诗人欧阳修对鹦鹉螺的描述.假设一条螺旋线是用以下方法画成(如图)：△ABC 是边长为1的正三角形，曲线CA 1，A 1A 2，A 2A 3分别是以A ，B ，C 为圆心，AC ，BA 1，CA 2为半径画的弧，曲线CA 1A 2A 3称为螺旋线，再以A 为圆心，AA 3为半径画弧，……如此画下去，则所得弧CA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A 28A 29，A 29A 30的总长度为( A )A.310πB.1103πC.58πD.110π【试题解答】 根据弧长公式知，弧CA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A n －2A n －1，A n －1A n 的长度分别为23π，2×23π，3×23π，…，(n －1)×23π，n ×23π，该数列是首项为23π，公差为23π的等差数列，所以该数列的前n 项和S n ＝π3n (n ＋1)，所以所得弧CA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A 28A 29，A 29A 30的总长度为S 30＝π3×30×(30＋1)＝310π.故选A.8.(2020·河北衡水中学调研)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n为数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋16a n ＋3的最小值为( B ) A.3 B.4 C.23－2D.92【试题解答】 由已知有a 23＝a 1a 13，所以有(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋12d )，d ＝2(d ≠0)，数列{a n }通项公式a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，所以2S n ＋16a n ＋3＝n 2＋8n ＋1＝(n ＋1)＋9n ＋1－2≥4，当且仅当n ＋1＝9n ＋1，即n ＝2时等号成立.故选B. 二、多选题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.等比数列{a n }的前三项和S 3＝14，若a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，则公比q ＝( AD ) A.2 B.13 C.3D.12【试题解答】 由a 1，a 2＋1，a 3成等差数列， 得2(a 2＋1)＝a 1＋a 3，即2(1＋a 1q )＝a 1＋a 1q 2， 即a 1(q 2－2q ＋1)＝2，①又S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝14，② ①÷②得：q 2－2q ＋11＋q ＋q 2＝214，解得q ＝2或q ＝12.另解：由2(a 2＋1)＝a 1＋a 3，得3a 2＋2＝a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝14，解得a 2＝4， 则S 3＝4q ＋4＋4q ＝14，解得q ＝2或q ＝12.故选A 、D.10.若数列{a n }满足对任意n ≥2(n ∈N )都有(a n －a n －1－2)·(a n －2a n －1)＝0，则下面选项中正确的是( ABD )A.{a n }可以是等差数列B.{a n }可以是等比数列C.{a n }可以既是等差数列又是等比数列D.{a n }可以既不是等差数列又不是等比数列 【试题解答】 因为(a n －a n －1－2)(a n －2a n －1)＝0， 所以a n －a n －1－2＝0或a n －2a n －1＝0， 即a n －a n －1＝2或a n ＝2a n －1，当a n ≠0，a n －1≠0时，{a n }是等差数列或等比数列；当a n ＝0或a n －1＝0时，{a n }可以不是等差数列，也可以不是等比数列，比如数列，2,0,0,0，…….故选A 、B 、D.11.已知等比数列{x n }的公比为q ，若恒有|x n |>|x n ＋1|，且x 11＋q ＝12，则首项x 1的取值范围可以是( AC ) A.(12，1) B.(0,1) C.(0，12)D.(1,2)【试题解答】 由|x n |>|x n ＋1|，得1>|x n ＋1x n|＝|q |，故－1＜q ＜0或0＜q ＜1.0＜1＋q ＜1或1＜1＋q ＜2，又x 11＋q ＝12，所以x 1＝1＋q 2，所以x 1∈(0，12)∪(12，1).故选A 、C.12.(2020·山东十校联考)设数列{a n }和{b n }分别是等差数列与等比数列，且a 1＝b 1＝4，a 4＝b 4＝1，则以下结论不正确的是( BCD )A.a 2>b 2B.a 3＜b 3C.a 5>b 5D.a 6>b 6【试题解答】 设等差数列的公差、等比数列的公比分别为d ，q ，则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧4＋3d ＝1，4q 3＝1，解得⎩⎨⎧d ＝－1，q ＝314，则a 2－b 2＝3－316>3－327＝0；故A 正确.同理，其余都错，故选B 、C 、D.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2020·云南师大附中月考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3S n ＋1，则S 4＝__85__. 【试题解答】 a n ＋1＝3S n ＋1①，a n ＝3S n －1＋1(n ≥2)②，①－②得：a n ＋1＝4a n (n ≥2)，又a 1＝1，a 2＝3a 1＋1＝4，∴{a n }是首项为1，公比为4的等比数列，∴S 4＝1－441－4＝85.或S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋4＋16＋64＝85.14.(2020·福建莆田月考)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＋a 3＋a 11＝6，则S 9＝__18__. 【试题解答】 设等差数列{a n }的公差为d .∵a 1＋a 3＋a 11＝6，∴3a 1＋12d ＝6，即a 1＋4d ＝2，∴a 5＝2，∴S 9＝(a 1＋a 9)×92＝2a 5×92＝18.15.设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝2S n ＋n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝__2n－1__.【试题解答】 因为S n ＋1＝2S n ＋n ＋1， 当n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ， 两式相减得，a n ＋1＝2a n ＋1， 所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝2. 又S 2＝2S 1＋1＋1，a 1＝S 1＝1，所以a 2＝3，所以a 2＋1a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，所以a n ＝2n －1.故填2n －1.16.已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意的n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n＜t ，则实数t 的取值范围为 [23，＋∞) .【试题解答】 因为数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，所以当n ≥2时，a 1a 2a 3…a n －1＝2(n －1)2，则a n ＝22n －1，a 1＝2也适合，所以1a n ＝122n －1，数列{1a n }是首项为12，公比为14的等比数列，则1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝12(1－14n )1－14＝23(1－14n )＜23，则实数t 的取值范围为[23，＋∞).故填[23，＋∞). 四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2a n ＋4. (1)证明：数列{a n ＋4}是等比数列； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n .【试题解答】 (1)证明：∵a 1＝－2，∴a 1＋4＝2. ∵a n ＋1＝2a n ＋4，∴a n ＋1＋4＝2a n ＋8＝2(a n ＋4)， ∴a n ＋1＋4a n ＋4＝2，∴{a n ＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列. (2)由(1)可知a n ＋4＝2n ，∴a n ＝2n －4. 当n ＝1时，a 1＝－2＜0，∴S 1＝|a 1|＝2； 当n ≥2时，a n ≥0.∴S n ＝－a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋(22－4)＋…＋(2n －4)＝2＋22＋…＋2n －4(n －1)＝2(1－2n )1－2－4(n －1)＝2n＋1－4n ＋2.又当n ＝1时，上式也满足. ∴当n ∈N *时，S n ＝2n ＋1－4n ＋2.18.(本小题满分12分)(2020·山东省济南第一中学期中考试)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝12，且2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n3n ，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n .【试题解答】 (1)∵S 3＝12，即a 1＋a 2＋a 3＝12， ∴3a 2＝12，所以a 2＝4， 又∵2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列，∴a 22＝2a 1·(a 3＋1)，即a 22＝2(a 2－d )·(a 2＋d ＋1)， 解得，d ＝3或d ＝－4(舍去)，∴a 1＝a 2－d ＝1，故a n ＝3n －2. (2)b n ＝a n 3n ＝3n －23n ＝(3n －2)·13n ，∴T n ＝1×13＋4×132＋7×133＋…＋(3n －2)×13n ，①①×13得13T n ＝1×132＋4×133＋7×134＋…＋(3n －5)×13n ＋(3n －2)×13n ＋1.②①－②得23T n ＝13＋3×132＋3×133＋3×134＋…＋3×13n －(3n －2)×13n ＋1＝13＋3×132(1－13n －1)1－13－(3n －2)×13n ＋1＝56－12×13n －1－(3n －2)×13n ＋1，∴T n ＝54－14×13n －2－3n －22×13n ＝54－6n ＋54×13n .19.(本小题满分12分)(2020·河南洛阳孟津二中月考)在数列{a n }中，设f (n )＝a n ，且f (n )满足f (n ＋1)－2f (n )＝2n (n ∈N *)，a 1＝1.(1)设b n ＝a n2n －1，证明：数列{b n }为等差数列；(2)求数列{3a n －1}的前n 项和S n .【试题解答】 (1)由已知得a n ＋1＝2a n ＋2n ，得 b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n2n －1＋1＝b n ＋1，∴b n ＋1－b n ＝1，又a 1＝1，∴b 1＝1， ∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列. (2)由(1)知，b n ＝a n2n －1＝n ，∴a n ＝n ·2n－1,3a n －1＝3n ·2n －1－1.∴S n ＝3×1×20＋3×2×21＋3×3×22＋…＋3(n －1)×2n －2＋3n ×2n －1－n ， 两边同时乘以2，得2S n ＝3×1×21＋3×2×22＋…＋3(n －1)×2n －1＋3n ×2n －2n ，两式相减，得－S n ＝3×(1＋21＋22＋…＋2n －1－n ×2n )＋n ＝3×(2n －1－n ×2n )＋n ＝3(1－n )2n －3＋n ， ∴S n ＝3(n －1)2n ＋3－n .20.(本小题满分12分)(2020·河北衡水模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n (n ＋1)(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n 3n ＋1，求数列b n 的通项公式.【试题解答】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (n ＋1)－(n －1)n ＝2n ， 易知a 1＝2满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1(n ≥1)，①a n ＋1＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1＋b n ＋13n ＋1＋1，②②－①得，b n ＋13n ＋1＋1＝a n ＋1－a n ＝2，b n ＋1＝2(3n ＋1＋1)，故b n ＝2(3n ＋1)(n ≥2).又a 1＝b 13＋1＝2，即b 1＝8，也满足上式，所以b n ＝2(3n ＋1)(n ∈N *).21.(本小题满分12分)(2020·广东广州一测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S nn }是首项为1，公差为2的等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝5－(4n ＋5)(12)n ，求数列{b n }的前n 项和T n .【试题解答】 (1)因为数列{S nn }是首项为1，公差为2的等差数列，所以S nn ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以S n ＝2n 2－n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－2)－[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3. 当n ＝1时，a 1＝1也符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －3. (2)当n ＝1时，a 1b 1＝12，所以b 1＝2a 1＝2.当n ≥2时，由a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝5－(4n ＋5)(12)n ，①得a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝5－(4n ＋1)(12)n －1.② ①－②，得a n b n ＝(4n －3)(12)n .因为a n ＝4n －3，所以b n ＝4n －3(4n －3)(12)n＝2n (当n ＝1时也符合)，所以b n ＋1b n ＝2n ＋12n ＝2，所以数列{b n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以T n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.22.(本小题满分12分)已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足4S n ＝a 2n ＋2a n＋1(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n3n ，求数列{b n }的前n 项和T n ；(3)在(2)的条件下，若b n1－T n≤λ(n ＋4)－1对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围.【试题解答】 (1)由已知得4S n ＝(a n ＋1)2，① 当n ＝1时，4S 1＝(a 1＋1)2＝4a 1，解得a 1＝1. 当n ≥2时，4S n －1＝(a n －1＋1)2.② ①－②得，4a n ＝(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2， 则(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. 因为a n >0，所以a n －a n －1＝2，即数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列. 所以a n ＝2n －1. (2)由(1)知b n ＝2n －13n ，则T n ＝1·13＋3·(13)2＋5·(13)3＋…＋(2n －3)·(13)n －1＋(2n －1)·(13)n .13T n ＝1·(13)2＋3·(13)3＋5·(13)4＋…＋(2n －3)·(13)n ＋(2n －1)·(13)n ＋1， 两式相减得23T n ＝13＋2[(13)2＋(13)3＋…＋(13)n ]－(2n －1)(13)n ＋1＝23－2n ＋23·(13)n ，所以T n ＝1－n ＋13n .(3)由b n1－T n≤λ(n ＋4)－1得， 则λ≥3n (n ＋1)(n ＋4)＝3n ＋4n ＋5，因为n ＋4n≥2n ·4n＝4， 所以当且仅当n ＝2时，3n ＋4n ＋5有最大值13，即λ≥13.。
安徽省阜阳市临泉县第一中学2018届高三数学上学期第二次模拟试题理(含解析)
临泉一中高三年级上学期数学第二次模拟考试（理科）本试卷分为必考部分和选考部分.满分150分，考试时间120分钟必考部分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.将所选答案标记在题后答题框内.1. 设集合2 [「：•，二：一 .，.，• 4 I ,若口厂1「则卜1 （）A. :'-1：B. '■）.：C. 二；D.【答案】C【解析】•••集合二| I .'】；•，二：+ Ill HL, - f '丨丨；••• •丨是方程. Ill匚的解，即丨丨I •]]••• I - 7•二：一、+ III 川■；■ ■■■ -4- + ■!.：■；■■]丄.：■•；•，故选C2. 命题"若a > b,则a丰c > b + c”的否命题是（）A.若丨•，则.1 | I；i ■B.若「i「I；i ■U 和二「C.若，则「： I.D. 若■: - I，则门-I： li -【答案】A【解析】命题"若a > b，则a十c》b + L的否命题是"若a<b，贝ija + c< b + c",故选A3. 已知点-■ :：H'： I..-.III'c在第三象限，则角IJ的终边在（）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】试题分析：点MU-在第三象限可知；；：；；：；，所以角"的终边位置在第二象限考点：四个象限三角函数值的正负问题A. 'B. '■.:,C. 「ID.;丨；i4.若：.■-）；!"L “门，贝y '的大小关系（【答案】D【解析】T、；一「、|「• J二 c 二^(-cosx) Q二-^(COSTI-COS O)二扌.•7 1._ I 一 -,门-I己，故选D5. 已知I I [ ' 口，；'. II ：： I 一'.：■■■'；. I, h，：，“11=( )A. B. C. D.4 32【答案】C【解析】IT E - C. ,.J、11=2cosa • ：：；I「I门〔贝VCDSH二-3• r ¥；F Hl 二：■■.：■ ■■;：］= '，故选C6. 下列函数中，在丨丨|上与函数一二.：n 的单调性和奇偶性都相同的是( )A. < 「八B. ■■■ - 1 1C. ■ ■■:■：.D. : - -J ―【答案】D【解析】-一；-…r在-■ '■上递增，在d「上递减，且¥为偶函数，而：「- / - ■｛也具有相同的奇偶性和单调性•本题选择D选项•7. 已知T\ -:■ ='；in - .■:|r i= in ?'-，则下列结论中正确的是( )A. 函数1 1〔m：的周期为"B. 将li「的图像向左平移"个单位后得到NI -'：的图像C. 函数I'： - - '；'：■：的最大值为ID. . I ■[I一：的一个对称中心是：.、【答案】Dn 1【解析】选项A:. “ …I rill ：|一・]dr ■ ■. i；in.'-，则周期丨'兀，故A不对；选项B:将|的图像向左平移’「个单位后得到的函数解析式为■w ＜- ' - : ；in；.-. - ：i i --JII ■，得不到‘乂的图像，故B不对；1 a .选项C ：由A可得f(x)，g(x) = 2sin2x ,因为sin2x的最大值为1 T所以朋)* 泊大值为指故C不对;选项D:+ g(x) = sin(x + ；) + sin(n-x)二sinx + cosx 二\J2sin(x +》根据正弦函数的对称性，令• - b II ■ •「，得• | 11- I- ■..'，当•.-丨时,＞：=.'，故D正确.故选D8. 已知「:，-■：.，函数f 门［二Mi .：.：＞■'在-二Y内单调递减，则‘::‘的取值范围是( )A.(斶B.開］。
届高三数学（理）第一次月考模拟试卷及答案
届高三数学（理）第一次月考模拟试卷及答案2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷及答案高考数学知识覆盖面广，我们可以通过多做数学模拟试卷来扩展知识面!以下是店铺为你整理的2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷，希望能帮到你。
2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷题目一、选择题(本题共12道小题，每小题5分，共60分)1.已知全集U=R，A={x|x2﹣2x<0}，B={x|x≥1}，则A∪(∁UB)=( )A.(0，+∞)B.(﹣∞，1)C.(﹣∞，2)D.(0，1)2.已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=()A.{1}B.{4}C.{1，3}D.{1，4}3.在△ABC中，“ >0”是“△ABC为锐角三角形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.下列说法错误的是( )A.命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”B.“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件C.若p且q为假命题，则p、q均为假命题D.命题p：“∃x∈R使得x2+x+1<0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”5.已知0A.a2>2a>log2aB.2a>a2>log2aC.log2a>a2>2aD.2a>log2a>a26.函数y=loga(x+2)﹣1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m>0，n>0，则 + 的最小值为( )A.3+2B.3+2C.7D.117.已知f(x)是定义在R上的偶函数，在[0，+∞)上是增函数，若a=f(sin )，b=f(cos )，c=f(tan )，则( )A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a8.若函数y=f(x)对x∈R满足f(x+2)=f(x)，且x∈[-1 ，1]时，f(x)=1﹣x2，g(x)= ，则函数h(x)=f(x)﹣g(x)在区间x∈[-5 ，11]内零点的个数为( ) A.8 B.10 C.12 D.149设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f(x)•f(y)=f(x+y)，若a1= ，an=f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n 项和Sn的取值范围是( )A.[ ，2)B.[ ，2]C.[ ，1)D.[ ，1]10.如图所示，点P从点A处出发，按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周，O为ABC的中心，设点P走过的路程为x，△OAP的面积为f(x)(当A、O、P三点共线时，记面积为0)，则函数f(x)的图象大致为( )A . B.C. D.11.设函数f(x)=(x﹣a)|x﹣a|+b，a，b∈R，则下列叙述中，正确的序号是( )①对任意实数a，b，函数y=f(x)在R上是单调函数;②对任意实数a，b，函数y=f(x)在R上都不是单调函数;③对任意实数a，b，函数y=f(x)的图象都是中心对称图象;④存在实数a，b，使得函数y=f(x)的图象不是中心对称图象.A.①③B.②③C.①④D.③④12.已知函数，如在区间(1，+∞)上存在n(n≥2)个不同的数x1，x2，x3，…，xn，使得比值= =…= 成立，则n的取值集合是( )A.{2，3，4，5}B.{2，3}C.{2，3，5}D.{2，3，4}第II卷(非选择题)二、填空题(本题共4道小题，每小题5分，共20分)13.命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1<0”的否定是 .14.定义在R上的奇函数f(x)以2为周期，则f(1)= .15.设有两个命题，p：x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0};q：函数y=lg(ax2﹣x+a)的定义域为R.如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是 .16.在下列命题中①函数f(x)= 在定义域内为单调递减函数;②已知定义在R上周期为4的函数f(x)满足f(2﹣x)=f(2+x)，则f(x)一定为偶函数;③若f(x)为奇函数，则 f(x)dx=2 f(x)dx(a>0);④已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，则a+b+c=0是f(x)有极值的充分不必要条件;⑤已知函数f(x)=x﹣sinx，若a+b>0，则f(a)+f(b)>0.其中正确命题的序号为 (写出所有正确命题的序号).三、解答题(本题共7道小题,第1题12分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题10分,第7题10分,共70分)17.已知集合A={x|x2﹣4x﹣5≤0}，函数y=ln(x2﹣4)的定义域为B.(Ⅰ)求A∩B;(Ⅱ)若C={x|x≤a﹣1}，且A∪(∁RB)⊆C，求实数a的取值范围.18.已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}.(1)求实数a，b的值;(2)解关于x的不等式： >0(c为常数).19.已知函数f(x)= 是定义在(﹣1，1)上的奇函数，且f( )= .(1)确定函数f(x)的解析式;(2)证明f(x)在(﹣1，1)上是增函数;(3)解不等式f(t﹣1)+f(t)<0.20.已知关于x的不等式x2﹣(a2+3a+2)x+3a(a2+2)<0(a∈R).(Ⅰ)解该不等式;(Ⅱ)定义区间(m，n)的长度为d=n﹣m，若a∈R，求该不等式解集表示的区间长度的最大值.21.设关于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的两根分别为α、β(α<β)，函数(1)证明f(x)在区间(α，β)上是增函数;(2)当a为何值时，f(x)在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小.选做第22或23题，若两题均选做，只计第22题的分。
重庆市第一中学2024-2025学年高三上学期适应性月考(一)数学试题
重庆市第一中学2024-2025学年高三上学期适应性月考（一）数学试题一、单选题1．已知集合(){}22log 13A x x =<−≤，{}5,6,7,8B =，则集合A B ⋂的子集个数为（ ） A ．16B ．8C ．4D ．22．已知m ∈R ，n ∈R ，则“228m n +>”是“4mn >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数()()22,2,1,2,x x x f x f x x −⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩则()2log 3f =（ ）A ．83B ．103C ．356D ．3764．已知角α，β都是锐角，且tan α，tan β是方程2430x x −+=的两个不等实根则()cos αβ+=（ ）A ．5−B ．5−C D ．55．我校田径队有十名队员，分别记为,,,,,,,,,A B C D E F G H J K ，为完成某训练任务，现将十名队员分成甲、乙两队．其中将,,,,A B C D E 五人排成一行形成甲队，要求A 与B 相邻，C 在D 的左边，剩下的五位同学排成一行形成乙队，要求F 与G 不相邻，则不同的排列方法种数为（ ） A ．432B ．864C ．1728D ．25926．在ABC V 中，若sin :sin :sin 2:5:6A B C =，且AC =ABC V 的外接圆的面积为（ ） A ．4πB ．8πC ．16πD ．64π7．若()*n n ∈N 次多项式()()1212100n n n n n n P t a t a t a t a t a a −−=++⋅⋅⋅+++≠满足()cos cos n P x nx =，则称这些多项式()n P t 为切比雪夫多项式．如，由2cos 22cos 1θθ=−可得切比雪夫多项式()2221P x x =−，同理可得()3343P x x x =−．利用上述信息计算sin 54︒=（ ）A B C D ．488．若eln1.5a =，0.15e 4b −=，98c =（其中e 为自然对数的底数），则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．b c a >>二、多选题9．下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（ ） A ．数据1−，0，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1 B ．已知随机变量(),XB n p ，若()40E X =，()30D X =，则160n =C ．若事件M ，N 的概率满足()()0,1P M ∈，()()0,1P N ∈且()()1P N M P N +=，则M 与N 相互独立D ．若一组样本数据(),i i x y （1i =，2，…，n ）的对应样本点都在直线132y x =−+上，则这组样本数据的相关系数为12−10．若0x >，0y >，且22x y +=，则下列结论正确的是（ ）A ．224x y +的最小值为2B ．24x y +的最小值为C ．()sin 123x y ++>D ．若实数1z >，则2232121x x y z xy z ⎛⎫++−⋅+ ⎪−⎝⎭的最小值为811．已知函数()2cos sin sin 21f x x x x =−++，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的一个周期为πB ．函数()f x 的一个对称中心为π,4⎛− ⎝C ．函数()f x 在区间π,04⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．方程()f x =3π11π,44⎛⎤⎥⎝⎦上共有6个不同实根三、填空题12．已知函数()()3f x x ax a =+∈R 在1x =处取得极值，则函数()f x 的极大值为 ．13．已知函数()()ππcos 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>−<< ⎪⎝⎭，直线π9x =和点5π,018⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一组相邻的称轴和对称中心，且()f x 在区间ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ϕ= ．14．函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，()()2f x f x x −=+，且()()1T x f x ='+为奇函数，()2512n f n ='=∑ ．四、解答题15．锐角ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos 2b a B c +=，且a =3b =. (1)求边c 的值；(2)求内角A 的角平分线AD 的长．16．已知函数()2ππsin sin 12cos 442x f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−+−− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(1)若123x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求πsin 26x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的值；(2)若先将()f x 的图象上每个点的横坐标变为原来12倍，再将函数图象向右平移π4个单位，将函数图象上每个点的纵坐标变为原来的2数()g x 图象，求()g x 在ππ,86x ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭上的值域和单调递减区间．17．某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的22⨯列联表：(1)根据表中数据，依据0.01α=的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联； (2)现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析，记抽取的3件中合格的件数为X ，求X 的分布列和数学期望；(3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为Y ，求使事件“Y k =”的概率最大时k 的取值.参考公式及数据：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，其中n a b c d =+++.18．在平面直角坐标系中，若点(),T x y 绕着原点O 逆时针旋转θ角后得到点(),T x y '''，则cos sin x x y θθ=−'，sin cos y x y θθ=+'．已知曲线1C 绕原点顺时针旋转π4后得到曲线2C ：2xy =．(1)求曲线1C 的方程；(2)已知1F ，2F 分别是曲线1C 的上、下焦点，M ，N 是曲线1C 上两动点且它们分布在y 轴同侧、x 轴异侧，12MF NF ∥，若1212MF NF MF NF λ+=⋅，求实数λ的值；(3)在（2）问中，若2MF 与1NF 的交点为P ，则是否存在两个定点1T ，2T ，使得12PT PT +为定值？若存在，求1T ，2T 的坐标；若不存在，请说明理由．19．已知曲线()2e cos mxf x x mx =⋅+（m ∈R ，e 为自然对数的底数）在0x =处的切线的倾斜角为π4，函数()2sin 1g x x x =++．(1)若函数()()2x f x x ϕ=−在区间[],t t −上单调递增，求实数t 的最大值；(2)证明：函数()f x 的图象与函数()g x 的图象在[]0,5πx ∈内有5个不同的交点； (3)记（2）中的5个交点分别为A ，B ，C ，D ，E ，横坐标依次为0x ，1x ，2x ，3x ，4x （01234x x x x x <<<<），求证：01324x x x x x +−>−．。
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广东省佛山市普通高中学校2018届高三数学4月月考模拟试题满分150分，时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2,3A =，{}3BA =，{}1,2,3,4,5B A =，则集合B 的子集的个数为A ．6 个B ．7 个C ．8个D ．9个 2.命题“2,20x R x x ∃∈-+≥”的否定是A.2,20x R x x ∃∈-+>B.2,20x R x x ∃∈-+<C.2,20x R x x ∀∈-+≥D.2,20x R x x ∀∈-+< 3.已知,αβ表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，则“αβ”是“l β”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.函数()2sin f x x x =-的零点个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 5.不等式2162a bx x b a+<+对任意,(0,)a b ∈+∞恒成立，则实数x 的取值范围是 A.(2,0)- B.(,2)(0,)-∞-+∞ C.(4,2)-6.如右图所示，程序框图输出的所有实数对),(y x 所对应的点都在函数A.y ＝x ＋1的图象上B.y ＝2x 的图象上C.y ＝2x的图象上 D.y ＝12x -的图象上7.在区间[]0,π上随机取一个数x ，则事件sin cos 1x x +≥“”发生的概率为 A.14 B. 13 C.12 D.238.定义：函数()f x 的定义域为D ，如果对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使得c =（其中c 为常数）成立，则称函数()f x 在D 上的几何均值为c . 则下列函数在其定义域上的“几何均值”可以为2的是A.21y x =+B.sin 3y x =+C.xy e =(e 为自然对数的底) D.ln y x =9.已知抛物线240x py(p )=>与双曲线2222100y x (a ,b )a b-=>>有相同的焦点F ，点A是两曲线的一个交点，且AF y ⊥轴，则双曲线的离心率为A．12B1C1 D．1210. 设,x y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数z ax by =+ （0>a ，0>b ）的最大值为8，点P为曲线21(0)3y x x=-<上动点，则点P 到点(,)a b 的最小距离为 AB ．0 CD ．1 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题: 本大题共7小题，每小题5分，共35分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11.若53sin =θ，θ为第二象限角，则tan()πθ-=. 12.设复数1a iz i+=+，其中a 为实数，若z 的实部为2，则z 的虚部为.13.已知正方形ABCD 的边长为1，则=AB 2.14.某行业从2013年开始实施绩效工资改革，为了解该行业职工工资收入情况，调查了1000名该行业的职工，并由所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，由图可知中位数为________. 现要从这1000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查， 则月收 入在[3500,4000)（元）内应抽出 人.15. 某三棱锥P ABC -的正视图为如图所示边长为2的正三角形，俯视图为等腰直角三角 形， 则三棱锥的表面积是.16. 挪威数学家阿贝尔，曾经根据阶梯形图形的两种不同分割（如下图），利用它们的面积 关系发现了一个重要的恒等式---阿贝尔公式：第14题图 A B PC 俯视图主视图第15题图11223311222333411()()()()n n n n n n n a b a b a b a b a b b L b b L b b L b b L b --++++=-+-+-++-+则其中：（Ⅰ）3L =______________；（Ⅱ）n L =______________.17.若直线1x my =-与圆22:0C x y mx ny p ++++=交于A 、B 两点，且A 、B 两点关 于直线y x =对称，则实数p 的取值范围为________________.三、解答题：本大题共5小题，共65分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.（本题满分12分）已知向量(3sin 22,cos )m x x =+，(1,2cos )n x =，设函数()f x m n =⋅.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期与单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若a =4)(=A f ，求b c +的最大值.19. （本题满分12分）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，已知平面⊥C C AA 11平面ABCD ，且3===CA BC AB ,1==CD AD .（Ⅰ）求证：1BD AA ⊥；（Ⅱ）若四边形11A ACC 是菱形,且601=∠AC A ， 求四棱柱1111D C B A ABCD -的体积. 20．（本题满分13分）数列{}n a 是公比为12的等比数列，且21a -是1a 与31a +的等比中项，前n 项和为n S ；数列{}n b 是等差数列，18b =，前n 项和n T 满足1n n T n b λ+=⋅（λ为常数，且1λ≠）.（Ⅰ）求等比数列{}n a 的通项公式及λ的值； （Ⅱ）比较1231111n T T T T ++++与12n S 的大小.1AC D BA1D 1B 1第19题21．（本题满分14分）在矩形ABCD 中，AB =，2AD =，E 、F 、G 、H 分别为矩形四条边的中点， 以HF ,GE 所在直线分别为x ,y 轴建立直角坐标系(如图所示). 若R 、R '分别在线段OF 、CF 上，且1OR CROFCFn'==. （Ⅰ）求证：直线ER 与GR '的交点P 在椭圆Ω：1322=+y x 上；（Ⅱ）若M 、N 为曲线Ω上两点，且直线GM与直线GN 的斜率之积为23，求证：直线MN 过定点.22.（本题满分14分）已知函数R a ax x ax x f ∈-+=()(23且0≠a ）.（Ⅰ）若函数()f x 在()1,-∞-和⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,31上是增函数，在⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,1上是减函数，求a 的值； （Ⅱ）讨论函数()3()ln f x g x x x a=-的单调递减区间； （Ⅲ）如果存在(],1a ∈-∞-，使函数[]()()'(),1,(1)h x f x f x x b b =+∈->-，在1x =-处取得最小值，试求b 的最大值.参考答案一、选择题：CDAAC DCCBA二、填空题：11.34； 12.1-； 13.10 14. 3400，25； 15.3； 16.（Ⅰ）123a a a ++；（Ⅱ）123n a a a a ++++ 17.23-<p18. 解：（Ⅰ）2()3sin 222cos 2cos 23f x m n x x x x ==++=++2sin(2)36x π=++………………………3分∴()f x 的最小正周期22T ππ==…………………… 4分 由222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈∴()f x 的单调递增区间为,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦……………………6分 （Ⅱ）由()4f A =得4362sin 2=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA ，2162sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA∵0A π<<∴613626πππ<+<A ∴6562ππ=+A ,3π=A ……………8分∴120B C +=︒法一：又sin sin sin a b cA B c==∴))60sin((sin 2)sin (sin 2B B C B c b +︒+=+=+32)30sin(32≤︒+=B∴当︒=60B 时，b c +最大为12分 法二：A bc c b a cos 2222-+=即22222)2(3)(3)(3c b c b bc c b bc c b +-+≥-+=-+= 32,12)(2≤+≤+c b c b 。
当且仅当c b =时等号成立。
……………12分19.解：（Ⅰ）在四边形ABCD 中，因为BA BC =，DA DC =，所以BD AC ⊥………2分又平面11AA C C ⊥平面ABCD ，且平面11AA C C平面ABCD AC =BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面11AA C C ………………4分又因为1AA ⊂平面11AA C C ，所以1BD AA ⊥．……6分 （Ⅱ）过点E 作AC E A ⊥1于点E ， ∵平面⊥C C AA 11平面ABCD ∴⊥E A 1平面ABCD ，即E A 1为四棱柱的一条高……8分又∵四边形11A ACC 是菱形,且 601=∠AC A ，∴四棱柱1111D C B A ABCD -的高为13602h A E ==︒=…………9分 又∵四棱柱1111D C B A ABCD -的底面面积113()222ABCD S AC BD ==+=…………………10分∴四棱柱1111D C B A ABCD -的体积为33332V ==…………………12分 20、解：（Ⅰ）由题意)1()1(3122+=-a a a ，即)141()211(1121+=-a a a 1ACDBA1D1B1C第19题图E。