上海市金山中学2020届高三上学期期中考试数学试题 含答案
2020-2021学年上海市金山中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年上海市金山中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．设a R ∈，则“1a >”是“21a >”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分叶非必要条件【答案】A【分析】首先根据21a >得到1a >或1a <-，从而得到答案. 【详解】由21a >，解得1a >或1a <-， 所以“1a >”是“21a >”的充分不必要条件. 故选：A【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判断，同时考查二次不等式的解法，属于简单题.2．若,a b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是 A ．222a b ab +> B ．2a b ab +≥C ．11a b ab+> D ．2b aa b+≥ 【答案】D 【解析】试题分析：，所以A 错；，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当时，B 错；同时C 错；或都是正数，根据基本不等式求最值，，故D 正确．【考点】不等式的性质3．设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2） B ．（﹣∞，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）【答案】B【解析】试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a 的取值范围为，故选B.【考点】集合的关系4．已知*N k ∈，,,R x y z +∈，若222()5()k xy yz zx x y z ++>++，则对此不等式描述正确的是（ ）A ．若5k =，则至少存在．．．．一个以,,x y z 为边长的等边三角形 B ．若6k =，则对任意满足不等式的,,x y z 都存在．．．以,,x y z 为边长的三角形 C ．若7k =，则对任意满足不等式的,,x y z 都存在．．．以,,x y z 为边长的三角形 D ．若8k，则对满足不等式的,,x y z 不存在．．．以,,x y z 为边长的直角三角形 【答案】B 【解析】本题可用排除法，由222222222222x y y z z x x y z xy yz zx +++++=++≥++，对于A ，若5k =，可得222xy yz zx x y z ++>++，故不存在这样的,,,x y z A 错误，排除A ；对于,1,1,2C x y z ===时，()()22275xy yz zx x y z++>++成立，而以,,x y z 为边的三角形不存在，C 错误，排除C ；对于,D 1,1,2x y z ===()()22285xy yz zx x y z ++>++成立，存在以,,x y z 为边的三角形为直角三角形，故D 错误，排除,D 故选B.【 方法点睛】本题主要考查不等式的性质、排除法解选择题，属于难题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n 项和公式问题等等.二、填空题5．不等式|x ﹣1|＜2的解集为 ．【答案】（﹣1，3）．【解析】试题分析：由不等式|x ﹣1|＜2，可得﹣2＜x ﹣1＜2，解得﹣1＜x ＜3． 解：由不等式|x ﹣1|＜2可得﹣2＜x ﹣1＜2， ∴﹣1＜x ＜3，故不等式|x ﹣1|＜2的解集为（﹣1，3）， 故答案为（﹣1，3）．【考点】绝对值不等式的解法．6．集合{}|14,A x x x N =-≤<∈可用列举法表示为__________. 【答案】{0,1,2,3}【分析】根据集合的表示确定集合中的元素后用列举法写出． 【详解】由题意{0,1,2,3}A =． 故答案为：{0,1,2,3}．7．设{}{}(,)|25,(,)|12A x y x y B x y x y ==-=-=，则A B =_____.【答案】{(1,3)}-【分析】列出方程组2512x y x y =-⎧⎨-=⎩，解之可得交集中的元素．【详解】由题意得2512x y x y =-⎧⎨-=⎩，解得13x y =-⎧⎨=⎩，∴{(1,3)}AB =-．8．方程136x +=的解为x =_____. 【答案】log 32【分析】把指数式改写为对数式可得． 【详解】∵163x +=，∴32x =，3log 2x =． 故答案为：3log 2．9．“0a =”是“关于x 的方程ax b =无解”的_________条件. 【答案】必要不充分【分析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判定，即可得出结果. 【详解】若0a =，0b =时，关于x 的方程ax b =有无数个解； 因此由“0a =”不能推出“关于x 的方程ax b =无解”；若关于x 的方程ax b =无解，则0a =；因此“0a =”是“关于x 的方程ax b =无解”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分.【点睛】结论点睛：充分与必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含． 10．满足{}1234,,,A a a a a ∅⊂⊆的集合A 有__________个. 【答案】15【分析】由题意可知集合A 是集合{}1234,,,a a a a 的非空子集，从而可求得集合A 的个数【详解】解：因为{}1234,,,A a a a a ∅⊂⊆， 所以集合A 是集合{}1234,,,a a a a 的非空子集， 所以集合A 的个数为42115-=， 故答案为：1511．已知3log 2a =，则2log 96=_____.（用a 的代数式表示） 【答案】15a+【分析】利用换底公式化简求解即可 【详解】解：因为3log 2a =， 所以33332333log 96log 32log 35log 21511log 965log 2log 2log 2a a a+++=====+，故答案为：15a+12．已知lg lg 1a b +=，则2a b +的最小值为_________.【答案】【分析】由对数的运算可得10ab =，然后由基本不等式得出结论． 【详解】∵lg lg lg()1a b ab +==，∴10ab =，0,0a b >>，∴2a b +≥=，当且仅当2a b =，即a b ==时等号成立．故答案为：13．已知120,,a x x >为方程220x x a ++=的两个实数根，则1211+x x 的取值范围为______.【答案】(],2-∞-【分析】由判别式不小于0得出a 的范围，由韦达定理得出1212,x x x x +，把1211+x x 转化为a 的函数后可得结论主．【详解】由题意440a ∆=-≥，1a ≤，又0a >， ∴01a <≤．11a≥， 122x x +=-，12x x a =，∴1212121122x x x x x x a+-+==≤-． 故答案为：(,2]-∞-．14．已知集合{}{}22|320,|0A x x x B x x ax a =-+==-+=，且A B A ⋃=，则实属a 的所有取值组成的集合为___________. 【答案】(]0,4【分析】首先求得集合A 中的元素，由A B A ⋃=得B A ⊆，再根据子集的概念求参数a ，注意B =∅是允许的．【详解】由题意{1,2}A =，∵A B A ⋃=，∴B A ⊆， 若240a a ∆=-<，即04a <<，则B =∅满足题意，若0∆=，则0a =或4a =，0a =时，{0}B =不合题意，4a =时，{2}B =满足题意，若240a a ∆=->又由1212a a +=⎧⎨⨯=⎩知无解，综上a 的取值范围是(0,4]． 故答案为：(0,4]．15．设集合12M x y x -⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭，()()()11112,121N y y x m x x m ⎧⎫⎛⎫==+-+--≤≤⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是_________. 【答案】()1,0-【分析】求出集合M 、N ，利用集合的包含关系可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.【详解】()120,M x y x x y -⎧⎫⎧⎫⎪⎪=====+∞⎨⎬⎨⎪⎪⎩⎩⎭，对于函数()()()111121y x m x m ⎛⎫=+-+--⎪-⎝⎭，当1x =时，1y m =-；当2x =时，1111my m m =+=--. 所以，min 1,,max 1,11m m N m m m m ⎡⎤⎧⎫⎧⎫=--⎨⎬⎨⎬⎢⎥--⎩⎭⎩⎭⎣⎦， 由于N M ⊆，所以，1001m m m ⎧->⎪⎨>⎪-⎩，解得10m -<<.因此，实数m 的取值范围是()1,0-. 故答案为：()1,0-.【点睛】在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式（或方程）时，要对参数进行讨论． 16．若对于两个实数集合,,X Y 集合的运算X Y ⊕定义为：{}|,X Y x y x X y Y ⊕=+∈∈，集合的运算X Y ⊗的定义为：{}|,X Y x y x X y Y ⊗=⋅∈∈.已知实数集合{}|,X x x a a Q b Q ==+∈∈，{}|,Y x x a a Q b Q ==+∈∈，试写出一个实数m ，使得m X Y ∈⊗但m X Y ∉⊕，则m =_______【答案】(11+【分析】由题意，找准集合中的元素，根据题干对集合的定义对,a b 赋值即可得到一个答案．【详解】集合{},X a a b Q =∈，{},Y a b Q =+∈， 由{},X Y x y x X y Y ⊗=⋅∈∈，{},X Y x y x X y Y ⊕=+∈∈可知若要使m X Y ∈⊗，m X Y ∉⊕则()()m a a =+⋅，且()()m a a ≠+++，不妨取1a =，1b =，故答案为：(11+.【点睛】思路点睛：在处理集合新定义问题时，一般结合题中所给的新定义，直接求解即可，多数情况下，涉及集合的基本运算，这就要求学生对集合理解的要比较透彻，能灵活运用集合的基本运算，以及元素与集合之间的关系，即可求解.三、解答题17．现有,,,A B C D 四个长方形容器，,A B 的底面积都是2a ，高分别是,a b ；,C D 的底面积都是2b ，高分别是,()a b a b ≠，现规定一种游戏规则：每人每一次从容器中取两个，盛水多者为胜，问先取者有没有必胜的方案？若有的话有哪几种？并证明你的结论；若没有的话，说明理由.【答案】先取,A D 容器必胜.理由见解析.【分析】计算出容器,,,A B C D 的容积,,,A B C D V V V V ，然后作差：()()A B C D V V V V +-+，()()A C B D V V V V +-+，()()A D B C V V V V +-+，观察哪个恒大于0即可得．【详解】先取,A D 容器必胜.证明：依次记容器,,,A B C D 的容积为,,,A B C D V V V V则3223,,,A B C D V a V a b V ab V b ====作差即可2()()()()A B C D V V V V a b a b +-+=-+，22()()()()A C B D V V V V a b a b +-+=-+， 2()()()()A D B C V V V V a b a b +-+=+-，只有2()()()()A D B C V V V V a b a b +-+=+-必大于0，即A D C D V V V V +>+．所以，先取,A D 容器必胜．18．已知集合603x A x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，集合{}216B x x =≤，{}30C x x m =+<.（1）求AB ，A B ；（2）若x C ∈是x A ∈的必要条件，求m 的取值范围.【答案】（1）{}43A B x x ⋂=-≤<，{6A B x x ⋃=<-或}4x >；（2）(],9-∞-. 【分析】（1）解出集合A 、B ，利用交集的定义可求得集合A B ，利用并集和补集的定义可求得集合AB ；（2）由题意可得出A C ⊆，得出关于实数m 的不等式，进而可求得实数m 的取值范围. 【详解】（1）解不等式603x x +≥-，即603x x +≤-，解得63x -≤<，则{}63A x x =-≤<， {}{}21644B x x x x =≤=-≤≤，{}43A B x x ∴⋂=-≤<. {}64A B x x ⋃=-≤≤，因此，{6A B x x ⋃=<-或}4x >，（2）{}303m C x x m x x ⎧⎫=+<=<-⎨⎬⎩⎭，由于x C ∈是x A ∈的必要条件，则A C ⊆，33m∴-≥，解得9m ≤-. 因此，实数m 的取值范围是(],9-∞-.19．经观测，某公路段在某时段内的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度v （千米/小时）之间有函数关系：()2920031600=>++vy v v v .（1）为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？（2）在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时车流量y 最大？最大车流量为多少？（精确到0.01）【答案】（1）应控制在[]25,64这个范围内；（2）40v =千米/小时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时.【分析】（1）依题意列出不等式，解不等式即可； （2）函数式变形后用基本不等式求最大值. 【详解】（1）据题意有：29201031600vv v ≥++，化简得28916000v v -+≤，即()()25640v v --≤， 所以汽车的平均速度应控制在2564v ≤≤这个范围内.（2）29209201600316003v y v v v v ==++++92011.0883≤=≈， 当1600v v=，即40v =千米/小时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时. 答:（1）为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在[]25,64这个范围内；（2）在该时段内，当汽车的平均速度v 为40千米/小时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时.【点睛】此题为已知函数关系的应用题，考查如何用函数关系获得所要的数据，属于基础题.20．记代数式()2log 214a M x a x a =-+-+-，()()132412N x x =--++. （1）当2a =时，求使代数式M 有意义的实数x 的集合； （2）对任意x ∈R ，代数式M 有意义，求实数a 的取值范围； （3）若代数式M N +有意义，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）311,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()3,+∞；（3）)()1,11,+∞.【分析】（1）分3x ≤、34x <<、4x ≥三种情况解不等式4340x x -+-->，由此可得出结果；（2）由绝对值三角不等式可得出关于实数a 的不等式，进而可解得实数a 的取值范围； （3）解出使得N 有意义时x 的取值范围是[]2,1--，由题意可知，存在[]2,1x ∈--，使得2214x a x a -+-+>成立，通过去绝对值得出2210a a +->，再由0a >且1a ≠可解得实数a 的取值范围.【详解】（1）当2a =时，()2log 434M x x =-+--，则4340x x -+-->. ①当3x ≤时，434434320x x x x x -+--=-+--=->，解得32x <，此时32x <； ②当34x <<时，43443430x x x x -+--=-+--=-<，原不等式无解； ③当4x ≥时，4344342110x x x x x -+--=-+--=->，解得112x >，此时112x >. 综上所述，当2a =时，使代数式M 有意义的实数x 的集合为311,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）由题意可知，对任意的x ∈R ，22140x a x a -+-+->， 则()()22222214214214214230x a x a aa a a a a a a ---+-=-+--=-+-=-+-=-->，0a >且1a ≠，解得3a >，因此，实数a 的取值范围是()3,+∞；（3）()()132412N x x =--++=，则1020x x --≥⎧⎨+≥⎩，解得21x -≤≤-，由题意可知，存在[]2,1x ∈--，使得2214x a x a -+-+>成立，0a >且1a ≠，则2211a a >->-，所以22221212124x a x a a x a x a a x -+-+=-+--=+-->， 所以，22214x a a -++->在[]2,1x ∈--时有解，2210a a ∴+->，0a >且1a ≠，解得1a >-且1a ≠，因此，实数a 的取值范围是)()1,11,+∞.【点睛】形如x a x b c -+-≥（或c ≤）型的不等式主要有三种解法：（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(],a -∞、(),a b 、[),b +∞（此处设a b <）三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；（2）几何法：利用()0x a x b c c -+->>的几何意义：数轴上到点1x a =和2x b =的距离之和大于c 的全体，()()x a x b x a x b a b -+-≥---=-； （3）图象法：作出函数1y x a x b =-+-和2y c =的图象，结合图象求解． 21．已知实数,,a b c 满足a b c >>；（1）求证：1110a b b c c a++>---； （2）将上述不等式加以推广，把1c a-的分子1改为另一个大于1的自然数p ，使得110p a b b c c a++>---对任意的,,a b c 恒成立，请加以证明； （3）从另一角度推广，自然数,,m n p 满足什么条件时，不等式0m n p a b b c c a ++>---对任意,,a b c 恒成立，请加以证明.【答案】（1）证明见解析；（2）2或3，证明见解析；（3<析.【分析】（1）不等式变形为证明[]11()()1a b b c a b b c ⎛⎫+-+->⎪--⎝⎭，由基本不等式易证；（2）不等式变形为[]11()()p a b b c a b b c ⎛⎫<+-+- ⎪--⎝⎭，由（1）可得[]11()()a b b c a b b c ⎛⎫+-+- ⎪--⎝⎭最小值．即得p 的范围． （3）类似（1）得[]()()m n p a b b c a b b c ⎛⎫<+-+- ⎪--⎝⎭，由基本不等式求得[]()()m n a b b c a b b c ⎛⎫+-+- ⎪--⎝⎭的最小值，从而可得结论． 【详解】（1）因为a b c >>， 要证1110a b b c c a++>---，即证1111()()a b b c a c a b b c +>=----+-， 只要证[]11()()1a b b c a b b c ⎛⎫+-+->⎪--⎝⎭，而[]11()()224a b b c a b b c a b b c b c a b --⎛⎫+-+-=++≥+= ⎪----⎝⎭，当且仅当a b b c b c a b --=--．即a b b c -=-或2a c b +=时等号成立， 所以原不等式成立；（2）由（1）[]11()()p a b b c a b b c ⎛⎫<+-+- ⎪--⎝⎭恒成立，由（1）[]11()()a b b c a b b c ⎛⎫+-+- ⎪--⎝⎭最小值为4，所以4p <，14p <<，所以p =2或3； （3）类似（1）不等式0m n p a b b c c a++>---恒成立，即[]()()m n p a b b c a b b c ⎛⎫<+-+- ⎪--⎝⎭，而[]()()()()m n m b c n a b a b b c m n m n a b b c a b b c --⎛⎫+-+-=+++≥++ ⎪----⎝⎭，当且仅当()()m b c n a b a b b c--=--))b c a b -=-时等号成立，所以p m n <++所以当自然数,,m n p <0m n p a b b c c a ++>---对任意,,a b c 恒成立．【点睛】方法点睛：本题考查不等式恒成立问题，考查用基本不等式求和最小值．解题关键是凑出积的定值，三个小题层层递进，推理方法类似，是类比推理的简单体现．。
上海2020-2021学年上海中学高三上学期期中仿真密卷(数学学科)答题卷
上海2020-2021学年上海中学高二上学期期中仿真密卷数
学学科
答题
一、填空题： (本大题满分48分， 本大题共有12题）
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12.
二、选择题： (本大题满分20分，本大题共有4题）
13. [A] [B] [C] [D] 14. [A] [B] [C] [D] 15. [A] [B] [C] [D]
16. [A] [B] [C] [D]
三、解答题：（本大题满分72分）解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内，写出必要的步骤．
17．（本题满分14分）
18. （本题满分14分）
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号用碳素笔填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号及姓名，在规定的位置贴好条形码。
2.选择题使用2B 铅笔填涂，其他试题用黑色碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚，按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
3.保持卡面清洁，不折叠、不要弄破，选择题修改时，用橡皮擦干净；其他试题修改不得使用涂改液和不干胶条。
注意事
贴条形码区
选择题
填涂样例
正确填涂
A
B
C
P
D
19．（本题满分14分）
20．（本题满分14分）
21．（本题满分16分）。
上海市金山中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案
金山中学2020学年度第一学期高一年级数学学科期中考试卷一．填空题（本大题共有12小题，满分54分）.1不等式21<-x 的解集为_______..2集合{}N x x x A ∈<≤-=,41可用列举法表示为__________..3设{}{}y x y x B y x y x A =-=-==21),(,52),(，则_____=B A ..4方程631=+x 的解为_____=x ..5“0=a ”是“关于x 的方程b ax =无解”的_________条件..6满足{}4321,,,a a a a A ⊆⊂φ的集合A 有__________个..7已知a =2log 3，则______96log 2=.（用a 的代数式表示）.8已知1lg lg =+b a ，则b a +2的最小值为_________..9已知21,,0x x a >为方程022=++a x x 的两个实数根，则2111x x +的取值范围为______. .10已知集合{}{}9,02322=+-==+-=a ax x x B x x x A ，且A B A = ，则实属a 的所有取值组成的集合为___________..11设集合集合,21⎭⎬⎫⎩⎨⎧==-x y x M ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤--+-+-==21),2)(1()1)(111(x x m x m y y N ，若M N ⊆,则实数m 的取值范围是_________..12若对于两个实数集合,,Y X 集合的运算Y X ⊕定义为：{}Y y X x y x Y X ∈∈+=⊕,， 集合的运算Y X ⊗的定义为：{}Y y X x y x Y X ∈∈⋅=⊗,.已知实数集合 {}{}Q b Q a b a x x Y Q b Q a b a x x X ∈∈+==∈∈+==,,3,,,2，试写出一个实数m ，使得Y X m ⊗∈但Y X m ⊕∈,则_____=m二．选择题（本大题共有4题，满分20分）.13设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）.A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件 .14若R b a ∈,，且0>ab 。
上海市金山区2024-2025学年高三上学期12月质量监控(一模)数学试卷(含答案)
2024学年金山区第一学期质量监控高三数学试卷（满分：150分，完卷时间：120分钟）（答题请写在答题纸上）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知全集，集合，则_________．2．已知向量，，若，则实数___________．3．已知函数的表达式为则的值为_________．4．已知复数，其中为虚数单位，则的值为_________．5．的二项展开式中，项的系数为_________．6．以为圆心且过点的圆的标准方程是______________________．7，半径为的扇形，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为_________．8．已知是等差数列的前项和，若，则的值为_________．9．在内，使成立的的取值范围是__________．10．某海滨浴场平面图是如图所示的半圆，其中是圆心，直径为400米，是弧的中点．一个急救中心在栈桥中点上，计划在弧上设置一个瞭望台，并在间修建浮桥．已知越大，瞭望台处的视线范围越大，则处的视线范围最大时，的长度为米．（结果精确到1米）11．抛掷一枚质地均匀的硬币n 次（其中n 为大于等于2的整数），设事件：n 次中既有正面朝上又有反面朝上，事件：n 次中至多有一次正面朝上，若事件A 与事件B 是独立的，则n{}1,0,1,2U =-{}11,A x x x =-≤≤∈N A =(1,2)a = (3,)b k =//a b k =()y f x =22,log ,2,2,()x x f x x x ⎧=≤>⎨⎩(4)f 2i z =+i |i |z 6(31)x -2x (3,4)C 13-（，）2n S {}n a n 1112320a a +=13S (0,2)πsin cos x x >x O MN P MNA OP NPB AB ABO ∠B B AB A B 第10题图的值为_________．12．已知为坐标原点，向量、满足，将绕点按逆时针方向旋转，得到向量．若，，则的最大值为_________．二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．函数是（）．（A ）最小正周期为的奇函数（B ）最小正周期为的偶函数（C ）最小正周期为的奇函数（D ）最小正周期为的偶函数14．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）．（A ） （B ） （C ）（D ）15．古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示．用过点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为4，为母线的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（ ）．（A ）（B ）（C ）（D ）16．已知三棱锥的侧棱长相等，且侧棱两两垂直．设为该三棱锥表面（含棱）上异于顶点、、、的点，记．若集合中有且只有2个元素，则符合条件的点有（）个．（A ）3 （B ）6 （C ）7 （D ）10三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知常数，函数的表达式为．EF AB ⊥O OA OB ||8OA OB +=OA O 90︒OC (3,3)OB OC +=- (1,0)i = ()OA OB i +⋅212sin y x =-πππ2π2x a >2230x x --<a (),1-∞-(1,)-+∞(,1]-∞-[)1,-+∞M 2PO =M PB 564534351234A A A A -P 1A 2A 3A 4A {}|,1,2,3,4i D d d PA i ===D P 1a >()y f x =()log (2)log (2)a a f x x x =+--第15题图（1）证明：函数是奇函数；（2）若函数在区间的最大值为，求实数的值．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面，是的中点，，．（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离．19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分,第3小题满分6分．某高中举行了一次知识竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计．将成绩进行整理后，依次分为五组（，，，，），其中第1组的频率为第2组和第4组频率的等比中项．请根据下面的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：（1）求、的值；（2）从样本数据在，两个小组内的学生中，用分层抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率；（3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，方差，若剔除其中的95和81两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知椭圆，抛物线与有一个相同的焦点．过点作互相垂直的两条直线与，直线与交于点、，直线与交于点、．PB [90,100]()y f x =()y f x =[0,1]2a P ABCD -ABCD 90BAD CDA ∠=∠=︒PA ⊥ABCD Q 1PA AD DC ===2AB =//CQ PAD D PAC [50,60)[60,70)[70,80)[80,90)a b [50,60)[70,80)12310,,,,x x x x 88x =225s =22114:3x y +=Γ22:2(0)y px p Γ=>1ΓF F l l ¢l 1ΓA B l ¢2ΓC D 第18题图第19题图（1）求椭圆的离心率及抛物线的方程；（2）若直线的倾斜角为，求中点的坐标；（3）四边形的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．对于函数图像上不同的三点、、（其中），记点处的切线为，若，则称为函数在区间上的“点”．特别地，当，则称为函数在区间上的“和谐点”．（1）设，是函数在区间上的“点”，若，求实数的值；（2）设，若函数在区间上恰有3个“点”，求所有满足条件的实数的值组成的集合；（3）设()，试探究函数的定义域内是否存在一个包含“和谐点”的区间，若存在，求出该区间；若不存在，请说明理由．2()f x x =1Γ2Γl 3π4AB M ACBD ()y f x =11(,)A x y 22(,)B x y 00(,)M x y 012(,)x x x ∈M l //l AB M ()y f x =12(,)x x T 1202x x x +=M ()y f x =12(,)x x T 00(,)M x y ()y f x =(0,)n T 0()1f x '=n ()sin 2cos 1f x a x x x =++-()y f x =(0,2π)T a 2()ln f x x bx =+b ∈R ()y f x =T 12(,)x x 12(,)x x答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．{-1，2}2．63．24．5．1356．7．45°8．529．10．17311．312．二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16题每题5分）13．14．15．16．三、解答题（本大题满分78分）17． （1）证明：由，解得，...........................3分所以的，任取，则，因为，所以是奇函数．..............................6分（2）法一：当，在上严格增，所以在上严格增， ..............................8分因此，， ..............................10分即，，所以.............................14分法二：，5()()534322=-+-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ454，24B C D D⎩⎨⎧>->+0202x x 22x -<<()y f x =()2,2D =-x D ∈x D -∈()()log (2)log (2)a a f x x x f x -=-+-+=-()y f x =1a >log (2),log (2)a a y x y x =+=--[]0,1()y f x =[]0,1()max ()12f x f ==log 32a =32=a 3=a 2()log (2)log (2)log 2a a a x f x x x x +⎛⎫=+--=⎪-⎝⎭1a >因为，令，又所以在上严格增， ...........................8分因而， ...........................10分所以，............................14分18． 解：（1）取的中点，连接，因为，所以，因为分别是中点，得出，所以四边形是平行四边形， ...........................3分所以平面，不在平面内，所以平面．...........................6分（2）法一：过点D 作DE 垂直与AC ，因为平面，平面，所以，又，平面，平面，，所以平面，即线段DE 为点D 到平面的距离，...........................10分在直角三角形ADC 中，AD =1，AC =1，DE，所以点到平面．...........................14分法二：因为平面，又PA 为三棱锥P -ADC 底面ADC 上的高，所以V P-ADC =， ...........................10分设点D 到平面的距离为的d ，V D-PAC =，因为V P-ADC =V D-PAC，所以，，[0,1]x∈()[]242411,3222x x t x x x--++===-+∈---1a >log a y t =[]1,3max ()log 32a f x ==32=a 3=a PA T TQ ,DT 90BAD CDA ∠=∠=︒//AB DC ,T Q ,PA PB 1//,12TQ AB TQ AB DC ===DCQT //,DT CQ DT ⊂PAD CQ PAD //CQ PAD PA ⊥ABCD DE ⊂ABCD DE PA ⊥DE AC ⊥AC ⊂PAC PA ⊂PAC AC PA A = DE ⊥PAC PAC D PAC PA ⊥ABCD 111113326ADC S PA ⋅⋅=⨯⨯= PAC 1133APC S d d ⋅⋅== 16=d =所以点到平面． .............................14分19． 解：（1）由，解得， ...........................2分又，解得， .............................4分所以，.（2）按分层抽样法，两层应分别抽取2人和5人，...........................6分事件A :“抽到的两位同学来自不同小组”，所以．..........................8分（3）因为，，所以，所以，...........................10分剔除其中的95和81两个数，设剩余8个数为，，，…，，平均数与标准差分别为，，则剩余8个数的平均数：， ...............12分方差：. .....................14分20． 解：（1），，所以离心率为； ...........................2分因为右焦点，所以抛物线. ...........................4分D PAC ()20.160.0810a =0.032a =()0.0080.0160.0320.04101b ++++⨯=0.004b =0.032a =0.004b =()1125271021C C P A C ==88x =12101088880x x x +++=⨯= ()()()()22221210110s x x x x x x=-+-++- ()()222121012210211010xx x x x x x x++-=+++++ ()222221102110100x x x x x =++++- ()22221210110x x x x =++-+ ()222221210188510x x x =+++-= 222121077690x x x +++= 1x 2x 3x 8x 0x 0s 1238088095818888x x x x x ++++--=== ()()()()2222010208018s x x x x x x =-+-++- ()22221281888x x x =+++- ()222177690958188198=---=1c ==2a =1e 2c a ==10F （，）22:4y x Γ=（2）因为直线的倾斜角为，所以直线的方程为：， .................6分联立得，，消去得，...........................8分设，因为，，所以． ...........................10分（3）因为，与只有1个交点，所以不合题意；若，则，，，； .............11分若设，联立得，，消去得，，，，， ...........................13分，，，...........................15分，令，l 3π4l 1+-=x y 221431y y x x ⎧⎪⎨+=⎪-+⎩=y 27880x x --=()()1122,,,A x y B x y ()00,,M x y 120427x x x +==120327y y y +==43,77M ⎛⎫ ⎪⎝⎭:1l x =:0l y '=22:4y x Γ=:0l y =:1l x '=4AB =4CD =182S AB CD ==:1,(0)l x my m =+≠221,(0)143x my m x y =+≠⎧⎪⎨+=⎪⎩x 22(34)690m y my ++-=2223636(34)144(1)m m m ∆=++=+122634m y y m -+=+122934y y m -=+22212(1)34m AB y m +=-==+2(1):4y m x l y x=--⎧'⎨=⎩2222(24)0m x m x m -++=2224C D m x x m ++=224(1)C D m CD x x p m +=++=2222124(1)2(34)m S AB CD m m+==+211t m =+>， ...........................17分综上，四边形的面积最小值为．...........................18分20． 解：（1）由题意：，..........................2分解得：．...............................4分（2）法一：因为，，， 所以， 设，， ....................5分，化简得：在 上有且只有3个解， ....6分令，，则，，①当时，，得（舍），②当时，设关于的方程，有两个不同的根、，由韦达定理，得,,,不妨设，若，则，在内有两解，无解；若，则，，满足题意，此时； .................8分若，则，在内有两解，则在内有且只有1解，故，此时，2222242424821(31)(1)3213()t t S t t t t t t ===>+----+ACBD 8200()10n f x n -'==-1n =()sin 2cos 1f x a x x x =++-(0,0)A (2π,2π)B ()2cos 2sin 1f x a x x '=-+00(,)M x y 0(0,2π)x ∈2000012cos 2sin 12(12sin )sin 1AB k a x x a x x ==-+=--+2004sin sin 20a x x a +-=0(0,2π)x ∈0sin t x =0(0,2π)x ∈2420at t a +-=[1,1]t ∈-0a =0t =0πx =0a ≠t 2420at t a +-=[1,1]t ∈-1t 2t 21320a ∆=+>1214t t a -+=1212t t -=120t t <<21t >1211(,0)22t t =-∈-10sin t x =0(0,2π)x ∈20sin t x =21t =112t =-0π7π11π,,266x =12a =-201t <<1211(,)22t t =-∈-∞-20sin t x =0(0,2π)x ∈10sin t x =0(0,2π)x ∈11t =-12a =综上，的值组成的集合为. ...........................10分法二：（2），，，直线斜率，由题意方程在区间上有3个不同的解，①在区间上有3个不同的解， ........................6分当时，方程*只有一个解，不满足题意，当时，设，则②（）函数的图像如右图，当时，方程②有1个根，方程①有2个根；当时，方程②有2个根，，方程①有3个根； ...........................8分当时，方程②有2个根，，方程①有4个根；当时，方程②有2个根，，方程①有3个根； ....................10分当时，方程②有1个根，方程①有2个根；综上，的值组成的集合为.（3）不存在，， ...........................11分假设存在，，，符合题意，则，化简得，， .......................13分a 11,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭()0,0A ()2π,2πB ()2cos 2sin 1f x a x x '=-+AB 1k =()1f x '=()0,2π()2212sin sin 0a x x --=()0,2π0a =πx =0a ≠sin t x =1122t a t=-[)(]1,00,1t ∈- [)(]()121,00,1y x x x=-∈- 112a >1102t <<112a =11t =-212t =1112a -<<1112t -<<-2112t <<112a =-11t =212t =-112a <-102t -<<a 11,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭2()ln f x x bx =+1()2f x bx x'=+11(,)A x y 22(,)B x y 1212,(22x x x x M f ++⎛⎫ ⎪⎝⎭12(0)x x <<2221212112212112ln ln ()2()ABy y x x b x x k b x x x x x x x x --+-===++--+212112ln ln 2x x x x x x -=-+22211211212(1)2()ln 1x x x x x x x x x x --==++令，，令，， ...........................16分因为在上严格增，又，所以，所以方程在上无解，即函数在区间上不存在“和谐点”．...........................18分211x t x =>2(1)2(1)44ln 2111t t t t t t -+-===-+++4()ln 2,(1)1g t t t t =+->+2222214(1)4(1)()0(1)(1)(1)t t t g t t t t t t t +--'=-==>+++()g t (1,)+∞(1)0g =()(1)0g t g >=4ln 21t t =-+(1,)+∞12(,)x x T。
上海市金山中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题(教师版)
金山中学2020学年度第一学期高一年级数学学科期中考试卷一．填空题（本大题共有12小题，满分54分）1. 不等式|x ﹣1|＜2的解集为 ．【答案】（﹣1，3）．【解析】试题分析：由不等式|x ﹣1|＜2，可得﹣2＜x ﹣1＜2，解得﹣1＜x ＜3．解：由不等式|x ﹣1|＜2可得﹣2＜x ﹣1＜2，∴﹣1＜x ＜3，故不等式|x ﹣1|＜2的解集为（﹣1，3），故答案为（﹣1，3）．考点：绝对值不等式的解法．2. 集合{}|14,A x x x N =-≤<∈可用列举法表示为__________.【答案】{0,1,2,3}【解析】【分析】根据集合的表示确定集合中的元素后用列举法写出．【详解】由题意{0,1,2,3}A =．故答案为：{0,1,2,3}．3. 设{}{}(,)|25,(,)|12A x y x y B x y x y ==-=-=，则A B =_____. 【答案】{(1,3)}-【解析】【分析】列出方程组2512x y x y=-⎧⎨-=⎩，解之可得交集中的元素． 【详解】由题意得2512x y x y =-⎧⎨-=⎩，解得13x y =-⎧⎨=⎩， ∴{(1,3)}A B =-．4. 方程136x +=的解为x =_____.【答案】log 32【解析】【分析】把指数式改写为对数式可得．【详解】∵163x +=，∴32x =，3log 2x =．故答案为：3log 2．5. “0a =”是“关于x 的方程ax b =无解”的_________条件.【答案】必要不充分【解析】【分析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判定，即可得出结果.【详解】若0a =，0b =时，关于x 的方程ax b =有无数个解；因此由“0a =”不能推出“关于x 的方程ax b =无解”；若关于x 的方程ax b =无解，则0a =；因此“0a =”是“关于x 的方程ax b =无解”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分.【点睛】结论点睛：充分与必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．6. 满足{}1234,,,A a a a a ∅⊂⊆的集合A 有__________个.【答案】15【解析】【分析】由题意可知集合A 是集合{}1234,,,a a a a 的非空子集，从而可求得集合A 的个数【详解】解：因为{}1234,,,A a a a a ∅⊂⊆，所以集合A 是集合{}1234,,,a a a a 的非空子集，所以集合A 的个数为42115-=，故答案为：157. 已知3log 2a =，则2log 96=_____.（用a 的代数式表示） 【答案】15a +【解析】【分析】利用换底公式化简求解即可【详解】解：因为3log 2a =， 所以33332333log 96log 32log 35log 21511log 965log 2log 2log 2a a a +++=====+， 故答案为：15a+ 8. 已知lg lg 1a b +=，则2a b +的最小值为_________.【答案】【解析】【分析】由对数的运算可得10ab =，然后由基本不等式得出结论．【详解】∵lg lg lg()1a b ab +==，∴10ab =，0,0a b >>，∴2a b +≥=，当且仅当2a b =，即a b ==时等号成立．故答案为：9. 已知120,,a x x >为方程220x x a ++=的两个实数根，则1211+x x 的取值范围为______. 【答案】(],2-∞-【解析】【分析】由判别式不小于0得出a 的范围，由韦达定理得出1212,x x x x +，把1211+x x 转化为a 的函数后可得结论主． 【详解】由题意440a ∆=-≥，1a ≤，又0a >，∴01a <≤．11a≥， 122x x +=-，12x x a =， ∴1212121122x x x x x x a+-+==≤-． 故答案为：(,2]-∞-．10. 已知集合{}{}22|320,|0A x x x B x x ax a =-+==-+=，且A B A ⋃=，则实属a 的所有取值组成的集合为___________.【答案】(]0,4【解析】【分析】首先求得集合A 中的元素，由A B A ⋃=得B A ⊆，再根据子集的概念求参数a ，注意B =∅是允许的．【详解】由题意{1,2}A =，∵A B A ⋃=，∴B A ⊆，若240a a ∆=-<，即04a <<，则B =∅满足题意，若0∆=，则0a =或4a =，0a =时，{0}B =不合题意，4a =时，{2}B =满足题意， 若240a a ∆=->又由1212a a +=⎧⎨⨯=⎩知无解， 综上a 的取值范围是(0,4]．故答案为：(0,4]．11. 设集合12M x y x -⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭，()()()11112,121N y y x m x x m ⎧⎫⎛⎫==+-+--≤≤⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是_________.【答案】()1,0-【解析】【分析】求出集合M 、N ，利用集合的包含关系可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.【详解】()120,M x y x x y -⎧⎫⎧⎫⎪⎪=====+∞⎨⎬⎨⎪⎪⎩⎩⎭，对于函数()()()111121y x m x m ⎛⎫=+-+-- ⎪-⎝⎭， 当1x =时，1y m =-；当2x =时，1111m y m m =+=--. 所以，min 1,,max 1,11m m N m m m m ⎡⎤⎧⎫⎧⎫=--⎨⎬⎨⎬⎢⎥--⎩⎭⎩⎭⎣⎦， 由于N M ⊆，所以，1001m m m ⎧->⎪⎨>⎪-⎩，解得10m -<<.因此，实数m 的取值范围是()1,0-.故答案为：()1,0-.【点睛】在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式（或方程）时，要对参数进行讨论．12. 若对于两个实数集合,,X Y 集合的运算X Y ⊕定义为：{}|,X Y x y x X y Y ⊕=+∈∈，集合的运算X Y ⊗的定义为：{}|,X Y x y x X y Y ⊗=⋅∈∈.已知实数集合{}|,X x x a a Q b Q ==+∈∈，{}|,Y x x a a Q b Q ==+∈∈，试写出一个实数m ，使得m X Y ∈⊗但m X Y ∉⊕，则m =_______【答案】(11+【解析】【分析】由题意，找准集合中的元素，根据题干对集合的定义对,a b 赋值即可得到一个答案．【详解】集合{},X a a b Q =∈，{},Y a b Q =+∈， 由{},X Y x y x X y Y ⊗=⋅∈∈，{},X Y x y x X y Y ⊕=+∈∈可知若要使m X Y ∈⊗，m X Y ∉⊕则()()m a a =+⋅，且()()m a a ≠+，不妨取1a =，1b =，故答案为：(11+.【点睛】思路点睛： 在处理集合新定义问题时，一般结合题中所给的新定义，直接求解即可，多数情况下，涉及集合的基本运算，这就要求学生对集合理解的要比较透彻，能灵活运用集合的基本运算，以及元素与集合之间的关系，即可求解.二．选择题（本大题共有4题，满分20分）13. 设a R ∈，则“1a >”是“21a >”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分叶非必要条件 【答案】A【解析】【分析】首先根据21a >得到1a >或1a <-，从而得到答案. 【详解】由21a >，解得1a >或1a <-， 所以“1a >”是“21a >”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判断，同时考查二次不等式的解法，属于简单题.14. 若,a b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是A. 222a b ab +>B. 2a b ab +≥C. 11a b ab +>D. 2b a a b+≥ 【答案】D【解析】试题分析：，所以A 错；，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当时，B 错；同时C 错；或都是正数，根据基本不等式求最值，，故D 正确．考点：不等式的性质15. 设常数a R ∈，集合{}{}|(1)(),0|1A a a x x x x x B -≥=≥-=-，若AB R =，则a 的取值范围为（ ） A. (,2)-∞B. (,2]-∞C. (2,)+∞D. [2,)+∞【答案】B【解析】【分析】分别求出当1a >、1a =、1a <时的集合A ，根据AB R =，即可分别求出a 的取值范围，综合即可得答案.【详解】当1a >时，A 集合的解集为{x x a ≥或1}x ≤， 因为A B R =，所以111a a >⎧⎨-≤⎩，解得12a <≤； 当1a =时，A=R ，满足A B R =；当1a <时，A 集合的解集为{1x x ≥或}x a ≤，因为A B R =，所以11a a a <⎧⎨-≤⎩，解得1a <， 综上2a ≤，故选：B【点睛】本题考查由集合并集的结果求参数范围，涉及一元二次不等式的解法，考查分类讨论，分析计算的能力，属基础题.16. 已知*N k ∈，,,R x y z +∈，若222()5()k xy yz zx x y z ++>++，则对此不等式描述正确的是（ ）A. 若5k =，则至少存在．．．．一个以,,x y z 为边长的等边三角形 B. 若6k =，则对任意满足不等式的,,x y z 都存在．．．以,,x y z 为边长的三角形 C. 若7k =，则对任意满足不等式的,,x y z 都存在．．．以,,x y z 为边长的三角形 D. 若8k ，则对满足不等式的,,x y z 不存在．．．以,,x y z 为边长的直角三角形 【答案】B 【解析】 本题可用排除法，由222222222222x y y z z x x y z xy yz zx +++++=++≥++， 对于A ，若5k =，可得222xy yz zx x y z ++>++，故不存在这样的,,,x y z A 错误，排除A ；对于,1,1,2C x y z ===时，()()22275xy yz zx x y z ++>++成立，而以,,x y z 为边的三角形不存在，C 错误，排除C ；对于,D 1,1,x y z ===()()22285xy yz zx x y z ++>++成立，存在以,,x y z 为边的三角形为直角三角形，故D 错误，排除,D 故选B.【 方法点睛】本题主要考查不等式的性质、排除法解选择题，属于难题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n 项和公式问题等等.三．解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 现有,,,A B C D 四个长方形容器，,A B 的底面积都是2a ，高分别是,a b ；,C D 的底面积都是2b ，高分别是,()a b a b ≠，现规定一种游戏规则：每人每一次从容器中取两个，盛水多者为胜，问先取者有没有必胜的方案？若有的话有哪几种？并证明你的结论；若没有的话，说明理由.【答案】先取,A D 容器必胜.理由见解析.【解析】【分析】计算出容器,,,A B C D 的容积,,,A B C D V V V V ，然后作差：()()A B C D V V V V +-+，()()A C B D V V V V +-+，()()A D B C V V V V +-+，观察哪个恒大于0即可得．【详解】先取,A D 容器必胜.证明：依次记容器,,,A B C D 的容积为,,,A B C D V V V V则3223,,,A B C D V a V a b V ab V b ====作差即可2()()()()A B C D V V V V a b a b +-+=-+，22()()()()A C B D V V V V a b a b +-+=-+，2()()()()A D B C V V V V a b a b +-+=+-，只有2()()()()A D B C V V V V a b a b +-+=+-必大于0，即A D C D V V V V +>+．所以，先取,A D 容器必胜．18. 已知集合603x A x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，集合{}216B x x =≤，{}30C x x m =+<. （1）求A B ，A B ；（2）若x C ∈是x A ∈的必要条件，求m 的取值范围.【答案】（1）{}43A B x x ⋂=-≤<，{6A B x x ⋃=<-或}4x >；（2）(],9-∞-.【解析】【分析】（1）解出集合A 、B ，利用交集的定义可求得集合A B ，利用并集和补集的定义可求得集合A B ； （2）由题意可得出A C ⊆，得出关于实数m 的不等式，进而可求得实数m 的取值范围.【详解】（1）解不等式603x x +≥-，即603x x +≤-，解得63x -≤<，则{}63A x x =-≤<， {}{}21644B x x x x =≤=-≤≤，{}43A B x x ∴⋂=-≤<.{}64A B x x ⋃=-≤≤，因此，{6A B x x ⋃=<-或}4x >，（2）{}303m C x x m x x ⎧⎫=+<=<-⎨⎬⎩⎭， 由于x C ∈是x A ∈的必要条件，则A C ⊆，33m ∴-≥，解得9m ≤-. 因此，实数m 的取值范围是(],9-∞-. 19. 经观测，某公路段在某时段内的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度v （千米/小时）之间有函数关系：()2920031600=>++v y v v v . （1）为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？（2）在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时车流量y 最大？最大车流量为多少？（精确到0.01）【答案】（1）应控制在[]25,64这个范围内；（2）40v =千米/小时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时.【解析】【分析】（1）依题意列出不等式，解不等式即可；（2）函数式变形后用基本不等式求最大值.详解】（1）据题意有：29201031600v v v ≥++， 化简得28916000v v -+≤，即()()25640v v --≤，所以汽车的平均速度应控制在2564v ≤≤这个范围内.（2）29209201600316003v y v v v v ==++++92011.0883≤=≈， 当1600v v=，即40v =千米/小时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时. 答:（1）为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在[]25,64这个范围内；（2）在该时段内，当汽车的平均速度v 为40千米/小时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时.【点睛】此题为已知函数关系的应用题，考查如何用函数关系获得所要的数据，属于基础题.20. 记代数式()2log 214a M x a x a =-+-+-，()()132412N x x =--++.（1）当2a =时，求使代数式M 有意义的实数x 的集合；（2）对任意x ∈R ，代数式M 有意义，求实数a 的取值范围；（3）若代数式M N +有意义，求实数a 的取值范围.【答案】（1）311,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()3,+∞；（3）)()1,11,+∞. 【解析】 【分析】 （1）分3x ≤、34x <<、4x ≥三种情况解不等式4340x x -+-->，由此可得出结果； （2）由绝对值三角不等式可得出关于实数a 的不等式，进而可解得实数a 的取值范围；（3）解出使得N 有意义时x 的取值范围是[]2,1--，由题意可知，存在[]2,1x ∈--，使得2214x a x a -+-+>成立，通过去绝对值得出2210a a +->，再由0a >且1a ≠可解得实数a 的取值范围.【详解】（1）当2a =时，()2log 434M x x =-+--，则4340x x -+-->.①当3x ≤时，434434320x x x x x -+--=-+--=->，解得32x <，此时32x <； ②当34x <<时，43443430x x x x -+--=-+--=-<，原不等式无解；③当4x ≥时，4344342110x x x x x -+--=-+--=->，解得112x >，此时112x >. 综上所述，当2a =时，使代数式M 有意义的实数x 的集合为311,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）由题意可知，对任意的x ∈R ，22140x a x a -+-+->，则()()22222214214214214230x a x a a a a a a a a a ---+-=-+--=-+-=-+-=-->， 0a >且1a ≠，解得3a >，因此，实数a 的取值范围是()3,+∞；（3）()()132412N x x =--++=，则1020x x --≥⎧⎨+≥⎩，解得21x -≤≤-， 由题意可知，存在[]2,1x ∈--，使得2214x a x a -+-+>成立，0a >且1a ≠，则2211a a >->-，所以22221212124x a x a a x a x a a x -+-+=-+--=+-->，所以，22214x a a -++->在[]2,1x ∈--时有解，2210a a ∴+->，0a >且1a ≠，解得1a >且1a ≠，因此，实数a 的取值范围是)()1,11,+∞.【点睛】形如x a x b c -+-≥（或c ≤）型的不等式主要有三种解法：（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(],a -∞、(),a b 、[),b +∞（此处设a b <）三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集； （2）几何法：利用()0x a x b c c -+->>的几何意义：数轴上到点1x a =和2x b =的距离之和大于c 的全体，()()x a x b x a x b a b -+-≥---=-； （3）图象法：作出函数1y x a x b =-+-和2y c =的图象，结合图象求解．21. 已知实数,,a b c 满足a b c >>；（1）求证：1110a b b c c a++>---； （2）将上述不等式加以推广，把1c a -的分子1改为另一个大于1的自然数p ，使得110p a b b c c a ++>---对任意的,,a b c 恒成立，请加以证明；（3）从另一角度推广，自然数,,m n p 满足什么条件时，不等式0m n p a b b c c a ++>---对任意,,a b c 恒成立，请加以证明.【答案】（1）证明见解析；（2）2或3，证明见解析；（3<.【解析】【分析】（1）不等式变形为证明[]11()()1a b b c a b b c ⎛⎫+-+-> ⎪--⎝⎭，由基本不等式易证； （2）不等式变形为[]11()()p a b b c a b b c ⎛⎫<+-+- ⎪--⎝⎭，由（1）可得[]11()()a b b c a b b c ⎛⎫+-+- ⎪--⎝⎭最小值．即得p 的范围．（3）类似（1）得[]()()m n p a b b c a b b c ⎛⎫<+-+- ⎪--⎝⎭，由基本不等式求得[]()()m n a b b c a b b c ⎛⎫+-+- ⎪--⎝⎭的最小值，从而可得结论． 【详解】（1）因为a b c >>， 要证1110a b b c c a++>---，即证1111()()a b b c a c a b b c +>=----+-， 只要证[]11()()1a b b c a b b c ⎛⎫+-+-> ⎪--⎝⎭，而[]11()()224a b b c a b b c a b b c b c a b --⎛⎫+-+-=++≥+= ⎪----⎝⎭，当且仅当a b b c b c a b--=--．即a b b c -=-或2a c b +=时等号成立， 所以原不等式成立；（2）由（1）[]11()()p a b b c a b b c ⎛⎫<+-+- ⎪--⎝⎭恒成立，由（1）[]11()()a b b c a b b c ⎛⎫+-+- ⎪--⎝⎭最小值为4，所以4p <，14p <<，所以p =2或3；（3）类似（1）不等式0m n p a b b c c a ++>---恒成立，即[]()()m n p a b b c a b b c ⎛⎫<+-+- ⎪--⎝⎭，而[]()()()()m n m b c n a b a b b c m n m n a b b c a b b c --⎛⎫+-+-=+++≥++ ⎪----⎝⎭，当且仅当()()m b c n a ba b b c--=--))b c a b -=-时等号成立，所以p m n <++<所以当自然数,,m n p 0m n p a b b c c a++>---对任意,,a b c 恒成立． 【点睛】方法点睛：本题考查不等式恒成立问题，考查用基本不等式求和最小值．解题关键是凑出积的定值，三个小题层层递进，推理方法类似，是类比推理的简单体现．。
上海2020-2021学年上海中学高三上学期期中仿真密卷(数学学科)测试卷
第17页，共18页上海2020-2021学年上海中学高三上学期期中仿真密卷数学学科（满分150分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题满分48分，每小题4分） 1．若3cos 5α=-，且3,2αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则t a n α=________ 2．直线的方程为10223012x y =-，则的一个方向向量是_______3．等差数列{}n a 中,34259,18a a a a +=⋅=, 则16a a ⋅=_______________ 4．A B C ∆的三边,,a b c 所对角分别是,,A BC ,若33,1,4A B C a c S ∆===，则co s B =_________ 5．已知定义在R 上的函数()f x ，满足()115f =，且对任意的x 都有()()13f x f x +=-，则()2014f =_________6．把10本书随机地排在书架上，则其中指定的3本书排在一起的概率是_________（结果用分数表示）7．设a 为函数2arcsin 2π-+=x x y 的最大值，则二项式6)1(xx a -的展开式中含2x 项的系数是 ．8. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，12,a =且()*1323,n na S n N ++=∈记12Sa a =+++ n a +，则S 的值是__________9．设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值范围为_____________10．如图，在平面直角坐标系xO y 中，一单位圆的圆心的初始位置在()0,1，此时圆上一点P 的位置在()0,0，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于()2,1时，O P 的坐标为________．11．设实数dc b a ,,,满足：11≤≤≤≤≤d c b a ,则dcb a +取得最小值时，=+++dc b a 12．已知函数()()yfx x R =∈，对函数()()y g xx I =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为函数()()y h xx I =∈，()y h x =满足：对任意x I ∈，两个点()()()(),,,x h x x g x 关于点()(),xf x 对称，若()h x 是()24gx x =-关于()3f x x b =+的“对称函数”，且()()hx gx >恒成立，则实数b 的取值范围是 。
上海2020-2021学年上海中学高三上学期期中仿真密卷(数学学科)测试卷
第1页，共3页上海2020-2021学年上海中学高三上学期期中仿真密卷数学学科（满分150分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题满分48分，每小题4分） 1．若3cos 5α=-，且3,2αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则t a n α=________ 2．直线的方程为10223012x y =-，则的一个方向向量是_______3．等差数列{}n a 中,34259,18a a a a +=⋅=, 则16a a ⋅=_______________ 4．A B C ∆的三边,,a b c 所对角分别是,,A BC ,若33,1,4A B C a c S ∆===，则co s B =_________ 5．已知定义在R 上的函数()f x ，满足()115f =，且对任意的x 都有()()13f x f x +=-，则()2014f =_________6．把10本书随机地排在书架上，则其中指定的3本书排在一起的概率是_________（结果用分数表示）7．设a 为函数2arcsin 2π-+=x x y 的最大值，则二项式6)1(xx a -的展开式中含2x 项的系数是 ．8. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，12,a =且()*1323,n na S n N ++=∈记12Sa a =+++ n a +，则S 的值是__________9．设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值范围为_____________10．如图，在平面直角坐标系xO y 中，一单位圆的圆心的初始位置在()0,1，此时圆上一点P 的位置在()0,0，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于()2,1时，O P 的坐标为________．11．设实数dc b a ,,,满足：11≤≤≤≤≤d c b a ,则dcb a +取得最小值时，=+++dc b a 12．已知函数()()yfx x R =∈，对函数()()y g xx I =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为函数()()y h xx I =∈，()y h x =满足：对任意x I ∈，两个点()()()(),,,x h x x g x 关于点()(),xf x 对称，若()h x 是()24gx x =-关于()3f x x b =+的“对称函数”，且()()hx gx >恒成立，则实数b 的取值范围是 。
2025届上海市徐汇、金山、松江区高三第一次模拟考试数学试卷含解析
2025届上海市徐汇、金山、松江区高三第一次模拟考试数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()()241xf x x x e =-+⋅的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．2．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，若32z x y =-+的最大值为n ，则12n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为( )A ．60B ．80C ．90D ．1203．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ．B ．C ．1D ．24．已知圆锥的高为33体积的比值为( ) A ．53B ．329C ．43D ．2595．已知3log 2a =ln3b =，0.992c -=，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b c a >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>6．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，23c =，sin sin 3b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则sin C =（ ） A ．37B ．217C ．2112D ．57198．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知4cos sin 3b B C c =，则B =（ ）A ．6π或56πB ．4πC ．3π D ．6π或3π 9．已知各项都为正的等差数列{}n a 中，23415a a a ++=，若12a +，34a +，616a +成等比数列，则10a =（ ） A ．19B ．20C ．21D ．2210．已知复数1z i =-，z 为z 的共轭复数，则1zz +=（ ） A ．32i+ B ．12i+ C ．132i- D ．132i+ 11．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（） A ．B ．C ．D ．12．若复数z 满足3(1)1z z i +=，复数z 的共轭复数是z ，则z z +=（ ） A ．1B ．0C ．1-D ．132-+ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市金山区2020学年高三第一学期期末教学质量检测数学试卷 含标答
列{an}满足 Sn = 2an + n (其中 Sn 为{an}的前 n 项和)，则 f (a5 ) + f (a6 ) = ( )．
(A) −3
(B) −2
(C) 3
(D) 2
16．已知△ABC 的外接圆圆心为 O ，A =120o ，若 AO = x AB + y AC ( x ，y R )，
．
4
2．若复数 z = 2 + i ( i 为虚数单位)，则 z 的模| z | =
．
1− 2i
3．若矩阵
A
=
sin n
m cos
，B
=
m cos
sin n
，且
A
=
B
，则
m2
+
n2
=
．
4．若函数 y = log2 (x − m) +1 的反函数的图像经过点 (1,3) ，则实数 m =
f
(
x)
=
1 1
− +
2x 2x
在 R 上单调递减.
……………………………………6 分
(2)
任取 x R ，则
f
(−
x)
=
1− 1+
2− 2−
x x
=
2x 2x
−1 = − f (x) ，………………………………………7 分 +1
故
f
(x)
=
1 1
− +
2x 2x
为奇函数，从而
f
(t 2
− 2t)
PA = AB = 2 .
又 S = 1 2 2 sin = 3 ，……………………………………………………………………4 分
【解析】上海市金山中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题
金山中学2019学年度第一学期高一年级数学学科期中考试卷一、填空题(本大题共有12题,满分54分)只要求直接填写结果,1-6题每个空格填对得4分,7-12题每个空格填对得5分,否则一律得零分）1.集合{},,A a b c =有_______个子集.【答案】8【分析】集合{a ，b ，c }的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集得到结论．【详解】集合{a ，b ，c }的子集有：∅，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{a ，c }，{c ，b }，{a ，b ，c }共8个．故答案为：8【点睛】本题考查集合的子集个数问题，对于集合M 的子集问题一般来说，若M 中有n 个元素，则集合M 的子集共有2n个．2.不等式11x -<的解集是 .【答案】(0,2)由11102x x -<-<⇒<<.3.已知命题P 是“若实数a 、b 满足1a >且2b >，则3a b +>”,则命题P 的否命题是________.【答案】若实数a 、b 满足1a ≤或2b ≤，则3a b +≤【分析】直接由否命题的定义得到结论.【详解】由否命题的定义既否条件又否结论得：“若1a >且2b >，则3a b +>”的否命题为“若a ≤1或b ≤2，则a +b ≤3”，故答案为：若实数a 、b 满足1a ≤或2b ≤，则3a b +≤【点睛】本题考查四种命题的关系，考查了否命题的形式，注意含“且”的命题，否定时要变为“或”，是易错题．4.已知集合{|A x y ==，2{|}B y y x ==，则A B =I ________【答案】[0,1]【分析】求出集合A,B ，即可得到A B ⋂.【详解】由题集合{{}[]||11 1.1,A x y x x ===-≤≤=- 集合[)2{|}{|0}0.,B y y x y y ===≥=+∞故[]0,1A B ⋂=.故答案为[]0,1.【点睛】本题考查集合的交集运算，属基础题5.已知,,a b c ∈R ，则“a b >”是“22ac bc >”的_________条件(填:充分非必要、必要非充分、充分且必要、非充分非必要)【答案】必要非充分【分析】当c ＝0时，a >b ⇏ac 2>bc 2；当ac 2＞bc 2时，说明c ≠0，有c 2＞0，得ac 2>bc 2⇒a >b ．显然左边不一定推导出右边，但右边可以推出左边．【详解】必要不充分条件当c ＝0时，a >b ⇏ac 2>bc 2；反之当ac 2＞bc 2时，说明c ≠0，则c 2＞0，得ac 2>bc 2⇒a >b ．显然左边不一定推导出右边，但右边可以推出左边，所以“a b >”是“22ac bc >”的必要非充分条件.故答案为：必要非充分．【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，解题的关键是充分利用不等式的基本性质是推导不等关系，是基础题．6.已知11a b -<<<，则-a b 的取值范围是________【答案】(2,0)-【分析】作出可行域，目标函数z=a-b 可化b=a-z ，经平移直线可得结论． 【详解】作出11a b -<<<所对应的可行域，即1111a b a b -<<⎧⎪-<<⎨⎪<⎩（如图阴影），目标函数z=a-b 可化为b=a-z ，可看作斜率为1的直线，平移直线可知，当直线经过点A （1，-1）时，z 取最小值-2，当直线经过点O （0，0）时，z 取最大值0，∴a -b 的取值范围是()2,0-，故答案为：()2,0-．【点睛】本题考查线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．7.已知函数3()1f x ax bx =++，且(2)f -=3，则(2)f = ．【答案】－1试题分析：设3()()1g x f x ax bx =-=+，则()g x 是奇函数，(2)(2)1312g f -=--=-=，所以(2)(2)2g g =--=-，即(2)12f -=-，(2)1f =-．考点：函数的奇偶性．8.已知不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，则不等式250bx x a -+>的解集是_________. 【答案】11(,)23--【分析】根据不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，求得,a b 的值，从而求解不等式250bx x a -+>的解集，得到答案.【详解】由题意，因为不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-， 可得53(2)(3)(2)a b a ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-⨯-=⎪⎩，解得1,6a b =-=-， 所以不等式250bx x a -+>为26510x x --->，即2651(31)(21)0x x x x ++=++<，解得1123x -<<-， 即不等式250bx x a -+>的解集为11(,)23--.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中根据三个二次式之间的关键，求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.某班有50名学生报名参加A 、B 两项比赛，参加A 项的有30人，参加B 项的有33人，且A 、B 都不参加的同学比A 、B 都参加的同学的三分之一多一人，则只参加A 项，没有参加B 项的学生有__人.【答案】9【分析】利用方程思想，设A 、B 都参加的同学为x 人，则可分别得到只参加A ，不参加B ，只参加B ，不参加A ，以及AB 都不参加的人数，然后利用人数关系建立方程，求解即可．【详解】设A 、B 都参加的同学为x 人，则只参加A ，不参加B 的为30x -，只参加B ，不参加A 的为33x -，则AB 都不参加的人数为()50303313x x x x --++-=-．因为A 、B 都不参加的同学比A 、B 都参加的同学的三分之一多一人， 所以1313x x --=，解得21x =． 所以只参加A 项，没有参加B 项的学生有30219-=．故答案为：9【点睛】本题主要考查集合元素关系的运算，利用维恩图是解决此类问题的基本方法，比较基础．10.若关于x 的不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<的解集是R ,则实数a 的取值范围是_______.【答案】(2,2]-【分析】对x 2的系数分类讨论：当a ＝2时，直接得出；当a ≠2时，根据二次函数的图象性质，得到关于a 的不等式组，解出即可．【详解】当a ＝2时，不等式化为﹣4＜0对于任意实数x 都成立，因此a ＝2满足题意； 当a ≠2时，要使关于x 的不等式（a ﹣2）x 2+2（a ﹣2）x ﹣4＜0的解集为R ， 则()()220421620a a a -⎧⎪⎨=-+-⎪⎩V ＜＜， 化为()()2220a a a ⎧⎨-+⎩＜＜， 解得﹣2＜a ＜2． 故答案为（﹣2，2]． 【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查二次函数的图象与性质、分类讨论的基础知识与基本技能方法，属于基础题． 11.已知函数24()6f x x x =+-，22()32g x x ax a =-+（0a <），若不存在实数x 使得()1f x >和()0<g x 同时成立，则a 的取值范围是________ 【答案】1(,2][,0)2-∞-⋃- 【分析】通过f （x ）＞1和g （x ）＜0，求出集合A 、B ，利用A∩B=∅，求出a 的范围即可．【详解】由f （x ）＞1，得246x x+-＞1，化简整理得()()(2)1 0(3)2x x x x -+-+＜ ，解得2123x x --＜＜或＜＜，即()1f x >的解集为A={x|-2＜x ＜-1或2＜x ＜3}． 由g （x ）＜0得x 2-3ax+2a 2＜0，即（x-a ）（x-2a ）＜0，g （x ）＜0的解集为B={x|2a ＜x ＜a ，a ＜0}．由题意A∩B =∅，因此a≤-2或-1≤2a＜0，故a 的取值范围是{a|a≤-2或-12≤a＜0}． 即答案为][1,2,02⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查分式不等式的解法，二次不等式的解法，集合的交集运算，考查分析问题解决问题的能力．12.已知数集12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅（120n a a a ≤<<⋅⋅⋅<，3n ≥）具有性质P ：对任意i 、j （1i j n ≤≤≤），j i a a +与j i a a -两数中至少有一个属于集合A ，现给出以下四个命题：①数集{0,1,3,5,7}具有性质P ；②数集{}0,2,4,6,8具有性质P ；③若数集A 具有性质P ，则10a =；④若数集{}125,,,A a a a =⋅⋅⋅（1250a a a ≤<<⋅⋅⋅<）具有性质P ，则1322a a a +=；其中真命题有________（填写序号）【答案】②③④【分析】利用a i +a j 与a j -a i 两数中至少有一个属于A ．即可判断出结论．【详解】①数集{}0,1,3,5,7中，{}7520,1,3,5,7-=∉，故数集{}0,1,3,5,7不具有性质P ； ②数集{}0,2,4,6,8满足对任意i 、j （1i j n ≤≤≤），j i a a +与j i a a -两数中至少有一个属于集合A ，故数集{}0,2,4,6,8具有性质P ；③若数列A 具有性质P ，则a n +a n =2a n 与a n -a n =0两数中至少有一个是该数列中的一项， ∵0≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n≥3，而2a n 不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，∴a 1=0；故③正确；④当 n=5时，取j=5，当i≥2时，a i +a 5＞a 5，由A 具有性质P ，a 5-a i ∈A，又i=1时，a 5-a 1∈A，∴a 5-a i ∈A，i=1，2，3，4，5∵0=a 1＜a 2＜a 3＜a 4＜a 5，∴a 5-a 1＞a 5-a 2＞a 5-a 3＞a 5-a 4＞a 5-a 5=0，则a 5-a 1=a 5，a 5-a 2=a 4，a 5-a 3=a 3，从而可得a 2+a 4=a 5，a 5=2a 3，故a 2+a 4=2a 3，即答案为②③④.【点睛】本题考查数列的综合应用，此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属中档题．二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,选对得5分,否则一律得零分13.如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A. ()M P S ⋂⋂B. ()M P S ⋂⋃ C ()()U M P S ⋂⋂ðD. ()()U M P S ⋂⋃ð 【答案】C【分析】 先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可．【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩(∁U S).故选：C ．【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．14.下列各组函数中,表示同一函数的是( )A. 2(),()=f x xg x =B. ()(f x g x =C. 1(0)1(0)()()=1(0)1(0)x x x x f x g x x x x x +>+≥⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬-≤-<⎩⎭⎩⎭, D. {}{}()2()2(1)()=21f x x x g x xx =∈∈；【答案】D【分析】 若两个函数是同一个函数，则函数的定义域以及函数的对应关系都相同，所以只要逐一判断每个选项中定义域和对应关系是否都相同即可．【详解】对于A 选项，f （x ）的定义域为R ，g （x ）的定义域为[0，+∞），∴不是同一函数．对于B 选项，f （x ）=（x ≤﹣2，或x ≥2）和g （x ）=（x ≥2）定义域不同，∴不是同一函数；对于C 选项，当x =0时，对应关系不同，∴不是同一函数对于D 选项，f （x ）的定义域与g （x ）的定义域均为{1}，且f （x ）2==g （x ） ∴是同一函数故选：D ．【点睛】本题主要考查了函数三要素的判断，只有三要素都相同，两函数才为同一函数，属基础题．15.已知()f x 是R 上的偶函数,且当()()20,1x f x x x >=- ,则0x <时,()f x = ( ) A. 2(1)x x - B. 2(1)x x + C. 2(1)x x -- D.2(1)x x -+【答案】B【分析】由x ＜0得﹣x ＞0，代入已知式子得f （﹣x ），由偶函数f （﹣x ）＝f （x ），可得f （x ）的解+析式．【详解】设x ＜0，则﹣x ＞0，∴()()()22()11f x x x x x -=-+=+， 又∵y ＝f （x ）是R 上的偶函数，∴f （﹣x ）＝f （x ），∴()()21f x x x =+， ∴当x ＜0时，()()21f x x x =+． 故选：B ．【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解+析式的基础知识，是基础题目．16. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）A. 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【详解】解：对于A ，由图象可知当速度大于40km /h 时，乙车的燃油效率大于5km /L ， ∴当速度大于40km /h 时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km ，故A 错误；对于B ，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B 错误；对于C ，由图象可知当速度为80km /h 时，甲车的燃油效率为10km /L ，即甲车行驶10km 时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km ，燃油为8升，故C 错误； 对于D ，由图象可知当速度小于80km /h 时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率， ∴用丙车比用乙车更省油，故D 正确故选：D ．考点：1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须写出必要的步骤17.已知集合{}222,1,A a a a =+-，{0,B =7，25a a --，2}a -，且5A ∈，求集合B ．【答案】{0,B =1，4，7}【分析】由5A ∈，得到215a +=或25(a a -=舍)，从而得2a =±，分别代入集合A 和B ，利用集合中元素的互异性能求出集合B ．【详解】Q 集合{}222,1,A a a a =+-， {0,B =7，25a a --，2}a -，且5A ∈，215a ∴+=或25(a a -=舍)，解得2a =±，当2a =时，{2,A =5，2}，不成立；当2a =-时，{2,A =5，6}，{0,B =7，1，4}，成立．∴集合{0,B =1，4，7}．【点睛】本题考查集合的求法，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．18.“0,0a b >>,≥,还可以有如下证法:≥+≥当且仅当a b=时等号成立≥,尝试解决下列问题:(1)证明:若0,0,0a b c>>>，则222a b ca b cb c a++≥++,并指出等号成立的条件；(2)试将上述不等式推广到(2)n n≥个正数121,,,,n na a a a-⋅⋅⋅的情形,并加以证明.【答案】（1）见解+析；（2）见解+析.【分析】（1）根据题设例题证明过程，类比b2ab++c2bc++a2ba+可得证明，（2）根据题设例题证明过程，类比b2ab++c2bc++a2ba+可得证明【详解】（1）∵222222a b cb c a a b cb c a+++++≥++，∴222a b ca b cb c a++≥++，当且仅当a＝b＝c时等号成立；（2）∵212aa+a2223aa++a32211n nnna aaa a-+++++L a1≥2a1+2a2+…+2a n﹣1+2a n，∴222211212231n nnna aa aa a aa a a a-++++≥+++L L．当且仅当a1＝a2＝…＝a n﹣1＝a n时取等号【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了不等式的证明和类比的思想，属于中档题19.某公司有价值10万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值，假设附加值y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足：① y与10x-和x的乘积成正比；② 当5x=时，100y=；③02(10)xtx≤≤-，其中t为常数，且1[,1]2t∈.（1）设()y f x=，求出()f x的表达式，并求出()y f x=的定义域；（2）求出附加值y 的最大值，并求出此时的技术改造投入的x 的值.【答案】（1）()410y x x =-，200,21t x t ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦；（2）()()max 5100f x f ==.【分析】（1）列出f （x ）的表达式，求函数的定义域时，要注意条件③的限制性．（2）本题为含参数的二次函数在特定区间上求最值，结合二次函数的图象及单调性解决，注意分类讨论． 【详解】（1）设()10y k x x -＝，当5x ＝ 时100y =，可得k=4，∴410y x x =-（） ∴定义域为200,21t t ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦，t 为常数，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； （2）因为定义域中202012020,,1,5,,12122132t t t t t t ⎡⎤⎛⎫⎡⎤=∈∴∈ ⎪⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎝⎭⎣⎦+ 函数()()241045100y x x x =-=--+在205,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故()()max 5100f x f ==. 【点睛】本题考查函数的应用问题，函数的解+析式、二次函数的最值及分类讨论思想，牵扯字母太多，容易出错．20.对于函数()f x ，若00()f x x =，则称0x 为()f x 的“不动点”；若00[()]f f x x =，则称0x 为()f x 的“稳定点”．函数()f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即{}|()A x f x x ==，{}|[()]B x f f x x ==．（1）设函数()34f x x =+，求集合A 和B ．（2）求证：A B ⊆．（3）设函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且A =∅，求证：B =∅．【答案】（1）{}2A =-，{}2B =-；（2）证明见解+析；（3）证明见解+析．分析】（1）由34x x +=，解得2x =-，{}2A =-；由()3344x x ++=，解得2x =-，，{}2B =-；（2）若A =∅，则A B ⊆成立；若A ≠∅，设t 为A 中任意一个元素，则有()f t t =，可得()()f f x f t t ⎡⎤==⎣⎦，故t B ∈，从而可得结果；（3）①当0a >时，()()21y f x x ax b x c =-=+-+的图象在x 轴的上方，可得对于x R ∀∈，()()f f x f x x ⎡⎤>>⎣⎦恒成立，则B =∅．②当0a <时，()()21y f x x ax b x c=-=+-+的图象在x 轴的下方，可得对于任意x R ∈，()()f f x f x x ⎡⎤<<⎣⎦恒成立，则B =∅．【详解】（1）由()f x x =，得34x x +=，解得2x =-，由()f f x x ⎡⎤=⎣⎦，得()3344x x ++=，解得2x =-，∴{}2A =-，{}2B =-．（2）若A =∅，则A B ⊆成立，若A ≠∅，设t 为A 中任意一个元素，则有()f t t =，∴()()f f x f t t ⎡⎤==⎣⎦，故t B ∈，∴A B ⊆．（3）由A ≠∅，得方程2ax bx c x ++=无实数解，∴()2140b ac ∆=--<．①当0a >时，()()21y f x x ax b x c =-=+-+的图象在x 轴的上方， 所以任意x R ∈，()0f x x ->恒成立，即对于任意x R ∈，()f x x >恒成立，对于()f x ，则有()()f f x f x ⎡⎤>⎣⎦成立，∴对于x R ∀∈，()()f f x f x x ⎡⎤>>⎣⎦恒成立，则B =∅．②当0a <时，()()21y f x x ax b x c =-=+-+的图象在x 轴的下方， 所以任意x R ∈，()0f x x -<恒成立，即对于x R ∀∈，()f x x <恒成立，对于实数()f x ，则有()()f f x f x ⎡⎤<⎣⎦成立，所以对于任意x R ∈，()()f f x f x x ⎡⎤<<⎣⎦恒成立，则B =∅，综上知，对于()()20f x ax bx c a =++≠， 当A =∅时，B =∅．【点睛】本题主要考查集合的性质以及二次函数的性质、意在考查转化与划归思想、数形结合思想的应用，考查了分类讨论思想，属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.21.设数集A 由实数构成，且满足：若x A ∈（1x ≠且0x ≠），则11A x ∈-. （1）若2A ∈，试证明A 中还有另外两个元素；（2）集合A 是否为双元素集合，并说明理由；（3）若A 中元素个数不超过8个，所有元素的和为143，且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A .【答案】(1) 1-，12;(2)见解+析；（3）112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭.【分析】（1）根据集合的互异性进行求解，注意条件2∈A，把2代入进行验证；（2）可以假设A 为单元素集合，求出其等价条件，从而进行判断；（3）先求出集合A 中元素的个数，21 x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭=1，求出x 的值，从而求出集合A ． 【详解】（1）证明：若x∈A，则11A x ∈-． 又∵2∈A， ∴1112A =-∈-． ∵-1∈A，∴()11112A =∈--． ∴A 中另外两个元素为1-，12； （2）x A ∈，11A x ∈-，1x A x -∈，且11x x ≠-，111x x x-≠-， 1x x x -≠，故集合A 中至少有3个元素，∴不是双元素集合； （3）由x A ∈，11A x ∈-，可得111x A x x x -⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭，， ，所有元素积为1，∴21112x x x -⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭， 111141212132m m m m m -+-+++=⇒=--、3、23，∴112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查了元素和集合的关系，考查集合的含义，分类讨论思想，是一道中档题．。