分治法与动态规划法
求最小差的方法
求最小差的方法
在现代科学中，人们经常遇到找出两个值之间的最小差的任务。
最小差的求解是重要的任务，它可以用在各种行业和领域，如统计分析、数据挖掘、计算机视觉等等，让我们看看求最小差的方法有哪些：（一）暴力求解法。
暴力求解法原理很简单，就是把所有可能的最小差组合都列出来，比较它们的大小，最后取出最小的那个。
这种方法很简单，但是它的运算量会非常大，特别是当数据量很大的时候，效率会下降。
（二）分治法。
分治法的思想是把一个大的问题划分成几个小的子问题，然后逐步解决，最终达到求解最小差的目的。
它可以把一个规模为n的问题划分为两个规模为n的子问题，然后再分别求解，最后再合并即可。
（三）动态规划法。
动态规划是一种利用子问题的重叠性来减少运算次数的方法，它让求解最小差更加有效。
它的基本思想是利用重叠性来减少比较次数，把给定的序列分割成若干小的子序列，比较他们之间的差值，最后得出最小差。
（四）贪心算法。
贪心算法是指在求解最小差的问题中，让每次操作获得最优解，最终得出总体最优解的一种方法。
贪心算法的核心思想是每次在相邻的两个数中求解最小差，获取最小差的累计。
以上是求最小差的几种方法，每种方法在处理求最小差的问题时都有自己的优势，我们可以根据自己的实际需要来选择合适的方法。
比如，如果数据量不大，可以采用暴力求解法，如果数据量较大，可
以采用分治法和动态规划法，如果要求计算效率，可以采用贪心算法。
总之，求最小差的方法有很多，我们需要根据实际的需求仔细研究各个方法的优缺点，然后选择最合适的一种方法来解决问题。
只有这样，才能在数据分析和处理中发挥更好的作用，提高计算效率。
最值问题的常用解法及模型
最值问题的常用解法及模型引言最值问题是数学中常见的问题之一，它要求在给定的一组数据中找出最大值或最小值。
在实际生活和工作中，最值问题有很多应用场景，比如找出一组数据中的最高分、最低温度、最大利润等。
本文将介绍最值问题的常用解法及模型，旨在为读者提供一些解决最值问题的思路和方法。
一、暴力法暴力法是最值问题的最简单直接的解法，也是最容易理解的方法之一。
暴力法的思路非常简单，就是遍历给定的一组数据，比较每个数据与当前最值的大小关系，更新最值的数值。
具体步骤如下： 1. 初始化最值变量，最大值设为负无穷大，最小值设为正无穷大。
2. 遍历给定的一组数据，对每个数据进行比较。
3. 如果当前数据大于最大值，则更新最大值。
4. 如果当前数据小于最小值，则更新最小值。
5. 遍历完所有数据后，最大值和最小值即为所求。
二、排序法排序法是解决最值问题的另一种常用方法，它的思路是先对给定的一组数据进行排序，然后直接取出排序后的第一个或最后一个元素作为最值。
具体步骤如下： 1. 对给定的一组数据进行排序，可以使用快速排序、归并排序等常见的排序算法。
2. 如果要找最大值，直接取排序后的最后一个元素作为最值；如果要找最小值，直接取排序后的第一个元素作为最值。
三、分治法分治法是解决最值问题的一种高效的方法，它通过将问题划分成小规模的子问题，并从子问题中找出最值，最后将子问题的最值合并得到整体的最值。
具体步骤如下：1. 将给定的一组数据划分成多个小规模的子问题。
2. 对每个子问题递归地应用分治法，求出子问题的最值。
3. 将子问题的最值合并，得到整体的最值。
四、动态规划法动态规划法是解决最值问题的一种常见方法，它通过定义状态和状态转移方程来逐步求解最值。
具体步骤如下： 1. 定义状态，通常用一个数组来表示状态，数组的元素表示子问题的最值。
2. 设置初始值，确定初始状态的值。
3. 定义状态转移方程，利用已知的子问题的最值推导出当前问题的最值。
分治法和动态规划
分治法和动态规划⼀.分治法 1.分治法的设计思路是，将⼀个难以直接解决的⼤问题，分割成⼀些规模⽐较⼩的相同的⼩问题，以便各个击破，分⽽治之。
2.分治法所能解决的问题的⼀般有以下的特征： （1）该问题的规模缩⼩到⼀定的程度就可以容易解决（绝⼤多数的问题都满⾜） （2）该问题是可以分解为若⼲个规模较⼩的相同的问题，即改问题具有最优⼦结构性质（前提，也是绝⼤多数的问题都满⾜的） （3）利⽤该问题分解出的字问题的解可以合并该问题（关键） （4）该问题分解出来的各个⼦问题是相互独⽴的（分治法的效率） （如果具备⼀⼆条，但不具备第三条，可以考虑使⽤贪⼼算法或动态规划） 3.分治法的基本步骤： （1）分解：将原问题分解为若⼲个规模较⼩、互相独⽴、与原问题形式相同的⼦问题。
（2）解决：若⼲问题规模较⼩⽽容易被解决则直接解，否则递归地解各个⼦问题 （3）合并：将各个⼦⽂题的解合并成原问题的解 (记住不是所有的分治法逗逼简单的蛮⼒法简单) 4.分治法的时间性能的与直接计算最⼩问题的时间、合并⼦⽂题解的时间以及⼦问题的个数有关： c n=1T(n)= aT(n/b)+cn^k n>1（其中a,b.c.k都是常数。
这个递推描述了⼤⼩为n的原问题分解为若⼲⼤⼩为n/b的⼦问题，其中a个⼦问题需求求解，⽽cn^k是合并各个⼦问题的解所需要的⼯作量） 当⼦问题的规模之和⼩于原问题的规模时，算法的时间复杂度可达到0(n).⼆.动态规划1.简单的说就是在解决多阶决策的过程中动态的选择最优的过程的⽅法就是动态规划。
2.与分治法的区别：⼀般来说⼦问题不是互相独⽴的，可以理解为是分治法的⼀种改进，不需要求解已有解的⼦问题（已有解的⼦问题⽤表来记录）3.适⽤条件：（1）最优化原理（最优⼦结构）：⼀个最优策略的⼦策略总是最优的---->局部最优，整体最优（2）⽆后效性：每个状态都是过去历史的⼀个完整的总结（3）⼦问题的重叠性：⾼效性（最优⼦结构：当问题的最优解包含其⼦问题的最优解时，称该问题具有最有⼦结构；重叠⼦问题是⼀个递归解决⽅案⾥包含的⼦问题虽然很多，但不同⼦问题很少。
计算机算法设计五大常用算法的分析及实例
计算机算法设计五⼤常⽤算法的分析及实例摘要算法（Algorithm）是指解题⽅案的准确⽽完整的描述，是⼀系列解决问题的清晰指令，算法代表着⽤系统的⽅法描述解决问题的策略机制。
也就是说，能够对⼀定规范的输⼊，在有限时间内获得所要求的输出。
如果⼀个算法有缺陷，或不适合于某个问题，执⾏这个算法将不会解决这个问题。
不同的算法可能⽤不同的时间、空间或效率来完成同样的任务。
其中最常见的五中基本算法是递归与分治法、动态规划、贪⼼算法、回溯法、分⽀限界法。
本⽂通过这种算法的分析以及实例的讲解，让读者对算法有更深刻的认识，同时对这五种算法有更清楚认识关键词：算法，递归与分治法、动态规划、贪⼼算法、回溯法、分⽀限界法AbstractAlgorithm is the description to the problem solving scheme ,a set of clear instructions to solve the problem and represents the describe the strategy to solve the problem using the method of system mechanism . That is to say, given some confirm import，the Algorithm will find result In a limited time。
If an algorithm is defective or is not suitable for a certain job, it is invalid to execute it. Different algorithms have different need of time or space, and it's efficiency are different.There are most common algorithms: the recursive and divide and conquer、dynamic programming method、greedy algorithm、backtracking、branch and bound method.According to analyze the five algorithms and explain examples, make readers know more about algorithm , and understand the five algorithms more deeply.Keywords: Algorithm, the recursive and divide and conquer, dynamic programming method, greedy algorithm、backtracking, branch and bound method⽬录1. 前⾔ (4)1.1 论⽂背景 (4)2. 算法详解 (5)2.1 算法与程序 (5)2.2 表达算法的抽象机制 (5)2.3 算法复杂性分析 (5)3．五中常⽤算法的详解及实例 (6)3.1 递归与分治策略 (6)3.1.1 递归与分治策略基本思想 (6)3.1.2 实例——棋盘覆盖 (7)3.2 动态规划 (8)3.2.1 动态规划基本思想 (8)3.2.2 动态规划算法的基本步骤 (9)3.2.3 实例——矩阵连乘 (9)3.3 贪⼼算法 (11)3.3.1 贪⼼算法基本思想 (11)3.3.2 贪⼼算法和动态规划的区别 (12)3.3.3 ⽤贪⼼算法解背包问题的基本步骤： (12)3.4 回溯发 (13)3.4.1 回溯法基本思想 (13)3.3.2 回溯发解题基本步骤 (13)3.3.3 实例——0-1背包问题 (14)3.5 分⽀限界法 (15)3.5.1 分⽀限界法思想 (15)3.5.2 实例——装载问题 (16)总结 (18)参考⽂献 (18)1. 前⾔1.1 论⽂背景算法（Algorithm）是指解题⽅案的准确⽽完整的描述，是⼀系列解决问题的清晰指令，算法代表着⽤系统的⽅法描述解决问题的策略机制。
五大算法
一、分治算法在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。
字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。
这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)……任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。
问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。
例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。
n=2时，只要作一次比较即可排好序。
n=3时只要作3次比较即可，…。
而当n较大时，问题就不那么容易处理了。
要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。
分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。
这种算法设计策略叫做分治法。
如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n ，且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。
由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。
在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。
这自然导致递归过程的产生。
分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。
几种有限可重组合的公式型解法
几种有限可重组合的公式型解法
1. 枚举法：采用枚举方法对特定问题进行深入分析，试图枚举出可行解。
2. 数学归纳法：该方法是一种凭借一定规律、性质，建立适当的数学模型，运用数学归纳法研究问题的解法。
3. 贪心法：贪心法以局部最优的模式构建整体最优的解决方案，对最优化问题的求解是有益的，尽管其可能未能抵达最优解。
4. 分支定界法：该法利用最优性原理和子问题本质，把未知数确定范围缩小、求解可行性剪枝，以穷举到最优解的有效方法。
5. 动态规划法：这是一种解决复杂最优化问题的数学方法，它利用数学归纳法对问题进行分析、模拟和穷举，并对子问题进行重复解决，最后建立描述最优解的数学模型。
6. 分治法：该方法是将问题划分为若干子问题来求解，可以比较容易地求解出各个子问题，并将解决子问题的解综合起来，得到原问题的解。
7. 回溯法：这是一种非常有效的对搜索问题进行多步决定搜索解的算法。
它有时可被称作"试探优化法"或"逐步减枝算法"，它可以搜索解空间，找出最佳解，回溯法根据当前步已经完成的解，搜索最佳解。
递归，分治算法，动态规划和贪心选择的区别
递归，分治算法，动态规划和贪⼼选择的区别⼀般实际⽣活中我们遇到的算法分为四类：⼀>判定性问题⼆>最优化问题三>构造性问题四>计算性问题⽽今天所要总结的算法就是着重解决最优化问题《算法之道》对三种算法进⾏了归纳总结，如下表所⽰：标准分治动态规划贪⼼算法适⽤类型通⽤问题优化问题优化问题⼦问题结构每个⼦问题不同很多⼦问题重复（不独⽴）只有⼀个⼦问题最优⼦结构不需要必须满⾜必须满⾜⼦问题数全部⼦问题都要解决全部⼦问题都要解决只要解决⼀个⼦问题⼦问题在最优解⾥全部部分部分选择与求解次序先选择后解决⼦问题先解决⼦问题后选择先选择后解决⼦问题分治算法特征：1）规模如果很⼩，则很容易解决。
//⼀般问题都能满⾜2）⼤问题可以分为若⼲规模⼩的相同问题。
//前提3）利⽤⼦问题的解，可以合并成该问题的解。
//关键4）分解出的各个⼦问题相互独⽴，⼦问题不再包含公共⼦问题。
//效率⾼低【⼀】动态规划：依赖：依赖于有待做出的最优选择实质：就是分治思想和解决冗余。
⾃底向上（每⼀步，根据策略得到⼀个更⼩规模的问题。
最后解决最⼩规模的问题。
得到整个问题最优解）特征：动态规划任何⼀个i+1阶段都仅仅依赖 i 阶段做出的选择。
⽽与i之前的选择⽆关。
但是动态规划不仅求出了当前状态最优值，⽽且同时求出了到中间状态的最优值。
缺点：空间需求⼤。
【⼆】贪⼼算法：依赖：依赖于当前已经做出的所有选择。
⾃顶向下（就是每⼀步，根据策略得到⼀个当前最优解。
传递到下⼀步，从⽽保证每⼀步都是选择当前最优的。
最后得到结果）【三】分治算法：实质：递归求解缺点：如果⼦问题不独⽴，需要重复求公共⼦问题---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------贪⼼算法：贪⼼算法采⽤的是逐步构造最优解的⽅法。
贪心算法和动态规划以及分治法的区别？
贪⼼算法和动态规划以及分治法的区别？
贪⼼算法顾名思义就是做出在当前看来是最好的结果，它不从整体上加以考虑，也就是局部最优解。
贪⼼算法从上往下，从顶部⼀步⼀步最优，得到最后的结果，它不能保证全局最优解，与贪⼼策略的选择有关。
动态规划是把问题分解成⼦问题，这些⼦问题可能有重复，可以记录下前⾯⼦问题的结果防⽌重复计算。
动态规划解决⼦问题，前⼀个⼦问题的解对后⼀个⼦问题产⽣⼀定的影响。
在求解⼦问题的过程中保留哪些有可能得到最优的局部解，丢弃其他局部解，直到解决最后⼀个问题时也就是初始问题的解。
动态规划是从下到上，⼀步⼀步找到全局最优解。
（各⼦问题重叠）
分治法（divide-and-conquer）：将原问题划分成n个规模较⼩⽽结构与原问题相似的⼦问题；递归地解决这些⼦问题，然后再合并其结果，就得到原问题的解。
（各⼦问题独⽴）
分治模式在每⼀层递归上都有三个步骤：
分解（Divide）：将原问题分解成⼀系列⼦问题；
解决（conquer）：递归地解各个⼦问题。
若⼦问题⾜够⼩，则直接求解；
合并（Combine）：将⼦问题的结果合并成原问题的解。
例如归并排序。
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一、动态规划法与分治法的区别：
1．共同点：
将待求解的问题分解成若干子问题，先求解子问题，然后再从这些子问题的解得到原问题的解。
2. 不同点：
○1、适合于用动态规划法求解的问题，分解得到的各子问题往往不是相互独立的；而分治法中子问题相互独立。
○2、动态规划法用表保存已求解过的子问题的解，再次碰到同样的子问题时不必重新求解，而只需查询答案，故可获得多项式级时间复杂度，效率较高；而分治法中对于每次出现的子问题均求解，导致同样的子问题被反复求解，故产生指数增长的时间复杂度，效率较低
二、动态规划法与贪心法的区别
1、共同点：
都要求问题具有最优子结构性质。
2、不同点：
○1求解方式不同：
动态规划法：自底向上；具有最优子结构性质的问题有些只能用动态规划法，有些可用贪心法。
贪心法：自顶向下；
○2对子问题的依赖不同：
动态规划法：依赖于各子问题的解，所以应使各子问题最优，才能保证整体最优；贪心法：依赖于过去所作过的选择，但决不依赖于将来的选择，也不依赖于子问题的解。
三、本章小结
1、动态规划法：是一种求解最优化问题的算法设计策略；
用于处理不具备贪心准则的问题；用于解决分治法的子问题重叠现象；
2、动态规划法的两个基本要素：
最优子结构特性和重叠子问题
备忘录方法是动态规划法的一个变种，采用自顶向下直接递归的方式计算最优解，避免相同子问题的重复。