第1章动态规划方法
动态规划方法求解线性规划问题
动态规划方法求解线性规划问题1. 线性规划问题简介线性规划是一种常见的数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最优解。
它的目标是在给定的约束条件下，找到使目标函数取得最大（或者最小）值的变量取值。
2. 动态规划方法概述动态规划是一种通过将问题分解为子问题并逐步解决的方法。
它适合于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
对于线性规划问题，动态规划方法可以通过将问题分解为多个子问题，并利用子问题的最优解来求解整体问题的最优解。
3. 动态规划方法求解线性规划问题的步骤步骤1: 定义状态首先，我们需要定义状态变量。
对于线性规划问题，状态变量可以是目标函数的值，或者是满足约束条件的变量取值。
步骤2: 定义状态转移方程接下来，我们需要定义状态之间的转移关系。
对于线性规划问题，状态转移方程可以表示为：dp[i] = max(dp[i-1] + a[i], a[i])其中，dp[i]表示第i个状态的最优值，a[i]表示第i个状态的值。
步骤3: 初始化状态在动态规划方法中，我们需要初始化第一个状态的值。
对于线性规划问题，我们可以将第一个状态的值设置为目标函数的初始值。
步骤4: 递推求解最优解接下来，我们可以使用状态转移方程递推求解最优解。
通过计算每一个状态的最优值，我们可以得到整体问题的最优解。
步骤5: 回溯求解最优解最后，我们可以通过回溯的方式求解最优解的具体取值。
通过追踪每一个状态的转移路径，我们可以找到使目标函数取得最大（或者最小）值的变量取值。
4. 动态规划方法求解线性规划问题的实例为了更好地理解动态规划方法求解线性规划问题的过程，我们来看一个具体的实例。
假设有一个线性规划问题，目标是最大化目标函数：maximize 3x + 4y约束条件为：2x + y <= 10x + 3y <= 15x, y >= 0我们可以按照以下步骤使用动态规划方法求解该线性规划问题：步骤1: 定义状态我们定义状态变量为目标函数的值，即dp[i]表示目标函数的值为i时的最优解。
动态规划方法求解线性规划问题
动态规划方法求解线性规划问题一、引言线性规划是运筹学中的一种重要的数学优化方法，用于在给定的线性约束条件下，寻觅使目标函数达到最大或者最小的变量值。
而动态规划是一种通过将问题分解为子问题并逐步求解的方法。
本文将介绍如何使用动态规划方法来求解线性规划问题。
二、问题描述假设我们有一个线性规划问题，目标是最大化或者最小化一个线性目标函数，同时满足一组线性约束条件。
我们需要找到一组变量的取值，使得目标函数达到最大或者最小值。
三、动态规划方法求解线性规划问题的步骤1. 确定状态在动态规划中，我们需要定义状态以便进行问题的分解。
对于线性规划问题，我们可以将每一个变量的取值作为一个状态。
2. 确定状态转移方程状态转移方程定义了如何从一个状态转移到另一个状态。
对于线性规划问题，我们可以通过约束条件来定义状态转移方程。
每一个约束条件都可以表示为一个线性不等式，例如：ax + by <= c。
我们可以根据这些不等式来确定状态的转移方式。
3. 确定初始状态和边界条件初始状态是指问题的起始状态，边界条件是指问题的结束状态。
对于线性规划问题，初始状态可以是变量的初始取值，边界条件可以是目标函数的最大或者最小值。
4. 确定最优解通过计算每一个状态的值，并根据状态转移方程逐步更新状态的值，我们可以找到最优解。
最优解是指使目标函数达到最大或者最小值的变量取值。
5. 输出最优解最后，我们将最优解输出为线性规划问题的解。
四、示例为了更好地理解动态规划方法求解线性规划问题，我们举一个简单的例子来说明。
假设我们有以下线性规划问题：目标函数：maximize 2x + 3y约束条件：x + y <= 10x >= 0y >= 0首先，我们确定状态。
在这个例子中，我们可以将x和y的取值作为状态。
然后，我们确定状态转移方程。
根据约束条件，我们可以得到以下状态转移方程：dp[x][y] = max(dp[x-1][y], dp[x][y-1])接下来，我们确定初始状态和边界条件。
动态规划方法求解线性规划问题
动态规划方法求解线性规划问题引言概述：线性规划是一种常见的优化问题，动态规划是一种常用的解决优化问题的方法。
本文将介绍动态规划方法在线性规划问题中的应用。
首先，我们将讨论线性规划问题的定义和特点，然后介绍动态规划方法的基本原理和步骤。
接下来，我们将详细阐述动态规划方法在线性规划问题中的五个关键点，并对每个关键点进行详细的解释。
最后，我们将总结动态规划方法在线性规划问题中的应用优势、限制和未来研究方向。
正文内容：1. 线性规划问题的定义和特点1.1 线性规划问题的定义线性规划是一种数学优化问题，目标是在一组线性约束条件下，找到使目标函数最优的变量值。
线性规划问题的目标函数和约束条件均为线性函数。
1.2 线性规划问题的特点线性规划问题具有可加性、线性性和可分性的特点。
可加性意味着问题可以分解为多个子问题进行求解；线性性意味着目标函数和约束条件均为线性函数；可分性意味着问题的解可以通过分别求解子问题得到。
2. 动态规划方法的基本原理和步骤2.1 动态规划方法的基本原理动态规划方法是一种将问题分解为相互重叠的子问题，并通过存储子问题的解来避免重复计算的方法。
它通过构建一个状态转移方程来描述问题的最优解与子问题的最优解之间的关系。
2.2 动态规划方法的步骤动态规划方法的步骤包括问题建模、状态定义、状态转移方程的定义、边界条件的确定和最优解的计算。
首先，将原问题转化为子问题，并定义问题的状态。
然后，通过定义状态转移方程，将问题的最优解与子问题的最优解建立关系。
确定边界条件后，可以通过迭代计算得到问题的最优解。
3. 动态规划方法在线性规划问题中的五个关键点3.1 线性规划问题的拆分将线性规划问题拆分为多个子问题，使得每个子问题都是一个线性规划问题。
这样可以降低问题的复杂度，使得问题更易于求解。
3.2 子问题的状态定义根据线性规划问题的特点，定义子问题的状态。
状态可以包括变量的取值范围、目标函数值和约束条件等信息。
动态规划方法求解线性规划问题
动态规划方法求解线性规划问题引言概述：动态规划是一种常用的优化方法，可以用于求解各种复杂的问题。
在线性规划问题中，动态规划方法也可以发挥重要作用。
本文将介绍动态规划方法在求解线性规划问题中的应用，并分为四个部份进行详细阐述。
一、线性规划问题的定义和特点1.1 线性规划问题的定义线性规划是一种数学建模方法，用于求解一类特殊的优化问题。
它的目标函数和约束条件都是线性的。
1.2 线性规划问题的特点线性规划问题具有可行解的存在性、有界性和最优性。
同时，线性规划问题的解空间是一个凸多面体。
二、动态规划方法的基本思想2.1 动态规划的基本原理动态规划是一种将问题分解为子问题并保存子问题解的方法。
通过递归地求解子问题，最终得到原问题的解。
2.2 动态规划方法的三个基本步骤动态规划方法包括问题的划分、状态的定义和状态转移方程的建立。
通过这三个步骤，可以得到问题的最优解。
2.3 动态规划方法的优点动态规划方法具有时间和空间复杂度低的优点，可以有效地求解大规模的优化问题。
三、动态规划方法在线性规划问题中的应用3.1 线性规划问题的动态规划模型将线性规划问题转化为动态规划模型，可以通过动态规划方法求解。
其中，状态的定义和状态转移方程的建立是关键。
3.2 动态规划方法求解线性规划问题的步骤通过将线性规划问题转化为动态规划模型，可以按照动态规划方法的三个基本步骤求解线性规划问题。
3.3 动态规划方法求解线性规划问题的实例通过一个具体的实例，详细介绍动态规划方法在求解线性规划问题中的具体应用步骤和求解过程。
四、动态规划方法在线性规划问题中的局限性和改进方法4.1 动态规划方法的局限性动态规划方法在求解线性规划问题时，可能会面临状态空间过大、计算复杂度高等问题。
4.2 动态规划方法的改进方法为了解决动态规划方法的局限性，可以采用剪枝策略、状态压缩等方法来提高求解效率。
结论：动态规划方法在求解线性规划问题中具有重要的应用价值。
动态规划的基本概念与方法
动态规划的基本概念与方法动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是解决一类最优化问题的一种方法，也是算法设计中的重要思想。
动态规划常用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
它将问题分解为子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。
动态规划的基本概念是“最优子结构”。
也就是说，一个问题的最优解可以由其子问题的最优解推导出来。
通过分解问题为若干个子问题，可以形成一个递归的求解过程。
为了避免重复计算，动态规划使用一个表格来保存已经计算过的子问题的解，以便后续直接利用。
这个表格也被称为“记忆化表”或“DP表”。
动态规划的基本方法是“状态转移”。
状态转移指的是，通过已求解的子问题的解推导出更大规模子问题的解。
常用的状态转移方程可以通过问题的递推关系定义。
通过定义好状态转移方程，可以通过迭代的方式一步步求解问题的最优解。
在动态规划中，通常需要三个步骤来解决问题。
第一步，定义子问题。
将原问题划分为若干个子问题。
这些子问题通常与原问题具有相同的结构，只是规模更小。
例如，对于计算斐波那契数列的问题，可以定义子问题为计算第n个斐波那契数。
第二步，确定状态。
状态是求解问题所需要的所有变量的集合。
子问题的解需要用到的变量就是状态。
也就是说，状态是问题（解决方案）所需要的信息。
第三步，确定状态转移方程。
状态转移方程通过已求解的子问题的解推导出更大规模子问题的解。
通常情况下，状态转移方程可以通过问题的递推关系确定。
在实际应用中，动态规划常用于求解最优化问题。
最优化问题可以归纳为两类：一类是最大化问题，另一类是最小化问题。
例如，最长递增子序列问题是一个典型的最大化问题，而背包问题是一个典型的最小化问题。
动态规划的优势在于可以解决许多复杂问题，并且具有可行的计算复杂度。
但是，动态规划也有一些限制。
首先，动态规划要求问题具有重叠子问题和最优子结构性质，不是所有问题都能够满足这两个条件。
其次，动态规划需要存储计算过的子问题的解，对于一些问题来说，存储空间可能会非常大。
动态规划方法求解线性规划问题
动态规划方法求解线性规划问题动态规划是一种常用的优化方法，可以用来求解线性规划问题。
线性规划是数学规划的一种重要方法，它通过线性约束条件和线性目标函数来求解最优解。
在实际应用中，线性规划时常遇到大规模问题，传统的求解方法效率较低。
而动态规划方法可以通过将大问题分解为小问题，并利用子问题的最优解来求解整个问题的最优解，从而提高求解效率。
动态规划方法求解线性规划问题的步骤如下：1. 确定问题的状态：将线性规划问题转化为动态规划问题时，需要确定问题的状态。
对于线性规划问题，状态可以是决策变量的取值范围或者问题的某种特征。
2. 定义状态转移方程：根据问题的状态，定义状态转移方程。
状态转移方程描述了问题从一个状态转移到另一个状态时的转移规则。
3. 确定边界条件：确定问题的边界条件，即问题的初始状态和结束状态。
4. 构建动态规划表：根据状态转移方程和边界条件，构建动态规划表。
动态规划表是一个二维表格，用于存储问题的中间结果。
5. 填充动态规划表：根据状态转移方程和边界条件，填充动态规划表。
填充的过程是从表格的左上角开始，逐行逐列地计算表格中的每一个单元格的值，直到填充到右下角。
6. 根据动态规划表求解最优解：根据填充好的动态规划表，可以得到问题的最优解。
最优解可以通过回溯法得到，即从右下角开始，根据动态规划表的值和状态转移方程，逆向推导出问题的最优解。
动态规划方法求解线性规划问题的优点在于可以将大问题分解为小问题进行求解，并且可以利用子问题的最优解来求解整个问题的最优解。
这样可以大大提高求解效率，特殊是对于大规模问题来说。
此外，动态规划方法还具有较好的可扩展性和灵便性，可以根据问题的特点进行相应的调整和优化。
举例来说，假设有一个线性规划问题，要求在满足一定约束条件的情况下，最大化目标函数的值。
可以将该问题转化为动态规划问题，并按照上述步骤进行求解。
首先确定问题的状态，可以将决策变量的取值范围作为状态。
然后定义状态转移方程，根据问题的约束条件和目标函数，确定状态之间的转移规则。
动态规划方法求解线性规划问题
动态规划方法求解线性规划问题动态规划是一种常用的优化方法，可以用于求解线性规划问题。
线性规划是一种数学建模方法，用于在给定的约束条件下最大化或最小化线性目标函数。
在实际问题中，线性规划经常出现，例如资源分配、生产计划、运输问题等。
动态规划方法是一种将问题分解为子问题并逐步求解的方法。
它的基本思想是通过对问题的分析，将大问题分解为小问题，并将小问题的解组合起来得到整个问题的最优解。
动态规划方法适用于具有最优子结构和重叠子问题性质的问题。
下面以一个具体的线性规划问题为例，介绍动态规划方法的求解步骤：假设有一个生产厂家需要生产两种产品A和B，每种产品的生产需要消耗不同的资源，并且有一定的利润。
资源的供应是有限的，且每种产品的生产数量也是有限的。
现在需要确定生产哪些产品以及生产的数量，使得总利润最大化。
首先，将问题转化为数学模型。
假设产品A的单位利润为5，产品B的单位利润为8，产品A的生产需要消耗1个资源，产品B的生产需要消耗2个资源。
假设资源的供应量为10，且产品A和产品B的生产数量都不能超过5。
定义状态变量和决策变量。
假设状态变量为i，表示第i个资源的剩余量，决策变量为x，表示生产产品A的数量。
建立状态转移方程。
根据题目要求，可以得到状态转移方程为：f(i) = max(f(i-1), f(i-1) + 5 * x)其中，f(i)表示剩余资源为i时的最大利润。
确定边界条件。
当剩余资源为0时，最大利润为0，即f(0) = 0。
通过递推求解。
根据状态转移方程和边界条件，可以递推求解出剩余资源为10时的最大利润。
最后，根据求解出的最大利润，可以确定生产产品A和产品B的数量，以及最终的利润。
以上是动态规划方法求解线性规划问题的基本步骤。
在实际应用中，可能会涉及更多的约束条件和决策变量，需要根据具体情况进行建模和求解。
需要注意的是，动态规划方法虽然可以有效地求解线性规划问题，但对于复杂的问题，可能需要较大的计算量和时间复杂度。
动态规划法的一般方法
动态规划法的⼀般⽅法在学习动态规划法之前，我们先来了解动态规划的⼏个概念1、阶段：把问题分成⼏个相互联系的有顺序的⼏个环节，这些环节即称为阶段。
2、状态：某⼀阶段的出发位置称为状态。
3、决策：从某阶段的⼀个状态演变到下⼀个阶段某状态的选择。
4、状态转移⽅程：前⼀阶段的终点就是后⼀阶段的起点，前⼀阶段的决策选择导出了后⼀阶段的状态，这种关系描述了由k阶段到k+1阶段状态的演变规律，称为状态转 移⽅程。
动态规划法的定义：在求解问题中，对于每⼀步决策，列出各种可能的局部解，再依据某种判定条件，舍弃那些肯定不能得到最优解的局部解，在每⼀步都经过筛选，以每⼀步都是最优解来保证全局是最优解，这种求解⽅法称为动态规划法。
⼀般来说，适合于⽤动态规划法求解的问题具有以下特点：1、可以划分成若⼲个阶段，问题的求解过程就是对若⼲个阶段的⼀系列决策过程。
2、每个阶段有若⼲个可能状态3、⼀个决策将你从⼀个阶段的⼀种状态带到下⼀个阶段的某种状态。
4、在任⼀个阶段，最佳的决策序列和该阶段以前的决策⽆关。
5、各阶段状态之间的转换有明确定义的费⽤，⽽且在选择最佳决策时有递推关系（即动态转移⽅程）。
动态规划设计都有着⼀定的模式，⼀般要经历以下⼏个步骤：1、划分阶段：按照问题的时间或空间特征，把问题分为若⼲个阶段。
2、确定状态：将问题发展到各个阶段时所处的各种客观情况⽤不同的状态表⽰出来。
3、确定决策并写出状态转移⽅程：因为决策和状态转移有着天然的联系，状态转移就是根据上⼀阶段的状态和决策来导出本阶段的状态，所以如果确定了决策，状态转移⽅程也就可以写出。
4、寻找边界条件：给出的状态转移⽅程是⼀个递推式，需要⼀个递推的终⽌条件或边界条件。
5、程序设计实现：动态规划的主要难点在于理论上的设计，⼀旦设计完成，实现部分就会⾮常简单。
根据以上的步骤设计，可以得到动态规划设计的⼀般模式：for k:=阶段最⼩值to 阶段最⼤值do {顺推每⼀个阶段}for I:=状态最⼩值to 状态最⼤值do {枚举阶段k的每⼀个状态}for j:=决策最⼩值to 决策最⼤值do {枚举阶段k中状态i可选择的每⼀种决策}f[ik]:=min（max）{f[ik-1]+a[ik-1，jk-1]|ik-1通过决策jk-1可达ik}例如：多段图G=(V,E)是⼀个有向图。
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动态规划
1 最短路径问题 2 贝尔曼最优化原理 3 WinQSB软件应用
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动态规划是解决多阶段决策问题 的一种方法. 1951年，美国数学 家贝尔曼（R.Bellman， 1920～1984）研究了一类多阶 段决策问题的特征，提出了解决 这类问题的基本原理。在研究、 解决了某些实际问题的基础上， 他于1957年出版了《动态规划》 这一名著。本章将简要介绍动态 规划的思想方法及其应用。
min{d ( Sk , X ( Sk )) f k -1 ( X (Sk ))}, k 2,3,..., n, f k ( Sk ) x k ( Sk ) f1 (S1 ) min{d (S1 , X1 (S1 ))} d (S1 , X1 (S1 )).
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第10章 动态规划方法
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动态规划（Dynamic Programming）同前 面介绍过的线性规划方法不同，它不是一种算法，而 是考察问题的一种途径。动态规划是一种求解多阶段 决策问题的系统技术。由于动态规划不是一种特定的 算法，因而它不像线性规划那样有一个标准的数学表 达式和明确定义的一组规则，动态规划必须对具体问 题进行具体的分析处理。动态规划在自然科学和社会 科学等各个领域都有着广泛的应用，并且获得了显著 的效果。
此关系被称为求最短路径的动态规划基本方程。 求解最短路径问题的过程，本质上是解上述基 本方程的过程。
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2 贝尔曼最优化原理
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2 贝尔曼最优化原理
将求解最短路径问题的思路推广到一般多 阶段决策问题时，可以表述成： 贝尔曼最优化原理：一个过程的最优策略 具有这样的性质，即无论其初始状态和初 始决策如何，今后的诸决策，对以第一个 决策所形成的状态作为初始状态的过程而 言，必须构成最优策略。 这个原理是动态规划的理论基础。
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d ( B1 , C1 ) f1 (C1 ) 6 5 f 2 ( B1 ) min min 11 5 8 d ( B1 , C2 ) f1 (C2 )
15
1 最短路径问题
从 B1 出发到终点E最短路径为“B1 C1 E ”， * X 决策变量 2 (B1 ) C1 ； 从B2出发到终点E最短路径为“B2 C1 E ”， * X 决策变量 2 (B2 ) C1 ； S3 可以取 A1 , A2 , A3 在阶段3： 中任意一个， 对应的有 d ( A , B ) f ( B ) 6 11
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1 最短路径问题
(a)
(b)
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1 最短路径问题
分析：如果用枚举法，将有12条不同的路 径，每条路径对应一个由S到E的路径距离， 其中最小值所对应的路径即为最短路径。本 问题的最短路径有3条，路程均为21个单位： 第1条： S A1 B1 C1 E
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2 贝尔曼最优化原理
应用动态规划方法解决一般多阶段决策问题时，其求 解过程如下： （1）把实际问题适当地划分成k个阶段，阶段变量 为k (k 1, 2,..., n) ； （2）在每个阶段k，确定状态变量 Sk 为及此阶段可 能的状态集合 {Sk } ； （3）确定决策变量 X k (Sk ) 及每个阶段k的允许决策 xk (Sk ) {X k (Sk )} 集合 ； （4）列出递推关系即动态规划基本方程并计算：
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2 贝尔曼最优化原理
(a)
(b)
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2 贝尔曼最优化原理
A B; B C; C D; D E. 解 划分成4个阶段： 阶段变量依次为4，3，2，1，如图2所示. 设 阶段k的状态变量为Sk , k 1, 2,3, 4 。 f1 ( D1 ) 3, f1 ( D2 ) 4 在阶段1： S2 可以取 C1, C2 , C3 在阶段2： 中任意一个， 对应的有 d (C , D ) f ( D ) 1 3
min{d ( Sk , X ( Sk )) f k -1 ( X ( Sk ))}, k 2,3,..., n, f k ( Sk ) X k ( Sk ) f1 (S1 ) min{d (S1 , X 1 (S1 ))} d (S1 , X 1 (S1 )).
f1 (C1 ) 5, f1 (C2 ) 8
在阶段2：S2 可以取 B1, B2 中任意一个，对应的有
d ( B2 , C1 ) f1 (C1 ) 9 5 f 2 ( B2 ) min min 14 8 8 d ( B2 , C2 ) f1 (C2 )
2 贝尔曼最优化原理
【例2】（石油输送管道铺设优选问题）某石 油公司计划从A地到E地铺设一条石油输送管 道，为此在A地与E地之间必须建立三个油泵 加压站，如图2所示， 其中 B, C, D 分别为必 须建站的地区，而 B1, B2 , B3 , C1, C2 , C3 , D , D 分别为可供选择的各站点，各点连线上的数字 表示相邻站点间铺设输送管道所需费用. 问： 如何铺设石油输送管道，能使总费用最少？
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1 最短路径问题
以 d (Sk , X k (Sk )) 表示在阶段k的状态变量为 Sk 、决策 变量为 X k (Sk ) 时点 Sk 与 X k (Sk ) 间的距离；记 f k ( Sk ) 为在阶段k由点 Sk 到终点E的最短路径的长度。本例 中要求的是 f4 (S ) 。 在阶段1：S1 可以取 C1, C2 中任意一个，对应的有
* 3 2 1
3 1 1
；
d ( S , A1 ) f3 ( A1 ) 4 17 f 4 ( S ) min d ( S , A2 ) f 3 ( A2 ) min 3 19 21 d (S , A ) f ( A ) 3 18 3 3 3
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1 最短路径问题
为了寻找由起点S到E终点的最短路径，我 们考察前面用枚举法找到的第1条最短路径：
S A1 B1 C1 E
A1 B1 C1 E 容易看出：子路径“ ” 也应 A1 是从 出发到终点E的所有路径中最短的一条。
这个现象启发我们从阶段1开始，逐段逆向地 求出各点到终点E的最短路径，最后求得由起 点S到终点E的最短路径，这就是动态规划的 基本思想。
1 1 1 1 f 2 (C1 ) min min 4 4 4 d (C1 , D2 ) f1 ( D2 ) d (C2 , D1 ) f1 ( D1 ) 6 3 f 2 (C2 ) min min 7 3 4 d (C2 , D2 ) f1 ( D2 ) d (C3 , D1 ) f1 ( D1 ) 3 3 f 2 (C3 ) min min 6 3 4 d (C3 , D2 ) f1 ( D2 )
第2条： S A3 B1 C1 E
S A3 B2 C1 E 第3条：
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1 最短路径问题
当段数很多时，枚举法的计算量将极其庞大。 现在换个思路，寻找由S到E的最短路径。先 把最短路径问题所考虑的过程分为4个阶段： 由S到 Ai (i 1, 2,3) 为第1阶段； Bj ( j 1, 2) 由 Ai (i 1, 2,3) 到 为第2阶段； 由 由
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1 最短路径问题
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1 最短路径问题
【例1】设在E城的某公司要从S城运送一批 货物，两城之间有公路相连（见图 1(a)）， 其中 Ai (i 1, 2,3), Bj ( j 1, 2), Cl (l 1, 2) 是可以供选择的途经站点，各点连线上的数 字表示相邻站点间的距离。现在的问题是选择 一条由S到E的路径，使得所经过的路径最短。
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1 最短路径问题
因此，由起点S到终点E的最短路径为
S A1 B1 C1 E； S A3 B1 C1 E； S A3 B2 C1 E.
最短路径长度为21单位长度。
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1 最短路径问题
由上述计算过程可知，对有n个阶段的最短 路径问题，可以逐段逆向地求出各点到终 点的最短路径，且在求解的每一步都利用 阶段k和阶段k-1间的递推关系：
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1 最短路径问题
从 A1出发到终点E最短路径为 A1 B1 C1 E * X “ 3 ( A1 ) B1 ”，决策变量 ； 从 A2 出发到终点E最短路径为A2 B1 C1 E “ X (A ) B ”，决策变量 ； 从 A3 出发到终点E最短路径为 A B C E * X B2 “ ”，决策变量 或 3 (A 3) B 1 S4 只可以取S，于是 最后，在阶段4：
1 1 2 1 f3 ( A1 ) min min 17; 5 14 d ( A1 , B2 ) f 2 ( B2 ) d ( A2 , B1 ) f 2 ( B1 ) 8 11 f3 ( A2 ) min min 19; 6 14 d ( A2 , B2 ) f 2 ( B2 ) d ( A3 , B1 ) f 2 ( B1 ) 7 11 f3 ( A3 ) min min 18 4 14 d ( A3 , B2 ) f 2 ( B2 )