2020年北京市平谷区初三数学一模试卷及参考答案
2020年北京市平谷区初三一模试卷数学 2020.5第1—8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.1.面对突如其来的疫情,全国广大医务工作者以白衣为战袍,义无反顾的冲在抗疫战争的一线,用生命捍卫人民的安全.据统计,全国共有346支医疗队,将近42600名医护工作者加入到支援湖北武汉的抗疫队伍,将42600用科学计数法表示为A.0.426×105B.4.26×104C.42.6×103D.426×1022.剪纸是我们国家特别悠久的民间艺术形式之一,它是人们用祥和的图案企望吉祥、幸福的一种寄托.下列剪纸图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是3.n边形的内角和为1800°,则该n边形的边数为A.12B.10C.8D.64.若已知实数a,b满足ab<0,且a+b>0,则a,b在数轴上的位置正确的是5.已知锐角∠AOB如图,(1)在射线OA上取一点C,以点O为圆心,OC长为半径作弧DE,交射线OB于点F,连接CF;(2)以点F为圆心,CF长为半径作弧,交弧DE于点G;(3)连接FG,CG.作射线OG.根据以上作图过程及所作图形,下列结论中错误的是A.∠BOG=∠AOBB.若CG=OC则∠AOB=30°C.OF垂直平分CGD.CG=2FG6.如果m−n−3=0,那么代数式(m2n −n)·nm+n的值为A.3B.2C.−3D.−27.如图是6×6的正方形网格,点A,B均在格点上.如果点C也在此正方形网格的格点上,且∠ACB=90°,则满足条件的点C共有A.3个B.4个C.6个D.8个8.某校在“爱护地球,绿化祖国”的活动中,组织同学开展植树造林活动,为了了解同学的植树情况,学校抽查了初一年级所有同学的植树情况(初一年级共有两个班),并将调查数据整理绘制成如下所示的部分数据尚不完整的统计图表.下面有四个推断:①a的值为20; ②初一年级共有80人;③一班植树棵树的众数是3; ④二班植树棵树的是中位数2.其中合理的是A.①③B.②④C.②③D.②③④二、填空题(本题共16分,每小题2分)9.因式分解:2a2−4a+2=.10.如图为某几何体的展开图,该几何体的名称是.11.若代数式x有意义,则实数x的取值范围是.x−112.二次函数y=ax2+bx+c(0≤x≤3)的图象如图所示,则y的取值范围是.13.用一组a,b的值说明命题“如果a>b,那么a2>b2”是错误的,这组值可以是.14.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=6,点E、F是BC的三等分点,连接AF,DE,相交于点M,则线段ME的长为.15.我国古代数学著作《孙子算经》中记载了这样一个有趣的数学问题“今有五等诸侯,共分橘子60颗,人别加三颗,问五人各得几何?”题目大意是:诸侯5人,共同分60个橘子,若后面的人总比前一个人多分3个,问每个人各分得多少个橘子?若设中间的那个人分得x个,依题意可列方程得.16.某公司计划招募10名技术人员,他们对20名面试合格人员进行了测试,测试包括理论知识和实践操作两部分,20名应聘者的成绩排名情况如图所示.下面有3个推断:①甲测试成绩非常优秀,入选的可能性很大;②乙的理论知识排名比实践操作排名靠前;③位于椭圆形区域内的应聘者应该加强该专业理论知识的学习.其中合理的是.(写序号)三、解答题(本题共68分,第17~21题,每小题5分,第22~27题,每小题6分,第28题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17.计算：3tan30°−(π−4)0+(12)−1+|√3−2|18.解不等式组：{4(x −1)<x +23x+12>x19.如图,OG 平分∠MON ,点A 是OM 边上一点,过点A 作AB ⊥OG 于点B,C 为线段OA 中点,连结BC .求证:BC ∥ON .20.关于x 的一元二次方程x 2−2kx +k 2+k −2=0有两个不相等的实数根.(1)求k 的取值范围;(2)若k 为正整数,求k 的值及此时方程的根.21.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过B点作BF∥AC,过C点作CF∥BD,BF与CF 相交于点F.(1)求证:四边形BFCO是菱形;(2)连接OF、DF,若AB=2,tan∠OFD=23求AC的长.22.如图,等边△ABC,作它的外接圆☉O,连接AO并延长交☉O于点D,交BC于点E,过点D作DF∥BC,交AC的延长线于点F.(1)依题意补全图形并证明:DF与☉O相切;(2)若AB=6,求CF的长.(x>0)的图象G与直线l:y=2x−4交于点23.在平面直角坐标系中,反比例函数y=kxA(3,a).(1)求k的值;(2)已知点P(0,n)(n>0),过点P作平行于x轴的直线,与图象G交于点B,与直线l交于点C.横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象G在点A,B之间的部分与线段AC,BC 围成的区域(不含边界)为W.①当n=5时,直接写出区域W内的整点个数;②若区域W内的整点恰好为3个,结合函数图象,直接写出n的取值范围.24.2013年11月,习近平同志到湖南湘西考察时,首次作出了“实事求是、因地制宜、分类指导、精准扶贫”的重要指示.精准扶贫一方面要为贫困把脉,找准原因.各省各地区分别对建档立卡的贫困人员进行摸底调查.如图1为某省2013年底随机抽取40000名建档立卡的贫困人员,对他们的致贫原因进行了抽样调查的问卷结果.另一方面,精准扶贫要对症下药,2013至2018年,中央财政安排专项扶贫资金从394亿元增加到1060亿元,累计投入3882亿元;加大贫困地区基础设施建设,进一步完善医疗保险制度;鼓励贫困户自主创业为其优先提供贷款支持.党和人民的共同努力,扶贫工作取得了很大进展,如图2,2013年至2016年,我国现行标准下的农村贫困人口由8249万人减少至4335万人,2018年底,全国贫困人口减至1660万人,贫困发生率从2013年的10.2%降至1.7%.(2)贫困发生率指的是低于贫困线的人口占该地区全部人口的比例.(贫困发生率=贫困人数÷统计全人数×100%).贫困发生率是否低于3%,是判断一个地区是否脱贫的一项重要指标.我国从年开始达到了这个标准;(3)结合2013年底的抽样调查结果,下列推断合理的是: .①生病是导致贫困的最主要原因,因此需要进一步完善医疗保险制度;②全省约有1800人因贫穷面临辍学;③通过各地捐款,可以有效缓解了生产资金短缺的困难;④约有将近五分之一的贫困人口缺少劳动力和技术支持,我们可以通过实用技术培训,使有劳动能力的贫困人口和有意愿的残疾贫困人口掌握一技之长.25.如图,P是△ABC外部的一定点,D是线段BC上一动点,连接PD交AC于点E.小明根据学习函数的经验,对线段PD,PE,CD的长度之间的关系进行了探究.下面是小明的探究过程,请补充完整:(1)对于点D在BC上的不同位置,画图、测量,得到了线段PD,PE,CD的长度的几组值,如下表:在PD,PE,CD的长度这三个量中,确定的长度是自变量, 的长度和的长度都是这个自变量的函数;(2)在同一平面直角坐标系xOy中,画出(1)中所确定的两个函数的图象;(3)结合函数图象,解决问题:连接CP,当△PCD为等腰三角形时,CD的长度约为cm.(精确到0.1)26.在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=x2−2mx+1图象与y轴的交点为A,将点A向右平移4个单位长度得到点B.(1)直接写出点A与点B的坐标;(2)求出抛物线的对称轴(用含m的式子表示);(3)若函数y=x2−2mx+1的图象与线段AB恰有一个公共点,求m的取值范围.27.在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,将线段AB绕点A逆时针旋转α(0°<α<90°)得到线段AD.作射线BD,点C关于射线BD的对称点为点E.连接AE,CE.(1)依题意补全图形;(2)若α=20°,直接写出∠AEC的度数;(3)写出一个α的值,使AE=√2时,线段CE的长为√3−1,并证明.28.在△ABM中,∠ABM=90°,以AB为一边向△ABM的异侧作正方形ABCD,以A为圆心,AM为半径作☉A,我们称正方形ABCD为☉A的“关于△ABM的友好正方形”,如果正方形ABCD恰好落在☉A的内部(或圆上),我们称正方形ABCD为☉A的“关于△ABM的绝对友好正方形”,例如,图1中正方形ABCD是☉A的“关于△ABM的友好正方形”.(1)如图2,在△ABM中,BA=BM,∠ABM=90°,在图中画出☉A的“关于△ABM的友好正方形ABCD”;(k>0,x>0)上,它的横坐标是2,过点A作AB⊥y轴于B,若(2)若点A在反比例函数y=kx正方形ABCD为☉A的“关于△ABO的绝对友好正方形”求k的取值范围;(3)若点A是直线y=−x+2上的一个动点,过点A作AB⊥y轴于B,若正方形ABCD为☉A的“关于△ABO的绝对友好正方形”,求出点A的横坐标m的取值范围.2020北京平谷初三一模数学参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．(2a−1)2；10．圆柱；11．x≠1；12．−1≤y≤3；13．答案不唯一，如a=0，b=−1；；14．5415.(x−6)+(x−3)+x+(x+3)+(x+6)=60;或5x=6016．②③．三、解答题(本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-27题，每小题6分，第28题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.−1+2+2−√3····················4分17.解：原式=3×√33=3···················5分18.解：由①得4x−4<x+2x<2 (1)由②得3x+1>2x (2)x>−1 (3)∴−1<x<2 (5)19.证明：∵OG平分∠MON∴∠MOG=∠NOG (1)∵AB⊥OG于点B∴∠ABO=90° (2)∵C为线段OA中点AO=CO (3)BC=12∴∠MOG=∠CBO (4)∴∠NOG=∠CBO∴BC∥ON (5)20．解：(1)∆=(−2k)2−4(k2+k−2) (1)=−4k+8 (2)∵有两个不相等的实数根∴−4k+8>0∴k<2 (3)(2)∵k<2且k为正整数∴k=1 (4)∴x2−2x=0解得x1=0，x2=2． (5)21．(1)证明：∵BF∥AC，CF∥BD∴四边形OBFC是平行四边形 (1)∵矩形ABCD∴AC=BD,BO=12BD,CO=12AC∴OB=OC∴四边形OBFC是菱形.............................................２（2）解:连接FO并延长交AD于H，交BC于K∵菱形OBFC∴∠BKO=90° (3)∵矩形ABCD∴∠DAB=∠ABC=90°，OA=OD∴四边形ABKH是矩形∴∠DHF=90°，HK=AB=2∴H是AD中点∵O是BD中点∴OH=12AB=1∴FK=OK=OH=1∴HF=3 (4)∵tan∠AFD=2 3∴HD=AH=2∴BC＝AD＝4由勾股定理：AC=√AB2+BC2=2√5 (5)22．(1)依题意补全图形 (1)证明：∵等边△ABC，∴AB=AC∴AB̂=AĈ (2)∵AD过圆心O由垂径定理，∠AEC=90°∵DF//BC，∴∠ADF=90°∴DF与⊙O相切 (3)（2）解：连接DC∵等边△ABC，∴AB=AC=BC=6∠BAC=60°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４∵AD⊥BC∴∠DAC=30°∵AD是直径∴∠ACD=90°∴DC=2√3 (5)∵∠DCF=90°，∠F=60°∴CF=2 (6)23.（1）A(3,2) (1)k=6 (2)(2)3 (3)(3)4<n≤5或0<n<1 (6)24.（1）扇形统计图补充完整47.1% (1)条形统计图补充完整4335 (2)(2)2018 (4)(3)①④ (6)25.（1）确定ＣＤ的长度是自变量，ＰＤ的长度和ＰＥ的长度都是这个自变量的函数； (1)(2)·········································································３ (6)(3)2.6，1.9，3.526.（1）A(0,1) (1)B(4,1) (2)=m (3)(2)x=−b2a(3)m≤0或m>2····································································· (6)27.（1）补全图形.....................................................................................１（2）135°. (2)（３）α=30°......................................................３证明：过A作AG⊥CE于G．连接AC．..................４由题意，BC=BE=BA∴∠BCE=∠2，∠BAE=∠1∵∠BCE+∠2+∠BAE+∠1+∠ABC=360°∵∠ABC=90°∴2(∠2+∠1)=270°∴∠2+∠1=135°··············································································５∴∠AEG=45°∵AE=√2∴AG=GE=1当α=30°时，∴∠EBC=30°∵BC=BE∴∠BCG=75°∵∠BCA=45°∴∠ACG=30°∴CG=√3∴CE=√3−1···················································６2８.（1）补全图形 (1)（２）设A(2，a)当a=2时，正方形ABCD的顶点C恰好落在⊙A上；当a>2时，正方形ABCD的顶点均落在⊙A内部；当a<2时，正方形ABCD的顶点C落在⊙A外部；(k>0,x>0)过点A(2,a)∵反比例函数y=kx∴当a≥2时，k≥4····································································４（3）当m=1时，正方形ABCD的顶点C恰好落在⊙A上；当0<m<1时，正方形ABCD均落在⊙A内部；当m=0时，△ABO不存在；当m<0时，正方形ABCD均落在⊙A内部；当m>1时，正方形ABCD的顶点C落在⊙A外部（当m=2时△ABO不存在）；所以，0<m≤1或m<0·················································································７。
2020年北京市平谷区中考数学一模试卷 (含答案解析)
2020年北京市平谷区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.某年全国财政收入为9057.97亿元，9057.97用科学记数法表示为()A. 9.05797×102B. 9.05797×103C. 9.05797×104D. 9.05797×1052.剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是()A. B.C. D.3.一个多边形的内角和是900°，则它是()边形．A. 八B. 七C. 六D. 五4.有理数m、n在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是()．A. m>0；B. n<0；C. mn>0；D. mn<0．5.如图，AC=BD，∠ADB=∠BCA=90°，AC与BD交于点E.有下列结论：①△ABC≌△BAD；②△ADE≌△BCE；③点E在线段AB的垂直平分线上；④AC、BD分别平分∠DAB和∠CBA；以上结论正确的个数有()A. 1B. 2C. 3D. 46.如果a2+2a−1=0，那么代数式(a−4a )·a2a−2的值是()C. √2D. 2A. 1B. 127.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长为()A. 5B. 6C. 7D. 258.某同学将自己7次体育测试成绩(单位：分)绘制成折线统计图，则该同学7次测试成绩的众数和中位数分别是()A. 50和48B. 50和47C. 48和48D. 48和43二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.因式分解；ab2+6ab+9a=______．10.如图是某个几何体的表面展开图，则围成几何体后，与点E重合的两个点是．11.若使代数式2x−1有意义，则x的取值范围是_____．x+212.已知点A(4,y1)，B(1,y2)，C(−2,y3)都在二次函数y=ax2−4ax+3(a>0)的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是______________.(从小到大排列)13.说明命题“若x>−4，则x2>16”是假命题的一个反例可以是_______．14.如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N.已知AB=4，BC=6，则MN的长为______．15.在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一首数学名诗叫“宝塔装灯”.内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”.大致意思是有一座七层高塔，从底层开始，每层安装的灯的数目都是上一层的2倍，请你算出塔的顶层有_____________盏灯．16.如图，是光明中学七年级(2)班四个小组交的创新教育实践的调查报告，四个小组中交的篇数最多的有______篇，占全班总数的______%.三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）17.计算：2tan45°−|√2−3|+(12)−2−(4−π)0．四、解答题（本大题共11小题，共63.0分）18.解不等式组：{2(x+1)≤x+4 x−13<x+119.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M是斜边AB的中点，AM=AN，∠N+∠CAN=180°.求证：MN=AC．20.已知：关于x的一元二次方程x2−2x−m=0有实数根．(1)求m的取值范围．(2)若a，b是此方程的两个根，且满足(a2−2a+2)(2b2−4b−1)=3，求m的值．21.如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，作DE//AC，CE//BD，DE、CE相交于点E.求证：(1)四边形OCED是菱形．(2)连接OE，若AD=4，CD=3，求菱形OCED的周长和面积．22.如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF=DA，AE//BC交CF于E．(1)求证：EA是⊙O的切线；(2)求证：BD=CF．23.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx−1(k≠0)与函数(x>0)的图象交于点A(3,2)．y=mx(1)求k，m的值；(2)将直线l沿y轴向上平移t个单位后，与y轴交于点C，与函数y=m(x>0)的图象交于点D．x①当t=2时，求线段CD的长；②若√2≤CD≤2√2，结合函数图象，直接写出t的取值范围．24.为了调查学生对雾霾知识的了解程度，某校抽取400名同学做了一次调查，调查结果共分为四个等级，A.非常了解；B.比较了解；C.基本了解；D.不了解．根据调查统计结果，绘制了不完整的统计图表．对雾霾天气了解程度的统计表请结合统计图表，回答下列问题：(1)m=__________，n=__________；(2)请在图中补全条形统计图；(3)请问如图所示的扇形统计图中，D部分扇形所对应的圆心角是多少度？(4)该校共有学生2400人，求全校对雾霾非常了解和比较了解的学生共有多少人．25.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点(点D不与点B、C重合)，以AD为直角边在AD右侧作等腰三角形ADE，使∠DAE=90°，连接CE．探究：如图①，当点D在线段BC上时，证明BC=CE+CD．应用：在探究的条件下，若AB=√2，CD=1，则△DCE的周长为______．拓展：(1)如图②，当点D在线段CB的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为______．(2)如图③，当点D在线段BC的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为______．26.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−mx+n．(1)当m=2时，①求抛物线的对称轴，并用含n的式子表示顶点的纵坐标；②若点A(−2,y1)，B(x2,y2)都在抛物线上，且y2>y1，则x2的取值范围是______；(2)已知点P(−1,2)，将点P向右平移4个单位长度，得到点Q.当n=3时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．27.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，将线段BC绕点B逆时针旋转α°(0<α<180)，得到线段BD，且AD//BC．(1)依题意补全图形；(2)求满足条件的α的值；(3)若AB=2，求AD的长．28.如图，一次函数y=kx−2(k≠0)的图象与y轴交于点A，与反比例(x>0)的图象交于点B(3,b).点C是线段AB上的动点(与函数y=3x点A、B不重合)，过点C且平行于y轴的直线CD交这个反比例函数的图象于点D，O为坐标原点．(1)求△OCD面积为3时，点D的坐标；2(2)求△OCD面积的最大值；(3)当△OCD面积最大时，以点O为圆心，r为半径画⊙O，是否存在r的值，使得A、B、C、D四个点中恰好有2个在圆内？如果存在，求出r的取值范围；如果不存在，请说明理由．【答案与解析】1.答案：B解析：解：9057.97=9.05797×103，故选：B．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．2.答案：C解析：根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，以及中心对称图形的定义分别判断即可得出答案．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，熟练掌握其定义是解决问题的关键．解：A、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．C、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，旋转180°能与原图形重合，是中心对称图形，故此选项正确；D、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，旋转180°不能与原图形重合，∴此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选：C．3.答案：B解析：本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据已知等量关系列出方程从而解决问题．根据多边形的内角和等于900°，列出方程，解出即可．解：设这个多边形的边数为n，则有(n−2)×180°=900°，解得：n=7，∴这个多边形的边数为7．故选B．4.答案：D解析：本题考查的是数轴有关知识及有理数的乘法，首先根据数轴判断出m，n的符号，然后再进行解答即可．解：由题意可得：m<0，n>0，∴mn<0．故选D．5.答案：C解析：本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练运用全等三角形的判定和性质是本题的关键．由“HL”可证Rt△ABD≌Rt△BAC，可得∠DAB=∠CBA，∠DBA=∠CAB，AD=BC，再由“ASA”可证△ADE≌△BCE，可得AE=BE，即可求解．解：∵AC=BD，AB=AB，∴Rt△ABD≌Rt△BAC(HL)，∴∠DAB=∠CBA，∠DBA=∠CAB，AD=BC，∴∠DAE=∠CBE，且AD=BC，∠ADB=∠BCA=90°，∴△ADE≌△BCE(ASA)，∴AE=BE，∴点E在线段AB的垂直平分线上，故①②③正确，由题意无法证明④正确，故选：C．6.答案：A解析：先将原式进行化简，然后将a2+2a的值整体代入计算即可．本题考查了分式的化简求值，运用整体代入法是解题的关键．【详解】解：(a−4a )·a2a−2=a2−4a⋅a2a−2=(a−2)(a+2)a⋅a2a−2=a2+2a∵a2+2a−1=0，∴a2+2a=1，∴原式=1．故选A．7.答案：A解析：本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键是掌握格点三角形中勾股定理的应用.建立格点三角形，利用勾股定理求解AB的长度即可．解：如图所示：AB=√AC2+BC2=5．故选：A．8.答案：A解析：解：由折线统计图，得：42，43，47，48，49，50，50，7次测试成绩的众数为50，中位数为48，故选：A．根据折线统计图，可得该同学7次的成绩，根据众数、中位数，可得答案．本题考查了折线统计图，利用折线统计图获得有效信息是解题关键，又利用了众数、中位数的定义．9.答案：a(b+3)2解析：解：ab2+6ab+9a=a(b2+6b+9)=a(b+3)2．故答案为：a(b+3)2．直接提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可．此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题关键．10.答案：A，C解析：【试题解析】本题主要考查的是展开图折成几何体，解答本题需要同学们熟记四棱锥的特征及四棱锥展开图的各种情形．也可以动手操作一下，增强空间想象能力．解：结合图形可知，围成几何体后，该几何体是四棱锥，∴与点E重合的两个点是A点与C点．故答案为A，C．11.答案：x≠−2解析：本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握分式有意义的条件．直接利用分式有意义则其分母不为零，进而得出答案．∵分式2x−1有意义，x+2∴x+2≠0，解得：x≠−2．故答案是：x≠−2．12.答案：y2<y1<y3解析：【试题解析】本题考查了学生对二次函数图象上点的坐标特征的理解和运用．先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=2，然后比较三个点离直线x=2的远近得到y1、y2、y3的大小关系．解：∵二次函数的解析式为y=ax2−4ax+3(a>0)，=2，∴抛物线的对称轴为直线x=−−4a2a∵A(4,y1)、B(1,y2)、C(−2,y3)，∴点C离直线x=2最远，点B离直线x=2最近，又∵a>0，∴抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大，∴y2<y1<y3．故答案为y2<y1<y3．13.答案：x=−3(答案不唯一)解析：本题考查了命题与定理，根据判断一个命题是否为假命题，举一个反例即可．说明命题“x>−4，则x2>16”是假命题的一个反例可以是x=−3．−3>−4，但(−3)2<16故答案为−3．14.答案：43解析：延长CE、DA交于Q，延长BF和CD，交于W，根据勾股定理求出BF，根据矩形的性质求出AD，根据全等三角形的性质得出AQ=BC，AB=DW，根据相似三角形的判定得出△QMF∽△CMB，△BNE∽△WND，根据相似三角形的性质得出比例式，求出BN和BM的长，即可得出答案．本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，相似三角形的性质和判定，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．解：延长CE、DA交于Q，如图1，∵四边形ABCD是矩形，BC=6，∴∠BAD=90°，AD=BC=6，AD//BC，∵F为AD中点，∴AF=DF=3，在Rt△BAF中，由勾股定理得：BF=√AB2+AF2=√42+32=5，∵AD//BC，∴∠Q=∠ECB，∵E为AB的中点，AB=4，∴AE=BE=2，在△QAE和△CBE中{∠QEA=∠BEC ∠Q=∠ECB AE=BE∴△QAE≌△CBE(AAS)，∴AQ=BC=6，即QF=6+3=9，∵AD//BC，∴△QMF∽△CMB，∴FMBM =QFBC=96，∵BF=5，∴BM=2，FM=3，延长BF和CD，交于W，如图2，同理AB=DW=4，CW=8，BF=FW=5，∵AB//CD，∴△BNE∽△WND，∴BNNW =BEDW，∴BN5−BN+5=24，解得：BN=103，∴MN=BN−BM=103−2=43，故答案为：43．15.答案：3解析：该题主要考查一元一次方程的应用.根据题意，假设顶层的红灯有x盏，则第二层有2x盏，依次第三层有4x盏，第四层有8x盏，第五层有16x盏，第六层有32x盏，第七层有64x盏，总共381盏，列出等式，解方程，即可得解．解：假设顶层的红灯有x盏，由题意得：x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381，127x=381，x=3(盏)；答：塔的顶层是3盏灯．故答案为：3．16.答案：10 40解析：解：四个小组中交的篇数最多的有10篇，占全班总数的106+4+10+5×100%=40%．由条形统计图可知：各小组中交的篇数及篇数最多的有10篇，求得全班总篇数，进而求得篇数最多的占全班总数的比值．本题主要考查条形统计图，读懂统计图是解决本题的关键．17.答案：解：原式=2×1−(3−√2)+4−1=2−3+√2+4−1=2+√2．解析：【试题解析】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质分别化简得出答案．18.答案：解：{2(x +1)≤x +4①x−13<x +1② 由①得x ≤2，由②得x >−2；∴不等式组的解集为−2<x ≤2．解析：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19.答案：证明：∵∠ACB =90°，M 是斜边AB 的中点，∴CM =AM ，∴∠MCA =∠MAC ，∵AM =AN ，∴∠AMN =∠ANM ，∵∠N +∠CAN =180°，∴AC//MN ，∴∠AMN =∠MAC ，∴∠AMC =∠NAM ，∴AN//MC ，又AC//MN ，∴四边形ACMN 是平行四边形，∴MN =AC ．解析：根据直角三角形的性质得到CM =AM ，得到∠MCA =∠MAC ，根据平行线的判定定理得到AC//MN ，AN//MC ，得到四边形ACMN 是平行四边形，根据平行四边形的性质证明．本题考查的是直角三角形的性质、平行四边形的判定，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．20.答案：解：(1)∵x2−2x−m=0有实数根，∴Δ=(−2)2−4(−m)≥0，解得m≥−1；(2)∵a，b是此方程的两个根，∴a2−2a−m=0，b2−2b−m=0，∴a2−2a=m，b2−2b=m，∴(m+2)(2m−1)=3，整理得2m2+3m−5=0，解得m1=−5，m2=1，2∵m≥−1，∴m=1．解析：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解．(1)根据判别式的意义得到Δ=(−2)2−4(−m)≥0，然后解不等式即可；(2)根据方程解的定义得到a2−2a−m=0，b2−2b−m=0，则a2−2a=m，b2−2b=m，所以(m+2)(2m−1)=3，再解关于m的一元二次方程，然后利用(1)中的条件确定m的值．21.答案：解：(1)证明：∵DE//OC，CE//OD，∴四边形OCED是平行四边形．∴OC=DE，OD=CE，∵四边形ABCD是矩形，∴AO=OC=BO=OD．∴CE=OC=OD=DE．∴四边形OCED是菱形；(2)如图，连接OE．在Rt△ADC中，AD=4，CD=3，由勾股定理得，AC=5，∴OC=2.5，∴C菱形OCED=4OC=4×2.5=10，在菱形OCED中，OE⊥CD，又∵AD⊥CD，∴OE//AD．∵DE//AC，OE//AD，∴四边形AOED是平行四边形，∴OE=AD=4．∴S菱形OCED =12CD⋅OE=12×3×4=6．解析：此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键，记住矩形的对角线把矩形分成面积相等的4个三角形，属于中考常考题型．(1)首先由CE//BD，DE//AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD，即可判定四边形CODE是菱形，(2)根据C菱形OCED=4OC以及S菱形OCED =12CD·OE即可解决问题．22.答案：证明：(1)连接OA，∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴∠OAC=30°，∠BCA=60°，∵AE//BC，∴∠EAC=∠BCA=60°，∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°，∴AE是⊙O的切线；(2)∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠ADF=∠ABC=60°，∵AD=DF，∴△ADF是等边三角形，∴AD=AF，∠DAF=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中，∵{AB=AC∠BAD=∠CAF AD=AF，∴△BAD≌△CAF，∴BD=CF．解析：(1)根据等边三角形的性质可得：∠OAC=30°，∠BCA=60°，证明∠OAE=90°，可得：AE 是⊙O的切线；(2)先根据等边三角形性质得：AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，由四点共圆的性质得：∠ADF=∠ABC=60°，得△ADF是等边三角形，证明△BAD≌△CAF，可得结论．本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形及外接圆，四点共圆等知识点的综合运用，属于基础题，熟练掌握等边三角形的性质是关键．23.答案：解：(1)将点A(3,2)的坐标分别代入y=kx−1和y=mx中，得2=3k−1，2=m3，∴k=2，m=3×2=6；(2)①∵直线y=kx−1与y轴交于点C(0,−1)，∴当t=2时，C(0,1)．此时直线解析式为y=x+1，代入函数y=6x中，整理得，x(x+1)=6，解得x1=−3(舍去)，x2=2，∴D(2,3)，∴CD=2√2．②当CD=√2时，点C的坐标为(0,6)，∴2≤t≤6．解析：(1)将点A分别代入y=kx−1(k≠0)与函数y=m，即可求出k、m的值；x(2)①求出当t=2时直线解析式，代入函数y=6中，整理得，x(x+1)=6，解方程求出点D的坐x标，即可求出CD的长；②观察图象解答即可．本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．24.答案：解：(1)15%；35%．(2)∵D等级的人数为：400×35%=140，∴补全条形统计图如图所示：(3)D部分扇形所对应的圆心角：360°×35%=126°．(4)2400×(5％+15％)=2400×20％=480(人)．答：全校对雾霾非常了解和比较了解的学生共有480人．解析：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．(1)根据被调查学生总人数，用B的人数除以被调查的学生总人数计算即可求出m，再根据各部分的百分比的和等于1计算即可求出n；(2)求出D的学生人数，然后补全统计图即可；(3)用D的百分比乘360°计算即可得解；(4)根据非常了解和比较了解的学生共占(5％+15％)，就可得出答案．解：(1)60÷400×100%=15%，1−5%−15%−45%=35%，故答案为15%；35%．(2)见答案．(3)见答案．(4)见答案．25.答案：解：2+√2；(1)BC=CD−CE；(2)BC=CE−CD．解析：解：探究：∵∠BAC=90°，∠DAE=90°，∴∠BAC=∠DAE．∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠CAE+∠DAC，∴∠BAD=∠CAE．∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE.∴BD=CE．∵BC=BD+CD，∴BC=CE+CD.应用：在Rt△ABC中，AB=AC=√2，∴∠ABC=∠ACB=45°，BC=2，∵CD=1，∴BD=BC−CD=1，由探究知，△ABD≌△ACE，∴∠ACE=∠ABD=45°，∴∠DCE=90°，在Rt△BCE中，CD=1，CE=BD=1，根据勾股定理得，DE=√2，∴△DCE的周长为CD+CE+DE=2+√2故答案为：2+√2拓展：(1)同探究的方法得，△ABD≌△ACE.∴BD=CE∴BC=CD−BD=CD−CE，故答案为BC=CD−CE；(2)同探究的方法得，△ABD≌△ACE.∴BD=CE∴BC=BD−CD=CE−CD，故答案为：BC=CE−CD．探究：判断出∠BAD=∠CAE，再用SAS即可得出结论；应用：先算出BC，进而算出BD，再用勾股定理求出DE，即可得出结论；拓展：(1)同探究的方法得出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，即可得出结论；(2)同探究的方法得出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，即可得出结论．此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解本题的关键是判断出△ABD≌△ACE，是一道中考常考题．26.答案：(1)①∵m=2，∴抛物线为y=x2−2x+n．=1，∵x=−−22∴抛物线的对称轴为直线x=1．∵当线x=1时，y=1−2+n=n−1，∴顶点的纵坐标为：n−1．②x2<−2或x2>4．②∵抛物线的对称轴为直线x=1，开口向上，x=−2到x=1的距离为3，∴点A(−2,y1)，B(x2,y2)都在抛物线上，且y2>y1，则x2的取值范围是x2<−2或x2>4，故答案为：x2<−2或x2>4．(2)∵点P(−1,2)，向右平移4个单位长度，得到点Q．∴点Q的坐标为(3,2)，∵n=3，抛物线为y=x2−mx+3．；当抛物线经过点Q(3,2)时，2=32−3m+3，解得m=103当抛物线经过点P(−1,2)时，2=(−1)2+m+3，解得m=−2；=2，解得m=±2．当抛物线的顶点在线段PQ上时，12−m24结合图象可知，m的取值范围是m≤−2或m=2或m>10．3．故答案为：m≤−2或m=2或m>103解析：本题考查二次函数图象与系数的关系，以及二次函数的对称性和抛物线与线段交点个数的问题，属于中等难度的题目．(1)①把m=2代入抛物线解析式，利用x=−b，求出对称轴，然后把顶点横坐标代入，即可用含2an的式子表示出顶点的纵坐标；②利用抛物线的对称性，及开口向上，可知离对称轴越远，函数值越大，从而可解；(2)把n=3代入，再分抛物线经过点Q，抛物线经过点P(−1,2)，抛物线的顶点在线段PQ上，三种情况分类讨论，得出相应的m值，从而得结论．27.答案：解：(1)满足条件的点D和D′如图所示．(2)作AF⊥BC于F，DE⊥BC于E.则四边形AFED是矩形．∴AF=DE，∠DEB=90°，∵AB=AC，∠BAC=90°，AF⊥BC，∴BF=CF，∴AF=1BC，2∵BC=BD，AF=DE，∴DE=12BD，∴∠DBE=30°，∴∠D′BC=120°+30°=150°，∴满足条件的α的值为30°或150°．(3)由题意AB=AC=2，∴BC=2√2，∴AF=BF=DE=√2，∴BE=√3DE=√6，∴AD=√6−√2，AD′=2√6−(√6−√2)=√6+√2．解析：(1)根据要求好像图形即可．(2)分两种情形分别求解即可．(3)解直角三角形求出BE，BF即可解决问题．本题考查旋转变换，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．，属于中考常考题型．28.答案：解：(1)∵点B(3,b)在反比例函数y=3x的图象上，∴3b=3，∴b=1，∴B(3,1)，∵点B(3,1)在一次函数y=kx−2(k≠0)的图象上，∴3k−2=1，∴k=1，∴直线AB的解析式为y=x−2，设点C的坐标为(m,m−2)(0<m<3)，∵C且平行于y轴的直线CD交这个反比例函数的图象于点D，∴D(m,3m)，∴CD=3m −(m−2)=3m+2−m，∴S△OCD=12CD⋅m=12(3m+2−m)×m=−12(m2−2m−3)，∵△OCD面积为32，∴−12(m2−2m−3)=32，∴m=0(舍)或m=2，∴D(2,32)，(2)由(1)知，S△OCD=−12(m2−2m−3)=−12(m−1)2+2，∵0<m<3，∴m=1时，△OCD面积的最大值为2．(3)存在，理由：∵直线AB的解析式为y=x−2，∴A(0,−2)，∴OA=2，由(1)知，B(3,1)，∴OB=√=√10由(2)知，m=1，∴C(1,−1)，D(1,3)，∴OC=√12+12=√2，OD=√12+32=√10，∴OC<OA<OB=OD，∵以点O为圆心，r为半径画⊙O，使得A、B、C、D四个点中恰好有2个在圆内．∴2<r≤√10．解析：(1)将点B坐标代入反比例函数解析式中，求出b，进而得出B的坐标，再将点B坐标代入直线解析式中，求出直线AB解析式，设出点C坐标，进而表示出点D坐标，即可得出CD=3m+2−m，即：S△OCD=−12(m2−2m−3)，即可得出结论；(2)由(1)得S△OCD=−12(m2−2m−3)，配方即可得出结论；(3)由(2)得出m，进而求出OA，OB，OC，OD，即可得出结论．此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，点和圆的位置关系，表示出△COD的面积是解本题的关键．。
【精品】2020年北京市中考数学一模试卷及答案解析
2020年北京市中考数学一模试卷一、单选题(共0分)1．(本题0分)某几何体从三个不同方向看到的形状图如图，则该几何体是( )A．圆锥B．圆柱C．球D．长方体2．(本题0分)据统计，今年“五一”小长假期间，我市约有26.8万人次游览了植物园和动物园，则数据26.8万用科学记数法表示正确的是（）A．268×103B．26.8×104C．2.68×105D．0.268×1063．(本题0分)如图所示，BE，CF是直线，OA，OD是射线，其中构成对顶角的是( )A．∠AOE与∠COD B．∠AOD与∠BODC．∠BOF与∠COE D．∠AOF与∠BOC4．(本题0分)下列轴对称图形中，对称轴最多的图形是（）A．B．C．D．5．(本题0分)将一个n边形变成（n+2）边形，内角和将（）A．减少180 B．增加180°C．减少360°D．增加360°6．(本题0分)数轴上表示整数的点叫整点，某数轴单位长度为1cm，若在数轴上随意画一条长为2015cm的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数为（）A．2015 B．2014 C．2015或2014 D．2015或20167．(本题0分)规定：“上升数”是一个右边数位上的数字比左边数位上的数字大的自然数（如23，567，3467等）．一不透明的口袋中装有3个大小、形状完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，3，从袋中随机摸出1个小球（不放回），其上所标数字作为十位上的数字，再随机摸出1个小球，其上所标数字作为个位上的数字，则组成的两位数是上升数的概率为（）A ．16B ．13C ．12D ．23 8．(本题0分)有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm ，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm 的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ）A ．正比例函数关系B ．一次函数关系C ．二次函数关系D ．反比例函数关系二、填空题(共0分)9．(本题0分)要使分式有意义，则x 的取值范围是 ．10．(本题0分)已知关于 x 的一元二次方程20x k -+= 有两个相等的实数根，则 k 的值为_____．11．(本题0分)若a 是一个含有根号的无理数，且3＜a ＜4．写出任意一个符合条件的值____． 12．(本题0分)对于两个实数,m n ，定义一种新运算，规定2m n m n =+☆，例如3523511=⨯+=☆，若2a b ☆且21b a =☆，则b a =__________．13．(本题0分)如图，平面直角坐标系xOy 中，有A 、B 、C 、D 四点，若有一直线l 经过点(-1,3)且与y 轴垂直，则l 也会经过的点是_____（填A 、B 、C 或D ）14．(本题0分)如图已知∠ABC=∠DEF，BE=FC,要证明△ABC≌△DEF,若以“ASA”为依据，还需要添加的条件__________.15．(本题0分)如图所示的网格是正方形网格，A ，B ，C ，D 是网格交点，则ABC 的面积与ABD 的面积的大小关系为：ABC S ______ABD S （填“＞”，“＝”或“＜”）16．(本题0分)如图是某剧场第一排座位分布图：甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序______．三、解答题(共0分)17．(本题0分)计算：11()4523---︒18．(本题0分)解不等式组()324211122x x x x ⎧--≥⎪⎨-++≥⎪⎩①②． 19．(本题0分)不解方程组23532x y x y +=⎧⎨-=-⎩，求（2x+y)(2x-3y)+3x(2x+y)的值 20．(本题0分)等角转化；如图1，已知点A 是BC 外一点，连结AB 、AC ，求∠BAC +∠B +∠C 的度数．（1）阅读并补充下面的推理过程解：过点A 作ED ∥BC ，∴∠B ＝∠EAB ，∠C ＝ （ ）又∵∠EAB +∠BAC +∠DAC ＝180°∴∠B+∠BAC+∠C＝180°从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数（提示：过点C作CF∥AB）；（3）如图3，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝80°，点B在点A的左侧，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在的直线交于点E，点E在两条平行线AB与CD之间，求∠BED的度数．21．(本题0分)如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OB，过点B作BE⊥AC于点E．（1）求证：ABCD是矩形；（2）若AD=cos∠，求AC的长．22．(本题0分)如图所示，菱形ABCD的顶点A、B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上，∠BAD=60°，点A的坐标为(－2，0)．(1)求线段AD所在直线的函数表达式．(2)动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度，按照A→D→C→B的顺序在菱形的边上匀速运动，设运动时间为t秒．求t为何值时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切？23．(本题0分)如图，ABC 中，ACB 90∠=，D 为AB 上一点，以CD 为直径的O 交BC 于点，连接AE 交CD 于点，交O 于点F ，连接DF ，CAE ADF ∠∠=．()1判断AB 与O 的位置关系，并说明理由．()2若PF ：PC 1=：2，AF 5=，求CP 的长．24．(本题0分)在平面直角坐标系中，直线l 1：y=﹣12x+4分别与x 轴、y 轴交于点A 、点B ，且与直线l 2：y=x 于点C ．（1）如图①，求出B 、C 两点的坐标； （2）若D 是线段OC 上的点，且△BOD 的面积为4，求直线BD 的函数解析式．（3）如图②，在（2）的条件下，设P 是射线BD 上的点，在平面内是否存在点Q ，使以O 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．25．(本题0分)学校团委发起“爱心储蓄”活动，鼓励学生将自己的压岁钱存入银行，定期一年，到期后取回本金，而把利息捐给家庭贫困的儿童．学校共有学生1200人全部参加了此项活动，图1是该校各年级学生人数比例分布的扇形统计图，图2是该校学生人均存款情况的条形统计图．（1）求该学校的人均存款数；（2）若银行一年定期存款的年利率是2.25%，且每702元能提供给1位家庭贫困儿童一年的基本费用，那么该学校一年能够帮助多少位家庭贫困儿童？26．(本题0分)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2420y ax ax a a =-+≠的顶点为P ，且与y 轴交于点A ，与直线y a =-交于点B ，C （点B 在点C 的左侧）.（1）求抛物线()2420y ax ax a a =-+≠的顶点P 的坐标（用含a 的代数式表示）； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线与线段AC 围成的封闭区域（不含边界）为“W 区域”.①当2a =时，请直接写出“W 区域”内的整点个数；②当“W 区域”内恰有2个整点时，结合函数图象，直接写出a 的取值范围.27．(本题0分)如图，在平面直角坐标系中，点A(4，0)，B(0，3)，以线段AB 为边在第一象限内作等腰直角三角形ABC ，∠BAC ＝90°.若第二象限内有一点P 1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且△ABP 的面积与△ABC 的面积相等．(1)求直线AB 的函数表达式．(2)求a 的值．(3)在x轴上是否存在一点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．28．(本题0分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），对称轴x＝1，与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）直线y＝kx+1（k≠0）与y轴交于点E，与抛物线交于点P，Q（点P在y轴左侧，点Q在y轴右侧），连接CP，CQ，若△CPQ的面积为1-4，求点P，Q的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC交PQ于G，在对称轴上是否存在一点K，连接GK，将线段GK 绕点G顺时针旋转90°，使点K恰好落在抛物线上，若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．。
北京市平谷区2019-2020学年中考数学第一次调研试卷含解析
北京市平谷区2019-2020学年中考数学第一次调研试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，错误的结论是（ ）．A ．AD AE DB EC = B ．AB AC AD AE = C ．AC EC AB DB = D ．AD DE DB BC= 2．如图，AB 是⊙O 的直径，点E 为BC 的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和为（ ）A ．1B ．32C ．3D ．233．对于反比例函数y=﹣，下列说法不正确的是（ ）A ．图象分布在第二、四象限B ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大C ．图象经过点（1，﹣2）D ．若点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）都在图象上，且x 1＜x 2，则y 1＜y 24．下列各式中，互为相反数的是（ ）A ．2(3)-和23-B ．2(3)-和23C ．3(2)-和32-D ．3|2|-和32- 5．如图，把△ABC 剪成三部分，边AB ，BC ，AC 放在同一直线上，点O 都落在直线MN 上，直线MN ∥AB ，则点O 是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．三条中线的交点D ．三条高的交点A ．DC=DEB ．AB=2DEC ．S △CDE =14S △ABCD ．DE ∥AB 7．如图所示是放置在正方形网格中的一个ABC ∆ ,则tan ABC ∠的值为( )A ．255B ．55C ．2D ．128．在同一平面直角坐标系中，函数y=x+k 与k y x=（k 为常数，k≠0）的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．9．观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数是( )A ．2n+2B ．4n+4C ．4n ﹣4D ．4n10．如图，已知二次函数y=ax 2+bx 的图象与正比例函数y=kx 的图象相交于点A （1，2），有下面四个结论：①ab ＞0；②a ﹣b ＞﹣23；③sinα=213；④不等式kx≤ax 2+bx 的解集是0≤x≤1．其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④A．a≠±1B．a＝1 C．a＝﹣1 D．a＝±112．下列“数字图形”中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为_____．14．函数11yx=-的自变量的取值范围是．15．把抛物线y=2x2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的新的抛物线的表达式是_____．16．在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是________．17．在今年的春节黄金周中，全国零售和餐饮企业实现销售额约9260亿元，比去年春节黄金周增长10.2%，将9260亿用科学记数法表示为_____________．18．已知方程组2425x yx y+=⎧⎨+=⎩，则x+y的值为_______．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连结OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF．已知点E从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．如图1，当t=3时，求DF的长．如图2，请求出tan∠DEF的值．连结AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．20．（6分）如图，已知ABCD是边长为3的正方形，点P在线段BC上，点G在线段AD上，PD＝PG，DF⊥PG于点H，交AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连接EF．（1）求证：DF＝PG；（2）若PC＝1，求四边形PEFD的面积．21．（6分）定义：若四边形中某个顶点与其它三个顶点的距离相等，则这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点．（1）判断：一个内角为120°的菱形等距四边形．（填“是”或“不是”）（2）如图2，在5×5的网格图中有A、B两点，请在答题卷给出的两个网格图上各找出C、D两个格点，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为互不全等的“等距四边形”，画出相应的“等距四边形”，并写出该等距四边形的端点均为非等距点的对角线长．端点均为非等距点的对角线长为端点均为非等距点的对角线长为（3）如图1，已知△ABE与△CDE都是等腰直角三角形，∠AEB=∠DEC=90°，连结A D，AC，BC，若四边形ABCD是以A为等距点的等距四边形，求∠BCD的度数．22．（8分）如图,△ABC,△CDE均是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点E在AB上,求证:△CDA≌△CEB．长．如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．24．（10分）某学校要印刷一批艺术节的宣传资料，在需要支付制版费100元和每份资料0.3元印刷费的前提下，甲、乙两个印刷厂分别提出了不同的优惠条件．甲印刷厂提出：所有资料的印刷费可按9折收费；乙印刷厂提出：凡印刷数量超过200份的，超过部分的印刷费可按8折收费．（1）设该学校需要印刷艺术节的宣传资料x份，支付甲印刷厂的费用为y元，写出y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（2）如果该学校需要印刷艺术节的宣传资料600份，那么应该选择哪家印刷厂比较优惠？25．（10分）某校数学综合实践小组的同学以“绿色出行”为主题，把某小区的居民对共享单车的了解和使用情况进行了问卷调查.在这次调查中，发现有20人对于共享单车不了解，使用共享单车的居民每天骑行路程不超过8千米，并将调查结果制作成统计图，如下图所示：本次调查人数共人，使用过共享单车的有人；请将条形统计图补充完整；如果这个小区大约有3000名居民，请估算出每天的骑行路程在2～4千米的有多少人？26．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．27．（12分）综合与探究：如图1，抛物线y=﹣3x 2+233x+3与x 轴分别交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点．经过点A 的直线l 与y 轴交于点D （0，﹣3）．（1）求A 、B 两点的坐标及直线l 的表达式；（2）如图2，直线l 从图中的位置出发，以每秒1个单位的速度沿x 轴的正方向运动，运动中直线l 与x 轴交于点E ，与y 轴交于点F ，点A 关于直线l 的对称点为A′，连接FA′、BA′，设直线l 的运动时间为t （t ＞0）秒．探究下列问题：①请直接写出A′的坐标（用含字母t 的式子表示）；②当点A′落在抛物线上时，求直线l 的运动时间t 的值，判断此时四边形A′BEF 的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下，探究：在直线l 的运动过程中，坐标平面内是否存在点P ，使得以P ，A′，B ，E 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点P 的坐标； 若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质进行分析可得出结论.【详解】由DE ∥BC ，可得△ADE ∽△ABC ，并可得：AD AE DB EC =，AB AC AD AE =，AC EC AB DB=，故A ，B ，C 正确；D 错误； 故选D ．2．C【解析】连接AE ，OD ，OE ．∵AB 是直径， ∴∠AEB=90°．又∵∠BED=120°，∴∠AED=30°．∴∠AOD=2∠AED=60°．∵OA=OD ．∴△AOD 是等边三角形．∴∠A=60°．又∵点E 为BC 的中点，∠AED=90°，∴AB=AC ．∴△ABC 是等边三角形，∴△EDC 是等边三角形，且边长是△ABC 边长的一半2，高是3． ∴∠BOE=∠EOD=60°，∴»BE和弦BE 围成的部分的面积=»DE 和弦DE 围成的部分的面积． ∴阴影部分的面积=EDC 1S =23=32∆⋅⋅．故选C ． 3．D【解析】【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A. k=−2<0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确；B. k=−2<0，当x>0时，y 随x 的增大而增大，故本选项正确；C.∵,∴点(1,−2)在它的图象上，故本选项正确；D. 若点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）都在图象上，,若x 1<0< x 2,则y 2<y 1，故本选项错误.故选:D.【点睛】考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键.4．A根据乘方的法则进行计算，然后根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．【详解】解：A. 2(3)-=9，23-=-9，故2(3)-和23-互为相反数，故正确；B. 2(3)-=9，23=9，故2(3)-和23不是互为相反数，故错误；C. 3(2)-=-8，32-=-8，故3(2)-和32-不是互为相反数，故错误；D. 3|2|-=8，32-=8故3|2|-和32-不是互为相反数，故错误.故选A.【点睛】本题考查了有理数的乘方和相反数的定义，关键是掌握有理数乘方的运算法则．5．B【解析】【分析】利用平行线间的距离相等，可知点O 到BC 、AC 、AB 的距离相等，然后可作出判断.【详解】解：如图1，过点O 作OD BC ⊥于D ，OE AC ⊥于E ，OF AB ⊥于F .图1//MN AB Q ，OD OE OF ∴==（夹在平行线间的距离相等）.如图2：过点O 作OD BC '⊥于D '，作于E ，作OE AC '⊥于F '.由题意可知： OD OD '=，OE OE '=，OF OF '=，∴OD =OE OF '''= ，∴图2中的点O 是三角形三个内角的平分线的交点，∴点O 是ABC ∆的内心，本题考查平行线间的距离，角平分线定理，三角形的内心，解题的关键是判断出OD OE OF==. 6．A【解析】【分析】根据三角形中位线定理判断即可．【详解】∵AD为△ABC的中线，点E为AC边的中点，∴DC=12BC，DE=12AB，∵BC不一定等于AB，∴DC不一定等于DE，A不一定成立；∴AB=2DE，B一定成立；S△CDE=14S△ABC，C一定成立；DE∥AB，D一定成立；故选A．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．7．D【解析】【分析】首先过点A向CB引垂线，与CB交于D，表示出BD、AD的长，根据正切的计算公式可算出答案．【详解】解：过点A向CB引垂线，与CB交于D，△ABD是直角三角形，∵BD=4，AD=2，∴tan∠ABC=2142 ADBD==故选：D．此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．8．B【解析】【分析】【详解】选项A中，由一次函数y=x+k的图象知k<0，由反比例函数y=的图象知k>0，矛盾，所以选项A错误；选项B中，由一次函数y=x+k的图象知k>0，由反比例函数y=的图象知k>0，正确，所以选项B正确；由一次函数y=x+k的图象知，函数图象从左到右上升，所以选项C、D错误．故选B.9．D【解析】试题分析：由已知的三个图可得到一般的规律，即第n个图形中三角形的个数是4n，根据一般规律解题即可．解：根据给出的3个图形可以知道：第1个图形中三角形的个数是4，第2个图形中三角形的个数是8，第3个图形中三角形的个数是12，从而得出一般的规律，第n个图形中三角形的个数是4n．故选D．考点：规律型：图形的变化类．10．B【解析】【分析】根据抛物线图象性质确定a、b符号，把点A代入y=ax2+bx得到a与b数量关系，代入②，不等式kx≤ax2+bx 的解集可以转化为函数图象的高低关系．【详解】解：根据图象抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，则a＞0，b＜0，则①错误将A（1，2）代入y=ax2+bx，则2=9a+1b∴b=233a -，∴a﹣b=a﹣（23a-）=4a﹣2＞-2，故②正确；由正弦定义==，则③正确；不等式kx≤ax2+bx从函数图象上可视为抛物线图象不低于直线y=kx的图象则满足条件x范围为x≥1或x≤0，则④错误．故答案为：B．【点睛】二次函数的图像，sinα公式，不等式的解集．11．C【解析】【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案．【详解】由题意可知：1012aa-≠⎧⎨⎩＋＝，解得a＝−1故选C．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义，本题属于基础题型．12．C【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．【详解】第一个图形不是轴对称图形，是中心对称图形；第二、三、四个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．2【解析】【分析】连接AD交EF与点M′，连结AM，由线段垂直平分线的性质可知AM＝MB，则BM+DM＝AM+DM，故此当A、M、D在一条直线上时，MB+DM有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD为△ABC底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD的长．【详解】解：连接AD交EF与点M′，连结AM．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝12BC•AD＝12×4×AD＝12，解得AD＝1，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AM＝BM．∴BM+MD＝MD+AM．∴当点M位于点M′处时，MB+MD有最小值，最小值1．∴△BDM的周长的最小值为DB+AD＝2+1＝2．【点睛】本题考查三角形的周长最值问题，结合等腰三角形的性质、垂直平分线的性质以及中点的相关属性进行分析.14．x≠1【解析】该题考查分式方程的有关概念根据分式的分母不为0可得X－1≠0,即x≠1那么函数y=的自变量的取值范围是x≠115．y=1（x﹣3）1﹣1．【解析】【分析】抛物线的平移，实际上就是顶点的平移，先求出原抛物线的顶点坐标，再根据平移规律，推出新抛物线的顶点坐标，根据顶点式可求新抛物线的解析式．【详解】∵y=1x1的顶点坐标为（0，0），∴把抛物线右平移3个单位，再向下平移1个单位，得新抛物线顶点坐标为（3，﹣1），∵平移不改变抛物线的二次项系数，∴平移后的抛物线的解析式是y=1（x ﹣3）1﹣1．故答案为y=1（x ﹣3）1﹣1．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)1+k （a ，b ，c 为常数，a≠0），确定其顶点坐标(h ，k)，在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．16．35【解析】【分析】在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中，中心对称图案的卡片是圆、矩形、菱形，直接利用概率公式求解即可求得答案．【详解】∵在：等腰三角形、圆、矩形、菱形和直角梯形中属于中心对称图形的有：圆、矩形和菱形3种， ∴从这5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率为：35. 故答案为35. 17．9.26×1011【解析】试题解析: 9260亿=9.26×1011 故答案为: 9.26×1011 点睛: 科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n 是负数．18．1【解析】【分析】方程组两方程相加即可求出x+y 的值．【详解】2425x y x y ＝①＝②+⎧⎨+⎩， ①+②得：1（x+y ）=9，则x+y=1．故答案为：1．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）3；（2）∠DEF的大小不变，tan∠DEF=34；（3）7541或7517．【解析】【详解】（1）当t=3时，点E为AB的中点，∵A（8，0），C（0，6），∴OA=8，OC=6，∵点D为OB的中点，∴DE∥OA，DE=12OA=4，∵四边形OABC是矩形，∴OA⊥AB，∴DE⊥AB，∴∠OAB=∠DEA=90°，又∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°，∴四边形DFAE是矩形，∴DF=AE=3；（2）∠DEF的大小不变；理由如下：作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，如图2所示：∵四边形OABC是矩形，∴OA⊥AB，∴四边形DMAN是矩形，∴∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，∴BD BNDO NA=,BD AMDO OM=，∵点D为OB的中点，∴M、N分别是OA、AB的中点，∴DM=12AB=3，DN=12OA=4，∵∠EDF=90°，∴∠FDM=∠EDN，又∵∠DMF=∠DNE=90°，∴△DMF∽△DNE，∴34DF DMDE DN==，∵∠EDF=90°，∴tan∠DEF=34DFDE=；（3）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，若AD将△DEF的面积分成1：2的两部分，设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；①当点E到达中点之前时，如图3所示，NE=3﹣t，由△DMF∽△DNE得：MF=34（3﹣t），∴AF=4+MF=﹣34t+254，∵点G为EF的三等分点，∴G（37112t+，23t），设直线AD的解析式为y=kx+b，把A（8，0），D（4，3）代入得：8043k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：346kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AD的解析式为y=﹣34x+6，把G（37112t+，23t）代入得：t=7541；②当点E越过中点之后，如图4所示，NE=t﹣3，由△DMF∽△DNE得：MF=34（t﹣3），∴AF=4﹣MF=﹣34t+254，∵点G为EF的三等分点，∴G（3236t+，13t），代入直线AD的解析式y=﹣34x+6得：t=7517；综上所述，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，t的值为7541或7517.考点：四边形综合题.20．（1）证明见解析；（2）1.【解析】【分析】作PM⊥AD,在四边形ABCD和四边形ABPM证AD＝PM；DF⊥PG，得出∠GDH+∠DGH＝90°，推出∠ADF＝∠MPG；还有两个直角即可证明△ADF≌△MPG，从而得出对应边相等（2）由已知得，DG＝2PC＝2；△ADF≌△MPG得出DF＝PD；根据旋转，得出∠EPG＝90°，PE＝PG 从而得出四边形PEFD为平行四边形；根据勾股定理和等量代换求出边长DF的值；根据相似三角形得出对应边成比例求出GH的值，从而求出高PH 的值；最后根据面积公式得出【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB，∵四边形ABPM为矩形，∴AB＝PM，∴AD＝PM，∵DF⊥PG，∴∠DHG＝90°，∴∠GDH+∠DGH＝90°，∵∠MGP+∠MPG＝90°，∴∠GDH＝∠MPG，在△ADF和△MPG中，∴△ADF≌△MPG（ASA），∴DF＝PG；（2）作PM⊥DG于M，如图，∵PD＝PG，∴MG＝MD，∵四边形ABCD为矩形，∴PCDM为矩形，∴PC＝MD，∴DG＝2PC＝2；∵△ADF≌△MPG（ASA），∴DF＝PG，而PD＝PG，∴DF＝PD，∵线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，∴∠EPG＝90°，PE＝PG，∴PE＝PD＝DF，而DF⊥PG，∴DF∥PE，即DF∥PE，且DF＝PE，∴四边形PEFD为平行四边形，在Rt△PCD中，PC＝1，CD＝3，∴PD＝＝，∴DF＝PG＝PD＝，∵四边形CDMP是矩形，∴PM＝CD＝3，MD＝PC＝1，∵PD＝PG，PM⊥AD，∴MG＝MD＝1，DG＝2，∵∠GDH＝∠MPG，∠DHG＝∠PMG＝90°，∴△DHG∽△PMG，∴，∴GH＝＝，∴PH＝PG﹣GH＝﹣＝，∴四边形PEFD的面积＝DF•PH＝×＝1．【点睛】本题考查了平行四边形的面积、勾股定理、相似三角形判定、全等三角形性质，本题的关键是求边长和高的值21．（1）是;（2）见解析;（3）150°．【解析】【分析】（1）由菱形的性质和等边三角形的判定与性质即可得出结论；（2）根据题意画出图形，由勾股定理即可得出答案；（3）由SAS证明△AEC≌△BED，得出AC=BD，由等距四边形的定义得出AD=AB=AC，证出AD=AB=BD，△ABD是等边三角形，得出∠DAB=60°，由SSS证明△AED≌△AEC，得出∠CAE=∠DAE=15°，求出∠DAC=∠CAE+∠DAE=30°，∠BAC=∠BAE﹣∠CAE=30°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ACB和∠ACD的度数，即可得出答案．【详解】解：（1）一个内角为120°的菱形是等距四边形；故答案为是；（2）如图2，图3所示：在图2中，由勾股定理得：22CD=+=1310,在图3中，由勾股定理得： 223332,CD=+=故答案为10,3 2.（3）解：连接BD ．如图1所示：∵△ABE 与△CDE 都是等腰直角三角形，∴DE=EC ，AE=EB ，∠DEC+∠BEC=∠AEB+∠BEC ，即∠AEC=∠DEB ，在△AEC 和△BED 中，,DE CE AEC BED AE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEC ≌△BED （SAS ），∴AC=BD ，∵四边形ABCD 是以A 为等距点的等距四边形，∴AD=AB=AC ，∴AD=AB=BD ，∴△ABD 是等边三角形，∴∠DAB=60°，∴∠DAE=∠DAB ﹣∠EAB=60°﹣45°=15°，在△AED 和△AEC 中，,AD AC DE CE AE AE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△AED ≌△AEC （SSS ），∴∠CAE=∠DAE=15°，∴∠DAC=∠CAE+∠DAE=30°，∠BAC=∠BAE ﹣∠CAE=30°，∵AB=AC ，AC=AD ，∴180301803075,75,22ACB ACD --∠==∠==o o o oo o ∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=75°+75°=150°．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了等距四边形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．22．见解析.【解析】试题分析：根据等腰直角三角形的性质得出CE=CD，BC=AC，再利用全等三角形的判定证明即可．试题解析：证明：∵△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴CE=CD，BC=AC，∴∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE，∴∠ECB=∠DCA，在△CDA与△CEB中，，∴△CDA≌△CEB．考点：全等三角形的判定；等腰直角三角形．23．(1) △ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=﹣1．【解析】试题分析：（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．试题解析：（1）△ABC是等腰三角形；理由：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴4b2﹣4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形；（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：2ax 2+2ax=0，∴x 2+x=0，解得：x 1=0，x 2=﹣1．考点：一元二次方程的应用．24．（1）0.271000y x x 甲＝（＞）；（2）选择乙印刷厂比较优惠．【解析】【分析】（1）根据题意直接写出两厂印刷厂的收费y 甲（元）关于印刷数量x （份）之间的函数关系式； （2）分别将两厂的印刷费用等于2000元，分别解得两厂印刷的份数即可．【详解】（1）根据题意可知：甲印刷厂的收费y 甲=0.3x×0.9+100=0.27x+100，y 关于x 的函数关系式是y 甲=0.27x+100（x ＞0）；（2）由题意可得：该学校需要印刷艺术节的宣传资料600份，在甲印刷厂需要花费：0.27×600+100=262（元），在乙印刷厂需要花费：100+200×0.3+0.3×0.8×（600﹣200）=256（元）．∵256＜262，∴如果该学校需要印刷艺术节的宣传资料600份，那么应该选择乙印刷厂比较优惠．【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义，属于中档题．25．（1）200，90 （2）图形见解析（3）750人【解析】试题分析：（1）用对于共享单车不了解的人数20除以对于共享单车不了解的人数所占得百分比即可得本次调查人数；用总人数乘以使用过共享单车人数所占的百分比即可得使用过共享单车的人数；（2）用使用过共享单车的总人数减去0～2,4～6,6～8的人数，即可得2～4的人数，再图上画出即可；（3）用3000乘以骑行路程在2～4千米的人数所占的百分比即可得每天的骑行路程在2～4千米的人数.试题解析：（1）20÷10%=200， 200×（1-45%-10%）=90 ；（2）90-25-10-5=50，补全条形统计图（3）503000200=750(人)答: 每天的骑行路程在2～4千米的大约750人26．（1）证明见解析；（2）CE=1．【解析】【分析】（1）根据等角对等边得∠OBE=∠OEB，由角平分线的定义可得∠OBE=∠EBC，从而可得∠OEB=∠EBC，根据内错角相等，两直线平行可得OE∥BC，根据两直线平行，同位角相等可得∠OEA=90°，从而可证AC是⊙O的切线.（2）根据垂径定理可求BH=12BF=3，根据三个角是直角的四边形是矩形，可得四边形OHCE是矩形，由矩形的对边相等可得CE=OH，在Rt△OBH中，利用勾股定理可求出OH的长，从而求出CE的长. 【详解】（1）证明：如图，连接OE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∵ BE 平分∠ABC ．∴∠OBE=∠EBC ，∴∠OEB=∠EBC ，∴OE ∥BC ，∵ ∠ACB=90° ，∴∠OEA=∠ACB=90°，∴ AC 是⊙O 的切线 .（2）解：过O 作OH ⊥BF ，∴BH=12BF=3，四边形OHCE 是矩形， ∴CE=OH ，在Rt △OBH 中，BH=3，OB=5，∴，∴CE=1.【点睛】本题考查切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线和垂径定理以及勾股定理的运用，具有一定的综合性．27．（1）A （﹣1，0），B （3，0），y=（2）①A′（32t ﹣1，2t ）；②A′BEF 为菱形，见解析；（3）存在，P 点坐标为（53，3）或（73，﹣3）． 【解析】【分析】（120得A （−1，0），B （3，0），然后利用待定系数法确定直线l 的解析式；（2）①作A′H ⊥x 轴于H ，如图2，利用OA ＝1，OD 得到∠OAD ＝60°，再利用平移和对称的性质得到EA ＝EA′＝t ，∠A′EF ＝∠AEF ＝60°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系表示出A′H ，EH 即可得到A′的坐标；②把A′（32t−1，2t ）代入y ＝−3x 2＋3x −3（32t−1）2＋3（32t−1）2t ，解方程得到t ＝2，此时A′点的坐标为（2，E （1，0），然后通过计算得到AF ＝BE ＝2，A′F ∥BE ，从而判断四边形A′BEF为平行四边形，然后加上EF＝BE可判定四边形A′BEF为菱形；（3）讨论：当A′B⊥BE时，四边形A′BEP为矩形，利用点A′和点B的横坐标相同得到32t−1＝3，解方程求出t得到A′（3，433），再利用矩形的性质可写出对应的P点坐标；当A′B⊥EA′，如图4，四边形A′BPE为矩形，作A′Q⊥x轴于Q，先确定此时A′点的坐标，然后利用点的平移确定对应P点坐标．【详解】（1）当y=0时，﹣3x2+233x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0），B（3，0），设直线l的解析式为y=kx+b，把A（﹣1，0），D（0，﹣3）代入得{3k bb-+==-，解得3{3kb=-=-，∴直线l的解析式为y=﹣3x﹣3；（2）①作A′H⊥x轴于H，如图，∵OA=1，3∴∠OAD=60°，∵EF∥AD，∴∠AEF=60°，∵点A 关于直线l的对称点为A′，∴EA=EA′=t，∠A′EF=∠AEF=60°，在Rt△A′EH中，EH=12EA′=12t，33t，∴OH=OE+EH=t﹣1+12t=32t﹣1，∴A′（32t﹣13t）；②把A′（32t﹣1，3t）代入y=322333（32t﹣1）223（32t﹣1）33，解得t1=0（舍去），t2=2，∴当点A′落在抛物线上时，直线l的运动时间t的值为2；此时四边形A′BEF为菱形，理由如下：当t=2时，A′点的坐标为（2，3），E（1，0），∵∠OEF=60°∴OF=3OE=3，EF=2OE=2，∴F（0，3），∴A′F∥x轴，∵A′F=BE=2，A′F∥BE，∴四边形A′BEF为平行四边形，而EF=BE=2，∴四边形A′BEF为菱形；（3）存在，如图：当A′B⊥BE时，四边形A′BEP为矩形，则32t﹣1=3，解得t=83，则A′（3，43），∵OE=t﹣1=53，∴此时P点坐标为（53，43）；当A′B⊥EA′，如图，四边形A′BPE为矩形，作A′Q⊥x轴于Q，∵∠AEA′=120°，∴∠A′EB=60°，∴∠EBA′=30°∴33332t，∴32t ﹣1+32t=3，解得t=43，此时A′（1，3），E （13，0），点A′向左平移23个单位，向下平移3个单位得到点E ，则点B （3，0）向左平移23个单位，向下平移个单位得到点P ，则P （73，综上所述，满足条件的P 点坐标为（5373）． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、菱形的判定和矩形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质．。
2020-2021学年北京市平谷区初三数学一模试题及答案解析
平谷区 第二学期初三统练（一）数学试卷考生须知1．本试卷共五道大题，25道小题，满分120分。
考试时间120分钟。
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．根据平谷区统计局发布的人口抽样调查情况，2014年末平谷区常住人口423 000人， 将423 000用科学记数法表示应为A ．54.2310⨯B ．60.42310⨯C ．442.310⨯D ．44.2310⨯2．检查4个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表：篮球的编号 1 2 3 4与标准质量的差(克) +4 +55- 3-A ．1号B ．2号C ．3号D ．4号3．如图，在△ABC 中，∠C=90°，点D 在BC 边上，DE ∥AB ，若∠CDE=150°，则∠A 的度数为 A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是ADE5．函数1y x =-中自变量的取值范围是 A ．1x ≠B ．1x >C ．1x ≥D ．1x ≥- 6．下列四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是7．某学校为了解学生大课间体育活动情况，随机抽取本校部分学生进行调查．整理收集到的数据，绘制成如图所示的统计图．小明随机调查一名学生，他喜欢“踢毽子”的概率是A ．41B ．51C ．52D ．2038．某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min ）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机.饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序.若在水温为30℃时，接通电源后，水温y （℃）和时间x （min ）的关系如图所示，水温从100℃降到35℃所用的时间是A C DB 0 510 15 20 25 30 35 40 球类 跳绳 踢毽子 其他人数y (℃)x (min)1007O30B ．D ．C ．A ．A ．27分钟B ．20分钟C ．13分钟D ．7分钟9．如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC=30°，CD 丄AB 于点E ，BE=2，则⊙O 的半径为A ．8B ．6C ．4D ．210．已知：如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且AC=12cm ，BD=16cm ．点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，直线EF 从点D 出发，沿DB 方向匀速运动，速度为1cm/s ，EF ⊥BD ，且与AD ，BD ，CD 分别交于点E ，Q ，F ；当直线EF 停止运动时，点P 也停止运动．连接PF ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜8）．设四边形APFE 的面积为y （cm 2），则下列图象中，能表示y 与t 的函数关系的图象大致是t 84O y A ．t8 4 OyB ．t84 OyD ．C ．t8 4 Oy DE OC二、填空题(本题共18分，每小题3分)11．分解因式：32244a a b ab -+= ．12．甲、乙二人进行射击比赛，已知他们每人五次射击的成绩如下表（单位：环），那么二人中成绩最稳定的是 ．第一次第二次第三次第四次第五次甲 9.3 7.9 4 7．1 6乙 6.1 6.8 7.2 8 6.213角为30°，看这栋高楼底部C 的俯角为60°，热气球A 与高楼 的水平距离为120m ，这栋高楼BC 的高度为 米． 14．如图，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴和y 轴上，若OA=4，OC=6，写出一个函数()0ky k x=≠，使它的图象与矩形OABC 的两边AB ，BC 分别交于点D ，E ，这个函数的表达式为 ． 15．在学习二次函数的图象时，小米通过向上（或向下）平移y=ax 2的图象，得到y=ax 2+c 的图象；向左（或向右）平移y=ax 2的图象， 得到y=a(x ﹣h)2的图象．小米经过探究发现一次函数的图象也应该 具有类似的性质．请你思考小米的探究，直接写出一次函数y=2x+3 的图象向左平移4个单位长度，得到的函数图象的解析式为 ．16．在Rt △ABC 中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若点P 在直线AC 上（不与点A ，C 重合），且∠ABP=30°，则CP 的长为 ．三、解答题(本题共30分，每小题5分) 17．如图，AB=AD ，AC=AE ，∠CAD=∠EAB ．求证：BC=DE ．18()1012cos 45 3.144π-⎛⎫︒+-+- ⎪⎝⎭．19．解不等式组2141123x x x x -+<+⎧⎪-⎨-≤⎪⎩．20．已知实数a 满足22130a a +-=，求()()2212121121a a a a a a a +++-÷+--+的值.21．关于x 的一元二次方程()2121=0m x mx m --++有两个实数根．（1）求m 的取值范围；（2）当m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数． 22．列方程或方程组解应用题：为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场.现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍． 根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？四、解答题(本题共20分，每小题5分)23．如图，BD 是△ABC 的角平分线，点E ，F 分别在BC ，AB 上，且DE ∥AB ，EF ∥AC ． （1）求证：BE=AF ；（2）若∠ABC=60°，BD=12，求DE 的长及四边形ADEF 的面积．24．“小组合作学习”成为我区推动课堂教学改革，打造自主高效课堂的重要举措．某中学从全校学生中随机抽取100人作为样本，对“小组合作学习”实施前后学生的学习兴趣变化情况进行调查分析，统计如下：请结合图中信息解答下列问题：（1）小组合作学习前学生学习兴趣为“高”的所占的百分比为 ； （2）补全小组合作学习后学生学习兴趣的统计图；（3）通过“小组合作学习”前后学生学习兴趣的对比，请你估计全校2000名学生中学习兴趣获得提高的学生有多少人？25．如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点B ，AC 交⊙O 于点D ，∠BAC=2∠CBE ，交AC 于点E ，交⊙O 于点F ，连接AF ．FDE BOAC（1）求证：∠CBE=∠CAF ；（2）过点E 作EG ⊥BC 于点G ，若∠C=45°，CG=1， 求⊙O 的半径．26．阅读下面材料：学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL ”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．小聪将命题用符号语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，AC=DF ，BC=EF ，∠B=∠E ． 小聪想：要想解决问题，应该对∠B 进行分类研究．∠B 可分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．第一种情况：当∠B 是直角时，如图1， 在△ABC 和△DEF 中，AC=DF ，BC=EF ， ∠B=∠E=90°，根据“HL ”定理，可以知道 Rt △ABC ≌Rt △DEF ．图1图2第二种情况：当∠B 是锐角时，如图2，BC=EF ，∠B=∠E<90°，在射线EM 上有点D ，使DF=AC ，画出符合条件的点D ，则△ABC 和△DEF 的关系是 ；A ．全等B ．不全等C ．不一定全等第三种情况：当∠B 是钝角时，如图3，在△ABC 和△DEF 中，AC=DF ，BC=EF ， ∠B=∠E>90°，求证：△ABC ≌△DEF ．五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题8分，第29题7分)27．已知抛物线y=ax 2+x+c （a ≠0）经过A （1 ，0），B （2，0）两点，与y 轴相交于点C ，点D为该抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）点E 是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E 到直线BC的距离为2时，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，在x 轴上有一点P ，且∠EAO+∠EPO=∠α，当tan α=2时，求点P 的坐标．图3Oyx28．（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=80°，∠A+∠C=180°，点M 是AD 边上一点，把射线BM 绕点B 顺时针旋转40°，与CD 边交于点N ，请你补全图形，求MN ，AM ，CN 的数量关系；（2）如图2，在菱形ABCD 中，点M 是AD 边上任意一点，把射线BM 绕点B 顺时针旋12ABC ，与CD 边交于点N ，连结MN ，请你补全图形并画出辅助线，直接写出AM ，CN ，MN 的数量关系是 ；（3）如图3，正方形ABCD 的边长是1，点M ，N 分别在AD ，CD 上，若△DMN 的周长为2，则△MBN 的面积最小值为 ．29．设a,b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a,b]．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m ≤x ≤n 时，图2图3图1有m ≤y ≤n,我们就称此函数是闭区间[m.n]上的“闭函数”．如函数4y x =-+，当x=1时，y=3；当x=3时，y=1，即当13x ≤≤时，有13y ≤≤，所以说函数4y x =-+是闭区间[1,3]上的“闭函数”． （1）反比例函数y=x2015是闭区间[1,2015]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）若二次函数y=22x x k --是闭区间[1,2]上的“闭函数”，求k 的值；（3）若一次函数y=kx+b(k ≠0)是闭区间[m,n]上的“闭函数”，求此函数的解析式（用含m ，n 的代数式表示）．第二学期初三统练答案（一）数学试卷一、选择题(本题共30分，每小题3分)11.2(2)a a b -；12．乙；13．；14．答案不唯一，如1y x=-(x<0)； 15．y=2x+11；16．6或1分，多写扣1分）． 三、解答题(本题共30分，每小题5分) 17．证明：∵∠CAD=∠EAB ，∴∠CAD +∠BAD=∠EAB+∠BAD ．即∠CAB=∠EAD ． (1)∵AB=AD ，AC=AE ，...........................................................................3 ∴△ABC ≌△ADE ．...........................................................................4 ∴BC=DE ． (5)18．解：原式=()241+-+…………………………………………………………4 =3 (5)19．解：2141123x x x x -+<+⎧⎪⎨--≤⎪⎩①②解不等式①，得1x >-，........................................................................2 解不等式②，得4x ≤，...........................................................................4 ∴原不等式组的解集为：14x -<≤． (5)20．解：()()2212121121a a a a a a a +++-÷+--+ =()()()221212111a a a a a a +++-÷+--…………………………………………………………1 =()()()()()211211112a a a a a a a -+-⋅++-++ =()21111a a a --++…………………………………………………………………………2 =()()221111a a a a +--++=()221a +=2221a a ++………………………………………………………………………………3 ∵22130a a +-=， ∴22=13a a +． ∴原式=213+1 (4)=17…………………………………………………………………………………5 21．解：（1）根据题意得m ≠1 ……………………………………………………………………1 △＝(–2m)2－4(m －1)(m ＋1)＝4 (2)∴m 的取值范围是m ≠1； （2）∴x 1＝()22121m m -=- (3)x 2＝()2221m m +-＝11m m +-x 2＝11m m +-=211m +-…………………………………………………………4 ∵方程的两个根都是正整数，∴21m -是正整数， ∴m －1=1或2∴ｍ=2或3 . (5)22．解：设甲工厂每天能加工x 件新产品，则乙工厂每天加工1.5x 件新产品． (1)依题意得，1200120010.1.5x x =+ (2)解得40x = (3)经检验，40x =是原方程的解，并且符合题意．………………………………………4 ∴1.560x =.答：甲、乙两个工厂每天能加工新产品的件数分别为40件、60件． (5)四、解答题(本题共20分，每小题5分) 23．（1）证明：∵DE ∥AB ，EF ∥AC ，∴四边形ADEF 是平行四边形，…………………………………………………………1 ∠ABD=∠BDE ． ∴AF=DE ．∵BD 是△ABC 的角平分线， ∴∠ABD=∠DBE ． ∴∠DBE=∠BDE ．∴BE=DE ．∴BE=AF ． (2)（2）解：过点D 作DG ⊥AB 于点G ，过点E 作EH ⊥BD 于点H ，∵∠ABC=60°，BD 是∠ABC 的平分线， ∴∠ABD=∠EBD=30°，∴DG=12BD=12×12=6． (3)∵BE=DE ， ∴BH=DH=12BD=6． ∴BE=cos30BH=43．∴DE=BE=43．.................................................................................4 ∴四边形ADEF 的面积为：DE •DG=243． (5)24．解：（1）30%； (1)（2）小组合作学习后学生学习兴趣的统计图如下： (2)（3）小组合作学习前学生学习兴趣“中”的有100×25%=25（人），小组合作学习后学习兴趣提高了30﹣25=5（人）；………………………………3 小组合作学习前学生学习兴趣“高”的有100×30%=30（人），GHFDCA小组合作学习后学习兴趣提高了35﹣30=5（人）；小组合作学习前学生学习兴趣为“极高”的有100×25%=25（人），小组合作学习后学习兴趣提高了30﹣25=5（人），∴2000×555100++=300（人）． (4)答：全校2000名学生中学习兴趣获得提高的学生有300人． (5)25．（1）证明：∵BC切⊙O于点B，∴∠ABF+∠CBE=90°． (1)∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°．∴∠ABF+∠BAF=90°．∴∠CBE=∠BAF．∵∠BAC=2∠CBE，∴∠BAF+∠CAF=2∠CBE．即∠CBE=∠CAF． (2)（2）∵EG⊥BC于点G，∴∠CBE+∠BEG=90°．∵∠CAF+∠AEF=90°，∴∠BEG=∠AEF．连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∴∠BDE=∠BGE=90°．∵BE=BE∴△BED≌△BEG．∴ED=EG． (3)∵∠C=∠CEG=45°，∴EG=CG=1，∴DE=1．∴．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=45°，∴∠BAC=45°．∴．∴AB=2+ (4)∴⊙O的半径为2． (5)26．解：画出DF，选择A（或画出D’F，选择B） (1)画出DF和D’F，选择C (2)证明：如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G，过点F 作DH ⊥DE 交DE 的延长线于点H ， ∵∠B=∠E ，∴180°﹣∠B=180°﹣∠E ，即∠CBG=∠FEH ，…………………………………………………………………………3 在△CBG 和△FEH 中，90CBG FEH G H BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△CBG ≌△FEH （AAS ）， ∴CG=FH ，在Rt △ACG 和Rt △DFH 中，AC DFCG FH =⎧⎨=⎩，Rt △ACG ≌Rt △DFH （HL ），∴∠A=∠D ， (4)在△ABC 和△DEF 中，A D B E AC DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （AAS ）．………………………………………………………………5 五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题8分，第29题7分) 27．解：（1）∵抛物线y=ax 2+x+c （a ≠0）经过A （﹣1，0），B （2，0）两点，∴10420a c a c -+=⎧⎨++=⎩，解得12a c =-⎧⎨=⎩．∴抛物线为y=﹣x 2+x+2①； (1)∴顶点D（12，94）． (2)（2）如图，作EN∥BC，交y轴于N，过C作CM⊥EN于M，令x=0，得y=2,∴OC=OB=2．∴∠OCB=45°．∵EN∥BC，∴∠CNM=∠OCB=45°．∵CM⊥EN于M，∴∠CNM=∠CMN=45°．∴MN =CM=2．∴CN=1．∴直线NE的解析式为：把②代入①，解得12 xy=⎧⎨=⎩∴E（1，2）． (4)（3）过E作EF⊥AB于F∴tan∠EOF=2，又∵tan∠α=2，∴∠EOF=∠α，∵∠EOF=∠EAO+∠AEO=∠α，∠EAO+∠EPO=∠α，∴∠EPO=∠AEO，∵∠EAO=∠PAE，∴△AEP∽△AOE， (5)∴AP AE AE AO=，∵∴AP=8，∴OP=7，∴()7,0P， (6)由对称性可得，()'5,0P- (7)∴()7,0P或()5,0-．28．解：（1）E (1)延长DA到点E，使AE=CN，连接BE∵∠BAD+∠C=180°．∴∠EAB=∠C．又∵AB=BC，AE=CN，∴△ABE≌△CBN．∴∠EBA=∠CBN，BE=BN． (2)∴∠EBN=∠ABC．∵∠ABC=80°，∠MBN=40°，∴∠EBM=∠NBM=40°．∵BM=BM，∴△EBM≌△NBM．∴EM=NM． (3)∴MN=AM+CN． (4)（2）……………………………………………………5MN<AM+CN (6)（3）1…………………………………………………………………………829．解：（1是闭区间[1,2015]上的“闭函数”．理由如下：在第一象限，y随x的增大而减小，当x=1时，y=2015； (1)当x=2015时，y=1，即图象过点（1,2015）和（2015,1）∴当1≤x≤2015时，有1≤y≤2015，符合闭函数的定义，上的“闭函数”；……………………2 （2）由于二次函数22y x x k =--的图象开口向上，对称轴为1x =，……………………………………………………………………3 ∴二次函数22y x x k =--在闭区间[1,2]内，y 随x 的增大而增大． 当x=1时，y=1，∴k=2-．当x=2时，y=2，∴k=2-．即图象过点（1,1）和（2,2）∴当1≤x ≤2时，有1≤y ≤2，符合闭函数的定义，∴k=2-． (4)（3）因为一次函数()0y kx b k =+≠是闭区间[],m n 上的“闭函数”， 根据一次函数的图象与性质，有：（Ⅰ）当0k >时，即图象过点（m,m ）和（n,n ） mk b m nk b n+=⎧⎨+=⎩，……………………………………………………………………5 解得10k b =⎧⎨=⎩． ∴y x =……………………………………………………………………………6 （Ⅱ）当0k <时，即图象过点（m,n ）和（n,m ）mk b n nk b m +=⎧⎨+=⎩，解得1k b m n =-⎧⎨=+⎩∴y x m n =-++，………………………………………………………………7 ∴一次函数的解析式为y x =或y x m n =-++．。
北京市平谷区2019-2020学年中考数学模拟试题含解析
北京市平谷区2019-2020学年中考数学模拟试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，AC=3，cosA=13，将△DAC沿着CD折叠后，点A落在点E处，则BE的长为（）A．5 B．42C．7 D．522．如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（）A．13B．22C．24D．2233．若a与﹣3互为倒数，则a=（）A．3 B．﹣3 C．D．-4．如果一个正多边形内角和等于1080°，那么这个正多边形的每一个外角等于（）A．45o B．60o C．120o D．135o5．已知抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y= bx的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y=bx+ac的图象可能是（）A．B．C．D．6．下列运算正确的是（）A．（﹣2a）3=﹣6a3B．﹣3a2•4a3=﹣12a5C．﹣3a（2﹣a）=6a﹣3a2D．2a3﹣a2=2a7．若点A(1，a)和点B(4，b)在直线y ＝－2x ＋m 上，则a 与b 的大小关系是( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．与m 的值有关8．一元二次方程x 2﹣2x ＝0的根是（ ）A ．x ＝2B ．x ＝0C ．x 1＝0，x 2＝2D ．x 1＝0，x 2＝﹣2 9．4的平方根是（ ）A ．16B ．2C ．±2D ．±10．关于x 的一元二次方程x 2-2x-（m-1）=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．0m >且1m ≠ B ．0m > C ．0m ≥且1m ≠ D ．0m ≥11．如图，已知直线//AB CD ，点E ，F 分别在AB 、CD 上，:3:4CFE EFB ∠∠=，如果∠B ＝40°，那么BEF ∠=（ ）A ．20°B ．40°C ．60°D ．80°12．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x+k+2＝0有实数根，则k 的取值范围在数轴上表示正确的是( ) A ．B ．C ．D ．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．若代数式211x --的值为零，则x=_____． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （1，0），B （1﹣a ，0），C （1+a ，0）（a ＞0），点P 在以D （4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a 的最大值是______．15．甲、乙两名学生练习打字，甲打135个字所用时间与乙打180个字所用时间相同，已知甲平均每分钟比乙少打20个字，如果设甲平均每分钟打字的个数为x ，那么符合题意的方程为：______．16．计算2x 3·x 2的结果是_______．17．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ．点E 、F 分别在AB 、AD 上，且AE ＝DF ．连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H ．下列结论：①△AED ≌△DFB ；②S 四边形BCDG ＝34CG 2；③若AF＝2DF，则BG＝6GF．其中正确的结论有_____．（填序号）18．若一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根，则一次函数y=（m+1）x+m﹣1的图象不经过第_____象限．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）某纺织厂生产的产品,原来每件出厂价为80元,成本为60元.由于在生产过程中平均每生产一件产品有0.53m的污水排出,现在为了保护环境,需对污水净化处理后再排出.已知每处理13m污水的费用为2元,且每月排污设备损耗为8000元.设现在该厂每月生产产品x件,每月纯利润y元：（1）求出y与x的函数关系式.(纯利润=总收入-总支出)（2）当y=106000时,求该厂在这个月中生产产品的件数.20．（6分）计算：（1）﹣12018+|3﹣2|+2cos30°；（2）（a+1）2+（1﹣a）（a+1）；21．（6分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D 作DH⊥AC于点H，且DH是⊙O的切线，连接DE交AB于点F．（1）求证：DC=DE；（2）若AE=1，23EFFD，求⊙O的半径．22．（8分）为响应“学雷锋、树新风、做文明中学生”号召，某校开展了志愿者服务活动，活动项目有“戒毒宣传”、“文明交通岗”、“关爱老人”、“义务植树”、“社区服务”等五项，活动期间，随机抽取了部分学生对志愿者服务情况进行调查，结果发现，被调查的每名学生都参与了活动，最少的参与了1项，最多的参与了5项，根据调查结果绘制了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图．被随机抽取的学生共有多少名？在扇形统计图中，求活动数为3项的学生所对应的扇形圆心角的度数，并补全折线统计图；该校共有学生2000人，估计其中参与了4项或5项活动的学生共有多少人？23．（8分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，点D 是AB 上一点，以BD 为直径的⊙O 和AB 相切于点P ．（1）求证：BP 平分∠ABC ；（2）若PC=1，AP=3，求BC 的长．24．（10分）在数学上，我们把符合一定条件的动点所形成的图形叫做满足该条件的点的轨迹．例如：动点P 的坐标满足（m ，m ﹣1），所有符合该条件的点组成的图象在平面直角坐标系xOy 中就是一次函数y=x ﹣1的图象．即点P 的轨迹就是直线y=x ﹣1．（1）若m 、n 满足等式mn ﹣m=6，则（m ，n ﹣1）在平面直角坐标系xOy 中的轨迹是 ； （2）若点P （x ，y ）到点A （0，1）的距离与到直线y=﹣1的距离相等，求点P 的轨迹；（3）若抛物线y=214x 上有两动点M 、N 满足MN=a （a 为常数，且a≥4），设线段MN 的中点为Q ，求点Q 到x 轴的最短距离．25．（10分）已知，关于 x 的一元二次方程（k ﹣1）x 22k ＝0 有实数根，求k 的取值范围． 26．（12分）已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线交AB 的延长线于F ，切点为G ，连接AG 交CD 于K ．（1）如图1，求证：KE ＝GE ；（2）如图2，连接CABG ，若∠FGB ＝12∠ACH ，求证：CA ∥FE ； （3）如图3，在（2）的条件下，连接CG 交AB 于点N ，若sinE ＝35，AK 10，求CN 的长．27．（12分）阅读下列材料：题目：如图，在△ABC中，已知∠A（∠A＜45°），∠C=90°，AB=1，请用sinA、cosA表示sin2A．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】【分析】连接AE，根据余弦的定义求出AB，根据勾股定理求出BC，根据直角三角形的性质求出CD，根据面积公式出去AE，根据翻转变换的性质求出AF，根据勾股定理、三角形中位线定理计算即可．【详解】解：连接AE，∵AC=3，cos∠CAB=13，∴AB=3AC=9，由勾股定理得，22AB AC2，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD=12AB=92，S△ABC=12×3×62=92，∵点D为AB的中点，∴S△ACD=12S△ABC=922，由翻转变换的性质可知，S四边形ACED=92，AE⊥CD，则12×CD×AE=92，解得，AE=42，∴AF=22，由勾股定理得，DF=22AD AF=72，∵AF=FE，AD=DB，∴BE=2DF=7，故选C．【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、直角三角形的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．2．C【解析】试题分析：连结CD，可得CD为直径，在Rt△OCD中，CD=6，OC=2，根据勾股定理求得OD=4所以tan∠CDO=，由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO，则tan∠OBC=，故答案选C．考点：圆周角定理；锐角三角函数的定义．3．D【解析】试题分析：根据乘积是1的两个数互为倒数，可得3a=1，∴a=，考点：倒数．4．A【解析】【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=1080，即可求得n=8，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．【详解】设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=1080，解得：n=8，∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷8=45°．故选A．【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n-2）•180°，外角和等于360°．5．B【解析】分析: 根据抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y=bx的图象在第一象限有一个公共点，可得b＞0，根据交点横坐标为1，可得a+b+c=b，可得a，c互为相反数，依此可得一次函数y=bx+ac的图象.详解: ∵抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y=bx的图象在第一象限有一个公共点，∴b＞0，∵交点横坐标为1，∴a+b+c=b，∴a+c=0，∴ac＜0，∴一次函数y=bx+ac的图象经过第一、三、四象限．故选B.点睛: 考查了一次函数的图象，反比例函数的性质，二次函数的性质，关键是得到b＞0，ac＜0. 6．B【解析】【分析】先根据同底数幂的乘法法则进行运算即可。
2024年北京平谷区初三一模考试数学及答案
2024北京平谷初三一模数 学一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 从水利部长江水利委员会获悉，截止2024年3月24日，南水北调中线一期工程自2014年12月全面通水以来，已累计调水700亿立方米．其中70 000 000 000用科学记数法表示为( ) A ．8710⨯B ．9710⨯C ．10710⨯D ．11710⨯2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.3. 如图，点C 为直线AB 上一点，CD ⊥CE ，若∠1=65°，则∠2的度数是 A.15° B.25° C.35° D.4. 已知1x −＜＜0，下列四个结论中，错误的是 A. x ＜1 B. 0x −＞ C. 1x −＞ D.x+1＞05. 如果正多边形的每个内角都是120°，则它的边数为（ ） A. 5B. 6C. 7D.86. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则两次都是正面向上的概率是（ ）A. 14B. 13C. 12D. 237.已知两组数据（1）3005,3005,3003,3000,2994；（2）5,5,3,0，-6，设第一组数据的平均值为_1x ，方差为21s ，设第二组数据的平均值为_2x ，方差为22s ，下列结论正确的是：A.__221212,s x x s == B.__221212,s x x s >> C.__221212,s x x s => D.__221212,s x x s >=8. 如图，正方形ABCD 中，点E 、H 、G 、F 分别为AB 、BC 、CD 、AD 边上的点，点K 、M 、N 为对角线BD 上的点，四边形EKNF 和四边形MHCG 均为正方形，它们的面积分别表示为S 1，和S 2，给出下面三个结论：①12S S =；②2DF AF =；③12ABCD 9=S +2S 4S 正方形； A. ② B ①.③C. ②③D. ①②③上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） 二、填空题（共16分，每题2分）659.x 的取值范围是______． 10. 分解因式：22x a a ax ++=__________________. 11.化简：3113x x x+−−的结果为 ． 12.写出一个大于1小于4的无理数： ． 13. 如图，反比例函数(0)ky k x=≠经过点A 、点B ，则m=______． 14.若关于x 的一元二次方程220x x k +=+有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为_____.15. 如图，△ABC 内接于⊙O ，BC 为⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，连接AD 、DC 若∠D=20°，则ACB ∠的度数为______．16．某工艺坊加工一件艺术品，完成该任务共需A ，B ，C ，D ，E ，F 六道工序，其中A ，B 是前期准备阶段，C ，D ，E 是中期制作阶段，F 为最后的扫尾阶段，三个阶段不能改变顺序，也不能同时进行，但各阶段内的几个工序可以同时进行，完成各道工序所需时间如下表所示：在不考虑其它因素的前提下，加工该件艺术品最少需要_____________分钟；现因情况有变，需将加工时间缩短到30分钟．每道工序加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用如上表，则所增加的投入最少是_____________元.三、解答题（共68分，第17—19题，每题5分，第20题，6分，第21题，5分，第22—23题，每题6分，第24—25题，每题5分，第26题6分；第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17. 计算：112cos3012−⎛⎫︒+− ⎪⎝⎭18．解不等式组：32162x x x x −⎧⎪⎨−+⎪⎩＞＜．19. 已知250,x x +−=求代数式(1)(x 1)x(2)x x +−++的值.20. 我国古代数学著作《九章算术》里记载了这样一个有趣的问题：“今有善行者行100步，不善行者60步.今不善行者先行100步，善行者追之，问几何步追之？”其意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走了60步，现在走路慢的人先走100步，走路快的人去追他，问走路快的人走多少步能够追上他？请你解决该问题.21．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝k x ＋b (k≠0)的图象由函数y x =的图象平移得到，且经过点(0，3)．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x ＞0时，对于x 的每一个值，一次函数12y x n =+的值小于函数y ＝k x ＋b (k≠0)的值且大于0，直接写出n 的取值范围．22.如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 、E 分别是BC 、AB 边的中点，连接DE 并延长，使EF=2DE ，连接AF 、CE.（1）求证：四边形ACEF 是平行四边形； （2）若∠B=30°，求证：四边形ACEF 是菱形.23．如图，△ABC 内接于O ，∠ACB=45°，连接OA ，过B 作O 的切线交AC 的延长线于点D ，． （1）求证：D OAD ∠=∠；（2）若BC =tanD 34=，求O 半径的长．24.光合作用是指在光的照射下，植物将二氧化碳和水转化为有机物，并产生氧气的过程，呼吸作用指的是植物将有机物和氧气分解成二氧化碳和水以维持植物生命所必要的过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好.下表是某农科院为了更好的指导果农种植草莓，在0℃至50℃气温，水资源及光照充分的条件下，对温度对光合作用和呼吸作用的影响进行研究的相关数据：（1）通过观察表格数据可以看出，若设温度为x ，光合作用产氧速率、呼吸作用耗氧速率是这个自变量的函数.建立平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，下图中已经描出部分点，请补全其余点，并画出函数图象:（2）结合函数图象，解决问题:（结果取整）①最适合草莓生长的温度约为______℃；②当温度约在什么范围内时，呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率，呼吸作用成为植物的主要活动，植物生长缓慢.25．4月24日是中国的航天日.为了激发全民尤其是青少年崇尚科学、勇于创新的热情,某学校在七、八年级进行了一次航天知识竞赛，现从七、八年级参加该活动的学生的成绩中各随机抽取20个数据，分别对这20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a ．七年级参加活动的20名学生成绩的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：5060x ≤<，6070x ≤<，7080x ≤<，8090x ≤<，90100x ≤≤）；26.在平面直角坐标系xoy 中，抛物线2y x bx =−． （1）当抛物线过点（2,0）时，求抛物线的解析式；（2）若抛物线上存在两点11(x ,y )A 和22(x ,y )B ,若对于11x 2,≤≤2x 2b =+都有120y y <，求b 的取值范围．27.如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB =A C ,点D 为BC 边中点，DE ⊥AB 于E ，作∠EDC 的平分线交AC 于点F ，过点E 作DF 的垂线交DF 于点G ，交BC 于点H.(1)依题意补全图形； (2)求证：DH=BE ；(3)判断线段FD 、HC 与BE 之间的数量关系，并证明.28. 平面直角坐标系xOy 中,已知⊙M 和平面上一点P ，若PA 切⊙M 于点A ，PB 切⊙M 于点B ，且90°≤∠APB ＜180°则称点P 为⊙M 的伴随双切点. （1）如果⊙O 的半径为2① 下列各点1(1)P −，02,(2)P −，23,(3,3)P 4,(1,2)P −− 是⊙O 的伴随双切点的是 ；② 直线y x b =+上存在点P 为⊙O 的伴随双切点，则b 的取值范 围 ；（2）已知：点E （1，2）、F （0，-2），过点F 作y 轴的垂线l ，点C （m ，0）是x 轴上一点，若直线l 上存在以CE 为直径的圆伴随双切点，直接写出m 的取值范围.参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分） 三、解答题（共68分，第17—19题，每题5分，第20题，6分，第21题，5分，第22—23题，每题6分，第24—25题，每题5分，第26题6分；第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.解：112cos3012−⎛⎫︒++− ⎪⎝⎭=2212⨯++−−........................................................4 =1.. (5)18.解不等式组：32162x x x x −⎧⎪⎨−+⎪⎩＞＜解①得1x >−........................................................2 解②得4x <.. (4)14x ∴−<< (5)19.先化简，再求值：(1)(x 1)x(2)x x +−++2212x x x =−++........................................................2 2221x x =+−.. (3)22x 50,+x=5x x +−=∴........................................................4 10-19∴==原式.. (5)20. 解：设走路快的人走了x 步追上走路慢的人 (2)31005x x =+························································4 解得:x=250························································5 答：走路快的人250步追上走路慢的人 (6)（方法不唯一，其他方法依步骤给分）21.（1）∵一次函数y ＝k x ＋b (k≠0)的图象由函数y x =的图象平移得到∴k=1························································1 ∵经过点(0，3)∴b=3 (2)3y x ∴=+（2） 03n ∴≤≤时结论成立.························································5 22．解：（1）∵点D 、E 分别是BC 、AB 边的中点∴DE ∥AC ，且12DE AC =························································1 ∵EF=2DE∴EF=AC (2)∴四边形ACEF 是平行四边形 (3)（2）Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，E 为AB 中点， ∴12CE AB AE ==························································4 ∵∠B=30° ∴∠BAC=60°∴△AEC 是等边三角形························································5 ∴AC=EC∴四边形ACEF 是菱形 (6)23.（1）证明：连接OB ∵BD 是O 的切线∴∠OBD=90° (1)∵∠ACB=45°∴∠AOB=90°························································2 ∴OA ∥BD∴ADB OAD ∠=∠· (3)（2）过点B 作BH ⊥AD 于点H ∴∠AHB=∠DHB=90°∵∠ACB=45°，BC =∴BH=HC=4 (4)∵∠HBM+∠BMH=90° ∠OAM+∠AMO=90° ∠BMH=∠AMO ∴∠MBH=∠OAM=∠D4tanD 3=∴tan ∠MBH 34=∴MH=3，BM=5························································5 设O 的半径为x ∴OM=x-5∵△AOM ∽△BHM 354x x −∴=解得x=20 (6)24.解（1)补全函数图象 (2)(2)①最适合草莓生长的温度约为___36___℃；(33-37均可)························································3 ②064250x x ≤≤≤≤℃℃或℃℃(答案不唯一）························································5 25.(1)补全a 中频数分布直方图； (1)(2)88.5; 94.························································3 (3)435. (5)26.（1）抛物线的对称轴为x=b (1)∵抛物线过点（0,0）和（2,0）∴b=1 (2)∴抛物线的解析式为22y x x =− （2）∵抛物线的对称轴为x=b ，∴（b+2,0）点一定位于对称轴的右侧························································3 情况1：当原点位于对称轴的左侧时此时，有2222b b b +>⎧⎨<⎩解得12b <<························································4 情况2：当原点位于对称轴的右侧时此时，有220b b <+<解得22b b <⎧⎨<−⎩ 解得2b <− (5)综上， 1∴<b<2或b<-2 (6)27.(1)补全图形 (1)(2) 证明： ∵DF 平分∠EDC∴∠1=∠2∵DF ⊥EH∴∠EGD=∠HGD=90°∵∠1=∠2，DG=DG∴△EDG ≌△HDG (2)∴DE=DH∵∠BAC=90°，AB=AC∴∠B=45°∵ DE ⊥AB∴∠BED=90°∴ ∠B=∠EDB=45°∴DE=BE∴DH=BE (3)（3）222BE HC DF += (4)方法1：作DM ⊥AC 于M (5)∵CD=BD ，∠DMC=∠BED=90°，∠B=∠C=45°∴△BED ≌△CMD ∴DE=DM ，∵∠BAC=90°， DE ⊥AB∴DE ∥AC∴∠1＝∠3∵DF 平分∠EDC∴∠1=∠2∴∠2=∠3∴CD=CF (6)∵CM=DM=BE=DH∴CF-CM=CD-DH∴FM=HC在Rt △FDM 中∵222FM DM DF +=∴.222BE HC DF += (7)方法2：在CF 上截取CK=CH ，连接DK 并延长使DM=DK ，连接BM ，EM..........................................5 ∵CD=BD ，DK=DM ，∠KDC=∠BDM∴△KDC ≌△BMD ∴KC=BM ，∠C=∠4∴KC ∥BM∴∠ABM=∠BAC=90°∵∠BAC=90°， DE ⊥AB∴DE ∥AC∴∠1＝∠3∵DF 平分∠EDC∴∠1=∠2∴∠2=∠3∴CD=CF (6)∵ CK=CH∴FK=DH∴DE=FK∵ED ∥AC∴∠EDM=∠5∴△EMD ≌△FDK.∴DF=ME∴222BE HC DF +=.........................................7 方法3：连接AD ，在AB 上截取BM=AF ，连接DM. Rt △ABC 中，∠BAC=90°，D 为BC 中点 ∴AD=BD ，∠4=∠B=45°∵AF=BM∴△ADF ≌△BMD.........................................5 ∴DF=DM∵AB=AC ，BM=AF∴AB-BM=AC-AF∴AM=CF∵∠BAC=90°， DE ⊥AB∴DE ∥AC∴∠1＝∠3∵DF 平分∠EDC∴∠1=∠2∴∠2=∠3∴CD=CF (6)∴AM=CD∵DE ⊥AB ，∠BAD=45°∴AE=DE∴AE=DH∴ME=HC在Rt △EDM 中∵222EM DE DM +=∴222BE HC DF += (7)28．解：（1）①P 2，P 4； (2)②44b −≤≤ (4)（2）11m ≥+≤或m (7)。
北京市平谷区初三一模数学试卷及答案
平谷区2020年初三数学一模试卷2020.4一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的. 1．根据国家外汇管理局2020年3月31日公布的涉外银行卡统计数据显示，2020年我国居民境外刷卡支出13 300 000万美元．将13 300 000用科学记数法表示应为（ ）A ．1.33×108B ．1.33×107C ．1.33×106D ．0. 133×108 2．实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，相反数最大的是（ ）A ．aB ．bC ．cD ．d3．一枚质地均匀的六面骰子，六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6点，投掷一次c d ba得到的点数为奇数的概率是（）A．16B．14C．13D．124．如图，直线a // b，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，则∠1的度数为（）A．90° B．60° C．45° D．30°5．根据《北京日报》报道，到2020年年底，55公里长的长安街及延长线的市政设施、道路及附属设施等，将全部实现“中国风”设计风格．在下列设计图中，轴对称图形的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．如图，在△ABC中，DE∥BC，AE：EC=2：3，DE=4，则BC的长为（）A．10 B．8 C．6 D．57．某校在汉字听写大赛中，10名学生得分情况分别是：人数 3 4 2 1分数80 85 90 95这10名学生所得分数的中位数和众数分别是（）A．85和80 B．80和85 C．85和85 D．85.5和80EAB CDba1B CA8．已知，关于x 的一元二次方程()22210m x x -++=有实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜3B ．m≤3C ．m ＜3且m≠2D ．m≤3且m≠29.如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距.根据最近人体构造学的研究成果表明，一般情况下人的指距d 和身高h 成某种关系.下表是测得的指距与身高的一组数据：根据上表解决下面这个实际问题：姚明的身高是226厘米，可预测他的指距约为（ ）A.25.3厘米B.26.3厘米C.27.3厘米D.28.3厘米10．如图1，在矩形 ABCD 中，AB<BC ，点E 为对角线AC 上的一个动点，连接BE ，DE ，过E 作EF ⊥BC 于F ．设AE=x ，图1中某条线段的长为y y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（ ）指距d （cm ） 2021 22 23 身高h （cm ） 160169178187CDE图1y xO图2A ．线段BEB ．线段EFC ．线段CED ．线段DE 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：228x y y = ．12．中国象棋在中国有着三千多年的历史，它难易适中，趣味性强，变化丰富细腻，棋盘棋子文字都体现了中国文化．如图，如果○士所在位置的坐标为(-1,-1),○相所在位置的坐标为(2,-1), 那么，○炮所在位置的坐标为 .13．如图，在△ABC 中，D 是AB 边上一点，连接CD ．要使△ADC 与△ABC 相似，应添加的条件是 ．帅 士 相炮第12题第14题BD第13题14．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个边长为1丈（1丈=10尺）的正方形水池，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面 1 尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”设这个水池的深度是x尺，根据题意，可列方程为．15．在对某次实验数据整理过程中，某个事件出现的频率随实验次数变化折线图如图所示，这个图形中折线的变化特点是，试举一个大致符合这个特点的实物实验的例子（指出关注的结果）．16．阅读下面材料：小米的作法如下：老师说：“小米的作法正确．”请回答：小米的作图依据是_________________________．三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17．计算：()2132cos 4522oπ-⎛⎫--+- ⎪⎝⎭．18．已知a+b=﹣1，求代数式()()2122a b a b a -+++的值．19．求不等式组2151132523(2)≤x x x x -+⎧-⎪⎨⎪-<+⎩的正整数解．20．如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 是BC 上一点，DE ⊥AB 于E ，FD ⊥BC 于D ，G 是FC 的中点，连接GD. 求证：GD ⊥DE.21．列方程或方程组解应用题：某校为了增强学生对中华优秀传统文化的理解，决定购买一批相关的书籍．据了解，经典著作的单价比传说故事的单价多8元，用12000元购买经典著作与用8000AF BCEG元购买传说故事的本数相同，求经典著作的单价是多少元？22．如图，□ABCD，点E 是BC 边的一点，将边AD 延长至点F ，使∠AFC=∠DEC ，连接CF ，DE ．（1）求证：四边形DECF 是平行四边形； （2）若AB=13，DF=14，12tan 5A =，求CF 的长．23．直线28y x =-+和双曲线()0ky k x=≠交于点A（1）求m ，n ，k 的值；（2）在坐标轴上有一点M ，使MA+MB24．如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若∠EAB=30°，CF=2，求AG的长．25．“世界那么大，我想去看看”是现代很多人追求的生活方式之一．根据北京市旅游发展委员会发布的信息显示， 2020——2020年连续四年，我市国内旅游市场保持了稳定向好的态势.2020年，旅游总人数约2.31亿人次，同比增长8.1%；2020年，旅游总人数约 2.52亿人次，同比增长9%；2020年，旅游总人数约 2.61亿人次，同比增长3.8%；2020年，旅游总人数2.73亿人次，同比增长4.3%；预计2020年旅游总人数与2020年同比增长5%.旅游不仅是亲近自然的好时机，同时也是和家人朋友沟通的好时机，调查显示，中秋国庆黄金假期成为人们选择旅游最佳时期，《2020年中秋国庆长假出游趋势报告》显示，人们出行的方式可以归纳为四种，即乘火车、乘汽车、坐飞机、其他.其中选择乘火车出行的人数约占47%，选择乘汽车出行的人数约占28%，选择坐飞机出行的人数约占17%. 根据以上信息解答下列问题：（1）预计2020年北京市旅游总人数约 亿人次（保留两位小数）； （2）选择其他出行方式的人数约占 ；（3）请用统计图或统计表，将2020——2020年北京市旅游总人数表示出来.26．我们知道对于x 轴上的任意两点1(,0)A x ，2(,0)B x ，有AB=12x x -，而对于平面直角坐标系中的任意两点),(111y x P ，),(222y x P ，我们把2121y y x x -+-称为P l ，P 2两点间的直角距离，记作),(21P P d ，即),(21P P d =2121y y x x -+-.（1）已知O 为坐标原点，若点P 坐标为（1，3），则d(O ，P)＝_____________；（2）已知O 为坐标原点，动点()y x P ,满足(),2d O P =，请写出x 与y 之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P 所组成的图形；（3）试求点M(2，3)到直线y=x+2的最小直角距离．27．已知：直线l ：2y x =+与过点（0,﹣2），且与平行于x 轴的直线交于点A ，点A 关于直线1x =-的对称点为点B ．（1）求,A B两点的坐标；（2）若抛物线2=-++经过A，B两点，求抛物线解析式；y x bx c（3）若抛物线2=-++的顶点在直线l上移动，当抛物线与线段AB有一个公y x bx c共点时，求抛物线顶点横坐标t的取值范围．28．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=CD，∠ACD=α，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，连接DE，AE，BD．（1）依题意补全图1；（2）判断AE与BD的数量关系与位置关系并加以证明；（3）若0°＜α≤64°，AB=4，AE与BD相交于点G，求点G到直线AB的距离的最大值．请写出求解的思路（可以不写出计算结果．．．．．．．．．）．29．对于两个已知图形G1，G2，在G1上任取．．一点P，在G2上任取．．一点Q，当线段PQ的长度最小时，我们称这个最小长度为G1，G2的“密距”，用字母d表示；当线段图1 备用图PQ 的长度最大时，我们称这个最大的长度为图形G 1，G 2的“疏距”，用字母f 表示．例如，当(1,2)M ，(2,2)N 时，点O 与线．段．MN ．．O 与线．段．MN ．．的“疏距”为（1）已知，在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()0,4B ，()2,0C ，()0,1D ， ①点O 与线段AB 的“密距”为，“疏距”为； ②线段AB 与△COD 的“密距”为，“疏距”为；（2）直线2y x b =+与x 轴，y 轴分别交于点E ，F ，以()0,1C -为圆心，1为半径作圆，当⊙C 与线段EF 的“密距”0<d<1时，求⊙C 与线段EF 的“疏距”f 的取值范围．备用图平谷区2020年初三数学一模试卷------答案2020.4一、选择题(本题共30分，每小题3分)11．()()222y x x +-；12．（﹣3,1）；13．答案不唯一，如：∠ACD=∠ABC ，∠ADC=∠ACB ，AD ACAC AB=； 14．()22251x x +=+；15．随着实验次数增加，频率趋于稳定；答案不唯一，如：抛掷硬币实验中关注正面出现的频率；16．全等三角形“SSS ”判定定理；全等三角形对应角相等；两点确定一条直线． 三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．解：原式=)12242-⨯+-+ (4)=124-+=3…………………………………………………………………………………5 18．解：()()2122a b a b a -+++=222122+a a ab b a-+++ (2)=2221+a ab b++ (3)∵a+b=﹣1，∴原式=()21a b++ (4)=2 (5)19．解：2151132523(2)②≤①x xx x-+⎧-⎪⎨⎪-<+⎩解不等式①，得1x≥-． (2)解不等式②，得4x<． (3)∴不等式组的解集为14x-≤<． (4)∴不等式组的正整数解为1，2，3． (5)20．证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C.………………………………………………………………………………1 ∵DE ⊥AB ，FD ⊥BC ， ∴∠BED=∠FDC=90°.∴∠1=∠3.………………………………………………2 ∵ G 是直角三角形FDC 的斜边中点，∴GD=GF (3)∴∠2=∠3. ∴∠1=∠2.∵∠FDC=∠2+∠4=90°，∴∠1+∠4=90°.………………………………………4 ∴∠2+∠FDE=90°.∴ GD ⊥DE. (5)21．解：设经典著作的单价为x 元，则传说故事的单价为（x ﹣8）元．……………………1 由题意，得1200080008x x =-…………………………………………………………2 解得x=24， (3)4321AFBCD EG经检验：x=24是原方程的解，且符合题意． (4)答：经典著作的单价为24元． (5)22．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC． (1)∴∠ADE=∠DEC．∵∠AFC=∠DEC，∴∠AFC=∠ADE，∴DE∥FC．∴四边形DECF是平行四边形． (2)（2）解：过点D作DH⊥BC于点H， (3)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD=∠A，AB=CD=13∵12tan5A ，AB=13，∴DH=12，CH=5．……………………4 ∵DF=14， ∴CE=14． ∴EH=9．∴=15．∴CF=DE=15． (5)23．解：（1）∵点A （1，m ）在直线28y x =-+上，∴286m =-+=． (1)∴A （1，6）． 同理，n=3． (2)∴B （3，2）． ∵点A 在双曲线()0ky k x=≠上， ∴k=6． (3)即6y x=．GFEODCB A（2）5,02M⎛⎫⎪⎝⎭或（0,5）． (5)24．（1）证明：连接OC.∵AE是弦，C是劣弧AE的中点，∴OC⊥AE (1)∵CG∥AE，∴OC⊥GC.∴CG是⊙O的切线. (2)（2）解：连接AC.∵∠EAB=30°，CG∥AE,∴∠G=∠EAB=30°.∵CG是⊙O的切线，∴∠GCO=90°.∴∠COA=60°.∵OA=OC,∴△AOC是等边三角形.∴∠CAO=60°.∴∠CAF=30°.可求∠ACD=30°. ∴AF=CF=2 (3)∵∠EAB=30°， ∴DF=1，AD = ∵CG ∥AE ， ∴DF ADCF AG=． (4)∴12=∴AG = (5)25．解：（1）2.87； (1)（2）8%； (2)（3）统计表如下图所示 (5)2020——2020年北京市旅游总人数26．解：（1）4；…………………………………………………………………………………1 （2）2x y +=，.............................................2 所有符合条件的点P 组成的图形如图所示． (3)（3） ∵d=23x y -+-=223x x -++- =21x x -+- (4)∴x 可取一切实数，21x x-+-表示数轴上实数x 所对应的点到1和2所对应的点的距离之和，其最小值为1．∴点M （2，3）到直线y ＝x ＋2的直角距离为1． (5)27．解：（1）Q 由题可知A 点的纵坐标为2-，Q 点A 在直线l 上，∴()4,2A --． (1)由对称性可知()2,2B -． (2)（2）Q 抛物线2y x bx c =-++过点,A B ，∴1642422b c b c --+=-⎧⎨-++=-⎩ 解得26b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为226y x x =--+ (4)（3）Q 抛物线2y x bx c =-++顶点在直线l 上由题可知，抛物线顶点坐标为(),2t t + (5)∴抛物线解析式可化为()22y x t t =--++． 把()4,2A --代入解析式可得()2242t t -=---++解得123,4t t =-=-． ∴43t -≤<-． (6)把()2,2B -代入解析式可得()2222t t --++=-．解得340,5t t == ∴05<≤t ． 综上可知t的取值范围时43t -≤<-或05<≤t ． (7)28．解：（1）补全图形，如图1所示．........................1 （2）AE 与BD 的数量关系：AE=BD ， (2)AE 与BD 的位置关系：AE ⊥BD ． (3)证明：∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB+α=∠DCE+α． 即∠BCD=∠ACE ． ∵BC=AC ，CD=BC ，∴△BCD ≌△ACE ．……………………………4 ∴AE=BD ． ∴∠4=∠CBD ． ∵∠CBD=∠2， ∴∠2=∠4．∵∠3+∠4=90°，∠1=∠3，图1∴∠1+∠2=90°．即AE ⊥BD ．……………………………………5 （3）求解思路如下：过点G 作GH ⊥AB 于H ．由线段CD 的运动可知，当α=64°时GH由CB=CD ，可知∠CBD=∠CDB ， 所以∠CBD=18090642︒-︒-︒=13°，所以∠DBA=32°．由（2）可知，∠AGB=90°，所以∠GAB=58°，分别解Rt △GAH 和Rt △GBH ，即可求GH 的长． (7)29．解：（1）4； (2)②；4（2）当点F 在y 轴的正半轴时，如图1，EG=1，则EP=2， 当d=0时，f=2； (5)由OP=1，得到∴∴，∴ (6)当点F在y轴的负半轴时，当d=0时，如图2，； (7)当d=1时,如图3，QH=1，则PH=2，∵Rt△PHF∽Rt△OEF，∴PF=∴OF=，综上所述，当0<d<1时，当点F在y轴的正半轴时，，当点F在y轴的负半轴时， (8)。
北京市平谷区2020 年中考统一练习( 一)数学试卷答案
北京市平谷区2020年中考统一练习（一）数学试卷参考答案及评分标准2020.5一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号12345678答案B C A B D A C D 二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．22a-1（）；10．圆柱；11．x 1≠；12．-1y 3≤≤；13．答案不唯一，如a=0b=-1，；14．54；15．x-6+x-3+x+x+3+x+6=60（）（）（）（）；或5x=6016．②③．三、解答题(本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-27题，每小题6分，第28题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.解：原式=331+232⨯-+...................................................................4=3. (5)18.解：由①得4x-4<x+2x<2.....................................................................................1由②得3x +1>2x (2)x >-1 (3)∴-1<x <2 (5)19.证明：∵OG 平分∠MON∴∠MOG=∠NOG (1)∵AB ⊥OG 于点B∴∠ABO=90° (2)∵C 为线段OA 中点∴1BC=AO=CO 2............................................3∴∠MOG=∠CBO ···················································································4∴∠NOG=∠CBO∴BC ∥ON (5)20．解：(1)22-24+k-2k k ∆=-（）（）·································································1-4k+8=······················································································2∵有两个不相等的实数根∴4k+8>0-k<2∴ (3)(2)∵k<2且k 为正整数∴k 1=........................................................................................4∴2x -2x=012x =0x =2解得，．. (5)21．(1)证明：∵BF ∥AC ，C F ∥BD∴四边形OBFC 是平行四边形 (1)∵矩形ABCD AC=BD, BO==11BD CO AC 22∴，∴OB=OC∴四边形OBFC 是菱形.............................................２（2）解:连接FO 并延长交AD 于H ，交BC 于K∵菱形OBFC∴∠BKO=90° (3)∵矩形ABCD∴∠DAB=∠ABC=90°，OA=OD∴四边形ABKH 是矩形∴∠DHF=90°，HK=AB=2∴H 是AD 中点∵O 是BD 中点∴OH=1AB=12∴FK=OK=OH=1∴HF=3.....................................................................................................................4∵32AFD tan =∠∴HD=AH=2∴ＢＣ＝ＡＤ＝４22AC=AB +BC =25由勾股定理： (5)22．(1)依题意补全图形 (1)证明：∵等边△ABC ，∴AB=AC∴ AB=AC.....................................2∵AD 过圆心O由垂径定理，∠AEC=90°∵DF//BC ，∴∠ADF=90°∴DF 与⊙O 相切 (3)（2）解：连接DC∵等边△ABC ，∴AB=AC=BC=6∠BAC=60°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４∵AD⊥BC∴∠DAC=30°∵AD 是直径∴∠ACD=90°∴32DC = (5)∵∠DCF=90°，∠F=60°∴CF=2 (6)23.（1）A （3,2） (1)k=6 (2)(2)3 (3)(3)54≤<n 或10<<n (6)24.（1）扇形统计图补充完整47.1% (1)条形统计图补充完整4335 (2)(2)2018 (4)(3)①④ (6)25.（1）确定ＣＤ的长度是自变量，ＰＤ的长度和ＰＥ的长度都是这个自变量的函数； (1)(2)·········································································３(3)2.6，1.9，3.5 (6)26.（1）A （0,1） (1)B （4,1）···························································································2(2)m a2b -x ==.........................................................................................3(3)2m 0m >≤或. (6)27.（1）补全图形.....................................................................................１（2）135° (2)（３）︒=30α......................................................３证明：过A 作AG ⊥ＣＥ于Ｇ．连接ＡＣ．..................４由题意，BC=BE=BA∴∠BCE=∠2，∠BAE=∠1∵∠BCE+∠2+∠BAE+∠1+∠ABC=360°∵∠ABC=90°∴2（∠2+∠1）=270°∴∠2+∠1=135°···················································································································５∴∠AEG=45°∵AE ∴AG=GE=1当︒=30α时，∴∠EBC=30°∵BC=BE∴∠BCG=75°∵∠BCA=45°∴∠ACG=30°∴∴···················································································································６2８.（1）补全图形 (1)（２）设A （2，a ）当a=2时，正方形ABCD 的顶点C 恰好落在⊙A 上；当a>2时，正方形ABCD 的顶点均落在⊙A 内部；当a<2时，正方形ABCD 的顶点C 落在⊙A 外部；∵反比例函数k(k 0,0)A a y x x=>>过点（2，）∴当2a ≥时，4k ≥···················································································································４（3）当m=1时，正方形ABCD 的顶点C 恰好落在⊙A 上；当0<m<1时，正方形ABCD 均落在⊙A 内部；当m=0时，△ABO 不存在；当m<0时，正方形ABCD 均落在⊙A 内部；当m>1时，正方形ABCD 的顶点C 落在⊙A 外部（当m=2时△ABO 不存在）；所以，m1m0<≤<或·················································································７。
2020年部编人教版北京初三数学一模试题分类——四边形
EDB OCA北京2020年初三数学一模试题分类——四边形（门头沟）23． 如图，菱形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O ，分别过点C 、D 作CE ∥BD ，DE ∥AC ，CE 和DE 交于点E . （1）求证：四边形ODEC 是矩形；（2）当∠ADB =60°，AD=时，求tan ∠EAD 的值.（平谷）23．如图，BD 是△ABC 的角平分线，点E ，F 分别在BC ，AB 上，且DE ∥AB ，EF ∥AC ． （1）求证：BE =AF ； （2）若∠ABC =60°，BD =12，求DE 的长及四边形ADEF 的面积．（石景山）23．如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，AB 上的点，且AF AE ，连接EF 并延长，交CB 的延长线于点G ，连接BD ． （1）求证：四边形EGBD 是平行四边形；（2）连接AG ，若5FG =，1354K=，求AG 的长．（通州）23．已知菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点E ，点F 在BC 的延长线上，且CF=BC ，连接DF ，点G 是DF 中点，连接CG .求证：四边形 ECGD 是矩形.C DBA GFEBG FOB CD E A （西城）23．如图，四边形ABCD 中，BD 垂直平分AC ，垂足为点F ， E 为四边形ABCD 外一点，且∠ADE =∠BAD ，AE ⊥AC ． （1）求证：四边形ABDE 是平行四边形；（2）如果DA 平分∠BDE ，AB=5，AD=6，求AC 的长．（延庆）23. 如图，点O 是△ABC 内一点，连结OB 、OC ，并将AB 、OB 、OC 、AC 的中点D 、E 、F 、G 依次连结，得到四边形DEFG . （1）求证：四边形DEFG 是平行四边形；（2）如果∠OBC =45°，∠OCB =30°，OC =4，求EF 的长．（燕山）23．如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于O 点，DE ∥AC ，CE ∥BD ．（1）求证：四边形OCED 为矩形；（2）在BC 上截取CF ＝CO ，连接OF ，若AC ＝8，BD ＝6，求四边形OFCD 的面积．（朝阳）23. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D作DE ∥AC 且DE=12AC ，连接 CE 、OE ，连接AE 交OD 于点F ．（1）求证：OE =CD ；（2）若菱形ABCD 的边长为2，∠ABC=60°，求AE 的长．D O FECAB（丰台）23．如图，菱形ABCD 中， 分别延长DC ，BC 至点E ，F ，使CE =CD ，CF =CB ，联结DB ，BE ，EF ，FD . （1）求证：四边形DBEF 是矩形；（2）如果∠A ＝60︒，菱形ABCD 的面积为38，求DF 的长．（海淀）23．如图，在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ，连接BE ，∠F =45°．（1）求证：四边形ABCD 是矩形； （2）若AB =14，DE =8，求sin ∠AEB 的值．（房山）23．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作一条直线分别交DA 、BC的延长线于点E 、F ，连接BE 、DF ． （1）求证：四边形BFDE 是平行四边形；（2）若AB =4，CF =1，∠ABC =60°，求sin DEO ∠的值．（东城）23． 如图，ABC △中，90BCA ∠=︒,CD 是边AB 上的中线，分别过点C ，D 作BA ，BC的平行线交于点E ，且DE 交AC 于点O ，连接AE . （1）求证：四边形ADCE 是菱形； （2）若2AC DE =，求sin CDB Ð的值．FEDCB AA。
北京市平谷区2019-2020学年中考数学一月模拟试卷含解析
北京市平谷区2019-2020学年中考数学一月模拟试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图是我市4月1日至7日一周内“日平均气温变化统计图”，在这组数据中，众数和中位数分别是（）A．13；13 B．14；10 C．14；13 D．13；142．a、b互为相反数，则下列成立的是（）A．ab=1 B．a+b=0 C．a=b D．ab=-13．如图是由6个完全相同的小长方体组成的立体图形，这个立体图形的左视图是（）A．B．C．D．4．下面四个立体图形，从正面、左面、上面对空都不可能看到长方形的是() A．B．C．D．5．如图，点A是反比例函数y=kx的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是（）A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣66．某种计算器标价240元，若以8折优惠销售，仍可获利20%，那么这种计算器的进价为（）A．152元B．156元C．160元D．190元7．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是3219423x yx y+=⎧⎨+=⎩．类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（）A．2114327x yx y+=⎧⎨+=⎩B．2114322x yx y+=⎧⎨+=⎩C．3219423x yx y+=⎧⎨+=⎩D．264327x yx y+=⎧⎨+=⎩8．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=1．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）A．25B．35C．5 D．69．小明调查了班级里20位同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成了如图的统计图．在这20位同学中，本学期购买课外书的花费的众数和中位数分别是（）A．50，50 B．50，30 C．80，50 D．30，5010．估计112-的值在（）A．0到l之间B．1到2之间C．2到3之间D．3到4之间11．如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC 的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．无法确定12．下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A ．2x ﹣y=3B ．x 2+1x=2 C ．x 2+1=x 2﹣1 D ．x （x ﹣1）=0二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．甲乙两地9月上旬的日平均气温如图所示，则甲乙两地这10天日平均气温方差大小关系为2s 甲________2s 乙．（填“>”或“<”）14．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=1，把该矩形绕点A 顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′，点C′落在AB 的延长线上，则图中阴影部分的面积是_____．15．若不等式（a ﹣3）x ＞1的解集为13x a <-，则a 的取值范围是_____． 16．如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ABD 的面积为_____．17．已知关于X 的一元二次方程()2m 2x 2x 10-++=有实数根，则m 的取值范围是____________________18．如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，BC 边上的高AD=6cm ，腰AB 上的高CE=8cm ，则BC=_____cm三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）如图，点是线段的中点，，．求证：．20．（6分）如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，75CBD ∠=︒，（1）请用尺规作图法，作AB 的垂直平分线EF ，垂足为E ，交AD 于F ；（不要求写作法，保留作图痕迹）在（1）条件下，连接BF ，求DBF ∠的度数．21．（6分）如图，正六边形ABCDEF 在正三角形网格内，点O 为正六边形的中心，仅用无刻度的直尺完成以下作图．（1）在图1中，过点O 作AC 的平行线； （2）在图2中，过点E 作AC 的平行线．22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝﹣x+3的图象与反比例函数y ＝（x ＞0，k 是常数）的图象交于A （a ，2），B （4，b ）两点．求反比例函数的表达式；点C 是第一象限内一点，连接AC ，BC ，使AC ∥x 轴，BC ∥y 轴，连接OA ，OB ．若点P 在y 轴上，且△OPA 的面积与四边形OACB 的面积相等，求点P 的坐标．23．（8分）在等边三角形ABC 中，点P 在△ABC 内，点Q 在△ABC 外，且∠ABP=∠ACQ ，BP=CQ ．求证：△ABP ≌△CAQ ；请判断△APQ 是什么形状的三角形？试说明你的结论．24．（10分）班级的课外活动，学生们都很积极.梁老师在某班对同学们进行了一次关于“我喜爱的体育项目”的调査，下面是他通过收集数据后，绘制的两幅不完整的统计图.请根据图中的信息，解答下列问题：(1)调查了________名学生； (2)补全条形统计图；(3)在扇形统计图中，“乒乓球”部分所对应的圆心角度数为________；(4)学校将举办运动会，该班将推选5位同学参加乒乓球比赛，有3位男同学(,,)A B C 和2位女同学(,)D E ，现准备从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率.25．（10分）如图，O e 是ABC V 的外接圆，AC 是O e 的直径，过圆心O 的直线PF AB ⊥于D ，交O e 于,E F ，PB 是O e 的切线，B 为切点，连接AP ，AF ．（1）求证：直线PA 为O e 的切线； （2）求证：24EF OD OP =⋅； （3）若6BC =，1tan 2F ∠=，求AC 的长． 26．（12分）如图，在△ABC 中，∠A ＝45°，以AB 为直径的⊙O 经过AC 的中点D ，E 为⊙O 上的一点，连接DE ，BE ，DE 与AB 交于点F.求证：BC 为⊙O 的切线；若F 为OA 的中点,⊙O 的半径为2，求BE 的长.27．（12分）如图，某校准备给长12米，宽8米的矩形ABCD 室内场地进行地面装饰，现将其划分为区域Ⅰ（菱形PQFG ），区域Ⅱ（4个全等的直角三角形），剩余空白部分记为区域Ⅲ；点O 为矩形和菱形的对称中心，OP AB P ，2OQ OP =，12AE PM =，为了美观，要求区域Ⅱ的面积不超过矩形ABCD 面积的18，若设OP x =米.甲 乙 丙单价（元/米2） 2m 5n 2m（1）当3x =时，求区域Ⅱ的面积.计划在区域Ⅰ，Ⅱ分别铺设甲，乙两款不同的深色瓷砖，区域Ⅲ铺设丙款白色瓷砖，①在相同光照条件下，当场地内白色区域的面积越大，室内光线亮度越好.当x 为多少时，室内光线亮度最好，并求此时白色区域的面积.②三种瓷砖的单价列表如下，,m n 均为正整数，若当2x =米时，购买三款瓷砖的总费用最少，且最少费用为7200元，此时m =__________，n =__________.参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．C 【解析】 【分析】根据统计图，利用众数与中位数的概念即可得出答案．【详解】从统计图中可以得出这一周的气温分别是：12,15,14,10,13,14,11所以众数为14；将气温按从低到高的顺序排列为：10,11,12,13,14,14,15所以中位数为13故选：C．【点睛】本题主要考查中位数和众数，掌握中位数和众数的求法是解题的关键．2．B【解析】【分析】依据相反数的概念及性质即可得．【详解】因为a、b互为相反数，所以a+b=1，故选B．【点睛】此题主要考查相反数的概念及性质．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，1的相反数是1．3．B【解析】【分析】根据题意找到从左面看得到的平面图形即可．【详解】这个立体图形的左视图是，故选：B．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是掌握左视图所看的位置．4．B【解析】【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形依此找到从正面、左面、上面观察都不可能看到长方形的图形．【详解】解：A、主视图为三角形，左视图为三角形，俯视图为有对角线的矩形，故本选项错误；B、主视图为等腰三角形，左视图为等腰三角形，俯视图为圆，从正面、左面、上面观察都不可能看到长方形，故本选项正确；C、主视图为长方形，左视图为长方形，俯视图为圆，故本选项错误；D、主视图为长方形，左视图为长方形，俯视图为长方形，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题重点考查三视图的定义以及考查学生的空间想象能力．5．D【解析】试题分析：连结OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB=S△CAB=3，而S△OAB=|k|，∴|k|=3，∵k＜0，∴k=﹣1．故选D．考点：反比例函数系数k的几何意义．6．C【解析】【分析】设进价为x元，依题意得240×0.8-x=20x℅,解方程可得.【详解】设进价为x元，依题意得240×0.8-x=20x℅解得x=160所以，进价为160元.故选C【点睛】本题考核知识点：列方程解应用题. 解题关键点：找出相等关系.7．A【解析】【分析】根据图形，结合题目所给的运算法则列出方程组．【详解】图2所示的算筹图我们可以表述为：211 4327x yx y+=⎧⎨+=⎩．故选A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．8．C【解析】试题分析：连接EF交AC于点M，由四边形EGFH为菱形可得FM=EM，EF⊥AC；利用”AAS或ASA”易证△FMC≌△EMA，根据全等三角形的性质可得AM=MC；在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC=45，且tan∠BAC=12BCAB=；在Rt△AME中，AM=12AC=25，tan∠BAC=12EMAM=可得EM=5；在Rt△AME中，由勾股定理求得AE=2．故答案选C．考点：菱形的性质；矩形的性质；勾股定理；锐角三角函数．9．A【解析】分析：根据扇形统计图分别求出购买课外书花费分别为100、80、50、30、20元的同学人数，再根据众数、中位数的定义即可求解．详解：由扇形统计图可知，购买课外书花费为100元的同学有：20×10%=2（人），购买课外书花费为80元的同学有：20×25%=5（人），购买课外书花费为50元的同学有：20×40%=8（人），购买课外书花费为30元的同学有：20×20%=4（人），购买课外书花费为20元的同学有：20×5%=1（人），20个数据为100，100，80，80，80，80，80，50，50，50，50，50，50，50，50，30，30，30，30，20，在这20位同学中，本学期计划购买课外书的花费的众数为50元，中位数为（50+50）÷2=50（元）．故选A．点睛：本题考查了扇形统计图，平均数，中位数与众数，注意掌握通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．10．B【解析】∵9<11<16,∴3114<<,∴11122<-<故选B.11．B【解析】【分析】首先过点A作AM⊥BC，根据三角形面积求出AM的长，得出直线BC与DE的距离，进而得出直线与圆的位置关系．【详解】解：过点A作AM⊥BC于点M，交DE于点N，∴AM×BC=AC×AB，∴AM=345⨯=125=2.1．∵D、E分别是AC、AB的中点，∴DE∥BC，DE=12BC=2.5，∴AN=MN=12AM，∴MN=1.2．∵以DE为直径的圆半径为1.25，∴r=1.25＞1.2，∴以DE为直径的圆与BC的位置关系是：相交．故选B．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，利用中位线定理得出BC到圆心的距离与半径的大小关系是解题的关键．12．D【解析】试题解析：A.含有两个未知数,B.不是整式方程,C没有二次项.故选D.点睛：一元二次方程需要满足三个条件：()1含有一个未知数，()2未知数的最高次数是2，()3整式方程.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．>【解析】【分析】观察平均气温统计图可知：乙地的平均气温比较稳定，波动小；波动越小越稳定.【详解】解：观察平均气温统计图可知：乙地的平均气温比较稳定，波动小；则乙地的日平均气温的方差小，故S 2甲＞S 2乙．故答案为：＞．【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定．反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．144π- 【解析】【分析】【详解】∵在矩形ABCD 中，，∠DAC=60°，∴AD=1．由旋转的性质可知：AD′=1，∴tan ∠ ∴∠D′AC′=60°．∴∠BAB′=30°，∴S △AB′C′=12×2S 扇形BAB′4π．S 阴影=S △AB′C′-S 扇形BAB′4π．4π． 【点睛】 错因分析 中档题.失分原因有2点：（1）不能准确地将阴影部分面积转化为易求特殊图形的面积；（2）不能根据矩形的边求出α的值.15．3a <．【解析】∵(a−3)x>1的解集为x<13a -，∴不等式两边同时除以(a−3)时不等号的方向改变，∴a−3<0，∴a<3.故答案为a<3.点睛：本题考查了不等式的性质:在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.本题解不等号时方向改变,所以a-3小于0.16．25【解析】试题解析：由题意»10DBCD BC =+= »11·1052522ABD S BD AB =⨯=⨯⨯=扇形 17．m≤3且m≠2【解析】试题解析：∵一元二次方程()22210m x x -++=有实数根 ∴4-4（m-2）≥0且m-2≠0解得：m≤3且m≠2.18 【解析】【分析】 根据三角形的面积公式求出AB BC ＝34，根据等腰三角形的性质得到BD ＝DC ＝12BC ，根据勾股定理列式计算即可．【详解】∵AD 是BC 边上的高，CE 是AB 边上的高， ∴12AB•CE ＝12BC•AD ， ∵AD ＝6，CE ＝8， ∴AB BC ＝34， ∴22AB BC ＝916， ∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝DC ＝12BC ，∵AB2−BD2＝AD2，∴AB2＝14BC2＋36，即916BC2＝14BC2＋36，解得：BC＝2455．故答案为：2455．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、勾股定理的应用和三角形面积公式的应用，根据三角形的面积公式求出腰与底的比是解题的关三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．详见解析【解析】【分析】利用证明即可解决问题．【详解】证明：∵是线段的中点∴∵∴在和中，∴≌∴【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等的条件，属于中考常考题型．20．（1）答案见解析；（2）45°．【解析】【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于12AB长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；（2）根据∠DBF＝∠ABD﹣∠ABF计算即可；【详解】（1）如图所示，直线EF即为所求；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD＝∠DBC12∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C，∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°，∴∠C＝∠A＝30°．∵EF垂直平分线段AB，∴AF＝FB，∴∠A＝∠FBA＝30°，∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线作法和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．21．（1）作图见解析；（2）作图见解析.【解析】试题分析：利用正六边形的特性作图即可.试题解析：（1）如图所示（答案不唯一）：（2）如图所示（答案不唯一）：22．(1) 反比例函数的表达式为y＝（x＞0）;(2) 点P的坐标为（0，4）或（0，﹣4）【解析】【分析】（1）根据点A（a，2），B（4，b）在一次函数y＝﹣x+3的图象上求出a、b的值，得出A、B两点的坐标，再运用待定系数法解答即可；（2）延长CA交y轴于点E，延长CB交x轴于点F，构建矩形OECF，根据S四边形OACB＝S矩形OECF﹣S△OAE ﹣S△OBF，设点P（0，m），根据反比例函数的几何意义解答即可．【详解】（1）∵点A（a，2），B（4，b）在一次函数y＝﹣x+3的图象上，∴﹣a+3＝2，b＝﹣×4+3，∴a＝2，b＝1，∴点A的坐标为（2，2），点B的坐标为（4，1），又∵点A（2，2）在反比例函数y＝的图象上，∴k＝2×2＝4，∴反比例函数的表达式为y＝（x＞0）；（2）延长CA交y轴于点E，延长CB交x轴于点F，∵AC∥x轴，BC∥y轴，则有CE⊥y轴，CF⊥x轴，点C的坐标为（4，2）∴四边形OECF为矩形，且CE＝4，CF＝2，∴S四边形OACB＝S矩形OECF﹣S△OAE﹣S△OBF＝2×4﹣×2×2﹣×4×1＝4，设点P的坐标为（0，m），则S△OAP ＝×2•|m|＝4，∴m＝±4，∴点P的坐标为（0，4）或（0，﹣4）．【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，直线与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．23．(1)证明见解析；(2) △APQ是等边三角形．【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质可得AB＝AC，再根据SAS证明△ABP≌△ACQ;(2)根据全等三角形的性质得到AP＝AQ ，再证∠PAQ ＝60°，从而得出△APQ是等边三角形.【详解】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，在△ABP和△ACQ中，AB ACABP ACQBP CQ=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABP≌△ACQ(SAS)，（2）∵△ABP≌△ACQ，∴∠BAP=∠CAQ，AP=AQ，∵∠BAP+∠CAP=60°，∴∠PAQ=∠CAQ+∠CAP=60°，∴△APQ是等边三角形.【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了正三角形的判定，本题中求证，△ABP≌△ACQ是解题的关键.24．50 见解析（3）115.2° (4)3 5【解析】试题分析：（1）用最喜欢篮球的人数除以它所占的百分比可得总共的学生数;（2）用学生的总人数乘以各部分所占的百分比,可得最喜欢足球的人数和其他的人数,即可把条形统计图补充完整;（3）根据圆心角的度数=360 º×它所占的百分比计算;（4）列出树状图可知，共有20种等可能的结果，两名同学恰为一男一女的有12种情况，从而可求出答案.解：（1）由题意可知该班的总人数=15÷30%=50（名）故答案为50；（2）足球项目所占的人数=50×18%=9（名），所以其它项目所占人数=50﹣15﹣9﹣16=10（名）补全条形统计图如图所示：（3）“乒乓球”部分所对应的圆心角度数=360°×=115.2°，故答案为115.2°；（4）画树状图如图．由图可知，共有20种等可能的结果，两名同学恰为一男一女的有12种情况，所以P（恰好选出一男一女）==．点睛：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，概率的计算.读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息及掌握概率的计算方法是解决问题的关键.25．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1．【解析】【分析】（1）连接OA，由OP垂直于AB，利用垂径定理得到D为AB的中点，即OP垂直平分AB，可得出AP=BP，再由OA=OB，OP=OP，利用SSS得出三角形AOP与三角形BOP全等，由PA为圆的切线，得到OA垂直于AP，利用全等三角形的对应角相等及垂直的定义得到OB垂直于BP，即PB为圆O的切线；（2）由一对直角相等，一对公共角，得出三角形AOD与三角形OAP相似，由相似得比例，列出关系式，由OA 为EF 的一半，等量代换即可得证．【详解】（1）连接OB ，∵PB 是⊙O 的切线，∴∠PBO=90°．∵OA=OB ，BA ⊥PO 于D ，∴AD=BD ，∠POA=∠POB ．又∵PO=PO ，∴△PAO ≌△PBO ．∴∠PAO=∠PBO=90°，∴直线PA 为⊙O 的切线．（2）由（1）可知，90OAP ∠=︒，FE AB ⊥Q ，90ADO ∴∠=︒，OAP ADO ∴∠=∠=90︒，DOA AOP ∠=∠Q ，AOD POA ∴△∽△，OD OA OA OP∴=，即2OA OD OP =⋅， EF Q 是O e 直径，OE ∴是O e 半径12OE OA EF ∴==， 2OA OD OP =⋅Q ，212EF OD OP ⎛⎫∴=⋅ ⎪⎝⎭， 整理得24EF OD OP =⋅；（3）O Q 是AC 中点，D 是AB 中点， OD ∴是ABC V 的中位线，12OD BC ∴=162=⨯3=， AB EF ⊥Q ，90ADF ∴∠=︒，ADF ∴V 是直角三角形，Q 在Rt ADF V 中，1tan 2F =， 1tan 2AD F FD ∴==， 2FD AD ∴=，FD OF OD =+Q ，OF FD OD ∴=-，则23OF AD =-，OF Q 、OA 是O e 半径，23OA OF AD ∴==-，Q 在Rt AOD △中，3OD =，23OA AD =-，∴由勾股定理得：222OA OD AD =+，即222(23)3AD AD -=+，解得：4=AD 或0AD =（舍去），23OA AD ∴=-243=⨯-5=，2AC OA ∴=25=⨯10=．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，相似及全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．26．（1）证明见解析；（2 【解析】【分析】（1）连接BD ，由圆周角性质定理和等腰三角形的性质以及已知条件证明∠ABC=90°即可；（2）连接OD ，根据已知条件求得AD 、DF 的长，再证明△AFD ∽△EFB ，然后根据相似三角形的对应边成比例即可求得.【详解】（1）连接BD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴BD ⊥AC ，∵D 是AC 的中点，∴BC=AB ，∴∠C=∠A ＝45°，∴∠ABC=90°，∴BC 是⊙O 的切线；（2）连接OD ，由（1）可得∠AOD=90°，∵⊙O 的半径为2， F 为OA 的中点，∴OF=1， BF=3，22AD 222=+= ∴2222DF OF OD 125=++=，∵»»BDBD =， ∴∠E=∠A ，∵∠AFD=∠EFB ，∴△AFD ∽△EFB ， ∴DF BF AD BE =53BE22=， ∴6BE 105=【点睛】本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用；证明某一线段是圆的切线时，一般情况下是连接切点与圆心，通过证明该半径垂直于这一线段来判定切线.27．（1）8m 2;（2）68m 2;(3) 40，8【解析】【分析】（1）根据中心对称图形性质和,OP AB P ,12OM AB =,12AE PM =可得42x AE -=,即可解当83x =时，4个全等直角三角形的面积；（2）白色区域面积即是矩形面积减去一二部分的面积，分别用含x 的代数式表示出菱形和四个全等直角三角形的面积，列出含有x 的解析式表示白色区域面积，并化成顶点式，根据04OP <<，06OQ <≤，1968II S ≤⨯，求出自变量的取值范围，再根据二次函数的增减性即可解答；（3）计算出x=2时各部分面积以及用含m 、n 的代数式表示出费用，因为m,n 均为正整数，解得m=40，n=8.【详解】（1） ∵O 为长方形和菱形的对称中心，OP AB P ，∴142OM AB == ∵12AE PM =，OP PM OM +=，∴42x AE -= ∴当83x =时，41223AE -==，21124468223II S AM AE m =⨯⋅=⨯⨯⨯= （2）∵()2211442422I S OP OQ x x x m =⨯⋅=⨯⋅=，()214(246)2II S AM AE x m =⨯⋅=- ∴I III I I S AB BC S S =⋅--=-()22234672474.254x x x m ⎛⎫++=--+ ⎪⎝⎭， ∵04OP <<，06OQ <≤，1968II S ≤⨯ ∴040261246968x x x ⎧⎪<<⎪<≤⎨⎪⎪-≤⨯⎩解不等式组得23x ≤≤，∵40a =-<，结合图像，当34x ≥时，III S 随x 的增大而减小. ∴当2x =时， III S 取得最大值为()2242627268m -⨯+⨯+= （3）∵当2x =时，S Ⅰ=4x 2=16 m 2，246II S x =-=12 m 2，III S =68m 2，总费用:16×2m+12×5n+68×2m=7200,化简得：5n+14m=600,因为m,n 均为正整数，解得m=40，n=8.【点睛】本题考查中心对称图形性质，菱形、直角三角形的面积计算，二次函数的最值问题，解题关键是用含x 的二次函数解析式表示出白色区面积.。