2020年高考数学试题分类汇编--新课标选考内容
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(等式与不等式综合)汇编(附答案)
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(等式与不等式综合)汇编解不等式1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （ ） A ．{1,0}- B ．{2,3} C ．{3,1,0}-- D ．{1,0,2}-2．（2024∙上海∙高考真题）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为 ．3．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}24．（2020∙全国∙高考真题）已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = （ ） A ．{4,1}- B ．{1,5} C ．{3,5}D ．{1,3}基本不等式1．（2024∙北京∙高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 2．（2021∙全国乙卷∙高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．2y 22x x -=+D ．4ln ln y x x=+3．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13B ．12C ．9D ．64．（2020∙全国∙高考真题）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．32参考答案解不等式1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （ ） A ．{1,0}- B ．{2,3}C ．{3,1,0}--D ．{1,0,2}-【答案】A【详细分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【答案详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-. 故选：A.2．（2024∙上海∙高考真题）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为 ． 【答案】{}|13x x -<<【详细分析】求出方程2230x x --=的解后可求不等式的解集. 【答案详解】方程2230x x --=的解为=1x -或3x =， 故不等式2230x x --<的解集为{}|13x x -<<， 故答案为：{}|13x x -<<.3．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}2【答案】C【详细分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N ，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合M 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．【答案详解】方法一：因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+，而{}2,1,0,1,2M =--，所以M N ⋂={}2-． 故选：C ．方法二：因为{}2,1,0,1,2M =--，将2,1,0,1,2--代入不等式260x x --≥，只有2-使不等式成立，所以M N ⋂={}2-．故选：C ．4．（2020∙全国∙高考真题）已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = （ ） A ．{4,1}- B ．{1,5} C ．{3,5} D ．{1,3}【答案】D【详细分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ⋂，得到结果. 【答案详解】由2340x x --<解得14x -<<， 所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B = ， 故选：D.【名师点评】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.基本不等式1．（2024∙北京∙高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 【答案】B【详细分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式详细分析判断AB ；举例判断CD 即可. 【答案详解】由题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，对于选项AB ：可得121222222x xx x ++>=，即12122202x x y y ++>>， 根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x+++>=，故B 正确，A 错误；对于选项D ：例如120,1x x ==，则121,2y y ==， 可得()12223log log 0,122y y +=∈，即12212log 12y y x x +<=+，故D 错误； 对于选项C ：例如121,2x x =-=-，则1211,24y y ==， 可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--，即12212log 32y y x x +>-=+，故C 错误， 故选：B.2．（2021∙全国乙卷∙高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．2y 22x x -=+ D ．4ln ln y x x=+【答案】C【详细分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意．【答案详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当=1x -时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 4sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，2422242x x xx y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意； 对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞ ，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意． 故选：C ．【名师点评】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．3．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C【详细分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【答案详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ． 【名师点评】4．（2020∙全国∙高考真题）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【答案】B【详细分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，可得双曲线的渐近线方程是b y x a=±，与直线x a =联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab值，根据2c =等式，即可求得答案. 【答案详解】 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>> ∴双曲线的渐近线方程是b y x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点 不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限 联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故(,)D a b联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故(,)E a b -∴||2ED b =∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为28c =≥==当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8故选：B.【名师点评】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了详细分析能力和计算能力，属于中档题.。
2020年高考数学·高考真题-分类汇编-第12讲-解三角形精选全文完整版
精选全文完整版专题四 三角函数与解三角形第十二讲 解三角形2020年1.（2020•北京卷）在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-；条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sin C =, S =选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sin C =, S =.2.（2020•全国2卷）ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C. （1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+3.（2020•全国3卷）在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A.19B.13C. 12 D. 23【答案】A4.（2020•江苏卷）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．【答案】（1）5sin C =（2）2tan 11DAC ∠=.5.（2020•新全国1山东）在①3ac =sin 3c A =，③3=c b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin A B ，6C π=，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】详见解析6.（2020•天津卷）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知22,5,13a b c === （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值； （Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 【答案】（Ⅰ）4Cπ；（Ⅱ）13sin 13A =；（Ⅲ）172sin 2426A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.7.（2020•浙江卷）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin b A =．（I ）求角B ；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．【答案】（I ）3B π=；（II ）13,22⎛⎤⎥ ⎝⎦2016-2019年1.(2019全国Ⅰ理17)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（2）若22a b c +=，求sin C ．2.（2019全国Ⅱ理15）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为__________.3.（2019全国Ⅲ理18）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．4.（2019江苏12）如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是 .5.（2019江苏15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a =3c ，b 2，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 6.（2019浙江14）在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =____，cos ABD ∠=________.7.（2019北京15）在ABC △中，a =3，b -c =2 ，1cos 2B =- ．（Ⅰ）求b ,c 的值； （Ⅱ）求sin(B -C ) 的值.8.（2019天津理15）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.9．(2018全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos2=C 1=BC ，5=AC ，则=ABA ．BCD ．10．(2018全国卷Ⅲ)ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C = A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 11．（2017山东）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A = 12.（2016年天津）在ABC ∆中，若AB BC =3，120C ∠= ，则AC =A ．1B ．2C ．3D ．413．（2016年全国III ）在ABC △中，π4B，BC 边上的高等于13BC ,则cos AA B C ．1010 D ．3101014．(2018江苏)在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ．15．(2018浙江)在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =2b =，60A =，则sin B =___________，c =___________．16．（2017浙江）已知ABC ∆,4AB AC ==,2BC =． 点D 为AB 延长线上一点,2BD =,连结CD ,则BDC ∆的面积是___________，cos BDC ∠=__________．17．（2017浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度。
2020学年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅲ卷)数学理及答案解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅲ卷)数学理一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=( )A.{0}B.{1}C.{1，2}D.{0，1，2}解析：∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，B={0，1，2}，∴A∩B={x|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}.答案：C2.(1+i)(2﹣i)=( )A.﹣3﹣iB.﹣3+iC.3﹣iD.3+i解析：(1+i)(2﹣i)=3+i.答案：D3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )A.B.C.D.解析：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A.答案：A4.若sinα=13，则cos2α=( ) A.89 B.79C.﹣79D.﹣89解析：∵sinα=13，∴cos2α=1﹣2sin 2α=192719-⨯=. 答案：B5.(x 2+2x )5的展开式中x 4的系数为( )A.10B.20C.40D.80解析：由二项式定理得(x 2+2x )5的展开式的通项为：()()5210315522rrr rr rr xT Cx C x--+==，由10﹣3r=4，解得r=2，∴(x 2+2x )5的展开式中x 4的系数为5222C =40.答案：C6.直线x+y+2=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x ﹣2)2+y 2=2上，则△ABP 面积的取值范围是( ) A.[2，6] B.[4，8]232，D.[2232，] 解析：∵直线x+y+2=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点， ∴令x=0，得y=﹣2，令y=0，得x=﹣2，∴A(﹣2，0)，B(0，﹣2)，4+4=22∵点P 在圆(x ﹣2)2+y 2=2上，∴设P ()2co 2s sin 2θθ+，，∴点P 到直线x+y+2=0的距离：()2sin 42cos sin 242222d πθθθ+++++==，∵()sin 4πθ+∈[﹣1，1]，∴d= ()22sin 44πθ++∈[232，]， ∴△ABP 面积的取值范围是：[11222223222⨯⨯⨯⨯，，6].答案：A7.函数y=﹣x 4+x 2+2的图象大致为( )A.B.C.D.解析：函数过定点(0，2)，排除A ，B.函数的导数f′(x)=﹣4x 3+2x=﹣2x(2x 2﹣1)，由f′(x)＞0得2x(2x 2﹣1)＜0，得x ＜﹣或0＜x ＜，此时函数单调递增，排除C.答案：D8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立.设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P(x=4)＜P(X=6)，则p=( ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 解析：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，看做是独立重复事件，满足X ～B(10，p)，P(x=4)＜P(X=6)，可得()()644466101011C p p C p p --＜，可得1﹣2p ＜0.即12p ＞. 因为DX=2.4，可得10p(1﹣p)=2.4，解得p=0.6或p=0.4(舍去). 答案：B9.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若△ABC 的面积为2224a b c +-，则C=( )A.2πB.3πC.4πD.6π解析：∵△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.△ABC 的面积为2224a b c +-，∴S △ABC =222s 1in 42a b c ab C +-=，∴sinC=2222a b c bc +-=cosC ，∵0＜C ＜π，∴C=4π.答案：C10.设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且面积为则三棱锥D ﹣ABC 体积的最大值为( )A.B.C.D.543解析：△ABC 为等边三角形且面积为93，可得2393AB ⨯＝，解得AB=6，球心为O ，三角形ABC 的外心为O′，显然D 在O′O 的延长线与球的交点如图：()222362342323O C OO '=='=-=，，则三棱锥D ﹣ABC 高的最大值为：6，则三棱锥D ﹣ABC 体积的最大值为：31361833=答案：B11.设F 1，F 2是双曲线C ：22221y x a b -=(a ＞0.b ＞0)的左，右焦点，O 是坐标原点.过F 2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P ，若|PF 1|=6|OP|，则C 的离心率为( )A.5B.2C.3D.2解析：双曲线C ：22221y x a b -=(a ＞0.b ＞0)的一条渐近线方程为b y x a =， ∴点F 2到渐近线的距离22bcd b a b ==+，即|PF 2|=b ，∴2222222cos bOP OF PF c b a PF O c =-=-=∠=，， ∵|PF 16|OP|，∴|PF 16a ，在三角形F 1PF 2中，由余弦定理可得|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2﹣2|PF 2|·|F 1F 2|COS ∠PF 2O ，∴6a 2=b 2+4c 2﹣2×b ×2c ×bc =4c 2﹣3b 2=4c 2﹣3(c 2﹣a 2)，即3a 2=c 2， 即3a=c ，∴3c e a ==.答案：C12.设a=log 0.20.3，b=log 20.3，则( ) A.a+b ＜ab ＜0 B.ab ＜a+b ＜0 C.a+b ＜0＜ab D.ab ＜0＜a+b解析：∵a=log 0.20.3=lg 0.3lg 5-，b=log 20.3=lg 0.3lg 2，∴()5lg 0.3lg lg 0.3lg 5lg 2lg 0.3lg 0.32lg 2lg 5lg 2lg 5lg 2lg 5a b -+-=＝＝，10lg 0.3lg lg 0.3lg 0.33lg 2lg 5lg 2lg 5ab ⋅-⋅＝＝，∵105lg lg 32＞，lg 0.3lg 2lg 5＜，∴ab ＜a+b ＜0.答案：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量a =(1，2)，b =(2，﹣2)，c =(1，λ).若c ∥(2a b +)，则λ=____. 解析：∵向量a =(1，2)，b =(2，﹣2)， ∴2a b +=(4，2)，∵c =(1，λ)，c ∥(2a b +)，∴142λ＝， 解得λ=12.答案： 1214.曲线y=(ax+1)e x在点(0，1)处的切线的斜率为﹣2，则a=____.解析：曲线y=(ax+1)e x ，可得y′=ae x +(ax+1)e x，曲线y=(ax+1)e x在点(0，1)处的切线的斜率为﹣2， 可得：a+1=﹣2，解得a=﹣3. 答案：﹣315.函数f(x)=cos(3x+6π)在[0，π]的零点个数为____.解析：∵f(x)=cos(3x+6π)=0， ∴362x k πππ+=+，k ∈Z ，∴x=193k ππ+，k ∈Z ，当k=0时，x=9π，当k=1时，x=49π，当k=2时，x=79π，当k=3时，x=109π，∵x ∈[0，π]，∴x=9π，或x=49π，或x=79π，故零点的个数为3. 答案：316.已知点M(﹣1，1)和抛物线C ：y 2=4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点.若∠AMB =90°，则k=____.解析：∵抛物线C ：y 2=4x 的焦点F(1，0)， ∴过A ，B 两点的直线方程为y=k(x ﹣1)，联立()241y x y k x ⎪-⎧⎪⎨⎩＝＝可得，k 2x 2﹣2(2+k 2)x+k 2=0， 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则212242k x x k ++=，x 1x 2=1， ∴y 1+y 2=k(x 1+x 2﹣2)=4k ，y 1y 2=k 2(x 1﹣1)(x 2﹣1)=k 2[x 1x 2﹣(x 1+x 2)+1]=﹣4，∵M(﹣1，1)，∴MA =(x 1+1，y 1﹣1)，MB =(x 2+1，y 2﹣1)， ∵∠AMB=90°=0，∴0MA MB ⋅= ∴(x 1+1)(x 2+1)+(y 1﹣1)(y 2﹣1)=0，整理可得，x 1x 2+(x 1+x 2)+y 1y 2﹣(y 1+y 2)+2=0，∴24124420k k ++--+=，即k 2﹣4k+4=0，∴k=2. 答案：2三、解答题：共70分。
2020年高考数学新课标一卷
2020年高考数学新课标一卷一、选择题1.复数与模o题目：若z=1+i，则|z²–2z|=()o选项：A.0 B.1 C.（缺失）D.2o答案：Do解析：本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解。
由题意，z=1+i，则z²=(1+i)²=1+2i+i²=1+2i-1=2i，2z=2(1+i)=2+2i，所以|z²–2z|=|2i-(2+2i)|=|-2|=2。
2.集合与不等式o题目：设集合A={x|x²-4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|-2≤x≤1}，则a=()o选项：A.-4 B.-2 C.2 D.4o答案：Bo解析：本题主要考查交集的运算和不等式的解法。
由题意，A={x|-2≤x≤2}，B={x|x≤-a/2}。
因为A∩B={x|-2≤x≤1}，所以-a/2=1，解得a=-2。
3.正四棱锥与比值o题目：埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()o选项：（具体选项未给出，但可通过解析得出答案）o答案：可通过计算得出（具体答案未直接给出，但解析过程清晰）o解析：本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算。
设底面边长为a，高为h，侧面三角形底边上的高为l。
由题意，h²=(1/2)×a×l，即l=2h²/a。
又因为侧面三角形面积为(1/2)×a×l=h²，所以l/a=2h/a²，即l/a=2/√(a²/h²)。
由题意知a²/h²=4（因为以高为边长的正方形面积等于侧面三角形面积），所以l/a=1/√2的倒数，即√2/2的2倍，为√2（考虑到比值应为正数，且题目问的是“比值”，故直接给出√2作为答案的近似值或简化形式，实际计算中可能涉及更精确的数学表达式或数值）。
2020年高考数学新课标卷含答案
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（新课标Ⅰ卷）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1．若i z +=1，则=-z z 22（ ）A.0B.1C.2D.22.设集合}04{2≤-=x x A ，}02{≤+=a x x B ，且}12{≤≤-=x x B A ，则=a （ ） A.4- B.2- C.2 D.43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该正四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，侧其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A.415- B.215- C.415+ D.215+ 4.已知A 为抛物线C ：)0(22>=p px y 上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则=p （ ）A.2B.3C.6D.95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据),(i i y x （20,,2,1 =i ）得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适应作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（ ）A.bx a y +=B.2bx a y +=C.x be a y +=D.x b a y ln += 6.函数()342x x x f -=的图象在点())1,1(f 处在切线方程为（ ）A.12--=x yB.12+-=x yC.32-=x yD.12+=x y7．设函数())6cos(πω+=x x f 在],[ππ-的图象大致下图，则()x f 的最小正周期为（ ）A.910π B.67π C.34π D.23π8.52))((y x xy x ++的展开式中33y x 的系数为 （ ）A.5B.10C.15D.20 9.已知),0(πα∈，且5cos 82cos 3=-αα，则=αsin （ ） A.35 B.32 C.31D.95 10.已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三点，圆1O 为ABC ∆的外接圆，若圆1O 的面积为π4，1OO AC BC AB ===，则球O 的面积为（ ）A.π64B.π48C.π36D.π3211.已知圆M ：022222=---+y x y x ，直线l ：022=++y x ，P 为l 上的动点，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当PB PA ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ） A.012=--y x B.012=-+y x C.012=+-y x D.012=++y x 12.若b a b a 42log 24log 2+=+，则（ ）A.b a 2>B.b a 2<C.2b a >D.2b a < 二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分共20分.13.若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥--≤-+0101022y y x y x ，则y x z 7+=的最大值 .14.设a ，b 为单位向量，且1=+b a ，则=-b a.15.已知F 为双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴，若AB 的斜率为3，则C 的离心率为 . 16.如图，在三棱锥ABC P -的平面展开式开图中，1=AC ，3==AD AB ，AC AB ⊥，AD AB ⊥，030=∠CAE ，则=∠FCB cos .三、 解答题：本大题共5小题，满分共60分. 17.（本小题满分12分）设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项. （Ⅰ）求{}n a 的公比；（Ⅱ）若11=a ，求数列{}n na 的前n 项和.18.如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AD AE =，ABC ∆是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，DO PO 66=. （Ⅰ）证明：⊥PA 平面PBC ； （Ⅱ）求二面角E PC B --的余弦值.19．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.（Ⅰ）求甲连胜四场的概率； （Ⅱ）求需要进行第五场比赛的概率； （Ⅲ）求丙最终获胜的概率.20.已知A ，B 分别为椭圆E ：)1(1222>=+a y ax 的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8=⋅GB AG ，P 为直线6=x 上的动点，PA 与E 的另一个交点为C ，PB 与E 的另一个交点为D . （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）证明：直线CD 过定点.21.（本小题满分12分） 已知函数()x ax e x f x -+=2.（Ⅰ）当1=a 时，讨论()x f 的单调性；（Ⅱ）当0≥x 时，()+≥321x x f 1，求a 的取值范围.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==ty tx kksin cos （t 为参数）。
2020学年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ)数学理及答案解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ)数学理一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设121-=++iz i i ，则|z|=( )A.0B.12C.1解析：利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的摸.()()()211222111--=+=+=-+=++-i i z i i i i i i i i ，则|z|=1. 答案：C2.已知集合A={x|x 2-x-2＞0}，则C R A=( ) A.{x|-1＜x ＜2} B.{x|-1≤x ≤2}C.{x|x ＜-1}∪{x|x ＞2}D.{x|x ≤-1}∪{x|x ≥2}解析：通过求解不等式，得到集合A ，然后求解补集即可.集合A={x|x 2-x-2＞0}， 可得A={x|x ＜-1或x ＞2}， 则：C R A={x|-1≤x ≤2}. 答案：B3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是( )A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a.通过选项逐一分析新农村建设前后，经济收入情况，利用数据推出结果.设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a.A项，种植收入37×2a-60%a=14%a＞0，故建设后，种植收入增加，故A项错误.B项，建设后，其他收入为5%×2a=10%a，建设前，其他收入为4%a，故10%a÷4%a=2.5＞2，故B项正确.C项，建设后，养殖收入为30%×2a=60%a，建设前，养殖收入为30%a，故60%a÷30%a=2，故C项正确.D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为(30%+28%)×2a=58%×2a，经济收入为2a，故(58%×2a)÷2a=58%＞50%，故D项正确.因为是选择不正确的一项.答案：A4.记S n为等差数列{a n}的前n项和.若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=( )A.-12B.-10C.10D.12解析：利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程，能求出a5的值.∵S n为等差数列{a n}的前n项和.若3S3=S2+S4，a1=2，∴3×(3a1+322⨯d)=a1+a1+d+4a1+432⨯d，把a 1=2，代入得d=-3 ∴a 5=2+4×(-3)=-10. 答案：B5.设函数f(x)=x 3+(a-1)x 2+ax.若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0，0)处的切线方程为( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x解析：利用函数的奇偶性求出a ，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切线方程.函数f(x)=x 3+(a-1)x 2+ax ，若f(x)为奇函数，可得a=1，所以函数f(x)=x 3+x ，可得f ′(x)=3x 2+1， 曲线y=f(x)在点(0，0)处的切线的斜率为：1， 则曲线y=f(x)在点(0，0)处的切线方程为：y=x. 答案：D6.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =( )A.3144-AB ACB.1344-AB ACC.3144+AB ACD.1344+AB AC解析：运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，()1113122244=-=-=-⨯+=-EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC .答案：A7.某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为( )A.217B.25C.3D.2解析：判断三视图对应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可.由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，直观图以及侧面展开图如图：圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短222425+=答案：B8.设抛物线C ：y2=4x的焦点为F，过点(-2，0)且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则=FM FN( )A.5B.6C.7D.8解析：求出抛物线的焦点坐标，直线方程，求出M、N的坐标，然后求解向量的数量积即可.抛物线C：y2=4x的焦点为F(1，0)，过点(-2，0)且斜率为23的直线为：3y=2x+4，联立直线与抛物线C：y2=4x，消去x可得：y2-6y+8=0，解得y1=2，y2=4，不妨M(1，2)，N(4，4)，∴FM=(0，2)，FN=(3，4).则FM FN=(0，2)·(3，4)=0×3+2×4=8. 答案：D9.已知函数f(x)=ln0⎧≤⎨⎩，，＞xe xx x，g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )A.[-1，0)B.[0，+∞)C.[-1，+∞)D.[1，+∞)解析：由g(x)=0得f(x)=-x-a，作出函数f(x)和y=-x-a的图象如图：当直线y=-x-a的截距-a≤1，即a≥-1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g(x)存在2个零点，故实数a的取值范围是[-1，+∞).答案：C10.如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则( )A.p1=p2B.p1=p3D.p 1=p 2+p 3解析：如图：设BC=2r 1，AB=2r 2，AC=2r 3，∴r 12=r 22+r 32，∴S Ⅰ=12×4r 2r 3=2r 2r 3，S Ⅲ=12×πr 12-2r 2r 3，S Ⅱ=12×πr 32+12×πr 22-S Ⅲ=12×πr 32+12×πr 22-12×πr 12+2r 2r 3=2r 2r 3，∴S Ⅰ=S Ⅱ， ∴P 1=P 2. 答案：A11.已知双曲线C ：2213-=x y ，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N.若△OMN 为直角三角形，则|MN|=( )A.32B.3D.4解析：求出双曲线的渐近线方程，求出直线方程，求出MN 的坐标，然后求解|MN|.双曲线C ：2213-=x y 的渐近线方程为：y=±3x ，渐近线的夹角为：60°，不妨设过F(2，0)的直线为：(x-2)，则：)2⎧=⎪⎨⎪=-⎩y x y x，解得322⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y ，即M(32，2-)，)23⎧=⎪⎨⎪=-⎩y x y x，解得3=⎧⎪⎨=⎪⎩x y N(3)，则3==MN .12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A.33 4B.233C.324D.3解析：利用正方体棱的关系，判断平面α所成的角都相等的位置，然后求解α截此正方体所得截面面积的最大值.正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图所示：正六边形平行的平面，并且正六边形时，α截此正方体所得截面面积的最大，此时正六边形的边长2，α截此正方体所得截面最大值为：2323362⎛=⎝⎭.答案：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x，y满足约束条件22010--≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩x yx yy，则z=3x+2y的最大值为 .解析：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得3122=-+y x z，平移直线3122=-+y x z，由图象知当直线3122=-+y x z经过点A(2，0)时，直线的截距最大，此时z最大，最大值为z=3×2=6.答案：614.记S n为数列{a n}的前n项和.若S n=2a n+1，则S6= .解析：先根据数列的递推公式可得{a n}是以-1为首项，以2为公比的等比数列，再根据求和公式计算即可.S n为数列{a n}的前n项和，S n=2a n+1，①当n=1时，a1=2a1+1，解得a1=-1，当n≥2时，S n-1=2a n-1+1，②，由①-②可得a n=2a n-2a n-1，∴a n=2a n-1，∴{a n}是以-1为首项，以2为公比的等比数列，∴()661126312-⨯-==--S.答案：-6315.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种.(用数字填写答案)解析：方法一：直接法，分类即可求出.1女2男，有122412=C C，2女1男，有21244=C C，根据分类计数原理可得，共有12+4=16种.方法二：间接法，先求出没有限制的种数，再排除全是男生的种数.336420416=-=C C 种.答案：1616.已知函数f(x)=2sinx+sin2x ，则f(x)的最小值是 . 解析：由题意可得T=2π是f(x)=2sinx+sin2x 的一个周期， 故只需考虑f(x)=2sinx+sin2x 在[0，2π)上的值域， 先来求该函数在[0，2π)上的极值点，求导数可得f ′(x)=2cosx+2cos2x=2cosx+2(2cos 2x-1)=2(2cosx-1)(cosx+1)，令f ′(x)=0可解得cosx=12或cosx=-1，可得此时x=3π，π或53π；∴y=2sinx+sin2x 的最小值只能在点x=3π，π或53π和边界点x=0中取到，计算可得f(3π)=，f(π)=0，f(53π)=，f(0)=0，∴函数的最小值为.答案：2-三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：每题12分，共60分.17.在平面四边形ABCD 中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5.(1)求cos ∠ADB.解析：(1)由正弦定理得25sin sin 45=∠︒ADB ，求出sin ∠ADB=5，由此能求出cos ∠ADB.答案：(1)如图所示：∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5，∴由正弦定理得：25sin sin45=∠︒ADB，即25sin sin45=∠︒ADB，∴2sin45si52n5︒∠==ADB，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴2223 cos15⎛⎫⎪⎪∠⎭-⎝==ADB.(2)若2BC.解析：(2)由∠ADC=90°，得cos∠BDC=sin∠ADB=25，再由2，利用余弦定理能求出BC.答案：(2)∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=2 5，∵2，∴222cos2582222555 =+-⨯⨯⨯∠=+-⨯⨯⨯= BC BD DC BD DC BDC.18.如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD.解析：(1)利用正方形的性质可得BF垂直于面PEF，然后利用平面与平面垂直的判断定理证明即可.答案：(1)证明：由题意，点E、F分别是AD、BC的中点，则AE=12AD，BF=12BC，由于四边形ABCD为正方形，所以EF⊥BC.由于PF⊥BF，EF∩PF=F，则BF⊥平面PEF.又因为BF 平面ABFD，所以：平面PEF⊥平面ABFD.(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.解析：(2)利用等体积法可求出点P到面ABCD的距离，进而求出线面角. 答案：(2)在平面DEF中，过P作PH⊥EF于点H，联结DH，由于EF为面ABCD和面PEF的交线，PH⊥EF，则PH⊥面ABFD，故PH⊥DH.在三棱锥P-DEF中，可以利用等体积法求PH，因为DE∥BF且PF⊥BF，所以PF⊥DE，又因为△PDF≌△CDF，所以∠FPD=∠FCD=90°，所以PF⊥PD，由于DE∩PD=D，则PF⊥平面PDE，故V F-PDE=13PF·S△PDE，因为BF∥DA且BF⊥面PEF，所以DA ⊥面PEF ， 所以DE ⊥EP.设正方形边长为2a ，则PD=2a ，DE=a 在△PDE 中，a ，所以S △PDE=a 2， 故V F-PDE=a 3，又因为S △DEF =12a ·2a=a 2，所以223-==F PDE V PH a a ，所以在△PHD中，sin 4∠==PH PDH PD ，即∠PDH 为DP 与平面ABFD所成角的正弦值为：.19.设椭圆C ：2212+=x y 的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2，0).(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程.解析：(1)先得到F 的坐标，再求出点A 的方程，根据两点式可得直线方程. 答案：， ∴F(1，0)，∵l 与x 轴垂直， ∴x=1，由22112=⎧⎪⎨+=⎪⎩x x y，解得21=⎧⎪⎨=⎪⎩x y或21=⎧⎪⎨=-⎪⎩x y ， ∴A(1，2)或(1，2-)，∴直线AM的方程为2+=-y x2=y x .(2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.解析：(2)分三种情况讨论，根据直线斜率的问题，以及韦达定理，即可证明. 答案：(2)证明：当l 与x 轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°，当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，∴∠OMA=∠OMB ， 当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y=k(x-1)，k ≠0， A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1x 2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ，k MB 之和为121222+=+--MA MB y y k k x x ，由y 1=kx 1-k ，y 2=kx 2-k 得()()12121223422-++=--MA MB kx x kx x k k k x x ，将y=k(x-1)代入2212+=x y 可得(2k 2+1)x 2-4k 2x+2k 2-2=0， ∴2122421+=+k x x k ，21222221-=+k x x k ， ∴2kx 1x 2-3k(x 1+x 2)+4k=2121+k (4k 2-4k-12k 2+8k 2+4k)=0从而k MA +k MB =0，故MA ，MB 的倾斜角互补， ∴∠OMA=∠OMB ， 综上∠OMA=∠OMB.20.某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0＜p ＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p 0. 解析：(1)求出()()1822201=-f p C p p ，则()()()()()18171722220202118121110⎡'=---⎤⎣=-⎦-f p C p p p p C p p p ，利用导数性质能求出f(p)的最大值点p 0=0.1.答案：(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，则()()1822201=-f p C p p，∴()()()()()18171722220202118121110⎡'=---⎤⎣=-⎦-f p C p p p p C p p p，令f′(p)=0，得p=0.1，当p∈(0，0.1)时，f′(p)＞0，当p∈(0.1，1)时，f′(p)＜0，∴f(p)的最大值点p0=0.1.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX. (ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？解析：(2)(i)由p=0.1，令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B(180，0.1)，再由X=20×2+25Y，即X=40+25Y，能求出EX.(ii)如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，EX=490＞400，从而应该对余下的产品进行检验.答案：(2)(i)由(1)知p=0.1，令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B(180，0.1)，X=20×2+25Y，即X=40+25Y，∴EX=E(40+25Y)=40+25EY=40+25×180×0.1=490.(ii)如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，∵EX=490＞400，∴应该对余下的产品进行检验.21.已知函数()1ln=-+f x x a xx.(1)讨论f(x)的单调性.解析：(1)求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可. 答案：(1)函数的定义域为(0，+∞)，函数的导数()222111-+'=--+=-a x axf xx x x，设g(x)=x2-ax+1，当a≤0时，g(x)＞0恒成立，即f′(x)＜0恒成立，此时函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，当a＞0时，判别式△=a2-4，①当0＜a≤2时，△≤0，即g(x)＞0，即f′(x)＜0恒成立，此时函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，②当a＞2时，x，f′(x)，f(x)的变化如下表：综上当a ≤2时，f(x)在(0，+∞)上是减函数，当a ＞2时，在(0，24--a a )，和(24+-a a ，+∞)上是减函数， 则(24--a a ，24+-a a )上是增函数.(2)若f(x)存在两个极值点x 1，x 2，证明：()()12122---＜f x f x a x x .解析：(2)将不等式进行等价转化，构造新函数，研究函数的单调性和最值即可得到结论.答案：(2)由(1)知a ＞2，0＜x 1＜1＜x 2，x 1x 2=1，则()()()()()()12211221121211ln ln 2ln ln ⎛⎫-=-++-=-+- ⎪⎝⎭f x f x x x a x x x x a x x x x ， 则()()()12121122ln ln 22---=-+--＜f x f x a x x a x x x x ，则问题转为证明2211ln ln --x x x x ＜1即可，即证明lnx 1-lnx 2＞x 1-x 2，即证2lnx 1＞x 1-11x 在(0，1)上恒成立，设h(x)=2lnx-x+1x ，(0＜x ＜1)，其中h(1)=0，求导得()()222221212110--+'=--=-=-＜x x x h x x x x x ，则h(x)在(0，1)上单调递减，∴h(x)＞h(1)，即2lnx-x+1x ＞0，故2lnx＞x-1 x，则()()12122---＜f x f xax x成立.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.(1)求C2的直角坐标方程.解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化.答案：(1)曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x-3=0，转换为标准式为：(x+1)2+y2=4.(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.解析：(2)利用直线在坐标系中的位置，再利用点到直线的距离公式的应用求出结果.答案：(2)由于曲线C1的方程为y=k|x|+2，则：该直线关于y轴对称，且恒过定点(0，2). 由于该直线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点.所以：必有一直线相切，一直线相交.则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2.2=，解得：k=43-或0，(0舍去)故C1的方程为：y=43-|x|+2.[选修4-5：不等式选讲](10分)23.已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时，求不等式f(x)＞1的解集.解析：(1)去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集.答案：(1)当a=1时，f(x)=|x+1|-|x-1|=21211 21⎧⎪-≤≤⎨⎪--⎩，＞，，＜xx xx，由f(x)＞1，∴2111⎧⎨-≤≤⎩＞xx或211⎧⎨⎩＞＞x，解得x＞1 2，故不等式f(x)＞1的解集为(12，+∞).(2)若x∈(0，1)时不等式f(x)＞x成立，求a的取值范围.解析：(2)当x∈(0，1)时不等式f(x)＞x成立，转化为即|ax-1|＜1，即0＜ax＜2，转化为a＜2x，且a＞0，即可求出a的范围.答案：(2)当x∈(0，1)时不等式f(x)＞x成立，∴|x+1|-|ax-1|-x＞0，即x+1-|ax-1|-x＞0，即|ax-1|＜1，∴-1＜ax-1＜1，∴0＜ax＜2，∵x∈(0，1)，∴a＞0，∴0＜x＜2 a，∴a＜2 x，∵2x＞2，∴0＜a≤2，故a的取值范围为(0，2].。
2011—2020年十年新课标全国卷高考数学分类汇编——1
2011—2020年十年新课标全国卷高考数学分类汇编——1.集合2011年至2020年的新课标全国卷数学试题共包含8套全国卷，包括全国Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷、新高考Ⅰ卷和新高考Ⅱ卷。
本资料根据全国卷的特点编写，共包含14个专题，包括集合、复数、逻辑、数学文化、新定义、平面向量、不等式、数列、三角函数与解三角形、解析几何、概率与统计、程序框图、坐标系与参数方程、不等式选讲。
通过掌握各种题型，可以把握全国卷命题的灵魂。
集合与简易逻辑是数学试题中的一个重要专题。
以下是一些选择题的例子：2020年新高考Ⅰ卷第一题：设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（）A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3} C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}2020年全国卷Ⅰ理科第二题：设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）A．–4 B．–2 C．2 D．42020年全国卷Ⅰ文科第一题：已知集合A={x|x23x40}，B={4,1,3,5}，则B={x|1<x<4}。
2020年全国卷Ⅱ理科第一题：已知集合U={−2，−1.1，2，3}，A={−1.1}，B={1，2}，则CUAA．{−2，3} B．{−2，2，3} C．{−2，−1.3} D．{−2，−1.2，3}2020年全国卷Ⅱ文科第一题：已知集合A={x||x|1，x∈Z}，则A∩B={–2，2}。
2020年全国卷Ⅲ理科第一题：已知集合A{(x,y)|x,y N*,y x}，B{(x,y)|x y8}，则A∩B中元素的个数为3.2020年全国卷Ⅲ文科第一题：已知集合A1，2，3，5，7，11，B x|3x15，则A∩B中元素的个数为4.2019·全国卷Ⅰ，理1)已知集合M={x|-4<x<2}，N={x|x^2-x-6<0}，则M的正确表示为A。
2020年高考真题——数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)(解析版)
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由 知，序列 的周期为m，由， ，
当 时， ，
在 上单调递增， 在 上单调递减，
在 上单调递增，排除B；
当 时， ，
在 上单调递减， 在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知： 在 上单调递减，D正确.
应选：D.
【点睛】此题考察函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据 与 的关系得到结论；判断单调性的关键是可以根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减〞性得到结论.
【答案】A
【解析】
【分析】
将不等式变为 ，根据 的单调性知 ，以此去判断各个选项中真数与 的大小关系，进而得到结果.
【详解】由 得： ，
令 ，
为 上的增函数， 为 上的减函数， 为 上的增函数，
，
， ， ，那么A正确，B错误；
与 的大小不确定，故CD无法确定.
应选：A.
【点睛】此题考察对数式的大小的判断问题，解题关键是可以通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到 的大小关系，考察了转化与化归的数学思想.
那么 垂直于平面 内所有直线，
直线 平面 ， 直线 直线 ，
命题 为真命题.
综上可知， 为真命题， 为假命题，
为真命题， 为真命题.
故答案为：①③④.
【点睛】此题考察复合命题的真假，同时也考察了空间中线面关系有关命题真假的判断，考察推理才能，属于中等题.
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2020年高考数学试题分类汇编——新课标选
考内容
（2020湖南文数）4. 极坐标cos p θ=和参数方程12x t y t ⎧=--⎨=+⎩
（t 为参数）所表示的图形分别是
A. 直线、直线
B. 直线、圆
C. 圆、圆
D. 圆、直线
D
（2020重庆理数）（3）2241lim 42x x x →⎛⎫- ⎪--⎝
⎭= A. —1 B. —14 C. 14
D. 1 解析：2241lim 42x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭=412
1)2)(4(2(lim lim 222-=+-=+--→→x x x x x x
（2020北京理数）（5）极坐标方程（p-1）（θπ-）=（p ≥0）表示的图形是
（A ）两个圆 （B ）两条直线
（C ）一个圆和一条射线 （D ）一条直线和一条射线 答案：C
（2020湖南理数）5、4
21dx x
⎰等于 A 、2ln2- B 、2ln 2 C 、ln 2- D 、ln 2
（2020湖南理数）3、极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x t y t
=--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表
示的图形分别是
A 、圆、直线
B 、直线、圆
C 、圆、圆
D 、直线、直线
（2020安徽理数）7、设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θθ
=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），直线l 的
方程为320x y -+=，则曲线C 上到直线l 距离为
1010的点的个数为 A 、1
B 、2
C 、3
D 、4 7.B
【解析】化曲线C 的参数方程为普通方程：22(2)(1)9x y -++=，圆心(2,1)-到直线320x y -+=的距离71031010
d ==<，直线和圆相交，过圆心和l 平行的直线和圆的2个交点符合要求，又
101031010>-，在直线l 的另外一侧没有
圆上的点符合要求，所以选B.
【方法总结】解决这类问题首先把曲线C的参数方程为普通方程，然后利用圆心到
直线的距离判断直线与圆的位置关系，这就是曲线C上到直线l，然后
>-，进而得出结论.
3。