4异方差(2012-5-20)
异方差——精选推荐
异方差问题1．什么是异方差？i ki k i i i u X X X Y +++++=ββββ 22110，ni ,,2,1 =221),,|(i i i i X X u Var σ= ，n i ,,2,1 =或者 2)(i i u V a r σ=，n i ,,2,1 =同方差异方差2．异方差性的两个例子⏹收入与储蓄⏹打字出错个数与打字练习小时数3．异方差的类型同方差递增方差4．异方差性的后果（1）OLS 估计量仍然具有线性性和无偏性 证明：我们以一元线性回归模型为例来证明。
∑∑∑∑∑∑+-++=-==21010221)]()[()(ˆii i i i i i i i i ΔX X u X ΔX ΔX Y Y ΔX ΔX ΔY ΔX βββββ ∑+=i i u k 1β，其中∑=2iii ΔX ΔX k 。
⏹ 证明无偏性时只使用到两个假设：解释变量是外生的，误差的均值为零 ⏹下面证明OLS 估计量方差在同方差与异方差情况下不相等。
当假设为同方差时，1ˆβ的方差为 )var()var()ˆvar(11∑∑=+=i i i i u k u k ββ （由随机扰动项的无自相关性假设） ∑∑==)var()var(2i i i i u k u k （由同方差假设）∑∑∑∑=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡==22222222)(ii i iΔXΔX ΔX k σσσ当方差为异方差是，1ˆβ的方差为 ∑∑==2221)var()ˆvar(i i i i k u k σβ 22222222)()()(∑∑∑∑=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=i i i i i i ΔX ΔX ΔX ΔX σσ （2）变量的显著性检验失去意义说明：如果在存在异方差的情况下，仍然使用常用的OLS 估计量表达式，则计算得到的方差通常是有偏的。
由于t 统计量和F 统计量的表达式中都包含样本标准差，因此计算得到的t 统计值和F 统计值都是有偏误的，则建立在其上的假设检验也是不可靠的。
异方差
异方差异方差的性质● 经典回归的一个重要假定之一是：u i 的条件方差为常数， 即：E （2i u ）= 2σ● 异方差（heterscedasticity ）：E （2iu ）=2i σ， 不同的（heter ）分散程度（scedasticity ）● （图）消费和收入， 消费随收入的增加而增加，但变异也在增加● u i 变动的几个理由：- 按照边错边改学习模型（error-learning models ），人们在学习的过程中，其行为误差随时间而减少，如：打字出错的个数- 随着收入的增长，人们有更多的备用收入，从而如何支配他们的收入有更大的选择范围- 随着数据采集技术的改进，2iσ可能减少- 异方差性还会因为异常值的出现而产生。
包括一个异常值，尤其样本较小时，会在很大程度上改变回归分析的结果- 异方差性的另一来源来自CLRM 的假定9的破坏，即：回归模型的设定是不正确的。
● 异方差常见于横截面数据中，因为观测范围大小不一● 异方差的后果：仍然是无偏的，但不是最有效的了（1） 无偏性βββ=+==-- )](')'[(]')'[()ˆ(11U X X X X E Y X X X E E（2） 非有效性1121111)'(')'()'()'(')'(]'')'][(')'[()'ˆ)(ˆ(------Φ==--=--X X X X X X X X X UU E X X X Y X X X Y X X X E E σββββββ● 同方差性时，βˆ的协方差矩阵为: 12)'(-X X σ,会夸大或缩小真实的方差和协方差● 由此会导致β的相关检验和置信区间失效，进而引起预测失效● 以双变量模型为例：i i i u X Y ++=10ββ进行显著性检验时，构造的t 统计量)ˆ(ˆ11ββS t =)ˆ(1βS 变动，所以1ˆβ的置信区间也不稳定异方差性的侦察● 侦破异方差性并没有严明的法则，只有少数的经验规则● 因为除非我们知道对应于选定的X 值的整个Y 总体，否则2i σ是无从获知的●大多数的方法都基于对我们所能观测到的OLS残差i uˆ的分析，而不是对干扰u i的分析非正式的方法●问题的性质：-往往根据所考虑的性质就能判别是否会遇到异方差性-例如：围绕消费对收入的回归，残差的方差随收入的增加而增加●图解法：-可先在无异方差性的假定下做回归分析，然后对残差的平方2ˆi u作一事后检查，看看这些2ˆi u是否呈现任何系统性的样式-（图）-2ˆi u是对应于i Yˆ而描绘的，除此之外，还可将他们对解释变量之一描点-当我们考虑2个或多个X变量的模型时，可将2ˆi u 相对于模型中的任一个变量描点正式方法（1）帕克（park ）检验● 提出2i σ是解释变量X i 的某个函数，他建议的函数形式为：iv i ie X βσσ22=或：i i i v X ++=ln ln ln 22βσσ● 由于2iσ通常是未知的，帕克建议用2ˆi u 作为替代变量并作如下回归：ii i i v v X u++=++=i 22lnX ln ln ˆln βαβσ **● 如果β表现为统计上显著的，就表明数据中有异方差性● 帕克检验分两阶段：一是做回归，而不考虑异方差性问题，从这一回归获得i uˆ，然后在第二阶段作如** 的回归戈德菲尔德-匡特检验 （Goldfeld-Quandt test ）● 适用于异方差性方差2i σ同回归模型中的解释变量之一有正相关的情形● 步骤一：从最小X 值开始，按X 值的大小顺序将观测值排列步骤二：略去居中的C 个观测值，其中C 是预定的，并将其余的（n-c ）个观测值分成两组，每组(n-c)/2个步骤三：分别对头（n-c ）/2个观测值和末(n-c)/2 个观测值各拟合一个回归，并分别获得残差平方和RSS 1 和RSS 2步骤四：计算比值：dfRSS dfRSS //12=λ， 如果假定i uˆ是正态分布的，并且如果同方差性假定真实，则λ遵循分子和分母自由度各为（n-c-2k ）/2 的F 分布● C 个观测值是为了突出或激化小方差组（即RSS 1）与大方差组（即RSS 2 ）之间的差异● 通常当n=30 时，取c =4, 当n=60 时，取c=10为宜● 当模型中有多于1个X 变量时，在检验的步骤一中，就可按任一个X 的大小顺序将观测值排列● 例：消费支出 – 收入， 30 观测值，略去居中4 个观测值后，对开头的13个和末尾的13个观测值分别作OLS 回归：17.377RS S 6968.04094.3ˆ1=+=i i X Y 8.1536RS S 7941.00272.28ˆ2=+-=i iX Y得：07.411/17.37711/8.1536//12===df RSS df RSS λ怀特（white ）的一般异方差性检验● Goldfeld-Quandt 检验要求按照被认为是引起异方差性的X 变量把观测值重新排序● White 检验并不要求排序，而且易于付诸实施● 步骤一： 对给定的数据回归（两个解释变量），并获得残差i uˆ步骤二：再做如下（辅助）回归：ii i i i i i i v X X a X a X a X a X a a u ++++++=326235224332212ˆ从这个（辅助）回归中求得R 2步骤三：在无异方差性的虚拟假设下，2nR 渐进的遵循自由度等于辅助回归元（不包括常数项）个数的2χ分布步骤四：如果2χ值超过临界值，结论就是有异方差性，如果不超过，就没有，即：065432=====a a a a a● 例： Y= 贸易税收（进口与出口税收）与政府总收入之比，X 2 =进出口总和与GNP 之比，X 3 =人均GNP ， 假设Y 与X 2 正相关，Y 与X 3 成反比White test ：1148.0R ))(ln T rade 0.0015(ln )(ln 0491.0)(ln 4081.0 ln 6918.0ln 5629.28417.5ˆ2i 222=+--++-=i i i i i i GNP GNP Trade GNP Trade u7068.4)1148.0(41.2==R n● 如果模型有多个回归元，回归元的平方（或更高次方）项以及它们的交叉项就会耗掉许多的自由度● 遇到统计量显著的情形，原因也许不一定是异方差性异方差的修正方法 – 加权最小二乘法（广义最小二乘法）● 以消费-收入为例，消费异方差，设计一种估计方案：对来自变异较大的总体的观测值作较小的加权，而对来自较小的总体的观测值作较大的加权● OLS 方法对每一观测之同样重视或同等加权● 广义最小二乘法（generalized least square-GLS ）利用了异方差的信息，因而能产生ＢＬＵＥ估计量● 利用双变量模型：i i i i u X X Y ++=201ββ其中对每个ｉ， Ｘ０ｉ＝１● 假定相异的方差2i σ已知，用σ通除上式得：)()()(201iiiiiiiiu X X Y σσβσβσ++=为了易于阐述，将它写为：i i i i u X X Y ******201++=ββ● 转换原始模型中，转换干扰项i u *的方差，现在有了同方差性1)(1)(1)()*()*var(2222i22=====iiiiii i u E u E u E u σσσσ● ＯＬＳ应用到转换模型将产生ＢＬＵＥ估计量● ＧＬＳ是对满足标准最小二乘假定的转换变量的ＯＬＳ● 21*ˆ*ˆββ和的估计步骤是最小化： 220112)**ˆ**ˆ*(*ˆii i X X Y u ββ--=∑∑● *ˆ2β的GLS 估计量为： ∑∑∑∑∑∑∑--=222)())(())(())((*ˆi i i i i i i i i i i i i X w X w w Y w X w Y X w w β 其中2/1i i w σ=● ＯＬＳ和GLS 的差别：ＯＬＳ要求最小化：2212)ˆˆ(ˆii i X Y u ββ--=∑∑ ＧＬＳ要求最小化：2212)ˆˆ(ˆii i i i X Y w u w ββ--=∑∑● ＧＬＳ中最小化一个以2/1i i w σ=为权的加权残差平方和，而在ＯＬＳ中最小化一个无权或等权的残差平方和● 这种形式的GLS 被称为加权最小二乘法（weighted least square – WLS ）● 若i σ是已知的，异方差的问题似乎已经得到了解决，但大多数情况下，方差是未知的●加权最小二乘法至多只能用于未知方差容易被描述的那些情况●看一下课本中的例子。
异方差定义及检验
• 检验统计量：
• F服从分布
2 1
n c k 1 2 2 RSS2 F (4.1.1) 2 2 RSS1 RSS1 n c 2 k 1
nc nc F (k 1), (k 1) 2 2
方式2：在方程窗口中点击Estimate\Options\Weighted, 并在权数变量栏输入权数变量；
3)利用White检验判断是否消除了异方差性 权数变量的确定：依据Pack检验和Gleiser检验的结 果，或直接取成1/ei
作业四：
• 第五章3/4/6/8。
三、异方差的检验
★1.图形分析： (1)观察Y、X相关图：SCAT Y X（Graph） (2)残差分析:观察回归方程的残差图 在方程窗口直接点击Residual按钮； 或：点击View\Actual,Fitted,Residual\Table 若残差序列有放大或缩小的趋势，说明模型存在 异方差。 (3)观察残差平方序列与X序列的相关图
2 RSS2
RSS RSS • 其中 为小值样本组的残差平方和； 为大值样本组的残差平方和。F值大于临 界值，异方差存在。 • Eviews实现：分段回归
2 2
3.怀特（White）检验
原理：利用辅助回归模型判断方差与解释变量之 间是否有明显的因果关系。 例：二元模型的辅助模型为
2 ei2 0 1 x1i 2 x2i 3 x12i 4 x2i 5 x1i x2i i
异方差检验基本思路
• 所谓异方差性，即相对于不同的样本点，也就 是相对于不同的解释变量观测值，随机误差项 具有不同的方差。检验异方差性的基本思路， 也就是检验随机误差项的方差与解释变量观测 值之间的相关性。 如有相关，认为模型存在异 方差。 • 随机误差项的方差。一般的处理方法是首先采 用普通最小二乘法估计模型，以求得随机误差 项的估计量（即残差 ei 。注意，此残差是不严 ei2 表 格的），我们称之为“近似估计量”，用 示随机误差变量方差的近似值。
4-异方差
5.
3 Spearman等级相关系数检验
1. 2. 3.
利用最小二乘法进行回归分析，计算残差 原假设：同方差；备择假设：异方差
ˆ µi
ˆ 对解释变量Xi和 µ i 分别按从小到大的顺序排列，并赋予1到n中的 一个顺序号表示其等级 ˆ 对每个下标i，计算Xi和 µ i 的等级差di
计算等级相关系数
四. 异方差的检验
图示法 Goldfeld-Quandt检验 Spearman等级相关系数检验 Glejser（戈里瑟）检验 Reset检验 White检验
1图示法
ˆ µ ˆ µ
X
X
ˆ µ ˆ Y
ˆ µ
ˆ Y
2 Goldfeld-Quandt检验
1.
建立两个子样本：按大小排列样本观测值，去除中间c个观测值 （c一般为样本容量的1/4到1/3）
第4章
异方差
主要内容
异方差的概念 产生异方差的原因 异方差的结果 异方差的检验 异方差的修正方法
统计知识复习
E(cX ) = cE( X ) 2 Var (cX ) = c Var ( X )
一. 异方差的概念
随机误差项的方差受到解释变量的影响，随解释变量 取值的变化而变化，称随机误差项存在异方差。 同方差（经典假设）：随机扰动项ui对每一个样本点的 方差是一个常数 异方差：∂ µ i 与i有关，不再是常数，但ui仍然是一个服 从正态分布的随机变量 Var （µi） = σ2µ =常数
Yi = b0 + b1 ln X 1i + b2 ln X 2i + µ i
（产出） （资本） （劳动力）
对规模小的企业，在一定的劳动投入和资金投 入下，产出的波动幅度小，随机项的方差小 对规模大的企业，在一定的劳动投入和资金投 入下，产出的波动幅度大，随机项的方差大 随机误差项的方差随企业规模增大而递增
计量经济学：异方差
（1）布罗施-帕甘（Breusch-Pagan）检验
例4.2 使用BP检验对例4.1的回归模型进行异方差检验。 解：EViews中进行BP检验的结果如下：
从中可以看出，无论是使用F检验还是LM检验，在5%的显著性水 平下，均可拒绝随机误差项不存在异方差的原假设
2）怀特(White)检验
20000 X
30000
40000
（2）用 X e%i2 的散点图进行判断
第三节 异方差的检验
方法2：作X-ei2散点图
从图中可以看出，随着居 民可支配收入X的提高，随 机误差项平方ei2呈递增趋 势。表明随机误差项存在 递增型异方差。
ESQU
320000 280000 240000 200000 160000 120000
概 率 密 度
X1 X2 X3
同方差
概
率
Y
密
Y
度
E(Y|X) = β0 + β 1X
X
X1 X2 X3 异方差
E(Y|X) = β 0 + β 1X
X
异方差的矩阵表示
2 1
Var(u)
0 M
0
2 2
M
L L M
0
0
0
0
0
L
2 n
2、异方差的类型
•同方差性假定的意义是：每个ui围绕其零均值的离差，并不随解释 变量X的变化而变化，不论解释变量X的观测值是大还是小，每个ui
E(ˆ )(ˆ ) E ( X X )1 X Y ( X X )1 X Y
E ( X X )1 X X U ( X X )1 X X U
异方差知识点
异方差知识点异方差是统计学中一个重要的概念，指的是随机变量的方差并不保持恒定，而是随着自变量的变化而变化。
异方差的存在可能会对数据分析和模型建立产生影响，因此了解异方差的知识点是非常重要的。
在统计学中，常常使用方差来衡量随机变量的离散程度。
方差越大，表示数据的离散程度越大，反之，方差越小，表示数据的离散程度越小。
然而，在某些情况下，方差并不是一个常数，而是随着自变量的变化而变化。
这就被称为异方差。
为了更好地理解异方差，我们可以通过以下几个步骤进行思考：1.了解方差：首先，我们需要了解方差的概念。
方差是一种衡量随机变量离散程度的统计量，计算方法是将每个观测值与均值的差平方后求和再除以观测值的个数。
2.理解异方差：异方差表示随机变量的方差并不保持恒定，而是随着自变量的变化而变化。
这意味着随机变量的离散程度可能在不同的自变量取值下有所不同。
3.检测异方差：为了检测数据中是否存在异方差，我们可以使用一些统计方法。
例如，我们可以绘制残差图，检查残差的方差是否随着自变量的变化而变化。
另一种方法是利用统计模型的诊断工具，如BP检验或White检验。
4.处理异方差：如果数据中存在异方差，我们需要采取相应的措施来处理。
常用的方法包括变量转换和加权最小二乘法。
变量转换可以通过对自变量或因变量进行对数化、平方根转换等方式来减小异方差的影响。
加权最小二乘法则是通过给数据赋予不同的权重来在拟合模型时考虑异方差的影响。
5.模型评估：在处理异方差后，我们需要重新评估模型的拟合效果。
通常，我们可以使用修正后的判定系数（如调整R方）来评估模型的拟合效果。
异方差是统计学中一个重要的概念，对于数据分析和模型建立都有一定的影响。
理解异方差的知识点能够帮助我们更好地处理实际问题中的数据，并建立更准确的模型。
在实际应用中，如果我们发现数据中存在异方差，我们应该采取相应的方法来处理，以确保模型的准确性和可靠性。
《异方差性》课件
03
异方差性的后果
模型预测的准确性下降
异方差性会导致模型的预测值偏 离真实值，降低预测的准确性。
在异方差性存在的情况下，模型 的预测结果可能变得不可靠，因 为模型没有充分考虑到数据的不
确定性。
异方差性可能导致模型在预测新 数据时表现不佳，因为模型没有 充分学习到数据的内在结构和变
化规律。
模型推断的可靠性降低
详细描述
社会数据在不同群体之间的分布往往存在显著的差异，这种差异反映了不同群体之间的异方差性。这 种异方差性可能与社会经济地位、文化背景等多种因素有关，需要深入分析其产生的原因和影响。
社会数据的异方差性分析
总结词
异方差性对社会政策制定和实施具有重 要影响。
VS
详细描述
社会政策的制定和实施需要考虑不同群体 的差异和特点，而异方差性的存在为社会 政策的制定提供了重要的参考信息。通过 对异方差性的分析和研究，我们可以更好 地了解不同群体的需求和诉求，制定更为 公正和有效的社会政策。
总结词
金融数据的异方差性分析有助于提高投资策略的有效性。
详细描述
通过对金融数据的异方差性进行分析，投资者可以更好地 理解市场的波动规律和风险特征，从而制定更为有效的投 资策略。这种基于异方差性的投资策略能够更好地适应市 场的变化，提高投资的收益和风险控制能力。
社会数据的异方差性分析
总结词
社会数据在不同群体之间存在显著的异方差性。
平方根变换
当数据分布不均，特别是偏度较大时，平方根变换可以改善数 据的正态性。
Box-Cox变换
是一种通用的数据变换方法，通过选择一个适当的λ值，使数据 达到最佳的正态分布状态。
模型选择和调整
混合效应模型
异方差
Econometrics第六章异方差（教材第九章）第六章异方差6.1 异方差的涵义6.2 异方差的后果6.3 异方差的诊断6.4 补救措施学习要点异方差及其产生的后果，诊断及消除其影响的措施6.1 异方差的涵义异方差（Heteroscedasticity ）f 古典线性回归模型（CLRM ）的对u i 的假定其中，称为同方差（Homoscedasticity ）假定。
f 若，则称存在异方差（Heteroscedasticity ）。
12233i i i iY B B X B X u =+++2()0()(,)0i i i j E u Var u Cov u u σ=⎧⎪=⎨⎪=⎩2()i Var u σ=22()i i Var u σσ=≠6.1 异方差的涵义异方差（Heteroscedasticity）f例，个人储蓄的方差随个人可支配收入增加而变大。
6.1 异方差的涵义异方差（Heteroscedasticity ）f 异方差用符号表示为：（注意下标）表明u i 的方差随观察值的不同而变化。
f存在异方差问题的实际背景多存在于横截面数据（cross-sectional data）由于存在规模效应测量误差f 例如，使用横截面数据估计中国总量消费函数。
22()i iE u σ=()()2()i i i Var u E u E u =−=2i σ6.1 异方差的涵义异方差（Heteroscedasticity ）f 例，523个工人的工资：123i i i iWage B B Edu B Exper u =+++6.1 异方差的涵义异方差（Heteroscedasticity ）f 例，523个工人的工资：123i i i iWage B B Edu B Exper u =+++6.2 异方差的后果异方差的后果（证明从略）f OLS OLS6.3 异方差的诊断异方差的一些诊断工具f问题的性质：在横截面数据中常有异方差问题f帕克检验（Park test）f格莱泽检验（Glejser test）Heteroscedasticity Test）f异方差的其他检验方法6.3 异方差的诊断异方差的一些诊断工具f 残差的图形检验：用对一个或多个解释变量作图2i e6.3 异方差的诊断异方差的一些诊断工具f 残差的图形检验：多个解释变量时可用对作图2ieˆiY6.3 异方差的诊断异方差的一些诊断工具f 帕克检验（Park test ）：做对一个或多个的回归f 例如，一元模型中f 实际估计中以代替，如何获得？f 检验零假设B 2=0，即不存在异方差。
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( X i X ) 2 / n Q , n
假定方程随机扰动项i 服从期望为零的正态分布,且Cov(i j ) 0, i j G Q检验的零假设为 :
2 2 H 0 : 12 2 n 同方差 2 2 H1 : 12 2 n 方差各不相同,不妨设是递增型异方差
1
计算公式,应用计算机相关程序进行模拟,表明当存在异方差时, 2 X X 的元素会夸大或缩小真实的方差和协方差பைடு நூலகம்因此 的有效性不能得到保障. 由此会导致的相关检验和置信区间失效,进而引起预测失效.
1
2、变量的显著性检验失去意义
以一元回归模型为例: Yi 0 1 X i i 1 t= S
• OLS估计量仍然具有线性和无偏性，但不具有有 效性（即最小方差性）。设计量模型为：
Y1 0 1 X 11 2 X 12 k X 1k 1 Y X X X k 2k 2 Y X 2 0 1 21 2 22 行向量形式 Yn 0 1 X n1 2 X n 2 k X nk n 且Var ( ) E ( ) 2 2 I n , 从而该计量模型存在异方差性.由OLS得
1
三、异方差性的检验 Detection of Heteroscedasticity
1、直观图示检验法
（1）用X-Y的散点图进行判断（估计后判断） 看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂型趋 势（即不在一个固定的带型域中）
某地区全体居民在31年中个人收入X (单位:万元) 及个人储蓄Y(单位:万元)资料如下表所示:
2.当计量模型存在异方差时,OLS估计量不再是有效估计量
1 1 E ( )( ) E X X X X X Y X Y 1 1 E X X X X X X X X 1 1 E X X X X X X 1 1 E X X X X X X X X X X X E X
2、异方差的类型
• 同方差时：i2 = 常数，与解释变量观测值Xi无关；
异方差时：i2 = f(Xi)，与解释变量观测值Xi有关。 • 异方差一般可归结为三种类型：
– 单调递增型： i2随X的增大而增大 – 单调递减型： i2随X的增大而减小 – 复 杂 型： i2与X的变化呈复杂形式
3、实际经济问题中的异方差性
i • 问题在于如何获得随机误差项 （从总体带 来的）的方差
一般的处理方法：
设Y X 矩阵形式 , 用样本资料采用OLS 对模式进行估计, 得 Y X 矩阵形式 ,由此得残差 : ei Yi Y 注意,该估计量是不严格的 , 我们称之为" 近似估计量 ", 用ei 表示.于是有
2
j 1,2, k
假设6：随机项满足正态分布
i ~ N (0, )
• 但是，在实际的计量经济学问题中，完 全满足这些基本假设的情况并不多见。 • 如果违背了某一项基本假设，那么应用 普通最小二乘法估计模型就不能得到无 偏的、有效的参数估计量，OLS法失效， 这就需要发展新的方法估计模型。
案例4.1
• 图示检验法观察异方差。
2、计算检验法：该方法的共同思路
• 由于异方差性就是相对于不同的解释变量观
测值，随机误差项具有不同的方差。那么：
检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差Var(i )与解释变量 观测值X ij i 1, 2, , n; j 1, 2, k 之间的相关性及其相关的" 形式"。
例3.1：截面（如：同一时刻）资料下研究居民 家庭的储蓄行为 Yi=0+1Xi+i Yi:第i个家庭的储蓄额 Xi:第i个家庭的可支配收入。 高收入家庭：储蓄的差异较大； 低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小。
i的方差呈现单调递增型变化，如下图：
当i j时
varu i varu j
1 1
• 现在求
2 X X X X X X
1
1
不是单位矩阵
由前面可知当计量模型具有同方差时,的方差-协方差矩阵为: 1 E ( )( ) 2 X X 所以当计量模型中存在异方差时, 2 X 不再是 的协方差矩阵的 X
n Q 的估计量 X X X Y , Q ei2 ee Y X Y X ; i 1 1.当计量模型中存在异方差时,OLS估计仍具有线性与无偏性. 1 证明:由于 X X X Y 是Y的一次函数, 显然是关于Y的线性函数. 1
一、异方差的概念 二、异方差性的后果
三、异方差性的检验
四、异方差的修正
五、例题
一、异方差的概念
1、异方差
对于模型: Yi 0 1 X 1i 2 X 2i k i i
(i 1, 2,, n)
Var ( i X 1i , X 2i , , X ki ) 2 常数 Var ( i X 1i , X 2i , , X ki ) i2 常数
• 一般经验，对于采用截面数据作样本的 计量经济学问题，由于不同样本点上解 释变量以外的其他因素的差异较大，所 以往往存在异方差。
二、异方差性的后果 Consequences of Using OLS in the Presence of Heteroskedasticity
1、参数估计量非有效
Homoscedasticity
即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再 是常数，而互不相同，则认为出现了异方差性 (Heteroskedasticity)。即：
Var ( i ) Var ( j ), i j; i, j 1, 2,, k
用矩阵表示: Cov 1 , 2 Var 1 Var 2 Cov 2 , 1 Var ( ) E Cov , Cov , n 1 n 2 12 0 0 1 0 2 0 2 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 n 仍然满足Cov ( i , j ) 0, (i j )等5个条件. 仅主对角线不再是 2 , 而是各不相同 i2 i 1, 2, , n . i j i j; i, j 1, 2, , n Cov 1 , n Cov 2 , n Var n 0 0 2 0 n
例1: 以某一行业的多个企业为样本建立企业生产 函数模型 Yi=Ai1 Ki2 Li3e 被解释变量：产出量Y，解释变量：资本K、劳动L、 技术A。 • 每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含 在随机误差项中。 对于不同的企业，它们对产出量的影响程度不同， 造成了随机误差项的异方差性。 随机误差项的方差并不随某一个解释变量观测值 的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。
i 1, 2, , n
当误差项i同方差时,
计量模型显著性检验之一是构造t统计量 以1为例
1
2 1的标准差的估计量S 1 是一个固定值 Var 1 教材P 20 , 2 xi
xi2 i 2 ,因而S 1 不是一个 当i是异方差时,S 1 与X i的变化有关 Var 1 2 xi2 固定值,所以 的置信区间是变动的,因而预测值也不稳定.
第四章 经典单方程计量经济学模型：放宽基 本假定的模型 Relaxing the Assumptions of the Classical Model
说 明
•回归分析，是在对线性回归模型提出若干基 本假设（6个）的条件下，应用普通最小二乘 法得到了最佳、线性、无偏的参数估计量。
多元线性回归模型的基本假定
• 基本假设违背主要 包括： – 随机误差项序列存在异方差性； – 随机误差项序列存在序列相关性； – 解释变量之间存在多重共线性； – 解释变量是随机变量且与随机误差项相关； – 模型设定有偏误； – 被解释变量的方差不随样本容量的增加而收 敛。
§4.1 异方差性 Heteroscedasticity
下面证明无偏性.
ˆ ) E (( X X) 1 X Y ) E (β E (( X X) 1 X ( Xβ μ )) β ( X X) E ( X μ ) X X X E
1
1
E 0
β
X X 1 X Y 仍是的无偏估计量. 所以,
~ ˆ ei Yi (Yi ) OLS
~ Var ( i ) E ( i2 ) ei 2 最好在大样本条件下使用 (2.4.7)
~ 即用e 来表示随机误差项的方差。
2 i
从而可进一步考察其与X的相关性及其具体的形式。
~ ei 1 (2)X~ ei 2
2
的散点图进行判断
~ ei 2
假设4：随机误差项具有零均值、同方差及 不序列相关性 E( i ) 0