采用小波Galerkin方法和扩展有限元法进行断裂力学分析

国际工程数值方法杂志采用小波Galerkin方法和扩展有限元法进行断裂力学分析摘要本论文介绍了采用小波Galerkin方法和扩展有限元法进行断裂力学分析，小波Galerkin方法是解决以缩放/小波函数为基底函数的偏微分方程的一种新方法。

在固体结构分析中,划分为等距结构性细胞和缩放功能的分析域都周期性的放置在整个域中。

为了提高精度，小波函数叠加在具有高度应力集中区域的缩放函数上，比如靠近孔和切口处。

因此，这个方法在固定网格方法中被认为是一种精细化技术。

然而，在应用小波Galerkin方法时，基函数被假定为连续函数，这就为处理裂纹表面位置不连续问题带来一定的困难。

在本研究中，我们引入丰富的功能，在小波Galerkin公式考虑不连续位置和裂纹尖端的应力集中应用扩展有限元的概念。

本论文介绍了上面提到的技术的数学模型及其数值实现。

作为算例，文章提出了应力强度因子评估和二维裂缝的裂纹扩展分析。

版权所有2012John Wiley父子有限公司。

关键字：有限元方法；小波Galerkin方法；扩展有限元方法；应力强度因子1.绪论断裂力学分析广泛地应用于受损结构完整性、安全性和可靠性评估，诸如飞机、轮船和动力设备。

有限元方法作为强大的计算工具经常用于解决这些裂纹问题。

商业有限元软件（如ABAQUS、MSC、MARC和ANSYS）能够建立二维或者三维的有限元裂纹模型，利用这些有限元模型能够计算出其应力强度因子。

然而，因为特殊有限元建模的要求，即使是一个有熟练技术的工程师，在建立裂纹模型和计算应力强度因子时依然包含复杂的工作，比如，用双节点来表示裂纹表面和用很细的网格来表示裂纹尖端附近的应力奇异性。

研究员已经开发出数值方法来提高计算效率和减少用有限元进行断裂力学分析时的自由度。

叠加方法为裂纹尖端附近的应力场提供解析解，而且有限元解叠加，能提高应力奇异性的近似程度。

四分之一点元素发展到使元素一边崩溃然后转化裂纹尖端方向的中节点为等参单元。

四分之一点技术可以表示（1/r）弹性体内裂纹尖端应力域的奇异性[2-6]。

作为一种非传统有限元替代传统方法,混合奇异元素[7-11]和混合Trefftz方法被提出来。

尽管几乎所有的研究工作都是针对简单的静止裂纹问题，但在更早的前沿工作中，有限元就被用来解决裂纹问题。

小波方法作为一个强大的数学工具被提出来表示信号或功能，并且这个方法已经被应用到信号处理和图像处理领域[15-19]。

近年来，小波Galerkin方法已经被认为是解决偏微分方程的有效工具[20-22]。

用小波Galerkin方法进行固体结构分析中，尺度函数和小波函数用来表示位置或应力。

缩放/小波函数具有所谓的多分辨率特性。

这些函数能够得出有层次结构的结果。

不仅如此，基函数有紧凑的支撑条件，而且其结果能在诸如靠近孔或缺口应力集中的高梯度区域得到改善。

对比传统的有限元方法，新方法没有网格划分处理。

这就需要在小波Galerkin方法的基函数多精度和多分辨率方面的应用做许多研究，例如结构分析方面的研究[23-28]，固体力学问题[29-32]，拓扑优化[33、34]和小波有限元的发展[35、36]。

基于小波分级再生核（RK）方法也已经被提出来。

Liu et al.[37]提出了用再生核和小波分析多尺度的方法。

Liu et al.[38]还提出了移动最小二乘再生核。

傅里叶分析被用来验证这个方法。

在该文献中提出了所谓的同步收敛现象。

Liu et al.[39]提出了同步再生核。

不仅如此，Liu et al.[40，41]提出了联合分层分区（PU）再生核。

采用一系列基本的小波函数来构建分层分区。

联合分层分区再生核已应用于非弹性固体应变的定位。

小波函数多分辨率特性加强了裂纹尖端的高应力梯度。

然而，几乎没有文章已经解决了断裂力学问题。

因为大多数小波Galerkin方法的基函数在Galerkin 公式中被假定为连续的，这就给处理裂纹表面位置跳跃问题带来困难。

近年来，有限元框架中的扩展有限元方法（X-FEM）[43-45]已经作为有效处理裂纹问题而被提出。

基于PU[46,47]概念介绍了新的基函数（富集函数），新的基函数很容易就能表示裂纹表面和裂纹尖端附近应力集中区域的不连续性。

而且，因为有限元网格的富集函数能独立地表示裂缝几何形状并且裂纹扩展分析不需要重新划分网格，所以裂纹扩展分析能力得到加强。

Lee et al.[48]和Makasumi etal.[49]提出了一个耦合技术，这个技术同时使用X-FEM和网格叠加方法来有效地处理裂纹模型和裂纹扩展。

另外，Li et al.[50]利用扩展Voronoi单元有限元模型来解决脆性材料的内聚裂纹扩展问题。

通过使用多项式函数、分值函数和多分辨率小波函数来解决内聚裂纹问题。

扩展Voronoi单元有限元模型通过增加裂纹合并的生长机制进行扩展[51]。

使用WGM和X-FEM方法进行断裂力学分析本文提出的二维裂纹问题。

在WG 公式中使用线性B样条曲线缩放/小波基函数。

虽然基函数不满足小波理论中所谓的正交性条件，但该方法适用于求解边值问题。

基函数有一个明确的形式，并且整合和分化都可以进行分析。

基函数有紧凑的支撑。

在固体/结构WG离散化下，分析域被分成相等间隔的结构化细胞，并且缩放函数被周期性地放置在网格细胞中。

为了表示一个物体的边界，一个穿越边界的细胞分为等间隔的子单元。

位于外部区域的子单元不参与刚度矩阵的数值积分。

该方法可用来对复杂的结构自动地进行建模。

此外，具有不同长度范围的小波函数叠加在缩放函数上来改进该解决方案。

这个方法因此被认为是一个优化的固定网格（像素型）方法[53]。

用WGM进行固体/结构分析中，研究人员有时会讨论的一般边界的处理。

虚拟域方法[29、33]和应用边界修正小波函数方法[30,31]被广泛使用。

前者，其分析域扩展到外部，但非常小的刚度被提供给外部区域。

后者，传统的缩放/小波函数被改进以适用于其边界形状。

基于小波变换的有限元方法[54]是一种可避免处理与边界有关问题的技术。

在作者之前的研究中，固体力学问题是通过使用B样条WGM方法解决的[55]。

尽管在解决WGM中一般边界问题时经常采用虚拟域方法，但在这个工作中提出了一种技术来移除虚拟域。

在当前的文章中，基于X-FEM的富集函数被提出来解决裂纹问题。

Heaviside函数是一个丰富的线性B样条曲线缩放函数，这个函数用来表示裂纹表面的不连续位置。

另外，在裂纹尖端附近的渐近解富含线性B样条曲线缩放函数和小波函数两种。

无需通过重新划分和重新建立分析模型而重定位富集函数证明了裂纹扩展分析。

本文内容安排如下。

第2节提出了用于对裂纹问题和裂纹扩展分析的WG 方法，该分析方法是采用WGM和X-FEM。

第3节提出了用上述方法完成应力强度因子计算和离散化。

第4节提出了应力强度因子估值算例和裂纹扩展分析来证明上述技术。

第5节得出结论。

2采用小波Galerkin方法和扩展有限元法进行断裂力学分析2.1多分辨率特性和B样条小波基WGM中的基函数是采用缩放/小波函数。

在小波理论中根据所谓的多分辨率特性，基函数存在多层次结构。

本节将对多分辨率特性和B样条小波基作简要介绍。

更详细的内容，请参阅参考文献[15-19]。

多分辨率特性是在希尔伯L2（R）空间系列嵌套的子空间{V j；j∈Z}。

这些子空间V j都会产生缩放函数，j水平的缩放函数ϕj,k(x)可被定义如下：其中j是一个尺度参数，k是转换参数。

因为V j空间包含于V j+1空间内，任何V j空间中的函数都能由若干个V j+1空间中的基函数表示，这样就有这是的缩放函数的所谓双尺度关系，并且这组序数P k被称为双尺度序列。

此外，再介绍一组互补子空间W j和V j,这样子空间V j+1能直接由若干个W j和V j,表示为W j还有缩放函数都能生成小波函数。

j层次的小波函数可以写成因为W j包含在V j+1中，小波函数可以在一个有着双尺度序列的更高规模上表示为缩放函数{q k}公式（3）和公式（6）中的系数p k被定义为一组缩放/小波函数。

如果一组小波函数，在L2(R)中ψj,k(x)形成一个正交组，函数ψj,k(x)满足在（I）表示内积运算符，δjj‘是Kronecker δ。

如果用一组正交小波基组，公式（4）的直和就成为正交和。

其中⊕表示正交和。

因此L2（R）空间可以分解为子空间W j的和在空间V j上，函数f(x)∈L2（R）近似为他的投影P j f（x）（=f j(x)）P j f（x）方法中f(x)是j→∞。

如果缩放函数ϕj,k(x)是正交的，系数a j,k可以由下方法取得：通过一组函数ψj,k，f(x)∈V j+1和P j f（x）的差异可以分解b j,k是小波函数系数。

如果ψj,k（x）是正交的，系数可按如下方法获得公式（10）和（12）与连续（j,k）值重复使用，这样我们就得到一个缩放/小波函数的层次结构：这里ϕj0,k(x)，a j0,k是系数为j0下的缩放函数，ψi,k(x)，b j,k（i=j0,…,j）是系数由j0到j的小波函数。

作为公式（14）另一种表示方法，方程f i+1(x)可以由系数为a j+1,k的j+1层缩放函数∅j+1,k(x)叠加推导出来，并且由方程（10）可得这就是在小波理论下缩放/小波函数所谓的多分辨率特性。

这个理论可以直接扩展到2维和3维问题。

一维缩放/小波函数的张量积是构建2D和3D缩放/小波函数的现有技术之一,，2维表示将在下节中讨论。

到目前为止，已经提出几对缩放/小波函数。

[15-17,19]。

本研究采用了B样条小波基。

因为B样条小波基属于双小波家族且不满足正交条件。

对B样条小波基的详细描述在[15,52]。

另一方面，因为基函数有简单的形式和紧支撑，并且它很容易分化和整合，所以就有可能用它来解决WG表述中的固体/结构问题。

第m阶B样条的缩放/小波基是由分段m-1次阶的多项式函数表示的，并且他们衍生至m-2阶是连续的。

一维m阶B样条缩放函数可以写成一个幂级数：这里的函数支撑是方程（3）中B样条缩放函数∅(m)（x）两尺度序列p k(k=0,…,m)是依此类推，方程（6）中的B样条小波ψm(x)有一个两尺度序列q k：函数支撑是在本分析中，线性（m=2）B样条缩放/小波函数被用来作为WG基函数，这个函数形式如表1（a,b）。

2.2二维小波Galerkin方法中的标准位置描述在介绍WGM中裂纹问题的位置场之前，我们先看无裂纹下的位置表示。

j+1水平下的位置矢量u j+1(x)可以用j水平下的线性（二阶）B样条缩放/小波函数表示为图1：一维线性（二阶）B样条基：(a)缩放函数和（b）小波函数这里Φj,k,l(x)和Ψj,k,l i(x)是j水平下的缩放/小波函数，u j,k,l和v j,k,l i(i=1,2,3)是他们的系数。