小波变换基本方法
Matlab中的小波变换与小波包分析方法详解
Matlab中的小波变换与小波包分析方法详解引言近年来，小波变换在信号处理领域中得到了广泛的应用。
小波变换是一种能够捕捉信号时频特性的有效工具，可以用来分析、压缩和去噪各种类型的信号。
本文将详细介绍Matlab中的小波变换和小波包分析方法，以帮助读者更好地理解和应用这一强大的信号处理技术。
一、小波变换（Wavelet Transform）小波变换是一种将信号分解成不同尺度的基函数的技术。
与传统的傅里叶变换相比，小波变换具有更好的时频局部化特性。
Matlab中提供了丰富的小波分析工具箱，可以方便地进行小波变换的计算。
1.1 小波基函数小波基函数是小波变换的基础。
不同类型的小波基函数适用于不同类型的信号。
在Matlab中，我们可以使用多种小波基函数，如Daubechies小波、Haar小波和Morlet小波等。
1.2 小波分解小波分解是指将信号分解成多个尺度的小波系数。
通过小波分解，我们可以获取信号在不同尺度上的时频特性。
Matlab中提供了方便的小波分解函数，例如'dwt'和'wavedec'。
1.3 小波重构小波重构是指根据小波系数重新构建原始信号。
通过小波重构，我们可以恢复原始信号的时域特性。
在Matlab中，可以使用'idwt'和'waverec'函数进行小波重构。
二、小波包分析（Wavelet Packet Analysis）小波包分析是对小波变换的进一步扩展，它允许对信号进行更精细的分解和重构。
小波包分析提供了一种更灵活的信号分析方法，能够获得更详细的时频特性。
2.1 小波包分解小波包分解是指将信号分解成具有不同频带的小波包系数。
与小波分解相比，小波包分解提供了更高的分辨率和更详细的频谱信息。
在Matlab中，可以使用'wavedec'函数进行小波包分解。
2.2 小波包重构小波包重构是根据小波包系数重新构建原始信号。
如何使用小波变换进行信号频谱分析
如何使用小波变换进行信号频谱分析引言信号频谱分析是一种重要的信号处理技术，可以帮助我们了解信号的频率特性。
在信号处理领域，小波变换是一种常用的方法，可以有效地分析非平稳信号的频谱特性。
本文将介绍小波变换的原理、方法和应用，以及如何使用小波变换进行信号频谱分析。
一、小波变换的原理小波变换是一种时频分析方法，通过将信号分解成不同尺度和频率的小波基函数，来描述信号的时频特性。
小波基函数是一组具有局部性质的函数，可以在时域和频域上进行精确的定位。
小波变换的核心思想是将信号分解成不同频率的小波系数，然后通过对小波系数的分析，得到信号的频谱特性。
二、小波变换的方法小波变换有多种方法，常用的有连续小波变换（CWT）和离散小波变换（DWT）。
连续小波变换是对信号进行连续的尺度和平移变换，可以得到连续的小波系数。
离散小波变换是对信号进行离散的尺度和平移变换，可以得到离散的小波系数。
在实际应用中，离散小波变换更为常用，因为它具有计算效率高、实现简单等优点。
三、小波变换的应用小波变换在信号处理领域有广泛的应用，其中之一就是信号频谱分析。
通过对信号进行小波变换，可以得到信号在不同频率上的能量分布情况，进而分析信号的频谱特性。
小波变换还可以用于信号去噪、边缘检测、特征提取等方面的应用。
例如，在音频处理中，可以使用小波变换来分析音频信号的频谱特性，从而实现音频的降噪和音乐特征提取等功能。
四、使用小波变换进行信号频谱分析的步骤1. 选择合适的小波基函数：小波基函数的选择是进行小波变换的关键，不同的小波基函数适用于不同类型的信号。
常用的小波基函数有Daubechies小波、Haar小波等。
根据信号的特点选择合适的小波基函数。
2. 进行小波分解：将待分析的信号进行小波分解，得到信号在不同频率上的小波系数。
小波分解可以使用离散小波变换进行，得到离散的小波系数。
3. 分析小波系数：对小波系数进行分析，可以得到信号在不同频率上的能量分布情况。
小波变换的多尺度分析方法及实现步骤
小波变换的多尺度分析方法及实现步骤引言：小波变换是一种信号处理技术，它能够将信号分解成不同尺度的频率成分，从而实现对信号的多尺度分析。
本文将介绍小波变换的基本原理、多尺度分析方法以及实现步骤。
一、小波变换的基本原理小波变换是一种时间和频率的联合变换方法，它将信号分解成一系列的小波函数。
与傅里叶变换相比，小波变换具有更好的时频局部性，能够更准确地描述信号的瞬时特征。
小波变换的基本原理是通过将信号与小波函数进行内积运算，得到信号在不同尺度和位置上的频率成分。
小波函数是一种具有局部化特征的函数，它在时域和频域上都有一定的局部性。
二、多尺度分析方法小波变换的多尺度分析方法主要包括连续小波变换和离散小波变换两种。
1. 连续小波变换（CWT）连续小波变换是将信号与连续小波函数进行内积运算，得到信号在不同尺度和位置上的频率成分。
连续小波变换具有较好的时频分辨率，但计算量较大。
2. 离散小波变换（DWT）离散小波变换是将信号进行离散化处理后，与离散小波函数进行内积运算，得到信号在不同尺度和位置上的频率成分。
离散小波变换具有较好的计算效率，适用于实际应用中的信号处理。
三、实现步骤小波变换的实现步骤主要包括信号预处理、小波函数选择、小波变换计算和结果分析等。
1. 信号预处理在进行小波变换之前，需要对信号进行预处理，包括去除噪声、归一化处理等。
预处理的目的是提高小波变换的精度和稳定性。
2. 小波函数选择选择合适的小波函数对信号进行分析是小波变换的关键。
常用的小波函数有高斯小波、Morlet小波、Daubechies小波等。
选择小波函数时需要考虑信号的特性和分析的目的。
3. 小波变换计算根据选择的小波函数，对信号进行小波变换计算。
连续小波变换可以通过积分运算实现，离散小波变换可以通过快速小波变换算法实现。
4. 结果分析对小波变换的结果进行分析和解释。
可以通过频谱图、小波系数图等方式对信号的频率成分和时域特征进行分析。
结论：小波变换是一种有效的多尺度分析方法，能够在时频域上对信号进行精确的分析。
使用小波变换进行目标检测与识别的方法与技巧
使用小波变换进行目标检测与识别的方法与技巧引言：目标检测与识别是计算机视觉领域的重要研究方向之一。
随着人工智能技术的不断发展，小波变换作为一种有效的信号处理方法，被广泛应用于目标检测与识别中。
本文将介绍使用小波变换进行目标检测与识别的方法与技巧。
一、小波变换简介小波变换是一种时频分析方法，它能够将信号分解为不同尺度的频率成分。
与傅里叶变换相比，小波变换具有更好的时频局部性，能够更好地捕捉信号的时域和频域特征。
因此，小波变换在目标检测与识别中具有独特的优势。
二、小波变换在目标检测中的应用1. 尺度空间分析小波变换能够将信号分解为不同尺度的频率成分，在目标检测中可以通过分析不同尺度下的信号特征来实现目标的定位与识别。
例如，可以利用小波变换将图像分解为多个尺度的频域图像，然后通过分析不同尺度下的图像特征来进行目标检测。
2. 特征提取小波变换可以将信号分解为不同频率的子带，每个子带都包含了不同频率范围内的信号特征。
在目标检测中，可以利用小波变换将图像分解为多个频域子带，然后提取每个子带的特征，用于目标的检测与识别。
常用的特征提取方法包括小波包变换、小波能量谱等。
三、小波变换在目标识别中的应用1. 模式匹配小波变换可以将信号分解为不同尺度的频率成分，每个尺度都包含了不同频率范围内的信号特征。
在目标识别中，可以利用小波变换将目标信号与模板信号进行匹配，通过计算匹配度来实现目标的识别。
常用的匹配方法包括小波相关匹配、小波距离匹配等。
2. 特征分类小波变换可以将信号分解为不同频率的子带，每个子带都包含了不同频率范围内的信号特征。
在目标识别中，可以利用小波变换将目标信号分解为多个频域子带，然后提取每个子带的特征，用于目标的分类与识别。
常用的分类方法包括小波神经网络、小波支持向量机等。
结论：小波变换作为一种有效的信号处理方法，在目标检测与识别中具有重要的应用价值。
通过尺度空间分析和特征提取，可以利用小波变换实现目标的定位与识别。
小波分析连续小波变换
小波分析连续小波变换小波分析是一种用于信号处理和数据分析的强大工具，可以在时频域上对信号进行局部化分析。
连续小波变换是小波分析的一种常用方法，它将信号分解成不同频率和尺度的小波成分，从而揭示出信号的时间和频率特征。
在本文中，我们将介绍连续小波变换的原理、方法和应用，并对其进行详细分析。
连续小波变换的原理可以用数学公式表示为：CWT(a,b) = \int f(t)\psi_{a,b}(t)dt\]其中，\(CWT(a,b)\)表示连续小波变换的系数，\(f(t)\)表示原始信号，\(\psi_{a,b}(t)\)表示小波基函数。
小波基函数可以由母小波函数进行缩放和平移得到，其中缩放因子\(a\)控制小波的频率，平移因子\(b\)控制小波的相位。
连续小波变换有许多不同的小波基函数可供选择，常用的有Morlet 小波、Haar小波、Daubechies小波等。
每种小波基函数都有自己的频率和尺度特性，适用于不同类型的信号分析。
连续小波变换方法的基本步骤如下：1.选择合适的小波基函数和尺度范围。
2.将原始信号进行滤波和下采样，得到不同尺度的近似信号。
3.将原始信号与小波基函数进行卷积，得到不同频率和尺度的细节信号。
4.重复步骤2和步骤3，直到得到满足要求的小波系数。
连续小波变换的应用十分广泛，包括信号分析、图像处理、模式识别等领域。
下面我们将以信号分析为例，详细介绍连续小波变换的应用。
在信号分析中，连续小波变换可以用来检测信号中的瞬时特征、变化点和周期变化。
通过对信号进行小波变换，可以得到不同尺度的频谱信息，从而揭示出信号的时频特征。
例如，在生物医学信号分析中，连续小波变换可以用来检测心电图中的心跳和呼吸节律，从而帮助医生对心脏和呼吸系统的功能进行评估和诊断。
同时，连续小波变换还可以用于脑电图分析、肌电图分析等领域。
在工程领域，连续小波变换也有重要的应用。
例如，在机械故障诊断中，连续小波变换可以用来分析振动信号，从而检测机械设备中的故障和异常。
小波包变换的基本原理和使用方法
小波包变换的基本原理和使用方法引言：小波包变换（Wavelet Packet Transform）是一种信号分析技术，它在小波变换的基础上进一步拓展，能够提供更丰富的频域和时域信息。
本文将介绍小波包变换的基本原理和使用方法，帮助读者更好地理解和应用这一技术。
一、小波包变换的基本原理小波包变换是一种多分辨率分析方法，它利用小波基函数对信号进行分解和重构。
与传统的傅里叶变换相比，小波包变换能够提供更精细的频域和时域信息，适用于非平稳信号的分析。
小波包变换的基本原理如下：1. 信号分解：首先将原始信号分解为不同频率的子信号，通过迭代地将信号分解为低频和高频部分，形成小波包树结构。
2. 小波基函数：在每一层分解中，选取合适的小波基函数进行信号分解。
小波基函数具有局部性和多分辨率特性，能够更好地捕捉信号的局部特征。
3. 分解系数：分解过程中，每个子信号都会生成一组分解系数，用于表示信号在不同频率上的能量分布。
分解系数可以通过滤波和下采样得到。
二、小波包变换的使用方法小波包变换在信号处理领域有广泛的应用，包括信号去噪、特征提取、模式识别等。
下面将介绍小波包变换的常见使用方法。
1. 信号去噪：小波包变换可以提供更丰富的频域和时域信息，因此在信号去噪领域有较好的效果。
通过对信号进行小波包分解，可以将噪声和信号分离，然后对噪声进行滤波处理，最后通过重构得到去噪后的信号。
2. 特征提取：小波包变换可以提取信号的局部特征，对于信号的频率变化和时域特征有较好的描述能力。
通过对信号进行小波包分解，可以得到不同频率下的分解系数，进而提取出信号的主要特征。
3. 模式识别：小波包变换在模式识别中也有广泛的应用。
通过对信号进行小波包分解，可以得到不同频率下的分解系数，进而提取出信号的特征向量。
利用这些特征向量，可以进行模式分类和识别。
4. 压缩编码：小波包变换可以将信号进行有效的压缩编码。
通过对信号进行小波包分解，可以将信号的主要信息集中在少量的分解系数中，从而实现信号的压缩。
数字信号处理中的小波变换方法
数字信号处理中的小波变换方法在数字信号处理领域，小波变换（Wavelet Transform）被广泛应用于信号的分析和处理。
它是一种非平稳信号分析的有效工具，具有时频局部化特性和多分辨率分析能力。
本文将介绍小波变换的原理、常用方法以及在数字信号处理中的应用。
一、小波变换的原理小波变换是一种基于小波函数的信号分析方法，通过在时间和频率上对信号进行多尺度分解，将信号分解为不同频率成分。
小波函数是一组具有特定性质的函数，可以用于描述信号的时频特征。
小波变换的数学表达式为：$$ \psi_{a,b}(t) = \frac{1}{\sqrt{a}}\psi\left(\frac{t-b}{a}\right) $$其中，$\psi(t)$为小波函数，$a$和$b$为尺度参数和平移参数，$\psi_{a,b}(t)$表示对信号进行尺度为$a$、平移为$b$的小波变换。
二、常用的小波变换方法1. 连续小波变换（Continuous Wavelet Transform，CWT）连续小波变换是小波变换最基本的形式，它对信号进行连续尺度的分解，能够提取信号在不同频率下的时域特征。
连续小波变换具有良好的时频局部化性质，但计算复杂度较高。
2. 离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）离散小波变换是对连续小波变换的离散化处理，通过有限个尺度和平移参数对信号进行分解。
离散小波变换可以通过滤波器组实现，具有快速计算和多分辨率特性。
常用的离散小波变换方法有基于Mallat 算法的一维和二维离散小波变换。
3. 快速小波变换（Fast Wavelet Transform，FWT）快速小波变换是对离散小波变换的改进，利用滤波器组的特殊性质实现高效的计算。
快速小波变换可以通过嵌套的低通和高通滤波器实现信号的分解和重构，大大减少计算复杂度。
三、小波变换在数字信号处理中的应用1. 信号压缩小波变换能够提取信号的局部特征，并且通过选择合适的小波系数进行信号重构，可以实现信号的压缩。
如何使用小波变换进行图像分割
如何使用小波变换进行图像分割图像分割是图像处理中的一项重要任务，它旨在将图像划分为具有相似属性的不同区域。
在图像分割中，小波变换是一种常用的方法，它可以在不同尺度上对图像进行分析和处理。
本文将介绍如何使用小波变换进行图像分割，并探讨其优势和应用。
一、小波变换的基本原理小波变换是一种时频分析方法，它可以将信号分解为不同频率的子信号，并提供了对信号局部特征的描述。
在图像分割中，我们可以将图像看作是一个二维信号，通过小波变换可以将图像分解为不同尺度和方向的子图像。
二、小波变换的图像分割方法1. 多尺度分割小波变换可以将图像分解为不同尺度的子图像，这些子图像可以提供图像的局部特征信息。
通过选择适当的小波基函数和分解层数，我们可以获取不同尺度上的图像细节信息。
根据这些细节信息，我们可以对图像进行多尺度分割，将不同尺度的图像区域分割出来。
2. 纹理分割小波变换对图像的纹理特征具有很好的描述能力。
通过对图像进行小波变换，我们可以获取不同尺度上的纹理信息。
然后，通过对纹理信息进行分析和处理，可以将图像中具有相似纹理的区域分割出来。
3. 边缘分割小波变换对图像的边缘特征也有很好的描述能力。
通过对图像进行小波变换，我们可以获取不同尺度上的边缘信息。
然后，通过对边缘信息进行分析和处理，可以将图像中的边缘区域分割出来。
三、小波变换图像分割的优势1. 多尺度分析小波变换可以在不同尺度上对图像进行分析，从而可以获取图像的多尺度特征信息。
这使得小波变换在图像分割中具有很大的优势，可以更好地捕捉图像的细节和局部特征。
2. 鲁棒性小波变换对图像的噪声和干扰具有较好的鲁棒性。
通过对图像进行小波变换，可以将噪声和干扰分离出来，并进行相应的处理。
这使得小波变换在图像分割中具有较好的抗噪性能。
3. 高效性小波变换是一种基于快速算法的图像处理方法，具有较高的计算效率。
通过合理选择小波基函数和分解层数，可以在保持较好分割效果的前提下，降低计算复杂度，提高处理速度。
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缩平移得到的
j k
x
2jxk
kj
x
,
j k
x
构成Vj+1的正交基。
x和 x 满足下列关系式(二尺度方程)：
x 2ln2x n nZ
x 2 hn2x n nZ
其中ln称为低通滤波器，hn称为高通滤波器。
且hn＝1nl1 n
信号的多尺度分解：
J
f
x
cn0
x
n
ckJ
kJ
x
d
kj
J k
j0
jmodM ,
y
x 0,1,, M 1; y 0,1,, N 1 2ILຫໍສະໝຸດ x,y 1 Nl
Nl 1
liIL x,2x imod N
i0
I LH
x,
y
1 Nh
Nh 1
h
j0
jIL x, 2x
jmod N
I HL x,
y
1 Nl
Nl 1
liIH x,2x imod N
i0
1.1 一维小波变换（一维多尺度分析）
设有L2(R )空间的子空间序列：
V0 V1 V2
Vj 的正交基函数是由一个称为尺度函数的函数(x)经伸缩
平移得到的
kj x 2 j x k
设Wj 是Vj 相对于Vj+1的正交补空间， (t) (2t) (2t 1)
Wj 的正交基函数是由一个称为小波函数的函数(x)经伸
IHH x,
y
1 Nh
Nh 1
h jIH
j0
x, 2 x
jmod N
x 0,1,, M 1; y 0,1,, N 1
2
2
对逼近子图重复此过程，直到确定的分解水平，下 图是二层小波分解的示意图。
图6 图像多尺度分解，(a)一层分解，(b)二层分解
图像的小波特征提取首先对输入图像做J层二维
伸缩
X[0,1/ 4) (t) X[0,1) (22t)
引入记号： (t) X[0,1) (t)
定义：
j,k (t) (2 j t k)
k 0,1,,2 j 1
可得： 0,0 (t)
1,0
(2t )
1 0
0 t 1/ 2
其它
1,1
(2t
1)
1 0
1/ 2 t 1
其它
f (t) x12,0 (t) x22,1(t) x32,2 (t) x42,3(t)
f (t) x1X[0,1/ 4) (t) x2 X[1/ 4,1/ 2) (t) x3 X[1/ 2,3 / 4) (t) x4 X[3 / 4,1) (t)
平移 X[1/ 4,1/ 2) (t) X[0,1/ 4) (t 1/ 4) X[1/ 2,3 / 4) (t) X[0,1/ 4) (t 1/ 2) X[3 / 4,1) (t) X[0,1/ 4) (t 3 / 4)
小波分解；
因为小波变换具有很好的时频局部化特性，所 以可以将图像的不同底层特征变换为不同的小波系 数；
输入图像经过经一层小波分解后，被分成4个子 图：
➢ LL1—逼近子图，它代表输入图像水平和垂直
两个方向的低频成分；
➢ HL1—细节子图，它代表输入图像水平方向的
高频成分和垂直方向的低频成分；
➢ LH1—细节子图，它代表输入图像水平方向的
平均与细节
{x1，x2，x3，x4}－最高分辨率信息 {a1,0,a1,1}－次高分辨率低频信息 {d1,0,d1,1}－次高分辨率细节信息 {a0,0}－最低分辨率低频信息 {d0,0}－最低分辨率细节信息
{x1，x2，x3，x4}的小波变换{a0,0,d0,0,d1,0,d1,1}由整体 平均和两个不同分辨率的细节信息构成
LL x, y xy; LH x, y x y; HLx, y xy; HH x, y x y
图像的二维小波变换包括沿行向(水平方向)和列向(垂直 方向)滤波和2-下采样，如图所示：
图5 图像滤波采样
说明：如图所示，首先对原图像I(x,y)沿行向(水平 方向)进行滤波和2->1下采样，得到系数矩阵IL(x,y) 和IH(x,y)，然后再对IL(x,y)和IH(x,y)分别沿列向(垂 直方向)滤波和2->1下采样，最后得到一层小波分 解的4个子图：
I4(x,y) [8 8]
I4H(x,y) [8 8]
I4V(x,y) [8 8]
图7 图像I(x,y)的多尺度分解
I4D(x,y) [8 8]
小波基的选取一般考虑下列因素：
线性相位：如果小波具有线性相位或至少具有广义线性 相位，则可以避免小波分解和重构时的图像失真，尤其是 图像在边缘处的失真；
ILL (x,y)—I(x,y)的（粗）逼近子图 IHL(x,y) — I(x,y)的水平方向细节子图 ILH (x,y) — I(x,y)的垂直方向细节子图 IHH (x,y) — I(x,y)的对角线方向细节子图
二维金字塔分解算法
令I(x,y)表示大小为M N的原始图像，l(i)表示相对于分析
I(x,y) [128 128]
I1(x,y) [64 64] I1H(x,y) [64 64] I1V(x,y) [64 64] I1D(x,y) [64 64]
I2(x,y) [32 32] I2H(x,y) [32 32] I2V(x,y) [32 32] I2D(x,y) [32 32]
I3(x,y) [16 16] I3H(x,y) [16 16] I3V(x,y) [16 16] I3D(x,y) [16 16]
a1,1 (x3 x4 ) / 2
d1,1 (x3 x4 ) / 2
信号可以表示为：{a1,0,a1,1,d1,0,d1,1}
丢失细节信号压缩为： {a1,0,a1,1}
a0,0 (a1,0 a1,1 ) / 2
d 0,0 (a1,0 a1,1 ) / 2
信号可进一步表示为：{a0,0, d0,0} 丢失细节信号压缩为： {a0,0} a0,0 (x1 x2 x3 x4 ) / 4
x1 a d
x2 a -d
当x1与x2非常接近时，一维信号{x1，x2}可近似的用{a}表 示，可实现信号压缩。
a可以看成信号的整体信息
d可看成原信号用a表示时丢失的细节信息
平均与细节
对多元素信号{x1，x2，x3，x4}
a1,0 (x1 x2 ) / 2
d1,0 (x1 x2 ) / 2
小波的低通滤波器系数，i=0,1,2,…,Nl-1， Nl表示滤波器L的 支撑长度； h(i)表示相对于分析小波的高通滤波器系数，
i=0,1,2,…,Nh-1， Nh表示滤波器H的支撑长度，则
IL x,
y
1 Nl
Nl 1
liI 2x imodM ,
i0
y
I H
x,
y
1 Nh
Nh 1
h jI 2x
函数可以由一个尺度函数的伸缩与平移的线性组合表示
同理，对小波变换
1
(t) X[0,1/ 2) (t) X[1/ 2,1) (t) 1
0
伸缩和平移
0 t 1/ 2
1/ 2 t 1
其它
序列的多分辨率表示：
f (t) a0,0 0,0 (t) d0,0 0,0 (t) d1,01,0 (t) d1,11,1(t)
0. 4
0. 2
0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8
1/2Ψ（2t-t0）
-1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
+
1
0. 8
0. 6
0. 4
0. 2 0
-0. 2 -0. 4
2/3Ψ（4t-t1）
-0. 6
-0. 8
-1 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
像Ψ(t)这样，有限长且均值为0的函数称为小波函数。 常用的小波函数如下图：
1. 小波变换
➢ 小波变换既有频率分析的性质，又能表示发生 的时间，有利于分析确定时间发生的现象，傅立 叶变换只具有频率分析的性质。
➢小波变换的多分辨率的变换，有利于各分辨度 不同特征的提取（图像压缩、边缘抽取、噪声过 滤）。 ➢ 小波变换一个信号为一个小波级数，这样一个 信号可由小波系数来刻画。 ➢小波变换速度比傅立叶快一个数量级，长度为M 的信号，计算复杂度：
x
nZ
k
j1 k
ckj
称为尺度系
数，d
j k
称为
小波系数，它们的计算：
ckj
d
j k
nZ nZ
ckj
1l
n
2k
d
j k
1hn
2k
一维MALLAT算法
1.2 二维小波变换（二维多尺度分析）
二维小波变换是由一维小波变换扩展而来的，二维尺度 函数和二维小波函数可由一维尺度函数和小波函数张量 积得到，即：
傅立叶变换： Of M log 2 M
小波变换：
Ow M
设有信号f(t):
其傅里叶变
换为F(jΩ):
即：
f (t) 1 F( j)e jtd
2
=
1
0. 8
0. 6
0. 4
0. 2
0 -0. 2 -0. 4 -0. 6
Ψ（t）
-0. 8
-1 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
+
1
0. 8
0. 6