高中数学点、直线、平面之间的位置关系知识点归纳与常考题型专题汇总(附解析)
内。
（即直线在平面内，或者平面经过直线）
应用： 检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内
用符号语言表示公理 1： A l 直线上的三点，有且只有一个平面。
推论： 一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一
平面。
公理 2 及其推论作用： ①它是空间内确定平面的依据
（2）在异面直线所成角定义中，空间一点 O 是任取的，而和点 O 的位置无关。
②求异面直线所成角步骤：
A 、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点
选在特殊的位置上。
B、证明作出的角即为所求角
C、利用三角形来求角
（ 7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。
成的图形）是直二面角（平面角是直角） ，就说这两个平面垂直。
（ 2）垂直关系的判定和性质定理
①线面垂直判定定理和性质定理
判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， 那么这条直线垂直这个平面。
性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
②面面垂直的判定定理和性质定理
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
与 AC 1 所成的角等于（
）
A． 30°B．45°C． 60°D．90°
6．如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，∠ABC= ∠ BAD=90°，BC=2AD ，△PAB 和△PAD
都是等边三角形，则异面直线 CD 与 PB 所成角的大小为（
）
A． 90°B．75°C． 60°D．45° 7．如图，正棱柱 ABCD ﹣A 1B1C1D1 中， AA 1=2AB ，则异面直线 A1B 与 AD 1 所
线线平行 线面平行
线面平行的性质定理： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，
那么这条直线和交线平行。线面平行
线线平行
（ 2）平面与平面平行的判定及其性质
两个平面平行的判定定理
（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
（线面平行 → 面面平行），
）
A．若 m⊥ n，n∥α，则 m⊥α B．若 m∥ β， β⊥ α，则 m⊥ α
C．若 m⊥β，n⊥β， n⊥α，则 m⊥α D．若 m⊥n，n⊥β，β⊥α，则 m⊥α
3．已知 m，n 是两条不同直线， α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是
（）
A．若 m∥ α，n∥α，则 m∥n B．若 α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β
成角的余弦值为（
）
A． B． C． D．
8．平面 α过正方体 ABCD ﹣A 1B1C1D1 的顶点 A ，α∥平面 CB1D1， α∩平面
ABCD=m ，α∩平面 ABB 1A 1=n，则 m、 n 所成角的正弦值为（
）
A． B ． C． D．
9．正四棱锥 P﹣ABCD 的底面积为 3，体积为 ，E 为侧棱 PC 的中点，则 PA
3、空间中的垂直问题
（ 1）线线、面面、线面垂直的定义
①两条异面直线的垂直： 如果两条异面直线所成的角是直角， 就说这两条异面直线互相垂直。
②线面垂直： 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直， 直。
就说这条直线和这个平面垂
③平面和平面垂直： 如果两个平面相交， 所成的二面角 （从一条直线出发的两个半平面所组
高中数学点、直线、平面之间的位置关系 知识点归纳与常考题型专题汇总
知识点：
1、空间点、直线、平面的位置关系 （ 1）平面
① 平面的概念： A. 描述性说明； B. 平面是无限伸展的；
② 平面的表示： 通常用希腊字母 α、β、γ表示，如平面 α（通常写在一个锐角内） ；
也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面
（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。 （线线平行 → 面面平行），
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，
两个平面平行的性质定理
（1）如果两个平面平行， 那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。 （面面平行 →线面平
行）
（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交， 那么它们的交线平行。 （面面平行 → 线线平行）
①二面角的定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，
这条直线叫做二
面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
②二面角的平面角： 以二面角的棱上任意一点为顶点， 在两个 面．内．分别作 垂．直．于．棱的两条射 线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。
③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。
④ 异面直线所成角 ：直线 a、 b 是异面直线，经过空间任意一点 O，分别引直线 a’∥ a， b’
∥b，则把直线 a’和 b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线 a 和 b 所成的角。两条异面直线
所成角的范围是（ 0°， 90°] ，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这
两条异面直线互
相垂直。
说明 ：（ 1）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义；②异面直线的判定定理
（ 8）空间直线与平面之间的位置关系 直线在平面内 —— 有无数个公共点．
三种位置关系的符号表示： a α a∩α＝A a∥ α
（ 9）平面与平面之间的位置关系： 平行 —— 没有公共点； α∥β
相交 —— 有一条公共直线。 α∩β＝b
2、空间中的平行问题 （ 1）直线与平面平行的判定及其性质
线面平行的判定定理 ：平面外一条直线与此平面内一条直线平行 ,则该直线与此平面平行。
C．若 m∥α，m ∥β，则 α∥β D．若 m⊥α，n⊥ α，则 m∥n
4．如图，在下列四个正方体中， A ，B 为正方体的两个顶点， M ，N，Q 为所在
棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是（
）
A．
B．
C
．
D．
5．直三棱柱 ABC ﹣A 1B1C1 中，若∠ BAC=9°0 ，AB=AC=AA 1，则异面直线 BA 1
a , b ，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所
成的角。
（ 2）直线和平面所成的角
①平面的平行线与平面所成的角： 规定为 0 。 ②平面的垂线与平面所成的角： 规定为 90 。
③平面的斜线与平面所成的角： 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，
叫做这条
直线和这个平面所成的角。
③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。
（ 5）公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行
（ 6）空间直线与直线之间的位置关系
① 异面直线定义： 不同在任何一个平面内的两条直线
② 异面直线性质 ：既不平行，又不相交。
③ 异面直线判定： 过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线
求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：
“一作，二证，三计算 ”。
在“作角 ”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，
在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息： （ 1）斜线上一点到面的垂线； （ 2）过斜线上的一
点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。
（ 3）二面角和二面角的平面角
BC 。
③ 点与平面的关系： 点 A 在平面 内，记作 A ；点 A 不在平面 内，记作 A
点与直线的关系： 点 A 的直线 l 上，记作： A∈ l； 点 A 在直线 l 外，记作 A l；
直线与平面的关系 ：直线 l 在平面 α内，记作 l α；直线 l 不在平面 α内，记作 l α。 （ 2）公理 1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面
②它是证明平面重合的依据
（ 4）公理 3： 如果两个不重合的平面有一个公共点 ,那么它们有且只有一条过该点的公共直
线
符号： 平面 α和 β相交，交线是 a，记作 α∩β＝ a。
符号语言： P A B A B l, P l
公理 3 的作用：
①它是判定两个平面相交的方法。
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。
性质定理： 如果两个平面互相垂直， 那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一
个平面。
4、空间角问题 （ 1）直线与直线所成的角
①两平行直线所成的角：规定为 0 。 ②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。
③两条异面直线所成的角：过空间任意一点
O，分别作与两条异面直线 a，b 平行的直线
两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平
面垂直，那么所成的二面角为直二面角
④求二面角的方法
定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角
垂面法： 已知二面角内一点到两个面的垂线时， 过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为
二面角的平面角
常考题：
一．选择题（共 11 小题）
1．已知直线 l⊥平面 α，直线 m? 平面 β，给出下列命题
① α∥ β=⊥l m；
② α⊥ β? l ∥m；
③ l∥m? α⊥β；
④ l⊥m? α∥β．
其中正确命题的序号是（
）
A．①②③ B．②③④ C．①③ D．②④
2．设 m、n 是两条不同的直线， α，β是两个不同的平面，则（
高中数学必修《点直线平面之间的位置关系》知识点
高中数学必修《点直线平面之间的位置关系》知识点高中数学必修的《点直线平面之间的位置关系》是一个重要的几何知识点，主要涉及直线与平面、点与直线、点与平面之间的位置关系。
这个知识点对于理解几何图形的形状和性质具有重要作用，也为后续的三角函数、向量等知识打下基础。
下面将详细介绍该知识点的内容。
一、直线与平面的位置关系1.平面方程：平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C为不能同时为0的实数，A、B、C为平面的法向量，D为常数项。
2.直线与平面的位置关系：(1)直线与平面相交：直线与平面相交可以有一个交点，也可以有无穷多个交点。
(2)直线含于平面：如果直线的所有点都在平面上，则直线被称为含于平面。
(3)直线与平面平行：如果直线与平面的交点集为空集，则直线与平面平行。
(4)直线与平面垂直：如果直线与平面的任意一条直线都垂直，则直线与平面垂直。
二、点与直线的位置关系1.点与直线的距离：点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)。
2.点到线段的距离：点P到线段AB的距离：(1)如果P在AB的延长线上，则距离为AP或BP的长度。
(2)如果P在线段AB的两边，则距离为点P到线段AB所在直线的距离。
(3)如果P在线段AB上，则距离为0。
三、点与平面的位置关系1.点在平面上：点P(x0,y0,z0)在平面Ax+By+Cz+D=0上的充要条件是Ax0+By0+Cz0+D=0。
2.点到平面的距离：点P到平面Ax+By+Cz+D=0的距离公式为d=，Ax0+By0+Cz0+D，/√(A^2+B^2+C^2)。
3.点关于平面的对称点：点P(x0,y0,z0)关于平面Ax+By+Cz+D=0的对称点的坐标为：(x',y',z')=(x0-2*Ax0/（A^2+B^2+C^2）,y0-2*By0/（A^2+B^2+C^2）,z0-2*Cz0/（A^2+B^2+C^2）)。
2023年高中数学基础知识梳理及基础题型归纳-立体几何模块-第二节 点、线、面的位置关系
第二节点、线、面的位置关系【知识点5】平面的概念及点、线、面之间的位置关系2. 点、线、面之间的位置关系点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达1.平面的概念(1)平面的概念：广阔的草原、平静的湖面都给我们以平面的形象．和点、直线一样，平面也是从现实世界中抽象出来的几何概念．(2)平面的画法：一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来.(3)平面的表示方法平面通常用希腊字母α，β，γ…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如图中的平面α、平面AC等．3.平面的基本性质【典例讲解】类型一、符号表示问题【例1】（点、直线、平面之间的位置关系的符号表示）如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．【反思】(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．【变式1】若点A在直线b上，b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系可以记作________．(填序号)①A∈b∈β；②A∈b⊂β；③A⊂b⊂β；④A⊂b∈β.【变式2】空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是______．【思考1】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么正方体经过P，Q，R的截面图形是________．【变式1】如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线．类型二、点线共面问题【例2】（点线共面）如图，已知：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α.【变式1】求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内．【反思】证明多线共面的两种方法(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合．【变式2】已知l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C，如图所示．求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．类型三，点共线、线共点问题【例3】（点共线）如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．【反思】证明多点共线通常利用公理2，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在直线上．【变式1】已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示．求证：P，Q，R三点共线．【变式2】若直线l 与平面α相交于点O ，A ，B ∈l ，C ，D ∈α，且AC ∥BD ，则O ，C ，D 三点的位置关系是________．【例4】（线共点问题）如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点．求证：CE ，D 1F ，DA 三线交于一点．【反思】 证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上．此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．【变式1】如图，已知D ，E 是△ABC 的边AC ，BC 上的点，平面α经过D ，E 两点，若直线AB 与平面α的交点是P ，则点P 与直线DE 的位置关系是________．【变式2】如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和CB 上的点，G ，H 分别是CD 和AD 上的点，且AE EB ＝CF FB ＝1，AH HD ＝CGGD＝2.求证：EH ，BD ，FG 三条直线相交于同一点．【知识点6】空间两条直线的位置关系典型例题异面直线的判断【例1】(1)在四棱锥P—ABCD中，各棱所在的直线互为异面的有________对．(2)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？【反思】(1)判断空间中两条直线位置关系的关键点①建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线．②重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系．(2)判定两条直线是异面直线的方法1.在同一平面内，两条直线位置关系：平行与相交．空间中，既不平行又不相交的两条直线叫做异面直线。
高中数学总复习：空间点、直线、平面之间的位置关系
练后悟通
共面、共线、共点问题的证明方法
目录
高中总复习·数学（提升版）
空间两条直线的位置关系
考向1 空间两条直线位置关系的判断
【例1】 （1）已知α，β，γ是三个平面，α∩β＝ a ，α∩γ＝ b ，β∩γ
＝ c ，且 a ∩ b ＝ O ，则下列结论正确的是（
）
A. 直线 b 与直线 c 可能是异面直线
1， F 四点共面.
目录
高中总复习·数学（提升版）
（2） CE ， D 1 F ， DA 三线共点；
证明：∵ EF ∥ CD 1， EF ＜ CD 1，
∴ CE 与 D 1 F 必相交，
设交点为 P ，如图所示.
则由 P ∈ CE ， CE ⊂平面 ABCD ，
得 P ∈平面 ABCD .
同理 P ∈平面 ADD 1 A 1.
D. 没有公共点
解析： 直线 m 与平面α平行，且直线 a ⊂α，则直线 m 和直线 a 的
位置关系可能平行，可能异面，即没有公共点，但不可能相交，故
选C.
目录
高中总复习·数学（提升版）
2. 如果直线 a ⊂平面α，直线 b ⊂平面β，且α∥β，则 a 与 b （
）
高中总复习·数学（提升版）
2. 在三棱锥 A - BCD 的边 AB ， BC ， CD ， DA 上分别取 E ， F ， G ， H
四点，如果 EF ∩ HG ＝ P ，则点 P （
）
A. 一定在直线 BD 上
B. 一定在直线 AC 上
C. 在直线 AC 或 BD 上
D. 不在直线 AC 上，也不在直线 BD 上
）
目录
高中总复习·数学（提升版）
2023年高中数学必修知识点总结点直线与平面的位置关系
高中数学必修2知识点总结02点、直线、平面旳位置关系点、直线、平面是构成空间几何体基本元素，研究它们之间旳性质以及互相之间旳位置关系，是研究空间几何体性质旳一般措施。
教材规定：理解空间中点、直线、平面旳位置关系；学会用数学语言表述有关平行、垂直旳鉴定与性质，并对某些结论进行论证；掌握直线和平面平行旳鉴定定理和性质定理；理解直线和平面垂直旳概念；掌握直线和平面垂直旳鉴定定理；掌握三垂线定理及其逆定理等一、直线与平面位置关系高考考试内容及考试规定：考试内容：1、平面及其基本性质；2、平行直线；对应边分别平行旳角；异面直线所成旳角；异面直线旳公垂线；异面直线旳距离；3、直线和平面平行旳鉴定与性质；直线和平面垂直旳鉴定与性质；点到平面旳距离；斜线在平面上旳射影；直线和平面所成旳角；三垂线定理及其逆定理；4、平行平面旳鉴定与性质；平行平面间旳距离；二面角及其平面角；两个平面垂直旳鉴定与性质；考试规定：1、掌握平面旳基本性质；可以画出空间两条直线、直线和平面旳多种位置关系旳图形，可以根据图形想像它们旳位置关系。
2、掌握两条直线平行与垂直旳鉴定定理和性质定理，掌握两条直线所成旳角和距离旳概念，对于异面直线旳距离，只规定会计算已给出公垂线时旳距离；3、掌握直线和平面平行旳鉴定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直旳鉴定定理和性质定理；掌握斜线在平面上旳射影、直线和平面所成旳角、直线和平面旳距离旳概念掌握三垂线定理及其逆定理；4、掌握两个平面平行旳鉴定定理和性质定理，掌握二面角、二面角旳平面角、两个平行平面间旳距离旳概念，掌握两个平面垂直旳鉴定定理和性质定理。
二、空间中旳平行关系课标规定：1．平面旳基本性质与推论借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面旳位置关系旳基础上，抽象出空间线、面位置关系旳定义，并理解如下可以作为推理根据旳公理和定理：◆公理1：假如一条直线上旳两点在一种平面内，那么这条直线在此平面内；◆公理2：过不在一条直线上旳三点，有且只有一种平面；◆公理3：假如两个不重叠旳平面有一种公共点，那么它们有且只有一条过该点旳公共直线； ◆公理4：平行于同一条直线旳两条直线平行；◆定理：空间中假如两个角旳两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
(完整版)点、直线、平面之间的位置关系知识点总结,推荐文档
点、直线、平面之间的位置关系一、线、面之间的平行、垂直关系的证明书中所涉及的定理和性质可分为以下三类：1、平行关系与平行关系互推；2、垂直关系与垂直关系互推；线面垂直判定定理线面垂直的定义两平面的法线垂直则两平面垂直面面垂直判定定理线面平行判定定理线面平行性质定理线面平行转化面面平行判定定理面面平行性质定理3、平行关系与垂直关系互推。
以线或面为元素，互推的本质是以某一元素为中介，通过另外两元素与中介元素的垂直或平行关系，推导出该两元素的关系，总共有21种情况，能得出结论的有以下9种情况。
线线平行传递性：；b c c a b a //////⇒⎭⎬⎫面面平行传递性：；γαβγβα//////⇒⎭⎬⎫线面垂直、线面垂直线面平行：；⇒ααββα//a a a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊥⊥线面垂直线线平行（线面垂直性质定理）：；⇒b a b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα线面垂直面面平行：；⇒βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥a a 线面垂直、面面平行线面垂直：；⇒βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a //线线平行、线面垂直线面垂直：；⇒αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a b a //线面垂直、线面平行面面垂直：。
⇒βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a //备注：另外证明平行关系时可以从最基本的定义交点入手，证明垂直关系时可以从最基本的定义角度入手。
符号化语言一览表①线面平行；；；ααα////a a b b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂αββα////a a ⇒⎭⎬⎫⊂ααββα//a a a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊥⊥②线线平行:；；；；////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭ b a b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭b c c a b a //////⇒⎭⎬⎫③面面平行:；；；,////,//a b a b O a b αααβββ⊂⊂⎫⎪=⇒⎬⎪⎭βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥a a γαβγβα//////⇒⎭⎬⎫④线线垂直:；b a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα⑤线面垂直:；；,,a b a b O l l a l b ααα⊂⊂⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊥⊥⎭,l a a a l αβαββα⊥⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭ ；；βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a //αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a b a //⑥面面垂直：二面角900; ；；βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊂a a βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a //二、立体几何中的重要方法1、求角：（步骤-------Ⅰ找或作角；Ⅱ求角）⑴异面直线所成角的求法：①平移法：平移直线，构造三角形；②补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间的关系．注：还可用向量法，转化为两直线方向向量的夹角．⑵直线与平面所成的角：①直接法（利用线面角定义）；②先求斜线上的点到平面距离h ，与斜线段长度作比，得sin ；③三线三角公式．θ12cos cos cos θθθ=注：还可用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角．⑶二面角的求法：①定义法：在二面角的棱上取一点（特殊点），作出平面角，再求解；②垂面法：作面与二面角的棱垂直； ③投影法（三垂线定理）；④面积摄影法．注：对于没有给出棱的二面角，应先作出棱，然后再选用上述方法；还可用向量法，转化为两个班平面法向量的夹角．2、求距离：（步骤-------Ⅰ找或作垂线段；Ⅱ求距离）⑴两异面直线间的距离：一般先作出公垂线段，再进行计算；或转化为线面距离、点面距离；⑵点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线段，再求解；⑶点到平面的距离：①垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段（确定已知面的垂面是关键），再求解；②等体积法；还可用向量法：．||n d =3、证明平行、垂直的理论途径：①证明直线与直线的平行的思考途径：（1）转化为判定共面二直线无交点（定义）；（2）转化为两直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行．②证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点（定义）；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行．③证明平面与平面平行的思考途径：（1）转化为判定两平面无公共点（定义）；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直．④证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直．⑤证明直线与平面垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直（定义）；（2）转化为该直线与平面内相交的两条直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面交线垂直．⑥证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直．。
点、直线、平面之间的位置关系(知识梳理)
的位置关系-@>% )一平面1.平面的概念平面是一个只描述而不加定义的最基本的原始概念,常见的桌面㊁黑板面㊁海面都给我们以平面的形象.立体几何里所说的平面就是从这样一些物体中抽象出来的.但是几何里所说的平面是无限延展的.2.平面的基本性质三个公理及公理2的三个推论如下:公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内.公理2:经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面.推论1:经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.公理3:如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.二空间两条直线的位置关系1.空间两条直线的位置关系(1)相交直线:在同一平面内,有且仅有一个公共点.(2)平行直线:在同一平面内,没有公共点.(3)异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点.(4)异面直线所成的角:如图51所示,直线a ,b是异面直线,经过空间一点O ,分别引直线a 'ʊa ㊁b 'ʊb ,相交直线a ',b '所成的锐角(或直角)叫作异面直线a ,b 所成的角.如果两条异面直线所成的角是直角,则称这两条异面直线互相垂直.abαabαOOaa b图512.平行公理与等角定理(1)平行公理(公理4):平行于同一直线的两条直线相互平行.(2)等角定理:空间中如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.三直线和平面、平面和平面的位置关系1.一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：(1)直线在平面内 有无数个公共点;(2)直线和平面相交 有且只有一个公共点;(3)直线和平面平行 没有公共点.2.两个平面的位置关系只有两种(1)平行 没有公共点;(2)相交 有一条公共直线.四直线和平面平行的判定与性质1.直线和平面平行的判定定理(1)判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.(2)判定定理的符号表示:a⊄α}⇒aʊαb⊂αaʊb2.直线和平面平行的性质定理(1)性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和两平面的交线平行.(2)性质定理的符号表示aʊαa⊂βαɘβ=b}⇒aʊb五平面与平面平行的判定与性质1.平面与平面平行的判定定理(1)判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.(2)判定定理的符号表示:a⊂αb⊂αaɘb=A aʊβbʊβüþýïïïïïï⇒αʊβ2.平面与平面平行的性质定理(1)性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.(2)性质定理的符号表示:αʊβγɘα=a γɘβ=b }⇒a ʊb 六直线和平面垂直的判定与性质1.直线和平面垂直的定义如果一条直线l 和一个平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l 和平面α互相垂直,记作l ʅα,直线l 叫作平面α的垂线,平面α叫作直线l 的垂面.2.直线和平面垂直的判定(1)直线和平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与这个平面垂直.判定定理的符号表示:a ⊂αb ⊂αa ɘb =P l ʅal ʅbüþýïïïïïï⇒l ʅα(2)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面,即a ʊba ʅα}⇒b ʅα3.直线和平面垂直的性质(1)直线和平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.性质定理的符号表示:a ʅαb ʅα}⇒a ʊb(2)如果一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线.(3)过一点有且只有一条直线和已知平面垂直;过一点有且只有一个平面和已知直线垂直.(4)如果一条直线与两个平面都垂直,那么这两个平面平行.七平面与平面垂直的判定与性质1.两个平面垂直的定义(1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所形成的空间图形叫作二面角.这条直线叫作二面角的棱,两个半平面叫作二面角的面.(2)二面角的平面角:在二面角α-l -β的棱l 上任取一点O ,以O 为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线O A 和O B ,则射线O A 和O B 所成的角øA O B叫作二面角α-l -β的平面角.(3)直二面角:平面角是直角的二面角叫作直二面角(4)两个平面垂直的定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,那么就说这两个平面互相垂直.2.两个平面垂直的判定定理(1)判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.(2)判定定理的符号表示:a ⊂αa ʅβ}⇒αʅβ3.两个平面垂直的性质定理(1)性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.(2)性质定理的符号表示:αʅβ,αɘβ=l b ⊂α,b ʅl}⇒b ʅβ。
点线面位置关系(知识点加典型例题)+大一高数知识点-重难点整理
点线面位置关系(知识点加典型例题)+大一高数知识点-重难点整理2.1空间中点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 1、教学重点和难点重点：空间直线、平面的位置关系。
难点：三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）的转换 2、三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为A ∈LB ∈L => L α ，A ∈α ，B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
推论：① 一条直线和其外一点可确定一个平面②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈LLA ·α C ·B·A· α P· αLβ公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 （4）公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等．2、空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面3、异面直线所成角θ的范围是 00<θ≤900 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
高中数学：点线面关系知识总结和练习(附答案)
//a α//a b点线面位置关系总复习知识梳理一、直线与平面平行 1.判定方法（1）定义法：直线与平面无公共点。
（2）判定定理：（3）其他方法：//a αββ⊂ 2.性质定理：//a abαβαβ⊂⋂=二、平面与平面平行 1.判定方法（1）定义法：两平面无公共点。
（2）判定定理：////a b a b a b Pββαα⊂⊂⋂=//αβ（3）其他方法：a a αβ⊥⊥//αβ; ////a γβγ//αβ 2.性质定理：//a bαβγαγβ⋂=⋂=三、直线与平面垂直（1）定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。
（2）判定方法 ① 用定义.//a b a b αα⊄⊂//a α//a b//a b② 判定定理:a b a cb c A bc αα⊥⊥⋂=⊂⊂a α⊥③ 推论://a a bα⊥b α⊥ （3）性质 ①a b αα⊥⊂a b ⊥ ②a b αα⊥⊥四、平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直线二面角，就说这两个平面互相垂直。
（2）判定定理a a αβ⊂⊥αβ⊥ （3）性质①性质定理la a lαβαβα⊥⋂=⊂⊥αβ⊥ ②lP P A A αβαβαβ⊥⋂=∈⊥垂足为A l ∈ ④lP PA αβαβαβ⊥⋂=∈⊥PA α⊂“转化思想”面面平行 线面平行 线线平行 面面垂直 线面垂直 线线垂直●求二面角1.找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角.2.在二面角的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角的平面角例1．如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC于D，交SC于E，又SA=AB，SB=BC，求以BD为棱，以BDE和BDC为面的二面角的度数。
●求线面夹角定义：斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）方法：作直线上任意一点到面的垂线，与线面交点相连，利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。
点直线平面之间的位置关系知识点总结
点、直线、平面之间的位置关系知识点总结立体几何知识点总结1.直线在平面内的判定1利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内;则这条直线在平面内.2若两个平面互相垂直;则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内;即若α⊥β;A∈α;AB⊥β;则ABα.3过一点和一条已知直线垂直的所有直线;都在过此点而垂直于已知直线的平面内;即若A∈a;a⊥b;A∈α;b⊥α;则aα.4过平面外一点和该平面平行的直线;都在过此点而与该平面平行的平面内;即若Pα;P∈β;β∥α;P∈a;a∥α;则aβ.5如果一条直线与一个平面平行;那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内;即若a∥α;A∈α;A∈b;b∥a;则bα.2.存在性和唯一性定理1过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；2过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；3过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；4与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；5过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；6过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；7过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；8过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.3.射影及有关性质1点在平面上的射影自一点向平面引垂线;垂足叫做这点在这个平面上的射影;点的射影还是点.2直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线;过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.3图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.当图形所在平面与射影面垂直时;射影是一条线段；当图形所在平面不与射影面垂直时;射影仍是一个图形.4射影的有关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：i射影相等的两条斜线段相等;射影较长的斜线段也较长；ii相等的斜线段的射影相等;较长的斜线段的射影也较长；iii垂线段比任何一条斜线段都短.4.空间中的各种角等角定理及其推论定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行;并且方向相同;则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行;则这两组直线所成的锐角或直角相等.异面直线所成的角1定义：a、b是两条异面直线;经过空间任意一点O;分别引直线a′∥a;b′∥b;则a′和b′所成的锐角或直角叫做异面直线a和b所成的角.2取值范围：0°＜θ≤90°.3求解方法①根据定义;通过平移;找到异面直线所成的角θ；②解含有θ的三角形;求出角θ的大小.5.直线和平面所成的角1定义和平面所成的角有三种：i垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角;叫做这条直线和这个平面所成的角.ii垂线与平面所成的角直线垂直于平面;则它们所成的角是直角.iii一条直线和平面平行;或在平面内;则它们所成的角是0°的角.2取值范围0°≤θ≤90°3求解方法①作出斜线在平面上的射影;找到斜线与平面所成的角θ.②解含θ的三角形;求出其大小.③最小角定理斜线和平面所成的角;是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角;亦可说;斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.6.二面角及二面角的平面角1半平面直线把平面分成两个部分;每一部分都叫做半平面.2二面角条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱;这两个平面叫做二面角的面;即二面角由半平面一棱一半平面组成.若两个平面相交;则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量;通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤180°3二面角的平面角①以二面角棱上任意一点为端点;分别在两个面内作垂直于棱的射线;这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.如图;∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.②二面角的平面角具有下列性质：i二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面;即AB⊥平面PCD.ii从二面角的平面角的一边上任意一点异于角的顶点作另一面的垂线;垂足必在平面角的另一边或其反向延长线上.iii二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直;即平面PCD⊥α;平面PCD⊥β.③找或作二面角的平面角的主要方法.i定义法ii垂面法iii三垂线法Ⅳ根据特殊图形的性质4求二面角大小的常见方法①先找或作出二面角的平面角θ;再通过解三角形求得θ的值.②利用面积射影定理S′=S·cosα其中S为二面角一个面内平面图形的面积;S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积;α为二面角的大小.③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.7.空间的各种距离点到平面的距离1定义面外一点引一个平面的垂线;这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.2求点面距离常用的方法：1直接利用定义求①找到或作出表示距离的线段；②抓住线段所求距离所在三角形解之.2利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上;则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.3体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点;和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；③由V=S·h;求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.4转化法将点到平面的距离转化为平行直线与平面的距离来求.8.直线和平面的距离1定义一条直线和一个平面平行;这条直线上任意一点到平面的距离;叫做这条直线和平面的距离.2求线面距离常用的方法①直接利用定义求证或连或作某线段为距离;然后通过解三角形计算之.②将线面距离转化为点面距离;然后运用解三角形或体积法求解之.③作辅助垂直平面;把求线面距离转化为求点线距离.9.平行平面的距离1定义个平行平面同时垂直的直线;叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分;叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.2求平行平面距离常用的方法①直接利用定义求证或连或作某线段为距离;然后通过解三角形计算之.②把面面平行距离转化为线面平行距离;再转化为线线平行距离;最后转化为点线面距离;通过解三角形或体积法求解之.10.异面直线的距离1定义条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度;叫做两条异面直线的距离.任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.2求两条异面直线的距离常用的方法①定义法题目所给的条件;找出或作出两条异面直线的公垂线段;再根据有关定理、性质求出公垂线段的长.此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形.②转化法为以下两种形式：线面距离面面距离③等体积法④最值法⑤射影法⑥公式法。
高中数学必修2《点、直线、平面之间的位置关系》知识点
高中数学必修2《点、直线、平面之间的位置关系》知识点第二章点、直线、平面之间的位置关系一、平面及其表示平面是指在三维空间中的一个无限大的平面，可以用点和直线来表示。
平面的基本性质可以通过三条公理来描述：①公理1：如果一个点A在直线l上，另一个点B也在直线l上，且A在平面α上，那么B也在平面α上。
②公理2：如果三个不共线的点A、B、C确定一个平面α，那么这三个点必在平面α上。
③公理3：如果一个点P在平面α上，又在平面β上，那么P一定在它们的交线l上。
二、点与面、直线位置关系1、点与平面有两种位置关系：①点A在平面α上；②点B不在平面α上。
2、点与直线有两种位置关系：①点A在直线l上；②点B不在直线l上。
三、空间中直线与直线之间的位置关系1、异面直线是指不在同一平面内的两条直线。
2、直线与直线的位置关系包括相交、共面和平行三种情况。
3、公理4和定理：如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
四、空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系可以分为三种情况：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行。
五、空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面的位置关系可以分为平行和相交两种情况。
其中，平行的两个平面没有公共点，而相交的两个平面有一条公共直线。
直线、平面平行的判定及其性质直线与平面平行的判定方法有三种：利用定义、利用判定定理、利用面面平行的性质。
其中，面面平行的性质可以推导出直线与平面平行的性质。
证明面面平行的常用方法有以下几种：①利用面面平行的定义，一般与反证法结合使用；②利用判定定理；③证明两个平面垂直于同一个平面；④证明两个平面同时平行于第三个平面。
直线与平面垂直的判定方法如下：若直线l与平面α所成角α∈(0,90)，则PO⊥α，AO为___在平面α上的投影，故∠α为直线l与平面α所成角。
二面角α-l-β的平面角为∠___，其中BO⊥l，___。
线面垂直的判定方法如下：___⊥α，___α，且a∩b=A，则___⊥α。