2_8向量组的正交化
求向量组的等价正交单位向量组－施密特正交化C语言算法
求向量组的等价正交单位向量组－施密特正交化C语⾔算法求向量组的等价正交单位向量组－施密特正交化 C 语⾔算法 ⼀.施密特正交化⾸先需要确定已有基底向量的顺序，不妨设为。
Gram-Schmidt正交化的过程如下：这样就得到上的⼀组正交基，以及相应的标准正交基。
给定的S个N维向量组，第⼀步先求出向量组的极⼤线性⽆关组 将向量组排成矩阵A： （列向量组时）或（⾏向量组时）（＊） 将列（或⾏）向量组排成矩阵A如（＊）式，并⽤初等⾏（或列）变换化A为⾏（或列）阶梯形矩阵G（或），则G（或）中⾮零⾏（或列）的个数即等于向量组的秩，且是该向量组的⼀个极⼤线性⽆关组，其中是G（或）中各⾮零⾏（或列）的第1个⾮零元素所在的列（或⾏）。
⼆.C语⾔程序算法#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <math.h>void main(){int i,j,k;int s,n;//s个n维向量组int groupNum=0;//极⼤线性⽆关组个数double **array,**deterArray;double **result;int *groupPosition;void printfDouble2Dimension(int s, int n, double **array);void printfInt1Dimension(int n, int *array);void primaryRowChange(int s, int n, double **array);int getGreatLinerlyIndependentGroup(int s, int n, double **array, int *result);void calcOrthogonalization(int s, int n, double **result);printf("请输⼊向量个数S:");scanf("%d",&s);printf("请输⼊向量维度N:");scanf("%d",&n);array=(double**)malloc(s*sizeof(double*));deterArray=(double**)malloc(n*sizeof(double*));groupPosition =(int*)malloc(s*sizeof(int));for(i=0;i<n;i++){deterArray[i]=(double*)malloc(n*sizeof(double));}for(i=0;i<s;i++)*(groupPosition+i)=-1;//for(i=0;i<s;i++){array[i]=(double*)malloc(n*sizeof(double));printf("请输⼊第%d个向量:",i+1);for(j=0;j<n;j++){scanf("%lf",*(array+i)+j);*(*(deterArray+j)+i) = *(*(array+i)+j);}}printf("输⼊向量⾏矩阵:\n");printfDouble2Dimension(s,n,array);printf("输⼊向量列矩阵:\n");printfDouble2Dimension(n,s,deterArray);primaryRowChange(n,s,deterArray);printf("列矩阵初等⾏变换后:\n");printfDouble2Dimension(n,s,deterArray);groupNum = getGreatLinerlyIndependentGroup(n,s,deterArray,groupPosition);result = (double**)malloc(groupNum*sizeof(double*));for(i=0;i<groupNum;i++){if(*(groupPosition+i)!=-1){result[i] = (double*)malloc(n*sizeof(double));result[i] = *(array+ *(groupPosition+i));}}printf("极⼤线性⽆关组:\n");printfDouble2Dimension(groupNum,n,result);calcOrthogonalization(groupNum,n,result);printf("等价正交单位向量组:\n");printfDouble2Dimension(groupNum,n,result);system("pause");}//初等⾏变换void primaryRowChange(int s, int n, double **array){int i,j,k,ii,kk,flag;double temp;for(i=0,j=0;i<s-1;i++,j++)//s⾏，最外围只需要变换s-1{ii=i;//如果⾏的⾸元为0，向下查找⼀个不为0的，然后换⾏if(*(*(array+i)+j) == 0){flag=0;for(k=i+1;k<s;k++){if(*(*(array+k)+j)!=0)//第k⾏与第i⾏交换{for(kk=j;kk<n;kk++){temp=*(*(array+k)+kk);*(*(array+k)+kk) = *(*(array+i)+kk);*(*(array+i)+kk) = temp;}flag =1;break;}}//判断是交换成功，如果没有成功，则i--if(!flag){i--;continue;}i--;j--;continue;}for(;ii<s-1;ii++){if(*(*(array+ii+1)+j)==0)continue;temp =-*(*(array+ii+1)+j) / *(*(array+i)+j);for(k=j;k<n;k++)*(*(array+ii+1)+k) += *(*(array+i)+k) * temp;}}}//获取极⼤线性⽆关组位置及个数int getGreatLinerlyIndependentGroup(int s, int n, double **array, int *result){int i,j,num=0;for(i=0;i<s;i++){for(j=0;j<n;j++){if(*(*(array+i)+j)!=0){*(result + num++)=j;break;}}}return num;}//计算正交单位向量组void calcOrthogonalization(int s, int n, double **result){int i,j,k;double **tempArray ,temp;double sqrt(double x);double getInnerProduct(int n,double *array1, double *array2);for(i=0;i<s;i++){tempArray = (double**)malloc(i*sizeof(double*));for(j=0;j<i;j++){tempArray[j] = (double*)malloc(n*sizeof(double));temp = getInnerProduct(n,*(result+i),*(result+j)) / getInnerProduct(n,*(result+j),*(result+j));for(k=0;k<n;k++){*(*(tempArray+j)+k) = temp * *(*(result+j)+k);}}for(j=0;j<i;j++){for(k=0;k<n;k++)*(*(result+i)+k) -= *(*(tempArray+j)+k);}}//单位化for(i=0;i<s;i++){temp = getInnerProduct(n,*(result+i),*(result+i));temp = sqrt(temp);for(j=0;j<n;j++){*(*(result+i)+j) /= temp;}}}//计算两个向量的内积double getInnerProduct(int n, double *array1, double *array2){int i;double result=0;for(i=0;i<n;i++)result += *(array1+i) * *(array2+i);return result;}//print arrayvoid printfDouble2Dimension(int s, int n, double **array){int i,j;for(i=0;i<s;i++){for(j=0;j<n;j++){printf("%6.2lf",*(*(array+i)+j)); }printf("\n");}}void printfInt1Dimension(int n, int *array) {int i;for(i=0;i<n;i++){printf("%4d",*(array+i));}printf("\n");} 三.程序截图1> p219-例12> 3.5-93> test14> test2。
施密特正交化详细计算
施密特正交化详细计算
施密特正交化是一种用于将线性无关的向量组转化为正交向量组的方法。
以下是施密特正交化的详细计算步骤：
给定一组线性无关的向量{v1, v2, ..., vn}，我们希望将它们转化为一组正交向量 {u1, u2, ..., un}。
1.初始化第一个正交向量u1 为原始向量组的第一个向量v1。
u1 = v1
2.对于每个向量 v_i， i=2, 3, ..., n，执行以下计算步骤：
a. 计算投影向量 p_i，在当前正交向量 u1, u2, ..., u_{i-1} 上的
投影分量。
p_i = v_i - (u1·v_i)u1 - (u2·v_i)u2 - ... - (u_{i-1}·v_i)u_{i-1}
这里，(u·v) 表示向量 u 和 v 的点积。
b. 计算归一化得到新的正交向量 u_i。
u_i = p_i / ||p_i||
这里，||p_i|| 表示向量 p_i 的范数（长度）。
3.重复步骤2，直到处理完所有的原始向量。
经过施密特正交化的计算，我们得到了一组正交向量{u1, u2, ..., un}。
这些向量彼此正交且长度为1，可以用于表示原始向量组所在的线性空间。
需要注意的是，在计算过程中，可能会出现数值精度问题和数值不稳定性。
为了避免这些问题，可以在计算过程中使用高精度的数值计算库，并对计算结果进行适当的舍入或截断。
此外，施密特正交化可以用于有限维向量空间的正交化，但在实际应用中，还有其他更快和更稳定的正交化方法，例如QR 分解。
特征向量的正交化与单位化的公式
特征向量的正交化与单位化的公式下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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施密特正交化公式用法
施密特正交化公式用法
施密特正交化公式是线性代数中的一项重要技术，用于将线性无关的向量组转
换为正交的向量组。
它通过将给定的向量组中的每个向量与已有的正交向量组逐一进行求内积和投影的运算，从而得到一个正交的向量组。
具体而言，施密特正交化的公式可以表示为：
1. 首先，选取给定向量组中的第一个向量作为正交向量组的第一个向量。
2. 对于给定向量组的第二个向量，先计算它与正交向量组的第一个向量的内积。
然后将该内积除以正交向量组的第一个向量的范数的平方，并用这个结果乘以正交向量组的第一个向量，得到一个投影向量。
3. 用给定向量组的第二个向量减去投影向量，得到一个与正交向量组的第一个
向量正交的向量。
将这个向量作为正交向量组的第二个向量。
4. 重复以上步骤，依次处理给定向量组中的每个向量，得到最终的正交向量组。
施密特正交化公式的应用非常广泛。
它可以有效地处理高维空间中的向量组，
使得计算变得更简单且易于理解。
在数学、物理、计算机科学等领域中，正交向量组的应用非常广泛，例如在信号处理中，正交向量组可用于表示信号的基底，简化信号处理的复杂度。
需要注意的是，施密特正交化过程中的计算涉及到向量的内积和范数的计算，
因此数值计算的精度和稳定性是需要考虑的因素。
在实际应用中，可以通过一些数值稳定性较好的算法来进行计算，例如Gram-Schmidt过程可以有效避免数值计算
中的误差累积问题。
总结起来，施密特正交化公式是一种用于将线性无关的向量组转换为正交的向
量组的方法。
它在线性代数和相关领域中有着广泛的应用，可以简化计算过程并提高精度和稳定性。
用正交变换化二次型为标准型
4
16
=(-1, 1, -1, 1)T
此时 b1, b2, b3 为正交向量组.
《线性代数》
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(2)再将正交化后的向量组标准化，即令
=
b 1
= 1（1,1,1,1）T
1 || b 1|| 2
=
b 2
= 1（1,1,-1,-1）T
2 || b2 || 2
=
b 3
= 1（-1,1,-1,1）T
=(3, 3, -1, -1)T - 4 (1, 1, 1, 1)T =(2, 2, -2, -2)T
4
（a ，b ） （a ，b ）
b 3
=a 3
- 3 1b （b ，b ） 1
-
（b
3
，b
2b
）
2
1
1
2
2
= (-2, 0, 6, 8)T- 12 (1, 1, 1, 1)T- -32 (2, 2,-2,-2)T
第4节 用正交变换化二次型为标准形
一、正交矩阵与正交变换 二、实对称矩阵的性质 三、利用正交变换化二次型为标准形
《线性代数》
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内积的定义(复习)
定义1 设a=(a1, a2, , an )T与b=(b1, b2, , bn )T是两个n维向量，
则实数
n
aibi = a1b1 + a2b2 + ... + anbn ,
cos sin
- sin cos
也为正交矩阵.
QT
Q
=
cos - sin
sin cos
cos sin
- sin cos
=
正交化与施密特正交化
正交化与施密特正交化
正交化是一种数学概念，指的是将一个向量空间中的向量集合调整为相互正交
或者相互正交并归一的过程。
在数值计算和信号处理领域，正交化操作有着重要的应用，特别是在线性代数中，我们常常会用到正交化来简化问题或优化计算。
当我们希望将一个向量空间中的一组向量调整为正交的时候，可以使用施密特
正交化的方法。
施密特正交化是一种逐步生成正交向量的方法，通过一系列的正交化和归一化操作，最终得到一组正交归一的基向量，这组基向量可以构成原向量空间的一个正交基。
施密特正交化的基本步骤如下： 1. 将第一个向量归一化，得到第一个正交基向量。
2. 将第二个向量投影到第一个基向量上，得到与第一个基向量正交的投影向量，然后将其归一化，得到第二个正交基向量。
3. 依次类推，将后续的向量依次
投影到前面的正交基向量组成的空间上，并归一化，得到一组相互正交的正交基向量。
施密特正交化的过程可以很好地解决向量空间中的线性相关性和计算精度问题，使得计算更加稳定和可靠。
在实际应用中，例如在信号处理中，正交基向量可以简化信号的表示和处理，提高算法的效率和准确性。
总的来说，正交化和施密特正交化是一种非常重要的数学工具，可以在各种领
域中发挥重要作用。
通过正交化操作，我们可以更好地理解向量空间的性质，简化计算问题，提高算法效率，这对于解决复杂的数学和工程问题具有重要意义。
用正交变换化二次型为标准型
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二 次 型 ｆ = X Ｔ Ａ Ｘ 能 用 正 交 变 换 X = P Y 化 成 标 准 型
f=1 y 1 2+2 y 2 2+ L +n y n 2= Y T Y
c
关于对称矩阵A,求一个正交矩阵P,使
1
PT AP = P-1AP = =
2
O
n
那么，这个P 存在吗？
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一、正交矩阵与正交变换
正交变换的概念
定义2 设P为n阶正交矩阵，X,Y是都是n维向量，称线性变换
为正交变换.
X＝PY
正交变换的性质 性质1 正交变换是可逆线性变换； 性质2 正交变换不改变向量的内积. 证明：因为 (X,X)=(PY,PY)=(PY)T(PY)=YTPTPY =YT(PTP)Y= Y T Y = (Y ,Y ).
b1=a1=(1, 1, 1, 1)T
b2 =a2 -（ （ab12， ，bb11） ）b1
=(3, 3, -1, -1)T - 4 (1, 1, 1, 1)T =(2, 2, -2, -2)T
4
（ a， b）（ a， b）
b3 =a3-（ b3， b1） b1-（ b3， b2） b2
11
2
2
= ( - 2 , 0 , 6 , 8 ) - T 1 ( 1 , 1 , 1 , 1 2 ) T - - 3 ( 2 , 2 , - 2 , - 2 2 ) T 4 16
解: 二次型的 f 系数矩阵为
3 -2 -4
A
=
-
2
6
-2
,
-4 -2 3
三个向量施密特正交化公式
三个向量施密特正交化公式施密特正交化是一种常用的线性代数方法，用于将一组线性无关的向量正交化或者正交化后得到一组标准正交基。
施密特正交化需要依次计算每个向量在前面所有向量的投影，并将这个投影从原向量中减去，得到该向量在前面向量的正交补上的部分。
下面将介绍三个施密特正交化的具体步骤和计算公式。
1. 单位化：对原始向量进行单位化处理，即将每个向量除以其长度得到一个单位向量。
设给定的向量组为{a1, a2, ..., an}，其中ai为第i个向量，那么单位化的公式为：v1 = a1 / ||a1||v2 = a2 / ||a2||...vi = ai / ||ai||其中，v1、v2、...、vi为单位向量。
2. 正交化：依次计算每个向量在前面向量的正交补上的分量，并减去这个分量得到正交化后的向量。
设前i个向量已经正交化得到的向量组为{v1, v2, ..., vi-1}，那么第i 个向量的正交化公式为：ui = ai - proj(ai, v1) - proj(ai, v2) - ... - proj(ai, vi-1)其中，proj(ai, vj)表示ai在vj上的投影。
其计算公式为：proj(ai, vj) = (ai · vj) / (vj · vj) * vj其中，·表示向量点积运算。
3. 规范化：对第i个向量进行单位化处理，得到规范化后的正交基向量。
wi = ui / ||ui||其中，wi为规范化后的第i个正交基向量。
通过上述三个步骤，我们可以逐渐将原向量组转化为一个正交基向量组。
不断重复进行正交化和规范化操作，直到所有的向量都被处理完。
施密特正交化的目的是将原向量组转化为一个标准正交基，其中每个向量都与其他向量正交且长度为1。
这样的正交基在许多方面非常有用，比如在线性代数、信号处理、图像处理等领域都有广泛的应用。
总结起来，施密特正交化的三个公式分别是单位化公式、正交化公式和规范化公式。
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(a3, b1) (b1, b1)
b1
(a 3 , (b2,
b2 ) b2 )
b2
a3
(a 3 , (b1,
b1 ) b1 )
a1
(a3 (b2
, ,
b2 b2
) )
[a 2
(a2 , (b1,
b1 ) b1 )
a1 ]
bm
am
(am , b1) (b1, b1)
a1
(am , b2 ) (b2, b2)
另外：①很明显，向量组a1,a2,,am可由向量组b1,b2,,bm线性
表示.
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②向量组b1,b2,,bm也可由向量组a1,a2,,am线性表示，因为：
b1 a1 b2 a2
(a 2 (b1
, ,
b1 ) b1 )
b1
a2
(a2 , (b1,
b1 ) b1 )
a1
b3
a3
= (a1 , k2a2)+ + (a1 , kmam) =k2 (a1 , a2)+ + km (a1 , am)=0 这与(a1 , a1)≠0矛盾，所以a1，a2，，am线性无关.
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施密特正交化方法
定理2 对于线性无关的向量组a1,a2,,am，令
b1 a1
b2
（b
3
，b
2b
）
2
1
1
2
2
(2, 0, 6, 8)T 12 (1, 1, 1, 1)T 32 (2, 2,2,2)T
4
16
(1, 1, 1, 1)T
此时 b1, b2, b3 为正交组.
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(2)再将正交化后的向量组标准化，即令
b 1
1（1,1,1,1）T
1 || b 1|| 2
线性无关，试将它们正交化、标准化.
解:(1)先利用施密特正交化方法将向量组正交化，即令
b1a1(1, 1, 1, 1)T
b2 a2 （（ab12，，bb11））b1
(3, 3, 1, 1)T 4 (1, 1, 1, 1)T (2, 2, 2, 2)T
4
（a ，b ） （a ，b ）
b 3
a 3
3 1b （b ，b ） 1
b 2
1（1,1,-1,-1）T
2 || b2 || 2
b 3
1（-1,1,-1,1）T
3 || b3 || 2
此时 1,2,3 即为所求标准正交组.
说明：求标准正交组的过程为，先正交化，再标准化.
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作业：
P84页 20（2）
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2.8 向量组的正交化
定理1 正交向量组是线性无关的向量组.
证明: (反证)
设a1，a2，，am线性相关，则其中至少有一向量可由其余向 量线性表示，不妨设a1可由a2，，am线性表示，即有一组数
k2，，km，使
a1＝k2a2+ +kmam ，于是 (a1 , a1)= (a1 , k2a2+ +b1) (b1, b1)
b1
b3
a3
(a3, b1) (b1, b1)
b1
(a3, b2 ) (b2, b2)
b2
bm
am
(am , b1) (b1, b1)
b1
(am , b2 ) (b2, b2)
b2
(am , bm1) (bm1, bm1)
b m 1
则向量组b1,b2,,bm是正交向量组.
[a 2
(a2 , b1) (b1, b1)
a1]
由此可知，若向量组a1,a2,,am为AX=o的一个基础解系，则向
量组b1,b2,,bm也为AX=o的一个基础解系.
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例1．已知向量组a1(1,1,1,1)T, a2(3,3,-1,-1)T, a3(-2, 0, 6, 8)T,