a1,a2,a3是规范正交向量组,
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篇一：第三讲向量组
第三讲向量组
--------------------------------------------------- 向量作为工具可以描述空间中的点、矩阵中的行或列、线性方程组中的方程等等。
研究向量的线性运算[加法与数乘]、向量组线性相关性、向量组的秩[矩阵秩]与最大无关组、等价向量组等概念可以解决线性方程组的理论。
向量组是线性代数的重难点之一，概念多，内容抽象，推理逻辑性强，描述要求准确，与矩阵、方程组相互交织，可以相互转换。
例如，向量组秩、最大无关组是线性方程组解的判定、结构定理的理论基础；向量组的秩和相应矩阵秩一致，是向量组与矩阵结合点，反映了向量组和矩阵的本质。
向量组主要分三大部分：
■线性表示与线性相关性：向量的线性组合和线性表示；
向量组的线性表示与等价向量组；向量组的线性相关性；
■向量组的秩：向量组的最大无关组与秩的概念、性质及求法，向量组秩与矩阵秩关系；秩与线性相关性的关系；
■向量空间：向量空间及其基、维数；向量在基下的坐标；两基间的过渡矩阵；基的规范正交化：
正交阵及其性质。
教材:第四,第五章第1节。
-----------------------------------------------------------------------------------------
一、主要内容
1、向量及其线性运算
----概念
------------------------------------------
（1）n个数组成的有序数组称为n维向量；写成一行的称为行向量，写成一列的称为列向量；若干个同维行（列）向量的集合称为向量组；
（2）设有向量a(a1,a2,,an),b(b1,b2,,bn),实数kR，则下列运算
ka(ka1,ka2,,kan)，ab(a1b1,a2b2,,anbn)，
称为向量的线性运算；
（3）设有向量组a1,a2,,an和向量b，若存在常数
k1,k2,,kn，使得有
bk1a1k2a2knan，
则称向量b是向量组a1,a2,,an的线性组合[向量b可以由向量组a1,a2,,an的线性表
示]；
（4）设有两个同维向量组a:a1,a2,,an，b:b1,b2,,bm，
①若a中每个向量均可由向量组b线性表示，则称为向量组a可由向量组b线性表示；
②若向量组a与向量组b可相互线性表示，则称向量组a与向量组b为等价向量组。
注意:等价矩阵[初等变换],等价向量组[线性表示],等价方程组[同解].
----转化---------------------------------
（1）向量组与矩阵：m×n矩阵a与其行（列）向量组一一对应：12。
a(a,a,,an)12m
（2）线性表示与线性方程组：
列向量b可由矩阵a的列向量组a1,a2,,an线性表示
x1bxaxaxa(a,a,,a)x2axnnn112212xn
axb有解r(a)r(a|b)。
注意：行向量一般转化为列向量来处理，即所谓的“列摆行变换”。
（3）矩阵amn(a1,a2,,an)的列向量组可由矩阵
bms(b1,b2,,bs)的列向量组线性表示存在数字矩阵xsn，使
有abx；
矩阵amn112的行向量组可由矩阵的行向量组线性表示存在数字矩b2snms
阵xms，使有axb。
[以书写二阶为例，规律记为“左行右列”。
]
-----------------------------------------------------------------------------------------
2、向量组的线性相关性、最大无关组、秩
----概念-------------------------------------- （1）设有向量组a1,a2,an，如果存在一组不全为零的数x1,x2,xn，使
x1a1x2a2xnan0，
则称a1,a2,an线性相关；否则，称之为线性无关；
（2）如果在向量组a中能选出r个向量a1,a2,,ar满足：
（ⅰ）a1,a2,,ar线性无关；
a1,a2,,ar线性表示]，则称a1,a2,,ar为向量组a的一个最大无关组；a的最大无（ⅱ）a中任意r1个向量（如果有的话）均线性相关[a中任意向量均可由
关组所含向量的个数称为向量组a的秩，记为r(a)。
----转化----------------------------------
（1）设amn(a1,a2,,an),x(x1,x2,,xn)t，则
列向量a1,a2,an线性相关[无关]ax0有非零解[只有零
解]r(a)n[r(a)n]；
注意：向量组线性相关性、线性齐次方程组、矩阵秩的转换。
由此可知：当向量个数大于向量维数时，向量组必线性相关。
当未知量个数大于方程个数时，线性齐次方程必有非零解。
---------------------------------------------------
4、线性无关向量组的正交化
----概念
------------------------------------------- （1）设有n维列向量xx1,x2,,xntt,yy1,y2,,yn，则称数
tnx为向量与y的内积。
内积具有下列性质：(x,y)xyxiyi i1
ⅰ
、对称性：(x,y)(y,x)；
ⅱ、线性性：(axby,z)a(x,z)b(y,z)；
ⅲ、非负性：(x,x)0,(x,x)0x0。
ttn2（2）对n维列向量xx1,x2,,xn，称非负数|x|xxxi
为向
量x的模。
模为1的向量称为单位向量；模为0的向量称为零向量。
i1
0对非零向量x，单位化得单位向量x
（3）①a与b正交(a,b)0；1。
x②两两正交的非零向量组称为正交向量组，即
m0,{ai}i1为正交向量组(ai,aj)0,
注意：正交向量组是线性无关向量组，反之不然。
③两两正交的单位向量组称为标准正交向量组，即
ij;ij.
m0,ij;{ai}i1为规范正交向量组(ai,aj)1,ij.
④以正交向量组作为空间的基称为正交基；以规范正交向量组作为空间的基称为标准正交基。
r注意：向量b由基a1,a2,ar线性表示为：bxaii；
i1
r(a,b)由正交基a1,a2,ar线性表示为：bi；
i1iir由标准正交基a1,a2,ar线性表示为：b(ai,b)ai。
i1
可见，向量在标准正交基下的坐标不需要解方程组，只需计算内积就可求得。
（4）方阵a为正交阵
naatataea1ata的行[列]向量组均为n维向量空间R的标准正交基aij
矩阵的线性变换称为正交变换。
正交阵具有下列性质：
ⅰ、a为正交阵aij(i,j1,2,,n)。
以正交阵为线性变换a1,at,a*均为正交阵ata*；
ⅱ、a为正交阵|a|=1；
ⅲ、正交阵的积为正交阵。
----方法------------------------------------施密特正交化设a1,a2,ar为线性无关向量组[基]，则可采用下列方法进行规范正交化：
ⅰ、正交化：取b1a1；(b,a)b2a2b1；
(b1,b1)(b,a)(b2,a3)13b3a3b1b2；(b1,b1)(b2,b2) ；(b,a(b,ar)(b,ar)r)brarb1b2br1，
(b1,b1)(b2,b2)(br1,br1)
rr则{bi}i1为两两正交向量组[正交基]，且{bi}i1与{ai}ir1等价；bⅱ、单位化：取ei(i1,2,,r)，则{ei}ir1为规范正交向量组[规范正交|bi|
rr基]，且{ei}i与1{ai}i1等价。
---------------------------------------------------
二、常考知识点
1、线性表示、线性非齐次方程组、矩阵秩的转换[大题常考知识点]
列向量b可由矩阵a的列向量组a1,a2,,an（唯一/不唯一）线性表示axb
有（唯一/无穷多）解r(a)r(a|b)(n/n)；
列向量b不可由矩阵a的列向量组a1,a2,,an线性表示axb无解r(a)r(a|b)。
由此,可得判定两矩阵列(行)向量组线性表示:
a的列向量组可由b的列向量组线性表示bxa有解
r(b)r(b|a)；
bxa无解a的列向量组不可由b的列向量组线性表示
r(b)r(b|；a)
a与b的列向量组等价bxa,axb均有解r(a)r(a|b)。
rb 注意：行向量一般转化为列向量来处理，即所谓的“列摆行变换”。
2、向量组线性相关性、线性齐次方程组、矩阵秩的转换
设amn
列向量(a1,a2,,an),x(x1,x2,,xn)t，则a1,a2,,an线性相关[无关]ax0有非零解[只有零解]r(a)n[r(a)n]a列满秩[非列满秩]。
-向量的内积与施密特正交化过程
2
，
， ……
r
r
(r , 1) (1, 1)
1
(r , 2 ) (2, 2)
2
( (r
r , r1) 1, r1)
r
1
(2). 单位化（规范化）：取
1
1 1
,2
2 2
,
,r
r r
,
1,2, ,r 是正交规范向量组，且
显然 1,2, ,r 仍与 1,2 , ,r
等价。上述过程称Schmidt（施密特）正交 化过程。（方法）
对于两非零向量
,
当
2
时，称两向量正交。这里显然等价于
(, ) 0 因此可利用内积定义两向量正交。
定义3 若 (, ) 0 称 , 正交，记 , 中只要有一个为零向量，必有 ( , ) 0
又零向量与任何向量看作是正交的，且
。
因此可利用内积定义两向量正交。
定义4 设向量组 1,2 , ,r
例3令
1
2
0
1 2
0
1
A
2
0
1 2
0
0
1
0
2
1
2
0
1
0
2
1 2
验证A为正交矩阵
解：因列向量组为两两正交
的单位向量，故为正交矩阵 。
定义6 设 X ,Y Rn则称线性变换
Y AX 是正交变换。
例4 证明线性变换
x cos x sin y
y
sin
x
cos
y
是正交变换。
解：线性变换的矩阵为
的内积定义为
( , ) T T a1b1 a2b2 anbn
并称定义了内积的向量空间为欧氏空间
第七章 向量空间的正交性
−
1 ⎟, e3 6⎟
⎜⎝
2 6
⎟⎠
=
1 | b3
| b3
=
⎜ ⎜ ⎜
2
−
3 2
3 1
3
⎟ ⎟ ⎟
，
⎜⎝ −
1 23
⎟⎠
那么 e1 , e2 , e3 为与 a1 , a 2 , a3 等价的标准正交向量组．
五、正交矩阵
定义 7.5 设 A 是 n 阶实矩阵，如果满足 AΤ A = AAΤ = I ，那么 A 称为正交矩阵．
定义 7.3
θ
=
arccos (a,b)
| a || b |
称为非零向量 a
与 b 间的夹角；如果θ
=
π
2
，那么 a 与 b
正交，规定零向量与任意向量正交．
例 1 设向量 a = (1,−1,2,1)Τ ,b = (− 3,0,−1,3)Τ ,c = (2,3,1,−1)Τ ，计算 (a,b), (a,c)及 a 与
从而有
( ) k j a j ,a j = 0 ．
186
但是
( ) a j ,a j =| a j |2 ≠ 0 ，
故
k j = 0 (j = 1,2,", m) ．
所以 a1 , a2 ,", am 线性无关．
证毕
在维数为 r 的向量空间V 中，如果 a1 , a2 ,", ar 是正交向量组，那么由定理 7.1 知，
⎜⎛ ⎜
0 0
⎟⎞ ⎟
为一个标准正交基．
⎜⎝ 0⎟⎠ ⎜⎝ 0⎟⎠ ⎜⎝1⎟⎠
四、施密特正交化过程
我们知道维数为 r 的向量空间V 中任意 r 个线性无关的向量 a1 ,a2 ,",ar 都可以作为 V 的一个基，这个基不一定是标准正交基．但是，可以找到的V 一个标准正交基 e1 ,e2 ,",er ， 使 向 量 组 e1 ,e2 ,",er 与 a1 ,a2 ,",ar 等 价 ． 这 个 过 程 称 为 把 基 a1 , a2 ,", ar 规范正交化．
向量组的线性相关性
线性无关.
从向量组中找尽量多的线性无关向量
22
例2
已知
1 0 2
a1 1,a2 2 ,a3 4 ,
1 5
7
试讨论向量组a1 , a2 , a3 及向量组a1 , a2 的线性 相关性 .
A
a21
a22
am1
am1
a1n
a2n
amn
按行分块
A
1 2
m
ｍ个ｎ维行向量.
按列分块
其第ｉ个行向量记作
A (1,2 ,...,n )
i ai1, ai2 , , ain
ｎ个ｍ维列向量.
a1 j
其第ｊ个列向量记作
j
a2 j
矩阵与向量的关系中 注意什么是向量的个 数、什么是向量的维
★ 一个向量a=0线性相关,而 0时线性无关
★ 两个向量线性相关
它们对应分量成比例
★ 如果向量组中有零向量,则向量组一定线性相关.
16
二、判别方法
1. 向量组1,2 ,...,s线性相(无)关 方程 x11 x22 ... xss 0(没)有非零解.
设i (ai1 , ai2 , ..., ain )T , 方程组
同时 R (a1 , a2 ) 2 , 故向量组 a1 , a2 线性无关 .
例3
已知向量组a1 , a2 , ...as (s 2)线性无关, 设b1 a1 a2 , b2 a2 a3 , ...,b s as a1 , 讨论b1 , b2 , ...,bs线性相关性.
规范正交向量组
规范正交向量组正交向量组是线性代数中的重要概念之一，它是指一个向量组中的任意两个向量的内积为0。
在实际应用中，正交向量组具有很多优势，比如可以简化计算、提高计算精度、优化算法等。
为了更好地理解和应用正交向量组，本文将介绍正交向量组的定义、性质，以及如何构造和判定正交向量组。
首先，我们来定义正交向量组。
设有n个非零向量v1, v2, ..., vn，如果这n个向量两两正交（即任意两个向量的内积为0），则称这n个向量为正交向量组。
同时，如果这n个向量都是非零向量，且彼此互不共线，则称这n个向量为规范正交向量组。
接下来，我们来看一些正交向量组的性质。
首先，如果一个向量组是正交向量组，则它的所有向量都是线性无关的。
这是因为如果存在一个向量可以由其他向量线性表示，则它和其他向量的内积也应该为0，这与正交向量组的定义相矛盾。
因此，正交向量组是线性无关的。
其次，一个向量组可以通过正交化处理来得到一个正交向量组。
正交化的方法有很多种，其中最常用的就是施密特正交化方法。
施密特正交化方法的基本思想是从第一个向量开始，每次将向量减去它在前面所有向量上的投影，得到一个新的向量，然后对新的向量进行归一化处理，使其成为单位向量。
按照这种方法可以得到一个规范正交向量组。
最后，我们来讨论如何判定一个向量组是否为正交向量组。
判定的方法非常简单，只需要计算向量组中任意两个向量的内积，如果所有内积都为0，则向量组是正交向量组。
需要注意的是，判定正交向量组时，要确保向量组中的向量都是非零向量，否则可能会出现内积为0的情况。
总结起来，正交向量组是指一个向量组中任意两个向量的内积为0的向量组。
规范正交向量组是指一个非零向量组中所有向量两两正交且彼此互不共线的向量组。
正交向量组具有很多优势，如简化计算、提高计算精度、优化算法等。
正交向量组的判定方法很简单，只需要计算向量组中任意两个向量的内积是否为0即可。
对于给定的向量组，可以通过正交化处理得到一个正交向量组。
标准正交向量组
标准正交向量组在线性代数中，向量是一个非常重要的概念，它在描述空间中的方向和大小上具有重要的作用。
而在向量的运算中，标准正交向量组更是一个非常重要的概念，它在解决线性方程组、矩阵运算、空间几何等问题中具有重要的应用价值。
本文将从标准正交向量组的定义、性质和应用等方面进行详细的介绍。
首先，我们来了解一下标准正交向量组的定义。
标准正交向量组是指一组向量中的任意两个向量的内积为0，并且每个向量的模长为1。
也就是说，对于一个标准正交向量组来说，任意两个向量之间都是垂直的，并且每个向量的长度都是1。
这样的向量组在描述空间中的方向时具有非常好的性质，可以方便地进行运算和分析。
接下来，我们来讨论一下标准正交向量组的性质。
首先，标准正交向量组是线性无关的。
这是因为如果存在一组系数使得标准正交向量组的线性组合为零向量，那么对这组系数取内积，就可以得到每个向量的模长的平方乘以系数的和等于0，由于每个向量的模长都是1，所以系数的和只能为0，即这组系数只能全为0，所以标准正交向量组是线性无关的。
其次，标准正交向量组可以方便地进行正交分解。
对于一个向量，我们可以利用标准正交向量组对其进行正交分解，这样可以方便地进行向量的运算和分析。
最后，标准正交向量组在解决线性方程组和矩阵运算中具有重要的应用价值。
在矩阵的特征值分解和奇异值分解中，我们经常需要用到标准正交向量组来进行分解和计算。
最后，我们来看一下标准正交向量组的应用。
在实际问题中，标准正交向量组可以方便地描述空间中的方向和大小，这对于解决空间几何问题非常有帮助。
在工程中，标准正交向量组也经常用于信号处理和图像处理中，可以方便地进行信号的分解和处理。
在数值计算中，标准正交向量组也具有重要的应用价值，可以方便地进行矩阵的分解和计算，提高计算效率和精度。
综上所述，标准正交向量组是线性代数中一个非常重要的概念，它具有很好的性质和重要的应用价值。
通过对标准正交向量组的深入理解和应用，可以方便地解决空间几何、线性方程组、矩阵运算等问题，提高计算效率和精度，具有非常重要的意义。
线性代数第五章习题答案
则 H 是正交阵. 综上得证 H 是对称的正交阵.
4 . 设 A 与 B 都是正交阵, 证明 AB 也是正交阵.
证明: 因为 A, B 是正交阵, 故 A−1 = AT , B −1 = B T .
(AB ) (AB ) = B T AT AB = B −1 A−1 AB = E .
T
故 AB 也是正交阵.
9 . 设 A 为正交阵, 且 |A| = −1, 证明 λ = −1 是 A 的特征值.
证明: 即需证明 λ = −1 满足特征方程 |A − λE | = 0, 即 |A + E | = 0. 因为
|A + E | = A + AT A = E + AT |A| = − AT + E = − (A + E )T = − |A + E | , (|A| = −1) (A 为正交阵)
(A2 − 3A + 2E )p = (λ2 − 3λ + 2)p.
又由 A2 − 3A + 2E = O , 代入上式得
(λ2 − 3λ + 2)p = 0.
而特征向量 p = 0, 所以
λ 2 − 3λ + 2 = 0 .
解得 λ = 1 或 2. 得证 A 的特征值只能取 1 或 2. 一个有缺陷的证明: 由 A2 − 3A + 2E = O , 得 (A − 2E )(A − E ) = O . 两边取行列式得
的全部特征值向量.
−1 0 1 1 0 0
0 1 −1
−1 1 0 0 0 2 0
0 , −1
得基础解系 p3 = 1 , 故 k3 p3 (k3 = 0) 是对应于 λ3 = 9 的全部特征值向量. 2 (3) 由 −λ |A − λE | = 0 1
线性代数-正交矩阵
的一个规范正交基. e1 , e2 ,, en是Rn的规范正交基
e
T i
e
j
0, 1,
i j; i j.
1 1 0 0
2
2
0
0
e1
1 2
,e2
1
2
, e3
1 2
,e4
Y Y TY X T AT AX X T X X
正交变换保持向量的长度不变.
本节小结 内积与正交变换 α,β αTβ
1. 正交向量组 [αi ,α j ] (αTi ,α j ) 0
线性无关(Th5.3)
2. 规范正交化 正交基
必可逆
3. 正交矩阵 三条性质
正交规范基 i eTi a [ei ,a] AT A E AT A1
(1,1,1)
(
1 2
, 1,
1) 2
则 β1,β2,β3为正交向量组. 然后再单位化得
e1
1
1
1 (
1 ,0, 2
1 ), e2 2
1 2
2 (
1, 3
1, 3
1
), 3
e3
1 3
3 (
1 , 6
2, 6
1 ). 6
那末，e1,e2,e3 就是所求的正交单位向量组.
附加定义设n维向量e1,e2, ,er是向量空间V(V Rn)的一个基，
内积的基本性质 [, ] a1b1 a2b2 anbn (1) [, ] [, ]
(2) [k, ] kk[a1,b1 ]k[a2,bk2] kanbn (3) [1 2, ] [1 , ] [ 2 , ]
线性代数 标准正交基1
T s s −1 T s −1 s −1
α sT β 2
例 求与 α1 = (1, 1, 0, 0), α2 = (1, 0, 1, 0), α 3 = ( −1, 0, 0, 1) α 4 = (1, − 1, − 1, 1)等价的 单位正交的向量组. 单位正交的向量组. 解 令 β 1 = α 1= ( 1, 1, 0,0 ) 1 β = (1, 0, 1, 0 ) − 1 (1, 1, 0, 0 ) = 1 , − 1 , 1, 0 β 2 = α 2− 1 2 2 2 2 1 −2 −1 1 1 β 3 = α 3 − β 1 − 3 β 2 = α 3 + β 1 + β 2 3 2 2
=0,则称 则称α α , β ∈ R n 如果 αTβ=0,则称α与β正交 定义2.20 定义2.20 设 α与β正交
α β =0
T
β =(b ,b2,b3) 1
θ
α =(a1,a2,a3)
在R3中，设 α =(a1,a2,a3)≠ o β = (b ,b2,b3)≠ o 1 的内积为 则α和β的内积为 α T β = a1b1 + a2b2 + a3b3= α β cosθ π α β αT β = 0 θ=
(2)
α j = 1,
j = 1, 2,..., n
则称 α1 ,α 2 ,...,α n 为Rn 的一个标准正交基. 的一个标准正交基. 如 ε 1 = ( 1, 0, ..., 0 ), ε 1 , ε 2 ,..., ε n 为Rn 的标准正交基. 的标准正交基. ε 2 = ( 0, 1, ..., 0 ),
2
o
定义2.21 如果R 中的非零 定义2.21 如果Rn中的非零向量组α1 ,α 2 ,...,α s ( s ≥ 2) 非零向量组 α iT α j = 0 ( i ≠ j; i , j = 1, 2,..., s ) 两两正交, 两两正交, 即 正交向量组. 则称向量组 α1 ,α 2 ,...,α s 为正交向量组. 注意： 正交向量组中， 每个向量 都不是零向量。 都不是零向量。 注意： 正交向量组中， 如果一个正交向量组中， 向量都是单位向量, 如果一个正交向量组中， 向量都是单位向量, 正交向量组中 每个向量都是单位向量 每个 正交单位向量组 单位向量组. 则该向量组称为 正交单位向量组.
求规范正交基的几种方法
求规范正交基的几种方法摘要：本文主要介绍四种求规范正交基的方法，除施密特正交化方法外，还总结了初等列变换法、初等变换法。
并提出了另外一种简便算法——线性相关法。
关键词：规范正交基矩阵初等变换线性相关规范正交基是n维欧式空间V中n个两两正交的非零单位向量组成的一个规范正交组。
V中的任意向量ξ都可以由V的一组规范正交基{a1,a2,…,an}唯一表示ξ=x11+x22+…+xnn,x1,x2,…,xn是ξ关于基{a1，a2，…，an}的坐标，由于{a1，a2，…，an}是规范正交基，在欧式空间中的许多性质都可以转化为坐标来表示。
可见规范正交基的引入大大简化了欧式空间中许多性质的探索，所以，规范正交基的求法是非常值得探索的。
下面，来讨论规范正交基的多种求法。
一、施密特正交化方法设{a1，a2，…，an}是欧式空间V的一组线性无关的向量，那么可以求出V的一个正交组{β1,β2，…,βm}，使得βk可以由a1，a2，…，ak线性表示，k=1,2,…,m。
先取β1=a1，那么β1是a1的线性组合且β1≠0，其次取β2=a2+aβ1，使得β2=a2+aβ1与β1正交。
由0=（a2+aβ1，β1）=（a2，β1）+a（β1，β2）及β1≠0得a=-，我们取β2=a2-β1，那么（β1，β2）=0，又因为a1，a2线性无关，所以对任意实数a，a2+aβ1=a2+aa1≠0，因而β2≠0于是我们便得到了β2的表示方法。
再取β3=a3+aβ2+bβ1，使得β3分别与β2，β1正交。
由0=（β3，β1）=（a3+aβ2+bβ1，β1)=(a3，β1)+a（β2，β1）+b（β1，β1），∵（β2，β1）=0，∴b=-，同理可得a=-，我们取β3=a3-β2－β1，即可满足（β1，β3）=（β2，β3）=0，又因为a3，β2，β1线性无关，所以可得β3≠0，于是我们便得出了β3的表示方法。
假设1<k≤m，而满足要求的β1，β2，…，βk-1都已作出，取βk=ak-β1-…-βk-1，由于假定了β1是a1，a2，…，ai的线性组合，i=1，2，…，k-1，所以把这些组合代入上式，就得到βk=a1a1+a2a2+…ak-1ak-1+ak，所以βk是a1，a2，…，ak的线性组合。
线性代数第五章
的特征值，
2 1
为对应于l
=
1
的特征向量.
一、基本概念
3、向量空间与基
向量空间的定义 :设V为n维向量的集合, 且V非空, 若集合V对 于向量的加法和数乘封闭： a, b V , k R,有
a b V , ka V , 则称集合V为向量空间. 向量空间中的一个最大无关组称为该向量空间的一个基. 如：
Rn : n 维实向量空间.
Rn中任意n个线性无关的向量组均可作为 Rn 的一组基.
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
对称性： [x, y] = [y, x]．
线性性质： [l x, y] = l[x, y]．
[x + y, z] = [x, z] + [y, z] 当 x = 0（零向量） 时， [x, x] = 0；
可求得向量在标准正交基下的坐标. 因此，在给向量空间取 基时常常取标准正交基.
问题： 向量空间 V 中的一个基 a1, a2, …, ar
向量空间 V 中的一个标准正交基 e1, e2, …, er
4、求标准正交基的方法 基 正交基 标准正交基
第一步：正交化——施密特（Schimidt）正交化过程
, ,
ar b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
ar b2
] ]
b2
[br1 , ar ] [br1 , br1 ]
br
1
于是 b1, b2, …, br 两两正交，并且与a1, a2, …, ar 等价，即