线性代数 2.5向量组的正交性与正交矩阵
线性代数第五章 正交性
b = (-1, -1, 2, 2),
中每一个正交.
c = (3, 2, 5, 4),
20
练 习：
设 q1=
1 2
(1,1,1,1)T, q2=
1 2
(1,1,1,
1)T,
用两种方法将它们扩充成 4的一组规范正交基.
作业：
5.1节练习: 1. 2.
5.4节练习: 1. 2.
5.6节练习: 8.
课后练习:
在欧氏空间 4里找出两个单位向量，使它们同时与向量
a = (2, 1, -4, 0),
v2 ||v2||
正 交
基
vn=
xn
xn, v1,
v1 v1
v1
xn, v2,
v2 v2
v2
…
xn, vn1 vn1, vn1
vn1
un
=
vn ||vn||
Span(x1, x2, . . . , xn ) = Span(v1, v2, . . . , vn )
例5
设V = span(x1, x2, x3, x4),求 V的一组规范正交基. 其中x1= (1,−1, 1,−1)T, x2 = (1, 1, 3,−1) T , x3= (2,0, 4,−2)T , x4 = (3, 7, 1, 3)T .
||x|| ||y||
定 理 1 | xTy | ||x|| ||y|| 柯西-施瓦兹不等式 定 理 2 x y xT y = 0 称 x 和 y 正交 .
推广至更一般 向量空间 V
3
内积(P213 5.4 内积空间)
定 义 在向量空间V上定义一种运算，在这种运算下，V 中任意 一对向量 x 和 y，都对应一个实数，记作 x, y，若还满足: 对任意的 x, y, z ∈ V 及 s, t ∈ R，成立 (1) x, x 0 , 取等号当且仅当 x = 0 .
线性代数中的正交矩阵与正交变换
线性代数中的正交矩阵与正交变换线性代数是现代数学的基础理论之一，它在各个领域中起到了重要的作用。
其中，正交矩阵和正交变换是线性代数中的重要概念之一。
本文将深入探讨正交矩阵和正交变换的定义、性质以及在实际问题中的应用。
一、正交矩阵的定义与性质首先，我们来了解正交矩阵的定义。
在线性代数中，一个方阵A称为正交矩阵，当且仅当满足以下条件：1. A的转置矩阵A^T等于它的逆矩阵A^(-1)。
2. A的所有列向量互为正交向量。
3. A的所有列向量的模长都等于1。
基于上述定义，我们可以推导出正交矩阵的一些重要性质。
1. 正交矩阵的行向量以及列向量都是单位向量，即长度为1的向量。
2. 正交矩阵的行向量两两正交，列向量两两正交。
3. 正交矩阵的转置矩阵就是它的逆矩阵。
二、正交变换的概念与性质正交变换是指保持向量的长度和夹角不变的线性变换。
在线性代数中，我们可以通过正交矩阵进行正交变换。
具体而言，设A是一个正交矩阵，x是一个向量，那么正交变换可以表示为Ax。
正交变换具有以下重要性质：1. 正交变换可以将一个向量映射为另一个向量，同时保持向量的长度和夹角不变。
2. 正交变换的矩阵一定是正交矩阵，即正交矩阵其实就是表示正交变换的矩阵。
3. 正交变换是线性变换的一种特殊情况，其满足线性变换的加法和数乘运算。
三、正交矩阵与正交变换在实际问题中的应用正交矩阵与正交变换在实际问题中有广泛的应用。
以下举例说明：1. 三维图形的旋转在三维计算机图形学中，我们经常需要对三维图形进行旋转操作。
而正交矩阵正好可以用来表示三维空间中的旋转。
通过构造一个特定的正交矩阵，我们可以实现对三维图形的旋转变换。
2. 傅里叶变换傅里叶变换是一种在信号处理和图像处理中广泛应用的方法。
正交矩阵在傅里叶变换中起到了重要作用，通过将输入信号与正交矩阵相乘，可以实现频域上的变换，提取信号的频谱信息。
3. 数据压缩与图像处理正交矩阵和正交变换也被广泛应用于数据压缩和图像处理领域。
正交矩阵知识点总结
正交矩阵知识点总结正交矩阵是线性代数中的重要概念，它具有许多特殊的性质和应用。
本文将从定义、性质和应用三个方面对正交矩阵进行总结。
一、定义正交矩阵是指满足以下条件的方阵：它的转置等于它的逆矩阵。
换句话说，设A是一个n阶方阵，若满足AT·A=AA·T=I（其中I是单位矩阵），则称A为正交矩阵。
二、性质1. 正交矩阵的行（列）向量是单位向量且两两正交。
具体来说，设A是一个n阶正交矩阵，其第i行（列）向量记作ai（aiT），则有ai·aiT=1，ai·ajT=0（i≠j）。
这意味着正交矩阵的行（列）向量长度为1且彼此垂直。
2. 正交矩阵的行列式的值只能是±1。
这是由于正交矩阵的行（列）向量长度为1，所以它们的行列式值为1或-1，从而整个矩阵的行列式值也只能是这两个值。
3. 正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵。
设A是一个n阶正交矩阵，则A的逆矩阵A-1也是正交矩阵。
这是因为(A-1)T·(A-1)=A-1·AT=I，满足正交矩阵的定义。
4. 两个正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵。
设A和B分别是n阶和m阶正交矩阵，它们的乘积AB是一个n阶正交矩阵。
这是由于(AB)T·(AB)=BTA·AB=BT·(A·A)·B=BT·IB=B·B=I。
5. 正交矩阵的转置也是正交矩阵。
设A是一个n阶正交矩阵，则它的转置AT也是正交矩阵。
这是因为(AT)T·(AT)=A·A=I。
三、应用1. 坐标系变换：正交矩阵可以用于坐标系的旋转和变换。
设A是一个二维正交矩阵，它的列向量表示一个坐标系的基向量，那么对于一个向量x，通过矩阵乘法Ax即可得到它在新坐标系下的表示。
2. 正交变换：正交矩阵可以保持向量的长度和夹角不变。
例如，对于一个二维向量x，若A是一个正交矩阵，那么||Ax||=||x||，且x·y=(Ax)·(Ay)，其中||·||表示向量的长度，·表示向量的内积。
线性代数中的正交变换与正交矩阵
线性代数中的正交变换与正交矩阵线性代数是一门研究向量空间及其运算规律的数学学科，正交变换和正交矩阵是其中重要的概念之一。
本文将介绍正交变换和正交矩阵的定义、性质以及其在线性代数中的应用。
一、正交变换的定义与性质正交变换是指一种保持向量内积不变的线性变换。
设V是一个n维向量空间，线性变换A:V→V是一个正交变换，当且仅当满足以下条件：1. 对于V中任意两个向量u、v，有(Au)·(Av) = u·v，其中·表示两个向量的内积；2. A是一个满秩的矩阵，即A的行与列都线性无关。
正交变换具有以下重要性质：1. 正交变换保持向量的长度不变，即对于任意向量v，有||Av|| = ||v||，其中||v||表示向量的长度；2. 正交变换保持向量之间的夹角不变，即对于任意向量u、v，有夹角(Au, Av) = 夹角(u, v)，其中夹角(u, v)表示向量u和v之间的夹角；3. 正交变换的逆变换也是正交变换，即如果A是一个正交变换，则存在一个矩阵B，使得AB = BA = I，其中I是单位矩阵；4. 正交变换的矩阵表示是一个正交矩阵。
二、正交矩阵的定义与性质正交矩阵是指行列式的值为1或-1的实矩阵。
设A是一个n×n的矩阵，如果A满足以下条件，则称A是一个正交矩阵：1. A的转置矩阵A^T与A的乘积等于单位矩阵，即A^T × A = I；2. A的行（或列）向量构成一组标准正交基。
正交矩阵具有以下重要性质：1. 正交矩阵乘积依然是一个正交矩阵，即如果A和B都是正交矩阵，则AB也是正交矩阵；2. 正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即如果A是一个正交矩阵，则A^T是其逆矩阵；3. 正交矩阵的行（或列）向量是一组标准正交基，即正交矩阵的行（或列）向量互相正交且长度为1；4. 正交矩阵的行列式的值为1或-1，即|A| = 1或|A| = -1。
三、正交变换与正交矩阵的应用正交变换和正交矩阵在线性代数中有着广泛的应用。
正交向量与正交矩阵
正交向量与正交矩阵1. 引言（约200字）正交向量是线性代数中非常重要的概念之一。
在向量空间中，如果两个向量相互垂直（即内积为零），则称它们是正交向量。
正交矩阵是一种特殊的方阵，其每一行、每一列都是正交向量。
本文将介绍正交向量和正交矩阵的定义、性质以及应用。
2. 正交向量（约800字）2.1 正交向量的定义和性质正交向量的定义是指两个向量之间的积为零。
如果向量A和B是正交向量，则满足以下条件：A·B = 0正交向量的几何意义是相互垂直，因此可以直观地理解为两个向量在空间中没有任何夹角。
2.2 正交向量的判定方法判定一组向量是否正交可以通过计算它们的内积来实现。
如果内积为零，则说明向量间相互垂直，即正交；反之，如果内积不为零，则不是正交向量。
2.3 正交向量的一些性质正交向量具有以下性质：a) 任意两个非零向量相互正交，则它们线性无关；b) 若向量组{A1, A2, ... , An}中的向量两两正交，则称为正交向量组；c) 正交向量组中如果每个向量的范数（长度）都是1，则称为标准正交向量组；d) 如果向量组{A1, A2, ... , An}是正交向量组，且向量Ai的长度为1，则称它为标准正交基。
3. 正交矩阵（约800字）3.1 正交矩阵的定义和性质正交矩阵是指一个方阵，其每一行、每一列都是正交向量。
设A是一个n阶方阵，如果满足AT·A = AA·T = I（I为单位矩阵），则称A 为正交矩阵。
正交矩阵具有以下性质：a) 正交矩阵的逆矩阵等于它的转置矩阵：A^(-1) = A^T；b) 正交矩阵的行列式的绝对值等于1或-1：|A| = ±1；c) 正交矩阵的行（列）向量组是正交基。
3.2 正交矩阵的应用正交矩阵在许多领域有广泛的应用，其中最主要的应用之一是在旋转变换中。
在计算机图形学中，正交矩阵被用来进行三维空间的旋转变换，例如计算机动画中的物体旋转、镜头视角的变换等。
线性代数中的正交性与正交矩阵的构造
求解线性方程组 求解矩阵特征值和特征向量 计算矩阵的逆和行列式 数值积分和微分
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正交矩阵的行向量和列向量是正交的 正交矩阵的行列式值为1或-1 正交矩阵的转置矩阵也是正交矩阵 正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵
几何向量：在二维或三维空间中，正交向量用于表示方向和长度，是解决几何问题的关键。
矩阵计算：在矩阵计算中，正交矩阵用于保证变换前后的向量正交，保证计算的正确性。
特征值与特征向量：在求解特征值与特征向量的过程中，正交化过程用于消除向量之间的相关 性，得到独立的特征向量。
行列式法：利用行列式的性质，通过计算矩阵的行列式来构造正交矩阵。
正交矩阵的应用
正交矩阵可以用于 表示向量空间中的 正交变换
正交矩阵可以用于 计算向量空间的基 底和维数
正交矩阵可以用于 验证向量空间中的 子空间性质
Байду номын сангаас
正交矩阵可以用于 求解向量空间中的 线性方程组
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矩阵分解是将一个复杂的矩阵分解为几个简单的、易于处理的矩阵，正交矩阵是其中一种常 用的分解方式。
线性代数中的正交性 与正交矩阵的构造
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线性代数中的正交 性
正交矩阵的构造
正交矩阵的应用
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线性代数中的正交 性
正交性是指两个向量垂直，它们的点积为0。 在线性代数中，正交性可以扩展到向量组和矩阵，用于描述向量之间的关系。 正交性是线性代数中的一个重要概念，它在解决实际问题中有着广泛的应用。 正交性可以通过多种方式进行检验，如正交矩阵的乘积为0等。
正交矩阵的判定：如果一个矩阵的转置矩阵乘以原矩阵等于单位矩阵，则这个矩阵是 正交矩阵。
正交变换与正交矩阵
正交变换与正交矩阵正交变换是线性代数中的重要概念，它在图像处理、三维计算机图形学和信号处理等领域中得到广泛应用。
而正交矩阵则是与正交变换密切相关的基本概念。
本文将详细介绍正交变换和正交矩阵的概念、性质以及应用，并探讨它们之间的关系。
一、正交变换的概念正交变换是指保持向量内积和向量长度不变的线性变换。
假设$V$是一个$n$维实内积空间，对于任意的向量$\mathbf{x},\mathbf{y} \in V$和标量$a$，满足以下条件的线性变换$T$称为正交变换：1. 向量内积不变：$(T\mathbf{x}) \cdot (T\mathbf{y}) = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y}$2. 向量长度不变：$||T\mathbf{x}|| = ||\mathbf{x}||$二、正交矩阵的定义与性质正交矩阵是一种特殊的方阵，满足以下条件：1. 矩阵的列向量是正交的单位向量。
2. 矩阵的行向量也是正交的单位向量。
3. 矩阵的转置等于其逆矩阵。
正交矩阵的性质如下：1. 正交矩阵的行列式的绝对值等于1。
2. 正交矩阵的逆矩阵是它的转置矩阵。
3. 正交矩阵乘积仍为正交矩阵。
4. 正交矩阵具有保持向量内积和向量长度不变的性质。
三、正交变换与正交矩阵的关系正交变换可以用正交矩阵来表示，反之亦然。
对于给定的正交变换$T$，存在一个正交矩阵$Q$，使得$\mathbf{x}=Q\mathbf{y}$，其中$\mathbf{x}$和$\mathbf{y}$表示向量。
四、正交变换与正交矩阵的应用正交变换与正交矩阵在许多领域中有着广泛的应用。
以下列举了几个典型的应用：1. 图像处理：正交变换可以用于图像的平移、旋转和缩放等操作，以及图像的主成分分析等。
2. 三维计算机图形学：正交变换可以实现三维物体的旋转、平移和投影等操作，用于生成逼真的视觉效果。
3. 信号处理：正交变换可以用于信号的滤波、降噪和频谱分析等，提高信号的质量和准确性。
线性代数中的正交矩阵性质与使用注意事项
线性代数中的正交矩阵性质与使用注意事项线性代数是数学的一个重要分支，研究向量空间和线性映射的性质与结构。
在线性代数中，正交矩阵是一个非常重要的概念，它具有许多独特的性质和应用。
本文将探讨正交矩阵的性质以及在实际应用中的注意事项。
首先，正交矩阵是指一个方阵，其列向量两两正交且长度为1。
这意味着正交矩阵的转置等于其逆，即Q^T = Q^(-1)。
这个性质非常重要，因为它保证了正交矩阵的行列式值为1或-1。
这一性质在许多应用中起到了关键作用，例如在旋转变换中，正交矩阵可以用来保持向量的长度和夹角不变。
其次，正交矩阵的行向量和列向量都构成一个标准正交基。
标准正交基是指向量之间两两正交且长度为1的向量组。
正交矩阵的行向量和列向量都满足这一条件，因此它们可以作为一个标准正交基来表示向量空间中的向量。
这个性质在计算机图形学和信号处理等领域中得到了广泛应用，例如在三维空间中，可以使用正交矩阵来表示旋转和变换操作。
此外，正交矩阵具有保持向量长度和夹角不变的性质。
当一个向量与一个正交矩阵相乘时，其长度和夹角都不会发生改变。
这一性质在许多实际问题中非常有用，例如在图像处理中，可以使用正交矩阵来进行图像的旋转和缩放操作，而不会改变图像中物体的形状和大小。
然而，在使用正交矩阵时，也需要注意一些问题。
首先，正交矩阵的计算可能会涉及到复杂的数学运算，特别是在高维空间中。
因此，在实际应用中，需要使用适当的数值方法来计算正交矩阵，以避免计算误差和数值不稳定性。
其次，正交矩阵的乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA。
这一性质需要在使用正交矩阵时予以注意，特别是在矩阵相乘的顺序对结果产生影响的情况下。
例如，在图像处理中，如果先进行旋转再进行缩放，与先进行缩放再进行旋转得到的结果可能会不同。
最后，正交矩阵的逆等于其转置，因此正交矩阵是可逆的。
这一性质在求解线性方程组和计算矩阵的特征值和特征向量时非常有用。
然而，需要注意的是，正交矩阵的逆可能会导致数值不稳定性，特别是在接近奇异矩阵的情况下。
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4 9 1 4 = 0 9 0 7 9
T
0 1 0
0 0 1
所以它是正交矩阵． 所以它是正交矩阵．
例
验证矩阵 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 是正交矩阵 . P= 2 1 1 0 0 2 2 1 1 0 0 2 2 P的每个列向量都是单位 向量, 且两两正交 ,
2.5 向量组的正交性与正交矩阵
一、正交向量组的概念 定义2-5-1： 定义 若n维向量 α 和 β 的内积为零，即 (α , β ) = 0 α 则称向量 α 和 β 正交。 记作： ⊥ β 零向量与任何向量都正交. 注： 零向量与任何向量都正交 定义2-5-2： 定义 是一组n维向量 α 维向量， 设 α1 , α 2 ,...α n 是一组 维向量， i ≠ 0(i = 1,2,...n) 若对
是V的一组正交规范基或标准正交基。 的一组正交规范基 的一组正交规范基或标准正交基。
向量空间的每个基都可以化为正交规范基， 向量空间的每个基都可以化为正交规范基，向量空间的正交 规范基（标准正交基）也不唯一。 规范基（标准正交基）也不唯一。
例如： 例如：
1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 0 , e 0 . e1 = , e2 = 0 , e3 = 1 2 4 = 1 2 0 1 2 1 2 0 0
所以它不是正交矩阵． 所以它不是正交矩阵．
1 9 (2 ) 8 9 4 9
8 9 1 9 4 9
4 9 4 9 7 9
由于
1 9 8 9 4 9 8 9 1 9 4 9 4 9 4 9 7 9
1 9 8 9 4 9
8 9 1 9 4 9
此非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交 此非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交 向量组。若其中每个向量的长度都是1,则称为 则称为正交单位向 向量组。若其中每个向量的长度都是 则称为正交单位向 量组(或标准正交向量组)． 量组 或标准正交向量组 ．
e1 = (1,0, ,0), e2 = (0,1, ,0), , en = (0,0, ,1).
(2)A 1 = AT
(5)aij = ± Aij .
定理2-5-2 定理2
A
矩阵A为正交矩阵的充要条件是 的列 矩阵 为正交矩阵的充要条件是A的列(行)向 为正交矩阵的充要条件是 的列( 量都是单位向量且两两正交． 量都是单位向量且两两正交． 证明 A AT = E a11 a12 a21 a22 a n1 an2
8 14 (0,2,1,3) = (1,1,2,0) = (3,5,1,1) (1,1,1,1) 4 14 单位化， 再单位化， 得标准正交向量组如下
β1 1 1 1 1 1 e1 = = (1,1,1,1) = , , , β1 2 2 2 2 2 1 3 β2 2 1 (0,2,1,3) = 0, e2 = = , , β2 14 14 14 14 β3 1 1 2 1 (1,1, 2,0 ) = , , ,0 e3 = = β3 6 6 6 6
(ei , e j ) = 0, i ≠ j且i , j = 1,2,3,4. 由于 (ei , e j ) = 1, i = j且i , j = 1,2,3,4.
所以 e1 , e 2 , e 3 , e4为 R 4的一个标准正交基 .
同理可知
1 0 0 0 0, ε = 1, ε = 0, ε = 0. ε1 = 2 3 4 0 0 1 0 0 0 0 1
非零向量, α α 线性无关. 非零向量,则 α 1, 2 , , r 线性无关.
证明 设有 λ1 , λ2 ,, λr 使
λ1α1 + λ2α 2 + + λrα r = 0
T λ1α 1 α 1 = 0 以 a 左乘上式两端 , 得
T 1
由 α1 ≠ 0 α α1 = α1
T 1
2
≠ 0, 从而有 λ1 = 0 .
在下列正交规范基下的坐标。 例：求向量 α = (1,0,1,0) 在下列正交规范基下的坐标。
ε 1 = (1 2 ,1 2 ,0,0) ε 2 = (1 2 , 1 2 ,0,0) ε 3 = (0,0,1 2 ,1 2 ) ε 4 = (0,0,1 2 ,1 2 )
(1 2 ,1 2 ,1 2 ,1 2)
β1 = α1 = (1,1,1,1)
(β1 , α 2 ) β β2 = α2 (β1 , β1 ) 1
11+ 4 (1,1,1,1) = (0,2,1,3 ) = (1,1,0,4 ) 1+1+1+1
(β1 , α 3 ) β (β 2 , α 3 ) β β3 = α3 1 2 (β1 , β1 ) (β 2 , β 2 )
这里每个向量均要求为非零向量; 注意 (1) 这里每个向量均要求为非零向量 (2) 由单个非零向量组成的向量组也是正交向量组． 由单个非零向量组成的向量组也是正交向量组 非零向量组成的向量组也是正交向量
二、 正交向量组的性质 定理2-5-1: 定理
α α 若 n维向量 α 1, 2 , , r 是一组两两正交的
也为R 也为 4的一个标准正交基 .
若 ε 1 , ε 2 ,..., ε m 是向量空间 m的一组基， 则Vm中任一向量 是向量空间V 的一组基，
α
可表示为： 可表示为： = k1ε 1 + k 2ε 2 + .... + k mε m α 所以 k =(αεi) (i =1 m , ,...,) i
Τ Τ Τ T = (α1Τ , α 2 , α 3 , α 4 )
思考题
求一单位向量， 求一单位向量，使它与
α 1 = (1,1,1,1), α 2 = (1,1,1,1), α 3 = (2,1,1,3 )
正交． 正交．
思考题解答
解 设所求向量为 x = (a , b, c , d ), 则由题意可得 : a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 1, a + b c + d = 0, a b c + d = 0, 2a + b + c + 3d = 0. 2 1 3 ,0, , ) 解之可得 : x = ( 2 13 26 26 2 1 3 x = (2 ,0, , ). 或 13 26 26
五、正交矩阵与正交变换 定义2 定义2-5-4：
若n阶方阵A满足 AT A = E ( A AT = E ), 则 称A为 正交矩阵 .
设A是n阶正交矩阵,
由定义可知： 由定义可知：
(1) A = 1或 1
(3)AT (即A 1 )也是正交矩阵 .
(4)若A, B为n阶正交矩阵 AB与BA也是正交矩阵。
同理可得 λ2 = = λr = 0. 故α 1 ,α 2 ,,α r 线性无关 .
注意：正交向量组线性无关， 注意：正交向量组线性无关，但线性无关的向量组不 一定是正交向量组。 一定是正交向量组。 构成的向量组。 如：由 α1 = (1,1,0,0); α 2 = (1,1,1,0); 构成的向量组。 但是，我们可以利用施密特正交化方法将线性无关的 但是， 向量组化为正交向量组。 向量组化为正交向量组。
1 9 8 (2 ) 9 4 9 8 9 1 9 4 9 4 9 4 . 9 7 9
1 2 1 3 1 (1) 1 2 1 1 2 , 13 1 2 1 解 （1） ）
考察矩阵的第一列和第二列， 考察矩阵的第一列和第二列， 由于
1 1 1 1 1 × + × 1 + × ≠ 0, 3 2 2 2
四 标准正交基的概念 定义2-5-3: 定义 若n维向量 ε 1 , ε 2 ,..., ε m 是向量空间 的一组基，如果 维向量 是向量空间V的一组基 的一组基，
ε 1 , ε 2 ,..., ε m 两两正交，且都是单位向量，则称 两两正交，且都是单位向量，
ε 1 ε 2 ,..., ε m
( β 1 ,α r ) ( β 2 ,α r ) ( β r 1 , α r ) βr = αr β1 β2 β r 1 (β1 , β1 ) (β 2 , β 2 ) ( β r 1 , β r 1 )
那么 β 1 ,, β r 两两正交 , 且β 1 ,, β r 与α 1 ,α r 等价 .
β 3 = (1,0,0,0), β 4 = (0,0,1,0) γ 3 = (1 2 ,1 2 ,0,0), γ 4 = (0,0,1 2 ,1 2)
α1 = (1 2 ,1 2 ,1 2 ,1 2), α1 = (1 2 ,1 2 ,1 2 ,1 2) α 3 = ( 2 2 , 2 2 ,0,0), α 4 = (0,0, 2 2 , 2 2)
（2）化为正交单位向量组，取 ）化为正交单位向量组，
β1 β2 βr e1 = , e2 = , , er = , β1 β2 βr
那么 e1 , e2 , , er .为一正交单位向量组 一正交单位向量组。
上述由线性无关向量组 α 1 , ,α r 构造出正交 向量组 β 1 , , β r的过程 , 称为施密特正交化过程 .
解
所以P是正交矩阵 .
1 8 4 A = 8 1 4 , A正交吗？ 4 4 7
不正交
1 8 4 1 A = 8 1 4 , A = ? 4 4 7
1/ 9 8 / 9 4 / 9 1 A = 8 / 9 1 / 9 4 / 9 , A = ? AT 4 / 9 4 / 9 7 / 9
若再将正交向量组单位化，则这一过程称为正交规 若再将正交向量组单位化，则这一过程称为正交规 范化过程。 范化过程。
例 用施密特正交化方法，将向量组 用施密特正交化方法，
α1 = (1,1,1,1), α 2 = (1,1,0,4), α 3 = (3,5,1,1)