广东省珠海市2020届高三9月摸底测试数学理试题资料

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2019-2020年高三9月摸底考试理数试题含解析

注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.本试卷满分150分，考试时间为120分钟；考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

2019-2020年高三9月摸底考试理数试题含解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.若集合{}2log 12＜x x P ≤=,{}3,2,1=Q ，则＝Q P ⋂ A.{}2,1 B.{}1 C.{}3,2 D.{}3,2,1 【答案】C 【解析】试题分析：{}{}21log 2|24P x x x x =≤=≤<＜,所以{}2,3P Q =，故选C.考点：1.对数函数的性质；2.集合的运算. 2.复数iiz +-=12在复平面上对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D考点：1.复数的运算；2.复数相关的概念.3.设R a ∈,则“4=a 是“直线038:1=-+y ax l 与直线02:2=-+a ay x l 平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A考点：1.两条直线的位置关系；2.充分条件与必要条件. 4.下列函数中为偶函数又在),0(+∞上是增函数的是A.x y )21(= B.2y x = C.x y ln = D.xy -=2 【答案】B 【解析】试题分析：由函数的奇偶性定义可知，选项C,D 为非奇非偶函数，排除C 、D ，选项A 中，1()2xy =在区间(0,)+∞上是减函数，故选B. 考点：函数的奇偶性与单调性.5.执行右图的程序框图，如果输入3=a ，那么输出的n 的值为A.4B.3C.2D.1 【答案】A 【解析】试题分析：模拟算法：开始：输入3a =，0,1,0p n θ===，p θ≤，是；031,2113,011p n θ=+==⨯+==+=，p θ≤，是； 1134,2317,112p n θ=+==⨯+==+=，p θ≤，是； 24313,27115,213p n θ=+==⨯+==+=，p θ≤，是； 313340,215131,314p n θ=+==⨯+==+=，p θ≤，否，输出4n =；故选A.考点：程序框图. 6.将函数)64sin(3π+=x y 的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移6π个单位，所得函数图像的一个对称中心为 A.)0,487(π B.)0,3(π C.)0,85(π D.)0,127(π 【答案】D考点：1.函数的伸缩变换与平移变换；2.三角函数的图象与性质.7.已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≤+03045y x y x y x ，则下列目标函数中，在点)1,4(处取得最大值的是A.y x z -=51 B.y x z +-=3 C.15z x y =-- D.y x z -=3 【答案】D 【解析】试题分析：在直角坐标系内作出可行域如下图所示，由线性规划知识可知，目标函数15z x y =-与3z x y =-+均是在点(5,1)A --处取得最大值，目标函数15z x y =--在点(1,4)C 处取得最大值，目标函数y x z -=3在点(4,1)B 处取得最大值，故选D.考点：线性规划.8.若函数123)(23++-=x x a x x f 在区间)3,21(上单调递减，则实数a 的取值范围为 A.)310,25( B.),310(+∞ C.),310[+∞ D.),2[+∞ 【答案】C考点：导数与函数的单调性.9.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为A.12)2210(++π B.12)211(++π C.12)2211(++π D.613π【答案】B考点：1.三视图；2.旋转体的表面积与体积.10.如图所示，在一个边长为1的正方形A0BC 内，曲线)0(3＞x x y =和曲线x y =围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC 内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是A.125 B.61 C.41 D.31【答案】A 【解析】考点：1.积分的运算与几何意义；2.几何概型.【名师点晴】本题主要考查的是积分的运算与几何意义、几何概型，属于中档题．解几何概型的试题，一般先求出实验的基本事件构成的区域长度（面积或体积），再求出事件A 构成的区域长度（面积或体积），最后代入几何概型的概率公式即可．解本题需要掌握的知识点是复数的模和几何概型的概率公式，即若z a bi =+（a 、R b ∈），则z =，几何概型的概率公式()P A =()()A 构成事件的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积．11. 已知21,F F 分别为双曲线)0,0(1:2222＞＞b a by a x C =-的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于B A ,两点，若13:12:5::22=AF BF AB ，则双曲线的离心率为A.13B.41C.15D.3 【答案】B 【解析】试题分析：因为22::5:12:13AB BF AF =，所以可设225,12,13,(0)AB t BF t AF t t ===>，由22222AB BF AF +=可知2AB BF ⊥，由双曲线定义有，122BF BF a -=，212AF AF a -=，两式相加得12214BF BF AF AF a -+-=，即224AB AF BF a +-=.所以46a t =，32a t =，所以12213310AF AF a t t t =-=-=，所以1115BF AB AF t =+=，由勾股定理得22222222124(1215)9(45)941c BF BF t t t t =+=+=⨯+=⨯，所以c =，所以双曲线的离心率232c e a t ===B.考点：1.双曲线的定义、标准方程与几何性质；2.直线与双曲线的位置关系.【名师点睛】本题考查双曲线的定义、标准方程与几何性质、直线与双曲线的位置关系；属中档题；双曲线的定义在解题中有重要的作用，如本题中就利用定义列出两个等式，由这两个等式解方程组得到相应的比例关系，就可求双曲线的离心率.12.已知定义在),0(+∞上的函数)(x f ，满足0)()1(＞x f ；)(2)()()2(x f x f x f ＜＜'(其中)(x f '是)(x f 的导函数，e 是自然对数的底数)，则)2()1(f f 的范围为 A.)1,21(2e e B.)1,1(2ee C.)2,(e e D.),(3e e 【答案】B考点：1.导数与函数的单调性；2.构造法的应用.【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性以及构造法，属难题；联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了．第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题：（本大题共4各小题，每小题5分，共20分） 13.在83)21(xx +的展开式中4x 的系数是_______.【答案】7考点：二项式定理.14.设向量),4(m a =，)2,1(-=b ，且b a ⊥，则=+b a 2________.【答案】【解析】试题分析：因为a b ⊥，所以420a b m ⋅=-=，即2m =，所以2(6,2)a b +=-，226(a b +=+=，故应填.考点：1.向量的数量积与垂直的关系；2.向量的运算.15.正项等比数列{}n a 满足：1232a a a +=，若存在n m a a ,，使得2164·a a a n m =，则nm 91+的最小值为______. 【答案】2 【解析】试题分析：2321111222a a a a q a q a q =+⇔=+⇔=或1q =-，又0n a >，所以2q =，2222111·642648m n m n a a a a a m n +-=⇔⨯=⇔+=，所以1919191(10)(106)2888m n n m m n m n m n +⎛⎫+=+⋅=++≥⨯+= ⎪⎝⎭，当且仅当9n m m n=，即2,6m n ==时等号成立，所以nm 91+的最小值为2. 考点：1.等比数列的定义与性质；2.基本不等式.【名师点睛】本题考查等比数列的定义与性质、基本不等式，属中档题；利用基本不等式求最值时，应明确:1.和为定值，积有最大值，但要注意两数均为正数且能取到等号；2.积为定值和有最小值，直接利用不等式求解，但要注意不等式成立的条件.16.在直三棱柱111C B A ABC -中，BC AB ⊥，5=AC ，则直三棱柱内切球的表面积的最大值为___.【答案】25(3-考点：1.球的切接问题；2.球的表面积与体积；3.基本不等式.【名曰点睛】本题考查球的切接问题、球的表面积与体积公式以及不等式等知识，属中档题；与球有关的组合体通常是作出它的轴截面解题，或者通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题转化为平面问题进行求解.三、解答题（本大题共6小题，满分70分。

广东省珠海市高三数学9月摸底试题(珠海一模) 理新人教A版

珠海市2012年9月高三摸底考试理科数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．设全集U R =，集合{|2},{|05},A x x B x x =≥=≤<则集合()U C A B =A ．{|02}x x <<B ．{|02}x x ≤<C ．{|02}x x <≤D ．{|02}x x ≤≤2．已知实数,x y 满足10,10,10,x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩那么2x-y 的最大值为A ．—3B ．—2C ．1D ．23．函数()1x x f x a a -=++，()x x g x a a -=-，其中01a a >≠，，则A ．()()f x g x 、均为偶函数B ．()()f x g x 、均为奇函数C ．()f x 为偶函数，()g x 为奇函数D ． ()f x 为奇函数，()g x 为偶函数4．如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是 A ．36B ．108C ．72D ．1805．已知,αβ为不重合的两个平面，直线,m α⊂那么“m β⊥”是“αβ⊥”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且||||PA PB =若直线PA 的方程为10x y -+=，则直线PB 的方程是A. 270x y +-=B. 50x y +-=C. 240y x --=D. 210x y --=7．对１００只小白鼠进行某种激素试验，其中雄性小白鼠、雌性小白鼠对激素的敏感情况统计得到如下列联表由22() 5.56()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=≈++++附表：则下列说法正确的是：A ．在犯错误的概率不超过000.1的前提下认为“对激素敏感与性别有关”；B ．.在犯错误的概率不超过000.1的前提下认为“对激素敏感与性别无关”；C ．有0095以上的把握认为“对激素敏感与性别有关”；D ．有0095以上的把握认为“对激素敏感与性别无关”；8．设U 为全集，对集合X Y 、，定义运算“⊕”，满足()U X Y C X Y ⊕=，则对于任意集合X Y Z 、、，()X Y Z ⊕⊕= A ．()()U X Y C Z B ．()()U X Y C Z C ．[()()]U U C X C Y ZD ．()()U U C X C Y Z二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置. 9．在△ABC 中，7,6,5===c b a ，则=C cos .10. 已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2，它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______；渐近线方程为_______.11.不等式32>++x x 的解集是 . 12.右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 .13.1()20()2220xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪->⎩，则()f x x -的零点个数是________________．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆2cos ρθ=的圆心到直线cos 2ρθ=的距离是_____________. 15．（几何证明选讲选做题）如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 交BC 于F ，则=FC BF.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数1sin 2()cos xf x x-=.(1)求()f x 的定义域；(2)设α是第二象限的角，且tan α=34-，求()f α的值. 17．（本小题满分12分）A 、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量1x 和2x 。

广东省珠海市9月高三摸底考试数学试题(文)

广东省珠海市 9月高三摸底考试数学试题（文）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项． 1．已知集合2{|9},{|33}M x x N x z x ===∈-≤<,则M N =（）A ．∅B ．{3}-C ．{3,3}-D ．{3,2,0,1,2}-- 2．函数lg 1y x x =+-的定义域是（）A ．{|0}x x >B ．{|01}x x <≤C ．{|1}x x >D ．{|1}x x ≥3．()f x 是奇函数，则①|()|f x 一定是偶函数；②()()f x f x ⋅-一定是偶函数；③()()0f x f x ⋅-≥；④()|()|0f x f x -+=，其中错误的个数有（） A ．1个 B ．2个 C ．4个 D ．0个 4．如图，是一个几何体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）、俯视图，正视图（主视图）、侧视图（左视图）都是矩形，则该几何体的体积是（） A ．24 B ．12 C ．8 D ．45．命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的否命题是（） A ．“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数,则它是负数” C ．“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”6．某种动物繁殖量y （只）与时间x （年）的关系为3log (1)y a x =+,设这种动物第2年有100只,到第8年它们发展到（）A ．200只B ．300只C ．400只D ．500只 7．对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是（）A ．若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥B ．若//,a b b α⊂,则//a αC ．若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βαD ．若//,,,a b αβαγβγ==则//a b8．已知直线1l 与圆2220x y y ++=相切,且与直线2:l 3460x y +-=平行,则直线1l 的方程是来源:学考频道（）A ．3410x y +-=B ．3410x y ++=或3490x y +-=C ．3490x y ++=D ．3410x y +-=或3490x y ++=9．已知函数x x x f 3)(3-=，若过点A （0,16）的直线方程为16y ax =+，与曲线)(x f y =相切，则实数a 的值是（） A ．3- B ．3 C ．6 D ．910．对于任意两个正整数,m n ,定义某种运算“※”如下:当,m n 都为正偶数或正奇数时,m ※n =m n +;当,m n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m ※n =mn ．则在此定义下,集合{(,)M a b a =※12,,}b a b **=∈∈N N 中的元素个数是（）A ．10个B ．15个C ．16个D ．18个二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置．11．设数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，则7a 的值为__ __．12．已知双曲线的中心在原点,离心率为3,若它的一条准线与抛物线24y x =的准线重合,则该双曲线的方程是．13．图1是某学生的数学考试成绩茎叶图,第1次到14次的考试成绩依次记为1214A A A ，，…，．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点()M ρθ，关于极点的对称点的极坐标是．15．（几何证明选讲选做题）ABC ∆中，045A ∠=，030B ∠=，CD AB ⊥于D ，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ，则CEF ∠= ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知：(cos sin )A x x ，，其中02x π≤<，(11)B ，，OA OB OC +=，2()||f x OC =．（Ⅰ）求()f x 的对称轴和对称中心；（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间．17．（本小题满分12分）一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格：人数i x 10152025303540件数i y4 7 12 15 20 23 27其中1234567i =，，，，，，．（Ⅰ）以每天进店人数为横轴，每天商品销售件数为纵轴，画出散点图．（Ⅱ）求回归直线方程．（结果保留到小数点后两位）（参考数据：7i=13245i ix y=∑，25x =，15.43y =，7215075i i x ==∑，27()4375x =，72695x y =）（Ⅲ）预测进店人数为80人时，商品销售的件数．（结果保留整数）18．（本小题满分14分）如图，PAD ∆为等边三角形，ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，2AB =，E F G 、、分别为PA 、BC 、PD 中点，22AD =．（Ⅰ）求证：AG EF ⊥（Ⅱ）求多面体P AGF -的体积．19．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中,设点1(,0)2F ,直线l :12x =-,点P 在直线l 上移动,R 是线段PF 与y 轴的交点, ,RQ FP PQ l ⊥⊥．（I ）求动点Q 的轨迹的方程C ；（II ）设圆M 过)0 , 1(A ,且圆心M 在曲线C 上,TS 是圆M 在y 轴上截得的弦,当M 运动时弦长TS 是否为定值？请说明理由．20．（本小题满分14分）已知函数32()3f x kx kx b =-+，在[22]-，上最小值为3，最大值为17-，求k b 、的值．21．（本小题满分14分）已知定义在(11)-，上的奇函数()f x 满足1()12f =，且对任意(11)x y ∈-、，有()()()1x yf x f y f xy--=-．（Ⅰ）判断()f x 在(11)-，上的奇偶性，并加以证明．（Ⅱ）令112x =，1221n n n x x x +=+，求数列{()}n f x 的通项公式．（Ⅲ）设n T 为21{}()n n f x -的前n 项和，若632n m T -<对*n N ∈恒成立，求m 的最大值．参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项． 1—5 DBBC 6—10 ADDDB二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置．11．14 12．22136x y -=13．10 14．（()ρπθ+， 15．030 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．解：（Ⅰ）．由题设知，(cos sin )OA x x =，，………………………………………………２分(11)OB =，，则OC OA OB =+(1cos 1sin )x x =++，…………………３分∴2()||f x OC =22(1cos )(1sin )x x =+++32(sin cos )x x =++………………………………………………４分322sin()4x π=++………………………………………………５分∴对称轴是42x k k Z πππ+=+∈，，即对称轴是4x k k Z ππ=+∈，………………………………………………７分对称中心横坐标满足4x k k Z ππ+=∈，，即4x k k Z ππ=-∈，∴对称中心是(3)4k k Z ππ-∈，，………………………………………………９分（Ⅱ）．当22242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，时()f x 单增，……………１０分即32244k x k k Z ππππ-≤≤+∈， ∴()f x 的单增区间是3[22]44k k k Z ππππ-+∈，……１２分17．解：（Ⅰ）散点图如图………………………………………………４分（Ⅱ）．7i=13245i ix y=∑，25x =，15.43y =，7215075i i x ==∑，2()4375n x =∴71722170.797()i ii ii x y x yb xx ==-⋅=≈-∑∑， ………………………………………………６分4.32a y bx =-=- ………………………………………………８分∴回归直线方程是0.79 4.32y x =-……………………………………９分（Ⅲ）．进店人数80人时，商品销售的件数0.7980 4.32y =⨯-59≈件………………………………………………１２分[学考频道]18．（文）（Ⅰ）证明：连接GE 、GCPAD ∆是等边三角形，G 为PD 边中点，∴AG PD ⊥…………………………２分ABCD 为矩形，∴CD AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，∴ CD ⊥平面PAD ………………………………４分 ∴CD AG ⊥，∴AG ⊥平面PCD ，∴AG CG ⊥…………………………………６分E F 、分别为PA 、BC 中点， ∴12GEAD ，12CF AD ，∴GE CF ，∴四边形CFEG 是平行四边形，∴CG EF ………………………………………………８分∴AG EF ⊥………………………………………………１０分（Ⅱ）．--P AFG F PAG V V =三棱锥三棱锥21113232332PAG AB S ∆=⨯⋅=⨯⨯= ………………………………………………１４分19．解：（I ）依题意知,直线l 的方程为：1x =-．……………2分点R 是线段FP 的中点,且RQ ⊥FP ,∴RQ 是线段FP 的垂直平分线．……………4分∴PQ 是点Q 到直线l 的距离． ∵点Q 在线段FP 的垂直平分线, ∴PQ QF =．……………6分故动点Q 的轨迹E 是以F 为焦点,l 为准线的抛物线, 其方程为：22(0)y x x =>．……………8分G F H PDBA（II ）C y x M ∈∀) , (00,M 到y 轴的距离为00||x x d ==,…………9分圆的半径2020)1(||y x MA r +-==, 0则122202022+-=-=x y dr TS ,C y x M ∈) , (00 (2)由（I ）知0202x y =,所以2122020=+-=x y TS ,是定值．……………１４分20．解：由题设知0k ≠且'()3(2)f x kx x =-…………………………………………１分02x <<时，(2)0x x -<；0x <或2x >时，(2)0x x ->；0x =和2x =时，'()0f x =由题设知22x -≤≤，(2)20f k b -=-+，(0)f b =，(2)4f k b =-+…………３分 ①0k <时，20x -<<时， '()0f x <；02x <<时，'()0f x >，∴()f x 在(20)-，上单减，在(22)-，和上单增，…………………………………４分 0x =为()f x 的极小值点，也是最小值点；(2)(2)f f ->∴()f x 的最大值是(2)f -………………………………………………５分解20317k b b -+=⎧⎨=-⎩解得1k =-，17b =-………………………………７分②0k >时，20x -<<时， '()0f x >；02x <<时，'()0f x <，∴()f x 在(20)-，上单增，在(22)-，和上单减，………………………………９分来源： 0x =为()f x 的极大值点，也是最大值点；…………………………………１０分(2)(2)f f -<∴()f x 的最小值是(2)f - ………………………………………………１１分解20173k b b -+=-⎧⎨=⎩解得1k =，3b =……………………………………………１３分综上，1k =-，17b =-或1k =，3b =．………………………………………１４分21．解：（Ⅰ）．对任意(11)x y ∈-、，有()()()1x yf x f y f xy--=-…………① ∴令0x y ==得(0)0f =；………………………………………………１分令0x =由①得()()f y f y -=-，用x 替换上式中的y 有()()f x f x -=-………………………………………２分∴()f x 在(11)-，上为奇函数．………………………………………………３分（Ⅱ）．{()}n f x 满足1112x =<，则必有1221n n n x x x +=+212n n x x <= 否则若11n x +=则必有1n x =，依此类推必有11x =，矛盾∴01n x <<………………………………………………５分 ∴122()()()()11()n n n n n n n x x x f x f f x x x +--==+-⋅-()()()()2()n n n n n f x f x f x f x f x =--=+= ∴1()2()n n f x f x +=，又11()()12f x f ==∴{()}n f x 是1为首项，2为公比的等比数列，…………………………………７分 ∴1()2n n f x -= ………………………………………………８分（Ⅲ）．12121212()22n n n n n n f x ----==⨯………………………………………………９分故23135212()2222n n n T -=++++……………………………………② 2341113523212()222222n n n n n T +--=⨯+++++………………………③ ②-③得2311111111212()2222222n n n n T -+-=⨯+++++-2332n n +=-………………………………………………１１分∴12362n n n T -+=-6<………………………………………………１２分若632n m T -<对*n N ∈恒成立须6362m -≥，解得2m ≤……………………１３分∴m 的最大值为2． ………………………………………………１４分。

2020年广东省广州市高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)

2020年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={x|x<2}，集合N={x|0<x<1}，则M∩N=()A. {x|1<x<2}B. {x|0<x<1}C. {x|x<2}D. R2.设复数z=1−i，则z3=()A. −2+2iB. 2+2iC. −2−2iD. 2−2i3.若直线y=x+b与圆x2+y2−4x+2y+3=0有公共点，则实数b的取值范围是()A. [−2,2]B. [−3,1]C. [−4,0]D. [−5,−1]4.条件p：|x−m|≤2，条件q：−1≤x≤n，若p是q的充要条件，则m+n=()A. 2B. 3C. 4D. 55.当0≤x≤π2时，函数f(x)=sinx+√3cosx的()A. 最大值是√3，最小值是12B. 最大值是√3，最小值是1C. 最大值是2，最小值是1D. 最大值是2，最小值是126.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB=3,BC=5,，M是AA1的中点，则三棱锥A1−MBC1的体积为()A. 5B. 4C. 3D. 27.同文中学在高一年级进行“三城同创”演讲比赛，如果高一(8)班从3男1女4位同学中选派2位同学参加此次演讲比赛，那么选派的都是男生的概率是()．A. 34B. 14C. 23D. 128.直线l：y=k(x−1)与抛物线C：y2=4x交于A、B两点，若线段AB的中点横坐标为3，则|AB|的值为()A. 8B. 8√3C. 6√3D. 69.若等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=1，a8+a9=9，则S9=()A. 15B. 16C. 17D. 1810.曲线y=3x−lnx在点(1,3)处的切线方程为()A. y=−2x−1B. y=−2x+5C. y=2x+1D. y=2x−111.已知O为坐标原点，F1，F2是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，PM为∠F1PF2的角平分线，过F1作PM的垂线交PM于点M，则|OM|的长度为()A. aB. bC. a2D. b212.函数f(x)=x2−x−2的零点是()A. –2，–1B. 2，–1C. 1，2D. 1，–2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图，是一个几何体的三视图，其中正视图与侧视图完全相同，均为等边三角形与矩形的组合，俯视图为圆，若已知该几何体的表面积为16π，则x=______ ．14.已知(2+x2)(ax+1a)6展开式中含x4项的系数为45，则正实数a的值为______．15.设单位向量e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 的夹角是2π3，若(e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ )⊥(k e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ )，则实数k的值是______ ．16.已知数列{a n}的前n项和S n=n3，则a6+a7+a8=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin(2A+B)sinA=2+2cos(A+B)．(1)证明：b=2a；(2)若c=√7a，求∠C大小．18.“一本书，一碗面，一条河，一座桥”曾是兰州的城市名片，而现在“兰州马拉松”又成为了兰州的另一张名片，随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动不仅在兰州，而且在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人口逐年增加．为此，某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查．其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”．(1)经调查，该市约有2万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参与者”的人数；(2)某调查人员在调查这200人时，有3张周末的马拉松训练活动体验卡要向他们发放，若被调查者为“热烈参与者”，即送其1张体验卡，否则不予送出．调查人员顺次调查完前3人后，剩余的体验卡数量为ξ，试根据统计表的数据，以200人中“热烈参与者”的频率作为概率，求ξ的分布列及期望．19.如图，三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都是2，AA1⊥平面ABC，D，E分别是AC，CC1的中点．(1)求证：AE⊥平面A1BD；(2)求二面角D−BE−B1的余弦值．20.已知定点A(−3,0)、B(3,0)，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为−1，记动点M的9轨迹为曲线C．(Ⅰ)求曲线C的方程；(Ⅱ)过点T(1,0)的直线l与曲线C交于P、Q两点，是否存在定点S(s,0)，使得直线SP与SQ斜率之积为定值，若存在求出S坐标；若不存在请说明理由．21. 已知函数f(x)=ln(x +a)−x ，a ∈R ．(1)当a =−1时，求f(x)的单调区间；(2)若x ≥1时，不等式e f(x)+a 2x 2>1恒成立，求实数a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：{x =1+12t y =√32t(t 为参数)，曲线C 1：{x =√2cosθy =sinθ(θ为参数)．(1)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB|；(2)若Q 是曲线C 2：{x =cosαy =3+sinα(α为参数)上的一个动点，设点P 是曲线C 1上的一个动点，求|PQ|的最大值．23. 设f(x)=|x +1|−|2x −1|，(1)求不等式f(x)≤x +2的解集；(2)若不等式满足f(x)≤|x|(|a −1|+|a +1|)对任意实数x ≠0恒成立，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查交集的运算，属于基础题．求出集合M，N，即可求解．解：∵集合M={x|x<2}，集合N={x|0<x<1}，∴M∩N={x|0<x<1}．故选B．2.答案：C解析：本题考查了复数的运算法则、考查了计算能力，属于基础题．利用复数的运算法则求解即可．解：，故选C．3.答案：D解析：本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．将圆的一般方程转化为标准方程，根据题意可知圆心(2,−1)到直线x−y+b=0的距离小于等于半径√2，即可求得b的取值范围．解：圆x2+y2−4x+2y+3=0转化成标准方程为(x−2)2+(y+1)2=2，圆心为(2,−1)，半径为√2，因为直线y=x+b与圆x2+y2−4x+2y+3=0有公共点，≤√2，解得−5≤b≤−1，所以√1+1故选：D．4.答案：C解析：解：条件p：|x−m|≤2，解出m−2≤x≤m+2.条件q：−1≤x≤n，由p是q的充要条件，∴m−2=−1，m+2=n，解得m=1，n=3．则m+n=4．故选：C．条件p：|x−m|≤2，解出m−2≤x≤m+2.条件q：−1≤x≤n，由p是q的充要条件，可得m−2=−1，m+2=n，解出即可得出．本题考查了不等式与方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：C解析：利用辅助角公式将函数f(x)化简，根据三角函数的有界限求解即可．本题考查三角函数的图象及性质的运用，考查转化思想以及计算能力．解：函数f(x)=sinx+√3cosx=2sin(x+π3).当0≤x≤π2时，则π3≤x+π3≤5π6，那么：当x+π3=5π6时，函数f(x)取得最小值为1．当x+π3=π2时，函数f(x)取得最大值为2．故选C．6.答案：B解析：本题考查三棱柱体积的求法，属于基础题.根据题意可得sin∠MA1B=35，A1B=5，，A1M=2，即可得到S△A1MB,进而求出三棱锥A1−MBC1的体积．解：直三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB=3,BC=5,M是AA1的中点，则sin∠MA1B=35，A1B=5，，A1M=2，所以S△A1MB =12·A1M·A1B·sin∠MA1B=12×2×5×35=3，所以棱锥A1−MBC1的体积为 VA1−MBC1=VC−A1MB=13×C1A1·S△A1MB=13×4×3=4．7.答案：D解析：本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．基本事件总数n=C42=6，选派的都是男生包含的基本事件个数m=C32=3，由此能求出选派的都是男生的概率．解：高二8班从3男1女4位同学中选派2位同学参加某演讲比赛，三男一女分别记为A，B，C，D，则4位同学中选派2位同学的结果有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种，选派的都是男生包含的结果有AB，AC，BC，共三种，∴选派的都是男生的概率p=36=12．故选D．8.答案：A解析：本题考查抛物线的性质和应用，正确运用抛物线的定义是关键．线段AB的中点到准线的距离为4，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知|AB|的值．解：由题设知直线l：y=k(x−1)经过抛物线C：y2=4x的焦点坐标，线段AB的中点到准线的距离为3+1=4，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知：|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×4=8．故选：A．9.答案：B解析：本题考查等差数列的通项公式及前n 项和公式，属于基础题．由a 8+a 9=9，a 4=1联立解方程组即可求出等差数列的的公差和首项，然后代入求和公式．解：因为{a n }是等差数列，所以可设a n =a 1+(n −1)d ，所以a 4=a 1+3d =1，a 8+a 9=2a 4+9d =9，所以d =79，a 1=−43，所以S 9=9×(−43)+9×82×79=16．故选B ． 10.答案：C解析：本题考查曲线的切线方程，考查导数的几何意义，属于基础题．求导数，确定切线的斜率，即可求出曲线y =3x −lnx 在点(1,3)处的切线方程．解：由题意，y ′=3−1x ，所以曲线过点(1,3)处的切线斜率为k =3−1=2，所以切线方程为y −3=2(x −1)，即y =2x +1，故选C ． 11.答案：A解析：解：依题意如图，延长F 1M ，交PF 2于点T ，∵PM 是∠F 1PF 2的角分线．TF 1是PM 的垂线，∴PM 是TF 1的中垂线，∴|PF 1|=|PT|，∵P为双曲线x2a2−y2b2=1上一点，∴|PF1|−|PF2|=2a，∴|TF2|=2a，在三角形F1F2T中，MO是中位线，∴|OM|=a．故选：A．先画出双曲线和焦点三角形，由题意可知PM是TF1的中垂线，再利用双曲线的定义，数形结合即可得结论．本题考查了双曲线的定义的运用以及双曲线标准方程的意义，解题时要善于运用曲线定义，数形结合的思想解决问题．12.答案：B解析：本题主要考查函数零点的判定定理．由方程的根与函数零点的关系可知，求方程的根，就是确定函数的零点，也就是求函数的图象与x轴的交点的横坐标．令f(x)=0，由二次方程的解法，运用因式分解解方程即可得到所求函数的零点．解：令f(x)=0，即x2−x−2=0，即有(x−2)(x+1)=0，解得x=2或x=−1．即函数f(x)的零点为2或−1．故选B．13.答案：2√3解析：解：由三视图可知此几何体是组合体：上面是圆锥、下面是圆柱，∵正视图与侧视图完全相同，均为等边三角形与矩形的组合，∴圆锥的高是x，则半径为xtan60°=√3，母线长是xsin60°=2√3x3，则圆柱的底面半径是√3，高是1，∵该几何体的表面积为16π，∴π×(√3)2+2π×√3×1+π√3× 2√3x 3=16π，化简得，√3x 2+2x −16√3=0，解得x =2√3或x =3舍去)，故答案为：2√3．由三视图可知此几何体是组合体：上面是圆锥、下面是圆柱，由条件和直角三角形的三角函数求出半径、圆锥母线长，利用圆柱、圆锥的表面积公式列出方程求出x 的值．本题考查了由三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．14.答案：√22或1解析：本题考查了二项式定理的应用以及利用二项展开式的通项公式求展开式中某项系数的问题，是综合性题目，属于基础题．根据(ax +1a )6展开式的通项公式求出展开式中含x 4与x 2，从而求出(2+x 2)(ax +1a )6展开式中含x 4项的系数，列出方程求出正实数a 的值．解：∵(ax +1a )6展开式的通项公式为：T r+1=C 6r ⋅(ax)6−r ⋅(1a )r =C 6r⋅a 6−2r ⋅x 6−r ，令6−r =4，得r =2，∴T 2+1=C 62⋅a 2⋅x 4=15a 2x 4，令6−r =2，得r =4，∴T 4+1=C 64⋅a −2⋅x 2=15a −2x 2，∴(2+x 2)(ax +1a )6展开式中含x 4项的系数为： 2×15a 2+15a −2=45，整理得2a 4−3a 2+1=0，解得a 2=1或a 2=12， ∴正实数a =1或a =√22．故答案为√22或1．15.答案：54解析：本题考查了平面向量的数量积公式的应用以及向量垂直的性质；属于常规题．首先求出单位向量e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 的数量积，再根据(e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ )·(k e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ )=0，得到关于k的方程解之即可．解：因为单位向量e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 的夹角是2π3，所以e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =1×1×cos2π3=−12，并且(e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ )⊥(k e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ )，所以(e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ )⋅(k e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ )=0，展开得k e1⃗⃗⃗ 2−2e2⃗⃗⃗ 2+(1−2k)e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =0，即k−2−12(1−2k)=0，解得k=54．故答案为：54．16.答案：387解析：本题考查数列递推式，考查了由数列的前n项和求数列部分项的和，是基础的计算题．由已知数列的前n项和，利用a6+a7+a8=S8−S5求得结果．解：由S n=n3，得a6+a7+a8=S8−S5=83−53=387．故答案为：387．17.答案：解：(1)sin(2A+B)sinA=2+2cos(A+B)．∴sin(2A+B)=2sinA+2sinAcos(A+B)，∴sinAcos(A+B)+cosAsin(A+B)=2sinA+2sinAcos(A+B)，∴−sinAcos(A+B)+cosAsin(A+B)=2sinA，即sinB=2sinA，故由正弦定理可得b=2a．(2)由余弦定理可得cosC =a 2+b 2−c 22ab=a 2+4a 2−7a 24a 2=−12，因为∠C 是△ABC 的内角，故∠C =2π3．解析：(1)等式可化简为sinB =2sinA ，故由正弦定理可得b =2a ； (2)由余弦定理可得cosC =−12，∠C 是△ABC 的内角，故可得∠C =2π3．本题主要考查了余弦定理的综合应用，属于基础题．18.答案：解：(1)以200人中，“热烈参与者”的频率作为概率，则估计该市“热烈参与者”的人数约为：20000×15=4000； (2)根据题意可知，ξ～B(3,45)，P(ξ=0)=C 30×(15)3=1125， P(ξ=1)=C 31×45×(15)2=12125， P(ξ=2)=C 32×(45)2×15=48125， P(ξ=3)=C 33×(45)3=64125，∴ξ的分布列为：E(ξ)=3×45=125．解析：本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)以200人中，“热烈参与者”的频率作为概率，可估计该市“热烈参与者”的人数； (2)根据题意可知，ξ～B(3,45)，由此能求出ξ的分布列和E(ξ)．19.答案：证明：(1)∵AB =BC =CA ，D 是AC 的中点，∴BD ⊥AC ，∵AA 1⊥平面ABC ，AA 1⊂平面AA 1C 1C ，∴平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，又平面AA 1C 1C ∩平面ABC =AC ，BD ⊂平面ABC ， ∴BD ⊥平面AA 1C 1C ，又AE ⊂平面AA 1C 1C ， ∴BD ⊥AE ．又∵在正方形AA 1C 1C 中，D ，E 分别是AC ，CC 1的中点，根据相似三角形，易得A 1D ⊥AE ．又A 1D ∩BD =D ，A 1D 、BD ⊂平面A 1BD ， ∴AE ⊥平面A 1BD ．解：(2)因为BD ⊥平面AA 1C 1C ，根据题意，取A 1C 1中点F ，以DF ，DA ，DB 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， D(0,0，0)，E(1,−1,0)，B(0,0,√3)，B 1(2,0,√3)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,√3)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,√3)，设平面DBE 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =√3z =0DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =x −y =0，令x =1，则m⃗⃗⃗ =(1,1，0)，设平面BB 1E 的一个法向量为n⃗ =(a,b ，c)，则{BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =2a =0EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =a +b +√3c =0，令c =√3，则n ⃗ =(0,−3,√3) 设二面角D −BE −B 1的平面角为θ，观察可知θ为钝角， cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−√64，∴cosθ=−√64，故二面角D −BE −B 1的余弦值为−√64．解析：本题考查线面垂直的证明，考查向量法求解二面角的余弦值，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)推导出BD ⊥AC ，从而平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，进而BD ⊥平面AA 1C 1C ，BD ⊥AE ，再求出A 1D ⊥AE ，由此能证明AE ⊥平面A 1BD ．(2)取A 1C 1中点F ，以DF ，DA ，DB 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D −BE −B 1的余弦值．20.答案：解：(Ⅰ)设动点M(x,y)，则k MA =yx+3,k MB =yx−3(x ≠±3)， ∵k MA k MB =−19，即yx+3⋅yx−3=−19．化简得x 29+y 2=1，由已知x ≠±3，故曲线C 的方程为x 29+y 2=1(x ≠±3)．(Ⅱ)由已知直线l 过点T(1,0)，设l 的方程为x =my +1，则联立方程组{x =my +1x 2+9y 2=9，消去x 得 (m 2+9)y 2+2my −8=0，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则{y 1+y 2=−2mm 2+9y 1y 2=−8m 2+9，直线SP 与SQ 斜率分别为k SP =y 1x 1−s =y 1my 1+1−s ，k SQ =y 2x 2−s =y2my 2+1−s ，k SP k SQ =y 1y 2(my 1+1−s)(my 2+1−s)=y 1y 2m 2y 1y 2+m(1−s)(y 1+y 2)+(1−s)2=−8(s 2−9)m 2+9(1−s)2．当s =3时，k SP k SQ =−89(1−s)2=−29；当s =−3时，k SP k SQ =−89(1−s)2=−118．所以存在定点S(±3,0)，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值．解析：本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力，属于较难题． (Ⅰ)设动点M(x,y)，则k MA =yx+3,k MB =yx−3(x ≠±3)，利用k MA k MB =−19，求出曲线C 的方程． (Ⅱ)由已知直线l 过点T(1,0)，设l 的方程为x =my +1，则联立方程组{x =my +1x 2+9y 2=9，消去x 得(m 2+9)y 2+2my −8=0，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)利用韦达定理求解直线的斜率，然后化简即可推出结果．21.答案：解：(1)当a =−1时，f(x)=ln(x −1)−x ，x >1，f′(x)=1x−1−1=2−xx−1，当1<x <2时，f′(x)>0，f(x)递增，当x >2时，f′(x)<0，f(x)递减，故f(x)在(1,2)递增，在(2,+∞)递减；(2)由题意得：x ≥1时，x +a >0恒成立，故a >−1，①，不等式e f(x)+a2x 2>1恒成立，即a2x 2+x+a e x −1>0对任意的x ≥1恒成立，设g(x)=a2x 2+x+a e x−1，x ≥1，g′(x)=ae x x−x+1−ae x，a ≤0时，g(2)=a(2+1e 2)−1+2e 2<0，不合题意， a >0时，要使x ≥1时，不等式e f(x)+a2x 2>1恒成立，只需g(1)=a(12+1e )−1+1e >0，即a >2(e−1)e+2，a >2(e−1)e+2时，ae x x −x +1−a =a(e x x −1)+1−x >2(e−1)e+2(e x x −1)+1−x ，设ℎ(x)=2(e−1)e+2(e x x −1)+1−x ，x ≥1，ℎ′(x)=2(e−1)e+2e x x +2(e−1)e+2e x −1，x ≥1，显然ℎ′(x)在(1,+∞)递增，∴ℎ′(x)>ℎ′(1)=4e 2−5e−2e+2>0，∴ℎ(x)在(1,+∞)递增，ℎ(x)>ℎ(1)=2(e−1)2e+2>0，即ae x x −x +1−a >0，②，由①②得：a >2(e−1)e+2时，满足题意．解析：(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； (2)问题转化为a2x 2+x+a e x−1>0对任意的x ≥1恒成立，设g(x)=a 2x 2+x+a e x−1，x ≥1，通过求导得到g(x)的单调性，从而求出a 的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．22.答案：解：(1)由曲线C 1：{x =√2cosθy =sinθ(θ为参数)，消去参数θ，可得普通方程为x 22+y 2=1．把直线l 的参数方程代入为x 22+y 2=1，得7t 2+4t −4=0．则t 1+t 2=−47，t 1t 2=−47．∴|AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=8√27； (2)设点P(x,y)是曲线C 1上的一个动点，化曲线C 2：{x =cosαy =3+sinα(α为参数)为x 2+(y −3)2=1． ∴|PC 2|=√x 2+(y −3)2=√−(y +3)2+20， ∵−1≤y ≤1， ∴|PC 2|的最大值为4，则|PQ|的最大值为5．解析：(1)化曲线C 1的参数方程为普通方程，把直线的参数方程代入，化为关于t 的一元二次方程，利用根与系数的关系及此时t 的几何意义求解；(2)点P(x,y)是曲线C 1上的一个动点，化曲线C 2的参数方程为普通方程，由两点间的距离公式写出|PC 2|，利用二次函数求其最大值，进一步得到|PQ|的最大值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了圆与椭圆位置关系的应用，是中档题．23.答案：解：(1)根据题意可得，当x <−1时，−x −1+2x −1≤x +2，解得−2<2，所以x <−1；…(1分) 当−1≤x ≤12时，x +1+2x −1≤x +2，解得x ≤1，所以−1≤x ≤12；…(2分) 当x >12时，x +1−2x +1≤x +2，解得x ≥0，所以x >12；…(3分) 综上，不等式f(x)≤x +2的解集为R …(5分) (2)不等式f(x)≤|x|(|a −1|+|a +1|)等价于|x+1|−|2x−1||x|≤|a −1|+|a +1|，…(6分)因为||x+1|−|2x−1||x||=||1+1x|−|2−1x||≤|1+1x+2−1x|=3，…(8分)当且仅当(1+1x )(2−1x )≤0时取等号，因为|x+1|−|2x−1||x|≤|a −1|+|a +1|，所以|a −1|+|a +1|≥3，解得a ≤−32或a ≥32，故实数a 的取值范围为(−∞,−32]∪[32,+∞)…(10分)解析：(1)利用x 的范围去掉绝对值符号，然后求解不等式的解集即可． (2)不等式f(x)≤|x|(|a −1|+|a +1|)等价于|x+1|−|2x−1||x|≤|a −1|+|a +1|，利用绝对值不等式的几何意义求解左侧的最值，然后求解a 的范围即可．本题考查不等式恒成立，绝对值不等式的解法，考查转化思想以及分类讨论思想的应用．。

广东省珠海二中2020届高三数学下学期线上检测试题理含解析

）
A. 388 【答案】B
B. 772
C. 1540
D. 3076
【解析】
【分析】
根据题中表格中距离的规律，求出距离的通式，然后即可求出第 10 个行星与太阳的平均距
离.
【详解】设金星到太阳的距离为 a1 ，地球到到太阳的距离为 a2 ，以此类推，
可知第10 个行星到太阳的距离为 a9 ，
由表格可以得到 a2 a1 3 20 ， a3 a2 3 21 ，
f x 1 cos x 1 cos x 0
可得：
x
，令 x
，
作出
y
1 x
与
y
cos
x
图像如图：
可知两个函数有一个交点，就是函数的一个极值点，
f
ln
1
，排除
C；
当
x
x0
时，
f
x0
0
，故
x 0,
x0
时，函数
f
x 单调递增，
x x0,
时，函数
f
x 单调递减，排除
A
故选：D
【点睛】本题考查了与三角函数有关的图像的识别，利用导数判断函数的单调性、考查了数
y
3
0
4.已知实数 x, y 满足 x 2 y 4 0 ，则 z x 3y 的最小值为（）
A. －7
B. －6
C. 1
D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】
作出约束条件的可行域，根据目标函数表示的几何意义即可求解.
【详解】画出约束条件的可行域，如图（阴影部分）所示：
由图可知向上平移直线 x 3y 0 ，
4e2 a 0
1

广东省大湾区2025届高三上学期9月统一调研考试数学试题(含解析)

广东省大湾区2025届高三上学期9月统一调研考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．若24log log 2m n +=，则2m n =（）A．3B．4C．9D．162．设复数z 满足|1|2z -=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则（）A．22(1)2x y -+=B．22(1)2x y +-=C．22(1)4x y -+=D．22(1)4x y +-=3．若2{1,3,4,}m m ∈，则m 可能取值的集合为（）A．{0,1,4}B．{0,3,4}C．{1,0,3,4}-D．{0,1,3,4}4．已知随机变量~(,)X B n p ，若(2)2()D X E X =，则p =（）A．116B．18C．14D．125．甲、乙等6人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有（）A．6种B．12种C．24种D．48种6．已知函数()f x 的定义域为R ，且(1)(5)f f =，函数(1)f ax -的图象关于直线2x =对称，则a =（）A．1B．2C．3D．47．已知正(3)n n ≥棱锥的侧棱长为3，则其体积可能为（）A．10B．11C．12D．138．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且10a =，2n k a n k -=-1(02)n k -<≤，则31S =（）A．26-B．31-C．36-D．40-二、多选题（本大题共3小题）9．已知样本数据7,3,5,3,10,8，则这组数据的（）A．众数为3B．平均数为6.5C．上四分位数为8D．方差为20310．若某等腰直角三角形的其中两个顶点恰为椭圆C 的两个焦点，另一个顶点在C 上，则C 的离心率可能为（）A．12B．2C．1-D．11．记函数()sin cos 2sin 3f x x x x =在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭的极值点分别为1α，2α()12αα<，函数()()()2143g x x x x =--的极值点分别为1β，2β()12ββ<，则（）A．1256ββ+=B．()()i i f g αβ=()1,2i =C．()()()21f f x f αα≤≤D．2114αβ<三、填空题（本大题共3小题）12．已知等比数列{}n a 的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则1a =．13．已知球O 是某圆锥内可放入的最大的球，其半径为该圆锥底面半径的一半，则该圆锥的体积与球O 的体积之比为．14．设A ，B ，C 三点在棱长为2的正方体的表面上，则AB AC ⋅的最小值为．四、解答题（本大题共5小题）15．记ABC V 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知cos 1A A -=．(1)求A ；(2)记ABC V 的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，若3a =，求rR的取值范围．16．已知函数21()e xx x f x +-=．(1)求()f x 的极值；(2)讨论()f x 在区间[,m m 上的最大值．17．如图，在四面体ABCD 中，ABC V 是正三角形，ACD 是直角三角形，ABD CBD ∠=∠，AB BD =．(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)若二面角D AC E --的正切值为ACDE 与四面体ABCD 的体积之比．18．在平面直角坐标系xOy 中，等轴双曲线1C 和2C 的中心均为O ，焦点分别在x 轴和y 轴上，焦距之比为2，1C 的右焦点F 到1C 的渐近线的距离为2．(1)求1C ，2C 的方程；(2)过F 的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于D ，E 两点，AB与DE 的方向相同．（ⅰ）证明：||||AD BE =；（ⅱ）求AOD △面积的最小值．19．设离散型随机变量X ，Y 的取值分别为12{,,,}p x x x ，12{,,,}q y y y (),N p q *∈．定义X 关于事件“j Y y =”(1)j q ≤≤的条件数学期望为：1(|)(|)pj i i i i E X Y y x P X x Y y =====∑．已知条件数学期望满足全期望公式：1()(|)()qi i i E X E X Y y P Y y ====∑．解决如下问题：为了研究某药物对于微生物A 生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验．在第1天上午，实验人员向培养皿中加入10个A 的个体．从第1天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物．当加入药物时，A 的每个个体立即以相等的概率随机产生1次如下的生理反应（设A 的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）：①直接死亡；②分裂为2个个体．设第n 天上午培养皿中A 的个体数量为n X ．规定1()10E X =，1()0D X =．(1)求65(|6)E X X =；(2)求()n E X ；(3)已知21(|)(1)n n E X X k k k -==+(N )k *∈，证明：()n D X 随着n 的增大而增大．参考答案1．【答案】D【详解】因为24log log 2m n +=，所以221log log 22m n +=，故得12222log log log 4m n +=，化简得1222log log 4mn ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以124mn =，故216m n =，故D 正确.故选：D.2．【答案】C【详解】i z x y =+，则()|1|2|1i |2z x y -=⇒-+=，即2=，故22(1)4x y -+=.故选：C 3．【答案】B【详解】由2{1,3,4,}m ，得21m ≠，则1m ≠，由2{1,3,4,}m m ∈，得3m =，此时29m =，符合题意；或4m =，此时216m =，符合题意；或2m m =，则0m =，此时20m =，符合题意，所以m 可能取值的集合为{0,3,4}.故选：B 4．【答案】D【详解】依题意X 满足二项分布，且(2)2()D X E X =，即()()()()42,2D X E X D X E X ==，即()21np p np -=，解得12p =，（0p =舍去）.故选：D 5．【答案】D【详解】因为由于环状排列没有首尾之分，将n 个不同元素围成的环状排列剪开看成n 个元素排成一排，即共有!n 种排法，由于n 个不同元素共有n 种不同的剪法，则环状排列共有()!1!n n n=-种排法.甲、乙两人相邻而坐，可将此2人当作1人看，即5人围一圆桌，有()51!-种坐法，又因为甲、乙2人可换位，有2!种坐法，故所求坐法为()51!2!48-⨯=种.故选：D 6．【答案】B【详解】根据题意知，函数(1)f ax -的图象关于直线2x =对称，则得到()()(1)41f ax f a x -=--，又因(1)(5)f f =，则令11415ax ax a -=⎧⎨-+-=⎩或15411ax ax a -=⎧⎨-+-=⎩解之可得2a =.故选：B 7．【答案】A【详解】设正棱锥的底面正多边形的外接圆的半径为R ，可得外接圆的面积为2πS R =因为正棱锥的侧棱长为3，所以底面正多边形的外接圆的半径03R <<，又由正棱锥的高为h =设正棱锥的底面多边形的面积为1S ，所以正棱锥的体积21111π333V S h R =⋅<=03R <<，令2(0,9)x R =∈，可得11133V S h =⋅<设()239,(0,9)f x x x x =-∈，可得()()218336f x x x x x =-='-，当(0,6)x ∈时，′>0，函数()f x 单调递增；当(6,9)x ∈时，′<0，函数()f x 单调递减，所以，当6x =时，函数()f x 取得最大值，最大值为()6108f =，所以1113V <=<，结合选项，只有A 选项符合题意.故选：A.8．【答案】B 【详解】10a =，1220101a a -==-=，2321211a a -==-=，2420202a a -==-=，故12344a a a a +++=；3523330a a -==-=，3622321a a -==-=，3721312a a -==-=，3820303a a -==-=，故56786a a a a +++=；4927473a a -==-=-，41026462a a -==-=-，41125451a a -==-=-，⋅⋅⋅，41620404a a -==-=，故9101634842a a a -+++⋅⋅⋅+=⨯=；51721551510a a -==-=-，5182145149a a -==-=-，⋅⋅⋅，53121514a a -==-=，故17183110415452a a a -+++⋅⋅⋅+=⨯=-；故31S =()()()()12345678916173131a a a a a a a a a a a a +++++++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=-.故选：B9．【答案】ACD【详解】首先，我们把数据从小到大排列，得到3,3,5,7,8,10，对于A：观察得数据3出现的次数最多，所以众数为3，故A 正确；对于B：平均数为335781036666+++++==，故B 错误；对于C：因为一共有6个数据，且675 4.75⨯%=，所以上四分位数为第5个数，故上四分位数为8，故C 正确；对于D：方差为2222221(36)(36)(56)(76)(86)(106)6⎡⎤-+-+-+-+-+-⎣⎦，[]1120991141640663=+++++=⨯=，故D 正确.故选：ACD.10．【答案】BC【详解】在等腰直角ABC V 中，在不影响离心率的情况下不妨设π2A ∠=，AB AC k ==，0k >，且椭圆焦点位于x 轴上，当椭圆以B ，C 为焦点时，根据椭圆和等腰直角三角形对称性知点A 为椭圆上顶点，则22,a k a k ==；2,c c k =，离心率22c e a k ===.当椭圆以,A C 或,A B 为焦点时，(12)22(12),ka k k k a +=+=+=，2,2kc k c ==，离心率221(12)2k c e a k ==+，综上，椭圆的离心率为22或21.故选：BC.11．【答案】ABD【详解】选项A：()()()322143=8103g x x x x x x x =---+，()2=24203g x x x '-+，故由题意可知1β，2β为方程2242030x x -+=的两个根，故1256ββ+=，A 正确；选项B：()()()23642sin cos 2sin 3sin 12sin 3sin 4sin 8sin 10sin 3sin f x x x x x x x x x x x==--=-+，设2sin t x =，因π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0,1t ∈，此时函数=可化为()328103h t t t t =-+，由题意此函数的极值点分别为1β，2β()12ββ<，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数2sin t x =单调递增，故112sin βα=，222sin βα=，故()()11f g αβ=，()()22f g αβ=，故B 正确；选项C：由2242030x x -+=解得1β=2512β=()()111f g g αβ===<⎝⎭，由题意函数()f x 在()10,α上单调递增，在()12,αα上单调递减，在2π,2α⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，而π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故()()0201π,,2x f x f αα⎛⎫∃∈> ⎪⎝⎭，故C 错误；选项D：由A 可知，1510125β<=，2223sin 4βα==<，因2π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故20sin α<<2π5034α<<<，故2114αβ<，故D 正确，故选：ABD12．【答案】1【详解】设公比为q ，则12345663a a a a a a +++++=，其中()2461352a a a a a a ++=++，又()246135a a a q a a a ++=++，故2q =，()135363a a a ++=，故13521a a a ++=，即2411111141621a a q a q a a a ++=++=，解得11a =.故答案为：113．【答案】83/223【详解】球O 是某圆锥内可放入的最大的球，则该球为圆锥的内切球，截面如图所示：设球O 的半径为r ，则圆锥底面半径为2r ，可得在ABC V 中，,AD BC OF AC ⊥⊥，2CD CF r ==，设AE x =，由勾股定理得AF ==，222AD CD AC +=，即()())222222x r r r++=，化简得223440x rx r +-=，即()()3220x r x r -+=，0x >，则23x r =，即23AE r =，则圆锥体积为()321232ππ22339r rr r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，球O 的体积为34π3r ，所以圆锥的体积与球O 的体积之比为3332π894π33r r =.故答案为：83.14．【答案】2-【详解】法一：如图：不防设点A 在正方体的下底面内，B ，C 在正方体的表面的任何位置，它们在下底面的射影分别为1B ，1C .则11AB C C ⊥，11AC B B ⊥.所以110AB C C ⋅= ，110AC B B ⋅= ，110B B C C ⋅≥.所以AB AC ⋅ ()()1111AB B B AC C C =+⋅+11111111AB AC AB C C AC B B B B C C =⋅+⋅+⋅+⋅ 1111AB AC B B C C=⋅+⋅ 11AB AC ≥⋅11AB AC ≥-⋅ （当1AB 与1AC uuur 方向相反时取“=”）.又()211114AB AC AB AC +⋅≤（当且仅当1AB = 1AC时取“=”）.分析两个“=”成立的条件，可知A 为11B C 中点时，AB AC ⋅有最小值.此时1111AB AC B C +=≤11B C 为下底面的面对角线时取“=”）.所以(21124AB AC ⋅≤=，AB AC ⋅ 11AB AC ≥-⋅ ⇒2AB AC ⋅≥- （当A 位于下底面中心，B ，C 在下底面的射影是下底面的面对角线端点时取“=”）.法二：将正方体置于空间直角坐标系O xyz -中，且A 在平面xOy 中，点O 和点()2,2,2的连线是一条体对角线．设()12,,0A a a ，()123,,B b b b ，()123,,C c c c ，()112,,0B b b 和()112,,0C c c 分别是点B ，C 在平面xOy 上的投影．可得()130,0,B B b = ，()130,0,C C c = ，110AB C C ⋅= ，110AC B B ⋅= 则()()111111111111AB AC AB B B AC C C AB AC AB C C AC B B B B C C ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅ 1133AB AC b c =⋅+uuu r uuur，因为()211113311114AB AC AB AC b c AB AC AB AC +⋅+≥⋅≥-⋅≥-，当且仅当点C 为11B C 的中点时，等号成立，可得()2211111244AB AC B C +-=-≥- ，所以2AB AC ⋅≥-，当()1,1,0A ，11222b c b c -=-=，且330b c =时等号成立．故答案为：2-.15．【答案】(1)π3A =(2)1(0,2【详解】（1）cos 1A A -=，11cos 22A A ⎫∴-=⎪⎪⎝⎭，则π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()0,πA ∈ ，ππ66A ∴-=，解得π3A =，π3A ∴=；（2）根据正弦定理得：2sinaRA==设ABCV的内心为O，易知2π3BOC∠=，由11sin22BOCS ar OB OC BOC==⋅⋅∠，则6r OB OC=⋅，由余弦定理得：2222cosa OB OC OB OC BOC=+-⋅⋅∠，即2293OB OC OB OC OB OC=++⋅≥⋅，当且仅当OB OC=时取等号，3OB OC∴⋅≤，2r∴<≤，∴12rR=，∴1(0,]2Rr∈．16．【答案】(1)极小值为e-，极大值为25e；(2)答案见解析.【详解】（1）函数21()e xx xf x+-=定义域为R，求导得221(1)(1)(2)()e ex xx x x x xf x+-+-+-'==-，当1x<-或2x>时，()0f x'<，当12x-<<时，()0f x'>，因此函数()f x在1x=-处取得极小值(1)ef-=-，在2x=处取得极大值25(2)ef=，所以函数()f x的极小值为e-，极大值为25e.（2）由（1）知，函数()f x在(,1),(2,)-∞-+∞上单调递减，在(1,2)-上单调递增，①当1m≤-，即1m≤--()f x在[,m m+上单调递减，max()()f x f m=；②当11m<-<-时，()f x在[,1)m-上单调递减，在(1,m-上单调递增，由()0f x=，得121122x x-+=-=，21x x-=，当211m-<-≤时，112m--<≤，12()()()(f m f x f x f m≥=≥，max()()f x f m=；当1m<<-时，1m<<，12()()()(f m f x f x f m<=≤+，max()(f x f m=+；③当12m-≤≤()f x在[,m m上单调递增，max()(f x f m=+；④当22m <<时，()f x 在[,2)m 上单调递增，在(2,m 上单调递减，max 25()(2)e f x f ==；⑤当2m ≥时，()f x 在[,m m +上单调递减，max ()()f x f m =，所以当12m ≤-或2m ≥时，函数()f x 的最大值为()21e m m m f m +-=；当122m <≤+-()f x 的最大值为(214m m f m ++=当22m <<时，函数()f x 的最大值为25(2)e f =.17．【答案】(1)证明见解析(2)45【详解】（1）由题设得，ABD CBD ≅ ，从而AD DC =.又ACD 是直角三角形，所以=90ADC ∠︒.取AC 的中点O ，连接DO 、BO ，则DO ⊥AC 且OD OA =，又ABC V 是正三角形，故BO AC ⊥.则Rt AOB 中，22222BO AO AB BO DO +==+，又AB BD =，所以222BO DO BD +=，故OD OB ⊥.而AC OB O ⋂=且都在面ABC ，故OD ⊥面ABC ，而OD ⊂面ACD ，所以平面ACD ⊥平面ABC .（2）设2AB =，DE mDB =，结合（1）结论，以O 为坐标原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OD 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,1),(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0)D O B C A -，易知平面ADC 的法向量为1(0,1,0)n =，设(,,)E x y z ，由DE mDB =，可得,1)E m -，得,1),(1,0,0)OE m OA =-=，设面ACE 的法向量为2(,,)n x y z =，则()22010n OA x n OE m z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，取1y m =-，得0,x z ==，所以2(0,1)n m =-，因为二面角D AC E --的正切值为121cos ,7n n =，又01m ≤≤，解得45m =，所以45DE DB = ，所以E 到底面ACD 的距离与B 到底面ACD 的距离之比为45，所以四面体ACDE 与四面体ABCD 的体积之比45.18．【答案】(1)22224;1x y y x -=-=(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）【详解】（1）由题设可设22:i i C x y t -=,这里120,0t t ><.易知i C 渐近线为y x =±，焦距为i C的右焦点)F，由题设可知22==⨯⎩,解得124,1t t ==-.所以1C 的方程为224x y -=,2C 的方程为221x y -=-.（2）（ⅰ）设直线()()()()11223344:2,,,,,,,AB x my A x y B x y C x y D x y =+，,联立直线A 和i C的方程22ix my x y t ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩,得()22180i m y t -++-=.为使直线A 和i C 均有2个交点，必须有210m -≠，()()22324180i i m m t ∆=--->,解得29m <且21m ≠．由韦达定理可得1234221212342211,8811y y y y m m t t y y y y m m ⎧⎧--+=+=⎪⎪⎪⎪--⎨⎨--⎪⎪==⎪⎪--⎩⎩注意到1234y y y y +=+，因此线段A 和线段BE 具有相同的中点．记上述中点为M ，注意到,AD DM AM BE EM BM =-=-,所以AD BE =.（ⅱ）由（i ）可知AOD 和BOE 的面积相等．记AOD 的面积为S ,AOB 的面积为1S ,DOE 的面积为2S .由AB 与DE 的方向相同可知122S SS -=.因为11212S OF y y =⨯⨯-===，同理2S =所以122S S S -==，=设()[)0,9f x x =∈,则()f x --+-====',当[)0,7x ∈时，()()0,f x f x '>单调递增，当()7,9x ∈时，()()0,f x f x '>单调递减，因此2S =,当且仅当27m =时，等号成立，因此，AOD 面积的最小值为2．19．【答案】(1)6(2)()10n E X =(3)证明见解析【详解】（1）在事件56X =发生的条件下，如果在第五天下午加入药物后，有K 个个体分裂，则16,2K B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，()1632E K =⨯=，所以62X K =，()()6562236E X X E K ===⨯=．（2）由（1）可类似得到：在事件1n X k -=发生的条件下，如果在第1n -天下午加入药物之后，有m 个个体分裂，则n X 的取值为()2k m k m m +--=．在事件1n X k -=发生的条件下，令随机变量Z 表示第1n -天下午加入药物之后分裂的个体数目，则1,2Z B k ⎛⎫~ ⎪⎝⎭且2n X Z =．因此11001(|)2(2|)2()2()22rrn n n n m m E X X k m P X m X k m P Z m E Z k k --====⋅===⋅===⨯⨯=∑∑．设1n X -的取值集合为{}12,,,r x x x L ，则由全期望公式可知11110()(|)()()()rrn n n i n i i n i n t t E X E X X x P X x x P X x E X ----======⋅==∑∑．这表明(){}n E X 是常数列，所以()()110n E X E X ==．（3）由（2）可知22111()(|)()rnn n i n i i E X E X X x P X x --====∑()()()()2221111110ri i n i n n n i x x P X x E X X E X ----==+==+=+∑，这表明(){}2n E X 是公差为10的等差数列．又因为()()()22111100E X D X E X =+=⎡⎤⎣⎦，所以()()2100101n E X n =+-，从而()()()()22101n n n D X E X E X n =-=-⎡⎤⎣⎦．可以看出，()n D X 随着n 的增大而增大．。

2020届广东省珠海市高三上学期9月摸底测试数学（文）试题

2020届广东省珠海市高三上学期9月摸底测试数学（文）试题一、单选题 1．复数1iz i+=（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】试题分析：1(1)1i i iz i i i i++===-⨯，对应点的坐标为(1,1)-，在第四象限内. 【考点】1.复数的计算；2.复数与点的对应关系. 2．已知集合2{|,}A y y x x Z ==∈,{1,0,1,2}B =-,则A B =( )A ．{1}B ．{1,0,1}-C ．{0,1}D ．φ【答案】C【解析】求出A 集合即可【详解】因为{}{}2,0,1,4,9,16A y x x Z ==∈={1,0,1,2}B =-所以A B ={0,1}故选：C 【点睛】集合{}()A y y f x ==表示的是函数()f x 的值域集合{}()A x y f x ==表示的是函数()f x 的定义域 3．已知，，，(为自然对数的底数)，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】分别计算出和的大小关系，然后比较出结果【详解】，，，则故选【点睛】本题考查了比较指数、对数值的大小关系，在解答过程中可以比较和的大小关系，然后求出结果。

4．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上面的已知条件可求得该女子第4天所织布的尺数为( ) A ．)0(>>b a B ．1615C ．2031D ．4031【答案】D【解析】已知等比数列{a n }，52,5q S == ,求4.a531514(12)554052,12313131a S a a -==∴=∴=⋅=- 选D.5．某年级有学生560人，现用系统抽样的方法抽取一个容量为80的样本，把学生编号为001～560号，已知编号为40的学生被抽中，则样本中编号最小的是（） A ．004 B ．005C ．006D ．007【答案】B【解析】根据系统抽样，先求出系统抽样间隔，再根据编号为40的学生被抽中求解. 【详解】根据题意，系统抽样的间隔为560807÷=，又编号为40的学生被抽中，所以407 5.5÷=，所以样本中编号最小的是005. 故选：B 【点睛】本题主要考查系统抽样，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6．正方形ABCD 的边长为2，M 为BC 的中点，N 在线段DC 上，3DN NC =，则AM AN ⋅=（）A ．3B ．5C ．32D ．52【答案】B【解析】先用,AB AD 作为一个基底，表示向量1133,2244AM AB BC AB AD AN AD DC AD AB =+=+=+=+，然后再利用数量积求解. 【详解】如图所示：因为1133,2244AM AB BC AB AD AN AD DC AD AB =+=+=+=+，所以1324AM AN AB AD AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 221131842ABAD AB AD =++， 5=.故选：B 【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 7．直线3413x y +=被圆222150x y x +--=截的弦长为（） A ．4 B ．2C ．43D 3【答案】C【解析】先将圆的一般方程化标准方程，再求得圆心到直线3413x y +=的距离，然后利用弦长公式求解. 【详解】圆222150x y x +--=的标准方程为：()22116x y -+=，圆心到直线3413x y +=的距离为：1025d ==，所以被圆222150x y x +--=截的弦长为l ===故选：C 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8．已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，且离心率1e ，抛物线的离心率e ，椭圆221259x y +=的离心率2e ，若1e 、e 、2e 成等比数列，则双曲线的渐近线方程为（） A ．34y x B ．45y x =±C ．34yx 或43y x =±D ．45y x =±或54y x =±【答案】C【解析】先根据椭圆方程求得245e =，再根据1e =，1e 、e 、2e 成等比数列，求得21254e e e ==，然后由1e =. 【详解】因为椭圆方程为221259x y +=，所以2225,9,4a b c ====，所以245e =，又因为1e =，1e 、e 、2e 成等比数列，所以21254e e e ==，又因为154e ==，所以34b a . 所以双曲线的渐近线方程为34y x 或43y x =±.故选：C 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9．函数()22ln x x f x x=的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由()22ln x x f x x =得：()()()()222ln ln x x x xf x f x x x---===-，故其为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除D ；()22ln 40f =>，故排除A ；当01x <<时，()2ln f x x x =，()()21ln f x x ='+，可得10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<函数单调递减，当1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数单调递增，故排除C ，故选B.点睛：本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括,,0,0x x x x +-→+∞→-∞→→等.10．下图程序框图的功能是求出1161616166++++的值，则框图中①、②两处应分别填写（）A ．1i ≥，aB ．1i ≥，6a -C ．1i >，aD ．1i >，6a -【答案】D【解析】根据程序框图的功能是求1161616166++++的值，且16a a=+，循环验证即可. 【详解】因为程序框图的功能是求1161616166++++的值，且16a a=+，所以要进行五次循环，得到，16161616166a =+++++6i =开始，1i i =-，所以①填1i >，所以②填6a -. 故选：D【点睛】本题主要考查流程图中的循环结构，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题. 11．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A += )2224S b a c =+-，则B ∠=A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒【答案】D【解析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A ＝1，即A ＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C ，从而得到B 的值．【详解】由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2sin cos sin cos sin ,C B B C A +=()2sin sin sin 1C B A A ⇒+=⇒=,因为000180A <<，所以090A =；由余弦定理、三角形面积公式及)222S b a c =+-，得1sin 2cos 2ab C ab C =,整理得tan C =，又00090C <<,所以060C =,故030B =. 故选D 【点睛】本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．12．已知()f x 是定义在R 上的函数，且有()()11f x f x +=+，当01x <≤时，()21f x x =+，则方程()2x f x =的根有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】A【解析】求出函数的解析式，画出函数的图象，然后判断零点个数即可．【详解】()f x 是定义在R 上函数，且有(1)()1f x f x +=+，当01x <≤时，()21f x x =+可知10x -<≤时，011x <+≤，()(1)122f x f x x =+-=+，21x -<≤-时，021x <+≤，()(1)1(2)223f x f x f x x =+-=+-=+，32x -<≤-时，031x <+≤，()(1)1(2)2(3)324f x f x f x f x x =+-=+-=+-=+， 12x <≤时，011x <-≤，()(1)12f x f x x =-+=，⋯画出函数()f x 与函数2xy =的图象，如图：方程()2x f x =的根有3个根．故选：A.【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查数形结合思想、转化与化归思想的应用，考查运算求解能力．二、填空题13．已知数列{}n a 中，1112n n a a +=+对任意的*n N ∈恒成立，且315a =，则1a =____________；【答案】1【解析】先根据数列{}n a ，1112n na a +=+对任意的*n N ∈恒成立，得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，再根据315a =求解. 【详解】因为数列{}n a 中，1112n na a +=+对任意的*n N ∈恒成立，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，又因为315a =，所以3111225a a =+⨯=，解得1a =1. 故答案为：1 【点睛】本题主要考查等差数列的定义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14．已知函数()21x f x x+=，则其在3x =处的切线方程为（填写一般式方程）____________；【答案】8960x y -+=【解析】根据()211x f x x x x +==+，求导()211f x x '=-，再求得()()181031,3993f f '=-==，写出切线方程. 【详解】因为()211x f x x x x+==+，所以()211f x x '=-，所以()()181031,3993f f '=-==，所以在3x =处的切线方程为()108339y x -=-，即8960x y -+=. 故答案为：8960x y -+= 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 15．函数()cos2sin 2f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小值是__________．【答案】98-【解析】()2219cos221248f x x cosx cos x cosx cosx ⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎝⎭，所以()()f x f x -=，即()cos2sin 2f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是偶函数；当14cosx =-时,可取得最小值98-. 16．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且2EF =，则下列结论中错误的是____________．①AC BE ⊥； ②//EF 平面ABCD ；③三棱锥A BEF -的体积为定值； ④异面直线AE ，BF 所成的角为定值．【答案】④【解析】①根据正方体的几何特征，易证AC ⊥平面11DD B B . ②根据11//B D BD ，利用线面平行的判定定理判断.③根据体积公式，判断EFB S ∆是否为定值，再根据AC ⊥平面11DD B B ，判断点A 到平面11DD B B 的距离是否为定值.④取特殊位置，当E 为11B D 的中点，F 与1B 重合时和当F 为11B D 的中点，E 与1D 重合时角是否相等判断. 【详解】在正方体中，1DD ⊥平面ABCD ，所以1DD ⊥AC ，又因为AC BD ⊥，1DD BD D =，所以AC ⊥平面11DD B B ，所以AC BE ⊥，故正确.②因为1111//,B D BD B D ⊄平面ABCD ；BD ⊂平面ABCD ，所以11//B D 平面ABCD ，所以//EF 平面ABCD ，故正确.③因为112EFB S EF BB ∆=⋅是定值，因为AC ⊥平面11DD B B ，点A 到平面11DD B B 的距离为22是定值，故三棱锥A BEF -的体积为定值，故正确. ④当E 为11B D 的中点，F 与1B 重合时，111//,BF AA AA A E ⊥，1EAA ∠异面直线AE ，BF 所成的角1112tan 2EAEAA A A∠==，当F 为11B D 的中点，E 与1D 重合时，11//,AE C B C F BF ⊥，1FBC ∠异面直线AE ，BF 所成的角112232tan 212C F FBC FB ∠===⎛⎫+ ⎪⎝⎭11EAA FBC ∠≠∠，故异面直线AE ，BF 所成的角不是定值，故④错误.故答案为：④ 【点睛】本题主要考查空间几何体的几何特征和点、线、面的位置关系，还考查了空间想象和逻辑推理的能力，属于中档题.三、解答题17．某商场统计了2008年到2018十一年间某种生活必需品的年销售额及年销售额增速图，其中条形图表示年（单位：万元），折线图年销售额为年销售额增长率（％）．（1）由年销售额图判断，从哪年开始连续三年的年销售额方差最大？（结论不要求证明）（2）由年销售额增长率图，可以看出2011年销售额增长率是最高的，能否表示当年销售额增长最大？（结论不要求证明）（3）从2010年至2014年这五年中随机选出两年，求至少有一年年增长率超过20%的概率．【答案】（1）从2016年开始连续三年的年销售额方差最大．（2）不能（3）910．【解析】（1）从年销售额图判断，2016年大约400万元，，2017年大约550万元，2018年大约650万元，比以往变化大.（2）由年销售额增长率图，2011年销售额增长率是最高的，年销售额增长不一定最大.（3）从2010年至2014年这五年中随机选出两年，求至少有一年年增长率超过20%的概率．【详解】（1）从2016年开始连续三年的年销售额方差最大．（2）不能（3）从2010年至2014年这五年中有三年增长率超过20%，记为A ，B ，C 其他二年记为D ，E从这五年中随机选出两年有AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE 共10种情况.其中至少有一年年增长率超过20%有AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE 共9种情况.所以至少有一年年增长率超过20%的概率为910p =. 【点睛】本题主要考查统计图和古典概型的概率，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于中档题.18．已知数列{}n a 满足11a =，121n n a S +=+，其中n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设{}n n b a -是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b n }的前n 项和T n . 【答案】（1）13n n a -=（2）2231n n T n -=+ 【解析】(1) 运用数列的递推式，令n=1，求出第二项；再将n 换为n-1，两式相减，化简即可得到所求通项公式；（2）由题意可得12121n n b a n n -=+-=-（），代入13n n a -=即得1321n n b n -=+-，是一个等比数列与一个等差数列的和，分组求和即可. 【详解】（1）.由11a =，121n n a S +=+，当1n =时，可得21213a a =+=.当2n ≥时，121n n a S -=+，两式相减得：12n n n a a a +=-，即13n n a a +=，且213a a =.故{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列。

2021届广东珠海市高三9月摸底考试数学(理)试卷

2021年广东珠海市高三9月摸底考试数学（理）试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知a R ∈，i 是虚数单位，若()()1-i 12ai +=，则a = A ．1 B ．5 C ．3 D ．6 2．设集合{}{}11,3<<-=∈==x x B R x y y A x ，，则A B =A ．()11-， B ．()10， C ．()∞+，1- D ．()+∞0, 3．已知{}n a 是公差为4的等差数列，n S 是其前n 项和.若515S =，则10a 的值是 A ．11 B ．20 C ．29 D ．314．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时，不需要等待就可以过马路的概率为 A ．151 B ．52 C ．158 D ．545．已知双曲线2222:1(00)x y E a b a b-=>>，的离心率是2，则E 的渐近线方程为A ．y x =±B ．y=2x ±C ．y x =D ．y=2x ± 6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A ．6B ．9C ．12D ．187．若平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+≤-0430y 02y x x x 夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是A ．32B ．23C ．4 D8．函数5x y x xe =-在区间上的图像大致是A ．B ．C ．D ．9．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入,n x 的值分别为4,3，则输出v 的值为A ．B ．C ．D ．10．设抛物线22(0)y px p => 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，设7,02C p ⎛⎫⎪⎝⎭，AF 与BC 相交于点E ，若2CF AF =，且ACE ∆的面积为p 的值为 A ．B ．C ．D ．11．在正方体1111ABCD A B C D -中，F E ,分别是棱1111,A B B C 的中点，O 是的交点与BD AC ，面OEF 与面11BCC B 相交于m ，面1OD E 与面11BCC B 相交于n ，则直线n m ,的夹角为 A ．0 B ．6π C ．3π D ．2π 12．设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=⎪⎭⎫⎝⎛-sin 33sin 2π，定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是d 个,则满足条件的有序实数组(),,,a b c d 的组数为 A ．7 B ．11 C ．14 D ．28二、填空题13．在()63-1x 的展开式中，2x 的系数为__________________.（用数字作答）14．已知向量，则实数k 的值为___________.15．已知函数)x (f 是定义在R 上的周期为4的奇函数，当2x 0<<时，xx f 4)(=，则()=+⎪⎭⎫⎝⎛-229f f . 16．已知数列{}n a 满足243n n a +=，若从{}n a 中提取一个公比为q 的等比数列{}n k a ，其中11,k =且*12...,n n k k k k N <<<∈，则满足条件的最小q 的值为 .三、解答题17．在B C A ∆中，ac b a -=+222c . （1）求B ∠的大小；（2）求C A cos cos +的最大值.18．在如图所示的圆台中，C A 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆/O 的直径，FB 是圆台的一条母线.（1）已知H G ，分别为FB E ,C 的中点，求证：ABC GH 面//；（2）已知221===AC FB EF ，BC AB =，求二面角O BC F --的余弦值. 19．自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：产假安排（单位：周） 14 15 16 17 18（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数之和．求随机变量ξ的分布列及数学期望．20．设椭圆:C 18222=+y a x （22>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，且满足||8||1||1FA eOA OF =+，其中O 为坐标原点，e 为椭圆的离心率. （1）求椭圆C 的方程；（2）设点P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证:BM AN ⋅为定值. 21．已知()R a xx x x a x f ∈-+-=,12ln )(2. （1）讨论)(x f 的单调性；（2）当21=a 时，证明：()45)(/+>x f x f 对于任意的[]2,1∈x 成立. 22．如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点.E （Ⅰ）证明：△ABE△△ADC；（Ⅰ）若△ABC 的面积12S AD AE =⋅，求BAC ∠的大小.23．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρθ=．（1）求直线l 的普通方程及圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P 的坐标为，求||||PA PB +的值． 24．已知函数()2f x x a x =++-.（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；（2[]1,2，求a 的取值范围.参考答案1．A 【解析】试题分析：因为()()1-i 12ai +=，所以212=--+ai i ai ，即0)1()1(=-+-i a a ，所以01=-a ，即1=a ，故应选A .考点：1、复数及其四则运算. 2．C 【解析】试题分析：因为03>=xy ，所以集合{}3,xA y y x R ==∈{}0>=y y ，由集合的并集定义可得A B =()∞+，1-，故应选C .考点：1、集合及其基本运算. 3．D 【解析】试题分析：因为515S =，所以1524551=⨯+d a ，所以51-=a ，所以319110=+=d a a ，故应选D .考点：1、等差数列；2、等差数列及其前n 项和. 4．C 【解析】试题分析：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是总的时间长度为30+5+40=75秒，绿灯的时间为40秒，所以当你到达路口时，不需要等待就可以过马路的概率为1587540==P ，故应选C . 考点：1、几何概型. 5．C 【解析】试题分析：因为双曲线2222:1(00)x y E a b a b-=>>，，所以27==a c e ，所以2247a c =，又因为222a cb -=，所以22247a a b =+，即2243a b =，所以a b 23=，所以E 的渐近线方程为2y x =±，故应选C . 考点：1、双曲线的简单几何性质. 6．B 【解析】13V Sh =Ⅰ1163332=⨯⨯⨯⨯Ⅰ 9=Ⅰ选B.点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解． 7．B 【解析】试题分析：作出平面区域如下图所示：所以当直线b x y +=分别经过A ，C 时，平行线间的距离相等，联立方程组⎩⎨⎧≥+-≥+0430y y x x 和⎩⎨⎧≥+≤-0y 02x x ，解得)2,2(),1,1(--C A ，所以两条平行线分别为04,02=--=+-y x y x ，所以两平行线间的距离为23242=+=d ，故应选B .考点：1、线性规划. 8．B 【解析】试题分析：因为5xy x xe =-，所以，当时，，所以函数5xy x xe =-在上单调递增，所以排除A,C ；又因为当时，，所以排除D ，故应选.考点：1、函数图像；2、导数在研究函数的单调性中的应用.【思路点睛】本题考查了函数图像和导数在研究函数的单调性中的应用，重点考查学生识图能力和判断推理能力，属中档题.其解题的一般思路为：首先求出函数的导函数，并由导函数可判断函数5x y x xe =-在上单调递增即可排除不满足题意的选项，然后取出特值即可得出所求的正确答案.9．C 【详解】试题分析：初始值,n x 的值分别为4,3，程序运行过程如下所示：，，，，，，，，，跳出循环，输出v 的值为，故应选C .考点：1、程序框图. 10．A 【解析】试题分析：设点A ，则因为，所以由2CF AF =可得，再由抛物线的定义可得：，即，所以，，所以的面积为，所以ACE ∆的面积为，所以，即，故应选A .考点：1、抛物线的定义；2、抛物线的简单几何性质. 11．A 【解析】试题分析：延长111,B C E D 交于点M ，延长B B O D 11,交于点N ，连接MN .因为F E ,分别是棱1111,A B B C的中点，O 是的交点与BD AC ，所以面OEF 与面11BCC B 的交线为CF ，即m CF =；由作法知面1OD E与面11BCC B 的交线为MN ，即n MN =，因为EF ‖CO ，且EF CO =，所以四边形EFCO 为平行四边形，所以CF ‖EO ，所以EF ‖平面1OD E ，所以CF ‖MN ，即m ‖n ，所以直线n m ,的夹角为0，故应选A .考点：1、线面平行的判定定理；2、线面平行的性质定理；3、直线与直线所成的角.【思路点睛】本题考查了线面平行的判定定理、线面平行的性质定理和直线与直线所成的角，考查学生综合运用知识的能力和空间想象能力，属中档题.其解题的一般思路为：首先运用空间公理正确找出平面OEF与面11BCC B 、面1OD E 与面11BCC B 的交线，然后运用线线平行得出线面平行进而得出线线平行，即可得出所求的结果. 12．D 【解析】试题分析：因为对于任意实数x 都有()c bx a x +=⎪⎭⎫⎝⎛-sin 33sin 2π，所以必有2=a . 若2=a ，则方程等价为)sin()33sin(c bx x +=-π，则函数的周期相同，若3=b ，此时35π=C ；若3-=b ，此时34π=C ；若2-=a ，则方程等价为)sin()sin()33sin(c bx c bx x --=+-=-π，若3-=b ，此时3π=C ；若3=b ，此时32π=C ；综上满足条件的有序实数组),,(c b a 为),32,3,2(),3,3,2(),34,3,2(),35,3,2(ππππ----共4组；而当x x cos 2sin =时，x x x cos cos sin 2=，即0cos =x 或21sin =x ，所以Z k k x ∈+=,2ππ，或Z k k x ∈+=,26ππ或Z k k x ∈+=,265ππ，又因为∈x []0,3π，所以πππππππππ265,65,26,6,25,23,2++=x ，所以满足条件的有序实数组(),,,a b c d 的组数为2874=⨯，故应选D .考点：1、三角函数的周期性；2、三角函数恒等变换；3、三角函数的图像及其性质. 【思路点睛】本题主要考查了三角函数的周期性、三角函数恒等变换和三角函数的图像及其性质，考查学生综合知识能力，渗透着转化与化归的数学思想，属中档题.其解题的一般思路为：首先根据任意实数x 都有()c bx a x +=⎪⎭⎫⎝⎛-sin 33sin 2π求解出参数a 的值，然后利用三角恒等式x x cos 2sin =求出所有的根的个数，最后运用排列组合的思想求出满足条件的有序实数组对. 13．135 【解析】试题分析：因为()63-1x 的展开式中的通项为rrx C )3(6-，令2=r 可得2x 的系数为135)3(226=-C ，故应填135.考点：1、二项式定理的应用. 14．16 【解析】试题分析：因为向量，所以，即，故应填 16.考点：1、平面向量的坐标运算；2、平面向量的数量积的运算. 15．-2 【解析】试题分析：因为函数)x (f 是定义在R 上的周期为4的奇函数，所以)()4(x f x f =+，令2-=x ，则)2()42(-=+-f f 即)2()2(-=f f ，又因为)2()2(--=f f ，所以0)2()2(=-=f f ，所以24)21()21()429()29(21-=-=-=-=+-=-f f f f ，故应填-2. 考点：1、函数的周期性；2、函数的奇偶性；3、函数的求值.【易错点睛】本题主要考查了函数的周期性、函数的奇偶性和函数的求值，考查了学生综合应用知识的能力和知识的迁移能力，属中档题.其解题过程中最容易出现以下错误：其一是不能正确地进行赋值得出)2(),2(-f f 的值，进而导致出现错误；其二是不能正确地运用函数的周期性和奇偶性将29-转化为已知区间，从而导致出现错误. 16．2 【解析】试题分析：因为数列{}n a 满足243n n a +=，所数列{}n a 是正项递增等差数列，所以等比数列{}n k a 的公比1>q ，若22=k ，则342)22(3212=+==a a q ，则932)34(223=⨯=k a ，由342932+=n 得*310N n ∉=，所以22>k ，同理32>k ，若42=k ，由44=a 得2=q ，此时2221+=⨯=-m a n k n ，对任何正整数n ，只要取2231-⋅=-n m ，所以n k a 是数列{}n a 的第2231-⋅-n 项，所以最小公比为2=q ，故应填2.考点：1、等差数列的通项公式；2、等比数列的通项公式.【思路点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式、等比数列的定义和通项公式，属中档题.其解题的一般思路为：首先令4,3,22=k ，由题意和等比数列的定义进行验证，求出等比数列{}n k a 的通项公式，然后求出对应数列{}n a 的项数，最后确定公比的最小值即可.其解题的关键是运用等比数列的通项公式求出数列{}n k a 的通项公式. 17．（Ⅰ）32π=B ；（Ⅱ）3 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先运用余弦定理并结合已知可得出角B 的余弦值，然后由三角形的内角取值范围即可得出角B 的大小；（Ⅱ）首先由（Ⅰ）知3π=+C A ，然后将其代入C A cos cos +并运用两角差的余弦和三角恒等变换将其化简为C C cos 23sin 23+，再结合角C 的取值范围即可得出所求的最大值.试题解析：（1）由已知得:212cos 222-=-+=ac b c a B ，π<<B 0 ，32π=∴B（2）由（1）知:3π=+C A ，故30-3ππ<<=C C A ，，所以CC C C C A cos 23sin 23cos 3cos cos cos +=+⎪⎭⎫⎝⎛-=+π13sin 2330≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+<∴<<ππC C ，3cos cos 23≤+<∴C A .考点：1.三角恒等变形；2.余弦定理；3.消元；4.三角函数范围. 18．（1）详见解析；（Ⅱ）77【解析】试题分析：（Ⅰ）首先作出辅助线设FC 的中点为I ，连接HI GI ,，然后由已知条件可得GI EF ，再由OB EF //可得GI OB ，进而得出GI ABC 面，同理由已知可得IH ABC 面，于是得出面面平行ABC GIH 面面//，最后得出所证的结论即可；（Ⅱ）首先连接/OO ，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系xyz O -，然后由已知条件分别求出点B,C 的坐标，并过点F 作OB FM ⊥于点M 可得→→BF BC ,，进而可得出平面BCF 的一个法向量→n ，再由题意可得平面ABC 的一个法向量()3,0,0/=→OO ，最后运用→→→→→→⋅>=<///,cos OO n OOn OO n 即可得出所求的答案..试题解析：（1）证明:设FC 的中点为I ，连接HI GI ,，在CEF ∆中，EF GI IF CI GE CG //∴==，，又OB EF //，OB GI //∴，ABC GI ABC GI ABC OB 面面面//,,∴⊄⊂ 在FCB ∆中，CB IH HB FH IC FI //,∴== ，ABC IH 面//∴，又I IH IG =⋂，所以ABC GIH 面面//，ABC GH GIH GH 平面平面//∴⊂（2）连接/OO ，则ABC OO 平面⊥/，又BC AB =，且AC 是圆O 的直径，所以AC BO ⊥，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -（OA 方向为x 轴，OB 方向为y轴，/OO 方向为z 轴，图略）由题意得:()()002-,0,2,0，，C B ,过点F 作OB FM ⊥于点M ，故()310322，，F BM FB FM ∴=-=，故()()3,1,0,0,2,2-=--=→→BF BC ，设()z y x n ,,=→是平面BCF 的一个法向量，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→0BF n BC n ⎩⎨⎧=+-=--∴03022z y y x ，取1-=z ，则()1,3,3--=→n ，又平面ABC 的一个法向量()3,0,0/=→OO ，故77,cos ///-=⋅>=<→→→→→→OO n OOn OO n ，所以二面角O BC F --的余弦值为77.考点：1.空间平行判定与性质；2.二面角的计算；3.空间想象能力;4.推理论证能力【易错点睛】本题主要考查了空间平行判定与性质、二面角的计算、空间想象能力和推理论证能力，考查学生综合应用知识的能力和应变能力，属综合题.其解题过程中最容易出现以下错误：其一是对于第一问不能熟练运用线线平行、线面平行和面面平行的判定定理和性质定理，进而不能正确处理线面平行的问题；其二是对于第二问不能正确运用空间向量求二面角的大小，其关键是正确地求出各面的法向量. 19．（1）141P ==，2162P ==；（2）①63()105P A ==；②ξ的分布列为()290.1300.1310.2320.2330.2340.1350.132E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【解析】试题分析：（1）直接由已知表中信息求出产假为14周和16周时某家庭有生育意愿的频率，进而得出所求的概率；（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A ，所以基本事件的总数为2510C =（种），然后列举出其中不低于32周的选法的种数，最后由古典概型的计算公式即可得出所求的概率；②首先由题意可得随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．然后运用古典概型的计算公式分别计算出ξ等于29，30，31，32，33，34，35的概率，进而得出所求的ξ的分布列并计算出其数学期望. 试题解析：（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为14120050P ==；当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为216220025P ==. （2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A ，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有2510C =（种），其和不低于32周的选法有（14，18）、（15，17）、（15，18）、（16，17）、（16，18）、（17，18），共6种，由古典概型概率计算公式得63()105P A ==． ②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35． 1(29)0.110P ξ===，12(30)0.1,(31)0.21010P P ξξ======， 2211(32)0.2,(33)0.2,(34)0.1,(35)0.110101010P P P P ξξξξ============因而ξ的分布列为所以()290.1300.1310.2320.2330.2340.1350.132E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 考点：1.古典概型；2.离散型随机变量的分布列；3.数学期望.【方法点睛】本题主要考查了利用古典概型计算公式计算概率、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生基本的统计知识和综合应用知识的能力，属中档题.对于第一问利用古典概型计算公式计算概率，其解题的关键是正确地列举基本事件的个数和满足事件的基本事件的个数；对于第二问求解离散型随机变量的分布列和数学期望，其解题的关键是正确地求出随机变量取值时的概率.20．（Ⅰ）18922=+y x ；（Ⅱ）详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先根据已知条件并结合图像可得到等式()c a a ca c -=+811，然后结合222bc a =-即可得出22,a c 的值，最后得出椭圆C 的方程即可；（Ⅱ）首先设出()00,y x P ，则72982020=+y x ，然后分两类进行讨论：00=x 和00≠x ，其中当00=x 时，容易得出BM AN ⋅为定值；当00≠x 时，分别求出，直线PA 和PB 的方程，进而求出BM AN ,的值，最后化简即可得出BM AN ⋅的值.运用特殊情况求出定点T 的坐标，然后对其进行证明，运用圆锥曲线与直线的位置关系并结合已知条件可得出TA TB ⋅的值，进而证明了所求的结论. 试题解析：（1）解:设()0,c F ，由||8||1||1FA eOA OF =+，得:()c a a c a c -=+811,故22228c b c a ==-，9,122==∴a c 故椭圆C 的方程为:18922=+y x （2）证明:由（1）知:()()22,003B A ，，,设()00,y x P ，则72982020=+y x 当00=x 时，()()24,30022-0,220==-=BM AN N M y ，，，，，故:212=⋅BM AN ，当00≠x 时，直线PA 的方程为:()3300--=x x y y ,令0=x ,得:33-00-=x y y M , 故:33222200-+=-=x y y BM M ,直线PB 的方程为:222200+-=x x y y ,令0=y 得:2222-00-=y x x N ,故:22223300-+=-=y x x AN N ，所以()()()263227223648212982232632200000000202000200+--+--++=---+=⋅y x y x y x y x y x y x y x BM AN =2122632214423648x 21200000000=+--+--y x y x y x y 综上可知:212=⋅BM AN ，即BM AN ⋅为定值.考点：1.椭圆的标准方程和几何性质;2.直线与椭圆的位置关系；3.定值问题.21．（1）当0≤a 时，函数)(x f 在)1,0(内单调递增，在),1(+∞内单调递减；当20<<a 时，函数)(x f 在)1,0(内单调递增，在)2,1(a 内单调递减，在),2(+∞a内单调递增；当2=a时，函数)(x f 在),0(+∞内单调递增；当2>a 时，函数)(x f 在)2,0(a内单调递增，在)1,2(a内单调递减，在),1(+∞内单调递增；（2）详见解析．【解析】试题分析：（1）首先求出函数的定义域，然后求出其导函数，并对a 进行分类讨论：0≤a ，0>a ，20<<a ，2=a ，2>a ，结合导数大于0和小于0所对应的自变量的取值范围，进而得出所求的结论；（2）构造函数()()()[]2,1,212125,ln 2132∈--+=-=x xx x x h x x x g ，则())()()(/x h x g x fx f +=-，然后分别求出，()42/21245x x x x h +--=，利用导数研究函数的单调性与最值即可得出函数)(),(x g x f 的最小值，最后结合已知得出所求的结果即可. 试题解析：（1）解：)(x f 的定义域为()+∞,0，()()()3232/122211x x ax x x x a x f --=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=当0≤a ，)1,0(∈x 时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增；/(1,),()0x f x ∈+∞<时，)(x f 单调递减.当0>a 时，/3(1)22()()(a x f x x x x a a -=+.①20<<a 时12>a ，当()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈∈,21,0a x x 或时，())(,0/x f x f >单调递增，当⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈a x 2,0时，())(,0/x f x f <单调递减；②2=a 时12=a，当()+∞∈,0x 时())(,0/x f x f ≥单调递增；③2>a 时，120<<a，当()())(,0,12,0/x f x f x a x >+∞∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈时，或单调递增，当⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈1,2a x 时，())(,0/x f x f<单调递减.综上所述，当0≤a 时，函数)(x f 在)1,0(内单调递增，在),1(+∞内单调递减；当20<<a 时，函数)(x f 在)1,0(内单调递增，在)2,1(a 内单调递减，在),2(+∞a内单调递增；当2=a 时，函数)(x f 在),0(+∞内单调递增；当2>a 时，函数)(x f 在)2,0(a 内单调递增，在)1,2(a内单调递减，在),1(+∞内单调递增.（2）由（1）知，21=a 时， ()()322/22112112ln 21)(x x x x xx x x f x f -+⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-=-()[]2,1,212125ln 2132∈--++-=x xx x x x ，设()()()[]2,1,212125,ln 2132∈--+=-=x x x x x h x x x g 则由可得，当且仅当x=1时取等号又()42/21245xx x x h +--=，设()12452+--=x x x ϕ，则()x ϕ在[]2,1∈x 单调递减， ()()162,31-==ϕϕ []2,10∈∃∴x 使得()()()()0x 2,,0x ,100<∈>∈ϕϕ时时x x x x ， ()x h ∴在()01x ，，上单调递增，在()2,0x 上单调递减()()()()432432,11=≥∴==h x h h h 当且仅当2=x 时等号成立，()()()()4521/=+>-∴h g x f x f ，即()45)(/+>x f x f 对于任意的[]2,1∈x 成立.考点：1.利用导函数判断函数的单调性；2.构造函数；3.分类讨论思想. 22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）90. 【分析】（Ⅰ）先证明∠BAE ＝∠CAD ，∠AEB ＝∠ACD ，利用相似三角形的判定定理可得结论；（Ⅱ）()()()x h x g x f x f +=-/)(利用三角形相似可得AB·AC ＝AD·AE ，结合△ABC 的面积12S AD AE =⋅，可得s in ∠BAC ＝1，从而可得结果.【详解】由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD. 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，所以∠AEB ＝∠ACD .故△ABE ∽△ADC . （Ⅱ）因为△ABE ∽△ADC ，所以AB ADAE AC=，即AB·AC ＝AD·AE . 又S ＝12AB·AC·sin ∠BAC ，且S ＝12AD·AE ，故AB·AC·sin ∠BAC ＝AD·AE.则s in ∠BAC ＝1，又∠BAC 为三角形内角，所以∠BAC ＝90°. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，考查了圆周角定理的应用以及三角形面积公式的应用，属于中档题.23．（1）l ：3y x =，C:22(5x y +=；（2）【分析】（1）消去参数t 可得直线的普通方程，再把ρθ=化成2sin ρθ=，利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得圆的直角方程. （2）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程后利用韦达定理可求||||PA PB +的值. 【详解】（1）由直线l 的参数方程消参得直线普通方程为3y x =，由ρθ=得2sin ρθ=，故220x y +-=，即圆C 的直角坐标方程为22(5x y +-=.（2）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得223522⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即240t -+=，由于24420∆=-⨯=>，故可设12,t t 是上述方程的两实根,所以12124t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ 又直线l过点P ，故由上式及t 的几何意义得：1212t t t t PA PB +=+=+=【点睛】极坐标转化为直角坐标，关键是cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，而直角坐标转化为极坐标，关键是222tan x y y x ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩Ⅰ直线的参数方程有很多种，如果直线的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩ （其中t 为参数），注意t 表示直线上的点(),P x y 到()00,P x y 的距离，我们常利用这个几何意义计算直线上线段的长度和、差、积等．24．（1）{x|x≤1，或x≥4}；（2）[－3，0]．【解析】试题分析：（1）当3a =-时，用分段函数的形式表示出函数)(x f 的解析式，并分三种情况对其进行讨论，得出相应的不等式的解集，最后可得出该不等式的解集即可；（2）首先将问题()4f x x ≥-的解集包含[]1,2转化为.当x∈[1，2]时，|x －4|－|x －2|≥|x＋a|，进而转化为－2－a≤x≤2－a ，由集合间的包含关系可得出证明.试题解析：（1）当a ＝－3时，25,2,()1,2325,3x x f x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩当x≤2时，由f （x ）≥3得－2x ＋5≥3，解得x≤1；当2<x<3时，f （x ）≥3无解；当x≥3时，由f （x ）≥3得2x －5≥3，解得x≥4.所以f （x ）≥3的解集为{x|x≤1，或x≥4}.（2）f （x ）≤|x－4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x＋a|.当x∈[1，2]时，|x －4|－|x －2|≥|x＋a|⇔4－x －（2－x ）≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a.由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.故满足条件的a 的取值范围是[－3，0].考点：1.含绝对值的不等式的解法；2.集合的包含关系.。

【试卷】广东省珠海市2020届高三第一次质量检测(数学理)及答案19.12

1．已知集合，，则（）
A． B． C． D．
2．复数，其中为虚数单位，则的虚部为（）
A． B．1C． D．
3．已知函数，、，则“ ”是“函数有零点”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．一个几何体是由若干个边长为的正方体组成的，其主视图和左视图如图所示，且使得组成几何体的正方体个数最多，则该几何体的表面积为（）
【详解】
虚部为-1，
故选A.
【点睛】
本题考查了复数的运算法则、复数的共轭复数等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.
3．A
【解析】
【分析】
利用推出充分条件成立，取特殊值推出必要条件不成立，从而得出结论.
【详解】
如图，由题可知，，则，
又，，，
又，
作，可得，，则
在，，即，
又，化简可得，同除以，得
解得
双曲线的离心率为
【点睛】
本题考查了利用双曲线的基本性质求解离心率的问题，利用双曲线的第一定义和中位线定理将所有边长关系转化到直角三角形中是解题关键，一般遇到此类题型，还是建议结合图形来进行求解，更直观更具体
评卷人
得分
二、填空题
13．已知向量，，．若，则 ________．
14．已知，关于的方程有两个不同的实数解，则实数的取值范围为______.
15．已知的展开式的所有项的系数和为64，则其展开式中的常数项为_______.
16．已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为______.

广东省珠海市2020届高三数学三模试题理

广东省珠海市2020届高三数学三模试题理时间：120分钟满分150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项． 1．已知全集{1,2,3,4}U =,集合{1,2}A =,{2,3}B =,则()U C AB =（）A. {1,3,4} B ．{3,4} C ．{3} D ．{4} 2．设i 是虚数单位，则复数43ii-=（） A ．34i -+ B ．34i - C ．34i + D ．34i --3．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x a =+-，则(1)f -=（）A ．3B ．﹣3C ．﹣2D ．﹣1 4．右图为一个四棱锥的三视图，其体积为（）A ．43 B ．83C ．4D ．85．将函数x x x f sin cos )(+=的图象向右平移43π个单位长度，得到函数)(g x 的图象，则函数)(g x 的解析式为（） A．()g x x = B．()g x x = C．()g x x =D．()g x x =6．已知在ABC ∆中，4AB =，3BC =，5AC =，14AD DC =，则BD BC =（） A ．59 B ．49 C ．516 D ．536 7．甲、乙、丙三位同学在一项集训中的40次测试分数都在[50，100]内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数标准差分别为s 1，s 2，s 3，则它们的大小关系为（） A ．s 1＞s 2＞s 3B ．s 1＞s 3＞s 2C ．s 3＞s 1＞s 2D ．s 3＞s 2＞s 122228．已知两条不同直线l ，m ，两个不同平面α，β，则下列命题正确的是（） A ．若αβ，l α⊂，m β⊂，则l m B ．若αβ，m α，l β⊥，则l m ⊥C ．若αβ⊥，l α⊥，m β⊥，则l mD ．若αβ⊥，lα，m β，则l m ⊥9.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的图表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列的前55项和为( )A ．4072B ．2026C ．4096D ．204810．甲、乙、丙3人从1楼乘电梯去商场的3到9楼，每层楼最多下2人，则下电梯的方法有（） A ．210种B ．252种C ．343种D ．336种11．已知椭圆223:11616x y C +=，M 为椭圆C 上的一个动点，以M 为圆心，2为半径作圆M ，OP ，OQ 为圆M 的两条切线，P ，Q 为切点，则POQ ∠的取值范围是（）A ．[]32ππ， B ．[]42ππ， C ．[]62ππ， D ．2[]33ππ， 12.设函数1()12x e f x t nx x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是( )A．(1,)⋃+∞⎪⎪⎩⎭ B ．[1,)3e ⎧⎫⋃+∞⎨⎬⎩⎭ C．[1,)23e ⎫⎪⋃+∞⎨⎬⎪⎪⎩⎭D ．[1,)+∞ 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且12a =，1065S =，则2020a = ． 14．现有三张卡片，每张卡片上分别写着广州、深圳、珠海三个城市中的两个，且卡片不重复，甲、乙、丙各选一张去对应的两个城市参观．甲看了乙的卡片后说：“我和乙都去珠海”．乙看了丙的卡片后说：“我和丙不都去深圳”则甲、丙同去的城市为．15．已知双曲线的顶点在坐标轴，中心在原点，渐近线经过点(2)P m m ，(0)m ≠，则双曲线的离心率为 . 16．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是c b a ,,，若6=+c b ，2cos 2sin3sin sin CB C B C B ++=+，则ABC ∆面积的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且满足*21()n n S a n N =-∈，（1）求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；（2）若数列{}n b 满足|15|n n b S =-，求数列{}n b 的前n 项的和n T . 18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -，四边形ABCD 为平行四边形，AD BD ⊥，AC BD O =，2AD BD ==，PB PD ⊥，PB PD =，PA PC =，M 为PD 中点． (1)求证：//OM 平面PBC ；(2)求证：平面PAD ⊥平面PBD ； (3)求二面角A PB C --的余弦值． 19．（本小题满分12分）已知曲线E 上的点到(10)F ，的距离比它到直线:4l x =-的距离少3． (1)求曲线E 的方程；(2)过点F 且斜率为k 的直线0l 交曲线E 于P ，Q 两点，交圆22:(1)1F x y -+=于A ，M ODCBAPB 两点， P ，A 在x 轴上方，过点P ，Q 分别作曲线E 的切线1l ，2l ，12l l M =，求PAM ∆与QBM ∆的面积的积的取值范围．20．（本小题满分12分）已知函数2()(1)xf x k x e x =--，其中k ∈R ． (1)当2≤k 时，求函数()f x 的单调区间；(2)当k ∈[1，2]时，求函数()f x 在[0，k]上的最大值)(k g 的表达式，并求)(k g 的最大值．21．（本小题满分12分）某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n （n *∈N ）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为1k +次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p （01p <<）.（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）现取其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ.（i ）试运用概率统计的知识，若12E E ξξ=，试求p 关于k 的函数关系式()p f k =；（ii ）若1p =-，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k 的最大值.参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln 4 1.3863≈，ln5 1.6094≈，ln6 1.7918≈（二）选考题请考生在第22~23题中任选一题作答．如果多做，那么按照所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xoy 中，直线l 过点()2,3P，且倾斜角6=πα．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为=4sin ρθ．(1)求圆C 的直角坐标方程； (2)设直线l 与圆C 交于A B ，两点，求PA PB +的值．23．(本小题满分10分)已知函数()1f x x =-．（1）解不等式()(1)4f x f x ++≥；（2）当0x ≠，x ∈R 时，证明：1()()2f x f x-+≥．绝密★启用前珠海市2019～2020学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题时间：120分钟满分150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项． 1．已知全集{1,2,3,4}U =,集合{1,2}A =,{2,3}B =,则()U C AB =（）A. {1,3,4} B ．{3,4} C ．{3} D ．{4} 2．设i 是虚数单位，则复数43ii-=（） A ．34i -+ B ．34i - C ．34i + D ．34i --3．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x a =+-，则(1)f -=（） A ．3B ．﹣3C ．﹣2D ．﹣14．右图为一个四棱锥的三视图，其体积为（）A ．43C ．4D ．85．将函数x x x f sin cos )(+=的图象向右平移43π个单位长度，得到函数)(g x 的图象，则函数)(g x 的解析式为（） A ．x cos 2C ．x sin 2D ．x sin2-6．已知在ABC ∆中，4=AB ，3=BC ，5=AC ，14ADDC =，则BD BC =（） B ．49 C ．516 D ．536 7．甲、乙、丙三位同学在一项集训中的40次测试分数都在[50，100]内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数标准差分别为s 1，s 2，s 3，则它们的大小关系为（） A ．s 1＞s 2＞s 3 B ．s 1＞s 3＞s 2 C ．s 3＞s 1＞s 2 D ．s 3＞s 2＞s 12222俯视图8．已知两条直线l ，m ，两个平面α，β，则下列命题正确的是（） A ．若αβ，l α⊂，m β⊂，则l m B ．若αβ，m α，l β⊥，则l m ⊥C ．若αβ⊥，l α⊥，m β⊥，则l mD ．若αβ⊥，lα，m β，则l m ⊥9.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列的前55项和为( )A ．4072B ．2026C ．4096D ．204810．甲、乙、丙3人从1楼乘电梯去商场的3到9楼，每层楼最多下2人，则下电梯的方法有（） A ．210种B ．252种C ．343种D ．336种11．已知椭圆223:11616x y C +=，M 为椭圆C 上的一个动点，以M 为圆心，2为半径作圆M ，OP ，OQ 为圆M 的两条切线，P ，Q 为切点，则POQ ∠的取值范围是（）A ．[]32ππ， B ．[]42ππ， C ．[]62ππ， 12.设函数1()12x e f x t nx x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是( )A ．(1,)⋃+∞⎪⎪⎩⎭B ．[1,)3e ⎧⎫⋃+∞⎨⎬⎩⎭C ．[1,)3e ⎫⎪⋃+∞⎬⎪⎪⎩⎭D ．[1,)+∞二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且12a =，1065S =，则2020a = ． 2021 14．现有三张卡片每张卡片上分别写着广州、深圳、珠海三个城市中的两个且卡片不重复，甲、乙、丙各选一张去对应的两个城市参观．甲看了乙的卡片后说：“我和乙都去珠海“．乙看了丙的卡片后说：“我和丙不都去深圳”则甲、丙同去的城市为．深圳15．已知双曲线的顶点在坐标轴，中心在原点，渐近线经过点(2)P m m ，(0)m ≠，则双曲线的离心率为或16．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是c b a ,,，6=+c b ，且若2cos 2sin3sin sin CB C B C B ++=+，则ABC ∆面积的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且满足*21()n n S a n N =-∈，（1）求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ，（2）若数列{}n b 满足|15|n n b S =-，求数列{}n b 的前n 项的和为n T . 解：（1）由21n n S a =-得：1121S a =-，即11a =，…………………1分由21n n S a =-得：1121n n S a ++=-,两式相减得: 1122n n n a a a ++=-,即12n n a a +=，即数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列， ………2分则12n n a -=， ……………………………………………………………………3分则122112nn n S -==--， …………………………………………………………5分（2）由（1）知：|216|nn b =-，则162(14)216(4)n n n n b n ⎧-≤≤=⎨->⎩， …………6分则当14n ≤≤时，12(162)(162)(162)n n T =-+-++-122(12)16(222)1612n nn n -=-+++=--11622n n +=-+， ……………………………………………8分当4n >时，124567(162)(162)(162)(216)(216)(216)(216)n n T =-+-++-+-+-+-++-1242(222)16n T n =++++-12(12)234162166612n n n n +-=⨯+-=-+-，…………………………………………11分则111622(14)21666(4)n n n n n T n n ++⎧-+≤≤=⎨-+>⎩． …………………………………………12分18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -，四边形ABCD 为平行四边形，AD BD ⊥，AC BD O =，2AD BD ==，PB PD ⊥，PB PD =，PA PC =，M 为PD 中点． (1)求证：//OM 平面PBC ；(2)求证：平面PAD ⊥平面PBD ； (3)求二面角A PB C --的余弦值．(1) 证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，AC BD O=∴O 为BD 中点……………………………………1分 ∵M 为PD 中点∴//OM PB ，OM ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC …………2分 ∴//OM 平面PBC ……………………………3分M ODCBAP(2) 证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，AC BD O =∴O 为AC ，BD 中点 ∵PB PD =，PA PC = ∴PO AC ⊥，PO BD ⊥，AC BD O =………………………4分∴PO ⊥平面ABCD ∴AD PO ⊥ 又AD BD ⊥，BDPO O =∴AD ⊥平面ABD ，AD ⊂平面PAD ………………………5分 ∴平面PAD ⊥平面PBD ………………………6分(3) 解：以DA ，DB 分别为x 轴，y 轴，过D 且与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系∵2AD BD ==，AD BD ⊥∴BC BD ⊥，2BC =，AB CD ==∵PB PD ⊥，PB PD =∴PB PD ==1PO =∵2AD =，AD BD ⊥，1DO =∴AO OC ==∴(2,0,0)A ，(0,1,1)P ，(0,2,0)B ，(2,2,0)C -………………………8分(2,1,1)PA =--，(0,1,1)PB =-，(2,1,1)PC =--设平面PAB 和平面PBC 的法向量分别为111(,,1)n x y =-， 222(,,1)n x y =-则1n ，2n 夹角的补角θ就是二面角A PB C --的平面角由1111121010n PA x y n PB y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩和2222210210n PB y n PC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ 解得：1111x y =-⎧⎨=-⎩和221x y =⎧⎨=-⎩………………………10分 ∴1(1,1,1)n =---， 2(0,1,1)n =--∴122cos 36||||n n n n θ⋅=-=-=-⋅………………………11分∴二面角A PB C --的余弦值为3-．…………………12分 19．（本小题满分12分）已知曲线E 上的点到(10)F ，的距离比它到直线:4l x =-的距离少3． (1)求曲线E 的方程；(2)过点F 且斜率为k 的直线0l 交曲线E 于P ，Q 二点，交圆22:(1)1F x y -+=于A ，B 二点， P ，A 在x 轴上方，过点P ，Q 分别作曲线E 的切线1l ，2l ，12l l M =，求PAM ∆与QBM ∆的面积的积的取值范围．解：(1)因为曲线E 上的点到(10)F ，的距离比它到直线:4l x =-的距离少3 所以曲线E 上的点到(10)F ，的距离和它到直线:1l x =-的距离相等…………………2分故曲线E 是(10)F ，为焦点，:1l x =-为准线的抛物线故2:4E y x =………………………4分 (2)由题设知：0k ≠ 则0:(1)l y k x =-设11()P x y ，，22()Q x y ， ∵P ，A 在x 轴上方∴10x >，20x >，10y >，20y <0l 与E 方程联立消得2440y y k--=*“”则1y ，2y 是“*”的二根则121244y y k y y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩且“*”的216160k ∆=+>………………………6分由 2:4E y x =得0y >时y =y '=0y <时y =-y '=112x x y y ='==，222x x y y ='== 故211112:()4y l y y x y -=-222222:()4y l y y x y -=-1l ，2l 联立消y 得1x =-，同时带入1l ，2l 方程相加得2y k=………………………8分 ∴2(1,)M k-2(1,)M k -到0:0l kx y k --=的距离d =………………………9分211||||14y PA PF x =-==222||||14y QB QF x =-==………………………10分11||||22PAM QBM S S PA d QB d ∆∆⋅=⋅ 2222122111||||()464k PA QB d y y d k+=⋅⋅==2111k =+>………………………11分 ∴PAM ∆与QBM ∆的面积的积的取值范围是(1,)+∞．………………………12分 20．（本小题满分12分）已知函数2()(1)xf x k x e x =--，其中k ∈R ． (1)当2≤k 时，求函数()f x 的单调区间；(2)当k ∈[1，2]时，求函数()f x 在[0，k]上的最大值)(k g 的表达式，并求)(k g 的最大值．解：（1）()e 2(e 2)x x f x kx x x k '=-=-，………………………………………………1分当0≤k 时02<-x ke ，令0)('>x f 得;0>x 令0)('<x f 得;0<x 故()f x 的单调递增区间为(0)()f x -∞，，的单调递减区间为(0)+∞，……………………………………………3分当20≤<k 时，令0)('=x f 得,0=x 或02ln≥=kx ，当20<<k 时02ln>k ，当0)('>x f 时k x 2ln >或0<x ；当0)('>x f 时kx 2ln 0<<；()f x 的单调递增区间为⎪⎭⎫⎝⎛+∞∞-,2ln),0,k （；减区间为），（k 2ln 0.………………………5分当2=k 时02ln=k，当0>x 时0)('>x f ；当0<x 时0)('>x f ；()f x 的单调递增区间为),+∞∞-（；…………………………………………………………………………………6分（2）当21<≤k 时由（1）知，()f x 的单调递增区间为为⎪⎭⎫⎝⎛+∞∞-,2ln ),0,k （；减区间为），（k2ln 0.令2()ln [12]g k k k k =-∈，，，211()21102k g k k k ⎛⎫'=⨯--=--< ⎪⎝⎭，故()g k 在[12]，上单调递减，故2()(1)ln 210ln g k g k k=-<⇒<≤，…………………………7分所以当∈x [0，k]时函数()f x 单调减区间为），（k 2ln 0，单调增区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛k k ,2ln ；故函数2max ()max{(0)()}max{(1)e }[12].k f x f f k k k k k k ==---∈，，，，由于2()(0)(1)e [(1)e 1]kkf k f k k k k k k k -=--+=--+)1)(1(--=ke k k对于[12]k ∀∈，，011,0)1(>-≥-≥-e e k k k ，即()(0)f k f ≥，当1k =时等号成立，故2max ()()(1)e k f x f k k k k ==--．……………………………………………………………9分当2=k 时由（1）知；()f x 的单调递增区间为),+∞∞-（；所以当∈x [0，k]时函数()f x 单调递增，故2max ()()(1)e k f x f k k k k ==--．综上所述：函数()f x 在[0，k ]上的最大值为2()(1),[1,2]k g k k k e k k =--∈…10分2()(1)2k g k k k e k '=+--，由于210,2k k k e e +->≥>， 22()(1)222222(1)(1)0k g k k k e kk k k k k '∴=+-->+--=+-≥对[1,2]k ∀∈恒成立.()在[1,2]g k ∴上为增函数.2max ()(2)24g k g e ∴==-……………………12分22．（本小题满分12分）某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n （n *∈N ）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为1k +次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p （01p <<）.（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）现取其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ.（i ）试运用概率统计的知识，若12E E ξξ=，试求p 关于k 的函数关系式()p f k =；（ii）若1p =-，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k 的最大值.参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln 4 1.3863≈，ln5 1.6094≈，ln6 1.7918≈解（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A ,则()232355A A 1A 10P A ==,……………………2分∴恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为110…………………3分（2）（i ）由已知得1E k ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1k +,()()211k P p ξ∴==-,()()2111kP k p ξ=+=--,()()()()()2111111k k kE p k p k k p ξ⎡⎤∴=-++--=+--⎣⎦,…………………4分若()()12E E ξξ=,则()11kk k k p =+--,则()11kp k-=, 111kp k ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭,111kp k ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭,∴p 关于k 的函数关系式为()111kp f k k ⎛⎫==- ⎪⎝⎭（k *∈N ,且2k ≥）………………6分（ii ）由题意知()()12E E ξξ>,得()11k p k<-, 311p =-,1kk ∴<,1ln 3k k ∴>,……………………8分设()1ln 3f x x x =-（0x >）, 则()113f x x '=-,令()0f x '=,则13x =,……………………10分∴当3x >时,()0f x '<,即()f x 在()3,+∞上单调增减, 又ln 4 1.3863≈,41.33333≈, 4ln 43∴>, 又ln5 1.6094≈,51.66673≈,5ln 53∴<,∴k 的最大值为4 ……………………12分（二）选考题：共10分．请考生在第22~23题中任选一题作答．如果多做，那么按照所做的第一题计分．22．在平面直角坐标内，直线l 过点()2,3P ，且倾斜角6=πα以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为=4sin ρθ． (1)求圆C 的直角坐标方程； (2)设直线l 与圆C 交于A B ，两点，求PA PB +的值．解：（1）由=4sin ρθ得2=4sin ρρθ，…………………2分从而有224x y y +=即：()2224x y +-=…………………4分（2）由题意设直线l 的参数方程为3cos 62sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即：2122x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩…………………5分代入圆的方程得2213422t ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………7分整理得：250t ++=12t t +=-125t t =由120t t +<且120t t >…………………9分可知()1212PA PB t t t t +=+=-+=10分23．已知函数()1f x x =-.（1）解不等式()(1)4f x f x ++≥；（2）当0x ≠，x ∈R 时，证明：1()()2f x f x-+≥. 解：（1）由()(1)4f x f x ++≥得14x x -+≥当1x >时，得214x -≥即：52x ≥；…………………2分当01x ≤≤时，得14≥即：32x ≤-；…………………4分（2）由1()()f x f x -+=111x x++-…………………5分由绝对值不等式得1111x x x x++-≥+…………………7分又因为1,x x同号，所以11x x x x +=+…………………8分由基本不等式得：12x x+≥…………………9分所以1()()2f x f x-+≥…………………10分附：提高作文水平技巧：1．细观察。

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广东省珠海市2020届高三9月摸底测试数学理试题精品文档

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除珠海市2019~2020学年度第一学期高三摸底测试理科数学 2019.9

时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合2320Axx，2 2Bxx,则BCA ( )

A．1xx B．12xx C．2xx D．2xx 2.已知i为虚数单位，若复数z满足13zii,则z（） A．12i B．3i C．5 D．10 3.若角的终边过点4,3 ,则()cos( ) A．45 B．45 C．35 D．35 4.已知等差数列na的前n项和为nS，且510SS,则115aa（） A．0 B．5 C.8 D．16 5.我市某机构调查小学生课业负担的情况，设平均海人每天做作业时间为x(单位:分钟) ,按时间分下列四种情况统计:①030X;②3060X;③6090X;④90X,有1000名小学生参加了此项调查，如图是此次调查中某-项的程序框图，其输出的结果是200,则平均每天做作业时间在0,60分钟内的学生的频率是( )

A．0.2 B．0.4 C.0.6 D．0.8 6.已知函数fx为定义在R上的奇函数，且3 fxfx,则2019f ( ) A．2019 B．3 C. 3 D．0 7.“lnlnxy”是“xyee”的（） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 8.已知43,,ln4ln3abce,则下列大小关系正确的是( ) A．abc B．acb C.bac D．cba 9.已知边长为1的菱形ABCD中，60BADo, 点E满足BEEC,则AEBDuuuruuur的值是（） A．13 B．12 C.14 D．16

10.函数,,00,2s()()inxxeefxxxU的图象大致为( )

A B C D 11.已知点1,0, 1,0MN.若直线:lxym上存在点P使得PMPN,则实数m的取值范围是( ) A．1,1 B．1,1 C.2,2 D．2,2

12.将函数2ysinx的图象向右平移02个单位长度得到fx的图象，若函数fx

在区间0,3上单调递增，且fx的最大负零点在区间5,126上,则的取值范围是( ) A．(,]64 B．(,]124 C.,62 D．,122 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知向量,abrr不共线，23,3mabnakburrrrrr ,如果//mnurr,则k ． 14.已知等比数列na的各项均为正数， 55a,则734aa的最小值为． 15.研究珠海市农科奇观的某种作物，其单株生长果实个数x服从正态分布2(90,)N,且700.1Px,从中随机抽取10株，果实个数在90,110的株数记作随机变量X,假设X服

从二项分布，则X的方差为．精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 16.已知F是抛物线2: 8Cyx的焦点，点2,6M,点P是C上任意一点，当点P在1P时， PFPM取得最大值，当点P在2P尽时， PFPM取得最小值，则12PP ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）

（一）必考题：共60分 17.已知ABC的内角,,ABC的对边长分别为,,abc,且2cosaAccosBbcosC. (1)求角A的大小; (2)若2a,求ABC周长的取值范围. 18.如图，在直角梯形ABED中，//, ABEDABEB,点C是AB中点，且,24ABCDABCD,现将三角形ACD沿CD折起，使点A到达点P的位置，且PE与平面PBC所成的角为45o. (1)求证:平面PBC平面DEBC; (2)求二面角DPEB的余弦值.

19.珠海市某学校的研究性学习小组，对昼夜温差(最高温度与最低温度的差)大小与绿豆种子一天内出芽数之间的关系进行了研究,该小组在4月份记录了1日至6日每天昼夜最高、最低温度(如图1),以及浸泡的100颗绿豆种子当天内的出芽数(如图2) 精品文档

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除图1 图2 已知绿豆种子出芽数y(颗) 和温差xCo具有线性相关关系.

(1)求绿豆种子出芽数y (颗)关于温差xCo的回归方程ˆˆˆybxa;

(2)假如4月1日至7日的日温差的平均值为10Co,估计4月7日浸泡的2000颗绿豆种子一天内的出芽数.

附：1122211ˆnniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnx，ˆˆaybx.

20.已知离心率为223的椭圆22211xyaa，与直线l交于,PQ两点，记直线OP的斜率为后，直线OQ的斜率为2k. (1)求椭圆方程; (2)若1219kk，则三角形OPQ的面积是否为定值?若是，求出这个定值;若不是，请说明理由. 21.已知函数1xfxe,

(1)若fxax对,()0x恒成立,求a的取值范围;

(2)数列*2lnnnNn的前n项和为nT,求证: 221nnTn （二）选考题：共10分.请考生在第22/23题中任选一题作答. 22.选修4-4：坐标系与参数方程精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为22cos42sinxy(为参数),以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4psin. (1)把1C的参数方程化为极坐标方程； (2)求C与2C交点的极坐标(0,02). 23.选修4-5：不等式选讲已知函数1fxxxa,

(1)当2a时，求不等式5fx的解集; (2)若2fx的解集为R，求a的取值范围. 珠海市2019~2020学年度第一学期高三摸底试理科数学答案 2019.9

时间：120分钟满分：150分一、选择题 1-5:DCBAD 6-10:DADCA 11、12：CB 二、填空题 13. 92 14.20 15.2.4

16.5172 三、解答题（一）必考题：共60分 17.解:(1)在ABC中，2cosacosAccosBbCQ 2sinAcosAsinCcosBsinBcosC 2sinAcosAsinCB

2 sinAcosAsinA 精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 1 2cosA

()0,:..3AAQ

(2)由于2,3aA由余弦定理有222122bcacosAbc 222442bcbcbcbc，24 3bcbc

又根据基本不等式有22bcbc，所以22432bcbc 解得4bc(当且仅当2cb时等号成立) 又因为三角形两边之和大于第三边，所以2bc 因为2a，所以ABC周长abc的取值范围为4,6.

18.(1)证明:在平面ABED中，, ABCDBCCD PCQ为AC沿CD折起得到，PCCD PCBCCCDQI，平面PBC，

又CDQ平面,DEBC平面PBC平面DEBC (2)解:在平面ABED中， //ABCDABBECDEB，，由(1)知CD平面PBCEB，平面.PBCEBPB，由PE与平面PBC所成的角为45o，得45EPBo， PBE为等腰直角三角形，PBEB, //ABDEQ，又//CDEB，得2BECD, 2PB，故PBC为等边三角形，取BC的中点O,连结PO, ,POBCPOQ平面EBCD，以O为坐标原点，过点O与BE平行的直线为x轴，CB所在的直线y轴OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系如图，则0,1,02,1,0BE，，2,1,00,0,3 ()DP，