江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高三下学期开学测试数学试卷
2022-2023学年南京师范大学附属中学高三下学期开学测试
一．选择题（共8小题）
1. 设集合{}29A x Z x =∈<，集合()(){}
2130B x x x x =++=，则A B ⋂=（ ）
A.{-3,-1,0}
B.{-1,0}
C.{1,0}
D.{3,1,0}
2. 已知i 是虚数单位，11,,1,ai a b R z i b i z z +∈=++-=，则（ ） A. 21a b =-⎧⎨=⎩ B. 22a b =-⎧⎨=-⎩ C. 42a b =⎧⎨=-⎩ D. 42a b =-⎧⎨=⎩
3. 已知向量,a b 的夹角的余弦值为()()()2,33,1,=3a b a b b a b b -⊥+=-则（ ） A.-4 B.-1 C.1 D.4
4. 已知抛物线C ：y 2=2px(p>0),M 为x 轴半轴上一点，O 为坐标原点，线段OM 的垂直平分线l 交抛物线于A,B 两点，若四边形OAMB 为菱形，且∠OAM =120°，则菱形OAMB 的周长为（ ）
A5 B. 53 C.8 D. 163
5. 我国古代数学典籍《九章算术》卷九“勾股”中有一测量问题：“今有立木，系索其末,委地三尺.引索却行,去本八尺而索尽,问索长几何?这个问题体现了古代对直角三角形的研究，现有一竖立的木头柱子，高4米，绳索系在柱子上端，牵着绳索退行，当绳索与底面夹角为75°时绳索未用尽，再退行43，则绳索长为（ ） A. 37米 B. 45 C. 52 D. 163米
6. 已知67,78,,p q r p q ===则p,q,r 的大小关系为（ ）
A. r>p>q
B. q>p>r
C. p>r>q
D. p>q>r
7. 如图，已知四棱锥S-ABCD 的底面ABCD 为矩形，SA ⊥AB ，SB=SC=2，SA=AD=1，则四棱锥S-ABCD 的外接球的表面积为（ ）
A. 133π
B. 4π
C. 103π
D. 3π 8. 已知函数()()212x f x e x ax a R =--∈有两个极值点，则实数a 的取值范围（ ）
A. （-∞，1）
B. （0,1）
C. [0,1]
D. （1，+∞）
二．多选题（共4小题）
9. 甲乙两人准备买一部手机，购买国产手机的概率分别为0.6,0.5，购买白色手机的概率分别为0.4,0.6，若甲乙两人购买哪款手机互相独立，则（ ）
A.恰有一人购买国产手机的概率为0.5
B. 两人都没购买白色手机的概率为0.52
C.甲购买国产白色手机的概率为0.48
D. 甲乙至少一位购买国产白色手机的概率为0.468
10. 已知经过点P （2,4）的圆C 的圆心坐标为（0，t ）(t 为整数)，且与直线l:
30
x y -=相切，直线m ：ax+y+2a=0与圆C 相交于AB 两点，下列说法正确的是（ ）
A.圆C 的标准方程为x 2+(y-4)2=9
B.若P A ⊥PB ，则实数a 的值为-2
C.若|AB |=22则直线m 的方程为x-y+2=0或7x-y+14=0
D. 弦AB 的中点M 的轨迹方程为（x+1）2+(y-2)2=5
11. 如图，在五面体ABCDE 中，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 与四边形ABEF 那等，且AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB=2,CD =1,则下列说法正确的是（ ）
A. AD ⊥BE
B. 若G 为棱CE 中点，则DF ⊥平面ABG
C. 若AD=CD ，则平面ADE ⊥平面BDE
D. 若AE 3则平面安ADE ⊥平面BCE
12. 已知函数f(x),g(x)是定义域为R 的奇函数，f(x+1)的图像关于直线x =1,对称，函数g(2x+1)的图像关于点（1,0）对称，则下列结论正确的是（ ）
A.函数f(x)的一个周期为8
B. 函数g(x)的图像关于点（3,0）对称
C.若g(x)-3 g(x)-5 g(x)=6，则g (2023)=1
D. 若f (88)+g (88)=6，则g (2)=6
三．填空题（共4小题）
13. 在()5
611y x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，x 2y 2的系数为____________. 14. 已知函数()2sin(2)()2f x x πϕϕ=+<，将f(x)的图像向右平移8
π个单位长度后的函数g(x)的图像，若g(x)为偶函数，则函数f(x)在[0, 2
π]上的值域为___________. 15. 已知数列{}n a 的前n 项和为S n ,a 1=m,2na n =2S n +n(n+1),若对任意n N *∈，等式
2n n S k S =恒成立，则m=_______,k=_________
16. 已知F 1,F 2分别为双曲线C ()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左右焦点，过点F 1且斜率存在的直线L 与双曲线C 的渐近线相交于AB 两点，且点AB 在x 轴的上方，AB 两个点到x 轴的距离之和为85
c ，若22AF BF =,则双曲线的离心率________> 四．简答题题（共6小题）
17. 在①（a+c ）sin2B=bsinA+csinB ②4cosAcosC+1=2sinAsinC(1+1tan tan A C )③2cos cos cos a b c C B C
=+这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题，已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c 满足___________.
（1）求角B 的大小
（2）若asinB=12sinA 求△ABC 面积的最大值.
18. 已知数列{n a }满足()23212333332n n
n n n N a a a a *++++=+∈ （1）求数列{n a }的通项公式
（2）设113n n n n a a b ++=，数列{n b }的前n 项和为T n ，若113
m T =，求m 。
19. 在开展某些问卷调查时，往往会因为涉及个人隐私而导致调查数据不准确，某小组为探究“甲校园中有多少学生上课睡觉”设计A 、B 两个问题，A 问题“你是否上课睡觉”B 问题“你是否在上半年出生”小组成员邀请学生逐一在装有A 、B 问题的两个袋子中随机选取一个，若答案是肯定的，则向盒子中放入1个石子，否则直接离开（B 问题肯定与否定的概率视为
相等）
（1）若该小组共邀请了100名学生，盒子内出现了30个石子，甲校园内有1000个学生，试估计甲校园内上课睡觉的学生人数
（2）视（1）问中的频率为概率，现从该校园中随机抽取4名学生，记其中上课睡觉的人数为X ，求X 2的期望。
20. 如果，在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 与侧面ABB 1A 1都是菱形，AB =4，∠BAD =60°，平面CDD 1C 1⊥平面ABCD ，E 、F 、M 、G 分别是C 1D 1，BC,AD 1,BB 1的中点，N 是AC 上的点且AC=4AN
（1）求证：MN ∥平面EFG
（2）若四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积为48，求二面角A-EC-G 的余弦值
21. 已知双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的离心率为2，左、右焦点分别为F 1,F 2点P （0,1）与F 1,F 2构成的三角形的面积为2.
（1）求双曲线C 的方程
（2）已知直线l ：y=kx+m （k≠0，且k 2≠3）与双曲线C 交于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点为M`，若点F 2在直线M`N 上，试判断直线l 是否经过x 轴上的一个定点，若经过定点，求出定点的坐标，若不经过定点，请说明理由
22. 已知函数f (x)=(2-a)(xlnx-x)+x 2+alnx+1,g(x)为函数f （x ）的导函数
（1）讨论g(x)的单调性
（2）当a =1时，h(x)=2x 2+lnx-x-f(x),若m>0,n>0,且mn>1,证明h(m)+h(n)>0。
江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题
江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高一下学期
5月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
是PD上一点且//
PB平面ACE
(1)证明：E为PD的中点；
(2)在线段PA上是否存在点F，使得平面//
OEF平面PBC，若存在，请给出点F的位置，并证明，若不存在，请说明理由.
所以A1B1∥平面DEC1.
（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.
因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.
又因为BE⊂平面ABC，所以CC1⊥BE.
因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC=C，
所以BE⊥平面A1ACC1.
因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.
【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.
18．(1)5千米
(2)1千米
【分析】（1）先求得cos q，利用余弦定理求得BD，利用正弦定理求得sin ADB
Ð，求得cos ADC
Ð，然后利用余弦定理求得AC.
（2）先求得四边形ABCD面积的表达式，然后利用三角函数的最值的知识求得四边形ABCD面积最大时BD的值.
由于EFË平面PBC，BCÌ平面PBC，
所以//
EF平面PBC，
同理可证得//
OE平面PBC，
由于OE EF E
=
OE EFÌ平面OEF，I，,
所以平面//
OEF平面PBC.。
江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学试卷(原卷版)
高三数学试卷第 1 页 (共 6 页)南京师大附中2022—2023学年度高三第一学期10月检测数 学 2022.10一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M ＝{x |x ≤－1或x ≥1}，N ＝{x |－3＜x ＜1}，则M ∩N ＝( )A ．{x |－3＜x ≤－1}B ．{x |－3＜x ＜－1}C ．RD ．{x |－3≤x ≤1} 2．若(z －1)i ＝i －2，则z ＝( )A ．2－2iB ．2＋2iC ．2iD ．－2i3．顶角为36°的等腰三角形被称为最美三角形，已知其顶角的余弦值为5＋14，则最美三角形底角的余弦值为( )A ．5－14 B ．5－12 C ．5＋14 D ．5＋124．在△ABC 中，→AB ·→AC ＝9，AB ＝3，点E 满足→AE ＝2→EC ，则→AB ·→BE ＝( )A ．－6B ．－3C ．3D ．65．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，点E 为线段DC 上一动点．现将△ADE 沿AE 折起，使点D 在平面ABC 内的射影K 在直线AE 上．当点E 从D 运动到C 时，则点K 所形成轨迹的长度为( )A ．233B ．32C ．π2 D．π3高三数学试卷第 2 页 (共 6 页)6．已知椭圆长轴AB 的长为4，N 为椭圆点，满足|NA |＝1，∠NAB ＝60°，则椭圆的离心率为( )A ．55 B ．255 C ．277 D ．3777．第十三届冬残奥会于2022年3月4日至3月13日在北京举行．现从4名男生，2名女生中选3人分别担任冬季两项、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且至多有1名女生被选中，则不同的选择方案有( )A ．72种B ．84种C ．96种D ．124种 8．若a ＝sin1＋tan1，b ＝2，c ＝ln4＋12，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．a ＜b ＜cD ．b ＜c ＜a 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期初阶段考试数学试题(原卷版)
南京师大附中2022-2023学年度第1学期高三年级阶段考试数学试卷一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|230}A x x x =--<，2{|log 2}B x x =<，则A B ⋂=A.(1,4)- B.(1,3)- C.(0,3)D.(0,4)2.已知复数z 的共轭复数2i3iz +=-，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知函数()222,0,0x x x f x x a x ⎧-+>=⎨-+≤⎩的值域为[)1,+∞，则a 的最小值为（）A.1B.2C.3D.44.函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 图象的一个对称中心是（）A.,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭C.5,06π⎛⎫⎪⎝⎭D.5,06π⎛⎫-⎪⎝⎭5.已知过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点()1,0F -的直线与椭圆交于不同的两点A ，B ，与y 轴交于点C ，点C ，F 是线段AB 的三等分点，则该椭圆的标准方程是（）A.22165x y += B.22154x y += C.22132x y += D.22143x y +=6.如图，已知正四棱锥P ABCD -的底面边长和高的比值为t ，若点E 是棱PD 的中点，则异面直线PB 与CE 所成角的正切值为（）A.B.C.D.7.已知函数()()ln e f x x x =+，()()2131a g x x -=--，若直线2y x b =+与曲线()y f x =，()y g x =都相切，则实数a 的值为（）A.54B.1716C.178D.17e 88.已知双曲线Γ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，直线y kx =与Γ交于A ，B 两点（点A 在第一象限），线段AF 的中点为P ，O 为坐标原点．若OA OF =，2OP =，则Γ的两条渐近线的斜率之积为（）A.4--B.3--C .3- D.4-+二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的.每题全选对者得5分，部分选对者得2分，其他情况不得分.9.教育统计学中，为了解某考生的成绩在全体考生成绩中的位置，通常将考生的原始分数转化为标准分数．定义标准分数()()11,2,,i i z x x i n s=-=L ，其中i x 为原始分数，x 为原始分数的平均数，s 为原始分数的标准差．已知某校的一次数学考试，全体考生的平均成绩115x =，标准差10.8s =，转化为标准分数后，记平均成绩为m ，标准差为σ，则()A.115m = B.0m = C.10.8σ= D.1σ=10.已知动点M 到点(2,1)N k k -M 的运动轨迹为Γ，则（）A.直线12xy =-把Γ分成面积相等的两部分 B.直线230x y -+=与Γ没有公共点C.对任意的k ∈R ，直线2xy =被Γ截得的弦长都相等D.存在k ∈R ，使得Γ与x 轴和y 轴均相切11.已知等比数列{}n a 满足10a >，公比1q >，且1220211220221,1a a a a a a <> ，则（）A.20221a > B.当2021n =时，12n a a a 最小C.当1011n =时，12n a a a 最小 D.存在1011n <，使得12n n n a a a ++=12.已知函数()e xf x x =，则（）A.曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为y x =B.曲线()y f x =的极小值为e-C.当2213e 2ea ≤<时，()()1f x a x <-仅有一个整数解D.当223e 2e 2a ≤<时，()()1f x a x <-仅有一个整数解三､填空题：本大题个共4小题5个空，每题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13.若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 1αα-=，则cos 2=α______．14.某学校团委周末安排甲、乙、丙三名志愿者到市图书馆和科技馆服务，每个人只能去一个地方，每个地方都必须有人去，则图书馆恰好只有丙去的概率为______．15.若对任意的[]1,4x ∈，都有234x x a x x ->-+，则实数a 的取值范围为___________.16.有一张面积为的矩形纸片ABCD ，其中O 为AB 的中点，1O 为CD 的中点，将矩形ABCD 绕1OO 旋转得到圆柱1OO ，如图所示，若点M 为BC 的中点，直线AM 与底面圆O 所成角的正切值为24，EF 为圆柱的一条母线（与AD ，BC 不重合），则当三棱锥A EFM -的体积取最大值时，三棱锥A EFM -外接球的表面积为___________.四､解答题：本题共6个小题，共70分.请在答案卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在ABC .中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos b c Ca A-=，3a =.（1）求角A ；（2）若点D 在边AC 上，且1233BD BA BC =+，求BCD △面积的最大值.18.已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS +=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足对任意的正整数n ，2312123(1)n nb b b b n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+恒成立，求证：4n b ≥.19.随着生活节奏的加快､生活质量的提升，越来越多的居民倾向于生活用品的方便智能.如图是根据2016—2020年全国居民每百户家用汽车拥有量y （单位：辆）与全国居民人均可支配收入x （单位：万元）绘制的散点图.（1）由图可知，可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程；（过程和结果保留两位小数）（2）已知2020年全国居民人均可支配收入为32189元，若从2020年开始，以后每年全国居民人均可支配收入均以6%的速度增长，预计哪一年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆.参考数据：xy()521ii xx=-∑()()51iii xxy y =--∑2.8232.560.465.27()510.06 1.34+≈，()610.06 1.42+≈，()710.06 1.50+≈.参考公式：回归方程 y abx =+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑ ，a y bx =-$$.20.如图1，在平行四边形ABCD 中，,1,2AB AC AB BC ⊥==，将ACD △沿AC 折起，使得点D 到点P 的位置，如图2，设经过直线PB 且与直线AC 平行的平面为α，平面α 平面为PAC m =，平面α 平面为ABC n =.（1）证明：//m n ；（2）若PB =A PBC --的正弦值.21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，且点1,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在C 上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设1F ，2F 为椭圆C 的左，右焦点，过右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若1ABF 内切圆的半径为4，求直线l 的方程.22.已知函数()sin cos f x x x x =-．（1）证明：当()0,x π∈时，()0f x >；（2）记函数()()g x f x x =-，判断()g x 在区间()2,2ππ-上零点的个数．第6页/共6页。
江苏省南京师范大学附属实验学校2022-2023学年高一下学期期中数学试题
2022-2023学年南京师范大学附属实验中学高一下期中考试一､选择题(共8小题，每题5分，共40分)1.已知向量e 1 ，e 2 不共线，向量m =λe 1 +e 2 ，n =e 1 +λe 2 且m ∥n ，则λ的值为()A .1B .-1C .±1D .22.已知a =(2,3)，2a +b =(6,2)，则b =()A .(2,-4)B .(-2,4)C .2,-12D .-2,12 3.2+i 2i =()A .12-iB .1-12iC .12+iD .34-14i 4.已知函数f x =3sin 2x +sin x cos x -32，则f x 的最小正周期为()A .1B .πC .2D .2π5.已知tan β3sin α+cos α =3cos α-sin α，则tan α+β =()A .3B .±3C .±33D .336.已知cos α+π6 =-210，则sin 2α-π6 =()A .-4950B .4950C .-2425D .24257.古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点(切点)，地面上B ，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧，若在B ，C 处分别测量球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC =100m ，则该球体建筑物的高度约为()(cos10°≈0.985)A .45.25mB .50.76mC .56.74mD .58.60m8.将函数f (x )=4cosπ2x 和直线g (x )=x -1的所有交点从左到右依次记为A 1，A 2，A 3，⋯，A n ，若P 点坐标为(0,1)，则PA 1 +PA 2 +⋅⋅⋅+PA n =()A .52B .32C .2D .0二､多选题(共4小题，每题5分，共20分)9.若四边形ABCD 是矩形，则下列命题中正确的是()A .AD ,CB 共线B .AC ,BD 相等C .AD ,CB 模相等，方向相反D .AC ,BD 模相等10下列各式中，值为1的是()A .4cos 215°-2B .4sin15°sin75°C .2(cos15°-sin15°)D .1+tan15°1-tan15°11.若复数z 为纯虚数，则()A .z +z 为实数B .z -z 为实数C .z 2为实数D .z ⋅i 为实数12.在△ABC 中，角A ､B ､C 所对的边分别为a ､b ､c ，且c cos B +b cos C =a 2，则下列说法正确的是()A .若B +C =2A ，则△ABC 面积的最大值为34B .若A =π4，且△ABC 只有一解，则b 的取值范围为(0,1]C .若C =2A ，且△ABC 为锐角三角形，则c 的取值范围为(2,3)D .O 为△ABC 的外心，则BC ⋅BO =12三､填空题(共3小题)13.函数f (x )=sin x +cos x 的最大值为__________.14.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足a cos A =b cos B ，那么△ABC 的形状一定是__________.15.如图在直角梯形ABCD 中，已知DE =EC ，BF =12FC ，AB =5，AD =3，CD =2，则(AE +AF )⋅AC =__________.15.笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称，如图，在平面斜角坐标系xOy 中，两坐标轴的正半轴的夹角为60°，e 1 ，e 2 分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量a =x e 1 +y e 2 ，则称有序实数对(x ,y )为a 在该斜角坐标系下的坐标.若向量m ，n在该斜角坐标系下的坐标分别为(3,2)，(2,k )，当k =____时，m ⋅n =11.四､解答题(共6小题，共70分)17.(10分)已知sin2x +2cos x =0(1)求tan α+π4的值(2)求sin 2α-2sin 2π2-α 的值18.(12分)平面内给定三个向量a =(3,2)，b =(-1,2)，c =(4,1).(1)求cos <a ，b >；(2)求|2a -b|；(3)若(a +kc )⊥(2b -a)，求实数k .19.(12分)如图，在平面四边形ABCD 中，∠ADB =45°，∠BAD =105°，AD =62，BC =2，AC =3.(1)求边AB 的长；(2)求△ABC 的面积.20.(12分)“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子⋅离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，是用来测量､画圆和方形图案的工具.有一块圆形木板，以“矩”量之，较长边为10cm ，较短边为5cm ，如图所示，将这块圆形木板截出一块三角形木块，三角形顶点A ，B ，C 都在圆周上，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足c =45cm .(1)求sin C ；(2)若△ABC 的面积为8cm 2，且a >c ，求△ABC 的周长.21.(12分)如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 是BC 的中点.(1)求向量AD 与向量AC -2AB 的夹角；(2)若O 是线段AD 上任意一点，求OA ⋅OB 的最小值.22.(12分)由两角和差公式我们得到倍角公式cos2x =2cos 2x -1，实际上cos3x 可以表示为cos x 的三次多项式.(1)试用仅含有cos x 的多项式表示cos3x ；(2)求出sin18°的值.2022-2023学年南京师范大学附属实验中学高一下期中考试参考答案一､选择题(共8小题)1.C .2.A .3.A .4.B5.A .6D .7.B8.解答：解：由题意作出图象如图，共得5个交点，根据余弦函数的中心对称性可知，A 1和A 5，A 2和A 4关于A 3对称，PA 3 =(1,-1)，所以PA 1 +PA 5 =PA 2 +PA 4 =2PA 3 ，所以PA 1 +PA 2 +...+PA n = 5PA 3 =52.故选：A .二.多选题(共4小题)9.ACD .10.BC .11.ACD12.解答：解：对于A ，由正弦定理可得sin C cos B +sin B cos C =sin (B +C )=sin A =a sin A ，因为0<A <π，所以sin A ≠0，所以a =1，若B +C =2A ，且B +C +A =π，所以A =π3，由余弦定理得cos A =cos π3=b 2+c 2-a 22bc =b 2+c 2-12bc，由b >0，c >0，可得b 2+c 2=bc +1≥2bc ，即bc ≤1，当且仅当b =c 时等号成立，则ΔABC 面积12bc sin A ≤12×32=34，所以ΔABC 面积的最大值为34，故A 正确；对于B ，若A =π4，且a =1，由正弦定理得b sin B =1sin π4，所以sin B =b sin π4=22b ，当sin B =1时，即22b =1，b =2时有一解，故B 错误；对于C ，若C =2A ，所以B =π-A -2A =π-3A ，且ΔABC 为锐角三角形，所以0<A <π20<2A <π20<π-3A <π2 ，解得π6<A <π4，所以cos A ∈22,32 ，由正弦定理a sin A =c sin C 得c =1×sin C sin A =sin2A sin A=2cos A ∈(2,3)，故C 正确；对于D ，如图作OD ⊥BC 交BC 于点D 点，则D 点为BC 的中点，且BC =1，设∠OBD =α，所以cos α=BD BO，所以BC ⋅BO =BC ⋅ BO cos α= BC ⋅ BO ×BD BO=BC ⋅ BD =12 BC 2=12，故D 正确.故选：ACD .三､填空题(共4小题)13.2.14.等腰或直角三角形.15.22.16.67.四､解答题(共5小题)17.解答：(1)sin2α+2cos α=0⇒tan α⇒tan α+π4 =1+tan α1-tan α=-13(2)sin 2α-2sin 2π2-α ⇒sin 2α-cos 2α=tan 2α-21-tan 2α=2518.解答：解：(1)因为a =(3,2),b =(-1,2)，所以a ⋅b =3×(-1)+2×2=1,a=32+22=13,b =(-1)2+22=5，所以cos ‹a ,b ›=a ⋅b a b =113×5=6565；(2)因为a =(3,2),b =(-1,2)，所以2a -b =2(3,2)-(-1,2)=(7,2)，所以2a -b =72+22=53；(3)因为c =(4,1),a +kc =(4k +3,k +2),2b -a =(-5,2)，又(a +kc )⊥(2b -a )，所以(4k +3)×(-5)+(k +2)×2=0，解得k =-1118.19.解答：解：(1)在ΔABD 中，∠ABD =180°-(45°+105°)=30°，由正弦定理得AB =AD ⋅sin45°sin30°=62×2=3.(2)在ΔABC 中，由余弦定理得cos ∠ABC =AB 2+BC 2-AC 22AB ×BC =(3)2+22-3223×2=-36.∴sin ∠ABC =1-cos 2∠ABC =336.∴S ΔABC =12×AB ×BC ×sin ∠ABC =12×3×2×336=112.20.解答：解：(1)设ΔABC 的外接圆半径为R ，则2R =102+52=55(cm )，由正弦定理c sin C =2R ，可得sin C =c 2R =4555=45；(2)∵a >c ，则A >C ，故C 为锐角，∴cos C =1-sin 2C =35，由面积公式S =12ab sin C ，即8=12ab ×45，可得ab =20，由余弦定理cos C =a 2+b 2-c 22ab =(a +b )2-2ab -c 22ab，即35=(a +b )2-40-8040，可得(a +b )2=144，解得a +b =12(cm )，故ΔABC 的周长为a +b +c =12+45(cm ).21.解答：解：(1)根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0,0),A (0,3),B (-1,0),C (1,0)，因为AD =(0,-3),AC =(1,-3),AB =(-1,-3)，所以AC -2AB =(3,3),AC -2AB =32+(3)2=23,AD =3，AD ⋅(AC -2AB )=-3，则cos ‹AD ,AC -2AB ›=AD ⋅(AC -2AB )AD AC -2AB=-12，又θ∈[0，π]，故向量AD 与向量AC -2AB 的夹角为2π3；(2)设点O (0,t )，(0≤t ≤3)，则OA =(0,3-t ),OB =(-1,-t )，则OA ⋅OB =-t (3-t )=t -32 2-34，当t =32时，OA ⋅OB 取得最小值，且最小值为-34.22.解答：解：(1)cos2x =cos (2x +x )=cos2x cos x -sin2x sin x=(2cos 2x -1)cos x -2sin 2x cos x=2cos 3x -cos x -2(1-cos 2x )cos x=4cos 3x -3cos x ，(2)因为cos (3×18°)=cos (90°-2×18°)，所以4cos 318°-3cos18°=2sin18°cos18°，所以4cos 218°-3=2sin18°，所以4sin 218°+2sin18°-1=0，解得sin18°=5-14(-5-14舍去).。
江苏省南京师范大学附属中学仙林学校初中部2022-2023学年八年级下学期3月月考数学试题(含答案)
2022-2023学年南京师范大学附属中学仙林学校初中部初二下学期3月月考一．选择题（共4小题，每小题3分，共12分）1．下列汽车标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）A．对角线相等B．对角线互相垂直C．对角相等D．对边平行3．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判断这个平行四边形是菱形的是（ ）A．AB＝AD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠ABD D．AC⊥BD4．如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形FGCE，点M、N分别是BD、GE 的中点，若BC＝7，CE＝1，则MN的长（ ）A．3B．5C．6D．8二．填空题（共10小题，每小题3分，共30分）5．当x 时，分式有意义．6．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠AOB＝60°，若AB＝1，则BC ＝ ．7．如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于 ．8．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是 ．9．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，只要添加 条件，就能保证四边形EFGH是菱形．10．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转38°后所得的图形，点C恰好在AB上，∠AOD＝90°，则∠B的度数是 ．11．如图，在平行四边形ABCD中，E为AD上一点，∠EBC＝40°，且BE＝BC，CE＝CD，则∠A＝ ．12．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别是6cm、8cm，AE⊥BC，垂足为点E，则AE的长是 cm．13．如图，▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为 ．14．如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝12，AB＝9，E是BC上的点，以AE为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为 ．三．解答题（共7小题，共58分）15．（6分）解方程：（1）；（2）．16．（8分）先化简，再求值：，其中a是满足不等式3a﹣1＞﹣4的最小整数解．17．（9分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．（1）画出△ABC关于原点成中心对称的△A'B'C'；（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，得△A″B″C″，画出△A″B″C″；（3）请直接写出，以A'、B'、C'为顶点的平行四边形的第四个顶点D'的坐标．18．（9分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的点，∠1＝∠2．（1）求证：BE＝DF；（2）求证：AF∥CE．19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．（1）求证：∠ADB＝∠CDB；（2）若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．20．（9分）如图，点A在直线l外，点B在直线l上．（1）在l上求作一点C，在l外求作一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形；（要求：用直尺和圆规作出所有大小不同的菱形）（2）连接AB，若AB＝5，且点A到直线l的距离为4，通过计算，找出（1）中面积最小的菱形．21．（9分）如图1，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O，M和N分别为OB、OC的中点，连接ED、EM、MN、ND．（1）求的值；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DEMN是矩形？给出你的结论并证明．（3）如图2，在△ABC中，BD、AF分别是边AC、BC上的中线，BD与AF相交于点O，若OA＝4，OC＝3，OB＝5，则△ABC的面积为 （请直接写出结果）．2022-2023学年南京师范大学附属中学仙林学校初中部初二下学期3月月考参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．下列汽车标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．【解答】解：A选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；B选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；C选项选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；D选项中的图形是中心对称图形但不是轴对称图形，不符合题意；故选：B．2．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）A．对角线相等B．对角线互相垂直C．对角相等D．对边平行【解答】解：∵菱形的性质有对角相等，对边平行，对角线互相垂直平分，矩形的性质有对角相等，对边平行，对角线互相平分且相等，故选：B．3．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判断这个平行四边形是菱形的是（ ）A．AB＝AD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠ABD D．AC⊥BD【解答】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形，故A选项不符合题意；B、对角线平分对角的平行四边形是菱形，故B选项不符合题意；C、由∠BAC＝∠ABD不一定能够判断这个平行四边形是菱形，故C选项符合题意；D、对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，故D选项不符合题意．故选：C．4．如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形FGCE，点M、N分别是BD、GE 的中点，若BC＝7，CE＝1，则MN的长（ ）A．3B．5C．6D．8【解答】解：连接AC、CF、AF，如图所示：∵矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形FFCE，∴∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝5AC＝BD＝GE＝CF，AC与BD互相平分，GE与CF互相平分，∵点M、N分别是BD、GE的中点，∴M是AC的中点，N是CF的中点，∴MN是△ACF的中位线，∴MN＝AF，∵∠ACF＝90°，∴△ACF是等腰直角三角形，∴AF＝AC＝5×＝10，∴MN＝5．故选：B．二．填空题（共10小题）5．当x ≠﹣3 时，分式有意义．【解答】解：由题意得：x+3≠0，解得：x≠﹣3，故答案为：≠﹣3．6．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠AOB＝60°，若AB＝1，则BC＝ ．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝AB＝1，∴AC＝2OA＝2，∴BC＝＝＝．故答案为：．7．如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于 3.5 ．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB＝28÷4＝7，OB＝OD，∵E为AD边中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE＝AB＝×7＝3.5．故答案为：3.5．8．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是 22.5° ．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∵AE＝AC，∴∠ACE＝∠E＝＝67.5°，∴∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝67.5°﹣45°＝22.5°．故答案为：22.5°．9．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，只要添加 AC＝BD 条件，就能保证四边形EFGH是菱形．【解答】解：∵顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH即为平行四边形，∴根据菱形的性质，只要再有一组邻边相等就为菱形，只要添加的条件能使四边形EFGH 一组对边相等即可，例如AC＝BD，故答案为：AC＝BD．10．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转38°后所得的图形，点C恰好在AB上，∠AOD＝90°，则∠B的度数是 57° ．【解答】解：根据旋转性质得△COD≌△AOB，∴CO＝AO，由旋转角为38°，可得∠AOC＝∠BOD＝38°，∴∠OAC＝（180°﹣∠AOC）÷2＝71°，∴∠BOC＝∠AOD﹣∠AOC﹣∠BOD＝14°，∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝52°，在△AOB中，由内角和定理得∠B＝180°﹣∠OAC﹣∠AOB＝180°﹣71°﹣52°＝57°．答：∠B的度数为57°．11．如图，在平行四边形ABCD中，E为AD上一点，∠EBC＝40°，且BE＝BC，CE＝CD，则∠A＝ 110° ．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD＝AB，AB∥CD，∴∠2＝∠3，∠A+∠D＝180°，∵BE＝BC，CE＝CD，∴BE＝BC＝10，CE＝CD＝6，∠1＝∠2，∠3＝∠D，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠D，∵∠EBC＝40°，∴∠D＝∠1＝∠3＝70°，∴∠A＝180°﹣70°＝110°；故答案为：110°．12．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别是6cm、8cm，AE⊥BC，垂足为点E，则AE的长是 cm．【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O，∵四边形ABCD是菱形，∴CO＝AC＝3cm，BO＝BD＝4cm，AC⊥BD，∴BC＝＝＝5cm，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×6×8＝24（cm2），∵S菱形ABCD＝BC×AE，∴BC×AE＝24，∴AE＝（cm），故答案为：．13．如图，▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为 8 ．【解答】解：连接EF，AE与BF交于点O，如图，∵AB＝AF，AO平分∠BAD，∴AO⊥BF，BO＝FO＝BF＝3，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AF∥BE，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴AB＝EB，而BO⊥AE，∴AO＝OE，在Rt△AOB中，AO＝＝4，∴AE＝2AO＝8．故答案为：8．14．如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝12，AB＝9，E是BC上的点，以AE为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为 或9 ．【解答】解：有两种情形：①如图1中，当∠EFC＝90°时，A，F，C共线，设BE＝EF＝x，在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝9，BC＝AD＝12，∴AC＝＝15，在Rt△EFC中，∵EC2＝EF2+CF2，∴（12﹣x）2＝x2+62，∴x＝，②如图2中，当∠FEC＝90°时，四边形ABEF是正方形，BE＝AB＝9，综上所述，BE的值为或9．三．解答题（共7小题）15．解方程：（1）；（2）．【解答】解：（1）两边都乘以x（x﹣6），得3（x﹣6）＝2x，解得x＝18，检验，当x＝18时，x（x﹣6）＝216≠0，∴x＝18是方程的解；（2）两边都乘以x﹣2，得1﹣3（x﹣2）＝x﹣1，去括号，得1﹣3x+6＝x﹣1，移项，得﹣3x﹣x＝﹣1﹣6﹣1，合并同类项，得﹣4x＝﹣8系数化为1，得x＝2，检验：当x＝2时，x﹣2＝0，x＝2是方程的增根，∴原方程无解．16．先化简，再求值：，其中a是满足不等式3a﹣1＞﹣4的最小整数解．【解答】解：A＝•＝，由3a﹣1＞﹣4，解得：a＞﹣1，即a＝2（a＝0与a＝1原式没有意义），则原式＝1．17．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．（1）画出△ABC关于原点成中心对称的△A'B'C'；（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，得△A″B″C″，画出△A″B″C″；（3）请直接写出，以A'、B'、C'为顶点的平行四边形的第四个顶点D'的坐标．【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求作．（2）如图，△A″B″C″即为所求作．（3）D点的坐标（5，3）或（7，﹣3）或（﹣3，﹣3）．18．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的点，∠1＝∠2．（1）求证：BE＝DF；（2）求证：AF∥CE．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠5＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠AEB＝∠4，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF；（2）由（1）得△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∵∠1＝∠2，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF∥CE．19．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P 作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．（1）求证：∠ADB＝∠CDB；（2）若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．【解答】证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB＝∠CDB；（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°，∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形，∵∠ADB＝∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN，∴四边形MPND是正方形．20．如图，点A在直线l外，点B在直线l上．（1）在l上求作一点C，在l外求作一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形；（要求：用直尺和圆规作出所有大小不同的菱形）（2）连接AB，若AB＝5，且点A到直线l的距离为4，通过计算，找出（1）中面积最小的菱形．【解答】解：（1）如图①②③；（2）图①中，菱形ABCD的面积＝5×4＝20，图②中，BC＝6，AD＝8，菱形ABDC的面积＝×6×8＝24，图③中，作AH⊥BC于H，设菱形的边长为x，在Rt△ABH中，AH＝4，AB＝5，则BH＝3，所以CH＝x﹣3，在Rt△ACH中，42+（x﹣3）2＝x2，解得x＝菱形ACBD的面积＝×4＝，所以面积最小的菱形为ACBD．21．如图1，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O，M 和N分别为OB、OC的中点，连接ED、EM、MN、ND．（1）求的值；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DEMN是矩形？给出你的结论并证明．（3）如图2，在△ABC中，BD、AF分别是边AC、BC上的中线，BD与AF相交于点O，若OA＝4，OC＝3，OB＝5，则△ABC的面积为 18 （请直接写出结果）．【解答】解：（1）∵D、E、M、N分别为AC、AB、OB、OC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，MN∥BC，MN＝BC，∴DE∥MN，DE＝MN，∴四边形EMND为平行四边形，∴OM＝OD，∵OM＝BM，∴OB＝2OM＝2OD，∴＝2；（2）当AB＝AC时，四边形DEMN为矩形，理由如下：∵D、E为AC、AB的中点，∴AD＝AC，AE＝AB，∴AD＝AE，在△AEC和△ADB中，，∴△AEC≌△ADB（AAS），∴BD＝CE，∵OD＝OM＝BM，∴MD＝BD，同理EN＝EC，∴MD＝EN，∴四边形DEMN为矩形；（3）∵D，E，F分别为中点，设图中各小三角形的面积分别为a，b，c，由△ABF于△ACF等积，得a+2c＝a+2b，∴b＝c，同理可得a＝b＝c，∵OA＝4，∴OF＝2，延长OF到G，可得BG＝OC＝3，OG＝2OF＝4，∵OB＝5，∴△OBG是直角三角形，且面积为6，∴a＝3，∴△ABC的面积＝6a＝18．故答案为：18．。
江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期初阶段考试数学试题(解析版)
南京师大附中2022-2023学年度第1学期高三年级阶段考试数学试卷一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|230}A x x x =--<，2{|log 2}B x x =<，则A B ⋂=A.(1,4)- B.(1,3)- C.(0,3)D.(0,4)【答案】C 【解析】【详解】试题分析：解一元二次不等式2230x x --<，得13x -<<，∴(1,3)A =-，而(0,4)B =，∴(0,3)A B ⋂=.考点：1.解一元二次不等式；2.集合的交集.2.已知复数z 的共轭复数2i3iz +=-，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】由复数的运算法则计算后根据共轭复数概念得z ，再由几何意义得对应点坐标，从而得结论．【详解】()()()()2i 3i 2i 55i 11i 3i 3i 3i 1022z ++++====+--+，故11i 22z =-，在复平面内对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第四象限.故选：D.3.已知函数()222,0,0x x x f x x a x ⎧-+>=⎨-+≤⎩的值域为[)1,+∞，则a 的最小值为（）A.1 B.2C.3D.4【答案】A 【解析】【分析】利用函数的单调性分别求出0x >和0x ≤时，所对应函数解析式的范围，根据函数()f x 的值域即可求出a 的取值范围.【详解】由已知得当0x >时，()()222211f x x x x =-+=-+，值域为[)1,+∞；当0x ≤时，()f x x a =-+，值域为[),a +∞；∵函数()f x 的值域为[)1,+∞，∴1a ≥，则a 的最小值为1.故选：A.4.函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 图象的一个对称中心是（）A.,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭C.5,06π⎛⎫⎪⎝⎭ D.5,06π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】先根据函数图象得到函数()f x 图象的一个对称中心与()f x 的最小正周期，进而利用函数的性质即可求解.【详解】解：由题图可知()f x 图象的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭，()f x 的最小正周期4263T πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故()f x 图象的对称中心为,06k ππ⎛+⎫⎪⎝⎭，Z k ∈，结合选项可知，当1k =-时，()f x 图象的一个对称中心是5,06π⎛⎫-⎪⎝⎭.故选：D.5.已知过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点()1,0F -的直线与椭圆交于不同的两点A ，B ，与y 轴交于点C ，点C ，F 是线段AB 的三等分点，则该椭圆的标准方程是（）A.22165x y += B.22154x y += C.22132x y += D.22143x y +=【答案】B 【解析】【分析】不妨设A 在第一象限，由椭圆的左焦点()1,0F -，点C ，F 是线段AB 的三等分点，易得21,b A a ⎛⎫⎪⎝⎭，22,2b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入椭圆方程可得222414b a a +=，又2221c a b =-=，两式相结合即可求解【详解】不妨设A 在第一象限，由椭圆的左焦点()1,0F -，点C ，F 是线段AB 的三等分点，则C 为1AF 的中点，1F 为BC 中点，所以1A x =，所以22211A y a b +=，则2A b y a=即21,b A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以220,2b C a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,2b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，将点坐标代入椭圆方程得4222441b a a b +=，即222414b a a+=，又221a b -=，所以25a =，24b =，所以椭圆的标准方程是22154x y +=.故选：B6.如图，已知正四棱锥P ABCD -的底面边长和高的比值为t ，若点E 是棱PD 的中点，则异面直线PB 与CE 所成角的正切值为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】如图，连接,BD AC 交于点O ，连接,OE OP ，根据正四棱锥的几何特征可得O 为,BD AC 的中点，OP ⊥平面ABCD ，则可得OE BP ∥，则异面直线PB 与CE 所成的角为OEC ∠或其补角，设AB a =，OP h =，结合已知在Rt OEC 中，分别求出,OE OC 即可得解.【详解】先根据正四棱锥的结构特征找到异面直线PB 与CE 所成的角，然后通过解三角形即可得解.如图，连接,BD AC 交于点O ，连接,OE OP ，则O 为,BD AC 的中点，且OP ⊥平面ABCD ，因为E 是棱PD 的中点，所以OE BP ∥，所以异面直线PB 与CE 所成的角为OEC ∠或其补角，因为AC ⊂平面ABCD ，所以OP AC ⊥，又,AC BD BD OP O ⊥⋂=，所以AC ⊥面PBD ，又OE ⊂面PBD ，所以OC OE ⊥，设AB a =，OP h =，则由题意得a t h =，2OB OC a ==，12OE BP ===所以在Rt OEC中，222tan a aOC h OEC OE ⋅∠=====即异面直线PB 与CE故选：C.7.已知函数()()ln e f x x x =+，()()2131a g x x -=--，若直线2y xb =+与曲线()y f x =，()y g x =都相切，则实数a 的值为（）A.54 B.1716C.178D.17e 8【答案】B 【解析】【分析】设直线2y x b =+与曲线()y f x =，()y g x =相切的切点分别为()11,x y ，()22,x y ，先针对()()ln e f x x x =+，根据导数的几何意义求出切线方程，再针对()()2131a g x x -=--还是利用导数的几何意义列方程组求出实数a 的值.【详解】设直线2y x b =+与曲线()y f x =，()y g x =相切的切点分别为()11,x y ，()22,x y ，因为()11f x x'=+，所以()11112f x x '=+=，解得11x =，又()ln e 112f =+=，所以直线2y x b =+与曲线()y f x =相切的切点坐标为()1,2，所以22b =+，解得0b =，所以2y x =．又()()()()22111a g x x x -'=≠-，所以()()()()2222222121213211a g x x a x x x ⎧-==⎪-⎪⎪-⎪-=⎨'-⎪⎪≠⎪⎪⎩，解得2541716x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．故选：B ．8.已知双曲线Γ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，直线y kx =与Γ交于A ，B 两点（点A 在第一象限），线段AF 的中点为P ，O 为坐标原点．若OA OF=，2OP =，则Γ的两条渐近线的斜率之积为（）A.4--B.3--C.3-D.4-+【答案】B 【解析】2c a -=，进而2224a b a=++，即可求解【详解】如图，设双曲线Γ的左焦点为1F ，连接1AF ，根据双曲线Γ与直线y kx =的对称性，知OA OB =．因为OA OF =，2OP =，线段AF 的中点为P ，所以12AF OP ==，且OP AF ⊥，所以2AF PF c ==．根据双曲线的定义，知12AF AF a -=，2c a -=，所以2224c a ==+，所以2224a b a =++，所以223b a=+，所以双曲线Γ的两条渐近线的斜率之积为223b a-=--，故选：B．二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的.每题全选对者得5分，部分选对者得2分，其他情况不得分.9.教育统计学中，为了解某考生的成绩在全体考生成绩中的位置，通常将考生的原始分数转化为标准分数．定义标准分数()()11,2,,i i z x x i n s=-=L ，其中i x 为原始分数，x 为原始分数的平均数，s 为原始分数的标准差．已知某校的一次数学考试，全体考生的平均成绩115x =，标准差10.8s =，转化为标准分数后，记平均成绩为m ，标准差为σ，则()A.115m =B.0m = C.10.8σ= D.1σ=【答案】BD 【解析】【分析】根据平均数和方差公式，结合()()11,2,,i i z x x i n s=-=L 即可计算m 和σ．【详解】根据平均数与方差公式，得()()1111111110n n n i i i i i i m z x x x x x x n n s s n s===⎛⎫==-=-=-= ⎪⎝⎭∑∑∑，22211s sσ=⋅=，即0m =，1σ=．故选：BD ．10.已知动点M 到点(2,1)N k k -M 的运动轨迹为Γ，则（）A.直线12xy =-把Γ分成面积相等的两部分B.直线230x y -+=与Γ没有公共点C.对任意的k ∈R ，直线2xy =被Γ截得的弦长都相等D.存在k ∈R ，使得Γ与x 轴和y 轴均相切【答案】ABC 【解析】【分析】根据题意知曲线Γ为圆，由直线过圆心可判断A ，由圆心到直线的距离判断B ，由圆心到2x y =的距离为定值判断C ，根据圆心到坐标轴的距离判断D.【详解】依题意得，Γ是以(2,1)N k k -为半径的动圆，则Γ的方程为22(2)(1)3x k y k -+-+=.易知直线12xy =-经过Γ的圆心(2,1)N k k -，所以直线12xy =-把Γ分成面积相等的两部分，故A 正确；(2,1)N k k -到直线230x y -+=的距离1d ==>230x y -+=与Γ没有公共点，故B 正确；圆心(2,1)N k k -到直线2xy =的距离2d ==所以直线2x y =被圆Γ截得的弦长为2555=，是定值，故C 正确；若存在一个圆Γ与x 轴和y 轴均相切，则|2||1|k k =-=，显然无解，故D 错误.故选：ABC11.已知等比数列{}n a 满足10a >，公比1q >，且1220211220221,1a a a a a a <> ，则（）A.20221a >B.当2021n =时，12n a a a 最小C.当1011n =时，12n a a a 最小D.存在1011n <，使得12n n n a a a ++=【答案】AC【解析】【分析】由等比数列的性质、单调性及不等式的性质可对每一个选项进行判断【详解】对A ，∵10a >，1q >，∴0n a >，又1220211a a a ⋅⋅⋅<，1220221a a a ⋅⋅⋅>，∴202212202111a a a a >>⋅⋅⋅，故A 正确；对B 和C ，由等比数列的性质可得21202122020101010121011a a a a a a a ==⋅⋅⋅==，故202112202110111a a a a ⋅⋅⋅=<即101101a <<，∵22202232021101110131012a a a a a a a ==⋅⋅⋅==，∴202123420221012a a a a a ⋅⋅⋅=，因为123420222342022111a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=>，所以2021101211a a >，∵1220211a a a ⋅⋅⋅<，10a >，1q >，∴101a <<，111a >，∴10121a >，故当1011n =时，12n a a a ⋅⋅⋅最小，所以B 错误，C 正确；对D ，因为101a <<，1q >，所以{}n a 是单调递增数列，所以当1011n <时，10111n a a <<，故112n n n n a a a a +++<<，故D 错误，故选：AC12.已知函数()e xf x x =，则（）A.曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为y x =B.曲线()y f x =的极小值为e -C.当2213e 2ea ≤<时，()()1f x a x <-仅有一个整数解D.当223e 2e 2a ≤<时，()()1f x a x <-仅有一个整数解【答案】AC 【解析】【分析】对于A,利用导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解；对于B ，利用函数极值的定义及导数法求函数极值的步骤即可求解；对于C ，D ，根据B 选项结论，画出函数()f x 图象，利用函数()()1f x a x <-仅有一个整数解，只需要()f x 的图象在()1y a x =-的图象的下方的横坐标为整数且只有一个即可求解.【详解】对于A ，()()()1x x x f x x x x '''=+=+e e e ，所以曲线()y f x =在点()0,0处的斜率为()()00011k f '==+=e ，所以曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为()010y x -=⨯-即y x =，故A 正确；对于B,()()()1x x x f x x x x '''=+=+e e e ，令()0f x ¢=，则()10xx +=e ，解得1x =-，当1x >-时，()0f x ¢>，当1x <-时，()0f x ¢<，所以()f x 在()1,-+∞上单调递增，在(),1-∞-上单调递减.当1x =-时，()f x 取得极小值为()()1111f --=-=-e e，故B 不正确；对于C ，D,由B 选项知，()f x 在()1,-+∞上单调递增，在(),1-∞-上单调递减.当1x =-时，()f x 取得极小值为()()1111f --=-=-ee，如图所示由题意可知，2121,,2,,e e A B ⎛⎫⎛⎫----⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭直线()1y a x =-恒过()1,0P ，所以101e 112e PAk --==--，22202e 123ePB k --==--，要使()()1f x a x <-仅有一个整数解，只要是()e xf x x =的图象在()1y a x =-的图象的下方的横坐标为整数且只有一个，当PB PA k a k ≤<,即2213e 2ea ≤<时，()()1f x a x <-仅有一个整数解，故C 正确，当22e a =时，当1x ≤时，()()1f x a x >-，当2x =时，()()22e 221f =-，当3x ≥时，()()1f x a x >-，()()1f x a x <-无整数解，D 不正确.故选：AC.【点睛】解决此题的关键，对于A ，利用导数的几何意义即可，对于B ，利用导数法求函数极值的步骤即可，对于C ，D,画出函数图象，要使()()1f x a x <-仅有一个整数解，只要是()e xf x x =的图象在()1y a x =-的图象的下方的横坐标为整数且只有一个，即PB PA k a k ≤<即可.三､填空题：本大题个共4小题5个空，每题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13.若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 1αα-=，则cos 2=α______．【答案】79【解析】【分析】由题，结合三角恒等变换，求出sin α或tan α的值，即可由2cos 212sin αα=-或221tan cos 21tan ααα-=+求值【详解】解法一sin 1αα-=1sin αα=+，两边平方得222cos 12sin sin ααα=++，23sin 2sin 10αα+-=，解得1sin 3α=或sin 1α=-（π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，舍去），故2cos 21279sin αα=-=解法二sin 1αα-=两边同时平方，得222cos sin sin 1αααα+-=，即2cos sin ααα=，又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 0α≠，所以sin tan cos 4ααα==，则22111tan 78cos 211tan 918ααα--===++．故答案为：7914.某学校团委周末安排甲、乙、丙三名志愿者到市图书馆和科技馆服务，每个人只能去一个地方，每个地方都必须有人去，则图书馆恰好只有丙去的概率为______．【答案】16【解析】【分析】利用古典概型的概率计算公式求解即可【详解】先将3人分成两组，再安排到市图书馆和科技馆，共有2232C A 6=种不同的情况，图书馆恰好只有丙去只有1种情况，故所求概率16P =．故答案为：1615.若对任意的[]1,4x ∈，都有234x x a x x ->-+，则实数a 的取值范围为___________.【答案】()(),16,-∞-⋃+∞【解析】【分析】对任意的[]1,4x ∈，都有234x x a x x ->-+等价于对任意的[]1,4x ∈，都有43x a x x->+-，由题意可知，函数()14y x a x =-≤≤的图象在函数()4314y x x x=+-≤≤的图象的上方，结合图象列式即可求解【详解】对任意的[]1,4x ∈，都有234a x x ->-+等价于对任意的[]1,4x ∈，都有43x a x x->+-，作出函数()4314y x x x =+-≤≤的大致图象，如图中实线所示，由题意可知，函数()14y x a x =-≤≤的图象在函数()4314y x x x=+-≤≤的图象的上方，①若14a ≤≤，显然不符合题意；②若4a >，当直线y a x =-经过点()4,2时，6a =，所以要使()14y x a x =-≤≤的图象在()4314y x x x=+-≤≤的图象的上方，需6a >；③若1a <，当直线y x a =-经过点()1,2时，1a =-，所以要使()14y x a x =-≤≤的图象在()4314y x x x=+-≤≤的图象的上方，需1a <-.综上，实数a 的取值范围为()(),16,-∞-⋃+∞.故答案为：()(),16,-∞-⋃+∞16.有一张面积为的矩形纸片ABCD ，其中O 为AB 的中点，1O 为CD 的中点，将矩形ABCD 绕1OO旋转得到圆柱1OO ，如图所示，若点M 为BC 的中点，直线AM 与底面圆O 所成角的正切值为4，EF 为圆柱的一条母线（与AD ，BC 不重合），则当三棱锥A EFM -的体积取最大值时，三棱锥A EFM -外接球的表面积为___________.【答案】412π【解析】【分析】先根据矩形ABCD 的面积为AM 与底面圆O 所成角的正切值为4，求出圆柱的底面半径与高，连接BE ，再由基本不等式求出三棱锥A EFM -的体积取最大值时AE ，BE 的长，最后设三棱锥A EFM -外接球的球心到平面AEF 的距离为x ，列出关于x 的方程，求出x ，进而求出外接球半径，即可求得外接球的表面积【详解】设圆柱的高为h ，底面半径为r ，则2rh =，即rh =.因为直线AM 与底面圆O 所成角的正切值为4，所以224hr =，即hr =.由rh h r⎧=⎪⎨=⎪⎩，得2h r ⎧=⎪⎨=⎪⎩连接BE ，由题意得AE BE ⊥，AE EF ⊥，又BE EF E = ，所以AE ⊥平面MEF ，而AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面MEF .过点M 作MN EF ⊥于点N ，则MN ⊥平面AEF .设AE a =，BE b =，则2216a b +=，于是三棱锥A EFM -的体积2211323323A EFM a b V a b ab -+=⨯⨯=≤⨯=，当且仅当a b ==时取等号，设此时三棱锥A EFM -外接球的球心到平面AEF 的距离为x ，外接球半径为R ，则()2242x x +=+，解得4x =，于是229414488R x =+=+=，所以当三棱锥A EFM -的体积取最大值时，三棱锥A EFM -外接球的表面积24142S R ππ==.故答案为：412π.四､解答题：本题共6个小题，共70分.请在答案卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在ABC .中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos b c Ca A-=，3a =.（1）求角A ；（2）若点D 在边AC 上，且1233BD BA BC =+，求BCD △面积的最大值.【答案】（1）3π（2）334【解析】【分析】（1）利用正弦定理将2cos cos b c Ca A-=，化为2sin cos sin B A B =，由此即可求出结果；（2）由题意可知13CD CA = ，进而可得1312BCD ABC S S ==△△，再根据余弦定理和基本不等式可得bc的最大值，进而求出结果.【小问1详解】解：因为2cos cos b c C a A-=，所以()2cos cos b c A a C -=，所以()2sin cos sin cos cos sin sin sin B A A C A C A C B =+=+=，因为sin 0B >，所以1cos 2A =，因为()0,πA ∈，所以π3A =.【小问2详解】解：因为1233BD BA BC =+ ，所以13CD CA =；所以113sin 3612BCD ABC S S bc A bc ===△△，因为2222cos a b c bc A =+-，所以229b c bc bc =+-≥，当且仅当b c =时，等号成立，所以333124BCD S =≤△，所以BCD △面积的最大值为334.18.已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS +=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足对任意的正整数n ，2312123(1)n nb b b b n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+恒成立，求证：4n b ≥.【答案】（1）n a n =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用11,2,,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，进而求得答案；（2）根据题意先求出nnb a ，然后根据（1）求出n b ，进而通过基本不等式证明问题.【小问1详解】因为22n n nS +=，所以当2n ≥时，221(1)122n n n n n n n a S S n -+-+-=-=-=.当1n =时，2111112a S +===，满足n a n =.所以{}n a 的通项公式为n a n =.【小问2详解】因为2312123(1)n nb b b b n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+，所以当2n ≥时，231121231n n b b b b n a a a a --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=，所以22(1)(2)n n b n n a n+=≥，又1n =时，21124b a ==，满足22(1)n n b n a n+=，所以对任意正整数n ，2(1)n n b n a n +=，由（1）得，n a n =，所以22(1)21n n n n b n n +++===1224n n ++≥+=，当且仅当1n =时等号成立.19.随着生活节奏的加快､生活质量的提升，越来越多的居民倾向于生活用品的方便智能.如图是根据2016—2020年全国居民每百户家用汽车拥有量y （单位：辆）与全国居民人均可支配收入x （单位：万元）绘制的散点图.（1）由图可知，可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程；（过程和结果保留两位小数）（2）已知2020年全国居民人均可支配收入为32189元，若从2020年开始，以后每年全国居民人均可支配收入均以6%的速度增长，预计哪一年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆.参考数据：xy()521ii xx=-∑()()51iii xxy y =--∑2.8232.560.465.27()510.06 1.34+≈，()610.06 1.42+≈，()710.06 1.50+≈.参考公式：回归方程 y abx =+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑ ，a y bx =-$$.【答案】（1）11.460.24y x =+$；（2）预计2026年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆.【解析】【分析】（1）根据参考数据和公式算出b， a ，进而得到y 关于x 的线性回归方程；（2）先根据线性回归方程计算出当 50y =时x 的值，将其与通过已知数据计算所得的值相比较即可得解.【小问1详解】解：()()()515215.2711.460.46iii ii x x y y b x x ==--==≈-∑∑$，32.5611.46 2.820.24a y bx =-≈-⨯≈$$，所以y 关于x 的线性回归方程为11.460.24y x =+$.【小问2详解】解：由5011.460.24x =+，得 4.34x ≈.因为2020年全国居民人均可支配收入为3.2189万元，且()53.218910.06 3.2189 1.344.31 4.34⨯+≈⨯≈<，()63.218910.06 3.2189 1.424.57 4.34⨯+≈⨯≈>，所以预计2026年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆.20.如图1，在平行四边形ABCD 中，,1,2AB AC AB BC ⊥==，将ACD △沿AC 折起，使得点D 到点P 的位置，如图2，设经过直线PB 且与直线AC 平行的平面为α，平面α 平面为PAC m =，平面α 平面为ABC n =.（1）证明：//m n ；（2）若PB =A PBC --的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）5【解析】【分析】（1）根据已知条件及线面平行的性质定理，结合空间平行线的传递性即可求解；（2）根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面PAB 和平面PBC 的法向量，利用向量的夹角公式及同角三角函数的平方关系即可求解.【小问1详解】因为//AC 平面为α，AC ⊂平面PAC ,平面α 平面为PAC m =，所以//AC m ，因为//AC 平面为α，AC ⊂平面ABC ,平面α 平面为ABC n =，所以//AC n ，所以//m n 【小问2详解】由题意可知，以A 为坐标原点，建立空间直线坐标系A xyz -，如图所示则()()()0,0,0,1,0,0,,A B C 设(),,P a b c ，0c >，则由21PA PC PB ⎧===⎪⎨⎪⎩,即(()2222222224116a b c a b c a b c ++=++=⎧⎪⎪⎨-++=⎪⎪⎩，解得1232a b c ⎧⎪⎪⎪=-==⎨⎪⎪⎪⎩或1232a b c ⎧⎪⎪=-==-⎪⎨⎪⎪⎪⎩（舍），所以122P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.所以()()13131,0,0,,,0,,2222AB AP PC BC ⎛⎫⎛⎫==-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .设平面PAB 的法向量为(),,n x y z =，则00n AB n AP ⋅=⋅⎧⎪⎨⎪=⎩ ,即01022x x z =-++=⎧⎪⎨⎪⎩，令1y =，则0,2x z ==-，所以()0,1,2n =-.设平面PBC 的法向量为()111,,m x y z =，则00n PC n BC ⋅=⋅⎧⎪⎨⎪=⎩,即111110220x z x -⎧=-=⎪⎨⎪⎩，令11y =，则111x z ==，所以)m =.设二面角A PB C --的大小为θ，则1cos cos ,5n mn m n mθ⋅=-<>=-=--，所以26sin 5θ==.故所求二面角A PB C --的正弦值为5.21.已知椭圆()2222:10x yC a b a b +=>>的离心率为2，且点1,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在C 上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设1F ，2F为椭圆C 的左，右焦点，过右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若1ABF 内切圆的半径为4，求直线l 的方程.【答案】（1）2212xy +=（2）10x -=或10x --=.【解析】【分析】（1）根据离心率可得,,a b c 的关系，再将P 的坐标代入方程后可求,a b ，从而可得椭圆的方程.（2）设直线l 的方程为1x ty =+，()()1222,,,A x y B x y ，结合1ABF 内切圆的半径为4可得1262y y -=，联立直线方程和椭圆方程，消元后结合韦达定理可得关于t 的方程，求出其解后可得直线方程.【小问1详解】因为椭圆的离心率为2，故可设()2,,0a k c b k ===>，故椭圆方程为2222142x y k k +=，代入1,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭得2211144k k +=，故212k =，故椭圆方程为：2212x y +=.【小问2详解】1ABF 的周长为4a =，故11242ABF S =⨯=△.设()()1222,,,A x y B x y ，由题设可得直线l 与x 轴不重合，故可设直线1x ty =+，则112121222ABF S y y y y =⨯⨯-=-=△，由22122x ty x y =+⎧⎨+=⎩可得()2122ty y ++=，整理得到()222210t y ty ++-=，此时2880t ∆=+>，故12222y y t -==+，解得t =，故直线l 的方程为：10x +-=或10x -=.22.已知函数()sin cos f x x x x =-．（1）证明：当()0,x π∈时，()0f x >；（2）记函数()()g x f x x =-，判断()g x 在区间()2,2ππ-上零点的个数．【答案】（1）证明见解析（2）5个零点【解析】【分析】（1）求导后可知()f x 在()0,π上单调递增，由()()00f x f >=可得结论；（2）由()0g π=可知x π=是()g x 的一个零点；分别在0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦、,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和(),2x ∈ππ的情况下，结合零点存在定理判断导函数的正负，从而得到()g x 的单调性，确定区间内零点个数，得到()g x 在()0,2π上的零点个数；根据奇函数性质可得最终结果.【小问1详解】由题意得：()sin f x x x '=；当()0,x π∈时，sin 0x >，()0f x '∴>，()f x ∴在()0,π上单调递增，()()00f x f ∴>=.【小问2详解】()sin cos g x x x x x =--，()sin 1g x x x '=-，()sin cos 0g πππππ=--= ，x π∴=是()g x 的一个零点；①当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，设()sin h x x x =-，则()cos 10h x x '=-<，()h x ∴在0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，()()00h x h \<=，又cos 0x x -<，()0g x ∴<，即()g x 在0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦上无零点；②当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos g x x x x ''=+，()2cos sin 0g x x x x '''=-<，()g x ''∴在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又102g π⎛⎫''=> ⎪⎝⎭，()0g ππ''=-<，0,2x ππ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x ''=，当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x ''>；当()0,x x π∈时，()0g x ''<；()g x '∴在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()0,x π上单调递减；()01022g x g ππ⎛⎫''>=-> ⎪⎝⎭ ，()10g π'=-<，()g x '∴在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一零点1x ，当1,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当()1,x x π∈时，()0g x '<；()g x ∴在1,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()1,πx 上单调递减，()()10g x g π>= ，1022g ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()g x ∴在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭有唯一零点；③当(),2x ∈ππ时，sin 0x <，()0g x '∴<，()g x ∴在(),2ππ上单调递减，()()0g x g π∴<=，()g x ∴在(),2ππ上无零点；综上所述：()g x 在()0,2π上有两个零点；()()sin cos g x x x x x g x -=-++=- ，()g x ∴为奇函数，图象关于原点对称，()g x ∴在()2,0π-上有两个零点；又()00g =，()g x ∴在()2,2ππ-上共有5个零点.【点睛】思路点睛；本题考查利用导数研究函数零点个数的问题，解题基本思路是能够根据导函数的形式，对所给区间进行分段，通过说明导函数在每段区间内的符号，得到原函数在区间内的单调性，结合零点存在定理确定零点个数.第24页/共24页。
江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题(含答案解析)
江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．512-B ．23-5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为为3，则ABC 外接圆的直径为（）A ．33B ．8336．已知θ是第二象限，且π3sin 45θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭A ．43-B ．437．sin 701sin 50sin 40︒-︒︒的值为（）A ．12B ．22A ．[]3,5-B ．[4,6-二、多选题9．下列选项中，与2023πsin 6⎛- ⎝A ．2sin15sin 75︒︒C ．()()11tan11tan 44+︒+︒10．函数()(cos y A x A ωϕ=+>A ．该函数的解析式为2cos y =B ．点π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭是该函数图象的一个对称中心C ．该函数的减区间是5π3π4k ⎡-⎢⎣D ．把函数2sin y x =的图象上所有点的横坐标变为原来的左平移π2个单位长度，可得到该函数图象11．在平面直角坐标系xOy 内，设两个向量1221a b x y x y ⊗=-，下列说法正确的是（A ．0a b ⊗=是a b ∥ 的充要条件三、填空题四、双空题五、解答题17．在直角坐标系xOy 中，向量()1,1OA =-，()8,OB m = ，()7,3OC = ，(),OD x y = ，其中m ，x ，R y ∈.(1)若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值；(2)若四边形ABCD 为菱形，求x y +的值.18．（1）证明：()()cos 2cos 22cos cos αβαβαβ+=+-；（2）若sin sin a αβ+=，cos cos b αβ+=，其中实数a ，b 不全为零.(1)当3kmBN=时，求防护网的总长度；(2)为节省投入资金，的面积最小？最小面积是多少？20．在锐角ABC()3sinc A C++(1)求C的大小；(2)若3c=，求21．在ABC中，角(1)若4 cos5B=，求(2)若2a=，c< 22．在ABC中，角(1)求C的最大值；(2)若2c=，a b+参考答案：【详解】2210y x y -=，而a b ⇔∥221y x y -，21b a x y x ⊗=-)3,y ，则()(1a b c x y ⊗+= 211331y x y x y a b a +-=⊗+⊗ D ：如图BH 是边OA 上的高，设11,)y x -，a OB BH a a⋅== 1122y x x y t t -+，12S BH =⋅，OB b = ，则12S OA =⊗ACD .【分析】本题利用函数的奇偶性，先判断函数的对称性，再利用函数的单调性去解决问题【详解】由()1f x +为奇函数得(f 称，所以函数()f x 为周期为4的周期函数，且函数]0,1时，函数()1cos f x =+1cossin 0cos 66f ⎛>>>⇒ ⎝ππ：由上可知()(cos 2cos f f =-9513。