新教材人教A版高一数学必修一知识点总结与经典例题 第三章函数的概念与性质
高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.4 函数的应用(一)一课一练(含解析)新人教A版必修第一册-
第三章函数的概念与性质3.4函数的应用(一)考点1一次、二次函数模型的应用1.(2019·某某某某中学高一期中考试)一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元,卖出的价格是每份3元,卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社。
在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份,其余10天每天只能卖出250份,且每天从报社买进报纸的份数都相同,要使推销员每月所获得的利润最大,则应该每天从报社买进报纸()。
A.215份B.350份C.400份D.520份答案：C解析：设每天从报社买进x(250≤x≤400,x∈N)份报纸时,每月所获利润为y元,具体情况如下表:数量/份单价/元金额/元买进30x 2 60x卖出20x+10×250 3 60x+7500退回10(x-250) 0.8 8x-2000y=[(60x+7500)+(8x-2000)]-60x=8x+5500(250≤x≤400,x∈N)。
∵y=8x+5500在[250,400]上是增函数,∴当x=400时,y取得最大值8700。
即每天从报社买进400份报纸时,每月获得的利润最大,最大利润为8700元。
故选C。
2.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销量m(件)与售价x(元/件)之间的关系满足一次函数:m=162-3x。
若要使每天获得最大的销售利润,则该商品的售价应定为()。
A.40元/件B.42元/件C.54元/件D.60元/件答案：B解析：设每天获得的销售利润为y元,则y=(x-30)(162-3x)=-3(x-42)2+432,所以当x=42时,获得的销售利润最大,故该商品的售价应定为42元/件。
3.某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系式为y=5x+40000。
而手套出厂价格为每双10元,要使该厂不亏本至少日产手套()。
A.2000双B.4000双C.6000双D.8000双答案：D解析：由5x +40000≤10x ,得x ≥8000,即至少日产手套8000双才不亏本。
高中数学人教A版(2019) 必修一 第三章 函数概念与性质
高中数学人教A版（2019）必修一第三章函数概念与性质一、单选题1..若，则的定义域为（）A. B. C. D.2.下列函数既是定义域上的偶函数，又是上增函数的是（）A. B. C. D.3.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，且，则的值为（）A. B. 0 C. 4 D. 24.已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，则的大小关系是（）A. B. C. D.5.已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.6.已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.7.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.8..设函数=ln（+1），则使得＞（-1）的的取值范围是（）A. （-∞，1）B. （C. （-∞，）∪（1，＋∞）D. （）二、多选题9.下列函数表示相同函数的是（）A. B.C. D.10..已知函数，若存在，使得成立，则（）A. B.C. D.11..已知函数（指不超过的最大整数），下列说法正确的是（）A. B. 为增函数 C. 为奇函数 D. 的值域为12.已知函数，若对于区间上的任意两个不相等的实数，，都有，则实数的取值范围可以是（）A. B. C. D.三、填空题13.已知，则函数的值域为________．14.设函数在上满足，在上对任意实数都有成立，又，则的解是________.15.已知函数f(x)的定义域为R，对任意的实数x，有f(1-x)=f(1+x)，当x≤1时，，则不等式的解集为________.16.已知函数是上的增函数，那么实数a的取值范围是________．四、解答题17.已知函数且是奇函数．（1）求的值；（2）令函数，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．18.已知函数．（1）当是偶函数时，求a的值并求函数的值域．（2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围．19..函数是定义在上的奇函数，且．（1）.确定的解析式；（2）.判断在上的单调性，并用定义证明；（3）.解不等式．20.已知定义域为的单调减函数是奇函数，当时，．（1）求的值；（2）求的解析式；（3）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．21.2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.为降低疫情影响，某厂家拟尽快加大力度促进生产.已知该厂家生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产千件，需另投入成本为，当年产量不足80千件时，(万元).当年产量不小于千件时，(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完. （1）写出年利润(万元)关于年产量(千件)的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？22..已知为R上的奇函数．（1）.求实数a的值：（2）.，．若对任意的，总存在，使得成立，求实数b的取值范围．答案解析部分一、单选题1.【答案】D【解析】【解答】由题意，解得且．故答案为：D．【分析】结合函数定义域的求法：分母不为零，真数大于零零即可得到关于x的不等式组，求解出x的取值范围即可。
高中数学 第三章函数的概念与性质函数的应用一讲义 新人教A版必修一第一册
3．4 函数的应用（一）最新课程标准：在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题.知识点几类常见函数模型状元随笔建立函数模型解决实际问题的基本思路[教材解难]建立函数模型应把握的三个关口(1)事理关：通过阅读、理解，明白问题讲什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口．(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系．(3)数理关：在构建数学模型的过程中，利用已有的数学知识进行检验，从而认定或构建相应的数学问题．[基础自测]1．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )A．200副B．400副C ．600副D ．800副解析：利润z ＝10x －y ＝10x －(5x ＋4 000)≥0. 解得x ≥800. 答案：D2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )解析：距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.答案：C3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A ．45.606万元B ．45.6万元C ．45.56万元D ．45.51万元解析：依题意可设甲销售x 辆，则乙销售(15－x )辆，总利润S ＝L 1＋L 2，则总利润S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30＝－0.15(x －10.2)2＋0.15×10.22＋30(0≤x ≤15且x ∈N )，所以当x ＝10时，S max ＝45.6(万元)．答案：B4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ， (1≤x <10，x ∈N *)2x ＋10， (10≤x <100，x ∈N *)1.5x ， (x ≥100，x ∈N *)其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为________．解析：令y＝60，若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．故拟录用人数为25人．答案：25题型一一次、二次函数模型[经典例题]例1 某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值．【解析】设每个提价x元(x≥0，x∈N)，利润为y元．每天销售总额为(10＋x)(100－10x)元，进货总额＝8(100－10x)元，显然100－10x>0，即x<10，则y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x)＝(2＋x)(100－10x)＝－10(x－4)2＋360(0≤x<10，x∈N)．当x＝4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元．答：当售价定为14元时，可使每天所赚的利润最大，最大利润为360元.可根据实际问题建立二次函数模型解析式．方法归纳1．利用一次函数模型解决实际问题时，需注意以下两点：(1)待定系数法是求一次函数解析式的常用方法．(2)当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数．2．二次函数模型主要用来解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题，是高考考查的重点．解题时，建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题．跟踪训练1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min 开出13 km ，之后以120 km/h 的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s 与匀速行驶的时间t 之间的函数关系式，并求离开北京2 h 时火车行驶的路程．解析：因为火车匀速行驶的总时间为(277－13)÷120＝115 (h)，所以0≤t ≤115.因为火车匀速行驶t h 所行驶的路程为120t km ，所以火车行驶的总路程s 与匀速行驶的时间t 之间的函数关系式为s ＝13＋120t ⎝⎛⎭⎪⎫0≤t ≤115.离开北京2 h 时火车匀速行驶的时间为2－16＝116(h)，此时火车行驶的路程s ＝13＋120×116＝233(km)．求出火车匀速行驶的总时间，可得定义域，再建立总路程关于时间的函数模型． 题型二 分段函数[教材P 94例2]例2 一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v (单位：km/h)与时间t (单位：h)的关系如图所示，(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 004 km ，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s (单位：km)与时间t 的函数解析式，并画出相应的图象．【解析】 (1)阴影部分的面积为50×1＋80×1＋90×1＋75×1＋65×1＝360.阴影部分的面积表示汽车在这5 h 内行驶的路程为360 km. (2)根据题图，有s ＝⎩⎪⎨⎪⎧50t ＋2 004，0≤t <1，80(t －1)＋2 054，1≤t <2，90(t －2)＋2 134，2≤t <3，75(t －3)＋2 224，3≤t <4，65(t －4)＋2 299，4≤t ≤5.这个函数的图象如下图所示．当时间t在[0,5]内变化时，对于任意的时刻t都有唯一确定的行驶路程与之相对应．根据题图，在时间段[0,1)，[1,2)，[2,3)，[3,4)，[4,5]内行驶的平均速率分别为50 km/h，80 km/h,90 km/h，75 km/h，65 km/h，因此在每个时间段内，行驶路程与时间的关系也不一样，需要分段表述．教材反思(1)分段函数是刻画现实问题的重要模型，由自变量变化所遵循规律的不同决定的，函数的分段表示是建模的关键．(2)若求分段函数值域或最值时，应对分段函数中的每段函数分别求出值域或最值，然后再由各段函数的值域或最值确定本函数的值域或最值．分类讨论思想是本类问题的主要思想方法．跟踪训练2 为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(日净收入＝一日出租自行车的总收入－管理费用)．(1)求函数y＝f(x)的解析式及其定义域．(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使日净收入最多？解析：(1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115>0，解得x>2.3.因为x∈N*，所以x≥3，所以3≤x≤6，x∈N*.当x>6时，y＝[50－3(x－6)]x－115.令[50－3(x－6)]x－115>0，得3x2－68x＋115<0.解得2≤x≤20，又x∈N*，所以6<x≤20，x∈N*，故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115，(3≤x ≤6，x ∈N *)，－3x 2＋68x －115，(6<x ≤20，x ∈N *)，定义域为{x |3≤x ≤20，x ∈N *}．(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈N *)，显然当x ＝6时，y max ＝185，对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113(6<x ≤20，x ∈N *)．当x ＝11时，y max ＝270，因为270>185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使日净收入最多．(1)利用函数关系建立各个取值范围内的净收入与日租金的关系式，写出分段函数，注意实际问题中自变量的取值范围．(2)利用一次函数的单调性及二次函数的性质分别求分段函数各段上的最大值，取其最大的即可．一、选择题1．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h 随时间t 变化的函数h ＝f (t )的图象如图所示，则杯子的形状是( )解析：从题图中看出，在时间段[0，t 1]，[t 1，t 2]内水面高度是匀速上升的，在[0，t 1]上升慢，在[t 1，t 2]上升快，故选A.答案：A2．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系式是( )A ．y ＝0.3x ＋800(0≤x ≤2 000，x ∈N *) B ．y ＝0.3x ＋1 600(0≤x ≤2 000，x ∈N *) C ．y ＝－0.3x ＋800(0≤x ≤2 000，x ∈N *) D ．y ＝－0.3x ＋1 600(0≤x ≤2 000，x ∈N *) 解析：由题意知，变速车存车数为(2 000－x )辆次， 则总收入y ＝0.5x ＋(2 000－x )×0.8 ＝0.5x ＋1 600－0.8 x＝－0.3x ＋1 600(0≤x ≤2 000，x ∈N *)． 答案：D3．某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：由题意，当生产第k 档次的产品时，每天可获利润为：y ＝[8＋2(k －1)][60－3(k －1)]＝－6k 2＋108k ＋378(1≤k ≤10)，配方可得y ＝－6(k －9)2＋864，∴当k ＝9时，获得利润最大．答案：C4．已知A ，B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A 地，则汽车离开A 地的距离x 关于时间t (时)的函数解析式是( )A ．x ＝60tB ．x ＝60t ＋50tC ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，(0≤t ≤2.5)150－50t (t >3.5)D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，(0≤t ≤2.5)150，(2.5<t ≤3.5)150－50(t －3.5).(3.5<t ≤6.5)解析：显然出发、停留、返回三个过程中行走速度是不同的，故应分三段表示函数，选D.答案：D 二、填空题5．某电脑公司2017年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2019年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2017年到2019年，每年经营总收入的年增长率相同，2018年预计经营总收入为________万元．解析：设年增长率为x ，则有 40040%×(1＋x )2＝1 690，1＋x ＝1310，因此2018年预计经营总收入为40040%×1310＝1 300(万元)．答案：1 3006．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．解析：利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．答案：187．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx，x <A ，c A ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是____________．解析：由函数解析式可以看出，组装第A 件产品所需时间为cA＝15，故组装第4件产品所需时间为c4＝30，解得c ＝60，将c ＝60代入cA＝15得A ＝16. 答案：60 16 三、解答题8．某游乐场每天的盈利额y 元与售出的门票张数x 之间的函数关系如图所示，试由图象解决下列问题：(1)求y 与x 的函数解析式；(2)要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，每天至少卖出多少张门票？解析：(1)由图象知，可设y ＝kx ＋b ，x ∈[0,200]时，过点(0，－1 000)和(200,1 000)，解得k ＝10，b ＝－1 000，从而y ＝10x －1 000；x ∈(200,300]时，过点(200,500)和(300,2 000)，解得k ＝15，b ＝－2 500，从而y ＝15x －2 500，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10x －1 000，x ∈[0，200]，15x －2 500，x ∈(200，300].(2)每天的盈利额超过1 000元，则x ∈(200,300]，由15x －2 500>1 000得，x >7003，故每天至少需要卖出234张门票．9．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，(0≤x ≤400)80 000，(x >400)其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)解析：(1)设月产量为x 台，则总成本为20 000＋100x ，从而 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400.(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25 000.∴当x ＝300时，f (x )的最大值为25 000； 当x >400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数，f (x )<60 000－100×400＝20 000<25 000.∴当x ＝300时，f (x )的最大值为25 000，即每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元． [尖子生题库]10．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解析：(1)租金增加了600元，所以未租出的车有12辆，一共租出了88辆． (2)设每辆车的月租金为x 元(x ≥3 000)，租赁公司的月收益为y 元，则y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050－x －3 00050×50－⎝⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050×150＝－x 250＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050，当x ＝4 050时，y max ＝307 050.所以每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元．。
第三章 函数的概念与性质 章节复习知识点网络 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
第三章 函数的概念与性质章节复习一、本章知识结构二、本章重难点概念知识点1、函数及三要素（定义域、对应法则、值域） 一、函数的概念2、区间一般区间、特殊区间、 端点大小关系、开闭区间 1、函数概念中强调三性：“任意性”、“存在性”、“唯一性”； 2、定义域、值域的结果写成集合或区间形式； 3、对应关系包括一对一、多对一。
一、判断对应法则或图象是否是一个函数（非空性、任意性x 、唯一确定性y ）二、判断两个函数是否是相同函数（定义域、对应法则） 三、求函数定义域(写成集合或区间形式)3、分段函数概念、表示方式、定义域、值域、图象4、复合函数（定义域、值域） 二、函数的表示法5、函数的单调性、单调区间 1、三种表示方法：解析法、列表法、图像法； 2、列表法表示的函数图象是一些孤立的点，函数图象呈现形式主要有2种：连续的曲线或孤立的点； 3、画函数图象方法：描点法（列表、描点、连线）6、函数的最大值、最小值7、函数的奇偶性8、幂函数（概念、图象、性质）三、题型1、求一般函数的定义域(写成集合或区间形式)函数类型定义域举例①整式函数R f(x)=x2+2x+3②分式函数分母不为0 f(x)=1 2x+3③偶次根式函数根号中式子≥0f(x)=√x2+2x−3④奇次根式函数R f(x)=√x2+2x+33⑤绝对值函数R f(x)=|x2+2x+3|⑥0次幂函数底数不为0 f(x)=(x2+2x−3)0⑦对数函数真数大于0 f(x)=log2(2x−3)⑧实际问题考虑实际意义正方形周长公式f(x)=4x(x>0)多个使函数有意义的条件用花括号连接，写成不等式组。
2、求复合函数的定义域①已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域；②已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域；③已知f(g(x))的定义域，求f(g(x))的定义域；④已知f(g(x))的定义域，求F(x)=f(g(x))+f(ℎ(x))的定义域关键：定义域是指自变量x的值相同对应法则f下的整体变量取值范围相同（空间不变原理）3、求简单函数的值域(写成集合或区间形式)函数类型定义域值域一次函数R R二次函数Ra>0时，[4ac−b24a,+∞)a<0时，(-∞,4ac−b24a]配方、画图、找最高点和最低点反比例函数(−∞,0)∪(0,+∞)(−∞,0)∪(0,+∞)分式函数分母不为0 配凑法（利用基本不等式求解）4、求函数的解析式①待定系数法②换元法/配凑法③方程组法/消元法 ④赋值法最后一定要考虑定义域，定义域不是R 一定要写出来5、函数单调性的判断、证明及应用 单调递增单调递减函数f(x)在区间D 上为增函数，x 1,x 2∈D ，且x 1≠x 2，则函数f(x)在区间D 上为减函数，x 1,x 2∈D ，且x 1≠x 2，则① x 1<x 2⟺f (x 1)<f(x 2) ① x 1<x 2⟺f (x 1)>f(x 2) ② (x 1−x 2)[f (x 1)−f(x 2)]>0 ② (x 1−x 2)[f (x 1)−f(x 2)]<0 ③f (x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0 ③f (x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0④ x 1f (x 1)+x 2f (x 2)>x 1f (x 2)+x 2f (x 1) ④ x 1f (x 1)+x 2f (x 2)<x 1f (x 2)+x 2f (x 1) 即x 与f(x)的变化趋势相同， 自变量增量与函数值增量同号。
第三章 函数的概念和性质(章末复习)高一数学(人教A版2019必修第一册)
练习
方法技巧：
1.利用函数的奇偶性可求函数值或参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化
为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.
2.画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何
直观求解相关问题.
练习
变5.已知二次函数() = − 2 + + 2， ∈ .
D． − 2
).
练习
方法技巧：
1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条直线分第一象限为六个区域，
即＝1，＝1，＝所分区域.根据＜0，0＜＜1，＝1，＞1的取值确定位
置后，其余象限部分由奇偶性决定.
2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性
进行比较.
1
(4)方程思想：已知关于()与( )或(−)等的表达式，可根据已知条件再构造
出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出().
练习
变1.(1)已知()是一次函数，且满足2( + 3) − ( − 2) = 2 + 21，求()的解
析式；
(2)已知函数()满足2() + (−) = 3 + 2，求()的解析式；
(1)若()为偶函数，求的值．
(2)若()在[−1,2]上最大值为4，求．
答案：(1)0；(2) = −3或 = 2 2.
练习
题型六：幂函数
例6.若幂函数() = (2 − − 5) 在(0, +∞)单调递减，则 = (
A．3
答案：.
B．3 ， − 2
C． − 3 ，2
为最大值
为最小值
知识梳理
7.函数的奇偶性：
高中数学 第三章 函数概念与性质 3.4 函数的应用(一)精品练习(含解析)新人教A版必修第一册-新
3.4 函数的应用（一）必备知识基础练知识点一用一次函数模型解决实际问题1.某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x 的函数关系式为( )A．y＝0.2x(0≤x≤4 000)B．y＝0.5x(0≤x≤4 000)C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )A．310元 B．300元C．390元 D．280元知识点二用二次函数模型解决实际问题3.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x 和L2＝2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( ) A．90万元 B．60万元C．120万元 D．120.25万元4．用长度为24 m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为______m.知识点三用幂函数、分段函数模型解决实际问题5.一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系图象如图所示，则当t＝2时，汽车已行驶的路程为( )A ．100 kmB ．125 kmC ．150 kmD ．225 km6．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x (万元)与药品利润y (万元)存在的关系为y ＝x α(α为常数)，其中x 不超过5万元，已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元．关键能力综合练 一、选择题1．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加1辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．要使租赁公司的月收益最大，则每辆车的月租金应定为( )A ．4 050元B ．4 000元C ．4 100元D ．4 150元2．某厂生产中所需一些配件可以外购，也可以自己生产．如果外购，每个配件的价格是1.10元；如果自己生产，则每月的固定成本将增加800元，并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元，则决定此配件外购或自产的转折点(即生产多少件以上自产合算)是( )A ．1 000件B ．1 200件C ．1 400件D ．1 600件3．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与费s (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元 D.403元4．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m (件)与售价x (元)满足一次函数：m ＝162－3x ，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为( )A ．30元B ．42元C ．54元D ．越高越好5．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，1≤x ≤10，x ∈N ，2x ＋10，10<x <100，x ∈N ，1.5x ，x ≥100，x ∈N ，其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )A ．15B ．40C ．25D ．1306．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0时到6时，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断： ①0点到3点只进水不出水； ②3点到4点不进水只出水； ③4点到6点不进水不出水． 则一定正确的是( ) A ．① B．①② C ．①③ D．①②③ 二、填空题7．稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4 000元，定额减除费用800元；每次收入在4 000元以上的，定率减除20%的费用．适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：(1)每次收入不超过4 000元的：应纳税额＝(每次收入额－800)×20%×(1－30%)； (2)每次收入在4 000元以上的：应纳税额＝每次收入额×(1－20%)×20%×(1－30%)． 已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费(扣税前)为________元． 8．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米(不超过3千米按起步价付费)；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．若某人乘坐出租车行驶了5.6千米，则需付车费________元，若某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此出租车行驶了________千米．9．(探究题)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是______(单位：元)．三、解答题10．某种商品在近30天内每件的销售价格P (元)和时间t (天)的函数关系为：P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0<t <25，－t ＋100，25≤t ≤30.(t ∈N *)设该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系为Q ＝40－t (0<t ≤30，t ∈N *)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？学科素养升级练1．(多选题)生活经验告诉我们，当把水注进容器(设单位时间内进水量相同)，水的高度会随着时间的变化而变化，则下列选项中容器与图象匹配正确的是( )A ．(A)—(3)B ．(B)—(1)C ．(C)—(4)D ．(D)—(2)2．某工厂生产某产品x 吨所需费用为P 元，而卖出x 吨的价格为每吨Q 元，已知P ＝1 000＋5x ＋110x 2，Q ＝a ＋xb ，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( )A ．a ＝45，b ＝－30B ．a ＝30，b ＝－45C ．a ＝－30，b ＝45D ．a ＝－45，b ＝－303．(学科素养—数据分析)医院通过撒某种药物对病房进行消毒．已知开始撒放这种药物时，浓度激增，中间有一段时间，药物的浓度保持在一个理想状态，随后药物浓度开始下降．若撒放药物后3小时内的浓度变化可用下面的函数表示，其中x 表示时间(单位：小时)，f (x )表示药物的浓度：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ＋400<x ≤1，431<x ≤2，－3x ＋482<x ≤3.(1)撒放药物多少小时后，药物的浓度最高？能维持多长时间？(2)若需要药物浓度在41.75以上消毒1.5小时，那么在撒放药物后，能否达到消毒要求？并简要说明理由．3．4 函数的应用(一)必备知识基础练1．解析：由题意得y ＝0.3(4 000－x )＋0.2x ＝－0.1x ＋1 200.(0≤x ≤4 000) 答案：C2．解析：由图象知，该一次函数过(1,800)，(2,1 300)，可求得解析式y ＝500x ＋300(x ≥0)，当x ＝0时，y ＝300.答案：B3．解析：设公司在甲地销售x 台，则在乙地销售(15－x )台，公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1922＋30＋1924，∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元．答案：C4．解析：设隔墙的长为x m ，矩形面积为S m 2，则S ＝x ·24－4x 2＝x (12－2x )＝－2x 2＋12x ＝－2(x －3)2＋18，0<x <6，所以当x ＝3时，S 有最大值为18. 答案：35．解析：t ＝2时，汽车行驶的路为s ＝50×0.5＋75×1＋100×0.5＝25＋75＋50＝150(km)．答案：C6．解析：由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y ＝x α中，即3α＝27，解得α＝3，故函数解析式为y ＝x 3，所以当x ＝5时，y ＝125.答案：125关键能力综合练1．解析：设每辆车的月租金为x (x ＞3 000)元， 则租赁公司月收益为y ＝⎝⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050(x －150)－x －3 00050×50， 整理得y ＝－x 250＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050.∴当x ＝4 050时，y 取最大值为307 050.即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元． 答案：A2．解析：设生产x 件时自产合算，由题意得1.1x ≥800＋0.6x ，解得x ≥1600，故选D. 答案：D3．解析：设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20.B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15.t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.∴A 正确． 答案：A4．解析：设当每件商品的售价为x 元时，每天获得的销售利润为y 元． 由题意得，y ＝m (x －30)＝(x －30)(162－3x )(30≤x ≤54)． 上式配方得y ＝－3(x －42)2＋432. 所以当x ＝42时，利润最大． 答案：B5．解析：若4x ＝60，则x ＝15>10，不合题意；若2x ＋10＝60，则x ＝25，满足题意；若1.5x ＝60，则x ＝40<100，不合题意．故拟录用25人．答案：C6．解析：由甲乙两图知，出水的速度是进水的2倍，所以0点到3点只进水不出水，3点到4点水量减少，则一个进水口进水，另一个关闭，出水口出水；4点到6点水量不变，可能是不进水不出水或两个进水口进水，一个出水口出水，所以只有①正确，故选A.答案：A7．解析：当此人收入为4 000元时(扣税前)，应纳税(4 000－800)×20%×(1－30%)＝448＞280，可知此人收入不超过4000元(扣税前)，则设此人应得稿费为x 元(扣税前)，则(x －800)×20%×(1－30%)＝280，解得x ＝2 800.故正确答案为2 800. 答案：2 8008．解析：设出租车行驶x 千米时，付费y 元， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤3，8＋2.15x －3＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85x －8＋1，x >8，当x ＝5.6时，y ＝8＋2.15×2.6＋1＝14.59(元)． 由y ＝22.6，知x >8，由8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1＝22.6，解得x ＝9. 答案：14.59 99．解析：设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m ，因为无盖长方体的容积为4 m 3，高为1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为4xm ，依题意，得y ＝20×4＋10⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2×4x ＝80＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ·4x＝160⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝4x，即x ＝2时取等号.所以该容器的最低总造价为160元． 答案：16010．解析：设日销售金额为y (元)，则y ＝PQ ，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800，0<t <25，t 2－140t ＋4 000，25≤t ≤30.(t ∈N *)①当0<t <25且t ∈N *时，y ＝－(t －10)2＋900， 所以当t ＝10时，y max ＝900(元)．②当25≤t ≤30且t ∈N *时，y ＝(t －70)2－900， 所以当t ＝25时，y max ＝1 125(元)． 结合①②得y max ＝1 125(元)．因此，这种商品日销售额的最大值为1 125元，且在第25天时日销售金额达到最大．学科素养升级练1．解析：(A)容器下粗上细最上方为柱形，水高变化为逐渐变快再匀速，故(A)应匹配(4)，(B)容器下方为球形上方为柱形，水高变化为先逐渐变慢再逐渐变快再匀速，故(B)应匹配(1)；(C)，(D)容器都是柱形的，水高变化的速度都应是不变的，但(C)容器细，(D)容器粗，故(C)容器水高变化快，(D)容器慢．(C)应匹配(3)，(D)应匹配(2)，故正确匹配的是BD.答案：BD2．解析：设生产x 吨产品全部卖出，获利润为y 元， 则y ＝xQ －P ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋x b －⎝ ⎛⎭⎪⎫1 000＋5x ＋110x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110x 2＋(a －5)x －1 000(x >0)． 由题意知，当x ＝150时，y 取最大值，此时Q ＝40.所以⎩⎨⎧－a －52⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110＝150，a ＋150b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝－30.答案：A3．解析：(1)当0<x ≤1时，f (x )＝－x 2＋4x ＋40＝－(x －2)2＋44，∴f (x )在(0,1]上是增函数，其最大值为f (1)＝43；f (x )在(2,3]上单调递减，故当2<x ≤3时， f (x )<－3×2＋48＝42.因此，撒放药物1小时后，药物的浓度最高为43，并维持1小时．(2)当0<x ≤1时，令f (x )＝41.75，即－(x －2)2＋44＝41.75，解得x ＝3.5(舍去)或x ＝0.5；当2<x ≤3时，令f (x )＝41.75，即－3x ＋48＝41.75，解得x ≈2.08. 因此药物浓度在41.75以上的时间为2.08－0.5＝1.58小时>1.5小时， ∴撒放药物后，能够达到消毒要求．。
部编版高中数学必修一第三章函数的概念与性质带答案知识点总结(超全)
(名师选题)部编版高中数学必修一第三章函数的概念与性质带答案知识点总结(超全)单选题1、如图，可以表示函数f (x )的图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．2、“幂函数f (x )=(m 2+m −1)x m 在(0,+∞)上为增函数”是“函数g (x )=2x −m 2⋅2−x 为奇函数”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要3、若函数f (x )=ax 2+2x −1在区间(−∞,6)上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[−16,0]B ．(−16,0)C ．(−16,+∞)D ．(−16,1)4、设函数f(x)=1−x 1+x ，则下列函数中为奇函数的是（ ）A ．f (x −1)−1B ．f (x −1)+1C ．f (x +1)−1D ．f (x +1)+15、已知定义在R 上的奇函数f (x )在(0,+∞)上单调递增，且f(1)=0，若实数x 满足xf (x −12)≤0，则x 的取值范围是（ ）A ．[−12,0]∪[12,32]B ．[−12,12]∪[32,+∞)C ．[−12,0]∪[12,+∞)D ．[−32,−12]∪[0,12] 6、若函数f (x )=x α的图象经过点(9,13)，则f (19)=（ ）A ．13B ．3C ．9D ．8 7、已知函数f (x )的定义域为(3,5)，则函数f (2x +1)的定义域为（ ）A ．(1,2)B ．(7,11)C ．(4,16)D ．(3,5)8、已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x )在[0,+∞)上单调递减，且f (3)=0，则不等式(2x −5)f (x −1)<0的解集为（ ）A ．(−2,52)∪(4,+∞)B ．(4,+∞)C ．(−∞,−2)∪[52,4]D ．(−∞,−2) 多选题9、下列函数中，在(0,+∞)上单调递增且图像关于y 轴对称的是（ ）A ．f (x )=x 3B ．f (x )=x 2C ．f (x )=√xD ．f (x )=|x |10、下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）A ．f (x )=x 与g (x )=√x 33B ．f (x )=x +1与g (x )=x 2−1x−1 C ．f (x )=|x |x 与g (x )={1,x >0−1,x <0D ．f (t )=|t −1|与g (x )=|x −1| 11、有如下命题，其中真命题的标号为（ ）A ．若幂函数y =f (x )的图象过点(2,12)，则f (3)>12B ．函数f (x )=a x−1+1(a >0 且a ≠1)的图象恒过定点(1,2)C ．函数f (x )=x 2−1在(0,+∞)上单调递减D ．若函数f (x )=x 2−2x +4在区间[0,m ]上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是[1,2]填空题12、已知幂函数f (x )=(m 2−3m +3)x m+1的图象关于原点对称，则满足(a +1)m >(3−2a )m 成立的实数a 的取值范围为___________.13、已知函数f (x )={3x −1,x ≥12−x +3,x <1，则f (−2)=________.部编版高中数学必修一第三章函数的概念与性质带答案(十三)参考答案1、答案：D分析：根据函数的概念判断根据函数的定义，对于一个x，只能有唯一的y与之对应，只有D满足要求故选：D2、答案：A分析：要使函数f(x)=(m2+m−1)x m是幂函数，且在(0,+∞)上为增函数，求出m=1，可得函数g(x)为奇函数，即充分性成立；函数g(x)=2x−m2⋅2−x为奇函数，求出m=±1，故必要性不成立，可得答案.要使函数f(x)=(m2+m−1)x m是幂函数，且在(0,+∞)上为增函数，则{m 2+m−1=1m>0，解得：m=1，当m=1时，g(x)=2x−2−x，x∈R，则g(−x)=2−x−2x=−(2x−2−x)=−g(x)，所以函数g(x)为奇函数，即充分性成立；“函数g(x)=2x−m2⋅2−x为奇函数”，则g(x)=−g(−x)，即2x−m2⋅2−x=−(2−x−m2⋅2x)=m2⋅2x−2−x，解得：m=±1，故必要性不成立，故选：A．3、答案：A分析：讨论a的取值，可知a=0符合题意，当a≠0时，结合二次函数的性质可得不等式组，求得a的范围,综合可得答案.当a=0时，函数f(x)=2x−1在R上单调递增，所以f(x)在(−∞,6)上单调递增，则a＝0符合题意；当a≠0时，函数f(x)是二次函数，又f(x)在(−∞,6)上单调递增，由二次函数的性质知，{−1a≥6a<0，解得−16≤a<0.综上，实数a的取值范围是[−16,0], 故选:A.4、答案：B分析：分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.由题意可得f(x)=1−x 1+x =−1+21+x ， 对于A ，f (x −1)−1=2x −2不是奇函数；对于B ，f (x −1)+1=2x 是奇函数；对于C ，f (x +1)−1=2x+2−2，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D ，f (x +1)+1=2x+2，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B小提示：本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.5、答案：A分析：首先根据函数的奇偶性和单调性得到函数f (x )在R 上单调递增，且f (1)=f (−1)=0，从而得到x ∈(−∞,−1)，f (x )<0，x ∈(−1,0)，f (x )>0，x ∈(0,1)，f (x )<0，x ∈(1,+∞)，f (x )>0，再分类讨论解不等式xf (x −12)≤0即可.因为奇函数f (x )在(0,+∞)上单调递增，定义域为R ，f(1)=0，所以函数f (x )在R 上单调递增，且f (1)=f (−1)=0.所以x ∈(−∞,−1)，f (x )<0，x ∈(−1,0)，f (x )>0，x ∈(0,1)，f (x )<0，x ∈(1,+∞)，f (x )>0.因为xf (x −12)≤0，当x <0时，f (x −12)≥0，即−1≤x −12≤0或x −12≥1， 解得−12≤x <0. 当x =0时，符合题意.当x >0时，f (x −12)≤0，x −12≤−1或0≤x −12≤1，解得12≤x ≤32.综上：−12≤x ≤0或12≤x ≤32. 故选：A6、答案：B分析：将(9,13)代入函数解析式，即可求出α，即可得解函数解析式，再代入求值即可. 解：由题意知f (9)=13，所以9α=13，即32α=3−1，所以α=−12，所以f (x )=x −12，所以f (19)=(19)−12=3.故选：B7、答案：A分析：根据3<2x +1<5求解即可∵f (x )的定义域为(3,5)，∴3<x <5，由3<2x +1<5，得1<x <2，则函数f (2x +1)的定义域为(1,2) 故选：A.8、答案：A分析：根据偶函数的性质及区间单调性可得(−∞,0)上f(x)单调递增且f(−3)=f(3)=0，进而确定f(x)的区间符号，讨论{2x −5>0f(x −1)<0 、{2x −5<0f(x −1)>0求解集即可. 由题设，(−∞,0)上f(x)单调递增且f(−3)=f(3)=0，所以(−∞,−3)、(3,+∞)上f(x)<0，(−3,3)上f(x)>0，对于(2x −5)f(x −1)<0，当{2x −5>0f(x −1)<0 ，即{x >52x −1<−3 或{x >52x −1>3，可得x >4； 当{2x −5<0f(x −1)>0 ，即{x <52−3<x −1<3 ，可得−2<x <52； 综上，解集为(−2,52)∪(4,+∞).故选：A9、答案：BD分析：根据单调性与奇偶性可得答案关于A 选项，函数f (x )=x 3为奇函数，其图像关于原点对称，故A 错误；关于B 选项，函数f (x )=x 2为偶函数，其图像图像关于y 轴对称，且函数f (x )在(0,+∞)上单调递增，故B 正确；关于C 选项，函数f (x )=√x 的定义域是[0,+∞)，故函数f (x )为非奇非偶函数，故C 错误；关于D 选项，函数f (x )=|x |的定义域为R ，f (−x )=|−x |=|x |=f (x )，所以函数f (x )为偶函数，当x >0时，f (x )=x ，所以函数f (x )在(0,+∞)上单调递增，故D 正确．故选：BD.10、答案：ACD分析：根据两个函数为同一函数的定义，对四个选项逐个分析可得答案.对于A ，f(x)=x ，g(x)=√x 33=x ，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故A 正确；对于B ，f(x)=x +1，g(x)=x +1(x ≠1)，两个函数的定义域不同，所以两个函数不为同一函数，故B 不正确；对于C ，f(x)={1,x >0−1,x <0 ，g (x )={1,x >0−1,x <0，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故C 正确；对于D ，f (t )=|t −1|与g (x )=|x −1|的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故D 正确. 故选：ACD11、答案：BD分析：由f (x )所过点可求得幂函数f (x )解析式，由此得到f (3)<12，知A 错误； 由f (1)=2恒成立可知f (x )过定点(1,2)，知B 正确；由二次函数的性质可知C 错误；由二次函数的最值可确定自变量的范围，即可确定m 的范围，知D 正确.对于A ，令f (x )=x α，则2α=12，解得：α=−1，∴f (x )=x −1，∴f (3)=13<12，A 错误；对于B ，令x −1=0，即x =1时，f (1)=1+1=2，∴f (x )恒过定点(1,2)，B 正确；对于C，∵f(x)为开口方向向上，对称轴为x=0的二次函数，∴f(x)在(0,+∞)上单调递增，C错误；对于D，令f(x)=4，解得：x=0或x=2；又f(x)min=f(1)=3，∴实数m的取值范围为[1,2]，D正确. 故选：BD.12、答案：(23,4)分析：利用幂函数的定义及性质求出m值，再解一元二次不等式即可得解.因函数f(x)=(m2−3m+3)x m+1是幂函数，则m2−3m+3=1，解得m=1或m=2，当m=1时，f(x)=x2是偶函数，其图象关于y轴对称，与已知f(x)的图象关于原点对称矛盾，当m=2时，f(x)=x3是奇函数，其图象关于原点对称，于是得m=2，不等式(a+1)m>(3−2a)m化为：(a+1)2>(3−2a)2，即(3a−2)(a−4)<0，解得：23<a<4，所以实数a的取值范围为(23,4).所以答案是：(23,4)13、答案：7分析：根据题意直接求解即可解：因为f(x)={3x−1,x≥12−x+3,x<1，所以f(−2)=22+3=7，所以答案是：7。
最新人教版高中数学必修第一册第3章 函数的概念与性质3.1.1 函数的概念
？
合作探究·释疑解惑
？
探究一 函数关系的判断
【例1】 给出下列对应关系,其中是从A到B的函数的
有
.(填序号)
①A=R,B={x|x>0},f:x→y=|2x|;
②A=Z,B=Z,f:x→y=x2-1;
③A=R,B=[1,+∞),f:x→y= +1;
④A=[-2,4],B={1},f:x→y=1;
x
y
2 018
0.07
2 019
0.08
2 020
0.06
？
(1)以上3个例子中,集合A,B中的元素有什么特点?
(2)按照给出的x与y的对应关系,对于集合A中的任意一个实
数,在集合B中是否都有与之对应的实数?与之对应的实数是
否唯一?
(3)集合B中的每一个实数都有集合A中的某一实数与之对
应吗?
提示:(1)都是实数,即A,B均为非空的实数集.
(1)f(x)= - +
;
-
(2)f(x)= + + ;
0
(3)f(x)=(x+1) +
;
-
(4)矩形的周长为60,其中一边的长为x,另一边的长y是关于x
的函数y=f(x).
？
- ≥ ,
解:(1)要使函数有意义,应满足
解得 x≥2,且 x≠6,
- ≠ ,
故函数的定义域为{x|x≥2,且 x≠6}.
对应关系和值域.
(2)如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相
同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个
函数.
？
3.做一做:下列函数中,与函数 y=2x 是同一个函数的是(
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新教材人教A版高一数学必修一知识点总结第三章函数的概念与性质【考纲要求】序号考点课标要求1函数的概念在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。
了解了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域了解在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用。
了解通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。
理解2函数的性质借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，最大值，最小值，理解它们的作用和实际意义理解结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义了解3幂函数通过具体实例，结合，，,，，的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数。
了解4函数的应用（一）理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具，在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律。
掌握3.1 函数的概念及其表示知识点总结3.1.1 函数的概念一、函数的概念1.一般地，设是非空的实数集，如果对于集合中的任何一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作。
其中叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，与的值相对应的值叫做函数值。
函数值的集合叫做函数的值域。
（1）判断一个对应关系是不是函数：①两个集合均为非空数集；②对集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应。
注意：可以一对一，多对一，不可一对多。
（2）判断一个图形是不是函数的图象作垂直于轴的直线，在定义域内左右平移直线，根据直线与图形是不是仅有一个公共点来判断，若是，则为函数图象，反之不是。
2.函数的三要素：定义域，值域，对应关系。
3.相等函数：如果两个函数的定义域相同且对应关系完全一致，则这两个函数相等。
二、区间的概念及函数定义域的求法1.区间的表示方法2.函数的定义域求法（1）具体函数的定义域①如果是整式，则定义域为；②如果是分式，则定义域是使分母不为的实数集合；③如果是偶次根式，其定义域是使根式内的式子不小于的实数集合；④如果是由以上几部分数学式子组成，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；（2）抽象函数和复合函数的定义域①已知的定义域为，求的定义域，其实质是已知的取值范围为，求的取值范围。
②已知的定义域为，求的定义域，其实质是已知中的取值范围为，求的值域。
3.简单函数的值域求法（1）观察法：对于一些简单的函数，通过其定义域和对应关系用观察法可以确定，如、等等；（2）配方法：对于含二次函数的有关问题，常常根据问题需要，采用配方法求值域，如等；（3）判别式法：将函数转化为一元二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些分式函数，无理函数等，如等；（4）换元法：对于一些无理函数常通过换元的方法转化为有理函数，在通过上述方法求值域，如；（5）分离常数法：对于一些分子和分母都是关于自变量的一次式，常采用分离常数法求值域，如,（其中为常数）。
（6）图像法3.1.2 函数的表示法一、三种表示法的比较表示法优点缺点解析法1.简明、全面地概括了变量间的关系；2.通过解析式可以求出任意一个自变量所对应的函数值不够形象、直接、具体，而且并不是所有的函数都能用解析式来表示，如每天的气温变化列表法不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值只能表示出自变量取较少的值时的对应关系图像法1.能形象、直观地表示出函数的变化情况；2.便于数形结合的应用。
只能近似地求出自变量的值所对应的函数值，有时误差较大。
二、函数解析式的求法1.待定系数法：已知函数类型，求函数解析式；2.配凑法3.换元法4.消元法（解方程组法）：抽象函数解析式的求法；5.赋值法三、函数图象的作法先找出一些（有代表性）自变量的值，再计算出与这些自1列表变量的值相对应的函数值，用表格形式表示出来从表格中得到一系列的点，在平面直角坐标系中描出这些2描点点3连线用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来四、分段函数1.分段函数是一个函数，而不是几个函数；2.写分段函数各段的取值范围时，注意不重不漏；3.处理分段函数问题时，首先要确认自变量的取值范围，再选取相应的对应关系；4.分段函数的定义域是各段定义域的并集；同样的，值域是各段函数值域的并集；分段函数的最大（小）值是各段函数分别求得最大（小）值之后的最大（小）值。
考法突破【知识点一函数的概念】例1，下列能表示是的函数的是( )①②③④A.①②④B.①③④C.②③④D.①②③变式训练例1下列各式为函数解析式的是( ).A.B.C.D.【知识点一函数的概念之图像理解】例2下列四个图象中，能表示是的函数图象的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个变式训练例2 下列图象中表示函数图象的是( ) A.B.C.D.【知识点一相等函数的概念】例3.下列四组函数中,表示相等函数的一组是(.) A.B.C.D.变式训练例3下列各组中的两个函数是同一函数的为( )A.与B.与C.与D.与【知识点二函数定义域的求法】例1.已知函数的定义域是集合,则使的集合( )A.或B.或C.D.变式训练例1已知函数的定义域为，的定义域为，则__________．答案.例2.已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________．答案.变式训练例2已知函数的定义域为,则函数的定义域是__________. 答案.【知识点二.函数定义域的求法】例3.函数的定义域为,则函数的定义域是__________.答案变式训练例3已知函数的定义域是，则函数的定义域是（）A.B.C.D.例4已知函数的定义域为，则实数的值构成的集合是__________；若函数在上有意义，则实数的值构成的集合是__________.答案；变式训练例4(2018广西南宁高一期末)若函数的定义域为,则的取值范围为__________. 答案【知识点三函数值域的求法】例1。
函数的值域是__________.答案变式训练例1 函数的值域是__________.答案【知识点三函数值域的求法】例2。
已知集合,,求.答案,变式训练例2函数的定义域为__________，值域为__________．答案；．【知识点三函数值域的求法】例3已知函数满足方程，则函数的值域为__________. 答案变式训练例3已知函数满足方程，那么函数的值域是__________. 答案【知识点三函数值域的求法】例4函数的值域为__________.答案变式训练例4函数的值域为__________.答案【知识点三函数值域的求法】例5函数的值域为__________.答案变式训练例5 函数在的值域为__________.答案．【知识点四函数表示法】例1。
口香糖的生产已有很长的历史，咀嚼口香糖有很多益处，但其残留物也会带来污染.为了研究口香糖的黏附力与温度的关系，一位同学通过实验，测定了不同温度下口香糖与瓷砖地面的黏附力，得到了如表所示的一组数据：（1）请根据上述数据，绘制出口香糖黏附力随温度变化的图像.（2）根据上述数据以及得到的图像，你能得到怎样的实验结论呢？（3）如果口香糖不小心粘在衣服上，用什么办法清理最干净？变式训练例1根据下表写出函数解析式（）A.B.C.D.【知识点四函数表示法】例2。
某电信公司推出两种手机收费方式：种方式是月租元，种方式是月租元．一个月的本地网内打出电话时间与电话费(元)的函数关系如图所示，当电话时，这两种方式的电话费相差( )A.元B.元C.元D.元变式训练例2下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（）（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；（2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.A.（1）（2）（4）B.（4）（2）（3）C.（4）（1）（3）D.（4）（1）（2）【知识点四函数表示法】例3。
某种杯子每只元，买只，所需钱数为元，用解析法将表示成的函数答案。
.变式训练例3某商场新进了台彩电，每台售价元，试求售出台数与收款数之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．【知识点五函数解析式的求法】例1已知二次函数的图像过点，则二次函数的解析式为__________.答案变式训练例1抛物线上有三点，此抛物线的解析式为__________．答案【知识点五函数解析式的求法】例2已知，则__________.答案。
变式训练例2函数满足,,则的最小值为___.答案.【知识点五函数解析式的求法】例3已知，求.答案.变式训练例3若，求.答案。
.【知识点五函数解析式的求法】例4已知答案。
变式训练例4设满足，求.答案.【知识点五函数解析式的求法】例5设是上的函数,且满足,并且对任意的实数,都有,求,的值及的解析式.变式训练例5已知函数对一切实数都有成立，且. （1）求的值；（2）求的解析式.答案（1）；（2）【知识点六函数图象作法】例1作出函数的图象.变式训练例1研究下列函数的单调区间并分别画出它们的图象：(1)；(2)．(1)图略，函数的单调减区间是，．(2)图略，函数的单调减区间是．【知识点七分段函数的概念和性质】例1。
已知函数，则（）A.B.C.D.变式训练例1设，求的值.答案【知识点七分段函数的概念和性质】例2.设函数，若，则__________．答案。
变式训练例2设函数，若，则__________．答案。
或3.2 函数的基本性质知识点总结3.2.1 单调性与最大（小）值1.增函数与减函数定义（1）一般地，设函数的定义域为，区间：①如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增。
即函数在区间上具有严格的单调性，区间叫做函数的单调增区间。
特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数。
（注意：当或时，函数单调递增。
）②如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减。
即函数在区间上具有严格的单调性，区间叫做函数的单调减区间。
特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数。
（注意：当或时，函数单调递减。
）（2）判断函数单调性的方法①定义法i.设符合定义域的，且；ⅱ.作差与变形：.常见变形方法有：分解因式，配方，通分，有理化等。
ⅲ.判号ⅳ.得出结论②配凑法（适用于判断抽象函数单调性）③图像法作函数图象，通过图象直观的判断函数的单调性④性质法ⅰ.直接利用函数的性质：一次函数、二次函数、反比例函数等等ⅱ.单调性运算性质增+增=增增-减=增减+减=减减-增=减若为增函数，则为减函数；若在定义域上成立，则与的单调性相同；函数的单调性满足“同增异减”的法则。