2023-2024学年沪科版九年级上学期数学期中测试卷(含答案)
浙江省宁波市余姚市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)
余姚市2023学年第一学期初中期末考试九年级数学试题卷温馨提示：1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，试题卷6页，满分120分，考试时间120分钟．2．所有答案都必须做在答题卷规定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应．3．考试期间不能使用计算器．一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．抛物线的顶点坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．2．若线段，，则a 和b 的比例中项线段等于（ ）A ．1B ．2C ．4D ．83．任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，发生可能性最大的事件是（ ）A ．朝上一面的点数大于3B ．朝上一面的点数小于3C ．朝上一面的点数是3的倍数D ．朝上一面的点数是3的因数4．已知点A 是外一点，且的半径为5，则的长可能为（）A ．3B ．4C ．5D ．65．在中，，，，则边的长为（ ）A ．3B ．4CD6．如果一个正多边形的内角是，那么这个正多边形的边数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．87．下列命题中，错误的是（）A ．直径是圆中最长的弦B ．直径所对的圆周角是直角C ．平分弦的直径垂直于弦D ．垂直平分弦的直线必定经过圆心8．若二次函数的图象经过和两点，则m 的值为（ ）A ．1B ．C ．D ．9．如图，矩形的内部有5个全等的小正方形，小正方形的顶点E ，F ，G ，H 分别落在边，，，上，若，，则小正方形的边长为（ ）()212y x =-+()1,2()2,1()1,2-()2,1-1a =4b =O O OA Rt ABC △90C ∠=︒5AB =3sin 5A =AC 135︒()2215y x =-+(),m n ()3,n 1-5252-ABCD AB BC CD DA 20AB =16BC =A ．B ．5C ．D ．10．如图，在中，点D 是上一点（不与点A ，B 重合），过点D 作交于点E ，过点D 作交于点F ，点G 是线段上一点，，点H 是线段上一点，，若已知的面积，则一定能求出（）A ．的面积B ．的面积C ．的面积D ．的面积二、填空题（每小题4分，共24分）11．若两个相似多边形的相似之比是，则它们的周长之比是______．12．技术变革带来产品质量的提升．某企业技术变革后，抽检某一产品5000件，欣喜发现产品合格的频率已达到，若在相同条件下，我们可以用频率估计该产品合格的概率约为______．（结果保留两位小数）13．把函数的图象向上平移1个单位后所得图象的函数表达式是______．14．如图所示的图形叫弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这样画的：先画正三角形，然后分别以点A ，B ，C 为圆心，长为半径画弧．若正三角形的边长为2cm ，则弧三角形的周长为______cm ．15．如图，一段抛物线：，记为，它与x 轴交于点O ，，将绕点顺时针旋转得到……，如此进行下去，得到一条连续的曲线，若点在这条曲线上，则m 的值为______．16．如图，在四边形中，，点E 是上一点，连结，，，ABC △AB DE BC ∥AC DF AC ∥BC AE AG GE =DF DH HF =BGH △ADE △BDF △ABG △CEF △2:50.991523y x =ABC AB ABC ()()505y x x x =--≤≤1C 1A 1C 1A 180︒2C ()2023,P m ABCD AD BC ∥AB AC CE ED，，，将沿翻折得到，若点恰好落在的延长线上，则______，______．三、解答题（第17、18、19题各6分，第20、21、22各8分，第23题10分，第24题12分，共66分）17．计算：（1）（2）已知，求18．在一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的球，其中1个白球，3个红球．（1）从袋中随机摸出一个球，求摸出的球是白球的概率．（2）从袋中随机摸出一个球，放回，摇匀，再随机摸出一个球，请用树状图或列表法求两次摸出的球颜色相同的概率．19．如图，在6×6的正方形网格中，点A ，B ，C 均在格点上，请按要求作图．（1）在图1中，将绕点A 顺时针方向旋转，作出经旋转后的．（其中点D ，E 分别是点B ，C 的对应点）．（2）在图2中，请用无刻度直尺找出过A ，B ，C 三点的圆的圆心，标出圆心O 的位置．20．如图，在中，是角平分线，点E 是边上一点，且．（1）求证：．（2）若，，求的长．BEC ADC ∠=∠10AB AC ==12BC =ACD △CD A CD '△A 'EDCE =BE =2sin 302cos30 tan 60︒-︒+︒12a b =2a b b+ABC △90︒ADE △ABC △AD AC ADE B ∠=∠ADB AED ∽△△3AE =5AD =AB21．如图，二次函数的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连结，．（1）求点A 和点C 的坐标．（2）若在第一象限的二次函数图象上存在点D ，使，求点D 的坐标．22．如图，四边形内接于，延长，交于点E ，．（1）求证：是等腰三角形．（2）若点C 是中点，，，求的长．23．平面直角坐标系中，点，在函数（b ，c 是常数）的图象上．（1）若，，求该函数的表达式，（2）若，求证：该函数的图象经过点．（3）已知点，，在该函数图象上，若，，试比较，的大小，并说明理由．24．如图，内接于，是的直径，，过点A 作，交于点E ，点F 是上一点，连结交于点G ，连结交于点H．211322y x x =--AC CD ACO DCO ∠=∠ABCD O AB DC DE DA =BCE △ BD11AB =4BC =AD ()1,m ()2,n 2y x bx c =++2m =1n =2m n =()3,2()3,0()12,y -()25,y 0m >0n <1y 2y ABC △O BC O tan 2ACB ∠=AD BC ⊥OAB EF BC CF AD（1）求证：．（2）若，，求的长．（3）设，，求y 关于x 的函数表达式．2023学年第一学期初中期末考试九年级数学参考答案及评分参考一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）题号12345678910答案ABADBDCBBB二、填空题（每小题4分，共24分）题号111213141516答案0.99610，4.4三、解答题（第17、18、19题各6分，第20、21题各8分，第22、23题10分，第24题12分，共66分）注：1．阅卷时应按步计分，每步只设整分．2．如有其它解法，只要正确，可参照评分标准，各步相应给分．17．解：（1）原式．（2）设，，原式．18．解：（1），（2）记三个红球为，，，摸两次球的所有可能结果如下：．19．解：（1）如图1，就是所求作的三角形．（2）如图2，点O 就是所求作的圆心．AFC HFE ∽△△10BC =8CF =EF OG x OC =AHy AD=2:5231y x =+2π1222=⨯-+1=1=a k =()20b k k =≠2255222k k k k k +⨯===1()4P =白球1红2红3红()105168P ∴==两次摸出的球颜色相同ADE △20．解：（1）在中，是角平分线，，，．（2），，，21．解：（1）二次函数的图象与x 轴交于点A 和B 两点，当时，，，，点，二次函数的图象与y 轴交于点C ，当时，，点．（2）如图，设与x 轴交于点E ，，，，，，点，设直线的函数表达式为．点，点直线的函数表达式为． ABC △AD BAD DAE ∴∠=∠B ADE ∠=∠ ADB AED ∴∽△△ADB AED ∽ △△AB ADAD AE ∴=3AE = 5AD =253AB ∴=211322y x x =-- 0y =2113022x x --=12x =-23x =∴()2,0A - 211322y x x =-- 0x =3y =-∴()0,3C -CD ACO DCO ∠=∠ 90AOC EOC ∠=∠=︒ CO CO =COA COE ∴≌△△2OE OA ∴==∴()2,0E CD )0(y kx b k =+≠ ()0,3C -()2,0E ∴CD 332y x =-令，得，当时，，点．22．解：（1），，四边形内接于，，，，，，是等腰三角形．（2）点C 是中点，，，，，，，，，，，，．23．解：（1）点，在函数（b ，c 为常数）的图象上，，，，该函数的表达式为．（2），，，，时，，该函数的图象经过点．（3），当时，，，当时，，抛物线经过点，抛物线的对称轴在直线的右侧，在直线的左侧，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，而抛物线开口向上，．211333222x x x --=-10x =24x = 4x =3y =∴()4,3D DE DA = A E ∴∠=∠ ABCD O 180A DCB ∴∠+∠=︒180BCE DCB ∠+∠=︒ BCE A ∴∠=∠BCE E ∴∠=∠BE BC ∴=BCE ∴△ BD4CD BC ∴==4BE BC ∴==11415AE AB BE ∴=+=+=BCE A ∠=∠ E E ∠=∠BCE DAE ∴∽△△BE CEDE AE∴=4DE DC CE CE =+=+ 4415CECE ∴=+6CE ∴=10DE CD CE ∴=+=10AD ∴= ()1,m ()2,n 2y x bx c =++1,42,b c m b c n ++=⎧∴⎨++=⎩2m = 1n =12,421,b c b c ++=⎧∴⎨++=⎩4,5.b c =-⎧∴⎨=⎩∴245y x x =-+2m n = ()1242b c b c ∴++=++37c b ∴=--()237y x bx b ∴=++--3x = ()233372y b b =++--=∴()3,20m > ∴1x =0y >0n < ∴2x =0y < ()3,0∴2x =3x =∴()12,y -()25,y 12y y ∴>24．解：（1）是的直径，，，，和是所对圆周角，，．（2）如图，连结，是的直径，，，，，，，，，，，，，，，是的直径，，，，，，，，，，，，，BC O AD BC ⊥ CACE ∴=AFC CFE ∴∠=∠ACF ∠ AEF ∠ AF ACF AEF ∴∠=∠AFC HFE ∴∽△△BF BC O 90BAC ∴∠=︒tan 2ACB ∠= 2AB AC ∴=222AB AC BC += 10BC =AC ∴=AD BC ⊥ 90ADC ∴∠=︒tan 2ACB ∠= 2AD CD ∴=222AD CD AC += 2CD ∴=4AD ∴=4ED AD ∴==BC O 90BFC ∴∠=︒10BC = 8CF =6BF ∴=90BFC HDC ∠=∠=︒ FCB DCH ∠=∠BFC HDC ∴∽△△BF CFHD CD∴=1.5HD ∴= 5.5HE ED HD ∴=+=AFC HFE ∽ △△AC CFHE EF∴=EF ∴=（3）设，则，，，，，，①如图，当点G 在线段上时，，，，，过点G 作于点M ，，，，，，，，．，，即，又，，，，，．②如图，当点G 在线段上时，同理可求得．OC r =2BC r =tan 2ACB ∠= 2AD CD ∴=2BD AD =25CD r ∴=45AD r =OD OG x OC= OG xr ∴=()1CG x r =-()1BG x r =+GM CF ⊥90GMF ∴∠=︒ 90ADC ∠=︒CAE CFE ∠=∠FGM ACB ∴∠=∠tan tan 2FGM ACB ∴∠=∠=2FM GM ∴=90GMC BFC ∠=∠=︒ GM BF ∴∥CG CM GB MF ∴=2CG CMGB GM∴=2CG CM GB GM =CM CD GM HD =2CD CGHD GB∴=(1)5(1)x r HD x +∴=-4(1)3555(1)55r x r x AH AD HD r x x +-∴=-=-=--3544AH xAD x-∴=-3544x y x -∴=-OB 3544x y x+=+。
2023-2024学年江苏省无锡市惠山区九年级(上)期中数学试卷[含答案]
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2023-2024学年江苏省无锡市惠山区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共30分）1．（3分）下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ）A．x2+2x＝0B．x+1＝0C．ax2+bx+c＝0D．2．（3分）若，则＝（ ）A．B．C．D．3．（3分）若圆O的半径是5，圆心的坐标是（0，0），点P的坐标是（﹣4，3），则点P与圆O的位置关系是（ ）A．点P在圆外B．点P在圆上C．点P在圆内D．无法确定4．（3分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），若AB＝10，则PB的长约为（ ）A．0.382B．3.82C．0.618D．6.185．（3分）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（ ）A．5B．6C．D．6．（3分）以下命题：（1）等弧所对的弦相等；（2）相等的圆心角所对的弧相等；（3）三点确定一个圆；（4）圆的对称轴是直径；（5）三角形的内心到三角形三边距离相等．其中正确的命题的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（3分）实数a、b满足a2+b﹣4a+1＝0，则b的最大值为（ ）A．﹣1B．﹣2C．3D．28．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝5，点E是CD边上一点，且，点F是BD上一点，若∠FAE＝45°，则AF的长为（ ）A．B．C．D．9．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC边上一点，连接AD 并延长交⊙O于点E．若AD＝2，DE＝3，则⊙O的半径为（ ）A．B．C．D．10．（3分）如图，在矩形ABCD中，，点E、F分别是AB、BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在H处．在点E从A移动到AD中点P的过程中，线段PG的最大值（ ）A．B．4C．D．二、填空题（共24分）11．（3分）在比例尺是1：200000的常州交通图上，文化宫广场与恐龙园之间的距离为4.6厘米，则它们之间的实际距离约为 千米．12．（3分）请写出一个二次项系数为1，且以﹣1为其中一个根的一元二次方程： ．13．（3分）如图，AB是半圆O的直径、C、D在半圆O上．若∠CAB＝28°，则∠ADC的度数为 ．14．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为 ．15．（3分）已知a、b是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则（a﹣2）（b﹣2）＝ ．16．（3分）已知△ABC，D是BC边上的一点（不与BC重合），E、F分别是△ABD、△ACD的重心，若△ABC的面积为14，则△DEF的面积为 ．17．（3分）已知，如图，△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，半径为1的⊙O与三角形的边AB、AC 都相切，点P为⊙O上一动点，点Q为BC边上一动点，则PQ的最大值与最小值的和为 ．18．（3分）已知△ABC的三个顶点A（n，0）、B（m，0）、C（0，2n）（m＞n＞0），作△ABC关于直线AC的对称图形△AB1C，B1恰好落在y轴上，则的值为 ．三、解答题（共96分）19．解方程：（1）x2﹣6x+3＝0；（2）（x+1）（x﹣2）＝（x﹣2）．20．已知关于x的方程（x﹣2）（x﹣3）﹣k2＝0．（1）证明：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根分别为x1，x2，且x1＞x2，证明：x1+2x2≤7．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC恰好是∠ABD的角平分线．（1）求证：△APC∽△DPB；（2）若AP＝BP＝1，AD＝CP，求DP的长．22．（100分）某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛，并对成绩进行整理分析，得到如下信息：平均数众数中位数七年级参赛学生成绩85.5m87八年级参赛学生成绩85.585n根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m＝ ，n＝ ；（2）七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为和，请判断 ；（填“＞”、“＜”或“＝”）；（3）请你根据统计知识，利用数据对七、八年级的成绩进行比较与评价．23．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．（1）△ABC外接圆的圆心坐标是 ；（2）△ABC外接圆的半径是 ；（3）已知△ABC与△DEF（点D、E、F都是格点）成位似图形，则位似中心M的坐标是 ；（4）请在网格图中的空白处画一个格点△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC，且相似比为：1．24．如图，在等边△ABC中，点M、N分别在AB、AC边上．（1）在BC边上求作点P，使∠MPN＝60°；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，请找出所有满足条件的点．）（2）若AB＝9，BM＝5，设CN＝a，若要使得（1）中只能作出唯一的点P，则a的值应该满足什么条件？请通过计算说明．25．如图，△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，过点D作PQ∥AB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD．（1）求证：PQ是⊙O的切线；（2）若AC＝4，BQ＝1，求BD的长．26．某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．（1）求A社区居民人口至少有多少万人？（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．27．如图1，边长为6cm的等边△ABC中，AD是高，点P以cm/s的速度从点D向A运动，以点P为圆心，1cm为半径作⊙P，设点P的运动时间为t s．（1）当⊙P与边AC相切时，求t的值；（2）如图2，若在点P出发的同一时刻，点Q以1cm/s的速度从点B向点C运动，一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．过点Q作BA的平行线，交AC于点M．当QM与⊙P相切时，求t的值；（3）在运动过程中，当⊙P与△ABC的边共有两个公共点时，直接写出t的取值范围．28．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是对角线AC的中点，连结BO 并延长交边CD或边AD于点E．（1）当点E在CD上，①求证：AC2＝2AD•BC；②若BE⊥CD，求的值；（2）若DE＝1，OE＝2，直接写出CD的长．参考答案与试题解析一、选择题（共30分）1．（3分）下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ）A．x2+2x＝0B．x+1＝0C．ax2+bx+c＝0D．【分析】利用定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程判定即可．【解答】解：A．x2+2x＝0是一元二次方程，故本选项符合题意；B．x+1＝0是一元一次方程，故本选项不符合题意；C．当a＝0时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D．该方程是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义．2．（3分）若，则＝（ ）A．B．C．D．【分析】根据比例的性质变形即可求解．【解答】解：∵，∴设a＝3k，b＝2k，∴，故选：C．【点评】本题考查了比例的性质，熟知比例的性质是解题的关键．3．（3分）若圆O的半径是5，圆心的坐标是（0，0），点P的坐标是（﹣4，3），则点P与圆O的位置关系是（ ）A．点P在圆外B．点P在圆上C．点P在圆内D．无法确定【分析】先根据勾股定理求出OP的长，再与⊙O的半径为5相比较即可．【解答】解：∵P的坐标为（﹣4，3），∴．∵⊙O的半径为5，∴点P在⊙O上．故选：B．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，坐标与图形性质，熟知点与圆的位置关系有3种．设⊙O 的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r是解题的关键．4．（3分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），若AB＝10，则PB的长约为（ ）A．0.382B．3.82C．0.618D．6.18【分析】设PB＝x，则PA＝10﹣x，根据黄金分割的定义得到，即，解方程即可得到答案．【解答】解：设PB＝x，则PA＝10﹣x，∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），∴，即，∴100﹣20x+x2＝10x，即x2﹣30x+100＝0，解得或（舍去），经检验，是原方程的解，∴PB的长约为3.82，故选：B．【点评】本题主要考查了黄金分割，熟记黄金分割的定义是解题的关键．5．（3分）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（ ）A．5B．6C．D．【分析】证明△ABE∽△CDE，求得AE：CE，再根据三角形的面积关系求得结果．【解答】解：∵CD∥AB，∴△ABE∽△CDE，∴，∴，故选：C．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键在于证明三角形相似．6．（3分）以下命题：（1）等弧所对的弦相等；（2）相等的圆心角所对的弧相等；（3）三点确定一个圆；（4）圆的对称轴是直径；（5）三角形的内心到三角形三边距离相等．其中正确的命题的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：（1）等弧所对的弦相等，正确，符合题意；（2）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原命题错误，不符合题意；（3）不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意；（4）圆的对称轴是直径所在的直线，故原命题错误，不符合题意；（5）三角形的内心到三角形三边距离相等，正确，符合题意；正确的命题有2个，故选：B．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关定义及性质．7．（3分）实数a、b满足a2+b﹣4a+1＝0，则b的最大值为（ ）A．﹣1B．﹣2C．3D．2【分析】把a2+b﹣4a+1＝0看作关于a的一元二次方程，则利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4（b+1）≥0，解关于b的不等式得到b的最大值．【解答】解：∵实数a、b满足a2+b﹣4a+1＝0，∴关于a的一元二次方程a2+b﹣4a+1＝0有实数根，∴Δ＝（﹣4）2﹣4（b+1）≥0，∴b≤3，∴b的最大值为3，故选：C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．8．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝5，点E是CD边上一点，且，点F是BD上一点，若∠FAE＝45°，则AF的长为（ ）A．B．C．D．【分析】由正方形的性质得到CD＝AB＝AD＝5，∠BAC＝∠ACD＝∠ABD＝45°，∠ABC＝∠ADE＝90°，则由勾股定理得到，求出DE＝2，则，再证明△ABF∽△ACE，得到，即，即可得到．【解答】解：如图所示，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AB＝AD＝5，∠BAC＝∠ACD＝∠ABD＝45°，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴，∵，∴，∴DE＝2，∴，∵∠FAE＝∠BAC＝45°，∴∠BAF＝∠CAE，又∵∠ABF＝∠ACE＝45°，∴△ABF∽△ACE，∴，即，∴，故选：B．【点评】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，解答本题的关键是作出辅助线，构造相似三角形解决问题．9．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC边上一点，连接AD 并延长交⊙O于点E．若AD＝2，DE＝3，则⊙O的半径为（ ）A．B．C．D．【分析】连接OA，OC，CE，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB＝30°，根据等边三角形的性质得到AC＝OA，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：连接OA，OC，CE，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠ACB＝30°，∴∠AOC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴AC＝OA，∵∠AEC＝∠ACB＝30°，∠CAD＝∠EAC，∴△ACD∽△AEC，∴，∴AC2＝AD•AE，∵AD＝2，DE＝3，∴AC＝＝＝，∴OA＝AC＝，即⊙O的半径为，故选：A．【点评】本题考查了三角形的外接圆和外心，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．10．（3分）如图，在矩形ABCD中，，点E、F分别是AB、BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在H处．在点E从A移动到AD中点P的过程中，线段PG的最大值（ ）A．B．4C．D．【分析】连接AC与EF交于点O，连接OG，证明点O是AC的中点，求出，再判断出点G的运动轨迹为弧BC，即可求出结论．【解答】解：连接AC与EF交于点O，连接OG，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAC＝∠FCA，∠AEF＝∠CFE，又∵AE＝CF，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴EO＝FO，AO＝CO，∴点O为AC的中点，连接BD，则与AC交于点O，由折叠得，∠OFC＝∠OFG，CF＝GF，又∵OF＝OF，∴△OFC≌△OFG（SAS），∴，又，∴OG＝3，∴G在以O为圆心，OG为半径的圆弧上运动，E在A处时，G与C重合，E在P处时，G与B重合，∴G的运动轨迹为，∴连接PO并延长，交于G′时，PG′最大，当O，P，G共线时，即G与G′重合时，PG最大，∴PG＝PG′＝PO+OG′，∵P为AD的中点，O为BD的中点，∵，∴，即PG的最大值为，故选：C．【点评】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，点的轨迹等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．二、填空题（共24分）11．（3分）在比例尺是1：200000的常州交通图上，文化宫广场与恐龙园之间的距离为4.6厘米，则它们之间的实际距离约为 9.2 千米．【分析】实际距离：图上距离＝比例尺．注意单位统一成千米．【解答】解：设它们之间的实际距离约为x千米，4.6cm＝0.000046km则1：200000＝0.000046：x，解得x＝9.2，故答案为：9.2．【点评】主要考查了对比例尺的应用．注意单位的统一．12．（3分）请写出一个二次项系数为1，且以﹣1为其中一个根的一元二次方程： x2﹣1＝0（答案不唯一） ．【分析】先根据一元二次方程的解法﹣因式分解，写出方程，再化为一般形式．【解答】解：根据题意得：（x+1）（x﹣1）＝0，即：x2﹣1＝0，故答案为：x2﹣1＝0（答案不唯一）．【点评】本题考查了一元二次方程的解，理解方程解的意义是解题的关键．13．（3分）如图，AB是半圆O的直径、C、D在半圆O上．若∠CAB＝28°，则∠ADC的度数为 118° ．【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB＝90°，从而求出∠B，再根据圆内接四边形对角互补，即可解答．【解答】解：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝28°，∴∠B＝90°﹣∠CAB＝62°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B+∠ADC＝180°∴∠ADC＝180°﹣∠B＝118°．故答案为：118°．【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．14．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为 ．【分析】根据正切的定义求出AB，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．【解答】解：由题意得，DE＝1，BC＝3，在Rt△ABC中，∠A＝60°，则AB＝＝＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即＝，解得：BD＝，故答案为：．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、解直角三角形，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．15．（3分）已知a、b是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则（a﹣2）（b﹣2）＝ ﹣4 ．【分析】根据根与系数的关系得到a+b＝3，ab＝﹣2，再由多项式乘以多项式的计算法则得到（a﹣2）（b﹣2）＝ab﹣2（a+b）+4，据此代值计算即可．【解答】解：∵a、b是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，∴a+b＝3，ab＝﹣2，∴（a﹣2）（b﹣2）＝ab﹣2a﹣2b+4＝ab﹣2（a+b）+4＝﹣2﹣2×3+4＝﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．16．（3分）已知△ABC，D是BC边上的一点（不与BC重合），E、F分别是△ABD、△ACD的重心，若△ABC的面积为14，则△DEF的面积为 ．【分析】连接DE并延长交AB于G，连接DF并延长交AC于H，连接GH，由重心的定义得到DG，DH分别是△ABD，△ACD的中线，则GH是△ABC的中位线，即可得到，证明△AGH∽△ABC，可得，再由三角形中线的性质推出，由重心的性质可得，则可证明△EDF∽△GDH，得到．【解答】解：如图所示，连接DE并延长交AB于G，连接DF并延长交AC于H，连接GH，∵E、F分别是△ABD、△ACD的重心，∴DG，DH分别是△ABD，△ACD的中线，∴GH是△ABC的中位线，∴，∴△AGH∽△ABC，∴，∴；∵三角形中线平分三角形面积，∴S△AGD＝S△BGD，S△AHD＝S△CHD，∴，∴，由重心的性质可得，又∵∠EDF＝∠GDH，∴△EDF∽△GDH，∴，∴，故答案为：．【点评】本题主要考查了重心的性质，相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．17．（3分）已知，如图，△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，半径为1的⊙O与三角形的边AB、AC 都相切，点P为⊙O上一动点，点Q为BC边上一动点，则PQ的最大值与最小值的和为 ．【分析】设⊙O与AC相切于点D，与AB相切于点E，连接OD，OE，过点O，作OP1⊥BC垂足为Q1交⊙O于P1，此时垂线段OQ1最短，P1Q1最小值为OQ1﹣OP1，求出OQ1，当Q2与B重合时，BO的延长线与⊙O交于点P2，P2Q2最大值OQ2+OP2．【解答】解：∵△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，∴AB2＝AC2+BC2，∴∠ACB＝90°，设⊙O与AC相切于点D，与AB相切于点E，连接OD，OE，过点O，作OP1⊥BC垂足Q1，交⊙O于P1，连接AO，延长AO与BC相交于点F，过F作FG⊥AB于点G，如图1，此时垂线段OQ1最短，P1Q1最小值为OQ1﹣OP1，则四边形ODCQ1为矩形，AO平分∠BAC，∴CF＝FG，．设CF＝FG＝x，则BF＝6﹣x，AC＝AG＝8，BG＝AB﹣AG＝10﹣8＝2，由勾股定理得，（6﹣x）2﹣x2＝22，解得：，∴，∵OE∥GF，∴△AOE∽△AFG，∴，即，∴AE＝3，∴AF＝AE＝3，∴OQ1＝CD＝8﹣3＝5，∴P1Q1＝OQ1﹣OP1＝5﹣1＝4，如图2，当Q2与B重合时，连接BO，延长BO与⊙O交于点P2，此时P2Q2为最大值，，∴PQ的最大值与最小值的和为：，故答案为：．【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，矩形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是确定PQ的最小值与最大值的位置．18．（3分）已知△ABC的三个顶点A（n，0）、B（m，0）、C（0，2n）（m＞n＞0），作△ABC关于直线AC的对称图形△AB1C，B1恰好落在y轴上，则的值为 ．【分析】连接BB1，延长CA交BB1于D，证明△AOC∽△B1OB，推出，可得，在Rt△AOB′中，根据构建关系式即可解决问题．【解答】解：如图，连接BB1，延长CA交BB1于D，∵B，B1关于AC对称，∴CD⊥BB1，∵∠OCA+∠OAC＝90°，∠DBA+∠BAD＝90°，∠OAC＝∠BAD，∴∠OAC＝∠DBA，∵∠AOC＝∠BOB1＝90°，∴△AOC∽△B1OB，∴，即，在Rt△AOB1中，，整理得：3m2﹣8nm＝0，∵m≠0，∴，即，故答案为：．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣对称，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．三、解答题（共96分）19．解方程：（1）x2﹣6x+3＝0；（2）（x+1）（x﹣2）＝（x﹣2）．【分析】（1）利用配方法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【解答】解：（1）∵x2﹣6x+3＝0，∴x2﹣6x＝﹣3，∴x2﹣6x+9＝6，∴（x﹣3）2＝6，∴，解得；（2）∵（x+1）（x﹣2）＝（x﹣2），∴（x+1）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，∴（x+1﹣1）（x﹣2）＝0，解得x1＝0，x2＝2．【点评】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的配方法和因式分解法是解题的关键．20．已知关于x的方程（x﹣2）（x﹣3）﹣k2＝0．（1）证明：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根分别为x1，x2，且x1＞x2，证明：x1+2x2≤7．【分析】（1）化成一般形式，求根的判别式，当Δ＞0时，方程总有两个不相等的实数根；（2）根据根与系的关系求出两根和，再把x1+2x2化为5+x2，再根据求根公式求出x2，并判断出x2≤2即可．【解答】证明：（1）（x﹣3）（x﹣2）﹣k2＝0，即x2﹣5x+6﹣k2＝0，∴Δ＝（﹣5）2﹣4×1×（6﹣k2）＝25﹣24+4k2＝1+4k2，∵无论k取何值时，总有4k2≥0，∴1+4k2＞0，∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）∵x1+x2＝5，∴x1+2x2＝x1+x2+x2＝5+x2，∵x1＞x2，∴x2＝，∵4k2+1≥1，∴≥1，∴≤2，即x2≤2，∴5+x2≤7，即x1+2x2≤7．【点评】本题考查了抛物线与x轴的关系，根的判别式和根与系数的关系，关键是掌握根与系数的关系．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC恰好是∠ABD的角平分线．（1）求证：△APC∽△DPB；（2）若AP＝BP＝1，AD＝CP，求DP的长．【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质得∠ABC＝∠C，再根据角平分线的定义得∠ABC＝∠DBC，于是可得出∠C＝∠DBC，据此可得出结论；（2）设DP＝x，则AD＝CP＝1+x，然后由（1）的结论得AP：DP＝PC：BP，据此可得出x2+x﹣1＝0，然后解方程求出x即可．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵BC是∠ABD的平分线，∴∠ABC＝∠DBC，∴∠C＝∠DBC，又∠APC＝∠DPB，∴△APC∽△DPB．（2）解：设DP＝x，∵AP＝PB＝1，∴AD＝AP+DP＝1+x，又AD＝CP，∴CP＝1+x，由（1）得：△APC∽△DPB，∴AP：DP＝PC：BP，即：1：x＝（x+1）：1，∴x2+x＝1，∴x2+x﹣1＝0，解得：，（不合题意，舍去）．∴．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的证明方法，理解相似三角形的性质，难点是设置适当的未知数，利用相似三角形的性质列出方程．22．（100分）某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛，并对成绩进行整理分析，得到如下信息：平均数众数中位数七年级参赛学生成绩85.5m87八年级参赛学生成绩85.585n根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m＝ 80 ，n＝ 86 ；（2）七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为和，请判断 ＞ ；（填“＞”、“＜”或“＝”）；（3）请你根据统计知识，利用数据对七、八年级的成绩进行比较与评价．【分析】（1）根据众数和中位数的定义即可求出m和n的值；（2）根据方差公式分别计算出，即可；（3）从平均数和中位数进行分析即可．【解答】解：（1）七年级成绩中8（0分）的最多有3个，所以众数：m＝80，将八年级样成绩重新排列为：76，77，85，85，85，87，87，88，88，97，排在第5和第6的数是85，87，∴中位数：，故答案为：80，86；（2）∵七年级的方差是：，八年级的方差是：，∴，故答案为：＞；（3）从众数和方差上看，八年级比七年级成绩的大众水平较高，且较为稳定；从中位数看七年级成绩比八年级中等水平较高，综上所述，我认为八年级的成绩较好．【点评】本题考查了中位数、众数、方差，明确平均数、中位数、众数、方差所反映数据的特征是解决问题、做出判断的前提．23．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．（1）△ABC外接圆的圆心坐标是 （2，6） ；（2）△ABC外接圆的半径是 ；（3）已知△ABC与△DEF（点D、E、F都是格点）成位似图形，则位似中心M的坐标是 （3，6） ；（4）请在网格图中的空白处画一个格点△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC，且相似比为：1．【分析】（1）如图1中，作线段AB，BC的垂直平分线交于点O′，点O′即为△ABC的外接圆的圆心；（2）利用两点间距离公式计算即可；（3）如图2中，由△ABC∽△DEF，推出点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应点，对应点连接的交点即为位似中心，如图点M即为所求；（4）根据相似三角形的性质求出△A1B1C1的三边即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，作线段AB，BC的垂直平分线交于点O′，点O′即为△ABC的外接圆的圆心，O′（2，6）．故答案为（2，6）．（2）连接CO′．CO′＝＝，∴△ABC外接圆的半径是．故答案为．（3）如图2中，∵△ABC∽△DEF，∴点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应点，对应点连接的交点即为位似中心，如图点M即为所求．观察图象可知M（3，6）故答案为（3，6）．（4）如图，△A1B1C1即为所求；【点评】本题属于圆综合题，考查三角形的外接圆的外心，位似变换，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，学会用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．24．如图，在等边△ABC中，点M、N分别在AB、AC边上．（1）在BC边上求作点P，使∠MPN＝60°；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，请找出所有满足条件的点．）（2）若AB＝9，BM＝5，设CN＝a，若要使得（1）中只能作出唯一的点P，则a的值应该满足什么条件？请通过计算说明．【分析】（1）以A为圆心，AN为半径作弧，交AB于点D，作△DMN的外接圆，交BC于P1、P2，即可完成作图；（2）证△MBP∽△PCN，可得＝设BP＝x，列出方程＝，整理得x2﹣9x+5a＝0，当该方程有两个不相等的实数根时，对应满足条件的点P有两个，当该方程有两个相等的实数根时，对应满足条件的点P只有一个，当该方程没有实数根时，对应满足条件的点P不存在，进而可以解决问题．【解答】解：（1）①以A为圆心，AN为半径作弧，交AB于点D，②作△DMN的外接圆，交BC于P1、P2，如图，点P1、P2即为所求；（2）如图，∵∠MP1N＝60°，∴∠MP1B+∠CP1N＝120°，在等边△ABC中，∠B＝∠C＝60°，∴∠MP1B+∠BMP1＝120°，∴∠BMP1＝∠CP1N，∴△MBP1∽△P1CN，∴＝，设BP1＝x，∴＝，∴5a＝9x﹣x2，∴x2﹣9x+5a＝0，∵只能作出唯一的点P，∴该方程有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣9）2﹣20a＝81﹣20a＝0，∴a＝．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质．25．如图，△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，过点D作PQ∥AB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD．（1）求证：PQ是⊙O的切线；（2）若AC＝4，BQ＝1，求BD的长．【分析】（1）欲证明PQ是⊙O切线，只要证明OD⊥PQ即可；（2）连接AD，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OD，∵DC平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴＝，∴OD⊥AB，∵AB∥PQ，∴OD⊥PQ，∴PQ是⊙O的切线．（2）解：连接AD，∵AB∥PQ，∠ABC＝∠Q，∠ADB＝∠BDQ，∵∠ADC＝∠ABC，∠ABD＝∠ACD，∴∠ADC＝∠Q，∠ACD＝∠BDQ，∴△BDQ∽△ACD，∴＝，∴BD2＝AC•BQ，∴BD2＝4×1＝4，解得：BD＝2或﹣2（舍去）．∴BD的长为2．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，一元二次方程根与系数的关系，圆周角定理，平行线的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键，属于中考压轴题．26．某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．（1）求A社区居民人口至少有多少万人？（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．【分析】（1）设A社区居民人口有x万人，根据“B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；（2）A社区的知晓人数+B社区的知晓人数＝7.5×76%，据此列出关于m的方程并解答．【解答】解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5﹣x）万人，依题意得：7.5﹣x≤2x，解得x≥2.5．即A社区居民人口至少有2.5万人；（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1×（1+m%）×（1+2m%）＝7.5×76%设m%＝a，方程可化为：1.2（1+a）2+（1+a）（1+2a）＝5.7化简得：32a2+54a﹣35＝0解得a＝0.5或a＝﹣（舍）∴m＝50答：m的值为50．【点评】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程．27．如图1，边长为6cm的等边△ABC中，AD是高，点P以cm/s的速度从点D向A运动，以点P为圆心，1cm为半径作⊙P，设点P的运动时间为t s．（1）当⊙P与边AC相切时，求t的值；（2）如图2，若在点P出发的同一时刻，点Q以1cm/s的速度从点B向点C运动，一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．过点Q作BA的平行线，交AC于点M．当QM与⊙P相切时，求t的值；（3）在运动过程中，当⊙P与△ABC的边共有两个公共点时，直接写出t的取值范围．【分析】（1）利用等边三角形的性质和切线的性质定理求得AD，AP的值，进而得到PD的长度，利用时间＝距离÷速度即可得出结论；（2）利用分类讨论的方法分两种情况解答：设QM与⊙P相切于点E，①当点E在AD的左侧时，②当点P在AD的右侧时，连接EP，过点M作MH⊥AD于点H，由题意得：BQ＝t，DP＝t，利用等腰梯形的判定定理和性质定理可得AM＝BQ，利用解直角三角形的知识与等腰三角形的性质可得AF的长，再分别利用AF+FP+PD＝AD和AF+DP﹣FP＝AD，列出关于t的方程，解方程即可得出结论；（3）利用分段讨论的方法分析，当线段PD取不同数值时，⊙P与△ABC的边的公共点的个数，利用时间＝距离÷速度即可求得t的取值范围．【解答】解：（1）设⊙P与边AC相切点E，连接PE，如图，则PE⊥AC．∵△ABC是边长为6的等边三角形，AD是高，∴BD＝＝3cm，∠DAC＝∠BAC＝30°．∴AD＝＝3，由题意得：PD＝t cm，∴AP＝AD﹣PD＝（3﹣t）cm．在Rt△APE中，∵sin∠PAE＝，∴AP＝．∴3﹣t＝．解得：t＝3﹣．∴当⊙P与边AC相切时，t的值为3﹣．（2）设QM与⊙P相切于点E，①当点E在AD的左侧时，设QM与AD交于点F，如图，连接EP，过点M作MH⊥AD于点H，∵QM与⊙P相切于点E，∴EP⊥QM．∵△ABC是边长为6的等边三角形，AD是高，∴∠DAB＝∠DAC＝∠BAC＝30°．∵QM∥AB，∴∠QFD＝∠BAD＝30°．∵∠AFM＝∠QFD，∴∠AFM＝30°．∴∠FAM＝∠AFM＝30°．∴AM＝FM．∵MH⊥AD，∴AH＝FH＝．由题意得：BQ＝t，DP＝t，∵∠B＝∠BAC＝60°，AB∥QM，∴四边形ABQM为等腰梯形，∴AM＝BQ＝t．∴AH＝AM•cos∠DAC＝t．∴AF＝2AH＝2t．∵EP⊥QM，∠EFP＝30°，∴FP＝2EP＝2．∵AF+FP+PD＝AD，∴t+2+t＝3．解得：t＝﹣；②当点P在AD的右侧时，设QM与AD交于点F，如图，连接EP，过点M作MH⊥AD于点H，∵QM与⊙P相切于点E，∴EP⊥QM．∵△ABC是边长为6的等边三角形，AD是高，∴∠DAB＝∠DAC＝∠BAC＝30°．∵QM∥AB，∴∠QFD＝∠BAD＝30°．∵∠AFM＝∠QFD，∴∠AFM＝30°．∴∠FAM＝∠AFM＝30°．∴AM＝FM．∵MH⊥AD，∴AH＝FH＝．由题意得：BQ＝t，DP＝t，∵∠B＝∠BAC＝60°，AB∥QM，∴四边形ABQM为等腰梯形，∴AM＝BQ＝t．。
2023-2024学年上海市长宁区九年级上学期期末考数学试卷(中考一模)含详解
2023学年第一学期初三数学教学质量调研试卷（考试时间：100分钟满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】1.在Rt ABC △中，90C ∠=︒，如果,A BC a α∠==，那么AC 等于（）A.tan a α⋅ B.cot a α⋅ C.sin aαD.cos a α2.下列关于抛物线223y x x =+-的描述正确的是（）A.该抛物线是上升的B.该抛物线是下降的C.在对称轴的左侧该抛物线是上升的D.在对称轴的右侧该抛物线是上升的3.已知点C 在线段AB 上，且满足2AC BC AB =⋅，那么下列式子成立的是（）A.512AC BC -= B.12AC AB -= C.512BC AB -= D.352BC AC =4.已知a为非零向量，且3a b =-，那么下列说法错误的是（）A.13a b=-B.3b a = C.30b a += D.b a∥5.如果点D 、E 分别在△ABC 的两边AB 、AC 上，下列条件中可以推出DE ∥BC 的是()A.23AD BD =，23CE AE = B.23AD AB =，23DE BC =C.32AB AD =,12EC AE = D.43AB AD =，43AE EC =6.已知在ABC 与A B C ''' 中，点D D '、分别在边BC B C ''、上，（点D 不与点B C 、重合，点D ¢不与点B C ''、重合）．如果ADC △与'''A D C △相似，点A D 、分别对应点A ''、D ，那么添加下列条件可以证明ABC 与A B C ''' 相似的是（）①AD A D ''、分别是ABC 与A B C ''' 的角平分线；②AD A D ''、分别是ABC 与A B C ''' 的中线；③AD A D ''、分别是ABC 与A B C ''' 的高．A.①②B.②③C.①③D.①②③二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7.如果53(,x y x y =均不为零），那么():x x y +的值是____________．8.式子2cos30tan45︒-︒的值是______．9.已知线段a=3cm ，b=4cm ，那么线段a 、b 的比例中项等于_______cm ．10.若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是_________.11.如图，////AB CD EF ，如果:2:3,10AC CE BF ==，那么线段DF 的长是__________．12.二次函数()2f x ax bx c =++图像上部分点的坐标满足下表：那么()5f -=____________．x⋯3-2-1-01⋯()f x ⋯3-2-3-6-11-⋯13.已知向量a 与单位向量e 方向相反，且3a = ，那么a =____________________（用向量e 的式子表示）14.已知一条斜坡的长度为13米，高度为5米，那么该斜坡的坡度为____________．15.如图，在ABC 中，AD 是BC 上的高，且5,3BC AD ==，矩形EFGH 的顶点F G 、在边BC 上，顶点E H 、分别在边AB 和AC 上，如果2EH EF =，那么EH =____________．16.如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，点G 是ABC 的重心，联结GA GC 、，如果533AC AG ==，，那么GCA ∠的余切值为____________．17.我们把顶角互补的两个等腰三角形叫做友好三角形．在ABC 中，10AB AC ==，点D E 、都在边BC 上，5AD AE ==，如果ABC 与ADE V 是友好三角形，那么BC 的长为____________．18.如图，在矩形ABCD 中，8,4,AD AB AC ==是对角线，点P 在边BC 上，联结DP ，将DPC △沿着直线DP 翻折，点C 的对应点Q 恰好落在ADC △内，那么线段BP 的取值范围是____________．三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19.已知抛物线2241y x x =++．（1）用配方法把2241y x x =++化为2()y a x m k =++的形式，并写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）如果将该抛物线上下平移，得到新的抛物线经过点()1,4，求平移后的抛物线的顶点坐标．20.在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE AC 、相交于点F ．（1）设,AB a AD b == ，试用a b 、表示EF ；（2）先化简，再求作：()()3222a b a b +-+（直接作在图中）．21.如图，在四边形ABCD 中，90BAD AC BC DE AC ∠=⊥︒⊥，，，垂足为点43E AC DE ==，，．（1）求:AD AB 的值；（2）BD 交AC 于点F ，如果1tan 2BAC ∠=，求CF 的长．22.小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．测量方法：如图2，人眼在P 点观察所测物体最高点C ，量角器零刻度线上A B 、两点均在视线PC 上，将铅锤悬挂在量角器的中心点O ．当铅锤静止时，测得视线PC 与铅垂线OD 所夹的角为α，且此时的仰角为β．实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼EF 的高度．他先站在水平地面的点H 处，视线为GE ，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为60︒；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点R 处，视线为QE ，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为45︒．问题解决：（1）请用含α的代数式表示仰角β；（2）如果GH QR EF 、、在同一平面内，小明的眼晴到水平地面的距离为1.6米，求大楼EF 的高度．（结果保留根号）23.如图，在ABC 中，点,D E 分别是,BC AD 的中点，且AD AC =，连接CE 并延长交AB 于点F ．（1）证明：ABC ECD ∽；（2）证明：4BF EF =．24.已知抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，直线6y x =--经过点A 与点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 在线段AC 下方的抛物线上，过点P 作BC 的平行线交线段AC 于点D ，交y 轴于点E ．①如果C F 、两点关于抛物线的对称轴对称，联结DF ，当DF CF ⊥时，求PDF ∠的正切值；②如果:3:5PD DE =，求点P 的坐标．25.已知ABC 中，2ABC C ∠=∠，BG 平分ABC ∠，8AB =，163AG =，点D ，E 分别是边BC ，AC 上的点（点D 不与点B ，C 重合），且ADE ABC =∠∠，AD ，BG 相交于点F ．（1）求BC 的长；（2）如图1，如果2BF CE =，求:BF GF 的值；（3）如果ADE V 是以AD 为腰的等腰三角形，求BD 长．2023学年第一学期初三数学教学质量调研试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】1.在Rt ABC △中，90C ∠=︒，如果,A BC a α∠==，那么AC 等于（）A.tan a α⋅ B.cot a α⋅ C.sin aαD.cos a α【答案】B【分析】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可．【详解】解：cot ACBCα=，∴cot cot AC BC a αα=⋅=⋅，故选：B ．2.下列关于抛物线223y x x =+-的描述正确的是（）A.该抛物线是上升的B.该抛物线是下降的C.在对称轴的左侧该抛物线是上升的D.在对称轴的右侧该抛物线是上升的【答案】D【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确．【详解】解：∵抛物线223y x x =+-，∴20a =>，在对称轴左侧，该抛物线下降，在对称轴右侧上升，故选项A 、B 、C 均错误，不符合题意，选项D 正确，符合题意；故选：D ．3.已知点C 在线段AB 上，且满足2AC BC AB =⋅，那么下列式子成立的是（）A.12AC BC -= B.12AC AB -= C.12BC AB -= D.32BC AC =【答案】B【分析】本题考查黄金分割、解一元二次方程，把AB 当作已知数求出AC ，求出BC ，再分别求出各个比值，根据结果判断即可．【详解】解：令AC x =，()0AB a a =>，则BC a x =-，2AC BC AB =⋅可变形为()2x a x a =-⋅，整理，得220x ax a +-=，()2224150a a a ∆=-⨯⨯-=>，解得22a a x -±-±==，边长为正数，∴)122a a x --+==，)(1322a a a x a -=-=，即512AC AB -=⋅，352BC AB =⋅，∴23525112A ABC BC -⋅=+==，故A选项错误；122ABACABAB -==，故B选项正确；3322BC B B ABA A -==⋅，故C选项错误；251B ABC AC =-==，故D 选项错误；故选B ．4.已知a 为非零向量，且3a b =- ，那么下列说法错误的是（）A.13a b=-B.3b a= C.30b a += D.b a∥【答案】C【分析】本题考查了实数与向量相乘，向量的相关定义，根据其运算法则进行计算即可求解．【详解】解：A ．∵a 为非零向量，且3a b =- ，∴13a b =- ，正确，故本选项不符合题意；B ．∵a 为非零向量，且3a b =-，∴3b a = ，正确，故本选项不符合题意；C ．∵a 为非零向量，且3a b =- ，∴30b a += ，原说法错误，故本选项符合题意；D ．∵a 为非零向量，且3a b =-，∴b a ∥，故本选项不符合题意；故选：C ．5.如果点D 、E 分别在△ABC 的两边AB 、AC 上，下列条件中可以推出DE ∥BC 的是()A.23AD BD =，23CE AE = B.23AD AB =，23DE BC =C.32AB AD =,12EC AE = D.43AB AD =，43AE EC =【答案】C【分析】根据各个选项的条件只要能推出AD AE AB AC =或AB ACAD AE=，即可得出△ADE ∽△ABC ，推出∠ADE=∠B ，根据平行线的判定推出即可．【详解】解：A 、根据23AD BD =和23CE AE =，不能推出DE ∥BC ，故本选项错误；B 、根据23AD AB =和23DE BC =，不能推出DE ∥BC ，故本选项错误；C 、∵12EC AE =，∴32AC AE =，∵32AB AD =，∴AB AD =ACAE∵∠A=∠A ，∴△ABC ∽△ADE ，∴∠ADE=∠B ，∴DE ∥BC ，故本选项正确；D 、根据AB AD =43和AE EC =43,不能推出DE ∥BC ，故本选项错误；故选C ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，解题的关键是推出△ABC ∽△ADE ．6.已知在ABC 与A B C ''' 中，点D D '、分别在边BC B C ''、上，（点D 不与点B C 、重合，点D ¢不与点B C ''、重合）．如果ADC △与'''A D C △相似，点A D 、分别对应点A ''、D ，那么添加下列条件可以证明ABC 与A B C ''' 相似的是（）①AD A D ''、分别是ABC 与A B C ''' 的角平分线；②AD A D ''、分别是ABC 与A B C ''' 的中线；③AD A D ''、分别是ABC 与A B C ''' 的高．A.①② B.②③C.①③D.①②③【答案】A【分析】本题考查添加条件证明三角形相似，根据ADC △与'''A D C △相似，可得C C '∠=∠，DAC D A C '''∠=∠，AC DCA C D C =''''，再根据相似三角形的判定方法逐项判断即可．【详解】解： ADC △与'''A D C △相似，点A D 、分别对应点A ''、D ，∴C C '∠=∠，DAC D A C '''∠=∠，AC DCA C D C =''''，①AD A D ''、分别是ABC 与A B C ''' 的角平分线时：2BAC DAC ∠=∠，2B A C D A C ''''''∠=∠，∴BAC B A C '''∠=∠，又∴C C '∠=∠，∴ABC A B C '''∽ ；故①正确；②AD A D ''、分别是ABC 与A B C ''' 的中线时，2BC DC =，2B C D C ''''=，∴BC DCB C D C=''''，∴AC BCA CBC =''''，又∴C C '∠=∠，∴ABC A B C '''∽ ；故②正确；③AD A D ''、分别是ABC 与A B C ''' 的高时，现有条件不足以证明ABC A B C '''∽ ，故③错误；综上可知，添加①或②时，可以证明ABC 与A B C ''' 相似故选A ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7.如果53(,x y x y =均不为零），那么():x x y +的值是____________．【答案】38【分析】本题考查的是比例的基本性质，令3x a =，则5y a =，然后化简整理即可求得．令3x a =，则5y a =，，()():33538x x y +=+=：：，即可作答．【详解】解：根据题意，可令3x a =，则5y a =，因此，()():3353838x x y a a a a a +=+==：：：．故答案为：38．8.式子2cos30tan45︒-︒的值是______．【答案】1-##1-【分析】直接将特殊角的三角函数值代入计算即可解答．【详解】解：32cos30tan452112︒-︒=⨯-=．1．【点睛】本题主要考查了三角函数的混合运算，牢记特殊角的三角函数值成为解答本题的关键．9.已知线段a=3cm ，b=4cm ，那么线段a 、b 的比例中项等于_______cm ．【答案】【详解】试卷分析：根据线段的比例中项的定义列式计算即可得解．∵线段a=3cm ，b=4cm ，∴线段a 、b 的比例中项=cm ．故答案为考点：比例线段．10.若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是_________.【答案】4∶9【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，∴这两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们的面积比是4：9．故答案为：4：9．考点：相似三角形的性质．11.如图，////AB CD EF ，如果:2:3,10AC CE BF ==，那么线段DF 的长是__________．【答案】6【分析】根据平行线分线段成比例定理结合比例解答即可．【详解】解：∵////AB CD EF ，:2:3,AC CE =∴23BD AC DF CE ==∵10BF =∴31065DF =⨯=．故答案为6．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活应用平行线分线段成比例定理列出比例式是解答本题的关键．12.二次函数()2f x ax bx c =++图像上部分点的坐标满足下表：那么()5f -=____________．x ⋯3-2-1-01⋯()f x ⋯3-2-3-6-11-⋯【答案】11-【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了抛物线的对称性．利用表中数据确定抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称性求解．【详解】解：利用表中数据得抛物线的对称轴为直线2x =-，所以5x =-和1x =时的函数值相等，即当5x =-时，y 的值为11-．故答案为：11-．13.已知向量a 与单位向量e 方向相反，且3a = ，那么a = ____________________（用向量e 的式子表示）【答案】3e- 【分析】此题考查了平面向量的知识，由向量a 与单位向量e 方向相反，且3a = ，根据单位向量与相反向量的知识，即可求得答案．【详解】解：∵向量a 与单位向量e 方向相反，且3a = ，∴3a e =- ．故答案为：3e - ．14.已知一条斜坡的长度为13米，高度为5米，那么该斜坡的坡度为____________．【答案】1:2.4【分析】本题考查坡度，先利用勾勾股定理求出水平距离，然后利用公式计算是解题的关键．【详解】解：如图，13AB =，5AE =，∴12BE ===，∴斜坡的坡度为i :5:121:2.4AE BE ===，故答案为：1:2.4．15.如图，在ABC 中，AD 是BC 上的高，且5,3BC AD ==，矩形EFGH 的顶点F G 、在边BC 上，顶点E H 、分别在边AB 和AC 上，如果2EH EF =，那么EH =____________．【答案】3011【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，通过四边形EFGH 为矩形推出EH BC ，因此AEH 与ABC 两个三角形相似，将AM 视为AEH 的高，可得出::AM AD EH BC =，再将数据代入计算是本题的关键．【详解】解：设AD 与EH 交于点M ．∵四边形EFGH 是矩形，∴EH BC ，∴AEH ABC ∽，∵AM 和AD 分别是AEH 和ABC 的高，∴::AM AD EH BC =,DM EF =，∴3AM AD DM AD EF EF =-=-=-，∵2EH EF =，代入可得：3235EF EF -=，解得1511EF =，∴153021111EH =⨯=，故答案为：3011．16.如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，点G 是ABC 的重心，联结GA GC 、，如果533AC AG ==，，那么GCA ∠的余切值为____________．【答案】23【分析】延长CG 交AB 于F ，过G 作GD AC ⊥于G ，直线DG 交BC 于E ，证明DCE ACB ∽V V ，得CD DE AC AB =，同理可得DG CD CG GE AF AC CF BF ===，即有DE CG AB CF=，根据G 为ABC 的重心，3AC =，得2DE =，设tan ACG x ∠=，根据勾股定理列式计算53AG ===可得答案．【详解】解：过G 作GD AC ⊥于G ，延长CF 交AB 于点F ，如图：∵90GD AC BAC ⊥∠=︒，，∴DE AB ∥，90CDE BAC ==︒∠∠，∵DCE ACB ∠=∠，∴DCG ACF ∽，∴CD DG CG AC AF CF==，∵G 为ABC 的重心，∴23CD DG CG AC AF CF ===，∵3AC =，∴21CD AD ==，，∴2243DG AG AD =-=，则在直角三角形CDG 中，423tan 23DG ACG CD ∠===，故答案为：23【点睛】本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，难度较大，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形．17.我们把顶角互补的两个等腰三角形叫做友好三角形．在ABC 中，10AB AC ==，点D E 、都在边BC 上，5AD AE ==，如果ABC 与ADE V 是友好三角形，那么BC 的长为____________．【答案】5【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程．如图，过过点A 作AF BC ⊥于点F ．证明FAD FBA ∽，推出51102AD AF DF AB FB AF ====，设DF EF x ==，这24AF x BF x ==，，构建方程求解．【详解】解：如图，过点A 作AF BC ⊥于点F ．∵AB AC AD AE AF BC ==⊥，，，∴DF EF BF FC BAF CAF DAF EAF ==∠=∠∠=∠，，，，∵180BAC DAE ∠+∠=︒，∴22180BAF DAF ∠+∠=︒，∴90BAF DAF ∠+∠=︒，∵90BAF B ∠+∠=︒，∴∠=∠DAF B ，∵90AFD AFB ∠=∠=︒，∴FAD FBA ∽，∴51102AD AF DF AB FB AF ====，设DF EF x ==，这24AF x BF x ==，，∵222AB AF BF =+，∴()()2221024x x =+，∴5x =，∴285BC BF x ===故答案为：85．18.如图，在矩形ABCD 中，8,4,AD AB AC ==是对角线，点P 在边BC 上，联结DP ，将DPC △沿着直线DP 翻折，点C 的对应点Q 恰好落在ADC △内，那么线段BP 的取值范围是____________．【答案】46BP <<【分析】本题考查矩形的折叠问题，相似三角形的判定和性质等，计算出点Q 恰好落在AD 边上，以及点Q 恰好落在AC 边上时BP 的值，即可得出线段BP 的取值范围．【详解】解：当点C 的对应点Q 恰好落在AD 边上时，如图：由折叠的性质知CD QD =，CP QP =，90PQD PCD ∠=∠=︒，又 矩形ABCD 中，90ADC ∠=︒，∴四边形QDCP 是正方形，∴4CP CD AB ===，∴844BP BC CP AD CP =-=-=-=；当点C 的对应点Q 恰好落在AC 边上时，如图，由折叠的性质知PD CQ ⊥，∴90PDC ACD ∠+∠=︒，又 矩形ABCD 中，90ADC ∠=︒，∴90CAD ACD ∠+∠=︒，∴PDC CAD ∠=∠，又 90PCD CDA ∠=∠=︒，∴PDC CAD ∽，∴PC CD CD AD =，即448PC =，∴2PC =，∴826BP BC PC =-=-=，∴线段BP 的取值范围是46BP <<．故答案为：46BP <<．三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19.已知抛物线2241y x x =++．（1）用配方法把2241y x x =++化为2()y a x m k =++的形式，并写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）如果将该抛物线上下平移，得到新的抛物线经过点()1,4，求平移后的抛物线的顶点坐标．【答案】（1）该抛物线的开口向上，对称轴是直线=1x -，顶点坐标为(1,1)--（2）(1,4)--【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．（1）利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．（2）设平移后的抛物线解析式为22(1)y x =+1k -+，代入点(1,4)，求得k 的值即可求解．【小问1详解】解：2241y x x =++()222121x x =++-+22(1)1x =+-，∴该抛物线的开口向上，对称轴是直线=1x -，顶点坐标为(1,1)--；【小问2详解】设平移后的抛物线解析式为22(1)y x =+1k -+，∵新的抛物线经过点(1,4)，∴24221k =⨯-+，解得3k =-，∴平移后的抛物线解析式为22(1)4y x =+-，∴平移后的抛物线的顶点坐标是(1,4)--．20.在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE AC 、相交于点F ．（1）设,AB a AD b == ，试用a b 、表示EF；（2）先化简，再求作：()()3222a b a b +-+ （直接作在图中）．【答案】（1）1136a b - （2）12a b -- ，见详解【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理和平面向量，()1根据题意得AD BC ∥和BC AD =，进一步得到AE EF BC FB =，则1132EF DA AB ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，代入向量即可．()2化解得12a b -- ，将对应线段代入得到()AB AE -+ ，过点E 作EG AB ∥，则AE BG = ，1=2a b GA -- ，连接GA 即可．【小问1详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC ∥，BC AD =，∴AFE CFB ∽，则AE EF BC FB=，∵点E 是AD 的中点，∴12AE AD =，则12EF FB =，∴()1111123332EF FB EB EA AB DA AB ⎛⎫===+=+ ⎪⎝⎭ ，∵,AB a AD b == ，∴1111=3236EF b a a b ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ ．【小问2详解】()()3312223222a b a b a b a b a b +-+=+--=-- ，∵,AB a AD b == ，∴()1122a b AB AD AB AE AB AE --=--=--=-+ ，过点E 作EG AB ∥，则AE BG = ，∴()()1===2a b AB AE AB BG AG GA --=-+-+- ，如图，GA即为所求．21.如图，在四边形ABCD 中，90BAD AC BC DE AC ∠=⊥︒⊥，，，垂足为点43E AC DE ==，，．（1）求:AD AB 的值；（2）BD 交AC 于点F ，如果1tan 2BAC ∠=，求CF 的长．【答案】（1）3:4（2）1CF =【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、解直角三角形：（1）根据90BAD AC BC DE AC ∠=⊥︒⊥，，，得90AED ACB ∠=∠=︒，EAD ABC ∠=∠，证明AED BCA △∽△，结合相似三角形的性质，得:AD AB 的值；（2）根据相似三角形的性质且1tan 2BAC ∠=，得2BC =， 1.5AE =，再证明BCF DEF ∽，列式代数计算，即可作答．【小问1详解】解：∵90BAD AC BC DE AC∠=⊥︒⊥，，∴90AED ACB ∠=∠=︒，90BAC DAE BAC ABC∠+∠=︒=∠+∠∴EAD ABC ∠=∠，∴AED BCA△∽△则::3:4AD AB DE AC ==【小问2详解】解：如图：∵AED BCA △∽△，1tan 2BAC ∠=，∴11242BC BC BAC ADE AC ==∠=∠，，，∴2BC =，∴1tan 32AE AE ADE ED ∠===，得 1.5AE =，∴4 1.5 2.5EC AC AE =-=-=，∵AC BC DE AC ⊥⊥，，∴90BCF DEF ∠=∠=︒，∵BFC DFE ∠=∠，∴BCF DEF ∽，即BC CF DE EF=，∴23 2.5CF CF =-，解得1CF =．22.小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．测量方法：如图2，人眼在P 点观察所测物体最高点C ，量角器零刻度线上A B 、两点均在视线PC 上，将铅锤悬挂在量角器的中心点O ．当铅锤静止时，测得视线PC 与铅垂线OD 所夹的角为α，且此时的仰角为β．实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼EF 的高度．他先站在水平地面的点H 处，视线为GE ，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为60︒；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点R 处，视线为QE ，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为45︒．问题解决：（1）请用含α的代数式表示仰角β；（2）如果GH QR EF 、、在同一平面内，小明的眼晴到水平地面的距离为1.6米，求大楼EF 的高度．（结果保留根号）【答案】（1）90βα=︒-（2）()6.6米【分析】本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）延长OD 交PK 于L ，根据题意可得：OL PK ⊥，从而可得：90OLP ∠=︒，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答；（2）延长GQ 交EF 于点M ，根据题意可得： 1.6GM EF GH QR MF ⊥===，米，10GQ HR ==米，然后设EM x =米，分别在Rt EGM 和Rt EQM 中，利用锐角三角函数的定义求出GM 和QM 的长，从而列出关于x 的方程，进行计算即可解答．【小问1详解】解：如图：延长OD 交PK 于L ，由题意得：OL PK ⊥，∴90OLP ∠=︒，∵POD α∠=，∴9090OPL POD α∠=︒-∠=︒-，∴90βα=︒-；【小问2详解】解：延长GQ 交EF 于点M ，由题意得： 1.610GM EF GH QR MF GQ HR ⊥=====，m，m ，设EM x =米，在Rt EGM 中，60GEM ∠=︒，∴tan60GM EM =⋅︒=（米），在Rt EQM 中，45QEM ∠=︒，∴45QM EM tan x =⋅︒=（米），∵GM QM GQ -=，10x -=解得：5x =∴()5EM =米，∴()5 1.6 6.6EF EM FM =+=+=米，∴大楼EF 的高度为()6.6+米．23.如图，在ABC 中，点,D E 分别是,BC AD 的中点，且AD AC =，连接CE 并延长交AB 于点F ．（1）证明：ABC ECD ∽；（2）证明：4BF EF =．【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质：（1）根据等边对等角可得EDC ACB ∠=∠，再证这组夹角的两边成比例即可；（2）作DH CF ∥交AB 于点H ，可证BHD BFC ∽，AFE AHD ∽，推出12HD BD FC BC ==，12FE AE HD AD ==，进而可得4FC EF =，再根据ABC DCE ∽得出FBC FCB ∠=∠，推出CF BF =，等量代换可证4BF EF =．【小问1详解】证明： AD AC =，∴ADC ACD ∠=∠，即EDC ACB ∠=∠，又 点,D E 分别是,BC AD 的中点，∴12DC CB =，1122ED AD AC ==，∴12DC ED CB AC ==，∴AC ED CB DC=，∴ABC ECD ∽；【小问2详解】证明：如图，作DH CF ∥交AB 于点H ，DH CF ∥，∴BHD BFC ∠=∠，BDH BCF ∠=∠；AFE AHD ∠=∠，AEF ADH ∠=∠，∴BHD BFC ∽，AFE AHD ∽，又 点,D E 分别是,BC AD 的中点，∴12HD BD FC BC ==，12FE AE HD AD ==，∴2FC HD =，2HD FE =，∴4FC EF =，由（1）得ABC ECD ∽，∴ABC ECD ∠=∠，即FBC FCB ∠=∠，∴CF BF =，∴4BF EF =．24.已知抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，直线6y x =--经过点A 与点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 在线段AC 下方的抛物线上，过点P 作BC 的平行线交线段AC 于点D ，交y 轴于点E ．①如果C F 、两点关于抛物线的对称轴对称，联结DF ，当DF CF ⊥时，求PDF ∠的正切值；②如果:3:5PD DE =，求点P 的坐标．【答案】（1）21262y x x =+-（2）①13②1532⎛⎫- ⎪⎝⎭，【分析】（1）先由一次函数求出()()6060A C --，，，，再运用待定系数法求二次函数解析式，即可作答．（2）①依题意，得DF CF ⊥，PE BC PDF ACB ∠=∠ ，，根据角的等量代换，即PDF OCB ∠=∠，先求出点B 的坐标．PDF ∠的正切值等于21tan 63OB OCB OC ∠===；②先表达出21062E p p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，22111168484D p p p p ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭，，21262P p p p ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，，23438EN p p -=，3EM p =-再根据相似三角形的性质与判定，列式化简计算，即可作答．【小问1详解】解：∵直线6y x =--经过点A 与点C则当06x y ==-，；06y x ==-，∴()()6060A C --，，，∴60186c b c =-⎧⎨=-+⎩，，解得62c b =-⎧⎨=⎩21262y x x =+-；【小问2详解】解：①如图：∵()()6060A C --，，，，且C F 、两点关于抛物线21262y x x =+-的对称轴对称，∴6F c y y ==-，221222b x a =-=-=-⨯则4F x =-∵DF CF⊥∴DF y ∥轴则FDC OCA∠=∠∵过点P 作BC 的平行线交线段AC 于点D ，交y 轴于点E ．∴PE BC PDF ACB∠=∠ ，则PDF OCB∠=∠∵21262y x x =+-x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），∴210262x x =+-∴6x =-，2x =∴()20B ，∵PDF OCB∠=∠则PDF ∠的正切值等于21tan 63OB OCB OC ∠===；②设21262P p p p ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，，BC 的解析式为y mx n =+∴把()()0620C B -，，，代入y mx n =+得602n m n=-⎧⎨=+⎩解得63n m =-⎧⎨=⎩∵过点P 作BC 的平行线交线段AC 于点D ，交y 轴于点E∴设PE 的解析式为3y x b=+把21262P p p p ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，代入3y x b =+得2162p p b =--∴21623y x p p =--+令0x =，2162p p y =--即21062E p p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当261362y x y x p p =--⎧⎪⎨=+--⎪⎩解得21184x p p +=-则把21184x p p +=-代入21623y x p p =--+得211684y p p =--∴22111168484D p p p p ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭，∵过点P 作PM y ⊥轴，过点D 作DN y ⊥轴，∴EDN EPM∽∴EN DE EM EP=∵:3:5PD DE =∴58EN EM =∶∶∵21062E p p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，22111168484D p p p p ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭，，21262P p p p ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，∴222111336628484EN p p p p p p ⎛⎫=-----=- ⎪⎝⎭，2211626322EM p p p p p ⎛⎫=---+-=- ⎪⎝⎭∴23358348p p p --=∶∶解得1103p p ==-，∵点P 在线段AC 下方的抛物线上，∴10p =（舍去）∴3p =-．把3p =-代入21262y p p =+-∴19241592362222y =⨯-⨯-=-=∴点P 的坐标1532⎛⎫- ⎪⎝⎭，【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．25.已知ABC 中，2ABC C ∠=∠，BG 平分ABC ∠，8AB =，163AG =，点D ，E 分别是边BC ，AC 上的点（点D 不与点B ，C 重合），且ADE ABC =∠∠，AD ，BG 相交于点F ．（1）求BC 的长；（2）如图1，如果2BF CE =，求:BF GF 的值；（3）如果ADE V 是以AD 为腰的等腰三角形，求BD 长．【答案】（1）10（2）278（3）325【分析】（1）证明ABG CAB ∽ ，再根据相似三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，即可得到答案；（2）过点F 作FM AB ⊥于点M ，FN BD ⊥于点N ，先证明ABF DCE ∽ ，进一步求得6BD =，接着利用面积法证明4=3AF DF ，设4AF x =，证明FAG EAD ∽ ，求得3221FG =，即可进一步求得答案；（3）先证明CDE CBG ∽ ，可得32CD CE =，再利用等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质逐步求得43FG =，最后证明AFG ADE ∽ ，进一步求出125CE =，即可得到答案．【小问1详解】BG 平分ABC ∠，22ABC ABG GBC ∴∠=∠=∠，2ABC C ∠=∠ ，ABG C GBC ∴∠=∠=∠，BAG CAB ∠=∠ ，ABG ACB ∴∽ ，AB AG BG AC AB CB ∴==，16838BG AC CB ∴==，12AC ∴=，32BC BG =，16201233CG AC AG ∴=-=-=，C GBC ∠=∠ ，203BG CG ∴==，3102BC BG ∴==；【小问2详解】过点F 作FM AB ⊥于点M ，FN BD ⊥于点N ，ADE ABC ∠=∠ ，ADE CDE ABC FAB ∠+∠=∠+∠，FAB EDC ∴∠=∠，又ABG C ∠=∠ ，ABF DCE ∴∽ ，AB AF BF CD DE CE∴==，2BF CE = ，142CD AB ∴==，2AF DE =，1046BD BC CD ∴=-=-=，BG 平分ABC ∠，FM FN ∴=，142132ABF DBF AB FM S AF S DF BD FN ⋅∴===⋅ ，设4AF x =，则3DF x =，7AD x =，2DE x =，2AGF GBC C C ABC ∠=∠+∠=∠=∠ ，ADE ABC =∠∠，AGF ADE ∴∠=∠，又FAG EAD ∠=∠ ，FAG EAD ∴∽ ，AG FG AD ED ∴=，16372FG x x ∴=，3221FG ∴=，367BF BG FG ∴=-=，3627732821BF GF ∴==；【小问3详解】ADE 是以AD 为腰的等腰三角形，AD AE ∴=，ADE AED ∴∠=∠，AGF ADE ∠=∠ ，AGF AED ∴∠=∠，BG DE ∴∥，CDE CBG ∴∽ ，CE CD CG CB ∴=，20103CE CD ∴=，32CD CE ∴=，BG DE ∥ ，AFG ADE ∴∠=∠，GBC EDC ∠=∠，AFG AGF ∴∠=∠，163AF AG ∴==，FAB EDC ∠=∠ ，ABG GBC C ∠=∠=∠，FAB ABG ∴∠=∠，EDC C ∠=∠，163BF AF ∴==，CE DE =，43FG BG BF ∴=-=，BG DE ∥ ，AFG ADE ∴∽ ，AG FG AE DE ∴=，1643312CE CE ∴=-，解得125CE =，3321225BD BC CD CE ∴=-=-=．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，利用面积比求线段比等知识与方法，灵活运用相关知识与方法是解答本题的关键．。
广东省佛山市南海区大沥镇初级中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(含答案)
2023-2024学年度第一学期第10周大沥镇九年级阶段性教学质量监测九年级数学试题试卷说明：本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟。
答题前，学生务必将自己的姓名等信息按要求填写在答题卡上；答案必须写在答题卡各题目指定区域内；考试结束后，只需将答题卡交回。
一、选择题（共10小题，共30分）1．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．B ．C ．D．2．矩形、菱形都具有的性质是（ ）A ．对角线互相垂直B ．对角线互相垂直且相等C ．对角线相等D．对角线互相平分3．下列四组线段中，不成比例的是（ ）A．3，9，2，6B ．1C ．1，2，3，9D ．1，2，4，84．在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同的2张卡片，分别标有数字1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．5．关于x 的一元二次方程的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根6．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于点O ，于点H ．若，，则DH 的长度为（）A ．B ．C ．D ．47．某山区为估计山区内鸟的数量，先捕捉40只鸟给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的鸟完全混合于鸟群后，第二次捕捉120只鸟，发现其中4只有标志，从而估计该山区有鸟（ ）A ．800只B ．1200只C ．1600只D ．2000只8．如图，D 为中AC 边上一点，则添加下列条件不能判定的是（）210x +=2310x x -+=21x y +=2112x -=121314342230x x +-=DH BC ⊥8AC =6BD =485365245ABC △ABC BDC △∽△A ．B ．C ．D．9．如图，一农户要建设一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的门，花圃面积为，设与墙垂直的一边长为，则可以列出方程是（）A ．B ．C ．D ．10．如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ．过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若，，下列结论：①；②；③点B 到直线AE 的距离为．其中正确结论的序号是（ ）A ．①②B．①②③C ．①②④D ．①③④二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．一元二次方程的解是________．12．如图，矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于O 点．若，，则BC 的长为________．13．学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A 盘被分成面积相等的几个扇形，B 盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小李同学同时转动A 盘和B 盘，她赢得游戏的概率是________．A CBD ∠=∠ABC BDC ∠=∠2BC AC CD=⋅AB BDAC BC=12m 25m 1m 280m m x (262)80x x -=(242)80x x -=(1)(262)80x x --=(252)80x x -=1AE AP ==PB =APD AEB △≌△EB ED ⊥1APD APB S S +=+△△22x x =60AOB ∠=︒8AC =120︒14．已知a 是方程的一个根，则代数式的值是________．15．某数学竞赛组，每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，共照相片45张，则该组的人数是________．16．如图，在矩形ABCD 中，，，P 是CD 边上的一个动点，则当与相似时，________．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）17．解方程：．18．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3月每个月生产成本的下降率都相同，求每个月生产成本的下降率．19．如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：________，________；（2）判断与是否相似？并证明你的结论．四、解答题（二）（本大题4小题，每小题8分，共32分）20．在不透明的口袋中装有1个白色、1个红色和若干个黄色的乒乓球（除颜色外其余都相同），小明为了弄清黄色乒乓球的个数，进行了摸球的试验（每次只摸一个，记录颜色后放回，搅匀后重复上述步骤），下表是试验的部分数据：摸球次数8018060010001500摸到白球次数2146149251373摸到白球的概率0.26250.2560.24830.2510.249（1）请你估计：摸出一个球恰好是白球的概率大约是________（精确到0.01），黄球有________个；（2）如果从上述口袋中，同时摸出2个球，求结果是一红一黄的概率．21．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是AB 的中点，连接OE ，过点B 作交OE 的延长线于点F ，连接AF ．22710x x --=(27)5a a -+10AB =4AD =ADP △BCP △DP =2430x x --=44⨯ABC △DEF △ABC ∠=BC =ABC △DEF △BF AC ∥（1）求证：四边形AOBF 为矩形；（2）若，，求菱形ABCD 的面积．22．已知关于x 的一元二次方程．（1）试证：无论m 取任何实数，方程都有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根，为菱形的两条对角线长，是否存在m 值，，存在求出m 值，不存在说明理由．23．某商场销售一批衬衫，每件可盈利40元，平均每天可售出20件．为了扩大销售量，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）该商场平均每天盈利能达到1500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由．五、解答题（三）（本大题2小题，第24题10分，第25题12分，共22分）24．如图，矩形OABC 的边OC 、OA 分别在x 轴和y 轴上，顶点B 在第一象限，点D 在OC 的延长线上，已知，且．把沿矩形OABC 的对角线OB 翻折后，顶点A 恰好落在线段AD 的中点处．（1）求的度数；（2）求折痕与AD 的交点坐标；（3）已知点P 是直线AD 上的一个动点，在这个坐标平面内是否存在点Q ，使得以O 、A 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图，已知：在矩形ABCD 中，，，点P 从点B 出发，沿BC 方向匀速运动，速度为；与点P 同时，点Q 从D 点出发，沿DA 方向匀速运动，速度为；过点Q 作，交DC 于点E ．设运动时间为，，解答下列问题：OE =2BD AC =2(1)2(3)0x m x m ---+=1x 2x 1OC =OD OA OC >>OAB △A 'AOB ∠6cm AB =8cm BC =2cm/s 1cm/s QE AC ∥(s)t (04)t <<备用图备用图（1）当时，BP 长为________，AQ 长为________；（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使PQ 平分？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）当时，是否存在某一时刻t ，使是直角三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．83t =cm cm APC ∠803t <<PQE △2023-2024学年度第一学期第10周大沥镇九年级阶段性教学质量监测九年级数学参考答案与评分标准一、选择题（每题3分，共30分）题号12345678910答案BDCAACBDAB二、填空题（每题3分，共18分）11．， 12．13． 14．6；15．10 16．2或5或8三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）以下评分细则仅供参考．17．解：移项得， 1分配方得， 2分即，3分开方得，4分∴，．6分（其他解法酌情给分）18．解：（1）设每个月生产成本的下降率为x ，1分根据题意得：，3分解得：，（不合题意，舍去）． 5分答：每个月生产成本的下降率为5%． 6分19．（1）解：；2分（2）．证明：∵在的正方形方格中，，，∴． 3分∵，，，∴，． 4分∴5分∴．6分10x =212x =13243x x -=24434x x -+=+2(2)x -=2x -=12x =+22x =-2400(1)361x -=10.055%x ==2 1.95x =135︒ABC DEF △∽△44⨯135ABC ∠=︒9045135DEF ∠=+=︒︒︒ABC DEF ∠=∠2AB =BC =2FE =DE =AB DE ==BC FE ==AB BCDE FE=~ABC DEF △△20．解：（1）0.25；2 3分（2）第一盏灯第二盏灯白红黄黄白（白，红）（白，黄）（白，黄）红（红，白）（红，黄）（红，黄）黄（黄，白）（黄，红）（黄，黄）黄（黄，白）（黄，红）（黄，黄）共有12种等可能结果，其中一红一黄有4种：（红，黄），（红，黄），（黄，红），（黄，红）∴P （一红一黄）． 8分（列表或树状图2分，满足要求说明2分，概率2分）21．（1）证明：∵，∴，E 是AB 的中点，∴，在和中，，∴，∴，∴四边形AOBF 是平行四边形， 2分∵四边形ABCD 是菱形，∴，∴，∴平行四边形AOBF 为矩形； 4分（2）解：∵四边形ABCD 是菱形，∴，，，∴，点E 是AB 的中点，∴∵，∴，∵，∴，解得：（负值已舍去），6分41123==BF AC ∥BFE AOE∠=∠AE BE =AOE △BFE △AOE BFE OEA FEB AE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AOE BFE AAS △≌△EO EF =AC BD ⊥90AOB ∠=︒12OA OC AC ==12OB OD BD ==AC BD ⊥90AOB ∠=︒2AB OE ==2BD AC =2OB OA =222OA OB AB +=222(2)OA OA +=4OA =∴，，∴． 8分22．（1）证明：，，．1分．2分∵，∴，即，3分∴无论m 取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； 4分（2）解：由题意，∵菱形的对角线互相垂直，∴依据勾股定理，． 5分∴．又：∵，为方程的两个实数根，∴，．∴．∴． 6分∴．∴，．7分∵，为菱形的两条对角线长，∴，．∴，，均不符合题意．∴不存在．8分23．解：（1）设每件衬衫应降价x 元， 1分由题意，得， 3分即：，解，得，，4分28AC OA ==216BD AC ==118166422ABCD S AC BD =⋅=⨯⨯=菱形1a =(1)b m =--2(3)c m =-+22224[(1)]41[2(3)]625(3)16b ac m m m m m ∆=-=---⨯⨯-+=++=++2(3)0m +≥2(3)160m ++>0∆>()2221214x x =+()221212144x x +=1x 2x 2(1)2(3)0x m x m ---+=121x x m +=-122(3)x x m ⋅=-+()22212121221244x x x x x x +=+-⋅=⨯221(1)2[2(3)]44m m ---+=⨯2280m m +-=14m =-22m =1x 2x 1210x x m +=->122(3)0x x m ⋅=-+>14m =-22m =(40)(202)1200x x -+=(10)(20)0x x --=110x =220x =∵尽快减少库存，∴，所以，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元． 5分（2）假设能达到，由题意，得， 6分整理，得，，7分即：该方程无实根，所以，商场平均每天盈利不能达到1500元．8分24．解：（1）由翻折可知， 1分∵点是线段AD 的中点，且，，∴，∴等边三角形， 2分∴，∴3分（2）∵四边形OABC 是矩形，∴，，由（1）知，∴，在中，，解得，4分由翻折可知，在中，，解得， 4分∴设交点，作轴于点F ，∴，∵∴，∴5分∴∴，6分20x =(40)(202)1500x x -+=22607000x x -+=26024700360056000∆=-⨯⨯=-<OA OA '=12AOB A OB AOA ''∠=∠=∠A '90AOD ∠=︒OA A A ''=OA A A OA ''==OAA '△60AOA '∠=︒30AOB ∠=︒1AB OC ==90AOD ∠=︒30AOB ∠=︒22OB AB ==Rt AOB △22221OA =+OA =AE AE '=2AD A A '==Rt AOD △222OD =+3OD =14AE AD =(,)E x y EF y ⊥90AOD AOE ∠=∠=︒OAD OAD ∠=∠AOF BFD ∽△△EF AE AFOD AD OA==134EF ==34EF =AF =∴∴为所求．7分（本小题也可以用方程组的解就交点坐标来解决，也给满分）（3）存在，点Q 的坐标为，，． 10分25．解：（1），． 2分（2）存在．理由：如图1，当PQ 平分，则有，∵矩形ABCD 中，，，∴，，，，∴，∴，∴， 3分∴，由题意知：，且P 、Q 运动时间均为，∴，，∴，∵，∴，∴，4分解得：，， 5分∵，∴当PQ 平分． 6分OF =34E ⎛⎝132Q ⎛ ⎝232Q ⎛- ⎝33,2Q ⎛ ⎝163163APC ∠APQ CPQ ∠=∠6cm AB =8cm BC =AD BC ∥8cm AD BC ==6cm AB CD ==90B ∠=︒CPQ AQP ∠=∠APQ AQP CPQ ∠=∠=∠AP AQ =22AP AQ =2cm/s P v =1cm/s Q v =s t 2cm BP t =cm DQ t =8AQ AD DQ t =-=-90B ∠=︒222226(2)AP AB BP t =+=+2226(2)(8)t t +=-1t =2t =04t <<t =APC ∠图1（3）存在．理由：①当，如图3，∵，，∴，又∵，∴， 7分当运动时间为时，，由（2）可知，，，，，∴，即， 8分解得：或（∵，故舍去），9分图3②当时，如图4，过点P 作线段于点I ，∵，，∴，90QEP ∠=︒90QED EQD ∠+∠=︒90QED EQD ∠+∠=︒CEP DQE ∠=∠90QDE ECP ∠=∠=︒QDE ECP ∽△△s t cm QD t =3cm 4DE t =36cm 4EC DC DE t ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭2cm AP t =(82)cm CP t =-QD DE EC CP =3438264tt tt =--5623t =0t =803t <<0t =90PQE ∠=︒PI AD ⊥90EQD PQI ∠+∠=︒90QED EQD ∠+∠=︒PQI QED ∠=∠又∵，∴，当运动时间为时，，由（2）可知，，，∴，，∴，即， 10分解得：或，∵，故舍去，∴； 11分图4③当，不满足题意综上所述，或时，是直角三角形． 12分90QDE PIQ ∠=∠=︒QDE PIQ △∽△s t cm QD t =3cm 4DE t =2cm BP AI t ==82(83)cm QI AD QD AI t t t =--=--=-6cm PI AB ==PI IQQD DE =68334tt t-=76t =0t =803t <<0t =76t =90QPE ∠=︒5623t =76t =PQE △。
湖北省部分学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(含答案解析)
湖北省部分学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．点AB ．点8．如图，在⊙О中，弦AB A ．2B ．329．如图，P 为等边三角形ABC 4，5，则△ABC 的面积为（A ．25394+B ．10．如图，已知二次函数交点B 在(0,2)-和(0,1)C -①0abc >；②42a b c ++>A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题16．将二次函数223y x x=-++的图象在=+与新函数的图象恰有象如图所示．当直线y x b三、解答题17．按要求解方程：（1）x 2﹣x ﹣2＝0（公式法）；（2）2x 2+2x ﹣1＝0（配方法）．18．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求每次降价的百分率；(2)经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件．若每天要想获得504元的利润且尽快减少库存，每件应降价多少元？19．如图，点E 为正方形ABCD 外一点，90AEB ∠=︒，将Rt ABE 绕A 点逆时针方向旋转90︒得到,ADF DF 的延长线交BE 于H 点．（1）试判定四边形AFHE 的形状，并说明理由；（2）已知7,13BH BC ==，求DH 的长．20．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，且CD AB ⊥于点E ．(1)求证：BCO D ∠=∠(2)若42CD =，OE =21．在58⨯的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形(0,0)O ，(3,4)A ，(8,4)B 图，并回答问题：（1）将线段CB 绕点C 逆时针旋转90︒，画出对应线段（2）在线段AB 上画点E ，使45BCE ∠=（3）连接AC ，画点E 关于直线AC 的对称点22．某区某水产养殖户利用温棚养殖技术养殖白虾，并从原来的每年养殖两季提高至每年三季．市周期的70天里，销售单价P （元/千克）与时间第()()120140415040702t t P t t ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩，，（t 都为整数）函数关系如图所示．(1)求日销售量y 与时间t 的函数关系式；备用图（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一点，且位于第一象限，当参考答案：【点睛】此题主要考查旋转中心的确认，解题的关键是熟知旋转的性质特点8．D【分析】由圆周角定理可得∠【详解】解：∵∠ACB=45°，∴∠O=2∠ACB=90°，∵OA=OB，25+12）∵∠90,30ABC ACB ︒︒=∠=，AC 2,AB ∴=由勾股定理得：2BC AC AB =-∵将△BCP 绕点B 顺时针旋转60°∴△BPC BHG≅∆∴,60BP BH PBH ︒=∠=，HG =∴△PBH 是等边三角形，∴PH BP=∴PA PB PC PA PH HG++=++∴当点A ，点P ，点G ，点H 共线时，∵∠ABP PBH GBH ABP +∠+∠=∠∴∠150ABG ︒=∴∠30GBN ︒=∵GN AB⊥∴1123322GN BG ==⨯=，由勾股定理得，2BN BG NG =-∴235AN AB BN =+=+=∴22253AG AN NG =+=+=∴PA PB PC ++最小值为27∴3+b =0，解得b =-3；当直线y =x +b 与抛物线(y x =恰好有三个公共点，即()214x x b --=+有相等的实数解，整理得b =214-，所以b 的值为-3或214-，（2）∠BCE 为所求的角，点E 为所求的点（3）连接（5,0）和（0,5）点，与AC 的交点为【点睛】本题考查了作图-旋转变换，正方形的性质，全等三角形的性质和轴对称的性质，熟悉相关性质是解题的关键．22．(1)()2200170y x x =-+≤≤(2)第26天利润最大，最大利润为2738元∴∠QEP =∠QCP =60°.故答案为60；(2)∠QEP =60°.以∠DAC 是锐角为例.证明：如图2，∵△ABC 是等边三角形，∴AC =BC ，∠ACB =60°，∵线段CP 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CQ ，∴CP =CQ ，∠PCQ =60°，∴∠ACB +∠BCP =∠BCP +∠PCQ ，即∠ACP =∠BCQ ，在△ACP 和△BCQ 中，CA CB ACP BCQ CP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△BCQ (SAS )，∴∠APC =∠Q ，∵∠1=∠2，∴∠QEP =∠PCQ =60°；(3)连结CQ ，作CH ⊥AD 于H ，如图3，与(2)一样可证明△ACP ≌△BCQ ，∴AP =BQ ，由于A（4，0），B（1，3）∴3=32ABPPMS=△，∴3=32ABPPNS=△，易得∠BAC=45°，若BAG OBC BAO ∠+∠=∠则∠OBC=∠GAE，∴△BOC∽△AGE，即∠+∠=∠，若BAG OBC BAO则∠OBC=∠GAO，。
第23章 解直角三角形数学九年级上册-单元测试卷-沪科版(含答案)
第23章解直角三角形数学九年级上册-单元测试卷-沪科版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，A点坐标为（5，0），直线y=x+b（b＞0）与y轴交于点B，连接AB，=75°，则b的值为（）A.3B.C.4D.2、如图，要测量河两相对的两点P、A之间的距离，可以在AP的垂线PB上取点C，测得PC＝100米，用测角仪测得∠ACP＝40°，则AP的长为（）A.100sin40°米B.100tan40°米C. 米D. 米3、某公司要在如图所示的五角星（∠A=∠D=∠H=∠G=∠E=36°，AB=AC=CE=EF=FG=GI=HI=HK=DK=DB）中，沿边每隔25厘米装一盏闪光灯，若BC=（﹣1）米，则需要安装闪光灯（）A.79盏B.80盏C.81盏D.82盏4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，下列结论正确的是（）A.sinA=B.tanA=C.cosB=D.tanB=5、△ABC在网络中的位置如图所示，则cos∠ACB的值为（）A. B. C. D.6、如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点，点的对应点为点，连接、、与交于点，与交于点，若点为中点，，，则的长为（）A. B. C. D.7、已知a=3，且（4tan 45°-b）2+，以a，b，c为边组成的三角形面积等于（）A.6B.7C.8D.98、如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AC=4，BD=2，则∠1的余弦值为（）A. B. C. D.9、如图，一个梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是2米．若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离（BC的长）为（）A. 米B. 米C. 米D. 米10、如图，在等腰中，，, 是上一点．若，那么的长为（）A.2B.C.D.111、如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A，D分别落在点A'，D'处，且A'D'经过点B，EF为折痕，当D'F⊥CD时，的值为（）A. B.C.D.12、在Rt△ABC,∠C=90°,AC=12,BC=5,则sinA的值为( )A. B. C. D.13、如图，在正方形网格中，∠1、∠2、∠3的大小关系（）A.∠1=∠2=∠3B.∠1＜∠2＜∠3C.∠1=∠2＞∠3D.∠1＜∠2=∠314、如图，修建抽水站时，沿着坡度为i=1:6的斜坡铺设管道. 下列等式成立的是（）A.sinα =B.cosα=C.tanα=D.tanα=215、如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为20°，若楔子沿水平方向前移8cm（如箭头所示），则木桩上升了（）A. 8tan20°B.6cos15°C.8tan15°D.6cot15°二、填空题(共10题，共计30分)16、用科学计算器计算：8cos31°+=________17、如图，点A、点B是双曲线y＝上的两点，OA＝OB＝6，sin∠AOB＝，则k＝________.18、如图，将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上，设此点为F，若AB：BC＝4：5，则tan∠CFD＝________.19、实数tan45°，，0，﹣π，﹣，sin60°，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1），其中无理数的个数是________个．20、如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知乙楼的高CD＝20m，则甲楼的高AB的高度是________m.（结果保留根号）21、如图，在△ABC中，CA =3， CB=4，AB= 5，点D是BC的中点，将△ABC沿着直线EF 折叠，使点A与点D重合，折痕交AB于点E，交AC于点F，那么sin ∠BED的值为________.22、如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC= ∠BAC，则tan∠BPC=________．23、计算：2sin60°+tan45°=________24、如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为________米．（精确到1米，参考数据：≈1.73）25、计算：3tan30°+sin45°=________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：﹣4 ﹣tan60°+| ﹣2|．27、如图，某公司入口处有一斜坡AB，坡角为12°，AB的长为3m，施工队准备将斜坡修成三级台阶，台阶高度均为hcm，深度均为30cm，设台阶的起点为C．（1）求AC的长度；（2）求每级台阶的高度h．（参考数据：sin12°≈0.2079，cos12°≈0.9781，tan12°≈0.2126．结果都精确到0.1cm）28、先化简，再求值：，其中a=2sin45°﹣tan30°，b=tan45°．29、如图，水库大坝的横截面是梯形，坝顶宽5米，CD的长为20 米，斜坡AB的坡度i＝1：2.5（i为坡比即BE：AE），斜坡CD的坡度i＝1：2（i为坡比即CF：FD），求坝底宽AD的长．30、如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏东70o方向上，轮船从A处以每小时30海里的速度沿南偏东50o方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时观测灯塔C位于北偏东25o 方向上，求灯塔C与码头B之间的距离(结果保留根号)．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、B3、B4、D5、B6、A7、A8、D9、A11、A12、D13、D14、C15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、28、。
2023_2024学年广东省中山市上册九年级期中数学模拟测试卷(附答案)
2023_2024学年广东省中山市上册九年级期中数学模拟测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．抛物线y＝（x＋1）2＋3的顶点坐标是（）A．（1，﹣3）B．（1，3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，﹣3）x2−3x=02．一元二次方程的解是（ ）x=3x1=0,x2=−3x1=0,x2=3x1=0,x2=3 A．B．C．D．y=x23．把抛物线的图象向上平移3个单位，再向右平移3个单位，所得函数解析式（）y=(x+3)2−3y=(x+3)2+3y=(x−3)2−3y=(x−3)2+3 A．B．C．D．x2+8x+9=04．将方程左边变成完全平方式后，方程是（）(x+4)2=7(x+4)2=25(x+4)2=−9(x+4)2=−7 A．B．C．D．5．如果2是方程x2-3x+k=0的一个根，则常数k的值为（ ）A．2B．1C．-1D．-2(m+4)x|m|‒2‒x‒5=06．若是关于x的一元二次方程，则m的值为（）‒4±4±2 A．4B．C．D．7．已知y=ax+b的图象如图所示，则y=ax2+bx的图象有可能是（ ）A．B．C．D．8．已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结−1−1−2k2k−3果是（）A．B．1C．D．9．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，其对称轴为x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③4a-2b＋c＜0；④若（－3，y1），（4，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中结论正确的是（ ）A．①②B．②③④C．②④D．①③④10．如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→C→B 运动，到达B 点即停止运动，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，设运动时间为x （s ），△ADP 的面积为y （cm 2），则能够反映y 与x 之间函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题 （每题3分，共18分）11． 已知点，在抛物线上，且，则．（填“<”或“>”A (x 1,y 1)B (x 2,y 2)y =x 2−30<x 1<x 2y 1y 2或“=”）12． 抛物线与轴的交点坐标是.y =(x−3)2−4y 13． 参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有个队参加比赛．14． 某药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，若平均每次下降百分率为x ，则所列方程为15． 三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实x 2−16x +60=0数根，则该三角形的面积是．16． 如图，在平面直角坐标系中，的顶点Rt △OAB A(−2,4)在抛物线上，直角顶点B 在x 轴上．将y =ax 2Rt △OAB绕点O 顺时针旋转得到，边与该抛物线交于点P ．90°△OCD CD 则的长为．CP 17．（本题4分）解方程：．x 2−6x +5=018．（本题4分）已知二次函数的图象经过点和点．求二次y =x 2+bx +c A (0，1)B (2，−1)函数的解析式．19．（本题6分）如图，某学校计划在长为20，宽为10的矩形地面上修建相同宽度的通m m 道（图中阴影部分），余下部分作为劳动实践基地，要使劳动实践基地的总面积为，求171m 2通道的宽．20．（本题6分）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体看成一点的路线是抛物线的一部分，如图所示．()y =−35x 2+3x +1求演员弹跳离地面的最大高度；(1)已知人梯高米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演(2)BC =3.4是否成功？请说明理由．21．（本题8分）已知关于x 的一元二次方程．kx 2+(1−2k )x +k−2＝0(1)若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；(2)当k 取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式的值．α2+β2+α+β+201922．（本题10分）如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米．(1)如果羊圈的总面积为300平方米，求边的长；AB (2)请问羊圈的总面积能为440平方米吗？若能，请求出边的长；若不能，请说明理由．AB 23．（本题10分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件． 若设每件衬衫降价元，x 商场平均每天赢利元．y (1)写出与之间的函数关系式，并化成一般式；y x (2)若商场平均每天赢利要达到1200元，且让顾客得到实惠，则每件衬衫应降价多少元？(3)若每件衬衫的盈利不少于30元，求每天盈利的最大值？24．（本题12分）如图所示，在中．，，，点P 从点Rt △ABC ∠B =90°AB =5cm BC =7cm A 开始沿边向点B 以的速度移动，点Q 从点B 开始沿边向点C 以的速度AB 1cm/s BC 2cm/s 移动．当P 、Q 两点中有一点到达终点，则同时停止运动．(1)如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么几秒后，的面积为．△PBQ 4cm 2(2)如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么几秒后，的长度等于．PQ 5cm (3)请用含t 的代数式表示并求出取值范围．PQ 2PQ 225．（本题12分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴交于O ，A 两点，y =−34x 2+3x 过点A 的直线与y 轴交于点C ，交抛物线于点D ．y =−34x +3(1)请写出点A ，C ，D 的坐标；(2)如图1，点B 是直线上方第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的AC AB BD △ABD 最大值；(3)如图2，若点M 在抛物线上，点N 在x 轴上，当以A ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形时，求点N 的坐标。
2023-2024学年江苏省扬州市邗江区九年级(上)期中数学试卷[含答案]
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2023-2024学年江苏省扬州市邗江区九年级（上）期中数学试卷一.选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题仅有一个答案正确，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置。
）1．（3分）下列属于一元二次方程的是（ ）A．ax2﹣3x+2＝0B．C．x2+5x＝0D．x（x2﹣4x）＝32．（3分）若⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）A．相交B．相切C．相离D．无法确定3．（3分）已知5个数a1、a2、a3、a4、a5的平均数是a，则数据a1+1，a2+1，a3+1，a4+1，a5+1的平均数为（ ）A．a+1B．a C．a D．2a4．（3分）若a+3b＝0，且ab≠0，则的值等于（ ）A．5B．﹣5C．6D．﹣65．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0，下列变形结果正确的是（ ）A．（x﹣2）2＝1B．（x﹣2）2＝7C．（x﹣4）2＝1D．（x﹣4）2＝76．（3分）一组数据26，32，32，36，46，■7，52进行统计分析，其中一个两位数的十位上的数字被墨水涂污看不到，则下列统计量与被涂污数字无关的是（ ）A．平均数B．中位数C．众数D．方差7．（3分）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（ ）A．15°B．28°C．29°D．34°8．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形对角线BD所在直线上的一个动点，连接AE，以AE为斜边作等腰Rt△AEF（点A，E，F按逆时针排序），则CF长的最小值为（ ）二.填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置。
）9．（3分）若关于x的方程（m+2）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程，则m的取值范围是 ．10．（3分）已知线段a＝2，b＝8，则a，b的比例中项是 ．11．（3分）超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如表：测试项目创新能力综合知识语言表达测试成绩（分数）708090将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5：3：2的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是 分．12．（3分）已知点O是△ABC的外心，且AO+BO＝6，则CO＝ ．13．（3分）某公司2月份的利润为160万元，4月份的利润250万元，则平均每月的增长率为 ．14．（3分）已知某组数据方差为S2＝，则的值为 ．15．（3分）如图，平面直角坐标系中，正方形EFBG和正方形ABCD是以O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，点F，B，C在x轴上，若AD＝6，则点G的坐标为 ．16．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根为x＝2023，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b+c＝0的根为 ．17．（3分）如图，由4个边长为1的小正方形组成的图形，若⊙O经过其顶点A、B、C，则圆心O到AB的距离为 ．18．（3分）如图，E是⊙O的直径AB上一点，AB＝10，BE＝2，过点E作弦CD⊥AB，P是上一动点，连接DP，过点A作AQ⊥PD，垂足为Q，则OQ的最小值为 ．三.解答题（本大题共10小题，共96分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案填写在答题纸相应位置。
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沪科版九年级上册数学期末测试卷
数学试题
（本试卷八个大题，23个小题。
满分150分，考试时间120分钟。
）姓名班级学号成绩
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1、若
3
2
b
a
=，则
a b
a
+
的值等于（）
A 1
2
B
5
2
C
5
3
D
5
4
2、将抛物线y=x2向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度所得的抛物线解析式为（）
A．y=(x-2)2+4 B. y=(x+2)2+4 C. y=(x-2)2-4 D. y=(x+2)2-4 3、下列函数在第一象限中，y的值随着x的增大而减小的是（）
A y=x2+1 B
2
y
x
= C y=x+1 D 1
y
x
=-
4、如图，已知△ABE∽△CDE，AD、BC相交于点E，△ABE与△CDE的AB:CD=2:5，若AE=2、BE=1，则BC
的长为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
第4题图第7题图第9题图
5、已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y=x2-1上，且0＜x1＜x2，则下列结论一定正确的是（）A．y1＞y2B．y1=y2C．y1＜y2．无法确定
6、已知反比例函数
ab
y
x
=的图象如右图所示，则二次函数y=ax2-2x和一次函数y=bx+a在同一平面直角坐
标系中的图象可能是（）
A B C D
7、如图，在△ABC中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③CP•AB= AP•CB；④AC2=AP•AB，能满足△APC与△ABC相似的条件是（）
A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③
8、已知二次函数y=ax2-2ax+3（其中x是自变量），当0＜x＜3时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为（）
A．0＜a＜1 B．a＜-1或a＞3 C．-3＜a＜0或0＜a＜3 D．-1≤a＜0或0＜a＜3
9、如图，P 是线段AB 的黄金分割点（PB> PA ），四边形ABCD 、四边形PBEF 都是正方形，且面积分别为S 1、S 2，四边形APMD 、四边形APFN 都是矩形，且面积分别为S 3、S 4，下列说法正确的是（ ） A 21512S S -=
B S 2=S 3
C 34512S S -=
D 41
512
S S -=
10．如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是边长为4的正方形，平行于对角线BD 的直线l 从点0 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l 与正方形没有交点为止．设直线l 扫过正方形OBCD 的面积为S ，直线l 运动的时间为t (秒)，下列能反映S 与t 之间函数关系的图像是（ ）
A
B C D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11、已知某二次函数，当x ＜1时，y 随x 的增大而减小；当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，请写出一个符合条件的二次
函数解析式
12、如图，在△ABC 中，P 为边AB 上一点，且∠APC=∠ACB ，若AP=4，AC=6，则BP 的长为 ．
第12题图 第13题图 第14题图
13、如图，点A 是反比例函数y ＝6x
-的图象上一点，过点A 作AB 垂直于y 轴，C ，D 在x 轴上，AD ∥BC ，则平行四边形ABCD 的面积是
14、如图，在四边形ABCD 中，AD=CD=4，AB=BC=3，DA ⊥AB ，DC ⊥BC ，E ，F 分别为AB ，AD 上的点．连结CF ，DE ，CF ⊥DE ． （1）当点E 与点B 重合时，CF= ． （2）若点E 不与点A ，B 重合，则
AF BE
= 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15、如图，已知：l 1∥l 2∥l 3，AB=2， BC=4，DF=12，求DE 的长.
16、已知二次函数图象的最高点是A(1，4)，且经过点B(0，3)，求该函数的表达式. 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17、为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练．在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A 距离地面的高度是85米，当铅球运行的水平距离为3米时，达到最大高度5
2
米的B 处．小丁此次投掷的成绩是多少米？
18、在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD （篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm,花园的面积为S．
（1）求S与x之间的函数表达式；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m,要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19、如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，连接AP、PD，∠APD=60°．
（1）求证：△ABP∽△PCD；
（2）若PC=2，求CD的长．
20、一个涵洞成抛物线形，它的截面如图，现测得：当水面宽AB=1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m，离开水面1.5m 处是涵洞宽ED.
（1）求抛物线的解析式；（2）求ED的长。
六、（本大题1小题，满分12分）
21、如图，一次函数y
1=kx+b（k≠0）与函数为y
2
＝
m
x
(x＞0)的图象交于A(4，1)，B(
1
2
，a)两点．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足y
1-y
2
＞0时x的取值范围；
（3）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图象于点Q，若△POQ的面积为3，求点P的坐标．
七、（本大题1小题，满分12分）
22、已知二次函数y=x2-2ax+4a+2.
（1）若该函数图象与x轴的一个交点为(-1，0)，求a的值；
（2）不论a取何实数，该函数图象总经过一个定点.
①求出这个定点坐标；②证明这个定点就是所有抛物线顶点纵坐标最大的点.
八、（本大题1小题，满分14分）
23、如图，已知抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A（-1，0)，B(5，0)两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点(与点C，B不重合)，过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由.
（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标.
答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B
A
B
D
C
C
A
D
B
D
11、 y=（x-1）2
； 12、5； 13、 6； 14、（1）245；（2）2425
； 15、 4； 16、
17、8米； 18、（1）；（2）195m 2
19、
20、（1）2154y x =-； （2）2
65
； 21、。