沪科版九年级上册数学期中考试试卷含答案
沪科版九年级数学上册期中测试卷【含答案】
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期中检测卷
时间：120分钟 总分：150分
ห้องสมุดไป่ตู้科版九年级数学上册期中测试卷
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沪科版九年级上册数学期中考试试题有答案
沪科版九年级上册数学期中考试试卷一、选择题。
（每小题只有一个正确答案） 1．二次函数2y x =的对称轴是 A ．直线y 1= B ．直线x 1=C ．y 轴D ．x 轴2．若34y x =，则x yx+的值为（ ） A ．1B ．47C ．54D ．743．已知二次函数y=（x-1）2-3，则此二次函数（ ） A ．有最大值1 B ．有最小值1 C ．有最大值-3 D ．有最小值-34．将抛物线2y x 向右平移2个单位，再向下平移1个单位，则平移后抛物线的顶点坐标是（ ） A ．（2,1）B ．（2，-1）C ．（-2，-1）D ．（-2,1）5．如图，线段,BD CE 相交于点,//A DE BC ．若4,2, 1.8AB AD AE ===，则AC 的长为（ ）A ．3B ．3.2C ．3.6D ．46．如图，在平面直角坐标系中有()()1,1,3,1A B 两点，如果抛物线()20y ax a =>与线段AB 有公共点，那么a 的取值范围是（ ）A ．1a ≥B ．01a <≤C ．109a <≤D ．119a ≤≤7．如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且AB ＝1，CD ＝3，那么EF 的长是( )A ．13B ．23C ．34D ．458．心理学家发现：课堂上，学生对概念的接受能力s 与提出概念的时间t （单位：min ）之间近似满足函数关系s ＝at 2+bt +c （a ≠0），s 值越大，表示接受能力越强．如图记录了学生学习某概念时t 与s 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出当学生接受能力最强时，提出概念的时间为（ ）A ．8minB ．13minC ．20minD ．25min9．在平面直角坐标系中，点P 的坐标()0,2，点Q 的坐标为391,44()(t t t ---为实数)，当PQ 长取得最小值时，t 的值为（ ）A ．75-B ．125-C ．3D ．410．一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数()0m y x x=>的图象交于A （2，1），B （12，n ）两点，则n ﹣k 的值为（ ） A ．2 B ．﹣2 C ．6 D ．﹣6二、填空题11．如图，在ABC 中，//DE BC ，若12AD BD =，则DEBC=_____．12．某水果店销售一批水果，平均每天可售出40kg ，每千克盈利4元，经调查发现，每千克降价0.5元，商店平均每天可多售出10kg 水果，则商店平均每天的最高利润为______________ 元13．如图，在x 轴上方，平行于x 轴的直线与反比例函数1k y x =和2ky x=的图象分别交于A B 、两点，连接OA OB 、．若AOB 的面积为6,则21k k -= __________．14．已知二次函数2( y x mx m m =-++为常数)，当24x -≤≤时，y 的最大值是15，则m 的值是__________．15．已知234a b c==，则2332a b c a b c-+-+＝_____． 16．如图，函数y ＝1x 和y ＝﹣3x的图象分别是l 1和l 2．设点P 在l 1上，PC ⊥x 轴，垂足为C ，交l 2于点A ，PD ⊥y 轴，垂足为D ，交l 2于点B ，则△PAB 的面积为_____．三、解答题17．抛物线()2y a x h =+的顶点为(20)-，，它的形状与23y x =相同，但开口方向与之相反．（1）直接写出抛物线的解析式 ； （2）求抛物线与y 轴的交点坐标．18．如图，正方形ABCD 对角线的交点在平面直角坐标系的原点，且边与坐标轴平行或垂直，AB=4．（1）如果反比例函数ky x=的图象经过点A ，求这个反比例函数的表达式； （2）如果反比例函数ky x=的图象与正方形ABCD 有公共点，请直接写出k 的取值范围．19．如图，在ABC 中，,D E 分别是边,AB AC 上的点，连接DE ，且60,50A ADE ∠=︒∠=，70B ∠=︒．()1求证:ADE ACB ；()2如果E 是AC 的中点，810,AD AB ==，求AE 的长，20．已知:ABC 中，边AB 及AB 边上的高CD 的和为40cm ．()1请直接写出ABC 的面积()2S cm与边AB 的长()x cm 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)；()2当x 是多少时，这个三角形面积S 最大？最大面积是多少？21．如图，在ABC 中，90,5,CAB AB AC P ∠=︒==是ABC 内一点，且.PAB PBC PCA ∠=∠=∠()1求APC ∠的度数； ()2求PAC 的面积．22．已知:AD AE 、分别是ABC 内角和外角平分线．()1则DAE ∠的度数=_ ； ()2求证:BE ABCE AC=； ()3作BF AD ⊥，交AD 延长线于,F FC 的延长线交AE 于G ，求证:AG GE =．23．定义: 在平面直角坐标系中，如果点(),M m n 和(),N n m 都在某函数的图象l 上，则称点M N 、是图象l 的一对“相关点”．例如，点(12)M ，和点1(2)N ，是直线3y x =-+的一对相关点．()1请写出反比例函数6y x=的图象上的一对相关点的坐标； ()2如图，抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线1x =，与y 轴交于点()0,1C -．①求抛物线的解析式:②若点M N 、是抛物线2y x bx c =++上的一对相关点，直线MN 与x 轴交于点1,0A ，点P 为抛物线M N 、上之间的一点，求PMN 面积的最大值．24．如图，两个反比例函数y ＝k x 和y ＝2x在第一象限内的图象分别是C 1和C 2，设点P （1，4）在C 1上，P A ⊥x 轴于点A ，交C 2于点B （1，m ），求k ，m 的值及△POB 的面积．25．如图，△ABC∽△ADE，AB=30 cm，BD=18 cm，BC=20 cm，∠BAC=75°，∠ABC=40°．(1)求∠AED的度数．(2)求DE的长．参考答案1．C【分析】根据顶点式y=a（x-h）2+k的对称轴是直线x=h，找出h即可得出答案．【详解】解：二次函数y=x2的对称轴为y轴．故选:C ．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是顶点式y=a（x-h）2+k的对称轴是直线x=h，顶点坐标为（h，k）．2．D【详解】∵34yx，∴x y x +=434+=74， 故选D 3．D 【解析】试题解析：∵a=1＞0，∴二次函数y=（x-1）2-3有最小值-3． 故选D ．考点：二次函数的最值． 4．B 【解析】 【分析】直接根据二次函数图象平移的法则即可得出结论． 【详解】解：根据“上加下减，左加右减”的法则可知，将抛物线2y x =向右平移2个单位，再向下平移1个单位所得抛物线的表达式是22y x （）=--1． 所以平移后抛物线的顶点坐标是（2，-1）． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键． 5．C 【分析】根据相似三角形的性质与判定即可求出答案． 【详解】 解：∵DE ∥BC ， ∴△ABC ∽△ADE ， ∴AB ACAD AE=， ∴42 1.8AC =，∴AC=3.6，故选：C．【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．6．D【分析】分别把A、B点的坐标代入y=ax2得a的值，根据二次函数的性质得到a的取值范围．【详解】解：把A（1，1）代入y=ax2得a=1，把B（3，1）代入y=ax2得a=19，所以a的取值范围为11 9a≤≤.故选D.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．7．C【分析】易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得EFAB=DFDB,EFCD=BFBD，从而可得EFAB+EFCD=DFDB+BFBD=1．然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF的值．【详解】∵AB、CD、EF都与BD垂直，∴AB∥CD∥EF，∴△DEF∽△DAB,△BEF∽△BCD，∴EFAB=DFDB,EFCD=BFBD，∴EF AB +EF CD =DF DB +BF BD =BDBD=1. ∵AB=1，CD=3，∴1EF +3EF=1， ∴EF=34.故选C. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质定理，熟练掌握性质定理是解题的关键. 8．B 【分析】先利用条件求出解析式，再变式求出最值即可解答. 【详解】解：已知满足函数关系s ＝at 2＋bt ＋c （a ≠0）， 根据图像可知经过（0,43），（20,55），（30,31）， 将已知点代入解析式得s ＝－0.12t ＋2.6t ＋43, 根据函数性质得t ＝－ 2.620.1（）⨯-＝13时，s 最大，故选B. 【点睛】本题主要考察求函数最值，可利用配方法，公式法等. 9．A 【分析】由两点间的距离公式可得出PQ 2关于t 的二次函数关系式，利用配方法结合二次函数的性质即可得出当PQ 取最小值时t 的值． 【详解】解：由两点间的距离公式可知：PQ 2=（t-1）2+（34-t-94-2）2=2516（t+75）2+16，∵2516＞0，∴当t=75-时，PQ2最小．故选：A．【点睛】本题考查了两点间的距离公式以及二次函数的性质，解题的关键是找出PQ2关于t的二次函数关系式．10．C【分析】把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式，把B的坐标代入求出n 的值，把A、B的坐标代入一次函数y＝kx+b即可求出k的值．【详解】解：∵把A（2，1）代入y＝mx得：m＝2，∴反比例函数的解析式是y＝2x，∵B（12，n）代入反比例函数y＝2x得：n＝4，∴B的坐标是（12，4），把A、B的坐标代入一次函数y1＝kx+b，得2114 2k bk b+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：k＝﹣2，∴n﹣k＝4+2＝6，故选：C．【点睛】本题是一次函数和反比例函数的综合题，解答关键是应用待定系数法确定函数关系式．11．1 3【分析】由//DE BC，可知：ABC ADE，列出比例式，即可得到答案. 【详解】∵//DE BC ，∴ABC ADE ， ∴DE AD BC AB=， ∵12AD BD =， ∴1=3DE AD BC AB =， 选答案是：13. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，根据相似三角形的性质，列出比例式是解题的关键.12．180【分析】设每千克降价x 元，先用含x 的式子表示出每天的销售量，再设商店平均每天的利润为w 元，根据每千克的盈利乘以销售量等于利润，写出关于x 的函数，写成顶点式，根据二次函数的性质，可得答案．【详解】解：设每千克降价x 元，由题意得每天的销售量为： 40+0.5x ×10=（40+20x ）千克， 设商店平均每天的利润为w 元，由题意得：w=（4-x ）（40+20x ）=-20x 2+40x+160=-20（x-1）2+180，∵二次项系数为-20＜0，∴当x=1时，w 取得最大值180元．故答案为：180．【点睛】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系，正确列出函数关系式并明确二次函数的相关性质，是解题的关键．13．12【分析】根据AB ∥x 轴，设A （x ，1k x ），B （21k x k ，1k x），得到AB=21k x k -x ，根据△AOB 的面积为6，列方程即可得到结论．【详解】解：∵AB ∥x 轴，∴设A （x ，1k x ），B （21k x k ，1k x ）， ∴AB=21k x k -x ， ∵△AOB 的面积为6， ∴12（21k x k -x ）×1k x=6， ∴k 2-k 1=12，故答案为：12．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质以及反比例函数图像上的点，解题的关键是将A 和B 的坐标表示出来，从而得到△AOB 的面积的代数式.14．6和19【分析】根据题目中的函数解析式和当-2≤x≤4时，y 的最大值是15，利用分类讨论的方法可以求得m 的值，本题得以解决．【详解】解：二次函数y=-x 2+mx+m=-（x-2m ）2+24m +m ， 当4＜2m 时，即m ＞8， 在-2≤x≤4时，x=4时取得最大值，则15=-42+4m+m ，得m=6.2（舍去）； 当2m ＜-2时，即m ＜-4， 在-2≤x≤4时，x=-2时取得最大值，则15=-22-2m+m ，得m=-19， 当-2≤2m ≤4时，即-4≤m≤8，在-2≤x≤4时，x=2m 时取得最大值，则15=24m +m ，得m 1=6，m 2=-10（舍去）， 由上可得，m 的值是6和19-，故答案为：6和19-．【点睛】本题考查考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答．15．134【分析】 设234abck ===，然后表示出a ，b ，c ，再进行化简即可．【详解】 解：设234abck ===．则根据比例的性质，得a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ， ∴2332a b c a b c -+-+＝2233432234k k kk k k ⨯-+⨯⨯-⨯+＝134； 故答案为：134．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k 法是解题的关键．16．8【详解】解：∵点P 在y =1x 上，∴|x p |×|y p |=|k |=1，∴设P 的坐标是（a ，1a ）（a 为正数），∵P A ⊥x 轴，∴A 的横坐标是a ，∵A 在y =﹣3x 上，∴A 的坐标是（a ，﹣3a ），∵PB ⊥y 轴，∴B 的纵坐标是1a ， ∵B 在y =﹣3a上， ∴代入得：1a =﹣3x， 解得：x =﹣3a ，∴B 的坐标是（﹣3a ，1a ）， ∴P A =|1a ﹣（﹣3a ）|=4a，PB =|a ﹣（﹣3a ）|=4a ， ∵P A ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，x 轴⊥y 轴，∴P A ⊥PB ，∴△P AB 的面积是：12P A ×PB =12×4a×4a =8． 故答案为8．【点睛】本题考查了反比例函数和三角形面积公式的应用，关键是能根据P 点的坐标得出A 、B 的坐标，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目． 17．（1）()232y x =-+；（2）(0)12-，【分析】（1）由抛物线y=a （x+h ）2的顶点为（-2，0），得出h=2，抛物线y=a （x+h ）2的形状与y=3x 2的相同，开口方向相反，得出a=-3，从而确定该抛物线的函数表达式；（2）根据图象上点的坐标特征求得即可．【详解】解：（1）∵抛物线y=a （x+h ）2的顶点为（-2，0），∴-h=-2，∴h=2，抛物线y=a （x+h ）2的形状与y=3x 2的相同，开口方向相反，∴a=-3，则该抛物线的函数表达式是y=-3（x+2）2；（2）当0x =时，()230212y =-+=-， ∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0)12-，．【点睛】主要考查了待定系数法求二次函数的解析式．要求掌握二次函数图象的性质，并会利用性质得出系数之间的数量关系进行解题．18．（1）4y x =；（2） ()204k <≤或40k -≤< 【分析】（1）根据题意得出A 的坐标，然后根据待定系数法即可求得；（2）根据A 、B 、C 、D 的坐标，结合图象即可求得．【详解】解：（1）由题意，得()2,2A ， 反比例函数k y x=的图象经过点A ， 224k ∴=⨯=，∴反比例函数的表达式4y x=； （2）由图象可知： 当反比例函数刚好经过A 和C ，或B 和D 时，k 分别为4和-4，k≠0， 则如果反比例函数k y x=的图象与正方形ABCD 有公共点， k 的取值范围是04k <≤或40k -≤<．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，正方形的性质以及反比例函数的图象，根据图象得出正方形各点的坐标是解题的关键．19．（1）见解析；（2）AE =【分析】（1）由条件得出B AED ∠=∠，根据相似三角形的判定即可求出证．（2）由于点E 是AC 的中点，设AE=x ，根据相似三角形的性质可知AD AE AC AB=，从而列出方程解出x 的值．【详解】解：（1）证明:60,50A ADE ∠=︒∠=︒180605070AED ∴∠=︒-︒-︒=︒，70B ∠=︒，B AED ∴∠=∠，A A ∠=∠，ADE ACB ∴；（2）由（1）知ADE ACB ，AD AE AC AB∴=， 点E 是AC 的中点，设AE x =，22AC AE x ∴==，8,10AD AB ==，8210x x ∴=，解得x =(负值舍去) ．AE ∴=【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定．20．（1）21202S x x =-+；（2）当x 为20cm 时，三角形面积最大，最大面积是2200cm 【分析】（1）S=12x ×这边上的高，把相关数值代入化简即可； （2）结合（1）得到的关系式，利用公式法求得二次函数的最值即可．【详解】解：（1）由题意可得：()21114020222S AB CD x x x x =⨯=⨯⨯-=-+； （2）102a =-<， S ∴有最大值，当2b x a =-=20122-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=20时，S 有最大值为212020202002S =-⨯+⨯=， ∴当x 为20cm 时，三角形面积最大，最大面积是2200cm ．【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握二次函数的最值求法是解决本题的关键．21．（1）90°；（2）5【分析】（1）根据PCA PAB ∠=∠，利用余角的性质求解；（2）证明ABP BCP ，得到2PA PB AB PB PC BC ===，设PA 为x ，将相应边表示出来，根据AC=5求出x ，即可计算△PAC 的面积.【详解】解：（1）180APC PAC PCA ∠=︒-∠-∠,PCA PAB ∠=∠，180APC PAC PAB ∴∠=︒-∠-∠90=︒；（2）在等腰直角ABC 中，45ABC ACB ∴∠=∠=︒PAB PBC PCA ∠=∠=∠，ABP BCP ∴∠=∠，∴ABP BCP ，∴PA PB AB PB PC BC ===， 设PA x =，PB =，则2, PC x AC ==，5AC =，x ∴=221252PAC S x x x ∴=⋅===.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形，证明∠APC=90°是本题的突破点，属于中考常考题型．22．（1）90°；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据角平分线的定义和邻补角的定义即可解得；（2）过点C作CN∥AB交AE于点N，如图，易证CA=CN．由CN∥AB可得△ECN∽△EBA，则有BE BACE CN=，由CA=CN可得BE ABCE AC=；（3）分别延长BF、AC交于点H，证明△ABF≌△AHF，可得BF=HF，证明△BCF∽△ECG，△ACG∽△HCF，可得比例线段，则结论得证．【详解】解：（1）∵AD、AE分别是△ABC中∠A内角的平分线和外角平分线，∴∠DAE=∠DAC+∠EAC=12∠BAC+12∠CAF=12（∠BAC+∠CAF）=12×180°=90°．故答案为：90°；（2）证明：过点C作//CN AB交AE于点N，如图1，则有HAE ANC∠=∠．HAE CAE∠=∠，ANC CAE∴∠=∠，CA CN∴=．//CN AB，ECN EBA ∴∆∆∽， ∴BE BA CE CN =， ∴BE AB CE AC=； （3）如图2，分别延长BF 、AC 交于点H ；AD 为ABC ∆的角平分线，BAF HAF ∴∠=∠；在ABF ∆与AHF ∆中，BAF HAF AF AFAFH AFB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ABF AHF ASA ∴∆≅∆，BF HF ∴=；BH AF ⊥，AE AF ⊥，//BH AE ∴，BCF ECG ∴∆∆∽，ACG HCF ∆∆∽， ∴CG GE CF BF =，CG AG CF FH =， ∴GE AG BF FH=， ∵BF HF =，GE AG ∴=．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，添加平行线构造相似三角形是解题的关键．23．（1）()2,3，(32)，；（2）①221y x x =--；②278【分析】（1）xy=6，当x=2时，y=3，当x=3时，y=2，即可求解；（2）①根据C （0，-1）求得c ，根据x=-1，函数对称轴为：x=-2b a =-1，解得：b=-2，即可求解；②由“相关点”的定义，可得直线MN 的表达式，求出点M 、N 的坐标，将△PMN 面积利用S=12×PQ×（x M -x N ）表示出来即可求解． 【详解】解:（1）xy=6，当x=2时，y=3，当x=3时，y=2，故答案为：（2，3）和（3，2）；（2）①∵抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线1x =，121b ∴-=⨯，解得2b =-， 抛物线2y x bxc =++与y 轴交于点(01)C -，， 1c ∴=-，∴抛物线的解析式为221y x x =--；②由相关点定义得，点M N ，关于直线y x =对称． 又直线MN 与x 轴交于点1,0A ，∴直线MN 的解析式为1y x =-+．代入抛物线的解析式221y x x =--中，并整理，得220x x --=，解得，11x =-，22x =M N ∴，两点坐标为(2)1-，和(12)-，． 设点P 的横坐标为x ，则点22()1P x x x --,，过P 作PQ x ⊥轴交直线MN 于Q 点，则Q 点坐标为(), 1 x x -+，()()211212PMN M N S x x x x x =⨯-⨯-⎦+---⎡⎤⎣ ()21322x x =⨯⨯-++ 23127228x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， 即当12x =时，PMN 的面积最大，最大值为278. 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的面积计算等，这种新定义类的题目，通常按照题设的顺序逐次求解较为容易．24．k=4，m=2，POB S1=． 【详解】试题分析：将点P 的坐标代入C 1的解析式即可求出k 的值；将点B 的横坐标代入C 2的解析式即可求出m 的值；S △POB =S △POA －S △BOA ，由反比例函数k 的几何意义可以分别求出S △POA 、S △BOA 的值.试题解析：∵P （1，4），∴k =4；∵B （1，m ），C 2解析式为：y =2x ，∴m =2；S △POB =S △POA －S △BOA =2－1=1.点睛：掌握反比例函数k 的几何意义.25．（1）65°（2）8【详解】试题分析：（1）∵75,40BAC ABC ∠∠=︒=︒∴65ACB ∠=︒∵△ABC ∽△ADE∴65AED ACB ∠=∠=︒(2) ∵30cm,18cm AB BD ==∴12cm AD =又∵△ABC ∽△ADE ∴AD DE AB BC = 即：123020DE = ∴8cm DE =．【点睛】本题考查相似三角形，掌握相似三角形的性质是解本题的关键，所以要求考生对相似三角形的性质要熟悉．。
沪科版九年级上册数学期中考试试卷有答案
沪科版九年级上册数学期中考试试卷一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．抛物线2(1)2y x =+-的对称轴是直线（ ）A ．x =-2B ．x =-1C ．x =2D ．x =1 2．若13a b b -=，则a b =（ ） A ．13 B ．23 C ．43 D ．533．将抛物线23y x =分别向下、向右平移1个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A ．23(1)1y x =-- B ．23(1)1y x =+- C ．23(1)1y x =-+ D ．23(1)1y x =++ 4．若ABC A B C '∆'∆'∽，相似比为1:2，则ABC ∆与A B C ∆'''的面积的比为（ ） A ．1:2 B ．2:1 C ．1:4 D ．4:1 5．如图所示，在长为8 cm ，宽为4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是( )A ．2 cm 2B ．4 cm 2C ．8 cm 2D ．16 cm 2 6．二次函数2y ax bx =-（其中a ＜0，b ＞0）的大致图象是下图中的（ ） A ． B ． C ． D ． 7．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线x =－1，与y 相交于（0，－6），则关于x 的方程260ax bx c +++=的解为（ ）A ．120x x ==B ．10x =，22x =-C ．10x =，21x =-D ．12x =-，21x =8．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，下列条件中不能判定△ADE 与△ABC 相似的是（ ）A ．AD AE DB EC = B ．AE AD AB AC = C ．DB AB EC AC = D ．AD DE AB BC = 9．如图，在△ABC 与△ADE 中，∠ACB =∠AED =90°，∠ABC =∠ADE ，连接BD 、CE ，若AC ︰BC =3︰4，则BD ︰CE 为（ ）A ．5︰3B ．4︰3C 2D ．210．如图，在△ABC 中，∠B =90°，AB =8，BC =4，将△ABC 折叠，使点A 的对应点A ′落在BC 边上，折痕为DE ．若AD 的长为y ，A ′B 的长为x ，那么y 与x 之间的关系图象大约是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题11．二次函数221y x x =-+的最小值是________．12．已知A （1x ，1y ）和B （2x ，2y ）是反比例函数2y x=-的图象上两点，若120x x >>，则y 1与y 2的大小关系是________． 13．如图，为测量小河两岸A 、B 两点之间的距离，在小河一侧选出一点C 观测A 、B 两点，并使∠ACB =90º，若CD ⊥AB ，垂足为D ，测得AD =10m ，AC =24m ，根据所测得的数据可算出A 、B 之间的距离是________m ．14．如图，已知△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AB =11，点E 、F 分别在AB 、AC 上，沿EF 折叠△ABC ，点A 的对应点为点A ′，A ′E 、A ′F 交BC 于点M 、N ．若AE =8，当△A ′MN 与△ABC 相似时，则AF =________．三、解答题15．二次函数的图象的顶点坐标是（－2，3），它与y 轴交点的坐标是（0，－3），求这个二次函数的解析式．16．如图所示，已知平行四边形ABCD ，E 是BC 延长线上的一点，连接AE 交CD 于点F ，若AB =3，AF =4，DF =2时，求AE 的长．17．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC （顶点是网格线的交点）和格点P ．（1）以A 点为位似中心，将△ABC 在网格中放大成△AB 1C 1，使11B C BC=2，请画出△AB 1C 1； （2）以P 点为三角形的一个顶点，请画一个格点△PMN ，使△PMN ∽△ABC ，且相似比为18．有一辆载有长方体形状集装箱的货车想通横截面为抛物线的隧道，如图所示，已知隧道底部宽AB为4 m，高OC为 3.2 m，集装箱的宽与货车的宽都是2.4 m，集装箱顶部离地面2.1 m．这辆货车能通过这个隧道吗？请说明理由．19．三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2．按图①的方式在这张纸片中剪去一个尽可能大的正方形，称为第1次剪取，记余下的两个三角形面积和为S1；按图②的方式在余下的Rt△ADF和Rt△BDE中，分别剪去尽可能大的正方形，称为第2次剪取，记余下的两个三角形面积和为S2；继续操作下去……．（1）如图①，求CEBC和S1的值；（2）第n次剪取后，余下的所有三角形面积之和S n为________．20．如图，一次函数y＝kx+2的图象与反比例函数y＝mx的图象交于点P，点P在第一象限．P A⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且S△PBD＝4，12OC OA =． （1）求点D 的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3）根据图象写出当x ＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．21．某商场销售同型号A 、B 两种品牌节能灯管，它们进价相同，A 品牌售价可变，最低售价不能低于进价，最高利润不超过4元，B 品牌售价不变．它们的每只销售利润与每周销售量如下表：（售价=进价+利润）（1）当A 品牌每周销售量为300只时，B 品牌每周销售多少只？（2）A 品牌节能灯管每只利润定为多少元时？可获得最大总利润，并求最大总利润． 22．如图，已知在ABC 中，4AB =，8BC =，D 为BC 边上一点，2BD =.(1)求证：ABD CBA ；(2)过点D 作//DE AB 交AC 于点E ，请再写出另一个与ABD △相似的三角形，并直接写出DE 的长.23．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，动点P 从点B 出发，在BA边上以每秒5cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒4cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒（0＜t ＜2），连接PQ ．（1）若△BPQ 与△ABC 相似，求t 的值；（2）当t 为何值时，四边形ACQP 的面积最小，最小值是多少？（3）连接AQ ，CP ，若AQ ⊥CP ，求t 的值．参考答案1．B【解析】令10,x += 解得x=-1,故选B.2．C【解析】13a b b -=，141,33a ab b -== .故选C. 3．A【解析】根据上加下减常数项，左加右减自变量的平移规则，得23y x =分别向下、向右平移1个单位，所得抛物线的解析式为()2311y x =--.故选A.4．C【详解】试题分析：直接根据相似三角形面积比等于相似比平方的性质.得出结论：∵ABC A B C '∆'∆'∽，相似比为1:2，∴ABC ∆与A B C ∆'''的面积的比为1:4.故选C.考点：相似三角形的性质.5．C【详解】设留下矩形的宽为x cm ，∵留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似， ∴448x =， 解得2x =则留下矩形的面积为2248(cm )⨯= .故选C.6．D【分析】根据二次函数的系数与图像的关系进行判断即可得解【详解】由于a<0，则抛物线的开口向下；由于a ＜0，b ＞0，则对称轴为直线x=-02b a--< , 故选D.7．B【解析】由于抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线x =－1，与y 相交于（0，－6），则其关于直线x =－1的对称点是（-2，-6）.2 60ax bx c +++=即26ax bx c ++=-的解为10x =，22x =-，故选B.【方法点睛】本题目是一道二次函数与二次方程的关系及二次函数的对称性，重点是数形结合思想，260ax bx c +++=将变形为26ax bx c ++=-，即当2y ax bx c =++的函数值等于-6时对应的自变量的值.根据二次函数图像，即可得出答案.8．D【解析】由题意得：A ∠ 是两者的公共角，A. AD AE DB EC= ，得DE BC ∥ ,得△ADE △ABC ； B. AE AD AB AC =，得出△ADE △ACB ；C. DB AB EC AC=，得DE BC ∥ ,得△ADE △ABC ； D. AD DE AB BC=，无法判断.故选D. 9．A【详解】因为∠ACB =90°，AC ︰BC =3︰4，则53AB AC =因为∠ACB =∠AED =90°，∠ABC =∠ADE ，得△ABC △ADE ，得AB AC AD AE = ，,DAE BAC DAB EAC ∠=∠∠=∠则 ，则DABEAC ∆∆，53BD AB CE AC == .故选A. 10．B【解析】 AD 的长为y ，A ′B 的长为x ，则DB=8-y,在Rt ∆ A ′BD 中，利用勾股定理，得222(8)y x y =+- 解得：26416x y += ，故选B. 11．0．【解析】221y x x =-+=2(1)x - ，故当x=1时，y 的最小值为0.12．12y y >．【分析】根据反比例函数的增减性质即可判断结论．【详解】解：由题意得：k<0，所以在每个一象限，y 随x 的增大而增大，若120x x >>，则 12y y >．故答案为12y y >13．57.6【分析】证△ACD ∽△ABC 得AC AD AB AC =，将相关数据代入计算可得． 【详解】解：∵∠ACB=90°、CD ⊥AB ，∴∠ACB=∠ADC=90°，∴∠A+∠B=∠A+∠ACD=90°，则∠B=∠ACD ，∴△ACD ∽△ABC ， ∴AC AD AB AC=，即2410,24AB = 解得：AB=57.6（m ），故答案为：57.6．【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．14．8．【解析】分类讨论：（1）若90AMN ∠=︒ ，则M 与C 重合，即A 、C 、A’共线，则90AFE ∠=︒，因为∠A =30°，cos cos30AF A AE ==︒， 即8AF =，解得AF =. （2）若90ANM ∠=︒ ，则90ENB ∠=︒ ，因为60B ∠=︒ ，30NEB ∠=︒ ，根据对折，则75AEF AFE ∠=∠=︒ ,则AF=AE=8.综上述，AF =8.15．22(2)33y x =-++． 【解析】【试题分析】依据条件，设成顶点式y =a （x +2）2+3，再将（0，－3）代入，得：4a ＋3=－3，解得：a =－23即二次函数的解析式为()22233y x =-++． 【试题解析】 设二次函数的解析式为y =a （x +2）2+3， 将（0，-3）代入，得4a ＋3=－3，解得a =－23， ∴二次函数的解析式为()22233y x =-++． 【方法点睛】本题目是一道求解二次函数解析式的问题，设二次函数解析式时，有三种表示方法——一般式，顶点式，交点式.知道顶点时，通常设成顶点式求解较简单.16．6【解析】【试题分析】CF =3－2=1．设EF 的长为x ，则AE =4+x ，平行四边形ABCD ，CF ∥AB ，根据平行线分线段成比例定理的推论，得△CEF ∽△BEA ，根据相似三角形的性质，得CF EF AB AE=，即AB ⋅EF =CF ⋅AE ，即3x =1×（4+x ），解得，x =2，则AE =4+x=4+2=6. 【试题解析】由题意得，CF =3－2=1．设EF 的长为x ，则AE =4+x∵CF ∥AB ，∴△CEF ∽△BEA ， ∴CF EF AB AE=，即AB ⋅EF =CF ⋅AE ， 则3x =1×（4+x ），解得，x =2，∴AE =6．17．（1）答案见解析；（2）答案见解析．【解析】【试题分析】（1）以A 为位似中心，欲使11B C BC=2，即1112BC B C = ，则△ABC 与△AB 1C 1的相似比为12 ，即延长AB 到B 1 ,使AB=BB 1,同样的方法，使AC=CC 1,因为A A ∠=∠ ,则△ABC △AB 1C 1，（2，利用勾股定理，分别找出来即可.【试题解析】（1）如图，△AB 1C 1即为所求（2）如图，△PMN 即为所求(注意PM 、PN 、MN 的长)。
沪科版九年级上册数学期中考试试题带答案解析
沪科版九年级上册数学期中考试试卷一、选择题。
（每小题只有一个正确答案） 1．下列函数是二次函数的是（ ） A ．1y x =- B ．1y x =C ．22y x x =-+D ．21y x= 2．下列各组线段（单位：cm ）中，成比例线段的是（ ） A ．1、2、2、3 B ．1、2、3、4 C ．1、2、2、4D ．3、5、9、133．抛物线y ＝(x -1)2＋5的对称轴是( ) A ．直线x ＝1 B ．直线x ＝5C ．直线x ＝-1D ．直线x ＝-54．反比例函数y ＝﹣1x的图象在（ ） A ．第一、三象限 B ．第一、二象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限5．已知34x y =，则x y y +=（ ）A ．47 B ．74C ．37D ．736．下表是一组二次函数235y x x =+-的自变量x 与函数值y 的对应值：那么方程2350x x +-=的一个近似根是( ) A ．1B ．1.1C ．1.2D ．1.37．如图，已知////AB CD EF ，:3:5AD AF =，6BC =，CE 的长为（ ）A ．2B ．4C ．3D ．58．如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有函数关系h ＝20t ﹣5t 2．下列叙述正确的是（ ）A ．小球的飞行高度不能达到15mB ．小球的飞行高度可以达到25mC ．小球从飞出到落地要用时4sD ．小球飞出1s 时的飞行高度为10m9．如图，在下列条件中，不能判定ACD ABC △∽△的是（ ）A ．1ACB ∠∠＝ B ．AB ACBC CD= C ．2B ∠∠＝ D ．2AC AD AB =⋅10．如图，11OA B ∆，122A A B ∆、233A A B ∆，…是分别以1A 、2A 、3A ，…为直角顶点，一条直角边在x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点()111,C x y ，()222,C x y ，()333,C x y ，…均在反比例函数4y x=（0x >）的图象上.则1210y y y ++⋅⋅⋅的值为（ ）A ．B ．6C ．D ．二、填空题11．已知y ＝2x m ﹣1是y 关于x 的反比例函数，则m ＝_____．12．已知线段AB=20，点C 为线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），则AC=___________.13．已知二次函数2y ax bx c =++与一次函数y x =的图像如图所示，则不等式2(1)0ax b x c +-+<的解集为_______________.14．如图，在△ABC 中，AB =9，AC =6，BC =12，点M 在AB 边上，且AM =3，过点M 作直线MN 与AC 边交于点N ，使截得的三角形与原三角形相似，则MN =______．三、解答题15．已知234x y z==，求x y zx y z+++-的值．16．已知y 是x 的反比例函数，并且当2x =时，6y =． ⑴求y 关于x 的函数解析式； ⑵当4x =时，求y 的值．17．如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点A 、B ，y 轴交于点C ，已知点()1,0A -、()4,0B 、()0,3C -．（1）求二次函数的解析式；（2）当0y >时，请直接写出自变量x 的取值范围．18．如图，在△ABC 中，DE ∥AC ，DF ∥AE ，BD ：DA ＝3：2，BF ＝6，DF ＝8，（1）求EF 的长； （2）求EA 的长．19．如图，一次函数y 1＝kx +b （k ≠0）和反比例函数()20my m x=≠的图象相交于点A （﹣4，2），B （n ，﹣4）（1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）观察图象，直接写出不等式y 1＜y 2的解集．20．如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，设BD与CE相交于F点．（1）求证：△ BEF∽△CDF；（2）求证：DE·BF=EF·BC．21．实验数据显示：一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内（包括1.5小时）其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y＝﹣200x2+400x表示；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y＝kx（k＞0）表示（如图所示）．（1）喝酒后多长时间血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？（2）求k的值．（3）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．22．某农场要建一个饲养场（长方形)ABCD，饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为27米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长60米，设饲养场（长方形)ABCD的宽为x米．（1）求饲养场的长BC（用含x的代数式表示）．（2）若饲养场的面积为2270m ，求x 的值．（3）当x 为何值时，饲养场的面积最大，此时饲养场达到的最大面积为多少2m ？23．如图1，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC =，点D 在边AC 上，连接BD ，过A 作BD 的垂线交BD 的延长线于点E ．（1）若M ，N 分别为线段AB ，EC 的中点，如图1，求证：MN EC ⊥； （2）如图2，过点C 作CF EC ⊥交BD 于点F ，求证：2AE BF =；（3）如图3，以AE 为一边作一个角等于BAC ∠，这个角的另一边与BE 的延长线交于P 点，O 为BP 的中点，连接OC ，求证：()12OC BE PE =-．参考答案与解析1．C 【解析】整理成一般形式后，根据二次函数的定义判定即可． 【详解】解：A 、1y x =-是一次函数，不符合题意； B 、1y x=是反比例函数，不符合题意； C 、22y x x =-+是二次函数，符合题意； D 、21y x =中自变量x 的指数为-2，不是二次函数，不符合题意. 故选C. 【点睛】本题考查了二次函数的定义．熟记二次函数的一般形式是解题的关键． 2．C 【详解】试题解析：A 、1×3≠2×2，故选项错误； B 、1×4≠2×3，故选项错误； C 、1×4=2×2，故选项正确； D 、3×13≠5×9，故选项错误． 故选C ． 3．A 【分析】根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的对称轴，本题得以解决． 【详解】解：∵抛物线()215y x =-+， ∴该抛物线的对称轴是直线1x =， 故选：A ． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．4．C【分析】根据反比例函数中k<0,图像必过二、四象限即可解题. 【详解】解：∵-1<0,根据反比例函数性质可知,反比例函数y=﹣1x的图象在第二、四象限,故选C.【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质,属于简单题,熟悉反比例函数的性质是解题关键. 5．B【分析】由34xy=得到x=34y,再代入计算即可.【详解】∵34 xy=,∴x=34 y,∴x yy+=3744y yy+=.故选B. 【点睛】考查了求代数式的值，解题关键是根据34xy=得到x=34y，再代入计算即可.6．C【详解】解：观察表格得：方程x2+3x﹣5=0的一个近似根为1.2，故选C考点：图象法求一元二次方程的近似根．7．B【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【详解】∵AD：AF=3：5，∴AD：DF=3：2，∵AB∥CD∥EF，∴AD BCDF CE=，即362CE=，解得，CE=4，故选B．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．8．C【分析】直接利用h＝15以及结合配方法求出二次函数最值分别分析得出答案．【详解】A、当h＝15时，15＝20t﹣5t2，解得：t1＝1，t2＝3，故小球的飞行高度能达到15m，故此选项错误；B、h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20，故t＝2时，小球的飞行高度最大为：20m，故此选项错误；C、∵h＝0时，0＝20t﹣5t2，解得：t1＝0，t2＝4，∴小球从飞出到落地要用时4s，故此选项正确；D、当t＝1时，h＝15，故小球飞出1s时的飞行高度为15m，故此选项错误；故选C．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，灵活运用所学知识是解题关键． 9．B 【分析】根据相似三角形的判定逐一判断可得． 【详解】A 、由∠ADC ＝∠ACB ，∠A ＝∠A 可得△ACD ∽△ABC ，此选项不符合题意； B 、由AB ACBC CD=不能判定△ACD ∽△ABC ，此选项符合题意； C 、由∠ACD ＝∠B ，∠A ＝∠A 可得△ACD ∽△ABC ，此选项不符合题意； D 、由2AC AD AB =⋅，即AC ABAD AC=，且∠A ＝∠A 可得△ACD ∽△ABC ，此选项不符合题意； 故选：B ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 10．A 【分析】过点123C C C ⋯，，分别作x 轴的垂线，垂足分别为123D D D ⋯，，，得出△11OA B 为等腰直角三角形，进而求出1y ，再逐一求出2y ，3y …的值，即可得出答案. 【详解】如图，过点123C C C ⋯，，分别作x 轴的垂线，垂足分别为123D D D ⋯，， ∵△11OA B 为等腰直角三角形，斜边1OB 的中点1C 在反比例函数4y x=的图像上 ∴1C (2,2)，即12y = ∴1112OD D A == 设21D A a =，则22D C a = 此时2C (4+a,a) 将2C (4+a,a)代入4y x=得a(4+a)=4解得2a =或2-(负值舍去)即22y =同理3y =4y =…，∴121022y y y ++⋯+=++=故答案选择A.【点睛】本题考查的是反比例函数的图像与性质以及反比例函数上点的特征，难度系数较大，解题关键是根据点在函数图像上求出y 的值.11．0【分析】根据反比例函数的定义可得m ﹣1＝﹣1即可求解m.【详解】∵y ＝2x m ﹣1是y 关于x 的反比例函数，∴m ﹣1＝﹣1．解得m ＝0，故答案为0．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的解析式满足自变量的次数为-1，根据此知识点即可解题.12．【解析】根据黄金分割点的定义，知AC 为较长线段；则，代入数据即可得出AC 的值． 【详解】解：∵C 为线段AB=20的黄金分割点，且AC ＞BC ，∴10．故答案为10．【点睛】本题黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的是解题的关键．13．1＜x ＜3【分析】根据二次函数2y ax bx c =++与一次函数y x =的图像的交点的横坐标以及两个函数图象的上下位置关系，可得2ax bx c x ++<的解集，进而得到答案.【详解】∵二次函数2y ax bx c =++与一次函数y x =的图像的交点的横坐标是：x=1，x=3， ∴结合图象，可知：2ax bx c x ++<的解集是：1＜x ＜3∴2(1)0ax b x c +-+<的解集是：1＜x ＜3，故答案是：1＜x ＜3.【点睛】本题主要考查函数图象和不等式的解集的关系，掌握数形结合的思想方法，是解题的关键. 14．4或6【分析】分别利用，当MN ∥BC 时，以及当∠ANM ＝∠B 时，分别得出相似三角形，再利用相似三角形的性质得出答案．如图1，当MN ∥BC 时，则△AMN ∽△ABC ， 故AMANMNAB AC BC ==， 则3912MN=，解得：MN ＝4，如图2所示：当∠ANM ＝∠B 时，又∵∠A ＝∠A ，∴△ANM ∽△ABC ， ∴AMMNAC BC =， 即3612MN=，解得：MN ＝6，故答案为：4或6．【点睛】此题主要考查了相似三角形判定，正确利用分类讨论得出是解题关键．15．9【分析】 根据234xyzk ==＝，用k 表示x 、y 、z ，将它们代入原式，即可得到答案．【详解】解：设234x y z k ==＝，则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ∴x y z x y z +++-＝2349234k k k k k k+++＝－． 【点睛】本题考查了比例的性质，将三个未知数用一个未知数表示出来是解题的关键．16．（1）12y x =；（2）3y =. 【分析】（1）直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）直接利用x=4代入求出答案．【详解】解：（1）y 是x 的反例函数， 所以，设(0)k y k x=≠， 当x=2时，y=6．所以，k=xy=12， 所以，12y x=； （2）当x=4时，124y ==3． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，正确假设出解析式是解题关键． 17．（1）239344y x x =--；（2）1x <-或4x > 【分析】（1）根据点A ，B ，C 的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）观察函数图象结合二次函数的性质，即可找出：当y ＞0时，自变量x 的取值范围．【详解】解：（1）()1,0A -、()4,0B 、()0,3C -代入2y ax bx c =++，得016403a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩， 解得：34943a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩， ∴二次函数的解析式为239344y x x =--； （2）当1x <-或4x >时，二次函数图象在x 轴上方，∴当0y >时，x 的取值范围为1x <-或4x >．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）由点A ，B 的坐标利用数形结合找出结论．18．（1）EF ＝4；（2）EA ＝403. 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可；（2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【详解】解：（1）∵DF ∥AE ， ∴BF FE ＝BD DA ，即6FE ＝32， 解得，EF ＝4；（2）∵DF ∥AE ， ∴DF EA ＝BD BA ，即8EA ＝332+， 解得，EA ＝403． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．19．(1) y＝﹣x﹣2，;(2) x＞2或﹣4＜x＜0 【分析】将点A（﹣4，2）代入2myx=，求反比例函数解析式，再求得B的坐标，将A与B两点坐标代入y1＝kx+b，即可求解；（2）y1＜y2，在图象中找反比例函数图象在一次函数图象上方的部分即可.【详解】（1）将点A（﹣4，2）代入2myx=，∴m＝﹣8，∴y＝8x-，将B（n，﹣4）代入y＝8x-，∴n＝2，∴B（2，﹣4），将A（﹣4，2），B（2，﹣4）代入y1＝kx+b，得到2442k bk b=-+⎧⎨-=+⎩，∴12 kb=-⎧⎨=-⎩，∴y＝﹣x﹣2，（2）由图象直接可得：x＞2或﹣4＜x＜0；【点睛】本题考查一次函数和反比例函数图象和性质；熟练待定系数法求函数解析式是解题的关键．20．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）由∠BEF=∠CDF=90°，∠BFE=∠CFD，得△BEF∽△CDF；（2）由△BEF∽△CDF，得EF DFBF CF=，又∠DFE=∠CFB，再证△DEF∽△CBF，得DE EFBC BF=.化简可得.【详解】证明：（1）∵∠BEF=∠CDF=90°，∠BFE=∠CFD，∴△BEF ∽△CDF（2）∵△BEF ∽△CDF ， ∴EF BF DF CF=， ∴EF DF BF CF =． 又∠DFE=∠CFB ，∴△DEF ∽△CBF ∴DE EF BC BF=， ∴DE·BF=EF·BC ．【点睛】本题考核知识点：相似三角形的判定和性质.解题关键点：灵活运用相似三角形的判定和性质.21．（1）x ＝1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200毫克/百毫升；（2）k=225；（3）不能驾车上班.【解析】试题分析：（1）①利用y=-200x 2+400x=-200（x-1）2+200确定最大值；②直接利用待定系数法求反比例函数解析式即可；（2）求出x=11时，y 的值，进而得出能否驾车去上班．试题解析：（1）①y=-200x 2+400x=-200（x-1）2+200，∴x=1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200（毫克/百毫升）；②∵当x=5时，y=45，y=k x （k ＞0）， ∴k=xy=45×5=225；（2）不能驾车上班；理由：∵晚上20：00到第二天早上7：00，一共有11小时，∴将x=11代入y=225x ，则y=22511＞20， ∴第二天早上7：00不能驾车去上班．考点：1.二次函数的应用；2.反比例函数的应用．22．（1）(633)x -米；（2）15；（3）当x 为12时，饲养场的面积最大，最大面积为2324m ．【分析】（1）根据题意和图形，可以用含x 的代数式表示出BC 的长；（2）根据长方形的面积计算公式可以得到相应的方程，从而可以得到x 的值，注意墙最大可用长度为27米；（3）根据题意可以得到S 与x 的函数关系式，然后根据二次函数的性质和x 的取值范围，解答即可．【详解】解：（1）由图可得，BC 的长是60312(633)x x -++=-（米)，即BC 的长是(633)x -米；（2）令(633)270x x -=，解得，16x =，215x =，63327x -，得12x ，15x ∴=，即x 的值是15；（3）设饲养场的面积是2Sm ，则2211323(633)3()24S x x x =-=--+， 63327x -，得12x ，∴当12x =时，S 取得最大值，此时324S =，答：当x 为12时，饲养场的面积最大，此时饲养场达到的最大面积为2324m ．【点睛】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，灵活利用二次函数的性质和方程的知识解答．23．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析【分析】（1）连接EM 、CM ，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得EM=CM ；再由等腰三角形三线合一的性质得出结论；（2）证明△AEC ∽△BFC ，得AC AE BC BF=，由AC=2BC 得AE=2BF ； （3）证明△ACB ∽△AEP ，得AC BC AE EP=，从而知道AE=2PE ，由AE=2BF 得PE=BF ；根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得OC=12EF ，代入得结论． 【详解】解：证明：（1）如图1，连接EM 、CM ，AE BE ⊥，M 是AB 的中点，12EM AB ∴=，12CM AB =，EM CM ∴=， N 是EC 的中点，MN EC ∴⊥；（2）如图2，90ECF ∠=︒，90ACB ∠=︒，90ECA ACF ∴∠+∠=︒，90ACF FCB ∠+∠=︒，ECA FCB ∴∠=∠，90CFB ECF CEF CEF ∠=∠+∠=︒+∠，90AEC AEB CEF CEF ∠=∠+∠=︒+∠，CFB AEC ∴∠=∠，AEC BFC ∴∽△△，AC AEBC BF ∴=，2AC BC =，2AE BF ∴=；（3）如图，过点C 作CF EC ⊥交BD 于点F ，90AEP ACB ∠=∠=︒，BAC PAE ∠=∠，ACB AEP ∴∽△△，ACBCAE EP ∴=，2AC BC =，2AE PE ∴=，2AE BF =，PE BF ∴=， O 为BP 的中点，PO BO ∴=，EO FO ∴=，()()111222CO EF BE BF BE PE ∴==-=-．【点睛】本题是三角形的综合题，考查了相似三角形的性质和判定，利用相似三角形的对应边相等得出两边的倍数关系；同时，在直角三角形中，如果有斜边上的中线，可以运用斜边上的中线性质得出两边之间的倍数关系；对于证明垂直的关系除了利用角的大小来证明外，也可以利用等腰三角形的三线合一来证明．。
沪科版九年级上册数学期中考试试题及答案
沪科版九年级上册数学期中考试试卷一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．抛物线y ＝x 2﹣2x ＋1与x 轴的交点个数为（ ）A ．无交点B ．1 个C ．2 个D ．3 个2．已知线段a ＝2，b ＝，线段b 是a 、c 的比例中项，则线段c 的值为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．12 3．已知点C 在线段AB 上，且点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），则下列结论正确的是（ ）A ．AB 2＝AC •BC B ．BC 2＝AC •BC C ．AC BCD ．BC AC 4．已知两点()4,6A 、()6,2B ，以原点O 为位似中心，将OAB 缩小为原来的12，则点A 的对应点C 的坐标为（ ）A ．()2,3B ．()3,1C ．()2,1D ．()3,3 5．将抛物线223y x x =-+向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式为（ ）A ．2(1)4y x =-+B ．2(4)4y x =-+C ．2(2)6y x =++D ．2(4)6y x =-+ 6．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax 2+bx 与y=bx+a 的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 7．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝∠ACD ＝90°，AB ＝2，DC ＝3，则△ABC 与△DCA 的面积比为( )A ．2∶3B ．2∶5C ．4∶9D 8．抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象大致如图所示，下列说法：①2a+b＝0；②当﹣1＜x＜3时，y＜0；③若（x1，y1）（x2，y2）在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2；④9a+3b+c＝0，其中正确的是（）A．①②④B．①④C．①②③D．③④9．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AD与BE相交于点G，若AG：GD ＝4：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC的值是（）A．83B．32C．85D．4310．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．二、填空题11．如果x ：y ＝3：2，那么x y x-的值是__． 12．已知两个相似三角形的面积比是4：25，其中较小的三角形的周长为18cm ，则大三角形的周长为__．13．如图，一次函数y 1=ax+b 与反比例函数2k y x=的图像交于A(1，4)、B(4，1)两点，若使y 1＞y 2，则x 的取值范围是___________．14．在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为()1,0，点D 的坐标为()0,2，延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形111A B C C ，延长11C B 交x 轴于点2A ，作正方形2221A B C C ⋯按这样的规律进行下去，第2020个正方形的面积为______．15．如图，在ABC 中，8AB =，10BC =，点P 是AB 边的中点，点Q 是BC 边上一动点，若BPQ 与BAC 相似，则CQ 的长为________．16．如图，在△ABC 中，AB ＝9，AC ＝6，D 为AB 边上一点，且△ABC ∽△ACD ，则AD ＝__．三、解答题17．对于抛物线243y x x =-+．（1）求抛物线与坐标轴的交点坐标．（2）求抛物线的顶点坐标．18．已知0345x y z ==≠，求x y z x y z -+++的值．19．已知：△ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A （0，3）、B （3，4）、C （2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC 向下平移4个单位长度得到的△A 1B 1C 1，点C 1的坐标是 ； （2）以点B 为位似中心，在网格内画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且位似比为2：1，点C 2的坐标是 ；（3）△A 2B 2C 2的面积是 平方单位．20．（2016内蒙古呼伦贝尔市，第25题，10分）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y （微克/毫升）与服药时间x 小时之间函数关系如图所示（当4≤x ≤10时，y 与x 成反比例）．（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y 与x 之间的函数关系式． （2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？21．如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连接CP 并延长，交AD 于E ，交BA 的延长线于点F ．（1）求证：P A ＝PC（2）求证：PC 2＝PE •PF22．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B ，(1)求证：△ADF ∽△DEC(2)若AB ＝4,AD ＝＝3,求AF 的长.23．某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：10500y x =-+．（1）设李明每月获得利润为w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）24．如图①，四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O点，且AD⊥BD，过C点作CF∥AD 交BD于F点，E为AC的中点，连接ED，EF．（1）求证：DE＝EF；（2）如图②，若BA＝BC，连接BE交CF于M点．①求证：△EFM∽△CBM；②求证：△DEF∽△ABC．25．已知：如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，点E在AB上，AE=4，BC=8，求DE的长．参考答案1．B【分析】通过解方程x2-2x+1=0得到抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），从而可判断抛物线y=x2-2x+1与x轴交点个数．【详解】解：当y=0时，x2-2x+1=0，解得x1=x2=1，所以抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），所以抛物线y=x2-2x+1与x轴只有一个交点．故选：B．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化解．关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．2．C【分析】根据线段b是a、c的比例中项，得b2＝ac，即可求出线段c的值．【详解】∵线段b是a、c的比例中项，∴b2＝ac，∵a＝2，b＝∴(22c=，∴c＝6．故选：C．【点睛】本题考查比例中项的定义，解题的关键是掌握比例中项的性质．3．D【分析】根据黄金分割的定义得出BC AC AC AB ==，从而判断各选项．【详解】∵点C 是线段AB 的黄金分割点且AC ＞BC ，∴12BC AC AC AB ==，即AC 2=BC•AB ，故A 、B 错误；∴AB ，故C 错误；AC ，故D 正确；故选D ．【点睛】本题考查了黄金分割，掌握黄金分割的定义和性质是解题的关键．4．A【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．【详解】以原点O 为位似中心，将OAB 缩小为原来的12，∵点A 的坐标为()4,6∴点A 的对应点C 的坐标为114,622⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭，即()2,3故选：A ．【点睛】本题考查了位似变换的知识；解题的关键是熟练掌握位似变换的性质，从而完成求解．5．B【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】将223y x x =-+化为顶点式，得2(1)2y x =-+．将抛物线223y x x =-+向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为2(4)4y x =-+，故选B ．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．6．C【详解】试题解析：A 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＞0，b ＞0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，对称轴x=﹣2b a＜0，应在y 轴的左侧，故不合题意，图形错误． B 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＜0，b ＜0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．C 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＜0，b ＞0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，图象开口向下，对称轴x=﹣2b a位于y 轴的右侧，故符合题意， D 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＞0，b ＞0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，图象开口向下，a ＜0，故不合题意，图形错误．故选C ．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．7．C【详解】试题分析： ∵AD ∥BC∴∠ACB=∠DAC又∵∠B=∠ACD=90°∴△ABC ∽△DCA∴S △ABC ：S △DCA =AB 2：CD 2=22：32=4：9故选C考点：相似三角形的判定与性质8．A【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①由图示知，对称轴是直线x＝3122ba-=-，则2a+b＝0，故说法正确；②由图示知，当﹣1＜x＜3时，y＜0，故说法正确；③若（x1，y1）（x2，y2）在函数图象上，当1＜x1＜x2时，y1<y2，故说法错误；④由图示知，当x＝3时，y＝0，即9a+3b+c＝0，故说法正确．综上所述，正确的说法是①②④．故选：A．【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．9．C【分析】,如图，过点D作DF//AC交BE于点F，则△BCE~△BDF, △GDF~△GAE.再根据相似三角形的性质分别得到EC=52DF,AE=4DF.所以AE:EC=85.【详解】解：如图，过点D作DF//AC交BE于点F，则△BCE~△BDF, △GDF~△GAE.∴DFEC=BDBC,DF DGAE AG=,∵AG：GD＝4：1，BD：DC＝2：3,∴EC=52DF ,AE=4DF . ∴AE :EC =4DF :52DF =4：52=85. 故选C.【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，根据题意正确作出辅助线是解题的关键. 10．C【详解】试题分析：由题意可得BQ=x ．①0≤x≤1时，P 点在BC 边上，BP=3x ，则△BPQ 的面积=12BP•BQ ，解y=12•3x•x=232x ；故A 选项错误；②1＜x≤2时，P 点在CD 边上，则△BPQ 的面积=12BQ•BC ，解y=12•x•3=32x ；故B 选项错误；③2＜x≤3时，P 点在AD 边上，AP=9﹣3x ，则△BPQ 的面积=12AP•BQ ，解y=12•（9﹣3x ）•x=29322x x -；故D 选项错误． 故选C ．考点：动点问题的函数图象．11．13． 【分析】 根据已知条件得出23y x =，再把x y x -化成1y x -，然后代值计算即可得出答案． 【详解】∵:3:2x y =， ∴23y x =， ∴211133x y y x x -=-=-=． 故答案为：13．此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．12．45cm ．【分析】根据面积之比得出相似比，然后利用周长之比等于相似比即可得出答案．【详解】解：∵两个相似三角形面积比为4：25，∴两个相似三角形相似比为2：5，∴两个相似三角形周长比为2：5，∵小三角形的周长为18cm ， ∴1825=大三角形的周长， ∴小三角形的周长为：45cm ，故答案为：45cm ．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．13．x ＜0或1＜x ＜4【分析】根据图形，找出一次函数图象在反比例函数图象上方的x 的取值范围即可．【详解】解：根据图形，当x ＜0或1＜x ＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，y 1＞y 2． 故答案为：x ＜0或1＜x ＜4．【点睛】本题考查了反比例函数一次函数的交点问题，要注意y 轴左边的部分，一次函数图象在第二象限，反比例函数图象在第三象限，这也是本题容易忽视而导致出错的地方．14．403835()2⋅【分析】根据相似三角形对应边成比例得到的正方形的边长，进而表示正方形的面积，然后观察得到的正方形的面积即可得到规律，从而得到结论．解：正方形ABCD 的点A 的坐标为()1,0，点D 的坐标为()0,2，1OA ∴=，2OD =，AD =12OA OD =， 延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形111A B C C ，∵190DAO BAA ，90DAO ADO ∠+∠=︒，∴1BAA ADO ∠=∠，∵190AOD ABA ∠=∠=︒，1AA B ∴∽DAO ，112A B AB ∴=，AD AB ==1A B ∴=∴第1个正方形的面积为：215S ==；∴第2个正方形的面积为：2222135()2S AC ===⋅；同理可得，22212A C = 第3个正方形的面积为：4335()2S =⋅ ……∴第n 个正方形的面积为：2235()2n n S -=•∴第2020个正方形的面积为：4038202035()2S =⋅． 故答案为：403835()2⋅． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、规律型点的坐标，解决本题的关键是根据相似三角形对应边成比例得到的正方形面积寻找规律．15．5或345【分析】根据题意分两类进行讨论：BPQ BCA △∽△或BPQ BAC ∽，分别求得结果即可．【详解】∵8AB =，10BC =，点P 是AB 边的中点∴4BP =当BPQ BCA △∽△时 ∴BP BQBC BA = 即4108BQ= 解得：165BQ = ∴345CQ =当BPQ BAC ∽时 ∴BP BQBA BC = 即4810BQ=解得：5BQ =∴5CQ =∴5CQ =或345故答案为：5或345．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，正确进行分类讨论是解题的关键．16．4．【分析】根据相似三角形性的性质得到对应边成比例，列式求出AD 的长．【详解】∵△ABC ∽△ACD ，∴ABACAC AD =，∵AB ＝9，AC ＝6，∴966AD =，解得：AD ＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．17．（1）该抛物线与x 轴交点的坐标为()1,0， ()3,0，与y 轴交点的坐标为()0,3；（2）抛物线的顶点坐标是()2,1-．【分析】（1）运用二次函数与x 轴相交时，0y =，与y 轴相交时， 0x =，计算即可； （2）利用配方法将已知抛物线解析式转化为顶点式，然后得到顶点坐标即可．【详解】（1）令y ＝0，则2430x x -+=，解得x 1＝1，x 2＝3，所以该抛物线与x 轴交点的坐标为：()1,0，()3,0，令x ＝0，则y ＝3，所以该抛物线与y 轴交点的坐标为()0,3．（2）由抛物线()224321y x x x =-+=--知，该抛物线的顶点坐标是()2,1-． 【点睛】此题主要考查了二次函数与坐标轴的交点求法，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题时，需要熟悉抛物线解析式的三种不同形式间的转化．18．13． 【分析】 可以设345x y z k ===，则3x k =，4y k =，5z k =，把这三个式子代入所要求的式子，进行化简，即可求出式子的值．【详解】 设345x y z k ===， 则3x k =，4y k =，5z k =，代入可得，34541345123x y z k k k k x y z k k k k -+-+===++++． 【点睛】利用这个题目中的设法，把三个未知数的问题转化为一个未知数的问题，是解题的关键． 19．（1）（2，﹣2）；（2）（1，0）；（3）10．【详解】试题分析：（1）根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标；（2）根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标；（3）利用等腰直角三角形的性质得出△A 2B 2C 2的面积．试题解析：（1）如图所示：C 1（2，﹣2）；故答案为（2，﹣2）；（2）如图所示：C 2（1，0）；故答案为（1，0）；（3）∵=20，=20，=40，∴△A 2B 2C 2是等腰直角三角形，∴△A 2B 2C 2的面积是：××=10平方单位．故答案为10．考点：1、平移变换；2、位似变换；3、勾股定理的逆定理20．（1）上升阶段的函数关系式为y=2x（0≤x≤4），下降阶段的函数关系式为32yx（4≤x≤10）；（2）6．【详解】试题分析：（1）本题注意分段函数的解析似的求法，写出自变量的取值范围即可. （2）根据题意得出y=2在两个函数中的自变量的值，即可找出取值范围.试题解析：（1）当0≤x≤4时，设直线解析式为：y=kx，将（4，8）代入得：8=4k，解得：k=2，故直线解析式为：y=2x，当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y=ax，将（4，8）代入得：8=4a，解得：a=32，故反比例函数解析式为：y=32x；因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y=2x（0≤x≤4），下降阶段的函数关系式为y=32x（4≤x≤10）．（2）当y=2，则2=2x，解得：x=1，当y=2，则2=32x，解得：x=16，∵16﹣1=15（小时），∴血液中药物浓度不低于2微克/毫升的持续时间15小时．21．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据菱形的对角线平分一组对角可得∠CDB＝∠ADB，然后利用“边角边”证明△APD 和△CPD全等，然后根据全等三角形对应角相等证明即可（2）利用两组角对应相等则两三角形相似，证明△APE与△FP A相似；根据相似三角形的对应边成比例及全等三角形的对应边相等即可得到结论．【详解】（1）∵四边形ABCD 为菱形，∴DA ＝DC ，∠CDB ＝∠ADB ，在△ADP 和△CDP 中，AD CD BDC CBD DP DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADP ≌△CDP （SAS ），∴P A ＝PC ；（2）∵△ADP ≌△CDP ，∴∠P AD ＝∠PCD ，∵四边形ABCD 为菱形，∴DC ∥AB ，∴∠PCD ＝∠PF A ，∴∠P AE ＝∠PF A ，而∠APE ＝∠FP A ，∴△P AE ∽△PF A ，∴P A ：PF ＝PE ：P A ，∴P A 2＝PE •PF ，∵P A ＝PC ，∴PC 2＝PE •PF ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定，菱形的性质等知识点，本题中依据三角形的全等或相似得出线段的相等或比例关系是解题的关键．22．（1）见解析（2）【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC AB ∥CD∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180°∵∠AFE+∠AFD=180︒,∠AFE=∠B∴∠AFD=∠C∴△ADF ∽△DEC(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC CD=AB=4又∵AE ⊥BC ∴ AE ⊥AD在Rt △ADE 中，6==∵△ADF ∽△DEC∴AD AF DE CD =4AF=∴AF=23．（1）35元（2）销售单价应定为30元或40元（3）3600元【详解】解：（1）由题意，得：w = (x －20)·y=(x －20)·(10500x -+)21070010000x x =-+-352bx a =-=.答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．（2）由题意，得：210700100002000x x -+-=解这个方程得：x 1 = 30，x 2 = 40．答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元.（3）∵，∴抛物线开口向下.∴当30≤x≤40时，w≥2000．∵x≤32，∴当30≤x≤32时，w≥2000．设成本为P（元），由题意，得：20(10500)P x=-+20010000x=-+∵200k=-<0，∴P随x的增大而减小.∴当x = 32时，P最小＝3600.答：想每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少3600元．24．（1）见解析；（2）①见解析；②见解析．【分析】（1）延长DE交CF于点G，根据直角三角形的性质解答即可；（2）①根据题意可先证明△EMC∽△FMB，利用其结论DE AEEG CE=结合∠EMF＝∠BMC，即可证得结论；②由①可得结论∠EFC＝∠EBC，且由题意可推出∠EFD＝∠EDF，∠ECB＝∠EAB，从而证明结论即可．【详解】（1）延长DE交CF于G点，如图①：∵AD∥CF，且点E为AC中点，∴DE AE EG CE=，∴DE＝EG，∵AD⊥BD，∴CF⊥BD，∴∠CFD＝90°，∴EF＝12DG=DE；（2）①如图②，∵AB＝BC，E为AC中点，∴∠BEC＝90°，∴∠CEM＝∠BFM，∵∠EMC＝∠FMB，∴△EMC∽△FMB，∴EM CM FM BM，∵∠EMF＝∠BMC，∴△EFM∽△CBM，②∵△EFM∽△CBM，∴∠EFC＝∠EBC，∵∠ECB+∠EBC＝∠EFC+∠DFE＝90°，∴∠EFD＝∠ECB，由（1）可知ED＝EF，∴∠EFD＝∠EDF，∵BA＝BC，∴∠ECB＝∠EAB，∴△DEF∽△ABC．【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，熟练掌握相似三角形的判定并性质以及直角三角形的性质是解题关键．25．DE长为4【分析】根据平行线的性质和角平分线定义求出∠EDB=∠EBD，推出DE=BE，设DE=BE=x，证明△AED∽△ABC，得出比例式，代入求出即可．【详解】∵DE∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠CBD=∠ABD，∴∠EDB=∠EBD，∴DE=BE，设DE=BE=x，∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC，∴DE AE BC AB=，∴484xx=+，解得：4x=（负值舍去），∴DE=4．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，解此题的关键是求出DE=BE和证出△AED∽△ABC．。
沪科版九年级上册数学期中考试试题附答案
沪科版九年级上册数学期中考试试卷一、选择题。
（每小题只有一个正确答案） 1．下列函数中，不属于二次函数的是A ．()()212+--=x x yB ．22)2(--=x x yC ．y=1－322x D ．y=13)1(22-+x 2．抛物线()21y x =-与y 轴的交点坐标是（ ） A ．(0，1)；B ．(1，0)；C ．(0，-1)；D ．（0，0）．3．下列函数中，在x ＞0时，y 随x 增大而减小的是 A ．y=2x ﹣1B ．y=﹣x 2+7x+C ．y=﹣D ．y=4．对于二次函数y =(x -1)2+2的图象，下列说法正确的是（ ） A ．开口向下B ．对称轴是x =-1C ．顶点坐标是(1，2)D ．与x 轴有两个交点5．如图，已知P 是△ABC 边AB 上的一点，连接CP ，以下条件中条件中不能判定△ACP ∽△ABC 的是( ).A ．∠ACP=∠B B ．∠APC=∠ACBC ．2AC AP AB =⋅D ．AC ABCP BC= 6．已知点A （1，n ）在抛物线223y x x =+-上，则点A 关于抛物线对称轴的对称点坐标为A ． ()0,3-B ． ()2,3--C ． ()3,0-D ．()1,07．如图，在ABC 中，AB AC =，36A ∠=，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，若2AC =，则AD 的长是（ ）A ．512- B ．512+ C ．51- D ．51+8．已知二次函数2()y a x m n =-+的图象经过(0,5)、(10,8)两点．若0a <，010m <<， 则m 的值可能是．A ．2B ．8C ．3D ．521cnjy.c9．如图，过点O 作直线与双曲线y=（k≠0）交于A 、B 两点，过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，作BD ⊥y 轴于点D ．在x 轴上分别取点E 、F ，使点A 、E 、F 在同一条直线上，且AE=AF ．设图中矩形ODBC 的面积为S 1，△EOF 的面积为S 2，则S 1、S 2的数量关系是（ ）A ．S 1=S 2B ．2S 1=S 2C ．3S 1=S 2D ．4S 1=S 210．如图，△ABC 中，AB=AC=18，BC=12，正方形DEFG 的顶点E ，F 在△ABC 内，顶点D ，G 分别在AB ，AC 上，AD=AG ，DG=6，则点F 到BC 的距离为．A ．1B ．2C ．1226D ．626二、填空题 11．若12a b =，则a b b+= ． 12．如图，点A 是反比例函数图象上的一点，过点A 作AB y ⊥轴于点B ，点P 在x 轴上，若ABP 的面积为2，则该反比例函数的解析式为______．13．已知二次函数2y ax bx c =++中，函数y 与x 的部分对应值如下：则当5y <时，x 的取值范围是_______． 14．数学老师在小黑板上出道题目:已知二次函数，试添加一个条件，使它与x 轴交点的横坐标之积为2.学生回答：①二次函数与x 轴交点是（1,0）和（2,0）；②二次函数与x 轴交点是（-1,0）和（-2,0）；③二次函数与y 轴交点是（0,2）；④二次函数与y 轴交点是（0,3）． 则你认为学生回答正确的是________（填序号）．15．如图，D 是△ABC 的边AC 上的一点，连接BD ，已知∠ABD=∠C ，AB=6，AD=4，求线段CD 的长．三、解答题16．将抛物线y=x 2平移，使其在x=t 时取最值t 2，并且经过点（1，1），求平移后抛物线对应的函数表达式。
沪科版九年级上册数学期中考试试卷及答案详解
沪科版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．抛物线2y 2(x 1)3=+-的顶点坐标是（ ）A ．(13)，-B ．(13)，C ．(13)--，D ．(13)-， 2．在平面直角坐标系中，抛物线(5)(3)y x x =+-经过变换后得到抛物线(3)(5)y x x =+-，则这个变换可以是（ ）A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向左平移8个单位D ．向右平移8个单位3．已知点A （1，-3）关于x 轴的对称点A'在反比例函数k y=x 的图像上，则实数k 的值为（ ）A ．3B ．13C ．-3D ．1-3 4．已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h ＝－t 2＋24t ＋1.则下列说法中正确的是( )A ．点火后9 s 和点火后13 s 的升空高度相同B ．点火后24 s 火箭落于地面C ．点火后10 s 的升空高度为139 mD ．火箭升空的最大高度为145 m5．已知()2y x t 2x 2=+--，当x 1>时y 随x 的增大而增大，则t 的取值范围是() A ．t 0> B ．t 0= C ．t 0< D ．t 0≥ 6．如图，已知D 、E 分别为AB 、AC 上的两点，且DE ∥BC ，AE ＝3CE ，AB ＝8，则AD 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．如图，一张矩形纸片ABCD 的长AB a =，宽BC b.=将纸片对折，折痕为EF ，所得矩形AFED 与矩形ABCD 相似，则a ：b (= )A ．2：1B 1C ．3D ．3：28．三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（ ）A ．B ．C ．米D ．7米9．已知一次函数y ax b =+与反比例函数c y x=的图象在第二象限有两个交点，且其中一个交点的横坐标为1-，则二次函数2y ax bx c =+-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 10．图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）A ．点PB ．点OC ．点MD ．点N二、填空题11．若35a b b -= ，则a b=_________． 12．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的部分图象如图所示，则关于x 的方程ax 2+bx+c=0的两个根的和为_____．13．如图所示，点C 在反比例函数k y (x 0)x=>的图象上，过点C 的直线与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，且AB BC =，已知AOB 的面积为1，则k 的值为______．14．已知抛物线21y ax bx a=+-与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．（1）此抛物线的对称轴是直线______；（2）已知点11P ,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭，()Q 2,2，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，则a 的取值范围是______．15．如图，////AB GH CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，2AB =，3CD =，则GH 的长为 ．三、解答题16．九()1班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x 天(1x 80≤≤且x 为正整数)天的售价与销量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y 元．（1）求出y 与x 的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800．17．已知二次函数2y x bx c =++的图像经过点(4,3)和点(2,1)-，求该函数的表达式，并求出当03x 时，y 的最值.18．已知::2:3:4a b c =，且3215a b c +-=，求43a b c -+的值．19．如图，二次函数2y (x 2)m =++的图象与y 轴交于点C ，点B 在抛物线上，且点B 与点C 关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数y kx b =+的图象经过该二次函数图象上点()A 1,0-及点B ．（1）求二次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足2kx b (x 2)m +≥++的x 的取值范围．20．如图是反比例函数k y x=的图象，当4x 1-≤≤-时，4y 1-≤≤-．（1）求该反比例函数的解析式；（2）若M 、N 分别在反比例函数图象的两个分支上，请直接写出线段MN 长度的最小值．21．如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点，且AE ＞EB ，1S 表示AE 为边长的正方形面积，2S 表示以BC 为长，BE 为宽的矩形面积，3S 表示正方形ABCD 除去1S 和2S 剩余的面积，求3S ：2S 的值．22．如图，函数的图象11y k x b =+与函数()220k y x x=>的图象交于点A （2，1）、B,与y 轴交于C （0，3）(1)求函数y 1的表达式和点B 的坐标；(2)观察图象，比较当x ＞0时y 1与y 2的大小．23．如图，开口向下的抛物线与x 轴交于点()1,0A -、(2,0)B ，与y 轴交于点(0,4)C ，点P是第一象限内抛物线上的一点．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）设四边形CABP的面积为S，求S的最大值．24．如图，两个反比例函数y＝kx和y＝2x在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P（1，4）在C1上，P A⊥x轴于点A，交C2于点B（1，m），求k，m的值及△POB的面积．参考答案与详解1．C【详解】解：直接根据顶点式得到抛物线2y 2(x 1)3=+-的顶点坐标是(13)--， 故选：C2．B【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．【详解】y=（x+5）（x-3）=（x+1）2-16，顶点坐标是（-1，-16）．y=（x+3）（x-5）=（x-1）2-16，顶点坐标是（1，-16）．所以将抛物线y=（x+5）（x-3）向右平移2个单位长度得到抛物线y=（x+3）（x-5）， 故选B ．【点睛】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．3．A【分析】先求出A'坐标，代入函数解析式即可求出k.【详解】解：点A （1，-3）关于x 轴的对称点A'的坐标为：（1，3），将（1，3）代入反比例函数k y=x， 可得：k=1×3=3， 故选A.【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，根据对称的性质求出A'的坐标是解题关键. 4．D【详解】分析：分别求出t=9、13、24、10时h 的值可判断A 、B 、C 三个选项，将解析式配方成顶点式可判断D 选项．详解：A 、当t=9时，h=136；当t=13时，h=144；所以点火后9s 和点火后13s 的升空高度不相同，此选项错误；B 、当t=24时h=1≠0，所以点火后24s 火箭离地面的高度为1m ，此选项错误；C 、当t=10时h=141m ，此选项错误；D、由h=-t2+24t+1=-（t-12）2+145知火箭升空的最大高度为145m，此选项正确；故选D．点睛：本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．5．D【分析】可先求得抛物线的对称轴，再利用增减性可得到关于t的不等式，可求得答案．【详解】解：∵y＝x2＋（t−2）x−2，∴抛物线对称轴为x＝−22t-，开口向上，∴在对称轴右侧y随x的增大而增大，∵当x＞1时y随x的增大而增大，∴−22t-≤1，解得t≥0，故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的增减性得到关于t的不等式是解题的关键．6．D【分析】先根据DE∥BC，得出△ADE∽△ABC，再由相似三角形对应边成比例可得出AD的长．【详解】∵AE=3CE∴AC=4CE∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC∴AD AE AB AC=∴3 84 AD CECE=∴AD=6 故选：D．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键，本题也可根据平行线分线段成比例定理求解．7．B【分析】根据折叠性质得到AF＝12AB＝12a，再根据相似多边形的性质得到AB ADAD AF＝，即12a bb a＝，然后利用比例的性质计算即可．【详解】解：∵矩形纸片对折，折痕为EF，∴AF＝12AB＝12a，∵矩形AFED与矩形ABCD相似，∴AB ADAD AF＝，即12a bb a＝，∴a∶b.所以答案选B.【点睛】本题考查了相似多边形的性质：相似多边形对应边的比叫做相似比．相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．8．B【分析】根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为A 的小孔所在抛物线的解析式，将x=﹣10代入可求解．【详解】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO=32，设大孔所在抛物线解析式为y=ax2+32，∵BC=10，∴点B（﹣5，0），∴0=a×（﹣5）2+32，∴a=-3 50，∴大孔所在抛物线解析式为y=-350x2+32，设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=m（x﹣b）2，∵EF=14，∴点E的横坐标为-7，∴点E坐标为（-7，-3625），∴-3625=m（x﹣b）2，∴x1，x2，∴MN=4，∴（）|=4∴m=-925，∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=-925（x﹣b）2，∵大孔水面宽度为20米，∴当x=-10时，y=-92， ∴-92=-925（x ﹣b ）2，∴x 1，x 2，∴单个小孔的水面宽度=|）-（）， 故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．9．A【分析】根据一次函数与反比例函数的位置关系即可得到a ，b ，c 和0的大小关系，从而判断二次函数2y ax bx c =+-的图像走向即可.【详解】一次函数和反比例函数的两个交点在第二象限0a ∴>，0b >，0c <∴二次函数2y ax bx c =+-的图像开口向上，与y 轴交于正半轴，02b a-<，对称轴在y 轴左侧其中一个交点的横坐标为1- a b c ∴-+=-，即0a b c --=∴二次函数2y ax bx c =+-的图像与x 轴有一个交点为()1,0-，故选：A.【点睛】本题主要考查了通过一次函数和反比例函数的关系判断a 、b 、c 和0的大小关系；得到三者的相关特性是判断二次函数图像走势的关键.错因分析中等难度题.失分原因是：1.不会通过题干给出的一次函数和反比例函数的两个交点在第二象限得出a、b、c和0的大小关系；2.不会运用题干给出的其中一个交点的横坐标为得出a、b、c三者之间的关系.10．A【分析】连接其中的两对对应点，它们所在直线的交点即为位似中心．【详解】解：如图所示，连接两对对应点之后，它们的连线都经过点P，因此位似中心是点P；故选：A．【点睛】本题考查了位似图形、位似中心的概念，要求学生理解相关概念并能通过连线正确判断出位似中心，本题较基础，考查了学生对基础概念的理解与掌握．11．8 5【分析】直接利用已知进而变形得出a，b的关系．【详解】解：∵35 a bb-=∴3b=5a-5b，则5a=8b，∴85 ab=故答案为：85【点睛】 此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．12．2【详解】解：根据函数的图像可知其对称轴为x=-2b a =1，解得b=-2a ，然后可知两根之和为x 1+x 2=-b a =2.故答案为：2【点睛】此题主要考查了二次函数的图像与一元二次方程的关系，解题关键是由函数的图像求得对称轴x=-2b a ，然后根据一元二次方程的根与系数的关系x 1+x 2=-b a求解即可. 13．13．4【分析】根据题意可以设出点A 的坐标，从而以得到点C 和点B 的坐标，再根据AOB 的面积为1，即可求得k 的值．【详解】解：设点A 的坐标为()a,0-，过点C 的直线与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，且AB BC =，AOB 的面积为1，∴点k C a,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴点B 的坐标为k 0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1k a 122a∴⋅⋅=， 解得，k 4=，故答案为4．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．14．x 1= 1a 2≤-【分析】（1）直接根据抛物线的对称性即可求解；（2）根据二次函数的图象和性质即可求解．【详解】解：(1)∵抛物线过点A （0，1a -）和点B （2，1a -），由对称性可得，抛物线对称轴为 直线02x 12+==，故对称轴为直线x=1； 故答案为：x=1；(2)①当a>0时，则10a-<，分析图象可得:根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A 和点P ；也不可能同时经过点B 和点Q ，所以，此时线段PQ 与抛物线没有交点； ②当a<0时，则10a->，分析图象可得:根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A 和点P ；但当点Q 在点B 上方或与点B 重合时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，此时12a-≤即1a 2≤-． 综上所述，当1a 2≤-时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点． 故答案为：1a 2≤-． 【点睛】 此题主要考查抛物线的对称性、二次函数的图象和性质，正确理解性质是解题关键． 15．65【分析】 根据平行线分线段成比例定理，由AB ∥GH ，得出GH CH AB BC =，由GH ∥CD ，得出3GH BH BC=，将两个式子相加，即可求出GH 的长． 【详解】解：//AB GH ，GH CH AB BC ∴=， 即2GH CH BC=①， //GH CD ，GH BH CD BC ∴=， 即3GH BH BC=②， ①+②， 得23GH GH CH BH BC BC +=+， CH BH BC +=，123GH GH ∴+=， 解得65GH =． 故答案为：65 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算．本题难度适中． 16．（1）()()y 2100x x 10=-+或()y 120100x =-；（2）第41天，利润最大，最大利润为7080元；（3）共有41天．【分析】（1）根据总利润等于单价减去成本再乘以件数即可；（2）按1≤x≤40和41≤x≤80时函数表达式求最大值即可；（3）按1≤x≤40和41≤x≤80时函数表达式y≥4800即可求解．【详解】解：（1）由题意得：()()y 2002x x 4030=-+-或()()y 2002x 9030=--， 即为()()y 2100x x 10=-+或()y 120100x =-；（2）当1x 40≤≤时，()()y 2x 10x 100=-+-，则函数对称轴为45x =， 故x 40=时，函数取得最大值为6000，当41x 80≤≤时，y 12000120x =-，函数在x 41=时，取得最大值为：7080， 故：第41天，利润最大，最大利润为7080元；（3）当1x 40≤≤时，()()y 2x 10x 1004800=-+-≥，解得：20x 70≤≤，20x 40≤≤，为21天，则函数对称轴为45x =，故x 40=时，函数取得最大值为4000，当41x 80≤≤时，y 12000120x 4800=-≥，x 60≤，即：41x 60≤≤，为20天， 故：共有41天．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值(或最小值)，也就是说二次函数的最值不一定在b x 2a=-时取得． 17．当x=0时，y 有最大值是3【分析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据二次函数的性质求出最大值即可．【详解】解：∵二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过点（4，3），（3，0），∴1643930b c b c ++=⎧⎨++=⎩， 解得，43b c =-⎧⎨=⎩， ∴函数解析式为：y=x 2-4x+3，y=x 2-4x+3=（x-2）2-1，∴当x=0时，y 有最大值是3．【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的最值，掌握待定系数法求解析式的一般步骤是解题的关键．18．15．【分析】先根据比例式设2,3,4(0)a k b k c k k ===≠，再根据3215a b c +-=求出k 的值，从而可得,,a b c 的值，然后代入求值即可得．【详解】由题意设2,3,4(0)a k b k c k k ===≠，3215a b c +-=，29815k k k ∴+-=，解得5k =，10,15,20a b c ∴===，4341031520a b c ∴-+=⨯-⨯+，404520=-+，15=．【点睛】本题考查了比例的性质的应用、解一元一次方程、代数式求值，熟练掌握“设k 法”是解题关键．19．（1）抛物线解析式为2y (x 2)1=+-；（2）满足2kx b (x 2)m +≥++的x 的取值范围为4x 1-≤≤-．【分析】() 1先利用待定系数法求出m ，即可求得抛物线的解析式；()2先求得C 的坐标，然后根据对称性求出点B 坐标，即可根据二次函数的图象在一次函数的图象下面即可写出自变量x 的取值范围．【详解】解：()1抛物线2y (x 2)m =++经过点()A 1,0-，01m ∴=+，m 1∴=-，∴抛物线解析式为2y (x 2)1=+-；()2令x 0=，则2y (x 2)13=+-=，∴点C 坐标()0,3，对称轴为直线x 2=-，B 、C 关于对称轴对称，∴点B 坐标()4,3-，由图象可知，满足2kx b (x 2)m +≥++的x 的取值范围为4x 1-≤≤-．【点睛】本题考查二次函数与不等式、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定二次函数解析式，学会利用图象根据条件确定自变量取值范围．20．（1）反比例函数的解析式为4y x=；（2）线段MN 的最小值为 【分析】（1）用待定系数法求反比例函数的解析式；（2）经观察后可发现当MN 为直线y x =与双曲线的两个交点时，线段MN 最短；联立两方程可求得两交点的坐标()M 2,2，()N 2,2--，然后根据两点之间的距离公式求得线段MN 的最小值．【详解】解：()1在反比例函数的图象中，当4x 1-≤≤-时，4y 1-≤≤-， ∴反比例函数经过坐标()4,1--，k 41∴-=-， k 4∴=，∴反比例函数的解析式为4y x=； ()2当M ，N 为一，三象限角平分线与反比例函数图象的交点时，线段MN 最短． 将y x =代入4y x=， 解得x 2y 2=⎧⎨=⎩或x 2y 2=-⎧⎨=-⎩， 即()M 2,2，()N 2,2--．OM ∴=则MN =．∴线段MN 的最小值为【点睛】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式，在第()2问中关键是要正确判断MN 何时出现最小值．21． 【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （BC ＞AC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．其中12AC AB =，由定义可得：2AE AB BE =，设1,1,AB BE AB AE AE ==-=- 求解,AE BE ，从而可得答案．【详解】解：如图，设1AB =，点E 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点，且AE ＞EB ，2AE AB BE ∴=，2AE AB AE ∴=-，210,AE AE ∴+-=AE ∵＞0，12AE GF ∴==， 正方形ABCD ,正方形AEFG ，,,AB AD AE AG ∴==,DG BE ∴=32BE DG AB AE ∴==-=， 3S ∴：()2S GF DG =⋅：()BC BE ⋅=⎝⎭：1⎛ ⎝⎭12=． 【点睛】本题考查了黄金分割、矩形的性质、正方形的性质，一元二次方程的解法，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．22．(1)13,(1,2)y x B =-+；（2）当0＜x ＜1或x ＞2时，y 1＜y 2;当1＜x ＜2时，y 1＞y 2;当x=1或x=2时，y 1=y 2【分析】（1）先用待定系数法求一次函数的解析式，再通过解方程组，求B 的坐标；（2）根据函数图象分析函数值的大小．【详解】解：（1）由题意，得1213k b b +=⎧⎨=⎩解得113k b =-⎧⎨=⎩∴13y x =-+又A 点在函数()220k y x x =>上，所以212k =，解得22k = 所以222k y =解方程组32y xy x=-+⎧⎪⎨=⎪⎩得1112x y =⎧⎨=⎩2221x y =⎧⎨=⎩所以点B 的坐标为（1, 2）．（2）当0＜x ＜1或x ＞2时，y 1＜y 2;当1＜x ＜2时，y 1＞y 2;当x=1或x=2时，y 1=y 2．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合，利用数形结合思想解题是关键．23．（1）2224y x x =-++；（2）8【分析】（1）设二次函数表达式为()()12y a x x =+-，再将点C 代入，求出a 值即可；（2）连接OP ，设点P 坐标为（m ，2224m m -++），m ＞0，利用S 四边形CABP =S △OAC +S △OCP +S △OPB 得出S 关于m 的表达式，再求最值即可.【详解】解：（1）∵A （-1，0），B （2，0），C （0，4），设抛物线表达式为：()()12y a x x =+-，将C 代入得：，解得：a=-2，∴该抛物线的解析式为：()()2212224y x x x x =-+-=-++；（2）连接OP ，设点P 坐标为（m ，2224m m -++），m ＞0，∵A （-1，0），B （2，0），C （0，4），可得：OA=1，OC=4，OB=2，∴S=S 四边形CABP =S △OAC +S △OCP +S △OPB =()21111442224222m m m ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-++=2246m m -++当m=1时，S 最大，且为8.【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数表达式，解题的关键是能将四边形CABP 的面积表示出来.24．k=4，m=2，POB S1=． 【详解】试题分析：将点P 的坐标代入C 1的解析式即可求出k 的值；将点B 的横坐标代入C 2的解析式即可求出m 的值；S △POB =S △POA －S △BOA ，由反比例函数k 的几何意义可以分别求出S △POA 、S △BOA 的值.试题解析：∵P （1，4），∴k =4；∵B （1，m ），C 2解析式为：y =2x，∴m =2； S △POB =S △POA －S △BOA =2－1=1.点睛：掌握反比例函数k 的几何意义.。
沪科版九年级上册数学期中考试试题含答案解析
沪科版九年级上册数学期中考试试卷一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．下列关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量) （ ）A ．22y a x =B ．y =C ．21y x =D ．218y x =2．已知x:y=5:2，则下列各式中不正确的是（ ） A ．72x y y += B ．53x y x =- C ．57x x y =+ D ．32x y y -= 3．如果反比例函数y ＝1k x-的图象经过点(－1，－2)，则k 的值是 ( ) A ．2B ．－2C ．－3D ．34．如果抛物线y=-(x-1)2经过平移可以与抛物线y=-x 2重合，那么这个平移是( ) A ．向上平移1个单位 B ．向下平移1个单位 C ．向左平移1个单位D ．向右平移1个单位5．已知三角形的面积一定，则它底边a 上的高h 与底边a 之间的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．抛物线y=2x 2﹣与坐标轴的交点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B ．如果△ABD 的面积为15，那么△ACD 的面积为（ ）A ．15B ．10C ．152D ．5 8．如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴为直线x=1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac ＜b 2；②方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1=﹣1，x 2=3；③3a+c ＜0④当y ＞0时，x 的取值范围是﹣1≤x ＜3⑤当x ＜0时，y 随x 增大而增大其中结论正确的个数是（ ）A．5个B．4个C．3个D．2个9．如图，点E，点F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于H，若HFDF＝2，则HFBG的值为（）A．23B．712C．12D．51210．如图,边长为4的正方形ABCD边上的动点P从A点出发,以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动,同时动点Q从B点出发,以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动,当点P到B点时,P,Q两点同时停止运动.设P点的运动时间为t,△APQ的面积为S,则S与t 的函数关系式的图象是()A．B．C．D．二、填空题11．把长度为4cm的线段进行黄金分割，则较长线段的长是__________cm．12．二次函数2y ax bx c =++中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表，则m 的值为 __________．13．如图，在△AOB 中，∠AOB =90°，点A 的坐标为（2，1），BO =反比例函数y x=的图象经过点B ，则k 的值为________．14．已知抛物线2:p y ax bx c =++的顶点为C ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），点C 关于x 轴的对称点为'C ，我们称以A 为顶点且过点'C ，对称轴与y 轴平行的抛物线为抛物线p 的“梦之星”抛物线，直线'AC 为抛物线p 的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是221y x x =++和22y x =+，则这条抛物线的解析式为________．三、解答题 15．若578a b c==，且3a-2b+c=3，求2a+4b-3c 的值．16．如图，已知抛物线y=ax 2+bx －3的对称轴为直线x=1，交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C 点，其中B 点的坐标为(3，0)． (1)直接写出A 点的坐标；(2)求二次函数y=ax 2+bx －3的解析式．17．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且AD DF AC CG=．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若12ADAC=，求AFFG的值．18．如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，直接写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．19．如图，△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，E在△ABC内，∠CAE＋∠CBE＝90°，连接BF.(1)求证：△CAE ∽△CBF ； (2)若BE ＝1，AE ＝2，求CE 的长．20．已知，二次函数2(y ax bx c a =++≠0)的图像经过点（3，5）、（2，8）、（0，8）． ①求这个二次函数的解析式；②已知抛物线211111(y a x b x c a =++≠0)，222222(y a x b x c a =++≠0)，且满足111222(a b c k k a b c ===≠0，1)，则我们称抛物线12与y y 互为“友好抛物线”，请写出当12k =-时第①小题中的抛物线的友好抛物线，并求出这“友好抛物线”的顶点坐标．21．如图，已知反比例函数y 1＝1k x与一次函数y 2＝k 2x+b 的图象交于点A （1，8），B （﹣4，m ）两点．（1）求k 1，k 2，b 的值； （2）求△AOB 的面积； （3）请直接写出不等式1k x≤2k x+b 的解．22．九年级数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x 天（1≤x≤90，且x 为整数）的售价y （单位：元/件）与时间x （单位：天）的函数关系式为y=40(050,90(5090,x x x x x +≤≤⎧⎨<≤⎩且为整数）且为整数）；在第x 天的销售量p （单位：件）与时间x （单位：天）的函数关系的相关信息如下表．已知商品的进价为30元/件，每天的销售利润为w （单位：元）．（1）求出w 与x 的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润； （3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？23．如图，已知抛物线经过原点O ，顶点为A （1，1），且与直线y=x ﹣2交于B ，C 两点．（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标； （2）求证：△ABC 是直角三角形；（3）若点N 为x 轴上的一个动点，过点N 作MN ⊥x 轴与抛物线交于点M ，则是否存在以O ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与解析1．D【解析】根据二次函数的定义判定即可．解：A、D、a=0时，a2=0，不是二次函数，错误；B、y=，被开方数含自变量，不是二次函数，错误；C、y=，分母中含自变量，不是二次函数，错误；D、y=x2，是二次函数，正确；故选D．2．B【解析】试题解析：A、由合比性质得，72x yy+=，故A正确；B、由反比性质，得y：x=2：5．由分比性质得35y xx-=-，再由反比性质得53xy x=--，故B错误；C、由反比性质，得y：x=2：5．由合比性质得75y xx+=，再由反比性质得57xy x=+，故C正确；D、由分比性质，得32y xy-=，故D正确；故选B．考点：比例的性质．3．D【分析】此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．解答此题时，借用了“反比例函数图象上点的坐标特征”这一知识点.根据反比例函数图象上点的坐标特征，将（-1，-2）代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数k的方程，通过解方程即可求得k的值．【详解】根据题意，得-2=11k，即2=k-1，解得，k=3．故选D．考点：待定系数法求反比例函数解析式．4．C【解析】根据抛物线顶点的平移可得抛物线是如何平移的．解：∵抛物线y=-（x-1）2的顶点为（1，0）；抛物线y=-x2的顶点为（0，0）；从（1，0）到（0，0）是向左平移了1个单位，∴抛物线也是如此平移的．故选C．“点睛”本题考查抛物线的平移；用到的知识点为：抛物线的平移要看顶点的平移；只横坐标改变是左右平移．5．D【分析】先写出三角形底边a上的高h与底边a之间的函数关系，再根据反比例函数的图象特点得出．【详解】解：已知三角形的面积s一定，则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系为S=12ah，即2sha=；该函数是反比例函数，且2s＞0，h＞0；故其图象只在第一象限．故选D．【点睛】本题考查反比例函数的图象特点：反比例函数kyx=的图象是双曲线，与坐标轴无交点，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．6．C【解析】根据一元二次方程2x2-2+1=0的根的判别式的符号来判定抛物线y=2x2-2+1-与x轴的交点个数．解：当y=0时，2x2-2+1=0．∵△=（-2）2-4×2×1=0，∴一元二次方程2x2-2+1=0有两个相等的实数根，∴抛物线y=2x2-2+1与x轴有一个交点，∴抛物线2x2-2+1=0与两坐标轴的交点个数为2个．故选C．7．D【解析】首先证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，因为△ABD的面积为9，进而求出△ACD的面积．解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ACD∽△BCA，∵AB=4，AD=2，∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，∴△ACD的面积：△ABD的面积=1：3，∵△ABD的面积为15，∴△ACD的面积∴△ACD的面积=5．故选D．“点睛”本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型．8．C【解析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=﹣2a，然后根据x=﹣1时函数值为负数可得到3a+c＜0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，所以②正确；∵x=﹣=1，即b=﹣2a，而x=﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，∴a+2a+c＜0，所以③错误；∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．故选C．9．B【分析】设DF=a，则DF=AE=a，AF=EB=2a，由△HFD∽△BFA，得1,2HD DF HFAB AF FB===求出FH，再由HD∥EB，得△DGH∽△EGB，得1.53,24HG HD aGB EB a===求出BG即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∵AF=2DF，设DF=a，则DF=AE=a，AF=EB=2a，∵HD∥AB，∴△HFD∽△BFA，∴1,2 HD DF HFAB AF FB===∴HD=1.5a，1,3 FHBH=∴FH=13 BH，∵HD∥EB，∴△DGH∽△EGB，∴1.53,24 HG HD aGB BE a===∴4,7 BGHB=∴4,7BG HB=∴173.4127BHHFBG BH==故选：B．【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定、菱形的性质等知识，解题的关键是利用相似三角形的性质解决问题，学会设参数，属于中考常考题型．10．D【解析】本题应分两段进行解答，①点P在AB上运动，点Q在BC上运动，②点P在AB上运动，点Q在CD上运动，依次得出S与t的关系式即可得出函数图象．解：①点P在AB上运动，点Q在BC上运动，此时AP=t，QB=2t，故可得S=AP•QB=t2，函数图象为抛物线；②点P在AB上运动，点Q在CD上运动，此时AP=t，△APQ底边AP上的高维持不变，为正方形的边长4，故可得S=AP×4=2t，函数图象为一次函数．综上可得总过程的函数图象，先是抛物线，然后是一次增函数．故选D．“点睛”此题考查了动点问题的函数图象，解答本题关键是分段求解，注意在第二段时，△APQ 底边AP上的高维持不变，难度一般．11．()2cm．【解析】根据黄金分割的定义得到较长线段的长=×4，然后进行二次根式的运算即可．解：较长线段的长=×4=（2）cm．故答案为（2）cm．12．-1．【解析】二次函数的图象具有对称性，从函数值了看，函数值相等的点就是抛物线的对称点，由此可推出抛物线的对称轴，根据对称性求m的值．解：根据图表可以得到，点（-2，7）与（4，7）是对称点，点（-1，2）与（3，2）是对称点，∴函数的对称轴是：x=1，∴横坐标是2的点与（0，-1）是对称点，∴m=-1．13．﹣8．【解析】根据∠AOB=90°，先过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，构造相似三角形，再利用相似三角形的对应边成比例，列出比例式进行计算，求得点B的坐标，进而得出k 的值．解：过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，垂足分别为C、D，则∠OCA=∠BDO=90°，∴∠DBO+∠BOD=90°，∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，∴∠DBO=∠AOC ，∴△DBO ∽△COA ，∴，∵点A 的坐标为（2，1），∴AC=1，OC=2，∴AO==， ∴，即BD=4，DO=2，∴B （﹣2，4），∵反比例函数y=的图象经过点B ，∴k 的值为﹣2×4=﹣8． 故答案为：﹣8． 14．223y x x =--【分析】先求出y=x 2+2x+1和y=2x+2的交点C′的坐标为（1，4），再求出“梦之星”抛物线y=x 2+2x+1的顶点A 坐标（-1，0），接着利用点C 和点C′关于x 轴对称得到C （1，-4），则可设顶点式y=a （x-1）2-4，然后把A 点坐标代入求出a 的值即可得到原抛物线解析式．【详解】∵y=x 2+2x+1=(x+1)2，∴A 点坐标为(−1,0)，解方程组22122y x x y x ⎧=++⎨=+⎩得10x y =-⎧⎨=⎩或14x y =⎧⎨=⎩， ∴点C′的坐标为(1,4)，∵点C 和点C′关于x 轴对称，∴C(1,−4)，设原抛物线解析式为y=a(x−1)2−4，把A(−1,0)代入得4a−4=0，解得a=1，∴原抛物线解析式为y=(x−1)2−4=x 2−2x−3.故答案为y=x 2−2x−3.【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质与运算.15．143． 【解析】先设a=5k ，则b=7k ，c=8k ，而3a-2b+c=3，那么15k-14k+8k=3，易求k ，进而可求a 、b 、c 的值，从而易求2a+4b-3c 的值．解：设a=5k ，则b=7k ，c=8k ，又3a-2b+c=3，则15k-14k+8k=3，得k=，即a=，b=，c=，所以2a+4b-3c=．16．（1）（－1，0）；（2）223y x x =--【分析】（1）由抛物线y=ax 2+bx-3的对称轴为直线x=1，交x 轴于A 、B 两点，其中B 点的坐标为（3，0），根据二次函数的对称性，即可求得A 点的坐标；（2）利用待定系数法，将A （-1，0）、B （3，0）两点的坐标代入y=ax 2+bx-3，即可求得二次函数y=ax 2+bx-3的解析式.【详解】（1）∵抛物线23y ax bx =+-对称轴为直线1x =，交x 轴于A 、B 两点，其中B 点坐标为（3，0），∴A 点横坐标为：1312-=-， ∴A 点坐标为：（－1，0）（2）将A （－1，0），B （3，0）代入23y ax bx =+-得309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得：12a b =⎧⎨=-⎩故抛物线解析式为：223y x x =--考点：1．待定系数法，2．二次函数的解析式17．（1）见解析（2）11.【解析】（1）欲证明△ADF∽△ACG，由可知，只要证明∠ADF=∠C即可．（2）利用相似三角形的性质得到，由此即可证明．【解答】（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，∴∠ADF=∠C，∵，∴△ADF∽△ACG．（2）解：∵△ADF∽△ACG，∴，又∵，∴，∴1．18．（1）y=﹣x﹣1；（2）x＜﹣4或x＞﹣1．【解析】（1）先利用待定系数法先求出m，再求出点B坐标，利用方程组求出太阳还是解析式．（2）根据二次函数的图象在一次函数的图象上面即可写出自变量x的取值范围．解：（1）∵抛物线y=（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），∴0=1+m，∴m=﹣1，∴抛物线解析式为y=（x+2）2﹣1=x2+4x+3，∴点C坐标（0，3），∵对称轴x=﹣2，B、C关于对称轴对称，∴点B坐标（﹣4，3），∵y=kx+b经过点A、B，∴，解得，∴一次函数解析式为y=﹣x﹣1，（2）由图象可知，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围为x＜﹣4或x＞﹣1．19．（1）证明见解析；（2【分析】（1）首先由△ABC 和△CEF 均为等腰三角形可得AC CE BC CF==∠ACE=∠BCF ；然后根据相似三角形判定的方法，推得△CAE ∽△CBF ；（2）首先根据△CAE ∽△CBF ，判断出∠CAE=∠CBF ，再根据∠CAE+∠CBE=90°，判断出∠EBF=90°；然后在Rt △BEF 中，根据勾股定理，求出EF 的长度，再根据CE 、EF 的关系，求出CE 的长是多少即可.【详解】解：（1）证明：∵△ABC 和△CEF 均为等腰直角三角形，∴AC CE BC CF==∠ACB=∠ECF=45°， ∴∠ACE=∠BCF ，∴△CAE ∽△CBF ；（2）∵△CAE ∽△CBF ，∴∠CAE=∠CBF ，AE AC BF BC ==又∵AE AC BF BC==AE=2∴2BF=∴又∵∠CAE+∠CBE=90°，∴∠CBF+∠CBE=90°，∴∠EBF=90°，∴EF 2=BE 2+BF 2=12+2=3，∴∵CE 2=2EF 2=6，∴【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解决问题的前提．20．（1）228y x x =-++；（2）（1，-18）或（1，92-）【解析】（1）先把三个点的坐标的人y=ax2+bx+c=0（a≠0）得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c 的值；（2）根据图中的定义得到===-或===-，则可得到友好抛物线的解析式是：y=2x2-4x-16或y=x2-x-4，然后分别配成顶点式，则可得到它们的顶点坐标. 解：（1）根据题意，得可以解得，∴这个抛物线的解析式是．（2）根据题意，得或解得a2=2，b2=-4，c2=-16或a1=，b1=-1，c1=-4，,友好抛物线的解析式是：y=2x2-4x-16或y=x2-x-4，∴它的顶点坐标是（1，-18）或（1，）“点睛”二次函数是初中数学的一个重要内容之一，其中解析式的确定一般都采用待定系数法求解，但是要求学生根据给出的已知条件的不同，要能够恰当地选取合适的二次函数解析式的形式，选择得当则解题简捷，若选择不得当，就会增加解题的难度．21．（1）k1=8，k2=2，b=6；（2）15；（3）-4≤x＜0或x≥1【分析】（1）将A点的坐标代入反比例函数的解析式，可得出反比例函数解析式，再结合点B的横坐标即可得出点B的坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；（2）先求出一次函数图像与y轴的交点坐标，再将△AOB的面积分成两个小三角形面积分别求解即可；（3）根据两函数图像的上下位置关系即可得出不等式的解集.【详解】解：（1）∵反比例函数y=1k x与一次函数y=k 2x+b 的图象交于点A （1，8）、B （-4，m ）， ∴k 1=1×8=8，m=8÷（-4）=-2，∴点B 的坐标为（-4，-2）．将A （1，8）、B （-4，-2）代入y 2=k 2x+b 中， 22842k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得：226k b =⎧⎨=⎩． ∴k 1=8，k 2=2，b=6．（2）当x=0时，y 2=2x+6=6，∴直线AB 与y 轴的交点坐标为（0，6）．∴S △AOB =12×6×4+12×6×1=15． （3）观察函数图象可知：当-4＜x ＜0或x ＞1时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，∴不等式12k k x≤x+b 的解为-4≤x ＜0或x≥1． 22．（1）w=()()221802000050,12012005090,x x x x x x x 且为整数且为整数⎧-++≤≤⎪⎨-+<≤⎪⎩；（2）6050元；（3）5600元． 【解析】（1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案；（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；（3）根据二次函数值大于或等于5600，一次函数值大于或等于56000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案．解：（1）设每天的销售量p 与时间x 的函数关系式为p=mx+n∵p=mx+n 过点（60，80）、（30，140），∴，解得：，∴p=﹣2x+200（0≤x≤90，且x 为整数），当0≤x≤50时，w=（y ﹣30）•p=（x+40﹣30）（﹣2x+200）=﹣2x 2+180x+2000；当50＜x≤90时，w=（90﹣30）（﹣2x+200）=﹣120x+12000．综上所示，每天的销售利润w 与时间x 的函数关系式是w=．（2）当0≤x≤50时，w=﹣2x 2+180x+2000=﹣2（x ﹣45）2+6050，∵a=﹣2＜0且0≤x≤50，∴当x=45时，w 取最大值，最大值为6050元．当50＜x≤90时，w=﹣120x+12000，∵k=﹣120＜0，w 随x 增大而减小，∴当x=50时，w 取最大值，最大值为6000元．∵6050＞6000，∴当x=45时，w 最大，最大值为6050元．即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元．（3）当0≤x≤50时，令w=﹣2x 2+180x+2000≥5600，即﹣2x 2+180x ﹣3600≥0，解得：30≤x≤50， 50﹣30+1=21（天）；当50＜x≤90时，令w=﹣120x+12000≥5600，即﹣120x+6400≥0，解得：50＜x≤53，∵x 为整数，∴50＜x≤53，53﹣50=3（天）．综上可知：21+3=24（天），故该商品在销售过程中，共有24天每天的销售利润不低于5600元．23．（1）B （2，0），C （﹣1，﹣3）；（2）△ABC 是直角三角形；（3）（53，0）或（73，0）或（﹣1，0）或（5，0）．【解析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C 点坐标；（2）分别过A 、C 两点作x 轴的垂线，交x 轴于点D 、E 两点，结合A 、B 、C 三点的坐标可求得∠ABO=∠CBO=45°，可证得结论；（3）设出N 点坐标，可表示出M 点坐标，从而可表示出MN 、ON 的长度，当△MON 和△ABC 相似时，利用三角形相似的性质可得或，可求得N 点的坐标．解：（1）∵顶点坐标为（1，1），∴设抛物线解析式为y=a （x ﹣1）2+1，又抛物线过原点，∴0=a （0﹣1）2+1，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x ﹣1）2+1，即y=﹣x 2+2x ，联立抛物线和直线解析式可得，解得或，∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形；（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，﹣x2+2x），∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|，由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB=，BC=3，∵MN⊥x轴于点N∴∠ABC=∠MNO=90°，∴当△ABC和△MNO相似时有或，①当时，则有=，即|x||﹣x+2|=|x|，∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，∴x≠0，∴|﹣x+2|=，即﹣x+2=±，解得x=或x=，此时N点坐标为（，0）或（，0）；②当时，则有=，即|x||﹣x+2|=3|x|，∴|﹣x+2|=3，即﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1，此时N点坐标为（﹣1，0）或（5，0），综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．“点睛”本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的性质及分类讨论等．在（1）中注意顶点式的运用，在（3）中设出N、M的坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键，注意相似三角形点的对应．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．。
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沪科版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．下列函数关系中，是二次函数的是（ ）A ．在弹性限度内，弹簧的长度y 与所挂物体质量x 之间的关系B ．当距离一定时，火车行驶的时间t 与速度v 之间的关系C ．等边三角形的周长c 与边长a 之间的关系D ．圆心角为120°的扇形面积S 与半径R 之间的关系2．反比例函数k y x=的图象过点()3,5-，则k 的值为（ ） A ．15 B ．1 15 C ．-15 D ．3 5- 3．下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ） A ．21xy x += B ．220x y -+= C ．21y x= D ．243y x -= 4．已知矩形的面积为36cm 2，相邻的两条边长为xcm 和ycm ，则y 与x 之间的函数图像大致是A ．B ．C ．D ． 5．某产品进货单价为9元，按10一件售出时，能售100件，如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10件，设每件产品涨x 元，所获利润为y 元，可得函数关系式为（ ） A ．21011010y x x =-++ B ．210100y x x =-+C ．210100110y x x =-++D ．21090100y x x =-++ 6．如图，已知经过原点的直线AB 与反比例函数()0k y k x=≠图象分别相交于点A 和点B ，过点A 作AC x ⊥轴于点C ，若ABC 的面积为4，则k 的值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．87．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，CD 是AB 边上的高，6AC =，9AB =，则AD =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．已知函数2y ax ax =+与函数(0)a y a x=<，则它们在同一坐标系中的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ． 9．如图，已知点()4,2E -，点()1,1F --，以O 为位似中心，把EFO 放大为原来的2倍，则E 点的对应点坐标为（ ）A ．()2,1-或()2,1-B ．()8,4-或()8,4-C ．()2,1-D ．()8,4-10．已知矩形的面积为20，则如图给出的四个图象中，能大致呈现矩形的长y 与宽x 之间的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题 11．下列各式：()()()()2222212;2;;;12;2(1)2;2122y x y x y y y x x y x y x x x x x=+====-+=-+=+--；其中y 是x 的二次函数的有________（只填序号）12．若113,4A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，25,4B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,4C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为二次函数245y x x =+-的图象上三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为________<________<________．13．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()1,0和()3,0两点，交y 轴与()0,3，当x ________时，0y >．14．若15x y x y -=+，x y =________；若34x y =，则232x y x y+=-________． 15．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元（20≤x≤30，且x 为整数）出售，可卖出（30﹣x ）件．若使利润最大，每件的售价应为______元． 16．小颖用几何画板软件探索方程ax 2+bx+c=0的实数根，作出了如图所示的图象，观察得一个近似根为x 1=-4.5，则方程的另一个近似根为x 2=____.(精确到0.1)17．已知C 是AB 的黄金分割点，若AB=4cm ，则AC 的长为___________.18．若直线y ＝kx 与四条直线x ＝1，x ＝2，y ＝1，y ＝2围成的正方形有公共点，则k 的取值范围是_________．19．如图，纵截面是一等腰梯形的拦水坝，两腰与上底的和为4m ，底角为60，当坝高为________m 时，纵截面的面积最大．20．如图，已知在ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，//DE BC ，//EF AB ，且:3:8AD AB =，那么:ADE EFC S S =________．三、解答题21．已知：如图，网格中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在图中画出一个与格点DEF 相似但相似比不等于1的格点三角形．22．如图，已知ABD ACE ∽，50ABC ∠=，60BAC ∠=，求AED ∠的度数．23．已知，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，连接DE 并延长交BC 的延长线于点F ，连接DC 、BE ．且180BDE BCE ∠+∠=，求证：FDC FBE ∽．24．反比例函数()0k y k x=≠过()3,4A ，点B 与点A 关于直线2y =对称，抛物线2y x bx c =-++过点B 和()0,3C ．()1求反比例函数的表达式；()2求抛物线的表达式；()3若抛物线2y x bx m =-++在22x -≤<的部分与k y x=无公共点，求m 的取值范围．25．已知AD 为BAC ∠的平分线，EF 为AD 的垂直平分线，求证：2FD FB FC =⋅．26．为测量学校操场上旗杆的高度，某数学活动小组设计如下测量方法：将镜子放在离旗杆()27AB m 的点E 处，然后沿直线BE 后退，使在点D 处恰好看到旗杆顶端A 在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图），若 2.4DE m =，观测者的眼睛离地面的高度CD 为1.6m ，求旗杆的高度．参考答案1．D【分析】根据各选项的意思，列出个选项的函数表达式，再根据二次函数定义的条件判定则可．【详解】解：A 、y=mx+b ，当m≠0时（m 是常数），是一次函数，错误；B 、t=sv ，当s≠0时，是反比例函数，错误；C 、C=3a ，是正比例函数，错误；D 、S=13πR 2，是二次函数，正确．故选D ．【点睛】本题考查二次函数的定义．2．C【分析】让点的横纵坐标相乘即为反比例函数的比例系数，根据比例系数的符号即可判断反比例函数的两个分支所在的象限．【详解】解：∵反比例函数解析式为y=k x， ∵反比例函数的图象经过点（-3，5），∴k=-3×5=-15，故选C ．【点睛】此题主要考查了待定系数法求反比例函数，用到的知识点为：反比例函数的比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积．3．B【分析】一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0），那么y 叫做x 的二次函数．此题将式子整理成一般形式后，根据二次函数的定义判定即可．【详解】解：A 、整理为y=21-x x，不是二次函数，故A 错误； B 、x 2-y+2=0变形，得y=x 2+2，是二次函数，故B 正确；C 、分母中含自变量，不是二次函数，故C 错误；D 、y 的指数是2，不是函数，故D 错误．故选B ．【点睛】本题考查二次函数的定义．4．A【详解】解：根据矩形的面积公式，得xy ＝36，即()36y x>0x=，是一个反比例函数 故选A5．D【分析】根据总利润=单件利润×数量建立等式就可以得出结论．【详解】解：由题意，得y=（10+x-9）（100-10x），y=-10x2+90x+100．故选D．【点睛】本题考查了销售问题的数量关系的运用，总利润=单件利润×数量的运用，解答时找准销售问题的数量关系是关键．6．B【分析】首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段AB的中点，故△BOC的面积等于△AOC的面积，都等于2，然后由反比例函数y=kx的比例系数k的几何意义，可知△AOC的面积等于12|k|，从而求出k的值．【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，∴A、B两点关于原点对称，∴OA=OB，∴△BOC的面积=△AOC的面积=4÷2=2，又∵A是反比例函数y=kx图象上的点，且AC⊥x轴于点C，∴△AOC的面积=12|k|，∴12|k|=2，∵k＞0，∴k=4．故选B．【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到反比例函数的比例系数k的几何意义：反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=12|k|．7．C【分析】利用射影定理得到：AC2=AD•AB，把相关线段的长度代入进行解答即可．【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∴AC2=AD•AB，∵AC=6，AB=9，∴36=9AD，则AD=4．故选C．【点睛】本题考查了射影定理．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．8．B【分析】根据a＜0，直接判断抛物线的开口方向，对称轴，双曲线所在的象限，选择正确结论．【详解】解：当a＜0时，二次函数y=ax2+ax的图象开口向下，对称轴x=-12；函数y=ax的图象在二、四象限，符合题意的是图象B．故选B．【点睛】主要考查二次函数和反比例函数图象的有关性质，应该熟记且灵活掌握．9．B【分析】E（-4，2）以O为位似中心，按比例尺2：1，把△EFO放大，则点E的对应点E′的坐标是E（-4，2）的坐标同时乘以2或-2．【详解】解：根据题意可知，点E的对应点E′的坐标是E（-4，2）的坐标同时乘以2或-2．所以点E′的坐标为（8，-4）或（-8，4）．故选B．【点睛】本题考查了位似变换的知识，注意掌握关于原点成位似的两个图形，若位似比是k，则原图形上的点（x，y），经过位似变化得到的对应点的坐标是（kx，ky）或（-kx，-ky）．10．A【解析】由矩形的面积公式可知y=20x，则图象为双曲线．又矩形的长、宽都是正数，故图象在第一象限，故选A．11．②⑤⑥【分析】根据二次函数的定义与一般形式即可求解．【详解】解：y是x的二次函数的有②，⑤，⑥．故答案是：②，⑤，⑥．【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般形式是y=ax2+bx+c（a≠0，且a，b，c是常数，x是未知数）．12．2y1y3y【分析】此题可根据给出的二次函数判断开口方向向上，对称轴为直线x=-2，再比较图象上三点到对称轴的距离，则距离越大，其纵坐标越大．【详解】解：对二次函数y=x2+4x-5，a=1＞0，开口向上，对称轴为直线x=-2．又A、B、C三点到对称轴的距离分别为|-134-（-2）|=54，|-54-（-2）|=34，|14-（-2）|=94，∴y2＜y1＜y3，故答案是：y2、y1、y3．【点睛】本题考查了二次函数的性质，重点是判断函数的对称轴，由点到对称轴的距离比较出各点纵坐标的大小．13．1<或3x >【分析】写出函数图象x 轴上方部分的x 的取值范围即可．【详解】解：由图可知，x ＜1或x ＞3时，y ＞0．故答案为＜1或x ＞3．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．14．32 116【分析】根据比例的性质，可得等式，根据等式的性质，可得答案；根据等式的性质，可用x 表示y ，根据分式的性质，可得答案．【详解】 解：由x y x y -+＝15，得5x-5y=x+y ，移项，合并同类项，得4x=6y ，两边都除以4y ，得32xy =；由3x=4y ，得 y=34x，3112x 2+1144=333-263242x xx y x x x y x +==-⨯， 故答案为32，116．【点睛】本题考查了比例的性质，利用了比例的性质，等式的性质．15．25【详解】试题分析：设最大利润为w元，则w=（x﹣20）（30﹣x）=﹣（x﹣25）2+25，∵20≤x≤30，∴当x=25时，二次函数有最大值25，故答案为25．考点：1．二次函数的应用；2．销售问题．16．2.5【详解】由函数的图象可求出函数的对称轴方程，再根据对称轴与方程两根之间的关系建立起方程，求出未知数的值即可．解：由函数图象可知，此函数的对称轴为x=﹣1，设函数的另一根为x，则=﹣1，解得x=2.5．17．2或6-【解析】【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分）叫做黄金比．【详解】AB==（AC>BC）由题意知：AC= 41)或AC=4-（2）=6-（AC<BC）故本答案为：2或6-【点睛】考查了黄金分割点的概念，能够根据黄金比进行计算．18．12≤k≤2【详解】根据题意结合图形可知，在与该正方形有公共点的直线中，直线l1解析式中的k值最大，直线l2解析式中的k值最小.由图可知，直线l1过点A(1, 2)，直线l2过点C(2, 1).将点A的坐标代入解析式y=kx，得21k=⋅，∴k=2.将点C的坐标代入解析式y=kx，得12k=⋅，∴12 k=.∴k的取值范围是12 2k≤≤.故本题应填写：12 2k≤≤.点睛：本题考查了一次函数的图象和性质的相关知识. 在一次函数的解析式中，k的绝对值越大，相应的直线就越靠近y轴，反之则越靠近x轴. 本题考查的一个重点在于利用上述结论确定k的值最大和最小时直线的位置. 另外，通过正比例函数与图象之间的关系确定正比例函数解析式也是本题考查的重点.19．3【分析】设AB=xm，利用x表示出坝高DE和AD、BC的长，利用x表示梯形的面积，然后利用函数的性质即可求解．【详解】解：设AB=x，则AD=4-2x，∵DE⊥BC，∠C=60°，∴在直角△DCE中，DE=CD•sin∠，CE=12CD=12x，则BC=x+AD=x+（4-2x）=4-x，则梯形ABCD的面积y=12（AD+BC）•DE=12（4-x+4-2x）•2x，即y=-4x2，则当4⎝⎭=43时，y取得最大值是，此时y=-4×（43）2×43=4；∴×43．【点睛】本题考查等腰梯形的计算和二次函数等知识，考查求函数的解析式和求函数的最值问题，求最值的问题常用的方法是转化为函数的问题求解．20．9:25【分析】根据平行线分线段成比例定理求出AE：AC=AD：AB=3：8，求出AE：CE=3：5，根据平行线的性质得出∠A=∠EFC，∠AED=∠C，根据相似三角形的判定得出△ADE∽△EFC，根据相似三角形的性质得出即可．【详解】解：∵DE∥BC，AD：AB=3：8，∴AE：AC=AD：AB=3：8，∴AE：CE=3：5，∵DE∥BC，EF∥AB，∴∠A=∠EFC，∠AED=∠C，∴△ADE ∽△EFC ， ∴ADE EFC S S ∆∆=（AE CF ）2=（35）2=925， 故答案为9：25．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．21．见解析.【解析】【分析】利用相似三角形的性质，对应边的相似比相等，对应角相等，可以让各边长都放大一倍，得到新三角形．本图形的答案不唯一，只要是相似三角形，都在格点上就正确．【详解】解：ABD 就是所求．【点睛】本题主要考查了相似三角形的画法，注意做这类题时的关键是对应边相似比相等，对应角相等．22．70AED ∠=．【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB=70°，根据相似三角形的性质得出AB AC =AD AE ，∠BAD=∠CAE ，求出AB AD =AC AE，∠BAC=∠DAE ，推出△BAC ∽△DAE ，根据相似三角形的性质得出∠AED=∠ACB 即可．【详解】解：∵50ABC ∠=，60BAC ∠=，∴18070ACB ABC BAC ∠=-∠-∠=，∵ABD ACE ∽， ∴AB AD AC AE=，BAD CAE ∠=∠， ∴AB AC AD AE =，BAD DAC CAE DAC ∠+∠=∠+∠， ∴BAC DAE ∠=∠，∴BAC DAE ∽，∴AED ACB ∠=∠，∴70AED ∠=．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是求出△BAC ∽△DAE ．23．证明见解析.【分析】首先由∠BDE+∠BCE=180°，∠ECF+∠BCE=180°，可得∠BDE=∠ECF ，又由∠F 是公共角，即可证得△ECF ∽△BDF ，根据相似三角形的对应边成比例，可得EF ：BF=CF ：DF ，继而证得：△FDC ∽△FBE ．【详解】证明：∵180BDE BCE ∠+∠=，180ECF BCE ∠+∠=，∴BDE ECF ∠=∠，∵F ∠是公共角，∴ECF BDF ∽，∴::EF BF CF DF =，即::EF CF BF DF =，∵F ∠是公共角，∴FDC FBE ∽．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．24．（1）12y x=；（2）223y x x =-++；（3）m 的范围：26m <≤， 【分析】 （1）将点（3，4）代入反比例函数的解析式即可求出k 的值．（2）求出点B 的坐标，然后将B 与C 的坐标代入即可求出抛物线的解析式即可求出b 与c 的值．（3）令x=2和-2代入反比例函数中求出相应的点坐标，然后将两点的坐标代入y=-x2+2x+m 中求出m 的值【详解】解：()1∵反比例函数k y x =过()3,4A ， ∴12k =， ∴12y x= ()2∵点B 与点A 关于直线2y =对称，∴()3,0B ．∵抛物线2y x bx c =-++过点B 和()0,3C∴9303b c c -++=⎧⎨=⎩∴23b c =⎧⎨=⎩∴223y x x =-++()3反比例函数的解析式：12y x= 令2x =-时，6y =-，即()2,6--令2x =时，6y =，即()2,6当22y x x m =-++过点()2,6--时，2m = 当当22y x x m =-++过点()2,6时，6m = ∴22y x x m =-++在22x -≤<的部分与12y x=无公共点时，此时m 的范围：26m <≤，本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是求出相关点的坐标，然后利用待定系数法求出系数的值，本题属于中等题型．25．证明见解析.【分析】要证明结论成立，只要证明△AFC ∽△BFA 即可，根据题目中的条件，可以找到两个三角形相似的条件，从而可以解答本题．【详解】证明：连接AF ，∵AD 是角平分线，∴BAD CAD ∠=∠，又∵EF 为AD 的垂直平分线，∴AF FD =，DAF ADF ∠=∠，∴DAC CAF B BAD ∠+∠=∠+∠，∴CAF B ∠=∠，∵AFC AFC ∠=∠，∴ACF BAF ∽，即CF AF AF BF=， ∴2AF CF BF =⋅，即2FD CF BF =⋅．【点睛】本题考查相似三角形的性质、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似解答．26．旗杆AB 的高度是18 m ．【分析】先得出△ABE ∽△EDC ，再由相似三角形的对应边成比例即可得出AB 的值．解：在Rt △ABE 和Rt △CED 中，∵∠ABE=∠CDE=90°，∠AEB=∠CED ，∴△ABE ∽△CED ． ∴AB CD =BE ED． ∵BE=27m ，DE=2.4m ，CD=1.6m ， ∴1.6AB =272.4， ∴AB=18．答：旗杆AB 的高度是18 m ．【点睛】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．。