CH7 图的基本概念 4 最短路径 关键路径
数据结构第19讲_关键路径与最短路径_C
数据结构第19讲_关键路径与最短路径_C 在数据结构的学习过程中，我们经常会遇到需要寻找最短路径的问题。
最短路径问题是指在图中寻找连接两个顶点之间最短路线的问题。
在实际生活中，最短路径问题广泛应用于交通、通信等领域。
在本篇文章中，我们将介绍关键路径和最短路径的概念，以及它们在实际问题中的应用。
首先，让我们来介绍关键路径。
关键路径是指在项目管理中，连接起始点和终止点的最长路径，也是项目完成所需要的最短时间。
关键路径可以通过计算活动的最早开始时间（EST）和最晚开始时间（LST）来确定。
活动的EST是指在没有任何限制条件下，活动可以最早开始的时间；而LST则是指在不影响项目完成时间的前提下，活动可以最晚开始的时间。
关键路径的长度等于项目的最早完成时间和最晚完成时间相等的活动的持续时间之和。
通过确定关键路径，我们可以优化项目进度，提高项目的整体效率。
接下来，让我们来介绍最短路径。
最短路径是指在图中寻找连接两个顶点之间最短路线的问题。
最短路径可以通过使用一些经典的算法来解决，例如迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。
迪杰斯特拉算法是一种贪心算法，通过计算出从起点到其他顶点的最短路径，然后逐步扩展路径长度来逐步求解最短路径问题。
弗洛伊德算法是一种动态规划算法，通过构建一个关于各个顶点之间最短路径长度的矩阵来求解最短路径问题。
最短路径问题在实际生活中具有广泛应用，例如在地图导航中，我们需要找到从起点到目的地的最短路线；在网络通信中，我们需要找到网络中两个节点之间传输数据的最短路径。
在本篇文章中，我们介绍了关键路径和最短路径的概念，以及它们在实际问题中的应用。
关键路径用于确定项目完成所需的最短时间，而最短路径用于寻找连接两个顶点之间最短路线的问题。
这些概念都是数据结构中的重要内容，对于我们理解和解决实际问题具有重要意义。
数据结构第7章图4最短路径ppt课件30页PPT
vj
v2
v4
v3
v5
s
{v0,v2} {v0 ,v2 ,v4} {v0 ,v2 ,v4 ,v3} {v0 ,v2 ,v4 ,v3 ,v5}
S之外的当前最 短路径之顶点
(v0,v2)+ (v2,v3)<(v0,v3)
与最小生成树的不同点：路径是累加的！
§7.6 最短路径
所有顶点对之间的最短路径(Floyd算法)
V2
3
V1
2
-4 7
V5
6
4
V3
8
-5 1
V4
D4
12345 1 0 3 -1 4 -4 2 3 0 -4 1 -1 37 4 0 5 3 4 2 -1 -5 0 -2 58 5 1 6 0
P4
12345 1 nil 1 4 2 1 2 4 nil 4 2 1 3 4 3 nil 2 1 4 4 3 4 nil 1 5 4 3 4 5 nil
V2
3
V1
2
-4 7
V5
6
4
V3
8
-5 1
V4
D1
12345 1 0 3 8 ∞ -4 2∞0∞1 7 3∞4 0∞∞ 4 2 5 -5 0 -2 5∞∞∞6 0
P1
12345 1 nil 1 1 nil 1 2 nil nil nil 2 2 3 nil 3 nil nil nil 4 4 1 4 nil 1 5 nil nil nil 5 nil
E ① F→A：
24
② F→B→A： 5＋18=23
5
6 18
9
12 15
③ F→B→C→A：5+7+9=21
图的最短路径、拓扑排序和关键路径
数据结构课程辅导---图的最短路径、拓扑排序和关键路径一、最短路径由图的概念可知，在一个图中，若从一顶点到另一顶点存在着一条路径(这里只讨论无回路的简单路径)，则称该路径长度为该路径上所经过的边的数目，它也等于该路径上的顶点数减1。
由于从一顶点到另一顶点可能存在着多条路径，每条路径上所经过的边数可能不同，即路径长度不同，我们把路径长度最短（即经过的边数最少）的那条路径叫做最短路径，其路径长度叫做最短路径长度或最短距离。
上面所述的图的最短路径问题只是对无权图而言的，若图是带权图，则把从一个顶点i到图中其余任一个顶点j的一条路径上所经过边的权值之和定义为该路径的带权路径长度，从vi到vj可能不止一条路径，我们把带权路径长度最短（即其值最小）的那条路径也称作最短路径，其权值也称作最短路径长度或最短距离。
例如，在图3-1中，从v0到v4共有三条路径：{0,4},{0,1,3,4}和{0,1,2,4}，其带权路径长度分别为30,23和38，可知最短路径为{0,1,3,4}，最短距离为23。
图3-1 带权图和对应的邻接矩阵实际上，这两类最短路径问题可合并为一类，这只要把无权图上的每条边标上数值为1的权就归属于有权图了，所以在以后的讨论中，若不特别指明，均认为是求带权图的最短路径问题。
求图的最短路径问题用途很广。
例如，若用一个图表示城市之间的运输网，图的顶点代表城市，图上的边表示两端点对应城市之间存在着运输线，边上的权表示该运输线上的运输时间或单位重量的运费，考虑到两城市间的海拔高度不同，流水方向不同等因素，将造成来回运输时间或运费的不同，所以这种图通常是一个有向图。
如何能够使从一城市到另一城市的运输时间最短或者运费最省呢？这就是一个求两城市间的最短路径问题。
求图的最短路径问题包括两个方面：一是求图中一顶点到其余各顶点的最短路径，二是求图中每对顶点之间的最短路径。
下面分别进行讨论。
1. 从一顶点到其余各顶点的最短路径对于一个具有n个顶点和e条边的图G，从某一顶点vi(称此为源点)到其余任一顶点vj(称此为终点)的最短路径，可能是它们之间的边(i,j)或<i,j>，也可能是经过k个（1≤k≤n-2，最多经过除源点和终点之外的所有顶点）中间顶点和k+1条边所形成的路径。
最短路径和关键路径
l
( i
0
)
=0,
P0={v1},
T0=V-{v1},
vj(j=2,3,,n)获t标源自号:l( j
0
)
=wij.
令r1.
2. 设
l(r1) i
vm jTri1{nl(jr1)},
vi获得p标号:
l(r) i
li(r1)
.
令 Pr=Pr-1{vi}, Tr=Tr-1-{vi}.
若Tr=, 则结束.
3. vjTr, 令 l(jr) mi{ln(jr1),li(r)wij}
最短路径与关键路径
带权图 最短路径与Dijkstra标号法 PERT图与关键路径
1
最短路径
带权图G=<V,E,w>, 其中w:ER.
eE, w(e)称作e的权. e=(vi,vj), 记w(e)=wij . 若vi,vj不 相邻, 记wij =.
设L是G中的一条路径, L的所有边的权之和称作L的 权, 记作w(L). u和v之间的最短路径: u和v之间权最小的通路.
例1 L1=v0v1v3v5, w(L1)=10, L2=v0v1v4v5, w(L2)=12,
L3=v0v2v4v5, w(L3)=11.
2
标号法(, 1959)
设带权图G=<V,E,w>, 其中eE, w(e)0. 设V={v1,v2,,vn}, 求v1到其余各顶点的最短路径
p标号(永久性标号)l
vi的最晚完成时间TL(vi): 在保证终点vn的最早完成 时间不增加的条件下, 从始点v1最迟到达vi的时间
TL(vn)=TE(vn)
TL(vi)=min{TL(vj)-wij|vj +(vi)}, i=n-1,n-2,,1
第7章 图论 [离散数学离散数学(第四版)清华出版社]
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6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
21
例：
a j i h c g d
1(a)
无 向 图
b
f
e
2(b)
7(j) 8(g) 9(d) 10(i)
6(e)
3(c) 4(h)
5(f)
6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
22
例：
1(b)
有向图
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
6
[定义] 相邻和关联
在无向图G中，若e=(a, b)∈E，则称a与 b彼此相邻(adjacent)，或边e关联 (incident) 或联结(connect) a, b。a, b称为边e的端点或 结束顶点(endpoint)。 在有向图D中，若e=<a, b>∈E，即箭头 由a到b，称a邻接到b，或a关联或联结b。a 称为e的始点(initial vertex)，b称为e的终点 (terminal/end vertex)。
证明思路：将图中顶点的度分类，再利用定理1。
6/27/2013 6:02 PM 第四部分：图论（授课教师：向胜军） 9
[定理3] 设有向图D=<V, E>有n个顶点，m 条边，则G中所有顶点的入度之和等于所 有顶点的出度之和，也等于m。
即：
d ( v i ) d ( v i ) m.
i 1 i 1
n
n
证明思路：利用数学归纳法。
6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
10
一些特殊的简单图：
(1) 无向完全图Kn(Complete Graphs)
ch7复习及习题 new
–邻接矩阵初始化的时间复杂度为O（n2） –输入顶点编号，建立邻接矩阵的时间复杂度为O（e） –输入顶点值，建立邻接矩阵的时间复杂度为O（n*e） –总的时间复杂度为：O（n2+n*e） –适合：有向图、无向图（有向网、无向网）
图的邻接表存储结构小结
• 优点：易找到任一顶点的第一个邻接点和下一个邻接点 • 缺点：难以判定任意两个顶点之间是否有边或弧相连。
也有办法：搜索第i和第j个单链表。不及邻接矩阵方便。
• 时间复杂度的讨论：
–邻接表头结点初始化的时间复杂度为O（n） –输入顶点编号，建立邻接表的时间复杂度为O（n+e） –输入顶点值，建立邻接表的时间复杂度为O（n*e） –总的时间复杂度为：O（n+n*e） –适合：有向图（网）、无向图（网）
判断： 连通网的最小生成树是唯一的。 利用拓扑排序，可检测一个有向图中是否存在环。 一个有向图的邻接表和逆邻接表中结点个数可能不等。 一棵有n个顶点的生成树有且仅有n-1条边。 有n个顶点和n-1条边的无向图是生成树。 如果一个无向图有n个顶点和小于n-1条边，是非连通图。 在n个顶点的无向图中，若边数大于n-1，则该图一定是连通
C. 求图中每一对顶点间最短路径的Floyd算法的时间 复杂度为O(n3)。
D. 求图中每一对顶点间的最短路径也可用Dijkstra算 法实现。
对于下图表示的有向图，可能的拓扑有序序列有_____ 。 A. 123564 B. 152634 C. 561234 D.516234
下列说法中不正确的有________。 A. n个顶点的无向连通图的边数为n(n-1) B. 图的广度优先遍历过程是一个递归过程 C. n个顶点的有向完全图的弧数为n(n-1) D. 有向图的强连通分量是有向图的极大强连通子图
数据结构第19讲关键路径与最短路径
数据结构第19讲关键路径与最短路径关键路径与最短路径是数据结构中非常重要的概念和算法。
它们在许多领域中都有广泛的应用，包括项目管理、网络通信、物流运输等等。
本文将介绍关键路径和最短路径的概念、算法以及它们的应用。
一、关键路径关键路径是指在一个项目中，所有活动中最长的路径，也即完成整个项目所需的最长时间。
关键路径的长度决定了项目的最短完成时间，因此对于项目管理非常重要。
关键路径的计算通常使用网络图来表示项目的各个活动以及它们的前后关系。
在网络图中，每个活动用一个节点表示，活动之间的关系用边来表示。
活动之间的关系可以分为两种：顺序关系和并行关系。
1.顺序关系：活动A必须在活动B之前完成，这种关系用有向边表示。
2.并行关系：活动A和活动B可以同时进行，这种关系用无向边表示。
关键路径算法通过在网络图上进行正向遍历和逆向遍历来计算关键路径。
具体步骤如下：1.正向遍历：从起始节点出发，计算每个节点的最早开始时间。
最早开始时间是指在没有任何延迟的情况下，从起始节点到达该节点所需的最短时间。
2.逆向遍历：从终点节点出发，计算每个节点的最晚开始时间。
最晚开始时间是指在不延误整个项目完成时间的情况下，从终点节点回到该节点所需的最短时间。
3.计算关键路径：根据每个节点的最早开始时间和最晚开始时间，找出那些最早开始时间和最晚开始时间相等的节点，这些节点就是关键路径上的节点。
关键路径的计算可以有效地帮助项目管理者确定项目的最短完成时间，并将各个活动按照优先级进行排序和调度，从而提高项目的管理效率。
二、最短路径最短路径是指在一个加权图中，从起点到终点所经过的边的权值之和最小的路径。
最短路径算法有很多种，下面介绍两种常用的最短路径算法：迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。
1.迪杰斯特拉算法：迪杰斯特拉算法是一种贪心算法，用于解决单源最短路径问题。
具体步骤如下：-创建两个集合S和V-S，分别用于存放已确定最短路径的节点和待确定最短路径的节点。
图的基本概念 无向图及有向图
d (v4)=4
d (v5)=2
31
最大(出/入)度,最小(出/入)度
在无向图G中， 最大度: Δ(G) = max{ dG(v) | v∈V(G) } 最小度: δ(G) = min{ dG(v) | v∈V(G) } 在有向图D中， 最大出度: Δ+(D) = max{ dD+(v) | v∈V(D) } 最小出度: δ+(D) = min{ dD+(v) | v∈V(D) } 最大入度: Δ-(D) = max{ dD-(v) | v∈V(D) } 最小入度: δ-(D) = min{ dD-(v) | v∈V(D) } + + - 简记为Δ, δ, Δ , δ , Δ , δ
i 1
i
证明 必要性。由握手定理显然得证。 充分性。由已知条件可知，d中有偶数个奇数 度点。 奇数度点两两之间连一边，剩余度用环来实现。
5 3
3
1
例7.1： 1. (3, 3, 2, 3), (5, 2, 3, 1, 4)能成为图的度 数序列吗？为什么？ 2. 已知图G中有10条边，4个3度顶点，其余顶点的 度数均小于等于2，问G中至少有多少个顶点？为 什么？ 解： 1.由于这两个序列中，奇数度顶点个数均为奇数， 由握手定理的推论可知，它们都不能成为图的度 数序列。 2.显然，图G中的其余顶点度数均为2时G图的顶点 数最少. 设G图至少有x个顶点. 由握手定理可知， 3×4+2×(x-4)=2 ×10 解得: x=8 所以G至少有8个顶点。
度数列举例
按顶点的标定顺序，度数列为 4,4,2,1,3。
度数列举例
按字母顺序， 度数列：5,3,3,3 出度列：4,0,2,1
大连理工大学2024年硕士招生考试自命题科目考试大纲 810 数据结构
大连理工大学2024年硕士研究生入学考试大纲科目代码：810 科目名称：数据结构Ⅰ．考查目标计算机学科专业基础综合考试是为大连理工大学招收计算机科学与技术学科的硕士研究生而设置的具有选拔性质的联考科目，其目的是科学、公平、有效地测试考生掌握计算机科学与技术学科大学本科阶段专业基础知识、基本理论、基本方法的水平和分析问题、解决问题的能力，评价的标准是高等学校计算机科学与技术学科优秀本科生所能达到的及格或及格以上水平，以利于大连理工大学择优选拔，确保硕士研究生的入学质量。
Ⅱ．考查范围计算机学科专业基础综合考试以数据结构专业基础课程。
要求考生系统地掌握数据结构课程的概念、基本原理和基本方法，能够运用所学的基本原理和基本方法分析、判断和解决有关理论问题和实际问题。
Ⅲ．考查内容数据结构[考查目标]1．掌握数据结构的基本概念、基本原理和基本方法。
2．掌握数据的逻辑结构、存储结构及基本操作的实现，能够对算法进行基本的时间复杂度与空间复杂度的分析。
3．能够运用数据结构的基本原理和方法进行问题的分析与求解，具备采用C或C++语言设计与实现算法的能力。
一、线性表1．线性表的定义2．线性表的顺序表示和实现3．线性表的链式表示和实现4．线性表的应用二、栈、队列和数组1．栈和队列的基本概念2．栈的顺序表示和实现3．栈的链式表示和实现4．队列的顺序表示和实现5．队列的链式表示和实现6．栈和队列的应用7．数组的定义，数组的顺序表示和实现8．矩阵的压缩存储三、树与二叉树1．树的定义和基本概念2．二叉树(1) 二叉树的定义及性质(2) 二叉树的存储结构(3) 二叉树的遍历(4) 线索二叉树3．树、森林(1) 树的存储结构(2) 树和二叉树的转换，森林与二叉树的转换(3) 树和森林的遍历4．哈夫曼（Huffman）树和哈夫曼编码四、图1．图的定义和基本概念2．图的存储方式(1) 数组（邻接矩阵）表示法(2) 邻接表3．图的遍历及其应用(1) 深度优先搜索(2) 广度优先搜索4．图的基本应用(1) 最小生成树(2) 最短路径(3) 拓扑排序(4) 关键路径五、查找1．查找的基本概念2．静态查找表(1) 顺序查找法(2) 折半查找法3．动态查找表(1) 二叉排序树和平衡二叉树(2) B-树4．哈希（Hash）表5．查找算法的分析及应用六、排序1．排序的基本概念2．插入排序(1) 直接插入排序(2) 折半插入排序3．起泡排序（bubble sort）4．简单选择排序5．希尔排序（shell sort）6．快速排序7．堆排序8．二路归并排序（merge sort）9．基数排序10．外部排序11．各种排序算法的比较12．排序算法的应用复习参考资料：《数据结构（c语言版）》，严蔚敏，吴伟民编著，清华大学出版社.。
离散数学第七章图的基本概念
4.无向图的连通性
若无向图G中任何两顶点都连通,则称G是连通图.
对于任意的无向图G.设V1,V2,…,Vk是顶点之间连通关系的 等价类,则称他们的导出子图为G的连通分支.用p(G)表示G 的连通分支数.
V1 e1
e2 e3
V3
e4 V2
V4
a
de
h
i
b
c
f
g
5.有向图的连通性
若略去有向图D中各边的键头,所得无向图是无向连通图,则 称D是弱连通图(或称D是连通图).
(2) mij d (vi )(i 1,2,..., n)
j 1
mn
nm
n
(3) mij mij d(vi ) 2m
j1 i1
i1 j1
i 1
m
(4) mij 0 vi是孤立点 j 1
(5)若第j列与第k列相同, 则说明e j与ek为平行边.
2.有向图的关联矩阵
设有向图D=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em} 1, vi为ej的始点
e1,e2,e3},{e1,e2,
e2
e4},{e9}等边割集 ,e9是桥.
e3 V4
e5 e6
V5 e4
V6
e9
V7
7.3 图的矩阵表示
1.无向图的关联矩阵
设无向图G=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em}
令mij为顶点vi与ej的关联次数, 则称(mij)n×m为G的关联矩阵.记为M(G)
若Γ 满足:vi-1,vi为ei的端点(若G为有向图,vi-1是ei的始 点,vi是ei的终点)i=1,2,…,k,则称Γ 为G中通路,v0,vk分 别称为通路的始点和终点,Γ 中边的数目k称为通路长度.
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1 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 1 0 1 1 0 1
2 0 0 0
1 1 0 1
0 0 1 0
a(2)11=1， v1到v1长度
为2的通路为1条。 a(2)12=2， v1到v2长度 为2的通路为2条。 a(2)13=3， v1到v3长度 为2的通路为2条。
1 0 0 0
离散数学
CH7 图的基本概念 4 最短路径及关键路径
今日内容
图的矩阵表示
-有向图中长度为n的通路和回路数的求法 -图的可达矩阵
最短路径 关键路径
内容回顾
图的关联矩阵 图的邻接矩阵
回顾：无向图的关联矩阵
回顾：有向图的关联矩阵
无向图的邻接矩阵
0 2 2 0 1 1 0 0
1 1 0 0
2 0 0 0
4 1 0 1
3 0 1 0
a(3)11=1， v1到v1长度为3的通路为1条。 a(3)12=2， v1到v2长度为3的通路为2条。 a(3)13=4， v1到v3长度为3的通路为4条。
ija(3)ij =13，图中长度为3的通路的总数为13。
设Br=A+A2+···+Ar(r≧1)， 则Br中元素b(r)ij为D中vi到vj的长度小于等 于r的通路条数，ij b(r)ij为D中长度小于 等于r的通路总数，其中i b(r)ii 为D中长 度小于等于r的回路总数。 上例中：
{
1 0 0 0
1 1 0 0
1 1 1 1
1 1 1 1
练习：7.18 如图，求长度为4的通路总 数
A2=AXA=
A3=A2XA=
A4=A3XA=
长度为4的路总数：15
7.4 最短路径和关键路径
最短路径
什么是带权图 什么是两点之间的最短路径 求最短路径的标号法 阅读课本及例子
例7.3
1 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 1 0 1 1 0 1
2 0 0 0
1 1 0 1
0 0 1 0
1 0 0 0
2 0 0 0
4 1 0 1
3 0 1 0
3 0 0 0 1 0 0 0
6 0 0 0 2 0 0 0
8 2 1 2 3 0 1 0
4 1 2 1 1 1 0 1
1 0 0 0
2 0 0 0
1 1 0 1
0 0 1 0
1 0 0 0
2 0 0 0
4 1 0 1
3 0 1 0
有向图的可达矩阵
设有向图G=<V,E>,V={v1,v2,· ,vn}, · ·
则称(pij)n×n为G的可达矩阵，记为P(G)。其中， pij = 1 vi可达vj或i=j 0 否则
0 0 0 0
有向图的邻接矩阵
1 0 0 0
2 0 0 0
1 1 0 1
0 0 1 0
该矩阵中的数为点到点间长度为1的通路和回路
有向图中长度为n(n>1)的通路和回路数的求法
定理: 设A为有向图D的邻接矩阵， 则An(n≧1)中元素a(n)ij为vi到vj的长度为n的通 路数，ija(n)ij 为D中长度等于n的通路总数。
Q&A
23
练习：求下图中u到v的所有最短路径ERT图 Program/Project Evaluation and Review Technique 后继元集 前驱元集 最早完成时间 最晚完成时间 缓冲时间 关键路径
例子7.4 练习7.23
作业
P175 7.22 7.23