17.3(1)一元二次方程根的判别式
执教：___________________
年级
课题
日期
七年级（下）
17.3（1）一元二次方程根的判别式
教学
目标
知识与技能
掌握利用根的判别式，不解方程判断一元二次方程根的情况.
过程与方法
渗透分类讨论的思想；培养学生观察，比较，分析，综合，抽象概括能力.
情感态度
与价值观
培养学生发现问题，主动探索的能力，激发学生的学习积极性和主动性.
当△= <0时，方程没有实数根。
上述判断反过来说，也是正确的，即：
当方程有两个不相等的实数根时，△>0；
当方程有两个相等的实数根时，△=0；
当方程没有实数根时，△<0。
由定义启发学生思考其作用，培养学生善于总结问题的能力.
培养学生逆向思维的能力.
新课探索二
例题1不解方程，判别下列方程的根的情况：
新课探索三
课内练习三
3、思考一元二次方程 ，当 的符号在什么情况下，不通过计算 的值，就可以判断方程一定有两个不相等的实数根。
复习配方法，进一步巩固一元二次方程的根的判别式的应用.
培养学生数学思维能力.
本课小结
一元二次方程根的判别式
1、根的判别式：
叫做一元二次方程
的根的判别式，用符号“△”来表示。
记作△=
2、一元二次方程 ，
教材
分析
教学重点
能利用根的判别式，不解方程判断一元二次方程根的情况.
教学难点
一元二次方程根的判别式的应用.
相关链接
课件内容
教学过程（师生活动及预测和对策）
教后记
课前练习一
1、用开平方法解下列方程：
复习用开平方法解方程，观察一元二次方程的根的情况有哪几种？培养学生观察和归纳能力
可先回顾用开平法解一元二次方程的特征.
可与课前练习相对，通常用符号“△”（读作/´ /）来表示，记作△= 。
利用根的判别式，不必解方程，就可以判断一元二次方程是否有实数根，以及有实数根时两根是否相等。
新课探索一（3）
一元二次方程 ，
当△= >0时，方程有两个不相等的实数根；
当△= =0时，方程有两个相等的实数根；
例题2关于x的方程 （其中m是实数）一定有实数根吗？为什么？
一元二次方程根的判别式的应用方法
注意先把方程化为一般式.
课内练习一
1、不解方程，判断下列方程的根的情况：
一元二次方程的根的判别式的应用训练.
注意配方法的应用
一元二次方程的根的判别式的应用训练.
注意先把方程化为一般式.
课内练习二
2、关于x的方程 （其中 ）一定有实数根吗？为什么？
课前练习二
2、求下列方程中的 的值：
通过计算、回顾、比较，引导学生思考 的值的符号与一元二次方程的根的关系，启发学生思维．
可让学生先把这三个方程的解分别求出来.
新课探索一（1）
在推导一元二次方程 的求根公式时，我们曾得到
通过回顾归纳， 的值的符号与一元二次方程的根的关系，培养学生养成良好的思维品质.
梳理知识,使知识系统化.
当△= >0时，方程有两个不相等的实数根；
当△= =0时，方程有两个相等的实数根；
当△= <0时，方程没有实数根。
上述判断反过来说，也是正确的，即：
当方程有两个不相等的实数根时，△>0；
当方程有两个相等的实数根时，△=0；
当方程没有实数根时，△<0。
布置作业
17.3一元二次方程根的判别式
即m 1
所以m 0且m 1
4、关于x的一元二次方程（m 1)x2 2mx m 0
有实数根，求m的取值范围。
解：当方程为一元二次方程时，方程有实数根，则
（ - 2m)2 4m(m 1) 0, m 1 0, 即m 0且m 1时，方程有实数根。 当方程为一元一次方程时，m 1 0，即m 1时方程有实数根。 综上，m 0时，方程有实数根。
（2）当b2 4ac 0时，b2 4ac 0，此时，
x
b 2a
0 ，即x1
x2
b 2a
方程有两个相等的实数根；
x b b2 4ac b2 4ac 0 2a
（2）当b2 4ac 0时，b2 4ac在实数范围内无意义， 方程没有实数根。
2.已知关于x的方程x2 3x k 0,问k取何值时，这个方程： （1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？
解： （- 3）2 -4k 9 - 4k (3)9 - 4k 0,
解得k 9 4
当k 9 时，方程没有实数根。 4
3.求证： 关于x的方程x2 (2k 1)x k 1 0 有两个不相等的实数根。
2.已知关于x的方程x2 3x k 0,问k取何值时，这个方程： （1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？
解： （- 3）2 -4k 9 - 4k (1)9 - 4k 0,
解得k 9 4
当k 9 时，方程有两个不相等的实数根。 4
x b b2 4ac b2 4ac 0 2a 如果你不解出方程，能否判断
上海初中八年级数学上---17.3一元二次方程根的判别式(含答案)
17.3(1)一元二次方程根的判别式一．填空题：1．下列方程①；②；③；④中，无实根的方程是 。
2．方程0ab -x b -a 2-4x 2=）（的根的判别式是 。
二、选择题：3．关于x 的一元二次方程0322=-+ax x 的根的情况是 （ ）（A ） 有两个不相等的实数根（B ）有两个相等的实数根 （C ）没有实数根（D ）不能确定4．一元二次方程0322=+-x x 的根的情况是 （ ）（A ） 有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根，且两根同号（C ） 有两个不相等的实数根，且两根异号 （D 没有实数根5．关于x 的一元二次方程042=++c x ax ，若a 、c 异号，则该方程根的情况是 （ ）（A ） 有两个相等的实根 （B ） 有两个不相等的实根（C ） 没有实数根（D ）无法确定三、不解方程，判断下列方程根的情况6. 2x 2＋3x ＋1＝07.02)51(52=-+t t8．0222=++-k kx x 9. (x ＋2)(x ＋3)＝－1110. 2y 2－y ＋14＝0 11. x 2＋(2k －1)x ＋(－k －1)＝0012=+x 02=+x x 012=-+x x 02=-x x四、 解答题12.已知关于x 的一元二次方程3x 2－7x ＋k ＋2＝0的根的判别式的值等于289，求k 的值．13. 已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，试判别关于x 的方程x 2＋2(a －b )x ＋c 2＝0的根的情况．五、提高题14.求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实根m 03)7(92=-++-m x m x17.3（2）一元二次方程根的判别式一、 填空题1．已知关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是 。
2．已知关于x 的方程0)3(4122=+--m x m x 有两个不相等的实数根，那么m 的最大整数值是 。
3．若关于x 的一元二次方程有两个相等的实数根，则k 的值为 。
17.3(1)一元二次方程根的判别式
初中数学电子教案课前练习一1、用开平方法解下列方程：课前练习二2、求下列方程中的ac b 42 的值：感悟方程根的三种情况，猜想制约因素： 1、回顾师：我们在解一元二次方程时，首先考虑什么方法？（开平方法和因式分解法）若不行，考虑什么法？（公式法或配方法）求根公式是什么？a 、b 、c 是什么？用求根公式时要把方程化成一般式。
2、学生笔做解第1题（题目抄在黑板上），口答答案（电脑显示，说明用开平方法简单）。
提问：一元二次方程的根的情况有几种？学生口答（根的三种情况）。
3、 学生笔做第2题（题目抄在黑板上），个别学生（用配方法解的）板演。
提问：根的情况及什么有关？猜想根的情况及系数之间的关系。
新课探索一（1）在推导一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式时，我们曾得到验证方程的根及系数关系，概括（韦达）定理：1、演示电脑，结合学生板演，根据求根公式的推导，得出方程根的三种情况制约因素是ac b 42-的值的符号。
学生概括，教师板书课题和定理内容。
要重视对学生进行辨证唯物主义观点教育。
一元二次方程的系数变化，引起方程根的变化，两者变化是互相制约的；决定根的性质的是ac b 42-的值，当△由大于零变成等于零，由等于零变成小于零，方程的根由两个不相等的实数根变到两个相等的实数根又变到无实数根，这分别是从量变到质变的过程，其中△=0是方程有无实根的转折点。
教学内容教学过程教后记新课探索一（2）我们把ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax的根的判别式，通常用符号“△”（读作/´/）来表示，记作△=ac b 42-。
利用根的判别式，不必解方程，就可以判断一元二次方程是否有实数根，以及有实数根时两根是否相等。
新课探索一（3）一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，当△=ac b 42->0时，方程有两个不相等的实数根；当△=ac b 42-=0时，方程有两个相等的实数根；当△=ac b 42-<0时，方程没有实数根。
17.3(1)一元二次方程根的判别式
17．3（1）一元二次方程根的判别式主备人：姚玮教学目标1、经历一元二次方程的根的判别式的概括过程，理解根的判别式。
2、能不解方程，而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
3、通过一元二次方程的根的判别式的概括过程培养从具体到抽象的能力。
教学重点及难点让学生经历一元二次方程根的判别式的导出过程，会根据根的判别式判断方程的根的情况。
教学过程设计一、复习提问1、平方根的性质是什么？2、解下列方程：（1）2560x x -+= （2）2440x x -+= （3）2230x x ++=3．利用求根公式x =，可以解任何一个一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠.（1）当240b ac ->时，方程的根是12x x ==（2）当240b ac -=时，方程的根是122b x x a==-. （3）当240b ac -<时，方程 没有 实数根 .教师通过引导之后，提问：究竟是什么决定了一元二次方程根的情况？二、讲授新课1、定义：我们把24b ac -叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的 判别式 ，通常用符号“△”表示，记作△=24b ac -.2、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，当△=240b ac ->时，方程有 两个不相等 的实数根；当△=240b ac -=时，方程有 两个相等 的实数根；当△=240b ac -<时，方程 没有 实数根.反之，当方程有 两个不相等 的实数根时，△=240b ac ->；当方程有 两个相等 的实数根时，△=240b ac -=；当方程 没有 实数根时，△=240b ac -<。
三、例题精讲例1、不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）23520x x --=； （2）23420x x ++=； （3）232x +=. 解：（1）∵2(5)43(2)490∆=--⨯⨯-=>∴ 原方程有两个不相等的实数根.（2）∵2442380∆=-⨯⨯=-<∴ 原方程没有实数根.（3）原方程可化为2320x -+=∵2(4230∆=--⨯⨯=∴原方程有两个相等的实数根.例2、关于x 的方程2(1)10mx m x +++=（其中0m ≠）一定有实数根吗?为什么？解：2(1)41m m ∆=+-⋅⋅221m m =-+2(1)m =-因为m 是实数，所以2(1)0m -≥，即0∆≥.所以，此方程一定有实数根.四、归纳小结本节课在一元二次方程的求根公式基础上，指明了24b ac -的值与一元二次方程的根的关系，并学习了运用根的判别式判断方程的根的情况.五、布置作业 练习册P24.习题17.3（1）。
17.3一元二次方程的根的判别式(第2课时))
当△ ＜0时，没有实数根。 反过来，有
当方程有两个不相等的实数根时， △ ＞0； 当方程有两个相等的实数根时， △ = 0； 当方程没有实数根时， △ ＜0。
作业设置：
1、巩固复习：课本P34－P35 2、预习新课：课本P37－P39 3、当堂作业：课本P35－P36练习1、2 4、课堂作业：课本P36习题17.3第3、5 两题 5、课下作业：基础训练等完成到17.3
7、
2 2 已知关于的方程k x +(2k-
1)x+1=0有两个不相等的实数根x 1 x2 ①求k的取值范围 ②是否存在实数k，使方程的两个 实数根 互为相反数？如果存在， 求k的取值；如果不存在，请说明 理由
8、已知关于X的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根，
则k的取值范围是（ Ａ）k<１ Ｂ）k≤１ ） D Ｃ）k<１且k≠0
一元二次方程根的判别式
3:学习难点
灵活运用一元二次方程根的判别式，确定 方程中 待定系数的取值范围。
例1
若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0 有两个实数根，则m的取值范围是 （ D ） A ）m ﹥0 m ﹥ 0 且m≠1 B）m≥0 D m ≥0且m≠1 C
2、不解方程，判断方程0.2x2-5=1.5x的根的情况是（ A ） A )有两个不相等的实数根 C) 没有实数根 B) 有两个相等的实数根 D)无法确定
当△ ＜0时，没有实数根。 反过来，有
当方程有两个不相等的实数根时， △ ＞0； 当方程有两个相等的实数根时， △ = 0； 当方程没有实数根时， △ ＜0。
本节课我们将学到……
1:学习目标
1.运用根的判别式判定一元二次方程根的情况。
1一元二次方程根的判别式课件
相等实数根,
（2） b-4ac=0, 一元二次方程ax+bx+c=0( a≠0） ，有两个相
等实数根,
（3） b-4ac<0, 一元二次方程ax+bx+c=0( a≠0） ， 没有相等
实数根。
反之，同样成立，即
（1） 一元二次方程有两个不相等实数根， b 2-4ac > 0，
（2） 一元二次方程有两个相等实数根, b 2-4ac = 0，
所以原方程没有实数根.
(3)x(x+1)=3； 解：原方程可变形为x2+x－3=0，
因为∆=12－4×1×(－3)=13＞0， 所以原方程有两个不相等的实数根.
(4)3y2+25=10 3 y. 解：原方程可变形为3y2－10 3y+25=0，
因为 ∆=(10 3 )2－4×3×25=0， 所以原方程有两个相等的实数根.
1、一元二次方程的一般情势是什么?
ax2 bx c （0 a 0）
2、解一元二次方程都有哪些方法？ 3、公式法解一元二次方程的具体步骤是
什么？
探究与发现 思考并总结
用公式法解下列一元二次方程，并结合你 以往解一元二次方程的经验完成以下探究
(1)x2 5x 6 0
(2)x2 4x 4 0
17.3一元二次方程根的判别式
复习回顾：
一元二次方程的根的情况：
1.当 b2 4ac 0时，方程有两个不相等的实数根 2.当 b2 4ac 0 时，方程有两个相等的实数根 3.当 b2 4ac 0 时，方程没有实数根
反过来： 1.当方程有两个不相等的实数根时， b2 4ac 0 2.当方程有两个相等的实数根时， b2 4ac 0 3.当方程没有实数根时， b2 4ac 0
17.3一元二次方程根的判别式(第2课时)(分层作业)(原卷版)
17.3一元二次方程根的判别式（第2课时）一．选择题（共1小题）1．（2022秋•徐汇区校级期末）若方程x2﹣3x+m＝0有一根是1，则另一根是（ ）A．1B．2C．﹣1D．﹣2二．填空题（共10小题）2．（2022秋•徐汇区校级期末）已知关于x的方程x2+x﹣m＝0的一个根为2，那么它的另一个根是 ．3．（2022秋•黄浦区校级月考）方程x2﹣3x+2＝0两个根的和为 ，积为 ．4．（2022秋•闵行区期中）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根是3，则该方程的另一个根是 ．5．（2022秋•浦东新区期中）等腰△ABC的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程x2﹣6x+m＝0的两个实数根，则m的值是 ．6．（2022秋•宝山区校级期中）已知关于x的方程x2+mx﹣6＝0的一个根为2，那么它的另一个根是 ．7．（2021秋•嘉定区期末）阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．根据该材料填空：已知x1、x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，则x12+x22的值为 ．8．（2022秋•静安区校级期中）已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1＝2，x2＝3，则方程a （x+1）2+b（x+1）+c＝0的两根为 ．9．（2021秋•虹口区校级期末）若a、b满足a2﹣4a+2＝0，2b2﹣4b+1＝0且ab≠1，则＝ ．10．（2022秋•青浦区校级期中）若关于x的方程x2﹣x+m＝0的一个根是2，则该方程的另一个根为 ．11．（2022秋•黄浦区期中）写出一个一元二次方程，使它的一个根为1，另一个根为，这个方程的一般式是 ．三．解答题（共4小题）12．（2022秋•虹口区校级期中）已知方程x2﹣6x+m2﹣2m+5＝0的一个根为2，求另一个根和m的值．13．（2022秋•奉贤区期中）已知△ABC的两边是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两根，第三边的长为4，当m为何值时，△ABC是等腰三角形？并求出这两边的长．14．（2022秋•浦东新区校级月考）已知：设三角形ABC的三边a，b，c为方程4x2+4x+2b﹣c＝0有两个相等的实数根，且a，b，c满足3a﹣2c＝b．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若a，b为方程x2﹣2kx+（﹣2k+3）＝0的两根，求k的值．1．（2022秋•杨浦区期中）已知α、β是方程x2﹣7x+8＝0的两个根，且α＞β，不解方程，利用根与系数的关系，求的值．2.已知关于x 的方程22242320x ax a a -++-=．（1）若方程有两个不相等的实根，求a 的取值范围；（2）若方程有两个相等的实根，求a 的值，并求出此时方程的根；（3）若方程有实根，求a 的最大整数值．3.已知12x x ，是方程20x px q ++=的两个实数根，且2211225x x x x ++=，求q 的最大值4.求证：关于x 的方程()()1x a x a b ---=一定有实数根，且一个大于a ，一个小于a ．5.已知实数a 、b 满足221a ab b ++=且22t ab a b =--，求t 的取值范围．6.要使关于x 的方程22244450440x mx m m mx x -+--=-+=和的根以及系数m 都是整数，求满足这样的条件的m 的值．7.若k 为正整数，且关于x 的方程22(1)6(31)720k x k x ---+=有两个不相等的正整数根，求k 的值．8.已知12x x ，是关于x 的方程：24410kx kx k -++=的两个根：（1）当k 为何值时，12123(2)(2)2x x x x --=-成立，如果存在，求出k 的值；不存在，说明理由？（2）当12212x x x x +-的值为整数的实数k 的值．9.已知：方程221x x k +=-没有实数根，求证：方程212x kx k +=-一定有两个不相等的实数根 ．10.已知系数k 是整数，方程2(3)230x k x k ++++=有一个正根、一个负根，且负根的绝对值较大，求k 的值．11.设m 为有理数，是否存在实数k ，使方程22443240x mx x m m k -++-+=的根是有理数．12.已知5n <，且关于x 的方程2220x x n --=两根都是整数，求n 的值．13.已知a 、b 、c 是三角形ABC 的三边：求证：关于x 的方程222222()0b x b c a x c ++-+=没有实数根．14.已知关于x 的方程222(1)20x n x n n --+-=：（1）求证：无论n 取何值，这个方程一定有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为12x x ，，若1224x x -£<£，求n 的取值范围．。
17.3一元二次方程的根的判别式
X 2 b X ( b )2 ( b )2 c a 2a 2a a
(X
b )2 2a
b2 4ac 4a
b b2 4ac X
2a 2a
X b b2 4ac 2a
归纳：当 ＞0时，有两个不相等的实数根； 当 ＝0时，有两个相等的实数根； 当 ＜0时，方程没有实数根。
一元二次方程根的判别式
岑溪市第一中学 覃华凤
[学习目标]： 1、了解一元二次方程根的判别式，理解为什么能 根据它判断方程根的情况。
2、会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有 实数根和两个实数根是否相等。
3、在对求根公式讨论时，注意培养学生的分类思 想。
[学习重点]：掌握一元二次方程根的判别式。
2、不解方程，判别下列方程根的情况。 （1）5X2 －3X－2＝0 （2)25y2 ＋4＝20y
（3）2X 2 3X 1 0
三、巩固练习 P35第1题和P36第2题。
四、课堂总结。 五、布置作业 。
[学习难点]：熟练地运用根的判别式判断一元二次方程 有无实数根，有实数根的，两根相等或不相等。
一、复习导课。
1、用适当方法解下列方程。 （1）X－3X－4＝0 （2）(X-3)＋X＝9 （3)(2Y＋1)＋3(2Y＋1)＋2＝0 2、归纳解一元二次方程的方法和步骤。
二、新课。 1、用配方法解 aX2＋bX＋c＝0(a≠0)
17.3一元二次方程根的判别式
式的值是16，则m＝__2__3_．
3.方程 9x 2 (k 6)x k 1 0有两个相等 的实数根，则k＝_0_或_2_4__．
4．如果关于x的方程 x 2 5x 没有实数根，则c的取值范围 c
c
2450。
5
求证：关于X的一元二次方程 x2 (2k 1) k 1 0 总有两个不相等的实数根
拓展延伸
已知：关于 x 的一元二次方程 mx2 3(m 1)x 2m 3 0
(m为实数)
(1) 若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围； （2）求证：无论 m 为何值，方程总有一个固定的根；
（3）若 m 为整数，且方程的两个根均为正整数，求 m 的
值.
归纳小结
利用一元二次方程的根的判别式来解题的 一般步骤： 1.将方程化成ax2+bx+c=0的形式； 2.判断a的值是否为零； 3.若a≠0，则再考虑b2-4ac的取值.
ห้องสมุดไป่ตู้
学习要注意到细处，不是粗枝大 叶的，这样可以逐步学习摸索，找到 客观规律。 —— 徐特立
结论：
△>0方程有两个不相等的实根． △＝0方程有两个相等的实数根． △<0方程没有实数根．
例一：不解方程，判断下列方程根的情况
（1） 2x2 5x 7 0 ； （2） 3x2 x 0 ；
（3） x2 4kx 2k 3。
提示：步骤：第一步：写出判别式△；第二步 根据△的正负写结论。
例2
m取何值时.关于x的方程 2x2 2m 1x m 0
（1）有两个相等的实数根 （2）有两个不相等的实数根 （3）有实数根 （4）没有实数根
专题17.3 一元二次方程根的判别式【十大题型】(举一反三)-2023-2024学年八年级数学下册举
专题17.3 一元二次方程根的判别式【十大题型】【沪科版】【题型1 判断不含字母的一元二次方程的根的情况】 (1)【题型2 判断含字母的一元二次方程的根的情况】 (2)【题型3 由方程根的情况确定字母的值或取值范围】 (2)【题型4 应用根的判别式证明方程根的情况】 (3)【题型5 应用根的判别式求代数式的取值范围】 (3)【题型6 根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】 (3)【题型7 根的判别式与三角形的综合】 (4)【题型8 根的判别式与四边形的综合】 (5)【题型9 关于根的判别式的多结论问题】 (5)【题型10 关于根的判别式的新定义问题】 (6)【知识点一元二次方程根的判别式】一元二次方程根的判别式：∆=b2−4ac．①当∆=b2−4ac>0时，原方程有两个不等的实数根；①当∆=b2−4ac=0时，原方程有两个相等的实数根；①当∆=b2−4ac<0时，原方程没有实数根.【题型1 判断不含字母的一元二次方程的根的情况】【例1】（2023春·山东青岛·八年级统考期末）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2−2x+1=0B．x2+1=0C．x2−2x−3=0D．x2−2x=0【变式1-1】（2023春·八年级课时练习）一元二次方程x2−2√2x+2=0的实数根的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．无法判断1【变式1-2】（2023春·江西·八年级统考阶段练习）下列一元二次方程没有实数根的是（）A．x2+1=0B．x2+2x+1=0C．x2=4D．x2+x−2=0【变式1-3】（2023春·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考期中）在下列方程中，有实数根的是（）A．x2+2x+3=0B．√4x+1+1=0C．xx−1=1x−1D．x3+8=0【题型2 判断含字母的一元二次方程的根的情况】【例2】（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）已知关于x的方程ax2−(1−a)x−1=0，下列说法正确的是（）A．当a=0时，方程无实数解B．当a≠0时，方程有两个相等的实数解C．当a=−1时，方程有两个不相等的实数解D．当a=−1时，方程有两个相等的实数解【变式2-1】（2023·河北邯郸·统考一模）已知a、c互为相反数，则关于x的方程ax2+5x+c=0(a≠0)根的情况（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．有一根为5【变式2-2】（2023·全国·八年级专题练习）已知关于x的方程x2－2x－m＝0没有实数根，试判断关于x的方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0的根的情况．【变式2-3】（2023春·福建厦门·八年级厦门市松柏中学校考期末）关于x的一元二次方程x2−5x+c=0，当c=t0时，方程有两个相等的实数根：若将c的值在t0的基础上增大，则此时方程根的情况是（）A．没有实数根B．两个相等的实数根C．两个不相等的实数根D．一个实数根【题型3 由方程根的情况确定字母的值或取值范围】【例3】（2023春·浙江舟山·八年级校联考期中）在实数范围内，存在2个不同的x的值，使代数式x2−3x+c 与代数式x+2值相等，则c的取值范围是．【变式3-1】（2023春·北京西城·八年级北京市第三十五中学校考期中）已知关于x的方程mx2−3x+1=0无实数解，则m取到的最小正整数值是．【变式3-2】（2023春·广西梧州·八年级校考期中）关于x的方程x2+2(m−2)x+m2−3m+3=0．(1)有两个不相等的实数根，求m的取值范围；(2)若方程有实数根，而且m为非负整数，求方程的根．【变式3-3】（2023春·北京平谷·八年级统考期末）关于x的一元二次方程ax2−2ax+b+1=0（ab≠0）有两个相等的实数根k，则下列选项成立的是（）A．若﹣1＜a＜0，则ka >kbB．若ka>kb，则0＜a＜1C．若0＜a＜1，则ka <kbD．若ka<kb，则-1＜a＜0【题型4 应用根的判别式证明方程根的情况】【例4】（2023春·广东珠海·八年级统考期末）已知关于x的一元二次方程x2−2mx+m2−1=0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的一根大于2，一根小于1，求m的取值范围．【变式4-1】（2023春·八年级课时练习）已知关于x的一元二次方程2x2+2mx+m−1=0，求证：不论m为什么实数，这个方程总有两个不相等实数根．【变式4-2】（2023春·八年级课时练习）已知关于x的一元二次方程x2−3x+2=m(x−1)．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程两个根的差是2，求实数m的值．【变式4-3】（2023春·八年级课时练习）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0．(1)求证：方程总有两个实数根．(2)若方程有一个根是负整数，求正整数m的值．【题型5 应用根的判别式求代数式的取值范围】【例5】（2023春·浙江温州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2−2x+3m=0有实数根，设此方程的一个实数根为t，令y=t2−2t+4m+1，则y的取值范围为．【变式5-1】（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根x0，则下列关于2ax0+b的值判断正确的是（）A．2ax0+b>0B．2ax0+b=0C．2ax0+b<0D．2ax0+b≤0【变式5-2】（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）已知实数m,n满足m2−mn+n2=3，设P=m2+mn−n2，则P的最大值为（）A．3B．4C．5D．6【变式5-3】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令y=4b2−8b+3m+2，则（）A．y>1B．y≥1C．y≤1D．y<1【题型6 根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】【例6】（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）若关于x的一元一次不等式组{3x+82≤x+63x+a>4x−5的解集为x≤4，关于x的一元二次方程(a−1)x2+3x+1=0有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是．【变式6-1】（2023春·安徽安庆·八年级安庆市第四中学校考期末）若关于x的一元二次方程x2+2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（）A．B．C．D．【变式6-2】（2023春·八年级课时练习）要使关于x的一元二次方程ax2+2x−1=0有两个实数根，且使关于x的分式方程xx−4+a+24−x=2的解为非负数的所有整数a的个数为（）A．5个B．6个C．7个D．8个【变式6-3】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）已知a，b为正整数，且满足a+ba2+ab+b2=449，则a+b的值为（）A．4B．10C．12D．16【题型7 根的判别式与三角形的综合】【例7】（2023春·广东惠州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程(a+c)x2−2bx+(a−c)=0，其中分别a、b、c是△ABC的边长．(1)若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状；(2)若△ABC是等边三角形，试求该一元二次方程的根．【变式7-1】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+k=0．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，①若k=3时，请判断△ABC的形状并说明理由；①若△ABC是等腰三角形，求k的值．【变式7-2】（2023春·浙江金华·八年级校考期中）已知关于x的方程x2−(m+1)x+2(m−1)=0．(1)当方程一个根为x=3时，求m的值．(2)求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．(3)若等腰△ABC的一腰长a=6，另两边b、c恰好是这个方程的两个根．则△ABC的面积为______．【变式7-3】（2023春·福建厦门·八年级厦门市松柏中学校考期末）已知关于x的一元二次方程x2−(m+5)x+ 5m=0．(1)求证：此一元二次方程一定有两个实数根；(2)设该一元二次方程的两根为a，b，且6，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．【题型8 根的判别式与四边形的综合】【例8】（2023春·四川成都·八年级校考阶段练习）已知：矩形ABCD的两边AB，BC的长是关于方程x2−mx+m 2−14=0的两个实数根．(1)当m为何值时，矩形ABCD是正方形？求出这时正方形的边长；(2)若AB的长为2，那么矩形ABCD的周长是多少？【变式8-1】（2023春·湖南益阳·八年级统考期末）已知①ABCD两邻边是关于x的方程x2-mx+m-1=0的两个实数根．（1）当m为何值时，四边形ABCD为菱形？求出这时菱形的边长．（2）若AB的长为2，那么①ABCD的周长是多少？【变式8-2】（2023春·浙江杭州·八年级杭州市采荷中学校考期中）已知关于x的一元二次方程x2+(m−5)x−5m=0．(1)判别方程根的情况，并说明理由．(2)设该一元二次方程的两根为a，b，且a，b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长．【变式8-3】（2023春·广东佛山·八年级校考期中）关于x的一元二次方程14x2−mx+2m−1=0的两个根是平行四边形ABCD的两邻边长．(1)当m=2，且四边形ABCD为矩形时，求矩形的对角线长度．(2)若四边形ABCD为菱形，求菱形的周长．【题型9 关于根的判别式的多结论问题】【例9】（2023春·河北保定·八年级保定市第十七中学校考期末）已知关于x的方程kx2−(2k−3)x+k−2=0，则①无论k取何值，方程一定无实数根；①k=0时，方程只有一个实数根；①k≤94且k≠0时，方程有两个实数根；①无论k取何值，方程一定有两个实数根．上述说法正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式9-1】（2023春·浙江绍兴·八年级统考期末）已知a(a>1)是关于x的方程x2−bx+b−a=0的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；①当a=t＋1时，一定有b=t−1；①b是此方程的根；①此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①【变式9-2】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）对于代数式ax 2+bx +c （a ≠0，a ，b ，c 为常数）①若b 2−4ac =0，则ax 2+bx +c =0有两个相等的实数根；①存在三个实数m ≠n ≠s ，使得am 2+bm +c =an 2+bn +c =as 2+bs +c ；①若ax 2+bx +c +2=0与方程(x +2)(x −3)=0的解相同，则4a −2b +c =−2，以上说法正确的是 ．【变式9-3】（2023春·浙江·八年级期末）已知方程甲：ax 2+2bx +a =0，方程乙：bx 2+2ax +b =0都是一元二次方程，①若x =1是方程甲的解，则x =1也是方程乙的解；①若方程甲有两个相等的实数解，则方程乙也有两个相等的实数解；①若方程甲有两个不相等的实数解，则方程乙也有两个不相等的实数解；①若x =n 既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么n 可以取1或−1．以上说法中正确的序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①②③④D ．①②④【题型10 关于根的判别式的新定义问题】【例10】（2023春·江苏宿迁·八年级统考阶段练习）对于实数a 、b ，定义运算“*”； a ∗b ={a 2−ab (a ≤b )b 2−ab (a >b ) ，关于x 的方程(2x )∗(x −1)=t +3恰好有三个不相等的实数根，则t 的取值范围是 ．【变式10-1】（2023春·四川雅安·八年级统考期末）对于实数a ，b 定义运算“①”如下：a☆b =ab 2−ab ，例如3☆2=3×22−3×2=6，则方程2☆x =−12的根的情况为（ ）A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根 【变式10-2】（2023春·安徽马鞍山·八年级校考阶段练习）定义：如果一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)满足a +b +c =0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax 2+bx +c =0(a ≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）A ．a =b −cB ．a =bC ．b =cD ．a =c。