专题27 基本不等式中常见的方法求最值(解析版)

专题27 基本不等式中常见的方法求最值

一、例题选讲

题型一、消参法

消参法就是对应不等式中的两元问题,用一个参数表示另一个参数,再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正,二定,三相等”这三个条件缺一不可！

例1、(2017苏北四市期末). 若实数x ,y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12,则3x ＋1y －3的最小值为________． 【答案】 8

【解析】解法1 因为实数x ,y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12,所以y ＝3

x

－3(y ＞3), 所以3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1

y －3＋6≥2

(y －3)·1y －3＋6＝8,当且仅当y －3＝1

y －3

,即y ＝4时取

等号,此时x ＝37,所以3x ＋1

y －3

的最小值为8.

解法2 因为实数x ,y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12,所以y ＝3x －3(y ＞3),y －3＝3

x

－6＞0, 所以3x ＋1y －3＝3x ＋13x －6＝3x －6＋1

3

x －6＋6≥2

⎝⎛⎭⎫3x －6·13x －6

＋6＝8,当且仅当3x －6＝13x －6

,即x ＝37

时取等

号,此时y ＝4,所以3x ＋1

y －3的最小值为8.

例2、(2013徐州、宿迁三检)若0,0a b >>,且11121

a b b =+++,则2a b +的最小值为 ．

【解析】由已知等式得2

22122a b ab a b b ++=+++,从而21

2b b a b

-+=,

21

222b b a b b b -++=+131222b b =++112

2≥+=,

题型二、双换元

若题目中含是求两个分式的最值问题,对于这类问题最常用的方法就是双换元,分布运用两个分式的分母为两个参数,转化为这两个参数的不等关系

例3、(2015苏锡常镇、宿迁一调)已知实数x ,y 满足x >y >0,且x ＋y ≤2,则2x ＋3y ＋1

x －y

的最小值为________．

【答案】3＋22

4

【解析】设⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＋3y ＝m ，

x －y ＝n .

解得⎩⎨⎧

x ＝m ＋3n 4

，y ＝m －n

4.

所以x ＋y ＝

m ＋n 2≤2,即m ＋n ≤4.设t ＝2x ＋3y ＋1x －y ＝2m ＋1

n

,所以4t ≥⎝⎛⎭⎫2m ＋1n (m ＋n )＝3＋2n m ＋m n ≥3＋2 2.即t ≥3＋224,当且仅当2n m ＝m

n ,即m ＝2n 时取等号．

例4、(2013徐州、宿迁三检)若0,0a b >>,且11

121

a b b =+++,则2a b +的最小值为 ．

【解析】12,2

11

m n a b m a b n b n --⎧

+==

⎧⎪⎨⎨+=⎩⎪=-⎩解得 所以111,m n +=332222m n a b +=+-,

因为33113()()22222222m n m n m n m n n m

+=++=++≥+

所以332222m n a b +=

+-≥

题型三、1的代换

1的代换就是指凑出1,使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件,即积为定值,凑的过程中要特别注意等价变形.

例5、(2019苏锡常镇调研)已知正实数a ,b 满足a ＋b ＝1,则b

b a a 4

21222+++的最小值为 ． 【答案】.11

【解析】思路分析：由于目标式比较复杂,不能直接求最小值,需要对该式子进行变形,配凑出使用基本不等式的条件,转化为熟悉的问题,然后利用基本不等式求解．

1174274))(41()(24212421222=+⨯≥++=++++=+++=+++b

a

a b b a a b b a b a b a b b a a b b a a 当且仅当b a a b 4=,即⎪⎩

⎪⎨⎧

==3231b a 时取“=”,所以b b a a 421222+++的最小值为.11

例6、(2019年苏州学情调研)若正实数x y ，满足1x y +=,则4

y x y

+的最小值是 ． 【答案】8

【解析】因为正实数x y ，满足1x y +=,

所以

4()444y y x y y x

x y x y x y ⨯++=+=+

+4448≥=+=,当且仅当4y x x y =,即2y x =,又1x y +=,即12,33

x y =

=,等号成立,即4y

x y +取得最小值8.

题型四、齐次化

齐次化就是含有多元的问题,通过分子、分母同时除以得到一个整体,然后转化为运用基本不等式进行求解.

例7、(2019通州、海门、启东期末)已知实数a>b>0,且a ＋b ＝2,则3a －b

a 2＋2a

b －3b 2

的最小值为________．

【答案】

3＋5

4

思路分析2 注意到所求的代数式的分子与分母分别为一次式、二次式,为此想到将它们转化为齐次式来加以处理,即将分子利用条件a ＋b ＝2,通过常数代换转化为二次式,进而将齐次式化为单变量的问题来加以处理．

解析：(化齐次式法)：因为a ＋b ＝2,所以3a －b a 2＋2ab －3b 2＝（a ＋b ）（3a －b ）2（a 2＋2ab －3b 2）＝32＋2（－ab ＋2b 2）a 2＋2ab －3b 2

＝3

2＋

2（2－a

b ）

（a b ）2＋2·a b －3,令u ＝2－a b ,因为a ＋b ＝2,a>b>0,所以2－b>b>0,故0

b ∈(－

∞,1),则

3a －b a 2＋2ab －3b 2＝32＋2u u 2－6u ＋5＝3

2

＋

2

u ＋5u

－6 当u∈(0,1)时,u ＋5u －6>0,此时3a －b a 2＋2ab －3b 2>3

2

；

当u<0时,u ＋5u －6＝－⎝⎛⎭⎫－u ＋5－u －6≤－6－25,此时3a －b a 2＋2ab －3b 2≥32＋2

－6－25＝3＋54,当且仅当u

＝－5时等号成立．

因此3a －b a 2＋2ab －3b 2

的最小值为3＋5

4.

二、达标训练

1、(2019年苏州学情调研)若正实数x y ，满足1x y +=,则4

y x y

+的最小值是 ． 【答案】8

【解析】因为正实数x y ，满足1x y +=,

所以

4()444y y x y y x

x y x y x y ⨯++=+=++4448≥=+=,当且仅当4y x x y =,即2y x =,又