2020届四川省成都市树德中学高三二诊模拟考试数学(文)试题(解析版)
第 1 页 共 20 页 2020届四川省成都市树德中学高三二诊模拟考试数学（文）试题
一、单选题 1．函数1ln12fxxx的定义域为（ ）
A．2, B．1,22, C．
1,2
D．
(]1,2-
【答案】C 【解析】【详解】
函数的定义域应满足20,12.10xxx
故选C.
2．复数2izi（i是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B 【解析】利用复数的四则运算以及几何意义即可求解. 【详解】
解：21212222555iiiiziiii，
则复数2izi（i是虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为：12,55， 位于第二象限. 故选：B. 【点睛】 本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义，属于基础题. 3．已知等差数列{}na满足1=2a，公差0d，且125,,aaa成等比数列，则
=d
A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 第 2 页 共 20 页
【解析】先用公差d表示出25,aa，结合等比数列求出d.
【详解】 252,24adad,因为125,,aaa成等比数列，所以2(2)2(24)dd，解得
4d. 【点睛】 本题主要考查等差数列的通项公式.属于简单题，化归基本量，寻求等量关系是求解的关键. 4．已知命题p：,xR使1sin2xx成立． 则p为（ ）
A．,xR1sin2xx均成立 B．,xR1sin2xx均成立
C．,xR使1sin2xx成立 D．,xR使1sin2xx=成立
【答案】A 【解析】试题分析：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即:p,sin2xxxR．
【考点】全称命题. 5．已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的渐近线方程为34yx=?，且其右焦点为
(5,0)，则双曲线C的方程为（ ）
A．221916xy B．221169xy C．22134xy D．
22143xy
【答案】B 【解析】试题分析：由题意得34ba=，22225cab，所以4a，3b，所求双
曲线方程为221169xy． 【考点】双曲线方程. 6．函数1log1axfxxx（01a）的图象的大致形状是（ ） 第 3 页 共 20 页
A． B．
C． D．
【答案】C 【解析】对x分类讨论，去掉绝对值，即可作出图象. 【详解】
log11loglog101log0.aaaaxxxfxxxxxxx，，，，，
故选C． 【点睛】 识图常用的方法 (1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利
用这一特征分析解决问题； (2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题； (3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解
决问题． 7．如图，正三角形ABC内的图形来自中国古代的太极图.正三角形内切圆中的黑色部
分和白色部分关于正三角形的中心成中心对称.在正三角形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ） 第 4 页 共 20 页
A．29 B．318 C．239 D．
53
18
【答案】B 【解析】设正三角形边长为2，计算出黑色部分的面积与总面积的比即可得解. 【详解】
设正三角形边长为2，则内切圆的半径为33，正三角形的面积为3，圆的面积为3
.
由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型
的概率计算公式，得此点取自黑色部分的概率是1323
183
.
故选：B. 【点睛】 本题考查了面积型几何概型概率的计算，属于基础题. 8．执行如图所示的程序框图，当输出的2S时，则输入的S的值为( )
A．-2 B．-1 C．12 D．
1
2 【答案】B
【解析】若输入2S，则执行循环得1313,2;,3;2,4;,5;,6;3232SkSkSkSkSk
132,7;,8;,9;32SkSkSk结束循环，输出32S，与题意输出的2S矛
盾； 第 5 页 共 20 页
若输入1S，则执行循环得11,2;2,3;1,4;,5;2,6;22SkSkSkSkSk
11,7;,8;2,9;2SkSkSk结束循环，输出2S，符合题意；
若输入12S，则执行循环得212,2;3,3;,4;,5;3,6;323SkSkSkSkSk
12,7;,8;3,9;23SkSkSk结束循环，输出3S，与题意输出的2S矛
盾； 若输入12S，则执行循环得12,2;1,3;,4;2,5;1,6;2SkSkSkSkSk
1,7;2,8;1,9;2SkSkSk结束循环，输出1S，与题意输出的2S
矛盾； 综上选B. 9．如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一
个蛋巢，将体积为43的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（ ）
A．22 B．32 C．212 D．
312
【答案】D 【解析】先求出球心到四个支点所在球的小圆的距离，再加上侧面三角形的高，即可求解. 【详解】 设四个支点所在球的小圆的圆心为O，球心为O， 由题意，球的体积为43，即24433R可得球O的半径为1， 又由边长为2的正方形硬纸，可得圆O的半径为12， 第 6 页 共 20 页
利用球的性质可得222131()22OO， 又由O到底面的距离即为侧面三角形的高，其中高为12， 所以球心到底面的距离为3131222.
故选：D. 【点睛】 本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及球的性质的综合应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题. 10．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线24yx上任意一点，M是线段
PF
上的点，且PMMF，则直线OM的斜率的最大值为（ ）
A．1 B．12 C．22 D．
5
2
【答案】A
【解析】设200(,),(,)2yPyMxyp，因为PMMF，得到200,442yypxyp，利用
直线的斜率公式，得到020002244OMykypypypp，结合基本不等式，即可求解. 【详解】 由题意，抛物线24yx的焦点坐标为(,0)2pF，
设200(,),(,)2yPyMxyp，
因为PMMF，即M线段PF的中点，所以220001(),222442yyyppxypp，
所以直线OM的斜率02000002221244OMykypypypyppyp， 当且仅当00ypyp，即0yp时等号成立， 第 7 页 共 20 页
所以直线OM的斜率的最大值为1. 故选：A. 【点睛】 本题主要考查了抛物线的方程及其应用，直线的斜率公式，以及利用基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 11．下列命题为真命题的个数是（ ）（其中，e为无理数）
①32e；②2ln3；③3ln3e. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】对于①中，根据指数幂的运算性质和不等式的性质，可判定值正确的；对于②中，构造新函数2ln,03fxxx，利用导数得到函数为单调递增函数，进而得到ffe，即可判定是错误的；对于③中，构造新函数ln,0fxexxx，
利用导数求得函数的最大值为0fe，进而得到30f，即可判定是正确的. 【详解】 由题意，对于①中，由239(),()2.2524ee，可得2.25e，根据不等式的性质，可得32e成立，所以是正确的； 对于②中，设函数2ln,03fxxx，则10fxx，所以函数为单调递增函数， 因为e，则ffe
又由221ln10333fee，所以0f，即2ln3，所以②不正确； 对于③中，设函数ln,0fxexxx，则1eexfxxx， 当(0,)xe时，0fx，函数fx单调递增， 当(,)xe时，0fx，函数fx单调递减， 所以当xe时，函数取得最大值，最大值为ln0feeee， 所以3ln330fe，即ln33e，即3ln3e，所以是正确的. 故选：C. 【点睛】
2020届成都高三二诊数学理科试题(含答案)(2020.4.8考)
数学 (理科 )参考答案及评分意见
第 Ⅰ 卷 (选择题,共 ６０ 分)
一、选择题:(每小题 ５ 分,共 ６０ 分)
１．
C; ２．
A; ３．
B; ４．
D; ５．
C; ６．
B; ７．
B; ８．
C; ９．
A; １０．
B; １１．
D; １２．
C．
第 Ⅱ 卷 (非选择题,共 ９０ 分)
４ 分
１
１
(Ⅱ )由题意,可知 x２ ＋２x－ml
n(
x＋１)＞
－ 在(
０,＋∞ )上恒成立 ．
x＋１ ex
(
i)若 m ≤０,∵l
n(
x＋１)＞０,∴－ml
n(
x＋１)≥０．
１
１
１
１
∴x２ ＋２x－ml
n(
x＋１)－
＋ x ≥x２ ＋２x－
＋ x．
x＋１ e
x＋１ e
１
１
１
１
构造函数 G (
x)＝x２ ＋２x－
x１ ,
B(
x２ ,
y１),
y２)．
联立
x＝my＋１
２
,消去 x,得(
m２ ＋２)
y ＋２my－１＝０．
x２ ＋２y２ ＝２
{
２m
１
,
∴Δ＝８m２ ＋８＞０,
．
y１ ＋y２ ＝－ ２
y１y２ ＝－ ２
m ＋２
m ＋２
２ ２(
m２ ＋１)
∴ AB ＝ １＋m２ y１ －y２ ＝
．
m２ ＋２
７ 分
设圆 x２ ＋y２ ＝２ 的圆心 O 到直线l 的距离为d,则 d＝
高2020届成都树德中学高三二诊理数综拟试题及答案
树德中学高2017级二诊模拟考试理综试题命题人：生物：王天丽化学：唐建华物理：吴至明审题人：生物：陈文红化学：赵凤玲物理：罗渊可能用到的相对原子质量：H-1 O-16 S-32 Cr-52 Fe-56 Co-59 Zn-65 Te-128第Ⅰ卷（选择题共126分）本卷共21小题，每小题6分，共126分。
一、选择题：本大题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．2020年2月11日，世卫组织宣布将新型冠状病毒正式命名为COVID-19，新型冠状病毒是一种RNA 病毒，下列有关说法正确的是A．新型冠状病毒的遗传物质主要为RNA，因此更容易发生变异B．新型冠状病毒颗粒内可以合成mRNA和蛋白质C．新型冠状病毒在进化过程中是独立进化的，与其他物种无关D．感染新型冠状病毒后人体内会产生相应的浆细胞和效应T细胞2．下列有关教材实验的表述，正确的是A．“观察DNA和RNA在细胞中的分布”和“观察花生子叶细胞中的脂肪颗粒”两个实验都要使用显微镜B．酒精在“脂肪的鉴定”和“低温诱导植物染色体数目的变化”中作用相同C．探究温度对淀粉酶活性影响的实验,斐林试剂、碘液均可用来检测实验结果D．用于观察质壁分离与复原的洋葱的细胞同样可用来观察有丝分裂3．癌症是严重威胁人类健康的疾病之一，下列有关描述正确的是A．黄曲霉素属于生物致癌因子B．亚硝胺可通过改变基因的结构而致癌C．长期接触癌症患者的人细胞癌变几率增加D．癌症是致癌因子引发的,患病几率与年龄无关4．线粒体中的琥珀酸脱氢酶催化琥珀酸脱氢，脱下的氢可将蓝色的甲烯蓝还原成无色的甲烯白。
丙二酸与琥珀酸结构相似，可与琥珀酸脱氢酶结合，但不会脱氢。
为探究丙二酸对琥珀酸脱氢反应是否有抑制作用，进行实验设计。
下列叙述不合理的是A．实验假设：丙二酸对琥珀酸脱氢反应有抑制作用B．实验取材：大白鼠心肌细胞含有较多的线粒体，可从其研磨液中提取琥珀酸脱氢酶C．实验分组：对照组加琥珀酸、实验组加丙二酸，两组都加入甲烯蓝和琥珀酸脱氢酶D．观察指标：蓝色的甲烯蓝还原成无色的甲烯白时间的长短5．下列关于植物激素调节的说法，正确的是A．幼根中细胞分裂素含量较高，但不含乙烯B．赤霉菌产生的赤霉素会使水稻得恶苗病，体现了植物激素有促进细胞伸长的作用C．植物激素调节只是植物生命活动调节的一部分D．喷洒适宜浓度的生长素类似物溶液，可以提高开花期传粉不充分的油菜产量6．某单基因遗传病在某地区人群中的发病率为4%，右图为该遗传病的一个家系图，其中已知I－3为纯合子。
四川省成都市龙泉驿区第二中学校2020届高三3月市“二诊”模拟考试数学理试题含Word版含解析
成都龙泉第二中学2015级高三下学期“二诊”模拟考试试题数学（理工类）第Ι卷（选择题部分，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则集合等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由条件得，∴。
选B。
2. 复数，则复数的虚部是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，则复数的虚部是故选A．3. 在展开式中，二项式系数的最大值为，含项的系数为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在展开式中，二项式系数的最大值为 a，∴a==20．展开式中的通项公式：T r+1=，令6﹣r=5，可得r=1．∴含x5项的系数为b==﹣12，则．故选：B．4. 下列命题中真命题的个数是（）①函数，其导函数是偶函数；②“若，则”的逆否命题为真命题；③“”是“”成立的充要条件；④命题：“，”，则命题的否定为：“，”．A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】因是偶函数，故①是正确的；又因是真命题，其逆否命题也是真命题，故②不正确；因当“”时，“”成立，反之不成立，故③是错误的；依据命题的否定的格式可知命题④是正确的。
综合有三个命题是正确的，应选答案D。
5. 偶函数的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，则的值可以为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】∵偶函数，∴φ=，f（x）=Asin（ωx+）=Acosωx，把它的图象向右平移个单位得到y=Acosω（x﹣）=Acos（ωx﹣ω•）的图象，再根据所得图象关于原点对称，则ω 可以等于2，故选：B．6. 如图为某几何体的三视图，求该几何体的内切球的表面积为( )A. B. 3 C. 4 D.【答案】C【解析】几何体为一个四棱锥,高为4,底面是边长为3的正方形,设内切球的半径为,则,因此内切球的表面积为选C.点睛:利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高或内切球的半径，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．7. 规定：对任意的各位数字不全相同的三位数，若将各位数字按照从大到小、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“和谐数”；若将各位数字按照从小到大、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“新时代数”．如图，若输入的，则输出的为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】由题意知：输入的，则程序运行如下：当时，，，，当时，，，，当时，，，，当时，，，，此时程序结束，输出，故选C．8. 若一个四位数的各位数字相加和为，则称该数为“完美四位数”，如数字“”.试问用数字组成的无重复数字且大于的“完美四位数”有（）个A. B. C. D.【答案】D【解析】由题设中提供的信息可知：和为10四位数字分别是（0,1,2,7），（0,1,3,6），（0,1,4,5）（0,2,3,5），（1,2,3,4）共五组；其中第一组（0,1,2,7）中，7排首位有种情形，2排首位，1、7排在第二位上时，有种情形，2排首位，0排第二位，7排第三位有1种情形，共种情形符合题设；第二、三组中3,、6与4、5分别排首位各有种情形，共有种情形符合题设；第四、五组中2、3、5与2、3、4分别排首位各有种情形，共有种情形符合题设。
四川省德阳市2020届高三(高中2017 级)“二诊”考试数学(文科)试卷(word版含答案)
四川省德阳市2020届高三（高中2017 级）“二诊”考试(文科)数学试卷一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数21z i =+，其中i 为虚数单位,则|z|= .5A.3B C.2 .2D 2.函数24y x =-的定义域为A ,集合2{|log (1)1}B x x =+>,则A∩B=.|12}A x x <≤.|22}B x x -≤≤ .|23}C x x -<< .|13}D x x <<3.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为3,则可输入的实数x 值的个数为A.1B.2C.3D.44.函数cos ()ln()x x x x f x e e -=+在[- π,π]的图象大致为5.为了得到函数sin(2)3y x π=+的图象，可将函数y=sin2x 的图象A.向右平移3π B.向左平移3π C.向左平移6π D.向右平移6π 6.已知113212112,(),log ,35a b c -=== A.b< a< cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a 7.已知l 为抛物线24x y =的准线,抛物线上的点M 到l 的距离为d,点P 的坐标为(4,1),则 |MP|+ d 的最小值是.A B.4 C.2.1D +8.不等式组201230x y y x x y -≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω,则 A.∀(x,y)∈Ω,x +2y> 3B.∃(x,y)∈Ω,x+2y > 5C.2(,),31y x y x +∀∈Ω>- 2. (,),51y D x y x +∃∈Ω>- 9.平行四边形ABCD 中,已知AB= 4,AD= 3,点E 、F 分别满足2,,AE ED DF FC ==u u u r u u u r u u u r u u u r 且 6.AF BE ⋅=-u u u r u u u r 则向量AD u u u r 在AB u u u r 上的投影为A.2B.-2 3.2C 3.2D - 10.已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b c , 且A =60°，b=3，AD 为BC 边上的中线，若A D = 7,2则△ABC 的面积为.4A.4B 15.4C.4D 11.已知实数a>0,a≠1,函数2,1()4ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是A.1<a≤2B.a<5C.3<a<5D.2≤a≤512.△ABC是边长为,E 、F 分别在线段AB 、AC 上滑动,EF // BC,沿EF 把△AEF 折起,使点A 翻折到点P 的位置,连接PB 、PC,则四棱锥P-BCFE 的体积的最大值AB C.3 D.2第II 卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分,第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题:共4小题， 每小题5分,共20分.将答案填在答题卡上.13.已知函数2()f x x ax =+的图象在点A(1,f(1))处的切线与直线l:x-3y+ 2=0垂直，则实数a 的值为___14.在一个袋子中装有分别标注1、2、3、4、5的5个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是____15.已知已知a 、b 为正实数，直线x +y+ 1 =0截圆22()()4x a y b -+-=所得的弦长为则ab 的最小值为____16.在△ABC 中,B 、C的坐标分别为(-,且满足sin sin sin ,2B C A O -=为坐标原点,若点P 的坐标为(4,0),则AO AP ⋅u u u r u u u r 的取值范围为____三、解答题:解答)ni 写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本题满分12分)已知数列{}n a 满足:12311232222(1)22n n n a a a a n +⋅+⋅+⋅++⋅=-⋅+L 对一切*n N ∈成立.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)求数列21{}n n a a +⋅的前n 项和.n S18. (本题满分12分)如图,四棱锥P- ABCD 的底面ABCD 中，△ABD 为等边三角形,△BCD 是等腰三角形,且顶角∠BCD= 120°,PC ⊥BD,平面PBD ⊥平面ABCD,M 为PA 中点.(1)求证:DM //平面PBC;(2)若AB P =D ⊥PB,求三棱锥P - BDM 的体积.19. （本题满分12分）贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标。
2020届成都七中高三文科数学二诊模拟考试试卷含答案
成都七中高2020届高三二诊数学模拟考试 (文科)（满分150分，用时120分钟）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}0652<--=x x x A ，{}02<-=x x B ，则=B A （ ） A ．{}23<<-x x B ．{}22<<-x xC ．{}26<<-x xD ．{}21<<-x x2．设i z i -=⋅+1)1(，则复数z 的模等于（ ） A ．2 B ．2 C ．1 D ．3 3．已知α是第二象限的角，43)tan(-=+απ，则=α2sin （ ） A ．2512 B ．2512- C ．2524 D ．2524- 4．设5.0log 3=a ，3.0log 2.0=b ，3.02=c ，则c b a ,,的大小关系是（ ） A ．c b a << B ．b c a << C ．b a c << D ．a b c <<5．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月 至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量 最好，一级和二级都是空气质量合格，下面四种说法不．正确．．的是( )A ．1月至8月空气质量合格天数超过20天的月份有5个B ．第二季度与第一季度相比，空气质量合格天数的比重下降了C ．8月是空气质量最好的一个月D ．6月的空气质量最差二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知某校高一、高二、高三的人数分别为400、450、500，为调查该校学生的学业压力情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为270的样本，则从高二年级抽取 的人数为__________．14．已知)2,1(=a ，)1,1(-=b ，则a 与b a +夹角的余弦值为________．15．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且0>x 时，x x x f 2)(2-=，则不等式x x f >)(的解集为__________．16．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ， 延长2AF 交椭圆C 于点B ，若△1ABF 为等腰三角形，则椭圆的离心率=e _____．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．17．设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，11=a ，若1a ，2a ，5a 成等比数列．（Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）设*)(1121N n a b n n ∈-=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表（Ⅱ）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于30.35m 的概率；（Ⅲ）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）19．如图所示，在四棱锥BCD A -中，2===BD BC AB ，32=AD ，2π=∠=∠CBD CBA ，点E 为AD 的中点．(Ⅰ) 求证：AD ⊥BC ；（Ⅱ）求证：平面ACD ⊥平面BCE ；（Ⅲ）若F 为BD 的中点，求四面体CDEF 的体积．20．已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）经过点)1,0(，离心率为23，A 、B 、C 为椭圆上不同的三点，且满足0=++OC OB OA ，O 为坐标原点．（Ⅰ）若直线1-=x y 与椭圆交于M ,N 两点，求MN ；（Ⅱ）若直线AB 、OC 的斜率都存在，求证：OC ABk k ⋅为定值．21．设函数1)(2---=x ax e x f x ，R a ∈．（Ⅰ）0=a 时，求)(x f 的最小值；（Ⅱ）若0)(≥x f 在[)+∞,0恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为32t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=. （Ⅰ）求l 的普通方程及C 的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C 上的点P 到l 距离的取值范围．23．已知a x x x f ++-=1)()(R a ∈．(Ⅰ) 若1=a ，求不等式4)(>x f 的解集；（Ⅱ）)1,0(∈∀m ，R x ∈∃0，)(1410x f mm >-+，求实数a 的取值范围．成都七中高2020届高三二诊模拟考试 数学文科参考答案一、选择题二、填空题13．90 14．552 15．()),3(0,3+∞-16．33 三、解答题17．解：(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ,依题意有 ⎩⎨⎧⋅==512211a a a a ()0)4(111211≠⎩⎨⎧+⋅=+=⇒d d a a d a a 且⎩⎨⎧==⇒211d a ………4分 所以()12121-=-+=n n a n()212n a a n S n n =+=………6分 (Ⅱ)因为()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=-=+111411411121n n n n a b n n ……8分 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111...312121141n n T n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=11141n )1(4+=n n …………12分 18．（Ⅰ ）频率分布直方图如下图所示： …4分（Ⅱ）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于30.35m 的频率为0.20.110.1 2.60.120.050.48⨯+⨯+⨯+⨯=；因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于30.35m 的概率的估计值为0.48；…7分 （Ⅲ）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为()110.0510.1530.2520.3540.4590.55260.6550.4850x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= …9分 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为()210.0510.1550.25130.35100.45160.5550.3550x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．…11分 估计使用节水龙头后，一年可节省水()()30.480.3536547.45m -⨯=． …12分21．（Ⅰ）0=a 时，1)(--=x e x f x ，则1)(-='x e x f 令0)(='x f 得0=x …2分 当()0,∞-∈x 时，0)(<'x f ，)(x f 在()0,∞-单调递减；当()+∞∈,0x ，0)(>'x f ，)(x f 在()+∞,0单调递增；…………4分所以0)0()(min ==f x f …5分（Ⅱ）12)(--='ax e x f x ，注意到0)0(=f ，故0)(≥x f 的充分条件是012)(≥--='ax e x f x 恒成立． 令12)()(--='=ax e x f x h x ，则a e x h x 2)(-='即0)(≥x h 在[)+∞,0恒成立，又注意到0)0(=h ，则0)(≥x h 其必要条件是021)0(≥-='a h ，解得21≤a ．……10分 事实上，21≤a 时，1)(2---=x ax e x f x 0112)(≥--≥--='x e ax e x f x x （由（Ⅰ）易知）即)(x f 在[)+∞,0单调递增，则0)0()(=≥f x f 恒成立． 综上， a 的取值范围是]21,(-∞．……………12分22解 :(Ⅰ )直线l的参数方程为322t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数)， 消去参数t 可得l0y -+=；曲线C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=，可得C 的直角坐标方程为22430x y x +-+=．……………5分（Ⅱ）C 的标准方程为()2221x y -+=,圆心为()2,0C ，半径为1， 所以,圆心C 到l的距离为d ==所以,点P 到l的距离的取值范围是1,122⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦．……………10分 23、解： (Ⅰ)当1=a 时，⎪⎩⎪⎨⎧-≤-<<-≥=++-=.1,2,11,2,1,211)(x x x x x x x x f …………2分⎩⎨⎧>≥⇔>4214)(x x x f ，或⎩⎨⎧><<-4211x ，或⎩⎨⎧>--≤421x x2>⇔x ，或2-<x故不等式4)(>x f 的解集为),2()2,(+∞--∞ ；………………5分 （Ⅱ）因为1)1()(1)(+=--+≥++-=a x a x a x x x f)1,0(∈∀m ，[])1()141(141m m m m m m -+-+=-+m m m m -+-+=1145911425=-⋅-+≥m m m m （当31=m 时等号成立）……8分 依题意，)1,0(∈∀m ，R x ∈∃0，有)(1410x f m m >-+ 则91<+a解之得810<<-a 故实数a 的取值范围是)8,10(- ……10分。
2019-2020学年四川省成都市树德中学高二（下）5月段考数学试卷（文科）（含答案解析）
2019-2020学年四川省成都市树德中学⾼⼆（下）5⽉段考数学试卷（⽂科）（含答案解析）2019-2020学年四川省成都市树德中学⾼⼆（下）5⽉段考数学试卷（⽂科）题号⼀⼆三总分得分⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共60.0分）1.已知i为虚数单位，复数z满⾜（1-i）?z=2i，是复数z的共轭复数，则下列关于复数z的说法正确的是（）A. z=-1-iB. |z|=2C.D. 复数z在复平⾯内表⽰的点在第四象限2.若曲线f（x）=x?sin x在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直，则实数a等（）A. 2B. 1C. -2D. -13.在同⼀平⾯直⾓坐标系中，将直线x-2y=2按φ：变换后得到的直线l，若以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建⽴极坐标系，则直线l的极坐标⽅程为（）A. 4ρcosθ-ρsinθ=4B. ρcosθ-16ρsinθ=4C. ρcosθ-4ρsinθ=4D. ρcosθ-8ρsinθ=44.已知某⽣产⼚家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为，则该⽣产⼚家获取的最⼤年利润为（）A. 300万元B. 252万元C. 200万元D. 128万元5.过抛物线（t为参数）的焦点的弦长为2，则弦长所在直线的倾斜⾓为（）A. B. 或 C. D. 或6.已知变量x，y之间的线性回归⽅程为=-0.4x+7.6，且变量x，y之间的⼀组相关数据如表所⽰，则下列说法错误的是（）x681012y6m32变量x，y之间呈现负相关关系B. m的值等于5C. 变量x，y之间的相关系数r=-0.4D. 由表格数据知，该回归直线必过点（9，4）7.函数的图象可能是（）A. B.C. D.8.甲、⼄、丙、丁四位同学参加⼀次数学智⼒竞赛，决出了第⼀名到第四名的四个名次．甲说：“我不是第⼀名”；⼄说：“丁是第⼀名”；丙说：“⼄是第⼀名”；丁说：“我不是第⼀名”．成绩公布后，发现这四位同学中只有⼀位说的是正确的．则获得第⼀名的同学为（）A. 甲B. ⼄C. 丙D. 丁9.若e a+πb≥e-b+π-a，则有（）A. a+b≤0B. a-b≥0C. a-b≤0D. a+b≥010.曲线C的参数⽅程为（α为参数），M是曲线C上的动点，若曲线T极坐标⽅程2ρsinθ+ρcosθ=20，则点M到T的距离的最⼤值（）A. B. C. D.11.⼰知函数f（x）=e x-ex+a与g（x）=ln x+的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为（）A. [-e，+∞）B. [-1，+∞）C. （-∞，-1]D. （-∞，-e]12.已知函数f（x）=e x-ax-1在区间（-1，1）内存在极值点，且f（x）＜0恰好有唯⼀整数解，则a的取值范围是（其中e为⾃然对数的底数，e=2.71828…）（）A. [，e）B. [，1）∪（e-1，]C. （e-1，e）D. [，）∪（e-1，e）⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共20.0分）13.已知复数（m2-5m+6）+（m2-3m）i是纯虚数，则实数m=______．14.观察下列不等式：1+，1+，1+，1+…按此规律，第n个不等式为______ ．15.在极坐标系中，已知，则A，B两点之间的距离|AB|=______．16.若函数在区间[1，2]上单调递增，则a+4b的最⼩值是______．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70.0分）17.设函数．（Ⅰ）若点（1，1）在曲线y=f（x）上，求在该点处曲线的切线⽅程；（Ⅱ）若f（x）有极⼩值2，求a．18.某⼯⼚为提⾼⽣产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项⽣产任务的两种新的⽣产⽅式．为⽐较两种⽣产⽅式的效率，选取40名⼯⼈，将他们随机分成两组，每组20⼈．第⼀组⼯⼈⽤第⼀种⽣产⽅式，第⼆组⼯⼈⽤第⼆种⽣产⽅式．根据⼯⼈完成⽣产任务的⼯作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种⽣产⽅式的效率更⾼？并说明理由；（2）求40名⼯⼈完成⽣产任务所需时间的中位数m，并将完成⽣产任务所需时间超过m和不超过m的⼯⼈数填⼊下⾯的列联表：超过m不超过m第⼀种⽣产⽅式第⼆种⽣产⽅式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种⽣产⽅式的效率有差异？附：K2＝，P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82819.在直⾓坐标系xOy中，曲线C1的参数⽅程为（φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建⽴极坐标系，曲线C2的极坐标⽅程为ρ=4sinθ（Ⅰ）求曲线C1的普通⽅程和C2的直⾓坐标⽅程；（Ⅱ）已知曲线C3的极坐标⽅程为θ=α，0＜α＜π，ρ∈R A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|=4，求实数α的值．20.已知函数．（1）若对于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成⽴，试求a的取值范围；（2）记g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e-1，e]上恰有两个零点，求实数b的取值范围．21.近年来，随着互联⽹的发展，诸如“滴滴打车”“神州专车”等⽹约车服务在我国各城市迅猛发展，为⼈们出⾏提供了便利，但也给城市交通管理带来了⼀些困难．为掌握⽹约车在我省的发展情况，我省某调查机构抽取了哈尔滨、齐齐哈尔、⼤庆、牡丹江、佳⽊斯5个城市，分别收集和分析了⽹约车的，两项指标数，数据如下表所⽰：佳⽊斯牡丹江⼤庆齐齐哈尔哈尔滨A指标数x24568B指标数y34445经计算得，，．（1）试求y与x间的相关系数，并利⽤r说明y与x是否具有较强的线性相关关系（若|r|＞0.75，则线性相关程度很⾼，可⽤线性回归模型拟合）；（2）建⽴y关于x的回归⽅程，并预测当A指标数为7时，B指标数的估计值；（3）若城市的⽹约A车指标数x落在区间（，）的右侧，则认为该城市⽹约车数量过多，会对城市交通管理带来较⼤的影响，交通管理部门将介⼊进⾏治理，直⾄A指标数x 回落到区间（，）之内．现已知2019年3⽉该城市⽹约车的A指标数为13，问：该城市的交通管理部门是否要介⼊进⾏治理？试说明理由．附：相关公式：，，参考数据：，．22.已知函数f（x）=ln x，g（x）=ax2-（2a+1）x（a≠0且），h（x）=x2+kx+3．（1）若函数F（x）=f（x）+g（x）在（0，e]上的最⼤值为1，求a的值；（2）若存在使得关于x的不等式2xf（x）+h（x）≥0成⽴，求k的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵（1-i）?z=2i，∴z====-1+i，∴|z|=，=-1-i，∴z=（-1+i）（-1-i）=1+1=2，复数z在复平⾯内表⽰的点在第⼆象限，故选：C．把已知等式变形，利⽤复数代数形式的乘除运算化简求出z，然后逐⼀核对四个选项得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：A解析：解：f'（x）=sin x+x cosx，∴f′（）=1，即函数f（x）=x sinx+1在点x=处的切线的斜率是1，直线ax+2y+1=0的斜率是-，所以-×1=-1，解得a=2．故选：A．先求出导函数f'（x），求出f′（）的值从⽽得到切线的斜率，根据两直线垂直斜率乘积为-1建⽴等式关系，解之即可求出a的值．本题主要考查了利⽤导数研究曲线上某点切线⽅程，以及直线的⼀般式⽅程与直线的垂直关系，属于基础题．3.答案：A解析：解：由φ：得并代⼊x-2y=2得2x′-2×y′=2，即2x′-y′-2=0，其极坐标⽅程为2ρcosθ-ρsinθ=2，即4ρcosθ-ρsinθ=4．故选：A．先由变换公式得直线l的直⾓坐标，再⽤公式化成极坐标⽅程．本题考查了简单曲线的极坐标⽅程，属中档题．4.答案：C解析：解：y′=-x2+81，令y′=0，⼜x＞0，解得x=9．当0＜x＜9时，y′＞0，函数f（x）单调递增；当x＞9时，y′＜0，函数f（x）单调递减．∴当x=9时，y有最⼤值，最⼤值是200（万元），故选：C．y′=-x2+81，令y′=0，解得x=9．利⽤导数研究其单调性即可得出．本题考查了利⽤导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于基础题．5.答案：B解析：解：由消去t得y2=x，F（，0），显然所求直线有斜率，设弦长所在直线的⽅程为：y=k（x-）并代⼊y2=x得k2x2-（k2+）x+=0，根据抛物线的定义得x1+x2+p=+=2，解得k2=3，k=，∴倾斜⾓为或．故选：B．消参变普通⽅程后与直线⽅程联⽴，根据韦达定理以及抛物线的定义列式可得斜率k和倾斜⾓．本题考查了抛物线线的参数⽅程，属中档题．6.答案：C解析：解：对于A：根据回归系数=-0.4＜0，判断量x，y之间呈现负相关关系，A正确；对于B，根据表中数据，计算=×（6+8+10+12）=9，=×（6+m+3+2）=，代⼊回归⽅程得=-0.4×9+7.6，解得m=5，B正确；对于C：变量x，y之间的相关系数r≠-0.4，C错误；对于D：由线性回归⽅程⼀定过（，），且=9，∴线性回归⽅程过点（9，4），D正确；故选：C．根据变量x，y之间的线性回归⽅程，对选项中的命题分析、判断正误即可．本题考查了线性回归⽅程的定义与应⽤问题，是基础题．7.答案：B解析：【分析】本题考查了函数的性质的判断与数形结合的思想⽅法应⽤．根据函数的定义域和特值法即可排除A,C,D，从⽽得到正确选项.【解答】解：因为，函数f（x）的定义域为R，且在R上连续，故排除A；且，故排除C，,故排除D，故选：B．8.答案：A解析：解：当甲获得第⼀名时，甲、⼄、丙说的都是错的，丁说的是对的，符合条件；当⼄获得第⼀名时，甲、丙、丁说的都是对的，⼄说的是错的，不符合条件；当丙获得第⼀名时，甲和丁说的是对的，⼄和丙说的是错的，不符合条件；当丁获得第⼀名时，甲、⼄说的都是对的，⼄、丁说的都是错的，不符合条件．故选：A．分别假设第⼀名是甲、⼄、丙、丁，然后分析四个⼈的话，能够求出结果．本题考查简单推理的应⽤，考查合情推理等基础知识，考查函数与⽅程思想，考查函数与⽅程思想，是基础题．9.答案：D解析：【分析】利⽤函数单调性求由e a+πb≥e-b+π-a构造函数f（x）=e x-π-x，利⽤函数单调性得答案．本题考查构造函数以及指数函数的性质，属于中档题．【解答】解法⼀：取特殊值排除；当a=0，b=1时，1+π≥+1，成⽴，排除A，B．当a=1，b=0，e+1≥1+成⽴，排除C．法⼆：构造函数利⽤单调性：令f（x）=e x-π-x，则f（x）是增函数，∵e a-π-a≥e-b-πb，∴f（a）≥f（-b），即a+b≥0．故选：D．10.答案：B解析：解：曲线T的普通⽅程是：x+2y-20=0．点M到曲线T的距离为=，∴sin（α+θ）=-1时，点M到T的距离的最⼤值为2+4，故选B．先求出曲线C的普通⽅程，使⽤参数坐标求出点M到曲线T的距离，得到关于α的三⾓函数，利⽤三⾓函数的性质求出距离的最值．本题考查了参数⽅程，极坐标⽅程与普通⽅程的转化，参数⽅程的应⽤，属于基础题．解析：【分析】本题主要考查函数与⽅程的应⽤，属于较难题．先求出g（x）关于x轴对称的函数图象，则条件等价为f（x）=e x-ex+a=-ln x-，在（0，+∞）上有解，利⽤参数分离法进⾏转化，利⽤数形结合进⾏求解即可．【解答】解：g（x）=ln x+的定义域为（0，+∞），则g（x）关于x轴对称的曲线为-y=ln x+，即y=-ln x-，则条件等价为f（x）=e x-ex+a=-ln x-在（0，+∞）上有解，得a=-ln x--e x+ex，设h（x）=-ln x--e x+ex，则函数的导数h′（x）=-+-e x+e=-（e x-e），当x=1时，h′（x）=0，当x＞1时，h′（x）=-（e x-e）＜0，此时函数为减函数，当0＜x＜1时，h′（x）=-（e x-e）＞0，此时函数f（x）为增函数，即当x=1时，函数h（x）=-ln x--e x+ex取得极⼤值同时也是最⼤值，最⼤值为h（1）=-ln1-1-e+e=-1，作出h（x）=-ln x--e x+ex的图象如图：即要使a=h（x）在（0，+∞）上有解，则a≤-1，即实数a的取值范围是（-∞，-1]，12.答案：D解析：解：由题意得，f′（x）=e x-a=0在（-1，1）上有解，∵f′（x）在（-1，1）上单调递增，∴＜a＜e，⼜∵f（x）＜0恰好有唯⼀整数解，即e x＜ax+1有唯⼀整数解．设g（x）=e x，h（x）=ax+1，结合题意可知：①若1＜a＜e，则唯⼀整数解为1，故应满⾜故e-1＜a＜e；②若＜a＜1，则唯⼀整数解为-1，故应满⾜∴≤a＜，故≤a＜．由①②得a的取值范围为[，）∪（e-1，e）．故选：D．推导出f′（x）=e x-a=0在（-1，1）上有解，从⽽＜a＜e，e x＜ax+1有唯⼀整数解．设g（x）=e x，h（x）=ax+1，当1＜a＜e时，唯⼀整数解为1，应满⾜当＜a＜1时，唯⼀整数解为-1，应满⾜由此能求出a的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查利⽤导数研究函数极值点问题、利⽤导数研究函数的单调性与极值、最值问题等基础知识，考查分类讨论思想、化归与转化思想，考查运算求解能⼒，是难题．13.答案：2解析：解：当纯虚数．故答案为：2．当复数是⼀个纯虚数时，需要实部等于零⽽虚部不等于0，本题考查复数代数表⽰法及，针对于复数的基本概念得到实部和虚部的要满⾜的条件．14.答案：1++…+＜解析：解：由已知中的不等式1+，1+，1+，1+…得出左边式⼦是连续正整数平⽅的倒数和，最后⼀个数的分母是不等式序号n+1的平⽅右边分式中的分⼦与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，故可以归纳出第n个不等式是1++…+＜，（n≥2），故答案为：1++…+＜由题设中所给的四个不等式归纳出它们的共性：左边式⼦是连续正整数平⽅的倒数和，最后⼀个数的分母是不等式序号n+1的平⽅，右边分式中的分⼦与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，得出第n个不等式本题考查归纳推理，解题的关键是根据所给的四个不等式得出它们的共性，由此得出通式．15.答案：2解析：解：根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，点A（2，），B（4，）的直⾓坐标为：A（，1），B（-2，2），∴|AB|==2，故答案为：2．先利⽤直⾓坐标与极坐标间的关系，即利⽤ρcosθ=x，ρsinθ=y，进⾏代换将极坐标化成直⾓坐标，再在直⾓坐标系中算出两点间的距离即可．本题考查点的极坐标和直⾓坐标的互化，体会在极坐标系和平⾯直⾓坐标系中刻画点的位置的区别，本题解题的关键是能进⾏极坐标和直⾓坐标的互化．解析：解：函数在[1，2]上单调递增，∴在[1，2]上恒成⽴，即x2+2bx+a≥0在[1，2]上恒成⽴，令h（x）=x2+2bx+a，其对称轴为x=-b，当-b≤1即b≥-1时，x2+2bx+a≥0在[1，2]上恒成⽴等价于，由线性规划可知，此时（a+4b）min=-3，当-b≥2即b≤-2时，x2+2bx+a≥0在[1，2]上恒成⽴，等价于，即（a+4b）min=-4；当1＜-b＜2即-2＜b＜-1时，x2+2bx+a≥0在[1，2]上恒成⽴，等价于，此时（a+4b）min=-4，综上可知，（a+4b）min=-4．故答案为：-4．对函数进⾏求导，导函数的分⼦为⼆次函数，按照轴动区间定的⽅法列出关于a与b的不等式，联合线性规划知识点分析可得答案．本题利⽤导数研究函数的单调性，结合线性规划，难度较⼤．17.答案：解：（I）因为点（1，1）在曲线y=f（x）上，所以a=1，------------------------------------------（1分）⼜，------------------------------------------（3分）所以------------------------------------------（4分）在该点处曲线的切线⽅程为即x+2y-3=0------------------------------------------（5分）（II）定义域为（0，+∞），--------------------------------------（6分）讨论：（1）当a≤0时，f'（x）＜0此时f（x）在（0，+∞）上单调递减，所以不存在极⼩值------------------------------（8分）（2）当a＞0时，令f'（x）=0可得------------------------------------------（9分）列表可得xf'（x）-0+f（x）单调递减单调递增所以f（x）在上单调递减，在上单调递增----------------------（11分）所以=，所以=2解得a=2（舍负）------------------------------------------（13分）解析：（Ⅰ）利⽤已知条件求出a，求出函数的导数，得到切线的斜率，然后求解切线⽅程．（Ⅱ）求出导函数，判断导函数的符号，得到函数的单调性，然后求解函数的极值．推出a．本题考查函数的导数的应⽤，切线⽅程以及函数的单调性极值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应⽤．18.答案：解：（1）根据茎叶图中的数据知，第⼀种⽣产⽅式的⼯作时间主要集中在72～92之间，第⼆种⽣产⽅式的⼯作时间主要集中在65～85之间，所以第⼆种⽣产⽅式的⼯作时间较少些，效率更⾼；（2）这40名⼯⼈完成⽣产任务所需时间按从⼩到⼤的顺序排列后，排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为m==80；由此填写列联表如下；超过m不超过m总计第⼀种⽣产⽅式15520第⼆种⽣产⽅式51520总计202040（3）根据（2）中的列联表，计算K2===10＞6.635，∴能有99%的把握认为两种⽣产⽅式的效率有差异．解析：本题考查了茎叶图、中位数、列联表与独⽴性检验的应⽤问题，是基础题．（1）根据茎叶图中的数据判断第⼆种⽣产⽅式的⼯作时间较少些，效率更⾼；（2）根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表；（3）列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论．19.答案：解：（Ⅰ）由曲线C1的参数⽅程为（φ为参数），消去参数得曲线C1的普通⽅程为（x-2）2+y2=4．∵曲线C2的极坐标⽅程为ρ=4sinθ，∴ρ2=4ρsinθ，∴C2的直⾓坐标⽅程为x2+y2=4y，整理，得x2+（y-2）2=4．（Ⅱ）曲线C1：（x-2）2+y2=4化为极坐标⽅程为ρ=4cosθ，设A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），∵曲线C3的极坐标⽅程为θ=α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|=4，∴|AB|=|ρ1-ρ2|=|4si nα-4cosα|=4|sin（）|=4，∴sin（）=±1，∵0＜α＜π，∴-，∴，解得．解析：（Ⅰ）由曲线C1的参数⽅程消去参数能求出曲线C1的普通⽅程；曲线C2的极坐标⽅程化为ρ2=4ρsinθ，由此能求出C2的直⾓坐标⽅程．（Ⅱ）曲线C1化为极坐标⽅程为ρ=4cosθ，设A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），从⽽得到|AB|=|ρ1-ρ2|=|4sinα-4cosα|=4|sin（）|=4，进⽽sin（）=±1，由此能求出结果．本题考查曲线的普通⽅程、直⾓坐标⽅程的求法，考查⾓的求法，涉及到直⾓坐标⽅程、极坐标⽅程、参数⽅程的互化，考查推理论证能⼒、运算求解能⼒，考查化归与转化思想、函数与⽅程思想，是中档题．20.答案：解：（1）=，由f′（x）＞0解得，由f′（x）＜0得∴f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减∴当时，函数f（x）取得最⼩值由于对于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成⽴，所以解得，故a的取值范围是（2）依题意得，则由g′（x）＞0解得x＞1；由g′（x）＜0解得0＜x＜1所以g（x）在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，+∞）上为增函数．⼜因为函数g（x）在区间[e-1，e]上有两个零点，所以解得，所以b的取值范围是．解析：（1）根据函数的单调区间求出函数的最⼩值，要使f（x）＞2（a-1）恒成⽴，需使函数的最⼩值⼤于2（a-1），从⽽求得a的取值范围．（2）利⽤导数的符号求出单调区间，再根据函数g（x）在区间[e-1，e]上有两个零点，得到，解出实数b的取值范围．本题考查导数与曲线上某点的切线斜率的关系，利⽤导数求函数的单调区间以及函数的最值．属于中档题．21.答案：解：（1）由题得，，∴（x i-）（y i-）=6，（x i-）2=20，（y i-）2=2，则r==≈0.95，∵r＞0.25，∴x与y具有较强的线性相关关系；（2）由（1）得=0.3，=4-0.3×5=2.5，∴线性回归⽅程为=0.3x+2.5，当x=7时，=0.3×7+2.5=4.6，∴当A指标为7时，B指标的估计值为4.6；（3）由题得（-3s，+3s）=（-1，11），∵13＞11，∴该城市的交通管程部门需要进⾏治理．解析：（1）计算相关系数r≈0.95＞0.75，所以x与y具有较强的线性相关关系；（2）先得线性回归⽅程，再代⼊x=7可得；（3）由题得（-3s，+3s）=（-1，11），由13＞11可得结论．本题考查两个变量相关关系的判断，考查线性回归⽅程的求法，考查计算能⼒，是中档题．22.答案：解：（1）函数F（x）=f（x）+g（x）=ln x+ax2-（2a+1）x，x∈（0，e]，=，令u（x）=2ax2-（2a+1）x+1=（2ax-1）（x-1），则u（x）过（0，1），（1，0）两点，因为a≠0且a，所以，所以函数u（x）与x轴交于不同的两点（，0），（1，0），当时，即a＜0时，在区间（0，1）上，u（x）＞0，F′（x）＞0，F（x）单调递增，在区间（1，e）上，u（x）＜0，F′（x）＜0，F（x）单调递减，所以F（x）max=F（1）=ln1+a×12-（2a+1）×1=-a-1=1，解得a=-2，当0＜＜1时，即a时，在区间（0，），（1，e）上，u（x）＞0，F′（x）＞0，F（x）单调递增，在区间（，1）上，u（x）＜0，F′（x）＜0，F（x）单调递减，F（）=ln+a（）2-（2a+1）×=ln，因为此时0＜＜1，F（）＜0，不会是最⼤值1，若F（x）max=F（e）=ln e+a×e2-（2a+1）e=1+ae2-2ae-e=1，解得a=与a＞⽭盾，（舍）．当1＜＜e，即．时，在区间（0，1），（，e）上，u（x）＞0，F′（x）＞0，F（x）单调递增，在区间（1，）上，u（x）＜0，F′（x）＜0，F（x）单调递减，若F（x）max=F（1）=-a-1=1，解得a=-2，与⽭盾，（舍）若F（x）max=F（e）=1+ae2-2ae-e=1，解得a=，符合．当e＜，即0＜a＜时，在区间（0，1）上，u（x）＞0，F′（x）＞0，F（x）单调递增，在区间（1，e）上，u（x）＜0，F′（x）＜0，F（x）单调递减，F（x）max=F（1）=-a-1=1，解得a=-2，（舍）综上所述：a=-2或．（2）存在使得关于x的不等式2xf（x）+h（x）≥0成⽴，存在使得关于x的不等式2x lnx+x2+kx+3≥0成⽴，存在使得关于x的不等式k≥-成⽴，令v（x）=-，v′（x）=-=-，所以在区间（，1）上，v′（x）＞0，v（x）单调递增，在区间（1，e）上，v′（x）＞0，v（x）单调递增，v（）=2--3，v（e）=-2-e-，v（）-v（e）=（2--3）-（-2-e-）=1+e+＞0，所以v（）＞v（e），所以k＞-2-e-．解析：（1）对F（x）求导得=，令u（x）=2ax2-（2a+1）x+1=（2ax-1）（x-1），则u（x）过（0，1），（1，0）两点，因为a≠0且a，所以，所以函数u（x）与x轴交于不同的两点（，0），（1，0），分情况讨论，当，当0＜＜1，当1＜＜e，当e ＜，每⼀种情况下的单调性最⼤值，进⽽得出结论．（2）根据题意得，存在使得关于x的不等式k≥-成⽴，令v（x）=-，只需要求v（x）最⼩值，使得k⼤于v（x）最⼩值，即可．本题考查导数的综合应⽤，存在性问题，属于难题．。
2022-2023学年四川省成都市高二年级下册学期4月月考数学(文)试题【含答案】
2022-2023学年四川省成都市树德中学（宁夏校区）高二下学期4月月考数学（文）试题一、单选题1．若，则的虚部为（ ）(1i)1i z +=-z A ．1B ．C ．D ．1-i-i【答案】A【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可得到，再根据复数的定义判断即可.z z 【详解】因为，所以，所以，(1i)1i z +=-()()()21i 1ii 1i 1i 1i z --===-++-i z =所以的虚部为.z 1故选：A2．为迎接2023年成都大运会，大运会组委会采用按性别分层抽样的方法从某高校报名的200名学生志愿者中抽取30人组成大运会志愿小组.若30人中共有男生12人，则这200名学生志愿者中女生可能有（ ）A ．12人B ．18人C ．80人D ．120人【答案】D【分析】根据分层抽样等比例性质即可求女生人数.【详解】由题设，若200名学生志愿者中女生有人，则，x 301220030x -=所以人.1820012030x =⨯=故选：D3．的两个顶点为,周长为16，则顶点C 的轨迹方程为（ ）.ABC (3,0),(3,0)A B -ABC A ．B ．()22102516x y y +=≠()22102516y x y +=≠C ．D ．()2210169x y y +=≠()2210169y x y +=≠【答案】A【分析】根据题意,可知点C 到A 、B 两点的距离之和为10,故轨迹为椭圆,同时注意取值范围.【详解】由题知点C 到A 、B 两点的距离之和为10,故C 的轨迹为以为焦点,长轴长(3,0),(3,0)A B -为10的椭圆,.故.所以方程为.222210,3,16a c b a c ===-=2212516x y +=又故三点不能共线,所以ABC ,,A B C ()22102516x y y +=≠故选A【点睛】本题主要考查椭圆的定义与椭圆的标准方程,注意求轨迹时结合实际情景进行特殊点排除.4．已知是曲线上的任一点，若曲线在点处的切线的倾斜角均是不小于的M 21ln 2y x x ax =++M π4锐角，则实数的取值范围是（ ）a A ．B ．C ．D ．[)2,+∞[)1,-+∞(],2-∞(],1-∞-【答案】B【分析】分析可知对任意的恒成立，结合参变量分离法以及基本不等1πtan 14y x a x '=++≥=0x >式可求得实数的取值范围.a 【详解】函数的定义域为，且，21ln 2y x x ax =++()0,∞+1y x a x '=++因为曲线在其上任意一点点处的切线的倾斜角均是不小于的锐角，21ln 2y x x ax =++M π4所以，对任意的恒成立，则，1πtan 14y x a x '=++≥=0x >11a x x -≤+当时，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，0x >12x x +≥=1x =所以，，解得.12a -≤1a ≥-故选：B.5．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是A ．B ．C ．(1,0)D ．(1，)(1,)2π(1,)2π-π【答案】B【详解】由题圆，则可化为直角坐标系下的方程,2sin ρθ=-，，22sin ρρθ=-222x y y +=-，2220x y y =++圆心坐标为（0，-1），则极坐标为，故选B.1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】直角坐标与极坐标的互化.6．下列有关回归分析的说法中不正确的是（ ）A ．回归直线必过点(),x y B ．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线C ．当相关系数时，两个变量正相关0r >D ．如果两个变量的线性相关性越弱，则就越接近于r【答案】B【分析】根据线性回归直线的性质可判断选项AB ；根据相关系数的性质可判断CD ，进而可得正确选项.【详解】对于A 选项，回归直线必过点，A 对；(),x y 对于B 选项，线性回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，B 错；对于C 选项，当相关系数时，两个变量正相关，C 对；0r >对于D 选项，如果两个变量的线性相关性越弱，则就越接近于，D 对.r0故选：B.7．是的导函数，若的图象如图所示，则的图象可能是（ ）()f x '()f x ()f x '()f xA ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】先利用题给导数图像得到的正负情况，再利用导数几何意义即可求得单调性，()f x '()f x 进而得到的可能图象.()f x 【详解】由的图象可得，()f x '当时，，则单调递增；0x <()0f x ¢>()f x 当时，，则单调递减；10x x <<()0f x '<()f x 当时，，则单调递增.1x x >()0f x ¢>()f x 则仅有选项C 符合以上要求.故选：C8．已知是椭圆的右焦点，过椭圆的下顶点且斜率为的直线与以点F ()2222:10x y C a b a b+=>>C 34为圆心、半焦距为半径的圆相切，则椭圆的离心率为（ ）F C A B ．CD 12【答案】A【分析】求得过椭圆的下顶点且斜率为的直线，利用圆心到此直线的距离列方程，化简求得离C 34心率.【详解】过椭圆的下顶点且斜率为的直线方程为，C ()0,b -3433,044yx b x y b =---=，由点到直线距离公式，得(),0F c c 即，，则.2232c bc b =+()()220c b c b -+=20,2c b b c -==又，即，222ab c =+()222225a c c c =+=解得c a =故选：A9．已知，若不是函数的极小值点，则下列选项符合的是,R a b ∈x a =21()()()(1)x f x x a x b e -=---（ ）A ．B ．C ．D ．1b a ≤<1b a <≤1a b<≤1a b <≤【答案】B【分析】利用数轴标根法，画出的草图，对选项A ，B ，C ，D 逐一分析.()f x 【详解】解：令，得.21()()()(1)0x f x x a x b e -=---=123,,1x a x b x ===下面利用数轴标根法画出的草图，借助图象对选项A ，B ，C ，D 逐一分析.()f x 对选项A ：若，由图可知是的极小值点，不合题意；1b a ≤<x a =()f x 对选项B ：若，由图可知不是的极小值点，符合题意；1b a <≤x a =()f x 对选项C ：若，由图可知是的极小值点，不合题意；1a b <≤x a =()f x 对选项D ：若，由图可知是的极小值点，不合题意；1a b <≤x a =()f x 故选：B.【点睛】方法点睛：利用数轴标根法，口诀 “自上而下，从右到左，奇穿偶不穿”，画出的草()f x 图，结合极小值点的定义，对选项A ，B ，C ，D 逐一分析，即可求解.10．已知椭圆，过原点的直线交椭圆于、（在第一象限）由向轴()2222:10x y a b a b Γ+=>>A B A A x 作垂线，垂足为，连接交椭圆于，若三角形为直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）C BCD ABDA ．BCD 12【答案】B 【分析】设点、，其中，，则、，分析可知()00,A x y ()11,D x y 00x >00y >()00,B x y --()0,0C x，利用点差法可得出，可求得，由可求得该椭圆的离心率的1DA AB k k =-22DA DBb k k a =-22b a e =值.【详解】如下图所示，设点，其中，，则、，()00,A x y 00x >00y >()00,B x y --()0,0C x则，，00AB y k x =02BC y k x =设点，则，作差可得，()11,D x y 22112222002211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22221010220x x y y a b --+=所以，，2221022210y y b x x a -=--所以，，则不互相垂直，2221010102221010101DA DBy y y y y y b k k x x x x x x a -+-=⋅==-≠--+-,AD BD 所以，则，所以，，AD AB ⊥1AD ABk k =-001AD AB x k k y =-=-又因为，所以，，000122DA DB DA BC xy k k k k y x ==-⋅=-2212b a =所以，该椭圆的离心率为c e a =====故选：B.11．已知，，，且，，，则04a <<02b <<03c <<216ln ln 4a a =24ln ln 2b b =29ln ln 3c c =（ ）．A ．B ．C ．D ．c b a >>c a b>>a c b>>b c a>>【答案】D 【分析】构造函数，利用导数判断函数单调性，作出图象，数形结合求解即可.()()2ln 0xf x x x =>【详解】由题意，得，，．22ln ln 44a a =22ln ln 22b b =22ln ln 33c c =设，则，()()2ln 0x f x x x =>()1232ln ln x e f x x ⎛⎫'- ⎪⎝⎭=-当时，；当时，，120x e <<()0f x ¢>12x e >()0f x '<所以在上为增函数，在上为减函数，()f x ()120,e ()12,e +∞结合，时，；时，，()10f =1x <()0f x <1x >()0f x >易画出的草图（如下图），()f x 又，，，结合a ，b ，c 的取值范围及的图象，可得()()4f a f =()()2f b f =()()3f c f =()f x ，b c a >>故选：D 12．设是定义在R 上的奇函数，在上有，且()f x (),0∞-2023(2023)(2023)0xf x f x '+<，则不等式的解集为（ ）()20230f =()ln 20230x f x ⋅<A ．B ．C ．D ．()(),10,1-∞-⋃()(),11,0-∞-- ()()1,00,1- ()()1,01,-⋃+∞【答案】B 【分析】构造函数，利用题给条件求得在上单调性，再利用奇()()2023,0k x x f x x =⋅<()k x (,0)-∞函数满足求得，进而得到在上的函数值的正负情()f x ()20230f =()20230f -=()2023f x (,0)-∞况，再利用奇函数的性质即可求得不等式的解集.()ln 20230x f x ⋅<【详解】令，则()()2023,0k x x f x x =⋅<()()()2023202320230k x f x x f x ''=+⋅<则在上单调递减，()()2023k x x f x =⋅(,0)-∞又是定义在R 上的奇函数，，则，()f x ()20230f =()20230f -=则，()(1)120230k f -=-⨯-=则当时，，，；1x <-()0k x >()20230f x <()ln 20230x f x ⋅<当时，，，.10x -<<()0k x <()20230f x >()ln 20230x f x ⋅<又由是定义在R 上的奇函数，可得()f x 当时，，；1x >()20230f x >()ln 20230x f x ⋅>当时，，01x <<()20230f x <()ln 20230x f x ⋅>综上，不等式的解集为()ln 20230x f x ⋅<()(),11,0-∞-- 故选：B二、填空题13．如图，若向量对应的复数为z ，则表示的复数为______．OZ 4z z +【答案】##3i +i 3+【分析】先由图中得到，再利用复数的运算规则即可求得表示的复数.1i z =-4z z +【详解】由图可得，，1i z =-则()()()()41i 441i 1i 1i 21i 3i 1i 1i 1i z z ++=-+=-+=-++=+--+故答案为：3i +14．已知曲线在点P 处的切线与直线垂直，则P 点的横坐标为()33f x x x =-+210x y +-=___________.【答案】1±【分析】由题设知P 处的切线斜率为，应用导数几何意义列方程求P 点的横坐标.2【详解】由题设在P 处的切线斜率为，而，22()31x f x '=-所以，则，即.2()312P P f x x '=-=233P x =1P x =±故答案为：1±15．已知椭圆C ：，过右焦点的直线交椭圆于，若满足22221(1)1x y a a a +=>-,A B，则的取值范围______．OA OB OA OB -=+a 【答案】⎛ ⎝【分析】根据椭圆方程得右焦点坐标为，设直线方程为，，联()1,0AB 1x ny =+()()1122,,,A x y B x y 立得交点坐标关系，由得，即OA OB OA OB -=+ 0OA OB ⋅= ，整理得关于得方程有解，即可得的取值范围.()()21212110OA OB n y y n y y ⋅=++++=n a 【详解】已知椭圆C ：，则其右焦点坐标为，22221(1)1x y a a a +=>-()1,0过右焦点的直线交椭圆于，若满足，所以，,A B OA OB OA OB -=+ 0OA OB ⋅= 则设直线方程为，AB 1x ny =+()()1122,,,A x y B x y 则，所以，2222111x y a a x ny ⎧+=⎪-⎨⎪=+⎩()()()222222212110n a a y n a y a ⎡⎤-++---=⎣⎦显然恒成立，所以，0∆>()()()()212222221222221111n a y y n a a a y y n a a ⎧-⎪+=--+⎪⎪⎨-⎪=-⎪-+⎪⎩则()()()()21212121212121111OA OB x x y y ny ny y y n y y n y y ⋅=+=+++=++++()()()()()222222222212111011a n a n n n a an a a ----=+⋅+⋅+=-+-+整理得，所以，()()()22222111a a a a n a a +---=--()()()22221101a a a a a a +---≥--又，所以，解得，1a >2101a a a ⎧--≤⎨>⎩1<≤a所以的取值范围为.a ⎛ ⎝故答案为：.⎛ ⎝【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.16．若函数的最大值为，则实数的取值范围为___________.()()()2ln 2010a x x x f x x a x x ⎧-->⎪=⎨++<⎪⎩()1f -a 【答案】30,2e ⎡⎤⎣⎦【分析】求得，由题意可得在恒成立，讨论的范围，分，(1)f -222alnx x a ---+ 0x >x x e =，，运用参数分离和构造函数，求得导数和单调区间，可得最值，进而得到的范0<<x e >x e a 围．【详解】解：当时，，则，则当0x <()1f x x ax =++()()()222211111x x x f x x x x -+-'=-==时，即在上单调递增，当时，即在(),1x ∈-∞-()0f x ¢>()f x (),1-∞-()1,0x ∈-()0f x '<()f x 上单调递减，所以当时取得极大值，即当时的最大值；()1,0-=1x -0x <由，可得在恒成立，(1)2f a -=-+222alnx x a ---+ 0x >即为，2(1)a lnx x -- 当时，显然成立；x e =20e >-当时，有，可得，0<<x e 10lnx ->21x a lnx -设，，2()1x g x lnx =-0<<x e ，222(1)(23)()(1)(1)x lnx x x lnx g x lnx lnx ---'==--由时，，则，在递减，0<<x e 223lnx <<()0g x '<()g x (0,)e 且，()0g x <可得；0a 当时，有，可得，>x e 10lnx -<21x a lnx -设，，2()1x g x lnx =->x e，222(1)(23)()(1)(1)x lnx x x lnx g x lnx lnx ---'==--由时，，在递减，32e x e <<()0g x '<()g x 32(,)e e 由时，，在，递增，32x e >()0g x '>()g x 32(e )∞+即有在处取得极小值，且为最小值，()g x 32x e =32e 可得，32a e 综上可得．302a e 故答案为：30,2e ⎡⎤⎣⎦三、解答题17．已知函数.21()2ln (2)2f x x a x a x =-+-(1)当时，求函数的单调区间；1a =-()f x (2)若函数在上单调递增，求实数a 的取值范围.()()g x f x ax=-()0,∞+【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为()0,1()2,+∞()1,2(2)1,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦【分析】（1）对求导得到，令，，解不等式即可得到单调区间；()f x ()f x '()0f x ¢>()0f x '<（2）把在上单调递增转化成在上大于等于零恒成立，再求出最值即可得()f x ()0,∞+()0,∞+()f x '到的取值范围.a 【详解】（1）当时，，1a =-21()2ln 32f x x x x=+-则.()()212232()3(0)x x x x f x x x x x x ---+'=+-==>当或时，，单调递增；当时，，单调递减.01x <<2x >()0f x ¢>()f x 12x <<()0f x '<()f x 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为.()f x ()0,1()2,+∞()1,2（2）在上单调递增，()()g x f x ax=-()0,∞+则在上恒成立.2()()20ag x f x a x x ''=-=--≥()0,x ∈+∞即在上恒成立，2220x x ax --≥()0,x ∈+∞所以在上恒成立，2220x x a --≥()0,x ∈+∞所以恒成立.()221112(1)222a x x x ≤-=--令，，211()(1)22x x ϕ=--()0,x ∈+∞当时，有最小值为，1x =()ϕx 12-故.12a ≤-所以实数a 的取值范围是.1,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦18．当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．年初中毕业生2022升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、分钟跳绳三项测试，三项考试满分分，150其中立定跳远分，掷实心球分，分钟跳绳分．某学校在初三上期开始时要掌握全年级学1515120生每分钟跳绳的情况，随机抽取了名学生进行测试，得到下边频率分布直方图，且规定计分规100则如表：每分钟跳绳个数[)155,165[)165,175[)175,185[)185,∞+得分17181920(1)请估计学生的跳绳个数的中位数和平均数（保留整数）；(2)若从跳绳个数在、两组中按分层抽样的方法抽取人参加正式测试，并从中任[)155,165[)165,1756意选取人，求两人得分之和大于分的概率．234【答案】(1)中位数为，平均数为184185(2)1415【分析】（1）设学生的跳绳个数的中位数为，利用中位数的定义可得出关于的值；将每个矩形m m 底边的中点值乘以对应矩形的面积，相加可得出平均数；（2）计算可得出在内抽取人，分别记为、，在内抽取人，分别记为、[)155,1652a b [)165,1754A 、、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件的基本事件，利用古典概型的概率公式可求B C D 得所求事件的概率.【详解】（1）解：设学生的跳绳个数的中位数为，m 因为，则，()()0.0060.012100.180.50.0060.0120.03410+⨯=<<++⨯()175,185m ∈由中位数的定义可得，解得，()()0.0060.012101750.0340.5m +⨯+-⨯=0.321751840.034m =+≈平均数（个）．1600.061700.121800.341900.32000.12100.08185x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）解：跳绳个数在内的人数为个，跳绳个数在内的人数为[)155,1651000.066⨯=[)165,175个，1000.1212⨯=按分层抽样的方法抽取人，则在内抽取人，分别记为、，6[)155,1652a b 在内抽取人，分别记为、、、，[)165,1754A B C D 从这人中任意抽取人，所有的基本事件有：、、、、、62(),a b (),a A (),a B (),a C (),a D 、、、、、、、、、，共种，(),b A (),b B (),b C (),b D (),A B (),A C (),A D (),B C (),B D (),C D 15两人得分之和大于分包含的基本事件有：、、、、、34(),a A (),a B (),a C (),a D (),b A 、、、、、、、、，共种，(),b B (),b C (),b D (),A B (),A C (),A D (),B C (),B D (),C D 14则两人得分之和大于分的概率．341415P =19．已知曲线的方程为，的方程为，是一条经过原点且斜率大于1C ()2211x y -+=2C 3x y +=3C 的直线．0（1）以直角坐标系原点为极点，轴正方向为极轴建立极坐标系，求与的极坐标方程；O x 1C 2C（2）若与的一个公共点（异于点），与的一个公共点为，当时，1C 3C A O 2C 3C B 3OA OB+=求的直角坐标方程．3C 【答案】（1），；（2）.1:2cos C ρθ=2:cos sin 30C ρθρθ+-=13y x =【分析】（1）将曲线的方程化为，即可将曲线的方程化为极坐标方程，利用1C 2220x y x +-=1C ，可将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程；cos x ρθ=sin y ρθ=2C （2）设曲线的极坐标方程为，将曲线与、与极坐标方程分别联立，3C 02πθαα⎛⎫=<<⎪⎝⎭1C 3C 2C 3C 可求出和关于的表达式，并代入等式，求出的值，即可得出曲线OAOBα3OA OB+=tan α的直角坐标方程.3C 【详解】（1）曲线的方程为，整理得，1C ()2211x y -+=2220x y x +-=转换为极坐标方程为，即.22cos 0ρρθ-=2cos ρθ=曲线的方程为，转换为极坐标方程为；2C 3x y +=cos sin 30ρθρθ+-=（2）因为曲线是一条经过原点且斜率大于的直线，3C 0设曲线极坐标方程为，3C 02πθαα⎛⎫=<<⎪⎝⎭由于与的一个公共点（异于点），故，所以，1C 3C A O 2cos ρθθα=⎧⎨=⎩2cos OA α=与的一个公共点为，，所以．2C 3C B cos sin 3ρθρθθα+=⎧⎨=⎩3cos sin OB αα=+由于，所以3OAOB+=2cos cos sin ααα++=即，()sin 3cos αααβ+=+=锐角满足，此时，，βcos β=sin β=()sin 1αβ+=，，，则，02πα<< 02βπ<<0αβπ∴<+<2παβ+=sin sin cos 2παββ⎛⎫∴=-==⎪⎝⎭cos cos sin 2παββ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，因此，曲线的直角坐标方程为．sin 1tan cos 3ααα∴==3C 13y x =【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，同时也考查了利用极坐标方程求解过原点的线段长度的问题，要充分利用三角恒等变换思想求解，考查计算能力，属于中等题.20．设函数，（）.2()ln (21)1f x ax x x a x a =---+-a ∈R (1)当时，求函数的最大值；0a =()f x (2)对任意的函数恒成立，求实数a 的取值范围.[)1,x ∞∈+()0f x ≥【答案】(1)0(2)1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）把代入函数解析式，通过导数讨论函数的单调性得出结果；0a =（2）求出函数的导函数，导函数在处的导数为零，由，对导数进行放缩，再()f x 1x =ln 1≤-x x 分成，，三种情况讨论函数的单调性得出结果.0a ≤102a <<12a ≥【详解】（1）当时，，0a =()ln 1f x x x x =-+-，()()ln 0f x x x '=->由，解得；则在上单调递增；()0f x ¢>01x <<()f x ()0,1由，解得；则在上单调递减.()0f x ¢>1x >()f x ()1,+∞所以在处取最大值，最大值为.()f x 1x =()10f =（2），()21ln (21)2(1)ln ax x a x xf x a =----=--'下面证明，ln 1≤-x x 设，()n (0)l 1x g x x x -+=>，11()1xg x x x -'=-=当时，，单调递增；01x <<()0g x '>()g x 当时，，单调递减；1x >()0g x '<()g x 所以，即.()(1)0g x g ≤=ln 1≤-x x 则，()2(1)(1)(21)(1)x x x f x a a ≥---=--'当时，即时，由得恒成立，210a -≥12a ≥[)1,x ∞∈+()0f x '≥在上单调递增，符合题意.所以.()f x [)1,+∞()()10f x f ≥=12a ≥当时，由得恒成立，在上单调递减，显然不0a ≤[)1,x ∞∈+()0f x '≤()f x [)1,+∞()()10f x f ≤=成立，舍去.0a ≤当时，由，得，即，102a <<ln 1≤-x x 11ln 1x x ≤-1ln 1x x ≥-则，11()2(1)1(21)x f x a x ax x x -⎛⎫⎛⎫'≤---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以.时，恒成立，102a <<112a >11,2x a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()0f x '≤在上单调递减，显然不成立，舍去.()f x [)1,+∞()()10f x f ≤=102a <<综上可得：.1,2a ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭21．已知椭圆的焦距为，且过点.()2222:10x y C a b a b +=>>2⎛ ⎝(1)求椭圆方程；(2)为椭圆的上顶点，三角形是椭圆内接三角形，若三角形是以为直角顶点的等腰A AEF C AEF A 直角三角形，求三角形的面积.AEF 【答案】(1)2212x y +=(2)169【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出椭圆的2a 2b C 方程；（2）分析可知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，将直线的方程与AE AE 1y kx =+AE 椭圆的方程联立，求出点的坐标，可得出的表达式，同理可得出的表达式，设，C E AEAF0k >由求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积.AE AF=k AEF △【详解】（1）解：因为椭圆的焦距为，则，可得，C 222c =1c =由题意可得，解得，222222111ab a b ⎧⎪⎪⎝⎭⎨+=⎪⎪-=⎩2221a b ⎧=⎨=⎩因此，椭圆的方程为.C 2212x y +=（2）解：易知点，若直线的斜率不存在，则直线轴，此时与椭圆相切，()0,1A AE AF y ⊥AF C 不合乎题意，同理可知，若直线的斜率存在，则直线的斜率不为零，AE AE 所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，其中，AE AE 1y kx =+0k ≠联立可得，解得或，22112y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222140k x kx ++=01x y =⎧⎨=⎩2224211212k x k k y k ⎧=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩故点222412,2112k k E k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，=由题知得：，AE AF =221122k kk =++不妨设，化简方程知：，解得，0k >()()2110k k k --+=1k =，因为三角形是以为直角顶点的等腰直角三角形，故.AEF A 1629AEF AE AF S ⋅==△22．已知.2()e 2x a f x x x =--(1)若在x =0处取得极小值，求实数a 的取值范围；()f x (2)若有两个不同的极值点（），求证：（为的二阶导数）()f x 12,x x 12x x <1202x x f +⎛⎫''< ⎪⎝⎭()f x ''()f x .【答案】(1)(),1-∞(2)证明见解析【分析】（1）求出函数导数，讨论，，和四种情况，根据导数情况讨论函数0a ≤01a <<1a =1a >的单调性即可得出；（2）根据题意可得，构造函数，122x x f +⎛⎫'' ⎪⎝⎭()2121122121e 1e e x x x x x x x x x --⎡⎤-+-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦2()2e 1e (0)t t g t t t =+->利用导数即可证明.【详解】（1）由题意得，，，()e 1xf x ax =--'()00f '=()e x f x a ''=-①当时，在上单调递增，0a ≤()f x '(),-∞+∞所以当x ＜0时，，在单调递减；()()00f x f ''<=()f x (),0∞-当x ＞0时，，在单调递减；()()00f x f ''>=()f x ()0,∞+所以在x ＝0处取得极小值，符合题意．()f x 当时，由可得，由可得，0a >()0f x ''>ln x a >()0f x ''<ln x a <②当0＜a ＜1时，，在单调递增，在单调递减，ln 0a <()f x '()ln ,a +∞()ln ,0a 所以当时，，在单调递减；()ln ,0x a ∈()()00f x f ''<=()f x ()ln ,0a 当时，，在单调递增；()0,x ∈+∞()()00f x f ''>=()f x ()0,∞+所以在x ＝0处取得极小值，符合题意．()f x ③当a ＝1时，知在区间单调递减，在区间单调递增，()f x '(),ln a -∞()f x '()ln ,a +∞所以在处取得最小值，即，()f x 'ln x a =()()()ln 00f x f a f '''≥==所以函数在R 上单调递增，()f x 所以在x ＝0处无极值，不符合题意．()f x ④当a ＞1时，，由①知的减区间为，ln 0a >()f x '(),ln a -∞所以当时，，在单调递增；当时，(),0x ∈-∞()()00f x f ''>=()f x (),0∞-()0,ln x a ∈，在单调递减；()()00f x f ''<=()f x ()0,ln a 所以在x ＝0处取得极大值，不符合题意，()f x 综上可知，实数a 的取值范围为．(),1-∞（2）为的零点，则，，，12,x x ()e 1xf x ax =--'1212e 10e 10x x ax ax ⎧--=⎨--=⎩1212e e x x a x x -=-()e x f x a ''=-，121212122212e e e e2x x x x x x x x f a x x +++-⎛⎫''=-=-⎪-⎝⎭()212121211122121221e 1e 1ee ee x x x x x x x x x x x x x x x x ----⎡⎤⎛⎫-+--⎢⎥=-= ⎪⎢⎥--⎝⎭⎢⎥⎣⎦令，构造函数，212x x t -=2()2e 1e (0)t tg t t t =+->由②知，当时，，即.1a =()()e 100x f x ax f ''=--≥=e 1x x ≥+则，()2()2e 2e 2e 2e 1e 0t t t t t g t t t '=+-=+-<所以在单调递减，故．()g t ()0,∞+()()00g t g <=故，故原不等式得证．''1202x x f +⎛⎫< ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：本题考查函数极值点的辨析，解题的关键是求出导数，根据导数形式正确分类讨论函数的单调性，结合极值的定义得出参数情况.。
2020年四川德阳高三二模文科数学试卷-学生用卷
2020年四川德阳高三二模文科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第1题5分2019~2020学年5月广东深圳南山区深圳市南头中学高三下学期周测B卷理科第1题2020年四川德阳高三二模理科第1题5分已知复数z=2，其中i为虚数单位，则|z|=（）．1+iA. √5B. √3C. 2D. √22、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第2题5分2019~2020学年5月广东深圳南山区深圳市南头中学高三下学期周测B卷理科第2题2020年四川德阳高三二模理科第2题5分函数y=√4−x2的定义域为A，集合B={x|log2(x+1)>1}，则A∩B=（）．A. {x|1<x⩽2}B. {x|−2⩽x⩽2}C. {x|−2<x<3}D. {x|1<x<3}3、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第3题5分2020年四川德阳高三二模理科第3题5分执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x值的个数为（）．A. 1B. 2C. 3D. 44、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第4题5分2020年四川德阳高三二模理科第4题5分2019~2020学年5月广东深圳南山区深圳市南头中学高三下学期周测B卷理科第3题函数f(x)=xcosx在[−π,π]的图象大致为（）．ln(e x+e−x)A.B.C.D.5、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第5题5分2020年四川德阳高三二模理科第5题5分为了得到函数y =sin(2x +π3)的图象，可将函数y =sin2x 的图象（）．A. 向右平移π3B. 向左平移π3C. 向左平移π6D. 向右平移π66、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第6题5分已知a =2−12，b =(13)13，c =log 1215，则（ ）．A. b <a <cB. a <b <cC. c <b <aD. b <c <a7、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第7题5分2020年四川德阳高三二模理科第7题5分2020~2021学年四川绵阳江油市江油市第一中学高二上学期期中理科第8题5分2019~2020学年5月广东深圳南山区深圳市南头中学高三下学期周测B 卷理科第6题已知l 为抛物线x 2=4y 的准线，抛物线上的点M 到l 的距离为d ，点P 的坐标为(4,1)，则|MP|+d 的最小值是（ ）．A. √17B. 4C. 2D. 1+√178、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第8题5分2020年四川德阳高三二模理科第8题5分不等式组{2x −y ⩾0y ⩾12x x +y −3⩽0表示的平面区域为Ω，则（ ）．A. ∀(x,y )∈Ω，x +2y >3B. ∃(x,y )∈Ω，x +2y >5C. ∀(x,y )∈Ω，y+2x−1>3 D. ∃(x,y )∈Ω，y+2x−1>59、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第9题5分2019~2020学年5月广东深圳南山区深圳市南头中学高三下学期周测B 卷理科第8题2020年四川德阳高三二模理科第9题5分平行四边形 ABCD 中，已知AB =4，AD =3，点E 、F 分别满足AE →=2ED →，DF →=FC → 且AF →⋅BE →=−6，则向量AD →在AB →上的投影为（ ）．A. 2B. −2C. 32D. −3210、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第10题5分2019~2020学年5月广东深圳南山区深圳市南头中学高三下学期周测B 卷理科第9题2020年四川德阳高三二模理科第10题5分已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A=60°，b=3，AD为BC边上的中线，若AD=72，则△ABC的面积为（）．A. 25√34B. 15√34C. 154D. 35√3411、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第11题5分2019~2020学年5月广东深圳南山区深圳市南头中学高三下学期周测B卷理科第10题2020年四川德阳高三二模理科第11题5分已知实数a>0，a≠1，函数f(x)={a x,x<1x2+4x+alnx,x⩾1在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）．A. 1<a⩽2B. a<5C. 3<a<5D. 2⩽a⩽512、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第12题5分△ABC是边长为2√3的等边三角形，E、F分别在线段AB、AC上滑动，EF//BC，沿EF把△AEF 折起，使点A翻折到点P的位置，连接PB、PC，则四棱锥P−BCFE的体积的最大值为（）．A. 2√2 B. √3 C. 3 D. 2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第13题5分已知函数f(x)=x2+ax的图象在点A(1,f(1))处的切线与直线l:x−3y+2=0垂直，则实数a的值为．14、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第14题5分在一个袋子中装有分别标注1、2、3、4、5的5个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是．15、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第15题5分已知a、b为正实数，直线x+y+1=0截圆(x−a)2+(y−b)2=4所得的弦长为2√2，则ab的最大值为．16、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第16题5分2020年四川德阳高三二模理科第16题5分sinA，O为坐标在△ABC中，B、C的坐标分别为(−2√2,0)，(2√2,0)，且满足sinB−sinC=√22原点，若点P的坐标为(4,0)，则AO→⋅AP→的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第17题12分2019~2020学年5月广东深圳南山区深圳市南头中学高三下学期周测B卷理科第15题2020年四川德阳高三二模理科第17题12分已知数列{a n}满足：21⋅a1+22⋅a2+23⋅a3+⋯+2n⋅a n=(n−1)⋅2n+1+2对一切n∈N∗成立．(1) 求数列{a n}的通项公式．}的前n项和S n．(2) 求数列{1a n⋅a n+218、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第18题12分如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD中，△ABD为等边三角形，△BCD是等腰三角形，且顶角∠BCD=120°，PC⊥BD，平面PBD⊥平面ABCD，M为PA中点．(1) 求证：DM//平面PBC．(2) 若AB=2√3，PD⊥PB，求三棱锥P−BDM的体积．19、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第19题12分贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标．党的十九届四中全会提出“坚决打赢脱贫攻坚战，建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署，即2020年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困，实现全面建成小康社会的奋斗目标．为了响应党的号召，某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作，对某种农产品加工生产销售进行指导，经调查知，在一个销售季度内，每售出一吨该产品获利5万元，未售出的商品，每吨亏损2万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示，设该厂在下个销售周期内生产210吨该产品，以x (单位：吨，180⩽x⩽230)表示下一个销售周期市场的需求量，Y（单位：万元）表示下一个销售周期市场的销售总利润，视x分布在各区间内的频率为相应的概率．(1) 求实数a的值．(2) 将Y表示成x的函数，并求出解析式．(3) 估计销售利润不少于910万元的概率．20、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第20题12分2020年四川德阳高三二模理科第20题12分2019~2020学年5月广东深圳南山区深圳市南头中学高三下学期周测B卷理科第19题已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为√55，右焦点为抛物线y2=4x的焦点F．(1) 求椭圆C的标准方程．(2) O为坐标原点，过O作两条射线，分别交椭圆于M，N两点，若OM、ON斜率之积为−45，求证：△MON的面积为定值．21、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第21题12分已知函数f(x)=e ax−x（a∈R，e为自然对数的底数）．(1) 若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．(2) 若f(x)有两个零点x1、x2，且x1<x2，求证：x1⋅x2>e2．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第22题10分2020年四川德阳高三二模理科第22题10分2019~2020学年5月广东深圳南山区深圳市南头中学高三下学期周测B卷理科第18题已知点A为圆C:(x−1)2+y2=1上的动点，O为坐标原点，过P(0,4)作直线OA的垂线(当A、O重合时，直线OA约定为y轴)，垂足为M，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1) 求点M的轨迹的极坐标方程．(2) 直线l的极坐标方程为ρsin(θ+π3)=4，连接OA并延长交l于B，求|OA||OB|的最大值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年四川德阳高三二模文科第23题10分2020年四川德阳高三二模理科第23题10分已知函数f(x)=|x+1|．(1) 求不等式f(x)⩽4−|2x−3|的解集．(2) 若正数m，n满足m+2n=mn，求证：f(m)+f(−2n)⩾8．1 、【答案】 D;2 、【答案】 A;3 、【答案】 C;4 、【答案】 A;5 、【答案】 C;6 、【答案】 A;7 、【答案】 B;8 、【答案】 D;9 、【答案】 C;10 、【答案】 B;11 、【答案】 D;12 、【答案】 D;13 、【答案】−5;;14 、【答案】25;15 、【答案】1416 、【答案】(12,+∞);17 、【答案】 (1) a n=n．;(2) n(3n+5)．4(n+1)(n+2);18 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 32．;19 、【答案】 (1) 0.035． ;(2) Y ={7x −420180⩽x <2101050210⩽x ⩽230． ;(3) 0.9．;20 、【答案】 (1) x 25+y 24=1．;(2) 证明见解析． ;21 、【答案】 (1) (0,1e )．;(2) 证明见解析． ;22 、【答案】 (1) ρ=4sinθ． ;(2) 2+√38．;23 、【答案】 (1) {x |0⩽x ⩽2} ;(2) 证明见解析． ;。
2020年四川省德阳市高考数学二诊试卷(文科) (含答案解析)
2020年四川省德阳市高考数学二诊试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知i 为虚数单位，则|1+i i|=( )A. √2B. 2C. √22D. 122. 设集合A ={1,2，3，4}，B ={x|0<x <3}，则A ∩B =( )A. {1,2，3}B. {2,3}C. {1,2}D. {2,3，4}3. 程序框图如图所示，若输出的结果为−9，则程序框图中判断框内的x 值可以是( )A. 3B. 5C. 7D. 94. 函数f(x)=e −x −e xx 2的图象大致为( )A.B.C.D.5. 要得到函数y =sin (2x +1)的图象，只要将函数y =sin2x 的图象( )A. 向左平移12个单位 B. 向右平移12个单位 C. 向左平移1个单位D. 向右平移1个单位6. 设，b =315，c =(15)0.4，则有( )A. a <b <cB. a <c <bC. c <a <bD. c <b <a7. 设定点M(3,103)与抛物线y 2=2x 上的点P 的距离为d 1，P 到抛物线准线l 的距离为d 2，则d 1+d 2取最小值时，P 点的坐标为( )A. (0,0)B. (1,√2)C. (2,2)D. (18,−12)8. 若不等式组：{2x −y +2≥0y −2≤0y ≥k (x +1)表示的平面区域Ω的面积为3，则实数k 的值为 ( )A. 13B. 12C. 45D. 329. 在平行四边形ABCD 中，AB =2，AD =4，则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 8 B. 12 C. −12 D. −810. 在△ABC 中，tanC =4，CD 是AB 边上的高，若CD 2−BD ·AD =3，则△ABC 的面积为( )A. 4B. 6C. 8D. 1211. 已知函数f(x)={x 2,x <0−x 2+x,x ≥0，若f[f(a)]≥−2，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,1]B. (−∞,√2]C. [−1,+∞)D. [−√2,+∞)12. 已知四棱锥S −ABCD 的所有顶点都在半径为2的球O 的球面上，四边形ABCD 是边长为2的正方形，SC 为球O 的直径，则此棱锥的体积为( )A. 4√23B. √36C. 8√23D. √22二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线f(x)=12x 2+xlnx 在点(1,f(1))处的切线与直线ax −y −1=0垂直，则a =________． 14. 袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，则取出的3个小球上的数字互不相同的概率为________． 15. 直线l ：x −√3y =0截圆C ：(x −2)2+y 2=4所得弦长为______ ．16. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a =2√3，m⃗⃗⃗ =(−cos A2,sin A2)，n ⃗ =(cos A2,sin A2)，且m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =12，则b +c 的取值范围为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }中，a 1=32且a n =12(a n−1+n +1)(n ≥2,n ∈N ∗)．(Ⅰ)求a 2，a 3；并证明{a n −n}是等比数列； (Ⅱ)设 n =2n ⋅a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，棱PA⊥底面ABCD，且AB⊥BC，AD//BC，PA=AB=BC=2AD=2，E是PC的中点．(1)求证：ED//平面PAB；(2)求三棱锥A−PDE的体积．19.经销商销售某种产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润300元；未售出的产品，每1t亏损100元．根据以往的销售记录，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了120t该产品．用x(单位：t，100≤x≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，y(单位：元)表示下一个销售季度内经销该产品的利润．(1)将y表示为x的函数；(2)根据直方图估计利润y不少于32000元的概率．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右两焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)，椭圆上两点A，B坐标分别为A(a,0)，B(0,b)，若△ABF2的面积为√32，∠BF2A=120°．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于M，N两点，证明：点O到直线MN的距离为定值．21.已知函数f(x)=xlnx．(1)求函数f(x)在区间[t,t+2](t>0)上的最小值；(2)若函数g(x)=(−x2+ax−3)⋅e x−2e x⋅f(x)在[1e,e]上有两个零点，求实数a的取值范围．22.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为(2,β)，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0,2π)．(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)过极点O和点M的直线与曲线C相交所得弦长为√3，求β的值及此时直线OM将曲线C分成的两段弧长之比．23.已知函数f(x)=2m−|2x−1|，m∈R，且f(x+12)≥0的解集为{x|−1≤x≤1}．(1)求m的值；(2、)若a，b，c都为正数，且1a +12b+14c=m，证明：a+2b+4c≥9．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵1+ii =(1+i)⋅ii⋅i=1−i，∴|z|=√2，故选：A．利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，把复数化简到最简形式，利用复数的模的定义求出|z|．本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数的模的定义和求法．2.答案：C解析：解：∵集合A={1,2，3，4}，B={x|0<x<3}，∴A∩B={1,2}．故选：C．利用交集的定义能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.答案：C解析：解：模拟执行程序，可得S=0，n=1满足条件n<x，执行循环体，S=−1，n=3满足条件n<x，执行循环体，S=−4，n=5满足条件n<x，执行循环体，S=−9，n=7此时，应该不满足条件n<x，退出循环，输出S的值为−9．故5<x，且7≥x，则程序框图中判断框内的x值可以是7．故选：C．模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S ，n 的值，由题意可得5<x ，且7≥x ，从而可得判断框内的x 值．本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题．4.答案：D解析：本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的值的符号，属于基础题． 判断函数的奇偶性，利用函数值的符号判断 解：函数f(x)=e −x −e xx 2， 可得：f(−x)=e x −e −xx 2=−e −x −e xx 2=−f(x)，则函数f(x)是奇函数，排除A ；∵f(1)=e −1−e 1<0，故排除B ，C故选：D ．5.答案：A解析：y =sin(2x +1)=sin[2(x +12)]，根据函数图象的“左加右减”原则，知应该将函数y =sin2x 的图象向左平移12个单位．6.答案：B解析：解：，b =315>30=1， 0<c =(15)0.4<(15)0=1， ∴a <c <b ． 故选：B ．利用指数函数和对数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数和对数函数的性质的合理运用．7.答案：C解析：解：∵(3,√6)在抛物线y 2=2x 上且103>√6， ∴M(3,103)在抛物线y 2=2x 的外部，∵抛物线y 2=2x 的焦点F(12,0)，准线方程为x =−12，∴在抛物线y 2=2x 上任取点P 过p 作PN ⊥直线x =12则PN =d 2, ∴根据抛物线的定义可得d 2=PF ， ∴d 1+d 2=PM +PF ， ∵PM +PF ≥MF ，∴当P ，M ，F 三点共线时d 1+d 2取最小值， 此时MF 所在的直线方程为y −103=43(x −3)即4x −3y −2=0，令{4x −3y −2=0y 2=2x ，则{x =2y =2即当点的坐标为(2,2)时d 1+d 2取最小值， 故选C ．8.答案：B解析： 【试题解析】本题主要考查二元一次不等式组与平面区域，体现了数形结合的数学思想，属于一般题． 首先作出不等式组表示的平面区域，为三角形及其内部部分，其中y =k(x +1)是过定点(−1,0)的直线，然后求出三角形顶点坐标，利用k 表示区域面积，求出k ． 解：y =k(x +1)是过定点(−1,0)的直线， 由已知不等式组得到平面区域大致如图：由图得直线y =k(x +1)过第一象限，且在第一象限的部分在直线2x −y +2=0的右侧， 则0<k <2，由{2x −y +2=0y =2得到A(0,2)， 由{y =2y =k (x +1)得到D (2k −1,2)， 所以平面区域的面积为S =12|AD|·ℎA =12×(2k −1)×2=3， 解得k =12，满足0<k <2． 故选B ．9.答案：B解析：解：∵AB =2，AD =4，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=16−4=12， 故选：B ．根据向量的几何意义和向量的数量积计算即可． 本题考查了向量的几何意义和向量的数量积属于基础题．10.答案：B解析：直接利用三角形的面积公式以及余弦定理，勾股定理化简求解即可． 本题主要考查三角形的面积公式以及余弦定理的运用，考查运算求解能力． 解：S =12BC ⋅ACsinC =14tanC ⋅2BC ⋅ACcosC=BC 2+AC 2−AB 2=AC 2+BC 2−(AD +BD)2=2(CD 2−BD ⋅AD)=6．故选：B ．11.答案：D解析：画出函数f(x)的图象，由f(f(a))≥−2，可得f(a)≤2，数形结合求得实数a 的取值范围．本题主要考查分段函数的应用，其它不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．解：∵函数f(x)={x 2,x <0−x 2+x,x ≥0，它的图象如图所示： 由f(f(a))≥−2，可得f(a)≤2．当a ≥0时，f(a)=−a 2+a =−(a −12)2+14≤2恒成立；当a <0时，f(a)=a 2≤2，解得−√2≤a <0，则实数a 的取值范围是a ≥−√2，故选：D ． 12.答案：C解析：本题考查了球的内接几何体的问题，充分利用球的知识得出直线，平面的位置关系，从而利用公式求解即可．根据题意得出空间几何体的直观图，利用圆的几何知识得出Rt △SBC ，Rt △SDC ，Rt △SAC ，利用边长根据勾股定理得出△ABS ，△ADS ，为直角三角形，可得SA ⊥平面ABC ，即可求棱锥的体积． 解：根据题意得出：AC=2√2，SC=4，AB=BC=DC=DA=2根据圆的几何知识得出Rt△SBC，Rt△SDC，Rt△SAC，∴可知SD=SB=2√3，SA=2√2，根据勾股定理得出△ABS，△ADS为直角三角形，∴SA⊥AC，SA⊥AB，∵AC∩AB=A，AC⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴SA⊥平面ABCD，∴棱锥的体积为13S ABCD·SA=13×2×2×2√2=8√23，故选C．13.答案：−12解析：本题考查函数的导数的几何意义，两直线的垂直关系的应用，是基本知识的考查．先求出f(x)在x=1处的导数值，由图象在点(1,f(1))处的切线与直线ax−y−1=0垂直即可得到答案．解：∵f(x)=12x2+xlnx，∴f′(x)=x+lnx+1，∴f′(1)=2．∴切线的斜率为2，∵切线与直线ax−y−1=0垂直，可得：a=−12；故答案为：−12．14.答案：23解析：本题考查古典概率的求解．解：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，则P(A)=C 53C 21C 21C 21C 103=23． 故答案为23．15.答案：2√3解析：解：圆C ：(x −2)2+y 2=4的圆心为(2,0)，半径为2，∴圆心到直线的距离为d =√1+3=1，∴直线l ：x −√3y =0截圆C ：(x −2)2+y 2=4所得弦长为l =2√4−1=2√3， 故答案为2√3．求出圆心与半径，利用弦心距与半径构成的直角三角形中求解弦长即可．本题主要考查了直线和圆的方程的应用，以及弦长问题，属于基础题． 16.答案：(2√3,4]解析：解：因为m⃗⃗⃗ =(−cos A 2,sin A 2)，n ⃗ =(cos A 2,sin A 2)，且m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =12， 所以−cos 2A 2+sin 2A 2=12，所以cosA =−12，又0<A <π，所以A =−2π3， 由正弦定理得：b sinB =c sinC =√3√32=4，即b =4sinB ，c =4sinC ，所以b +c =4(sinB +sinC)=8sin B+C 2cos B−C2=4cos B−C2，又−π6<B−C 2<π6，所以4cos B−C 2∈(2√3,4]． 故b +c 的取值范围为：(2√3,4]由平面向量数量积运算，得：−cos 2A 2+sin 2A 2=12，即A =−2π3， 由正弦定理得：b sinB =c sinC =√3√32=4，即b =4sinB ，c =4sinC ，由差化积公式得：b +c =4(sinB +sinC)=8sinB+C 2cos B−C 2=4cos B−C 2， 又−π6<B−C 2<π6，所以4cos B−C 2∈(2√3,4]，得解．本题考查了正弦定理及和差化积公式及平面向量数量积运算，属中档题．17.答案：解：(Ⅰ)由题意，可知：a 2=12(a 1+2+1)=12⋅(32+2+1)=94，a 3=12(a 2+3+1)=12⋅(94+3+1)=258．①当n =1时，a 1−1=32−1=12，②当n ≥2时，a n −n =12(a n−1+n +1)−n =12a n−1+12n +12−n =12a n−1−12n +12=12(a n−1−n +1)=12[a n−1−(n −1)]． ∴数列{a n −n}是以12为首项，12为公比的等比数列．(Ⅱ)由(Ⅰ)，可知：a n −n =(12)n ， ∴a n =n +(12)n .n ∈N ∗．∴b n =2n ⋅a n =2n ⋅[n +(12)n ]=n ⋅2n +2n ⋅12=n ⋅2n +1．∴S n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n=(1⋅21+1)+(2⋅22+1)+(3⋅23+1)+⋯(n ⋅2n +1)=1⋅21+2⋅22+3⋅23+⋯+n ⋅2n +n ，---③2S n =1⋅22+2⋅23+⋯+(n −1)⋅2n +n ⋅2n+1+2n ---④③−④，可得：−S n =1⋅21+1⋅22+1⋅23+⋯+1⋅2n −n ⋅2n+1+n −2n=2−2n+11−2−n⋅2n+1−n=(1−n)⋅2n+1−n−2，∴S n=(n−1)⋅2n+1+n+2．解析：本题第(Ⅰ)题主要考查根据递推公式逐步代值，以及根据递推公式求出通项公式；第(Ⅱ)题主要考查利用错位相减法来求数列的前n项和．本题属中档题．本题第(Ⅰ)题可根据递推式逐步代入算出a2和a3的值，再根据题意将a n的递推式代入a n−n进行计算化简最终会得到a n−n和a n−1−(n−1)的关系，最终得证数列{a n−n}是等比数列；第(Ⅱ)题先根据(Ⅰ)求得b n的通项公式，得到b n=n⋅2n+1，由bn通项公式的特点可根据错位相减法得到数列{b n}的前n项和S n．18.答案：证明：(1)取PB中点H，连接AH、EH，∵E，H分别为面PC，PB的中点，∴HE//BC，且HE=12BC，又∵AD//BC，且AD=12BC，∴AD//HE，且AD=HE，∴四边形AHED是平行四边形，∴AH//DE，又AH⊂平面PAB，又DE⊄平面PAB，∴DE//平面PAB.…(6分)解：(2)由(1)知，BC⊥PB，∴AD⊥PB，又PB⊥AH，且AH∩AD=A，∴PB⊥平面ADEH，∴PH是三棱锥P−ADE的高，又可知四边形ADEH为矩形，且AD=1，AH=√2，…(9分)∴三棱锥A−PDE的体积：V A−PDE=V P−ADE=13×S△ADE×AH=13×12×S矩形ADEH×AH=13×√22×√2=13.…(12分)解析：(1)取PB中点H，连接AH、EH，推导出四边形AHED是平行四边形，从而AH//DE，由此能证明DE//平面PAB．(2)由BC⊥PB，得AD⊥PB，从而PB⊥平面ADEH，PH是三棱锥P−ADE的高，三棱锥A−PDE的体积：V A−PDE=V P−ADE=13×S△ADE×AH=13×12×S矩形ADEH×AH，由此能求出结果．本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.答案：解：(Ⅰ)由题意得，当x ∈[100,120)时，T =300x −100(120−x)=400x −12000，当x ∈[120,150)时，T =300×120=36000，∴T ={400x −12000,x ∈[100,120)36000,x ∈[120,150]． (Ⅱ)由(Ⅰ)知，利润T 不少于32000元，当且仅当110≤x ≤150．由直方图知需求量X ∈[110,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度的利润T 不少于57000元的概率的估计值为1−0.01×10=0.9．解析：(Ⅰ)由题意先分段写出，当x ∈[100,120)时，当x ∈[120,150)时的利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可．(Ⅱ)由(I)知，利润T 不少于36000元，当且仅当110≤x ≤150.再由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.1，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T 不少于36000元的概率的估计值． 本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力，求解的重点是对题设条件及直方图的理解，了解直方图中每个小矩形的面积的意义，是中档题．20.答案：解：(1)在RT △BOF 2中，∠BF 2O =60°，计算得：b =√3c ，a =2c由S △ABF2=12(a −c)b =√32， 计算得a =2，b =√3，c =1，所以椭圆标准方程为x 24+y 23=1，证明：(2)由题意，当直线MN 的斜率不存在，此时可设M(x 0,x 0)，N(x 0,−x 0).又MN 两点在椭圆C 上，所以x 024+x 023=1，x 02=127．所以点O 到直线MN 的距离d =√127=2√217． 当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y =kx +m ．由{x 24+y 23=1y =kx +m消去y 得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0． 由已知△>0，设M(x 1,y 1)，M(x 2,y 2).所以x 1+x 2=−8km 3+4k 2，x 1x 2=4m 2−123+4k 2．因为OM ⊥ON ，所以x 1x 2+y 1y 2=0．所以x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=0，即(k 2+1)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=0．所以(k 2+1)4m 2−123+4k 2−km ×8km 3+4k 2+m 2=0．整理得7m 2=12(k 2+1)，满足△>0．所以点O 到直线MN 的距离d =√k 2+1=√127=2√217为定值．解析：(1)在RT △BOF 2中，∠BF 2O =60°，计算得：b =√3c ，a =2c ，由S △ABF2=12(a −c)b =√32，可计算得a =2，b =√3，c =1，从而可求椭圆标准方程．(2)分情况进行讨论：由题意，当直线MN 的斜率不存在，此时可设M(x 0,x 0)，N(x 0,−x 0)，再由A 、B 在椭圆上可求x 0，此时易求点O 到直线MN 的距离；当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y =kx +m ，代入椭圆方程消掉y 得x 的二次方程，知△>0，由OM ⊥ON ，得x 1x 2+y 1y 2=0，即x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=0，整理后代入韦达定理即可得m ，k 关系式，由点到直线的距离公式可求得点O 到直线MN 的距离，综合两种情况可得结论，注意检验△>0．本题主要考查椭圆标准方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力． 21.答案：解：(1)f′(x)=lnx −1，令f′(x)=0，解得：x =1e ．当x ∈(0,1e )时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x ∈(1e ,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．因为t >0，t +2>2>1e ，①当0<t <1e 时，f(x)min =f(1e )=−1e ；②当t ≥1e 时，f(x)min =f(t)=tlnt ，所以f(x)min ={−1e ,0<t <1e tlnt,t ≥1e ； (2)若函数g(x)=(−x 2+ax −3)⋅e x −2e x ⋅f(x)在[1e ,e]上有两个零点，即a −(x +3x )=lnx 在[1e ,e]上有两个零点，令m(x)=a −(x +3x )≤a −2√3，(当且仅当x =√3时取“=”)，令n(x)=lnx ，则−1≤n(x)≤1，故只需−1≤a −2√3≤1，解得：2√3−1≤a≤2√3+1．解析：(1)本小题首先根据函数的导函数f′(x)，通过其分析函数f(x)的单调性，从而可得其在区间[t,t+2]，(t>0)上的单调性，然后可求其最小值；(2)问题转化为a−(x+3x )=lnx在[1e,e]上有两个零点，令m(x)=a−(x+3x)，令n(x)=lnx，根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．22.答案：解：(1)曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0,2π)．转换为直角坐标方程为：x2+y2−2y=0．(2)过极点O和点M的直线与曲线C相交所得弦长为√3，即：ρ=√3，故：ρ=2sinβ，解得：β=π3或2π3因为曲线C的圆心的极坐标为(1,π2)，所以：∠MCO=2π3，所以：直线OM将曲线C分成的两段弧长之比2：1或1：2．同理：当β=2π3时，曲线C分成的两段弧长之比2：1或1：2．解析：本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．23.答案：解：(1)由f(x+12)≥0得2m−|2x|≥0得−m≤x≤m，因为f(x+12)≥0的解集为{x|−1≤x≤1}，所以m=1．(2)证明：由(1)得1a +12b+14c=1，所以a+2b+4c=(1a +12b+14c)(a+2b+4c)=1+1+1+(2ba+a2b)+(4ca+a4c)+(4c2b+2b4c)≥3+2+2+2=9．当且仅当a=2b=4c时取等号，所以a+2b+4c≥9成立．解析：本题考查绝对值不等式的解法及基本不等式的运用，考查推理论证能力，属于基础题．(1)由f(x+12)≥0得−m≤x≤m，结合题意可得m=1；(2)由(1)得1a +12b+14c=1，再利用基本不等式直接求证即可．。