算法合集之《浅析竞赛中一类数学期望问题的解决方法》
高中奥林匹克数学竞赛解题方法
高中奥林匹克数学竞赛解题方法一、代数技巧代数是数学的基础，掌握代数技巧对于解决数学问题至关重要。
以下是一些常用的代数技巧：1、合并同类项：将同类项合并为一个项，可以简化计算过程。
2、提取公因式：将公因式提取出来，可以简化计算过程。
3、完全平方公式和平方差公式：这两个公式在代数中非常常用，可以用来进行化简和展开。
4、分式的约分：将分式约分为最简形式，可以简化计算过程。
5、根式与分数指数幂的互化：将根式转化为分数指数幂，或将分数指数幂转化为根式，可以用来解决一些复杂的问题。
二、几何技巧几何是数学中重要的分支之一，掌握几何技巧对于解决数学问题非常重要。
以下是一些常用的几何技巧：1、三角形的内心、外心和垂心：掌握这些特殊点的性质和作法，可以用来解决一些与三角形相关的问题。
2、圆的标准方程和一般方程：掌握圆的标准方程和一般方程，可以用来解决一些与圆相关的问题。
3、立体几何中的空间向量：通过空间向量的运算，可以用来解决一些立体几何问题。
4、解析几何中的直线、圆和椭圆：掌握直线、圆和椭圆的性质和作法，可以用来解决一些解析几何问题。
三、数据分析数据分析是数学中重要的应用之一，掌握数据分析技巧对于解决实际问题非常重要。
以下是一些常用的数据分析技巧：1、数据的集中趋势和离散程度：掌握数据的集中趋势和离散程度，可以用来评估数据的分布情况。
2、数据的可视化：通过图表等可视化工具，可以更加直观地展示数据和分析结果。
3、回归分析：通过回归分析，可以找出变量之间的关系，从而对数据进行更加深入的分析。
4、方差分析：通过方差分析，可以检验多个样本之间是否存在显著性差异。
5、时间序列分析：通过时间序列分析，可以预测未来一段时间内的数据变化趋势。
四、数学建模数学建模是数学中重要的应用之一，掌握数学建模技巧对于解决实际问题非常重要。
以下是一些常用的数学建模技巧：1、建立数学模型：根据实际问题建立相应的数学模型，可以是方程、不等式、图形等。
小学数学奥赛知识竞赛数学问题解题方法与思维训练
小学数学奥赛知识竞赛数学问题解题方法与思维训练在小学数学奥赛中，面对各种复杂的问题，正确的解题方法和灵活的思维训练是取得优异成绩的关键。
在本文中，我们将探讨几种常用的解题方法，并分享一些有效的思维训练技巧，帮助小学生顺利应对奥赛数学问题。
一、直观解题法直观解题法是指通过观察、分析图形或实物来解决问题。
这种解题方法应用广泛，它要求学生具备良好的观察能力和形象思维能力。
以解决几何问题为例，学生可以通过观察图形的形状、边长、角度等要素，推理出问题的答案。
此外，对于实际问题，学生可以通过观察实物，用直观的方式理解和解决问题。
二、逻辑推理法逻辑推理法要求学生根据问题的条件和规律进行推理，找出问题的解决方案。
这种解题方法需要学生具备良好的逻辑思维和分析能力。
在解决数列问题时，学生可以通过观察数列的规律，推导出下一个数的值。
在解决逻辑推理题时，学生需要根据问题的描述，通过分析各种可能的情况，找到最合理的答案。
三、抽象思维法抽象思维法是指将具体问题进行简化、归类，从而得到一般规律，进而解决问题的方法。
这种解题方法要求学生掌握数学的基本概念和原理，并能够将其运用到具体问题中。
例如，在解决面积和体积的问题时，学生可以将不同图形、实物进行抽象化，求解相应的面积和体积公式，然后应用到具体的数学问题中。
四、反证法反证法是指通过假设一个命题的否定结论，然后推导出与已知条件矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
这种解题方法对于证明类问题非常有用。
学生可以通过假设问题的反命题，并用逻辑推理方法推导出矛盾的结论，从而得出问题的正确答案。
思维训练是培养学生解决复杂问题的关键。
以下是一些有效的思维训练技巧，供小学生参考：1. 多进行数学思维训练。
每天进行一定时间的数学思维训练，包括课堂上的练习，还有课余时间的自主训练。
通过不断地思考和解决数学问题，提高解题的能力和思维的灵活性。
2. 多进行数学竞赛训练。
参加各类数学竞赛活动，锻炼自己在压力下解题的能力。
数学建模竞赛中应当掌握的十类算法
数学建模竞赛中应当掌握的十类算法1 十类常用算法数学建模竞赛中应当掌握的十类算法：1. 蒙特卡罗算法。
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。
2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MATLAB 作为工具。
3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。
4. 图论算法。
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。
5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。
这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。
6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。
7. 网格算法和穷举法。
两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。
8. 一些连续数据离散化方法。
很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。
9. 数值分析算法。
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
10. 图象处理算法。
赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MATLAB 进行处理。
熟悉竞赛题目的解题思路
熟悉竞赛题目的解题思路竞赛题目多种多样，每一道题目都蕴含着解题的思路和方法。
熟悉竞赛题目的解题思路，可以帮助我们更好地应对各种挑战，提高解题能力。
本文将介绍一些常见的竞赛题目及其解题思路。
一、数学题目1. 等式求解题等式求解题是数学竞赛中常见的题型之一。
解这类题目时，我们可以尝试利用等式特性进行变形，消去不必要的项，化简等式，从而得到未知数的具体解。
此外，也可以通过代数运算、方程变形、等式恒等式等方法进行求解。
2. 几何题目几何题目需要我们通过几何知识和推理能力进行解题。
在解几何题时，我们可以根据已知条件构建几何图形，利用几何定理和性质进行推导，找到所需求的目标结果。
同时，注意合理设置变量，利用方程进行求解，运用数学思维和几何直觉相结合，能够更好地解决几何题。
3. 概率题目概率题目是数学竞赛中的常客，解题时需要我们熟练掌握概率计算公式和基本概念。
在解决概率问题时，我们可以利用多种方法，如加法原理、条件概率、独立性等，合理计算概率值。
此外，建立概率模型、从多个角度和方法进行分析和计算，能够较好地解答概率题。
二、物理题目1. 力学题目力学题目需要我们掌握牛顿定律、重力、摩擦力等知识。
解决力学题时，我们需要进行力的分解、合成，利用牛顿第二定律、动能定理、功和能量定理等进行计算。
合理选择坐标系，利用运动学方程，分析物体受力情况，能够更好地解决力学题。
2. 电磁题目电磁题目需要我们了解电荷、电场、电流、磁场等概念和原理。
解答电磁题目时，我们可以利用库仑定律、电场力和磁场力的叠加等进行计算。
同时，熟悉电路分析和磁场作用规律，运用欧姆定律、电路定理和安培定律等方法，能够较好地解决电磁题目。
三、化学题目1. 反应方程题目解答反应方程题目需要我们熟悉化学反应的基本规律和方程式的平衡原理。
在解决这类题目时，我们需要根据已知条件和反应类型，建立反应方程式，注意平衡反应物与生成物的物质守恒关系，并合理使用化学计算方法，进行数据计算和求解。
[整理版]数学期望在实际生活中的应用
![[整理版]数学期望在实际生活中的应用](https://img.taocdn.com/s3/m/0482266e1611cc7931b765ce05087632311274fa.png)
摘要在现代快速发展的社会中，数学期望作为一门重要的数学学科，它是随机变量的重要数字特征之一，也是随机变量最基本的特征之一。
通过几个例子，阐述数学期望在实际生活中的应用包括经济决策、彩票抽奖、求职决策、医疗、体育比赛等方面的一些实例，体现出数学期望在实际生活中颇有价值的应用。
通过探讨数学期望在实际生活中的应用，以起到让大家了解知识与人类实践紧密联系的丰富底蕴，切身体会到“数学的确有用”。
所谓的求数学期望其实就是去求随机变量的以概率为权数的加权平均值，而平均值这一概念又是我们在实际应用中最常用的一个指标,在预测中使用是很具有科学性的。
关键词：数学期望随机变量性质实际应用AbstractIn the rapid development of modern society, the mathematical expectation as an important mathematical subject, it is one of the important digital features of random variables, is also one of the basic characteristics of random variables. Through several examples, in this paper, the mathematical expectation in the practical application of life including economic decision-making, lottery tickets, job, health, sports, etc. In some instances, manifests the mathematical expectation valuable application in real life. Through discuss the application of mathematical expectation in real life to play let everybody understand the knowledge and practice closely linked human rich background, personal experience "mathematics really useful". So-called mathematical expectation is to actually ask for random variables of the probability weighted average of the weight, and mean value in actual application of this concept is our one of the most commonly used indicators, used in the forecast, it is very scientific.Key words: Mathematical Expectation; Stochastic V ariable; quality; Practical Application目录摘要 (1)Abstract (2)第一章绪论 (4)1.1数学期望的起源及定义 (4)1.2数学期望的意义 (5)第二章数学期望前瞻 (5)2.1离散型 (5)2.2连续型 (6)2.3随机变量的数学期望值 (7)2.4单独数据的数学期望的算法 (8)2.5数学期望的基本性质 (8)第三章数学期望在实际中的应用 (9)3.1 经济决策中的应用 (9)3.2 彩票、抽奖问题 (10)3.2.1彩票问题 (10)3.2.2抽奖问题 (11)3.3 求职决策问题 (12)3.4医疗问题 (13)3.5体育比赛问题 (15)结论 (16)参考文献 (16)致谢 (18)第一章 绪论1.1数学期望的起源及定义早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。
小学数学奥赛数论与代数问题几何推理与证明组合与概率题型解题思路与策略等
小学数学奥赛数论与代数问题几何推理与证明组合与概率题型解题思路与策略等小学数学奥赛数论与代数问题、几何推理与证明、组合与概率题型解题思路与策略等小学数学奥赛是培养小学生数学兴趣和能力的一项重要活动。
而在数学奥赛中，数论与代数、几何推理与证明、组合与概率是常见的题型。
掌握这些题型的解题思路与策略对于小学生的数学竞赛至关重要。
本文将就小学数学奥赛中的这几类题型，分享一些解题的思路和策略。
一、数论与代数问题的解题思路与策略在小学数学奥赛中，数论与代数问题是常见的题型。
在解决这类问题时，可以采用以下的解题思路与策略。
1. 分析问题：首先要仔细阅读题目，理解题意，明确要求和条件。
然后根据题目的特点进行分类，将复杂的问题分解为若干个简单的部分。
通过对每个部分的分析，找出问题的关键点，确定解题思路。
2. 建立方程：根据题目中的条件，可以将问题中的未知数用字母表示，建立方程或等式来描述问题。
方程的建立可以帮助我们清晰地理解问题，更好地解决问题。
3. 利用性质和定理：数论与代数问题通常涉及到数的性质和运算规则，通过灵活运用性质和定理，可以减少计算量，简化解题过程。
例如，利用倍数的性质判断一个数是否是某个数的倍数，利用奇偶性质来解决奇偶问题等。
4. 智斗选项：当遇到多个选项时，可以尝试替换选项的值，判断方程的成立与否，从而排除不符合条件的选项。
这样可以快速缩小答案范围，提高解题效率。
二、几何推理与证明的解题思路与策略几何推理与证明是数学竞赛中的一个需要一定几何知识基础以及逻辑思维能力的题型。
以下是解决几何推理与证明问题的一些思路与策略。
1. 图形分析：对于几何问题，首先要对给定图形进行仔细地观察和分析，明确图形之间的关系和性质，找出问题的关键点，从而找到解题的线索。
2. 利用已知条件：几何题通常给出一些已知条件，可以通过利用这些已知条件来推导出其他未知条件，进而解决问题。
熟悉常见的定理和性质对于应用已知条件进行推理和证明是非常有帮助的。
高中数学竞赛中数论问题的常用方法
高中数学竞赛中数论问题的常用方法数论是研究数的性质的一门科学,它与中学数学教育有密切的联系.数论问题解法灵活,题型丰富,它是中学数学竞赛试题的源泉之一.下面介绍数论试题的常用方法.1.基本原理为了使用方便,我们将数论中的一些概念和结论摘录如下:我们用),...,,(21n a a a 表示整数1a ,2a ,…,n a 的最大公约数.用[1a ,2a ,…,n a ]表示1a ,2a ,…,n a 的 最小公倍数.对于实数x ,用[x ]表示不超过x 的最大整数,用{x }=x -[x ]表示x 的小数部分.对于整数b a ,,若)(|b a m -,,1≥m 则称b a ,关于模m 同余,记为)(mod m b a ≡.对于正整数m ,用)(m ϕ表示{1,2,…,m }中与m 互质的整数的个数,并称)(m ϕ为欧拉函数.对于正整数m ,若整数m r r r ,...,,21中任何两个数对模m 均不同余,则称{m r r r ,...,,21}为模m 的一个完全剩余系；若整数)(21,...,,m r r r ϕ中每一个数都与m 互质,且其中任何两个数关于模m 不同余,则称{)(21,...,,m r r r ϕ}为模m 的简化剩余系.定理1 设b a ,的最大公约数为d ,则存在整数y x ,,使得yb xa d +=.定理2(1)若)(mod m b a i i ≡,1=i ,2,…,n ,)(m od 21m x x =,则11ni i i a x =∑≡21ni ii b x=∑；(2)若)(mod m b a ≡,),(b a d =,m d |,则)(mod d m d b d a ≡； (3)若b a ≡,),(b a d =,且1),(=m d ,则)(mod m dbd a ≡；(4)若b a ≡(i m mod ),n i ,...,2,1=,M=[n m m m ,...,,21],则b a ≡(M mod ). 定理3(1)1][][1+<≤<-x x x x ； (2)][][][y x y x +≥+；(3)设p 为素数,则在!n 质因数分解中,p 的指数为∑≥1k kpn.定理4 (1)若{m r r r ,...,,21}是模m 的完全剩余系,1),(=m a ,则{b ar b ar b ar m +++,...,,21}也是模m 的完全剩余系；(2)若{)(21,...,,m r r r ϕ}是模m 的简化剩余系,1),(=m a ,则{)(21...,,m ar ar ar ϕ}是模m 的简化剩余系. 定理5(1)若1),(=n m ,则)()()(n m mn ϕϕϕ=.(2)若n 的标准分解式为k kp p p n ααα (2)121=,其中k ααα,...,21为正整数,k p p p ,...,21为互不相同的素数,则)11)...(11)(11()(21kp p p n n ---=ϕ. 对于以上结论的证明,有兴趣的读者可查阅初等数论教材.2 方法解读对于数论试题,除直接运用数论的基本原理外,常用的基本方法还有因式(因数)分解法,配对法,分组法,估值法,同余方法,构造法,调整法,数学归纳法与反证法.下面分别予以说明2.1基本原理的应用例1 设正整数a ,b ,c 的最大公约数为1,并且c ba ab=- (1),证明:)(b a -是一个完全平方数. 证:设d b a =),(,d a a 1=,d b b 1=,其中1),(11=b a .由于1),,(=c b a ,故有1),(=c d .由(1)得c b c ad b a 1111-= (2)由(2)知,c b a 11|,又1),(11=b a ,∴ c a |1.同理可证c b |1,从而有c b a |11,设k b a c 11=,k 为正整数,代入(2)得)(11b a k d -= (3)由(3)知d k |,又c k |,∴1),(|=c d k ,∴1=k . ∴11b a d -=.∴211)(d b a d b a =-=-.故成立. 例2 设n 为大于1的奇数,1k ,2k ,…,n k 为给定的整数.对于{n ,...,2,1}的排列12(,,...,)n P a a a =, 记1()ni i i s P k a ==∑,试证存在{n ,...,2,1}的两个不同的排列B 、C,使得)()(!|C s B s n -.证:假设对于任意两个不同的排列B 、C,均有!n 不整除)()(C S B s -.令X 为{n ,...,2,1}的所有排列构成的集合,则{()|s P P X ∈}为模!n 的一个完全剩余系,从而有!1(1!)!()(mod !)2n P Xi n n s P i n ∈=+≡=∑∑ (1) 又 1()()ni i P X P X i s P k a ∈∈==∑∑∑=∑=+ni i k n n 12)1(! (2) 而n 为大于1的奇数,所以由(1),(2)得)!(mod 02)1(!2!)!1(1n k n n n n ni i ≡+≡+∑=. 又1)!,!1(=+n n ,所以)!(mod 02!n n ≡,矛盾.故,存在B 、C X ∈,B ≠C,使得)()(!|C s B s n -. 2.2 因式(数)分解数论中许多问题直接与因式(数)分解相关联,如合数问题,整除问题等常常是要证明某种分解式的存在.数的标准分解式本身就是一种特定形式的因数分解.在不定方程的求解与一些代数式的求值中,因式(数)分解能帮助我们确定某些变量的取值范围,寻找到解题的方法.例3 求三个素数,使得它们的积为和的5倍.解:易知a ,b ,c 中必有一个为5,不妨设5c =,则有5++=b a ab ,从而有6)1)(1(=--b a .因为1-a 与1-b 均为正整数,不妨设b a <,则有⎩⎨⎧=-=-6111b a 或⎩⎨⎧=-=-3121b a ,从而知2=a ,7=b .故所求的三个素数为2,5,7.2.3 配对例4 设k 为正奇数,证明:n ++++...321整除kk k n +++...21. 分析 因为2)1(...321+=++++n n n .故需证)...21(2|)1(kk k n n n ++++,注意到当k 为奇数时,kk y x +可因式分解,因此可将)...21(2kkkn +++中的n 2个数两两配对.证 )...21(2kkkn +++=kkkkkkkn n n n 2]1)1[(...])2(2[])1(1[++-++-++-+, 而当k 为奇数时,kkb a b a ++|,从而知()kk k n n +++...212| (1)又 ()kk k n+++...212=]1[...])1(2[]1[k k k k k kn n n +++-+++,∴)...21(2|)1(kk kn n ++++ (2) 由(1)(2)知,)...21(2|)1(kkkn n n ++++,故结论成立.2.4 分组例5 (1990年高中联赛试题)设}200,...,2,1{=E ,},...,,{10021a a a G =E ⊆,且G 具有下列性质:(1)对任何1001≤<≤j i ,201≠+j i a a ；(2)100801001=∑=i ia.试证:G 中的奇数的个数是4的倍数,且G 中所有数的平方和是一定数.证:对于1001≤≤i ,令12-=i i α,i i αβ-=201.},{i i i E βα=,则G 中恰含i E 中的一个元素.设G中有k 个奇数1i α,2i α,…,k i α,有s 个偶数s j j j βββ,...,,21,这里},...,,,,...,,{2121s k j j j i i i =}100,...,2,1{.由题设知,10080=∑∑∑∑====+-=+sr j kt i sr j kt i r t rt1111)201(βββα=∑∑==-kt i k t t 112201β+⎪⎭⎫⎝⎛+∑∑==k t sr j i r t 11ββ =-k 2012∑=kt i t1β+)200...642(++++=1010022011+-∑=kt i tk β.∴2022011-=-∑=kt i tk β(1)由于t i β为偶数,所以∑=kt i t12|4β,又20|4,所以k 201|4,∴k |4,即k 是4的倍数.∑∑∑===+=sr j kt i i irta121210012βα=∑∑==+-sr j kt i rt 1212)201(ββ=∑∑==⨯-kt i kt t 1122012201β+)(1212∑∑==+sr j kt i r tββ=∑=⨯-kt i tk 122012201β+)200...642(2222++++=)2201(2011∑=-kt i tk β+6)1200)(1100(1004++⨯(2)将(1)代入(2)得62011011004)20(20110012⨯⨯⨯+-⨯=∑=i i a =1349380.2.5估值例6 令n a 表示前n 个质数之和,即21=a ,5322=+=a ,105323=++=a ,…,证明:对任意的正整数n ,区间[1,+n n a a ]中包含有一个完全平方数.分析:设质数从小到大依次为12,,...,k p p p …,要结论成立,只要存在正整数m ,使得12+≤≤n n a m a ,只要1+≤≤n n a m a ,只要11≥-+n n a a ,只要n n n a a a 211+≥-+,只要n n a p 211+≥+,只要)...(44)1(2121k n n p p p a p +++=≥-+ (1)证:直接验证易知[2,1,a a ],[32,a a ],[43,a a ],[54,a a ]中都含有1个完全平方数.当5≥n 时,我们证明:(1)式成立.为此,令2112(1)(1)4(...)n k f n p p p p ++=--+++,则n n n p p p n f n f 4)1()1()()1(221----=-++=n n n n n p p p p p 4)2)((11--+-++.当2≥n 时,n p 为奇数,故21≥-+n n p p ,1(1)()2(22)n n n f n f n p p p ++-≥+--=)2(21--+n n p p 0≥, 故当2≥n 时,数列)(n f 为递增数列.由于)(4)1()5(432125p p p p p f +++--==)7532(4)111(2+++--=32>0所以当5≥n 时,0)5()(>≥f n f .故当5≥n 时(1)式成立.例7 求出不定方程1)!1(-=-kn n (1)的全部正整数解.解 当2=n 时,易得1=k ；当2>n 时,(1)式左边为偶数,故右边也是偶数,所以n 为奇数.当3=n 时,由13!2-=k,得1=k .当5=n 时,由15!4-=k,得2=k .当5>n 且为奇数时,321-<-n n ,221≠-n ,故)!2(|212--⋅n n ,即)!2(|)1(--n n ,因此2(1)|(1)!n n --,所以)1(|)1(2--k n n .另一方面,由二项式定理知1)1)1((1-+-=-kkn n =A(2)1-n +)1(-n k .其中A 为整数,所以)1(|)1(2--n k n ,故k n |)1(-,因此1-≥n k ,故有)!1(111->-≥--n n n n k.这说明当5>n 时,方程(1)无解,故方程(1)的解为)1,2(),(=k n ,)1,3(,)2,5(.2.6同余 例8 证明991993991993+能被1984整除.证 993993993)991(-≡=9912)991()991(--=)1984(m od )991()991)(11984495(991991-≡-+⨯,∴)1984(m od 0991)991(991993991991991993≡+-≡+.∴991993991993|1984+.例9 用1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字的7位数,证明:这些7位数中没有一个是另一个的倍数. 证:若有两个7位数a ,b ,使得kb a = (1) 由于a ,b 均是由1,2,...,7所排成,故72≤≤k 由(1)得)9(mod kb a ≡, ∴)9(mod 11⋅≡k ,即)9(mod 1≡k ,这与92≤≤k 矛盾,故结论成立. 2.7构造例10 若一个正整数的标准分解中,每个素约数的幂次都大于1,则称它为幂数,证明:存在无穷多个互不相同的正整数,它们及它们中任意多个不同数的和都不是幂数.证:将全体素数从小到大依次记为1p ,2p ,...,n p ,….令11p a =,2212p p a =,当2≥n 时,n n n n n n p p p p p p a a 21222111...---==,下证:1a ,2a ,…,n a ,…合题意. 事实上, n n a p |,但2n p |/n a ,所以n a 不是幂数.又对于k i i i <<<≤ 211,)1(112121i i i i i i i i a a a a a a a a k k +++=+++ =)1(11i i Ap a +=)1(111212221i i i Ap p p p p +- , 其中A 为正整数.因为1)1,(11=+i i Ap p ,所以1i p 在)(21k i i i a a a +++ 的标准分解中的幂次为1,因而不是幂数.例11 设}2011,,3,2,1{ 中质数的个数为a ,n 为正整数且a n ≤<1,求证必有2011个连续正整数, 其中恰有n 个质数.证:令}2010,,2,1,{+++=k k k k A k ,并令)(k f 为k A 中质数的个数,则易知a f =)1(,0)2!2012(=+f . 对于)1!2012(,,2,1+= k ,显然有1|)()1(|≤-+k f k f ,所以对于a n ≤<0,必存在一个0k ,使得n k f =)(0,从而0k A 中的2011个连续整数满足要求.2.8 数学归纳法例12 设n 是正整数,求证:124323|51222-+-n n n.证:令22()332241nf n n n =-+-.因为0)1(=f ,所以)1(|512f ,假设)(|512n f ,那么对于1+n ,因为)183(8)()1(2--=-+n n f n f n,所以要证)1(|512+n f ,只需证)183(8|5122--n n ,即只需证明)183(|642--n n .为此,令183)(2--=n n g n .显然有0)1(|64=g ,假设)(|64n g ,由于)199(64)19(8)()1(21+++=-=-+-- n n nn g n g ,因此)1(|64+n g ,由归纳法原理知对一切n ,有183|642--n n,从而有)1(|512+n f ,再由归纳法原理知,对于正整数n ,有)(|512n f .2.9 反证法例13 试证方程042333=--z y x (1)无正整数解.分析:若(z y x ,,)为(1)的一组解,则x 为偶数,令12x x =,则0243331=--z y x ,从而知y 为偶数,再令12y y =,代入得04233131=--z y x ,故z 为偶数,再令12z z =,代入得042313131=--z y x ,因此),,(111z y x 也是方程(1)的解.这样由方程(1)的一组正整数解),,(z y x 必可得到另一组正整数解),,(111z y x ,且x x <1.因此,若开始取得的正整数解使得x 达到最小,则这种下降不可能进行.证:反证法. 若方程(1)存在正整数解,设),,(000z y x 是使得x 达到最小的正整数解,那么依分析的过程知必可得到方程(1)的一组正整数解),,(111z y x ,且01x x <,这与0x 达到最小相矛盾,这个矛盾表明方程(1)无正整数解. 习题1．设1≥≥n m ,m ,n 为整数,证明nm C mn m ),(是整数. 2．设a ,b 为整数,证明:))1(()2)((|)!(1b n a b a b a a bn n -+++- .3.设n 是大于3的奇数,证明可将集合}1,,3,2,1{-n 的元素分成两组,每组21-n 个元素,使得两组数的和模n 同余.。
算法合集之《浅谈信息学竞赛中的区间问题》
浅谈信息学竞赛中的区间问题华东师大二附中周小博【摘要】本文对一些常用的区间问题模型做了简单介绍，包括一些算法及其正确性的证明，并从国际、国内的信息学竞赛与大学生程序设计竞赛中选了近10道相关例题，进行简要分析。
【关键字】区间模型转化贪心动态规划优化在信息学竞赛中，有很多问题最终都能转化为区间问题：例如从若干个区间中选出一些满足一定条件的区间、将各个区间分配到一些资源中、或者将一些区间以某种顺序放置等。
这类问题变化繁多，解法各异，需要用到贪心、动态规划等算法，并可以用一些数据结构优化算法。
本文将从几个方面对区间问题做一个简单的介绍，给出一些算法及其正确性的证明，具体分如下几个方面进行讨论：1.最大区间调度问题2.多个资源的调度问题3.有最终期限的区间调度问题4.最小区间覆盖问题5.带权区间调度、覆盖问题6.区间和点的有关问题我们将对上述每个问题都给出基本模型、算法、证明及其实现，并从ACM-ICPC、CEOI、CTSC等比赛中选出了近10道相关例题，进行简要分析，有的例题还给出了各种不同的算法及其时间效率的分析。
本文中所讨论的问题主要由两个部分组成，一部分为近几年来各类竞赛题的归纳总结，另一部分来自于参考文献。
数轴上有n 个区间，选出最多的区间，使得这些区间不互相重叠。
算法：将所有区间按右端点坐标从小到大排序，顺序处理每个区间。
如果它与当前已选的所有区间都没有重叠，则选择该区间，否则不选。
证明：显然，该算法最后选出的区间不互相重叠，下面证明所选出区间的数量是最多的。
设i f 为该算法所接受的第i 个区间的右端点坐标，i g 为某最优解中的第i 个区间的右端点坐标。
命题1.1 当1≥i 时，该算法所接受的第i 个区间的右端点坐标i f ≤某最优解中的第i 个区间的右端点坐标i g 。
该命题可以运用数学归纳法来证明。
对于1=i ，命题显然为真，因为算法第一个选择的区间拥有最小右端点坐标。
令1>i ，假定论断对1-i 为真，即11--≤i i g f 。
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预备变量，输出值为 x1, x2, ...， 和输出值相应的概率 为 p1, p2, ... （概率和为 1）, 那么期望值 E ( X ) pi xi 。
i
例如投掷一枚骰子，X 表示掷出的点数，P(X=1)，P(X=2)，„，P(X=6)均为
pij P( X xi，Y y j ) (i，j 1 ， 2， )
当 X=xi 时，随机变量 Y 的条件数学期望以 E(Y | X=xi)表示。 全期望公式：
E ( E (Y | X ))
P( X x ) E (Y | X x )
i i i
pik pi i k p pi y k ik pi i k y k pik
引言
数学期望亦称为期望，期望值等，在概率论和统计学中，一个离散型随机变 量的期望值是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。 而期望在我们生活中有着十分广泛的应用。例如要设计一个彩票或赌博游 戏，目标为赢利，那么计算能得到的钱以及需要付出的钱的期望，它们的差则需 要大于 0。又例如对于是否进行一项投资的决策，可以通过分析总结得出可能的 结果并估算出其概率， 得到一个期望值而决定是否进行。期望也许与每一个结果 都不相等，但是却是我们评估一个事情好坏的一种直观的表达。 正因为期望在生活中有如此之多的应用， 对于我们信息学奥赛也出现了不少 求解期望值的问题。而其中大多数又均为求离散型随机变量的数学期望。本文对 于这类题目所会涉及到的常用方法进行了归纳，总结与分析。
引言 ........................................................................................................................................... 3 预备知识 ................................................................................................................................... 3 一、期望的数学定义 ........................................................................................................... 3 二、期望的线性性质 ........................................................................................................... 3 三、全概率公式 ................................................................................................................... 4 四、条件期望与全期望公式 ............................................................................................... 4 一、利用递推或动态规划解决 ............................................................................................... 4 例题一：聪聪与可可 ........................................................................................................... 5 分析 ................................................................................................................................... 5 小结 ................................................................................................................................... 6 例题二：Highlander ............................................................................................................. 6 分析 ................................................................................................................................... 6 小结 ................................................................................................................................... 8 例题三：RedIsGood ............................................................................................................. 8 分析 ................................................................................................................................... 8 小结 ................................................................................................................................... 9 二、建立线性方程组解决 ..................................................................................................... 10 引入 ..................................................................................................................................... 10 分析 ................................................................................................................................. 10 需要注意的地方 ............................................................................................................. 12 例题四：First Knight........................................................................................................... 12 分析 ................................................................................................................................. 12 例题五：Mario ................................................................................................................... 15 分析 ................................................................................................................................. 15 总结 ......................................................................................................................................... 16 参考文献 ................................................................................................................................. 17
p y
i
k
E (Y )
所以 E (Y ) E ( E (Y | X )) P( X xi ) E (Y | X xi )
i
i
k
例如，一项工作由甲一个人完成，平均需要 4 小时，而乙有 0.4 的概率来帮 忙，两个人完成平均只需要 3 小时。若用 X 表示完成这项工作的人数，而 Y 表 示完成的这项工作的期望时间（单位小时） ，由于这项工作要么由一个人完成， 要么由两个人完成，那么这项工作完成的期望时间 E(Y) = P(X = 1)E(Y | X = 1) + P(X = 2)E(Y | X = 2) = (1－0.4)×4－0.4×3 = 3.6。