二项式定理复习课教案

二项式定理复习课教案

一教学对象分析

学生已经在高二学习了《二项式定理》的全部内容，对这部分内容已经有了全面的了解。在这个基础上，让学生在老师的指导下，对《二项式定理》进行全面的复习应用，巩固和加深。在复习的过程中，渗透了《排列组合》等其它的内容，加强了知识点之间的联系，培养学生综合运用知识的能力。

二教学内容分析

1．本节内容包括以下几部分：

（1）二项式展开式的特点。

（2）二项式定理的证明。

（3）二项式定理的应用。

2．本节内容不多，但运用了多种数学方法，对于培养学生的发散思维能力和逆向思维

能力等都有很大的帮助。

三重点二项式定理

难点《二项式定理》的应用

四教学过程

（一）复习《二项式定理》

（a+b）n=C n0a n+Cn2a n-1+…+Cn n (1)

要学好该定理,应注意从以下几方面进行理解和应用

1.展开式的特点

(1)项数n+1项

(2)系数都是组合数,依次为C1

n ,C2

n

,C n

n

,…,C n n

(3)指数的特点1)a的指数由n 0( 降幂)。

2 )b的指数由0 n（升幂）。

3）a和b的指数和为n。

2。定理的证明方法：数学归纳法（运用了组合数的性质）（略，学生自己看书）3．展开式（1）是一个恒等式，a，b可取任意的复数，n为任意的自然数。

例1 求（1+2i）5的展开式（学生先练，老师后讲）

解：因为a=1，b=2i，n=5，由二项式定理，得

（1+2i）5=C0

5+C1

5

2i+C2

5

(2i)2+C3

5

(2i)3+C4

5

(2i)4+C5

5

(2i)5

=1+10i-40-80i+80+32i

=41-38i

评析：由这个恒等式a，b取值的任意性，我们可以令a，b分别取一些不同的值来解决某些问题，这就是我们所说的“赋值法”。

例2 若（1+2x）7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，求

（1）展开式中各项系数和。（2）a0+a2+a4+a6的值。

解：（1）利用赋值法，令x=1，得

（1+2）7=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=37=2187 （！）

令x=-1，

（1-2）7=a0+a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-1 （2）

（1）+（2），得

2a0+2a2+2a4+2a6=2187-1=2186

即a0+a2+a4+a6=1093

练习1：（3+2x）3=a0+a1x+a2x2+a3x3，求（a0+a2）2-（a1+a3）2的值。（1999年高考题）

（学生先练，老师后讲）

解：令x=1，得a0+a1+a2+a3=（3+2）3 （1）

令x=-1，得a0-a1+a2-a3=（3-2）3 （2）

（1）×（2），得

（a0+a1+a2+a3）（a0-a1+a2-a3）=（a0+a2）2-（a1-a3）2=（3+2）3（3-2）3=-1

4．定理的逆向应用

例3 f（x）=x5-5x4+10x3-10x2+5x+1，求f-1（x）

解：因为x5-5x4+10x3-10x2+5x-1=（x-1）5

所以f（x）=（x-1）5+2，得

f-1（x）=（x-2）1/5+1

练习2：设a=2+i，求A=1-C1

12a+C2

12

a2-…+C12

12

a12

解：A=1-C1

12a+C2

12

a2-…+C12

12

a12=（1-a）12=（1-2-i）12=（-1-i）12=（2i）12=-64

例4 求1-90C1

10+…+（-1）k90C K

10

+…+90C10

10

除以88的余数。

解：1-90C1

10+…+（-1`）90C K

10

+…+90C10

10

=（1-90）10 =（88+1）10=C0

10

8810+C1

10

889+…+

C9

1088+C10

10

所以原式除以88的余数为1

评析：定理的逆用是全面掌握好定理的一个必不可少的环节，利用逆向思维解题也是数学思想的一个重要组成部分。

四小结

1．本节主要复习了《二项式定理》的展开式的特点和证明方法。

2．复习了《二项式定理》在解题中的应用。

其中包括赋值法求系数和的方法和逆向应用等。

五．作业处理

1．教材部分相应的练习。

2．周练。

附：教学流程图

.