模拟低通巴特沃斯滤波器

《数字信号处理》课程设计报告

设计课题模拟低通巴特沃斯滤波器专业班级

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学号

报告日期2012年11月

《数字信号处理》课程设计任务书

目录

1 课题描述 (1)

1.1 报告介绍 (1)

2 设计原理 (1)

2.1滤波器的分类 (1)

2.1 巴特沃斯低通模拟滤波器的设计原理 (1)

2.2低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下 (2)

2.3 函数说明 (3)

2.3.1buttord函数 (3)

2.3.2 butter函数 (4)

2.4 模拟低通滤波器的性能指标 (5)

3 设计内容 (6)

3.1 MATLAB简介 (6)

3.2 巴特沃斯滤波器的设计步骤 (6)

3.3对巴特沃斯模拟低通滤波器的仿真 (6)

4 实验结果分析 (8)

5 实验心得体会 (8)

6.程序清单 (8)

7.参考文献 (9)

1 课题描述

1.1报告介绍

模拟滤波器的理论和设计方法已经发展的相当成熟，且有多种典型的滤波器供我们选择，如巴特沃斯（butterworth ）滤波器，切比雪夫（chebyshev ）滤波器，椭圆（ellipse ）滤波器，贝塞尔（bessel ）滤波器等。这些滤波器都有着严格的设计公式，现成的曲线和图表供设计人员使用，而且所设计的系统函数都满足电路实现条件。这些典型的滤波器各有特点：巴特沃斯滤波器具有单调下降到幅频特性；切比雪夫滤波器的幅频特性在带通或者阻带有等波纹特性，可以提高选择性；贝塞尔滤波器通带内有较好的线性相位特性；椭圆滤波器的选择性相对前三种是最好的，但通带和阻带内均呈现等波纹幅频特性，相位特性的非线性也稍严重。设计时，根据具体要求选择滤波器的类型。

2 设计原理

2.1 巴特沃斯低通模拟滤波器的设计原理

巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数2|)(|Ωj H a 用下式表示： 2|)(|Ωj H a =

N

c

2)

(11

ΩΩ+ 公式中，N 称为滤波器的阶数。在Ω=0时，|Ha （j Ω）|=1;Ω=Ωc 时,|Ha(j Ω)|=1/2，

Ωc 是3dB 截止频率。在Ω=Ωc 附近，随Ω加大，幅度迅速下降。幅度特性与Ω和N 的关，N 越大，通带越平坦，过渡带越宽，过渡带与阻带幅度下降的速度越快，总是频响特性与理想低通滤波器的误差越小。 以S 代替j Ω,将幅度平方函数2|)(|Ωj H a 写成s 的函数： Ha （S ）Ha(-S)=

N

j S 2)

(11

Ω

+

复变量 S=δ+j Ω,此公式表明幅度平方函数有2N 个极点，极点Sk 用下公式表示： Sk=)

21221(21

)()

1(N

k j c c N

e

j ++Ω=Ω-π

公式中K=0,1,2 …… ，2N-1。2N 个极点等间隔分布在半径为Ωc 的圆上，间隔是

π/ Nrad 。

为形成因果稳定的滤波器，2N 个极点中只取S 平面左半平面的N 个极点构成Ha(S),

而右半平面的N 个极点构成Ha(-S)。Ha(S)的表达式为 Ha(S)=N

c Ω÷∏-=10

N k （S-Sk ）

设N=3,极点有六个，它们分别是 S0= 3

2πj c e Ω S1=- Ωc S2=32πj

c e

-Ω S3=3

1πj

c e

-Ω S4=Ωc S5=3

1πj

C e

Ω

取S 平面的左半平面的极点S0,S1,S2组成系统函数Ha(S),即

Ha(S)=

)

)()((3

23

23

∏-∏Ω-Ω-Ω+Ωj j c

S c

S c S c

由于不同的技术指标对应的边界频率和滤波器幅频特性不同，为使设计公式和图表统一将频率归一化。巴特沃斯滤波器采用对3dB 截止频率Ωc 归一化，归一化后的系统函数为

∑-=Ω-Ω=Ω1

0)(1)(

N K c k c

C

a S S S G

令ρ=c c s j ΩΩ=Ω=+/,/λλη，λ称为归一化频率，ρ称为归一化复变量，这样的巴特沃斯滤波器的归一化低通原型系统函数为

∑==-=

1

)

(1

)(N k k

a G ρ

ρρ

公式中，c

k S k Ω=ρ称为归一化极点，用下公式表示， )

21221(N

k j k e

++=πρ k=0,1,…,N-1

显然， k S =k c ρΩ

这样，只要根据技术指标求出阶数N,按照)

21221(N

k j k e

++=πρ公式求出N 个极点，再

按∑==-=

1

)

(1

)(N k k

a G ρ

ρρ得到归一化低通原型系统函数Ga(ρ),如果给定Ωc ，再去

归一化，即将c

S

Ω=

ρ，代入)(ρa G 中，便可得到期望设计的系统函数Ha(S)。 2.2低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：

（1）根据技术指标s s ααρρ,,,ΩΩ,用ρλΩΩ=s

sp 11011010

/10/--=ααs sp k ρ

ρλs s k N lg lg = 求出滤波器的阶数N 。 （2）按照)

21

221(N

k j k e

++=πρ k=0,1,…,N-1 公式求出归一化极点k ρ，将 k ρ代入∑==-=

1

)

(1

)(N k k

a G ρ

ρρ，得到归一化低通原型系统函数)(ρA G 。也可根据阶

数N 直接查表得到)(,ρρa k G 。 (3)将)(ρa G 去归一化。将c

S

Ω=

ρ带如)(ρa G ，得到实际的滤波器系统函数 c

S a G S H Ω=

=ρρ|

)()(

这里c Ω为3dB 截止频率，如果技术指标没有给出c Ω，可以由

N

c 211.0)

110

(-

-Ω=Ωρ

αρ N

s c s

211.0)

110(-

-Ω=Ωα

求出。

2.3 函数说明

2.3.1 buttord 函数

(1)[N,wc]=buttord(wp ，ws ，Rp ，As)

用于计算巴特沃斯数字滤波器的阶数N 和3dB 截止频率wc 。其中，调用参数wp ，ws 分别为数字滤波器的通带、阻带截止频率的归一化值，要求：0≤wp