常见参数取值问题的题型及对策
常见参数取值问题的题型及对策求参数的取值范围的问题，在中学数学里比比皆是，这一讲，我们分四个方面来探讨。
一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。
例1．已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx+45-a 恒成立，求实数a 的取值范围。
分析：在不等式中含有两个变量a 及x ，其中x 的范围已知（x ∈R ），另一变量a 的范围即为所求，故可考虑将a 及x 分离。
解：原不等式即：4sinx+cos2x<45-a -a+5 要使上式恒成立，只需45-a -a+5大于4sinx+cos2x 的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。
f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin 2x+4sinx+1=-2(sinx -1)2+3≤3, ∴45-a -a+5>3即45-a >a+2上式等价于⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-2)2(4504502a a a a 或⎩⎨⎧≥-<-04502a a ，解得≤54a<8. 说明：注意到题目中出现了sinx 及cos2x ，而cos2x=1-2sin 2x,故若把sinx 换元成t,则可把原不等式转化成关于t 的二次函数类型。
另解：a+cos2x<5-4sinx+45-a 即a+1-2sin 2x<5-4sinx+45-a ,令sinx=t,则t ∈[-1,1],整理得2t 2-4t+4-a+45-a >0,( t ∈[-1,1])恒成立。
设f(t)= 2t 2-4t+4-a+45-a 则二次函数的对称轴为t=1,∴ f(x)在[-1，1]内单调递减。
∴ 只需f(1)>0,即45-a >a -2.(下同)例2．已知函数f(x)在定义域（-∞，1]上是减函数，问是否存在实数k ，使不等式f(k -sinx)≥f(k 2-sin 2x)对一切实数x 恒成立？并说明理由。
分析：由单调性与定义域，原不等式等价于k -sinx ≤k 2-sin 2x ≤1对于任意x ∈R 恒成立，这又等价于⎪⎩⎪⎨⎧----≥+-----+≤)2()21(sin 41)1(sin 12222x k k x k 对于任意x ∈R 恒成立。
不等式（1）对任意x ∈R 恒成立的充要条件是k 2≤(1+sin 2x)min =1,即-1≤k ≤1----------(3) 不等式（2）对任意x ∈R 恒成立的充要条件是k 2-k+41≥[(sinx -21)2]max =49, 即k ≤-1或k ≥2,-----------(4)由（3）、（4）求交集，得k=-1,故存在k=-1适合题设条件。
说明：抽象函数与不等式的综合题常需要利用单调性脱掉函数记号。
例3．设直线l 过点P （0，3），和椭圆x y 22941+=顺次交于A 、B 两点，试求AP PB的取值范围.分析：本题中，绝大多数同学不难得到：AP PB =BA x x -，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.思路1: 从第一条想法入手，AP PB =BA x x -已经是一个关系式，但由于有两个变量B A x x ,，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB 的斜率k . 问题就转化为如何将B A x x ,转化为关于k 的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y 得出关于x 的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.解1：当直线l 垂直于x 轴时，可求得51-=PB AP ； 当l 与x 轴不垂直时，设())(,,2211y x B y x A ，，直线l 的方程为：3+=kx y ，代入椭圆方程，消去y 得()045544922=+++kx x k ， 解之得 .4959627222,1+-±-=k k k x 因为椭圆关于y 轴对称，点P 在y 轴上，所以只需考虑0>k 的情形.当0>k 时，4959627221+-+-=k k k x ，4959627222+---=k k k x ，所以 21x x PB AP -==5929592922-+-+-k k k k =59291812-+-k k k =25929181k -+-. 由 ()049180)54(22≥+--=∆k k , 解得 952≥k ， 所以 51592918112-<-+-≤-k ， 综上 511-≤≤-PB AP .思路2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定k 的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k 联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于21x x PB AP -=不是关于21,x x 的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于21,x x 的对称关系式.解2：设直线l 的方程为：3+=kx y ，代入椭圆方程，消去y 得()045544922=+++kx x k（*） 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=+.4945,4954221221k x x k k x x 令λ=21x x ，则，.20453242122+=++k k λλ 在（*）中，由判别式,0≥∆可得 952≥k ，从而有 5362045324422≤+≤k k ，所以536214≤++≤λλ， 解得551≤≤λ.结合10≤<λ得151≤≤λ. 综上，511-≤≤-PB AP . 说明：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.二、直接根据图像判断若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。
尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。
例4．（2020年江苏卷第11题、天津卷第10题）已知长方形四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1）.一质点从AB 的中点P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射角等于反射角）.设P 4的坐标为（x 4，0）.若1< x 4<2，则tan θ的取值范围是 （ ）(A))1,31( (B))32,31( (C))21,52( (D))32,52(分析: 《高中数学课程标准》提倡让学生自主探索, 动手实践, 并主张在高中学课程设立“数学探究”学习活动, 03年数学试题反映了这方面的学习要求，在高考命题中体现了高中课程标准的基本理念．本题可以尝试用特殊位置来解，不妨设4P 与AB 的中点P 重合（如图1所示）P 1、P 2、P 3分别是线段BC 、CD 、DA 的中点，所以1tan 2θ=．由于在四个选择支中只有C 含有12，故选C ．当然，本题也可以利用对称的方法将“折线”问题转化成“直线”问题来直接求解（如图2所示）．说明 由本题可见, 0３年试题强调实验尝试, 探索猜想在数学学习中的地位．这也是选择题的应有特点．例5．当x ∈(1,2)时，不等式(x -1)2<log a x 恒成立，求a 的xy o 1 2 y 1=(x-1)2 y 2=log a x (0,0)A 1P 2P 3P 4P B(2,0)C(2,1)D(0,2)P x y 图1 A B P 1P 2P 3P 4P 2'P 3P 3'P 4P 4P 4'P C D y x H 图2取值范围。
分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。
解：设y 1=(x -1)2,y 2=log a x,则y 1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x ∈(1,2),y 1<y 2恒成立，显然a>1,并且必须也只需当x=2时y 2的函数值大于等于y 1的函数值。
故log a 2>1,a>1,∴1<a ≤2.例6．函数y=(x -1)log 23a -6xlog 3a+x+1，其中在x ∈[0,1]时函数恒正，求a 的范围。
解：排除对数log 3a 的干扰，选x 为“主元”化函数为y=f(x)=(log 32a -6 log 3a+1)x+1-log 32a, x ∈[0,1].一次（或常数）函数恒正，被线段端点“抬在”x 轴的上方。
故有：.31log 1,3310)1(0)0(033<<-∴<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>>>a a f f a 说明：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于ⅰ）⎩⎨⎧>>0)(0m f a 或ⅱ）⎩⎨⎧><0)(0n f a 亦可合并定成⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f 同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有()0()0f m f n <⎧⎨<⎩例7．对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。
分析：在不等式中出现了两个字母：x 及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。
显然可将p 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题。
略解：不等式即(x -1)p+x 2-2x+1>0,设f(p)= (x -1)p+x 2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有：⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或 ∴x<-1或x>3.例8.设f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞)时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。
分析：题目中要证明f(x)≥a 恒成立，若把a 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1,+∞)时恒大于0的问题。
专题求参数取值范围一般方法
专题——求参数取值范围一般方法观点与用法恒成立问题是数学中常有问题，也是历年高考的一个热门。
题型特色大多以已知一个 变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。
这样的题型会出现于代数中的不等 式里也会出此刻几何里。
就常考题型的一般题型以及解题方法，我在这里做了个小结。
题型以及解题方法一，分别参数在给出的不等式中，假如能经过恒等变形分别出参数，即：若a f x 恒成立，只须 求出 f x ，则maxa f x ；若 a f x 恒成立， 只须求出maxf x ，则mina f x ，min转变为函数求最值。
a例 1、已知函数 lg 2f x xx，若对随意 x 2, 恒有 f x 0，试确立 a 的取值范围。
a解：依据题意得：x 2 1在x 2, 上恒成立，x即：23a x x 在 x 2, 上恒成立，设23f x x x ，则f x x2 3 9 2 4当 x 2时，f x max 2 因此 a 2例2．已知当x R 时，不等式a+cos2x<5 4sinx+ 5a 4 恒成立，务实数a 的取值范围。
剖析：在不等式中含有两个变量a 及x ，此中x 的范围已知（x R ），另一变量a 的范 围即为所求，故可考虑将a 及x 分别。
解：原不等式即：4sinx+cos2x< 5a 4 a+5要使上式恒成立，只要5a 4 a+5 大于4sinx+cos2x 的最大值，故上述问题转变成 求f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。
f(x)= 4sinx+cos2x= 2sin 2x+4sinx+1= 2(sinx 1)2+3 3,∴5a 4 a+5>3 即5a 4 >a+2 a5a 5a 2 4 4 0 0 (a2) 2或a 5a 2 4 0 0，解得 45 上式等价于a<8.说明：注意到题目中出现了sinx 及cos2x ，而cos2x=1 2sin 2x,故若把sinx 换元成t,则可把原不等式转变成对于t 的二次函数种类。
求参数取值范围的两个技巧
求参数的取值范围问题比较常见，常出现在不等式、函数、方程、直线、圆、向量等问题当中.此类问题侧重于考查同学们的运算能力和综合分析能力.要求得参数的取值范围，需重点讨论与参数相关的变量或式子，用变量来约束参数的取值.下面介绍两个求参数取值范围的技巧.一、分离参数分离参数是指将不等式或等式进行恒等变形，使不等式或等式的一边含有参数，另一边不含有参数，然后根据不含参数的式子的范围来确定参数的取值范围.一般地，我们可以运用构造函数法、基本不等式法、导数法等来确定不含参数的式子的范围.例1.若函数f(x)=x3-b2x2+bx+c在[-2,1]上是增函数，求b的取值范围.解：由题意可知，函数f(x)在[-2,1]上是增函数，则对于∀x∈[-2,1],有f'(x)=3x2-bx+b≥0恒成立.当x=1时，3x2-bx+b≥0成立；而当x∈[-2,1),要使3x2-bx+b≥0，需使b≥3x2x-1，那么就只需要b>(3x2x-1)max,又(3x2x-1)max=0,所以b≥0.因此，实数b的取值范围是[0,+∞).若遇到含参不等式问题时，我们可先将不等式进行变形，把参数分离出来，得到a≤f(x),a≥f(x),a< f(x),a>f(x)的形式，求出f（x）的最值，只要使a≤f(x)min, a≥f(x)max,a<f(x)min,a>f(x)max，即可求出参数的取值范围.例2.已知不等式sin x∙cos x>m2+m2-1的解集为R，求m的求值范围.解：将不等式sin x∙cos x>m2+m2-1变形可得2sin x∙cos x>2m2+m-2，设g(m)=2m2+m-2,f(x)=2sin x∙cos x=sin2x≥-1,而g(m)<f(x)min，所以2m2+m-2<-1,即(2m-1)(m+1)<0,解得-1<m<12,因此m的取值范围为(-1，12）.本题的不等式中有多项含有m，因此将含m的项与常数项一起分离出来，再构造函数g（x）、f（x），求得f（x）的最值，使g(m)<f(x)min，即可求得m的取值范围.由此可见，通过分离参数解答含参不等式问题，大致可以分为三步：①分离参数；②求函数的最值；③利用极端原理得到最终的答案.二、变更主元对于一些含有多个参数、变量的问题，我们通常使用变更主元法来解题.将参数作为主元，将变量当作参数，将问题转化为关于参数的不等式、函数、方程问题，借助不等式的性质、函数的性质、方程的判别式来建立关于参数的关系式，从而求得参数的取值范围.例3.若函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f(x)-ax-5,对任意a∈[-1,1]，有g(x)<0，求实数x的取值范围.解：∵g(x)=3x2-ax+3a-5,∴令ϕ(x)=(3-x)a+3x2-5,-1≤a≤1.对于-1≤a≤1,有g(x)<0恒成立,即ϕ(a)<0.∴ìíîϕ(1)<0,ϕ(-1)<0,即ìíî3x2-x-2<0,3x2+x-8<0,解得x∈(-23,1).∴x的取值范围为(-23,1).我们将x看作参数，将a看作变量，将问题转化为关于a的一次函数问题.根据g(x)<0，建立关于a的不等式，解不等式就能求得参数a的取值范围.相比较而言，分离参数的适用范围较广，但运算量较大；变更主元的技巧较为简单，但使用范围较窄，很多同学经常很难想到这个技巧.因此，在解题受阻时，同学们要注意变通，尝试从不同的角度思考解题的思路.（作者单位：甘肃省陇南市成县第一中学）折直解题宝典45。
求参数范围问题解决方法及针对性练习
求参数范围问题方法及针对性练习一、变换“主元”思想，适用于一次函数型处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。
例1.对于满足04≤≤p 的一切实数p ，不等式x 2+px>4x+p-3恒成立，求x 的取值范围．分析：习惯上把x 当作自变量，记函数y= x 2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p []4,0∈时y>0恒成立，求x 的范围．若把x 与p 两个量互换一下角色，即p 视为变量，x 为常量，则上述问题可转化为在[0,4]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题．解：设f(p)=(x-1)p+x 2-4x+3，当x=1显然不满足题意．由题设知当04≤≤p 时f(p)>0恒成立，∴f(0)>0,f(4)>0即x 2-4x+3>0且x 2-1>0，解得x>3或x<-1．∴x 的取值范围为x>3或x<-1． 例2．对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x恒成立，求x 的取值范围。
答案：),3()1,(+∞-∞ 。
例3．若不等式)1x (m 1x 22->-，对满足2m 2≤≤-所有的x 都成立，求x 的取值范围。
答案：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-231271， 注：一般地，一次函数)0()(≠+=k b kx x f 在],[βα上恒有0)(>x f 的充要条件为⎩⎨⎧>>0)(0)(βαf f 。
二、分离变量对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。
例1．若对于任意角θ总有sincos 22410θθ++-<m m 成立，求m 的范围．（注意分式求最值得方法）分析与解：此式是可分离变量型，由原不等式得m (cos )cos 242θθ+<，又cos θ+>20，则原不等式等价变形为222m <+cos cos θθ恒成立．即2m 必须小于cos cos 22θθ+的最小值，问题化归为求cos cos 22θθ+的最小值．因为cos cos 22θθ+2cos 4)2(cos 4)2(cos 2+++-+=θθθ4cos 24440cos 2θθ=++-≥-=+ 即cos θ=0时，有最小值为0，故m <0．例2．已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(<x f 恒成立，求实数a 的取值范围。
2023年中考数学重点知识专题----已知不等式解集求参数值或参数范围(含答案解析)
2023年中考数学重点知识专题----已知不等式解集求参数值或参数范围（含答案解析）◆ 题型一：已知不等式确定的解集，求参数值或者范围几种常见考法： ① {若我们计算的结果为a <x <b 而题中给的结果为1<x 2，因为不等（组）的解集是确定的，则{a =1b =2② {若我们计算到ax <a ，因为未知a 的正负，无法下一步运算而题中给的结果为x <1，根据不等式的性质，则a ＞0③ {若我们计算的结果为{x <bx <2而题中给的结果为x <2，根据不等式解集的取法，“同小取小”，则b ≥2④ {若我们计算的结果为{x <bx <2而题中给的结果为x <b ，根据不等式解集的取法，“同小取小”，则b ≤2⑤ {若我们计算的结果为{x ＞b x ＞2而题中给的结果为x ＞2，根据不等式解集的取法，“同大取大”，则b ≤2⑥ {若我们计算的结果为{x ＞b x ＞2而题中给的结果为x ＞b ，根据不等式解集的取法，“同大取大”，则b ≥21. （2022·河北·模拟预测）已知a 是自然数，如果关于x 的不等式(a -3) x >a -3的解集为x <1，那么a 的值为( )A ．1，2B ．1，2， 3C ．0，1， 2D ．2，3【答案】C【分析】根据不等式(a -3)x ＞a -3的解集为x <1，得a -3<0，即可求解． 【详解】解：∵(a -3)x ＞a -3，当不等式两边同时除以a -3，若a -3＞0，不等式化为x ＞1， 若a -3＜0，则不等式化为x ＜1， ∴a -3＜0，即a ＜3，符合条件的自然数有0，1，2． 故选：C ．【点睛】本题考查根据不等式解集求参数，熟练掌握根据不等式解集确定系数符号是解题的关键．2. （2022·四川成都·模拟预测）关于x 的不等式组{3x −1>4(x −1)x <m 的解集为3x <，那么m 的取值范围是（ ）A ．m ≥3B ．m >3C ．m <3D ．m =3【答案】A【分析】先解出第一个不等式的解集，再由不等式组的解集为3x <，即可求解． 【详解】解：{3x −1>4(x −1)①x <m ②，解不等式①得：3x <， ∵不等式组的解集为3x <， ∴m ≥3． 故选：A【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．1．（2022·重庆市第三十七中学校二模）若数a 既使得关于x 的不等式组{x−a 2+1≤x+a 3x −2a >6无解，又使得关于y的分式方程5y−2−a−y2−y =1的解不小于1，则满足条件的所有整数a 的和为( ) A ．−4 B ．−3 C ．−2 D ．−52．（2022·重庆·模拟预测）若关于x 的不等式组{3<0x −4>3(x −2)的解集为x <1，且关于x 的分式方程x+2x−1+m 1−x=3有非负整数解，则符合条件的m 的所有值的和是（ ）A ．6B ．8C ．11D ．143．（2022·重庆市开州区德阳初级中学模拟预测）若关于x 的一元一次不等式组{3x −2≥2(x +2)a −2x <−5的解集为x ≥6，且关于y 的分式方程y+2a y−1−8−3y 1−y=2的解是正整数，则所有满足条件的整数a 的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．（2022·河北·模拟预测）已知a是自然数，如果关于x的不等式(a-3) x>a-3的解集为x<1，那么a的值为() A．1，2 B．1，2，3 C．0，1，2 D．2，3【答案】C【分析】根据不等式(a-3)x＞a-3的解集为x<1，得a-3<0，即可求解．【详解】解：∵(a-3)x＞a-3，当不等式两边同时除以a-3，若a-3＞0，不等式化为x＞1，若a-3＜0，则不等式化为x＜1，∴a-3＜0，即a＜3，符合条件的自然数有0，1，2．故选：C．【点睛】本题考查根据不等式解集求参数，熟练掌握根据不等式解集确定系数符号是解题的关键． 5．（2022·山东德州·二模）已知不等式组{x2+3a ≤−22x +5>1的解集在数轴上表示如图所示，则a 的值为（ ）A ．−56B ．－1C ．−13D ．−166．（2022·广东·二模）已知不等式组{x +a ≥0x +b ≤0，的解集为2≤x ≤3，则(a −b)2022的值为（ ）A ．1−B ．2022C ．1D ．−2022【答案】C【分析】解不等式得出x≥-a ，x≤-b ，由不等式组的解集得出-b=3，-a=2，解之求得a 、b 的值，代入计算可得．【详解】解：由x+a≥0，得：x≥-a ， 由x+b≤0，得：x≤-b ， ∵解集是2≤x≤3， ∴-b=3，-a=2，解得：a=-2，b=-3，∴(a−b)2022=(−2+3)2022=1，故选：C．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能求出不等式（或组）的解集是解此题的关键．7．（2022·四川成都·模拟预测）关于x的不等式组{3x−1>4(x−1)x<m的解集为3x<，那么m的取值范围是（）A．m≥3B．m>3C．m<3D．m=3【答案】A【分析】先解出第一个不等式的解集，再由不等式组的解集为3x<，即可求解．【详解】解：{3x−1>4(x−1)①x<m②，解不等式①得：3x<，∵不等式组的解集为3x<，∴m≥3．故选：A【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．8．（2022·山东·日照市北京路中学二模）若关于x的不等式组{x+1<3x+124x−1≥3(a−x)的解集是x>1，关于y的分式方程ay−1=5y−8y−1−2的解为非负数，则所有符合条件的整数a的和为（）A．-18 B．-15 C．0 D．2【答案】B【分析】根据不等式组的解集求出不等式的解集，确定a的取值范围，再根据分式方程的解是非负数确定a 的取值范围，注意排除增根的情况，最后两个a的取值范围合并，就可以算出所有整数a的和．【详解】解：x+1<3x+12，2x+2＜3x+1，解得x＞1，4x−1≥3(a−x)，4x-1≥3a-3x，x≥3a+17，∵关于x 的不等式组的解集为x ＞1， ∴3a+17≤1，解得a≤2， 又∵ay−1=5y−8y−1−2的解为非负数，∴a=5y −8−2（y −1）， ∴y=a+63≥0且y≠1，解得a≥-6且a≠-3，∴a 的取值范围为-6≤a≤2且a≠-3，符合条件的整数a 有：-6、-5、-4、-2、-1、0、1、2，所有的a 相加的和=（-6）+（-5）+（-4）+（-2）+（-1）+（0）+1+2 =-15． 故选：B ．【点睛】本题考查含参的一元一次不等式组和含参的分式方程的解．注意含参的不等式的解法和增根的情况是解决本题的关键．9．（2020·河南·模拟预测）已知不等式组{2x −a <1x −4b >3的解集为﹣1＜x ＜1，则（a +b ）（b ﹣1）的值为_____．【点睛】本题考查不等式组的计算求解集，关键是和已知解集对应相等，求出a，b的值．10．（2022·甘肃武威·模拟预测）定义新运算“⊗”，规定：a⊗b=a−2b．若关于x的不等式x⊗m>3的解集为x>−1，则m的取值范围是________．【答案】m=-2【分析】根据定义的新运算得到x⊗m=x−2m>3，得x>3+2m，从而3+2m=-1，求得m的值．【详解】解：∵a⊗b=a−2b，∴x⊗m=x−2m，∵x⊗m>3，∴x−2m>3，∴x>2m+3，∵不等式x⊗m>3的解集为x>−1，∴2m+3=−1，∴m=-2，故答案为：m=-2．【点睛】本题考查了新定义运算在不等式的应用，解题的关键是准确理解新定义的运算．◆题型二：已知不等式的特殊解，求参数值或者范围若2＜x＜m恰有3个整数解，求m的取值范围。
解析几何中参数取值范围问题（精）
解析⼏何中参数取值范围问题（精）解析⼏何中参数取值范围问题⼀．学习⽬标：1、掌握求参数取值范围的基本思路与⽅法，会解决⼀些简单的求参数取值问题；2、了解双参数问题的求解思路。
⼆．思想⽅法技巧1．利⽤数形结合思想求解：挖掘参数的⼏何意义，转化为直线斜率、距离等问题求解； 2．通过建⽴参数的不等式求解：（1）利⽤题设中已有的不等关系建⽴不等式；（2）利⽤判别式建⽴不等式（3）利⽤图形特征建⽴不等式 3．双参数问题求解策略：建⽴参数的不等式、⽅程的混合组，通过消元转化为⼀元不等式，或转化为求函数值域问题求解。
4、分类讨论思想的运⽤三．基础训练1．已知两点A （－3，4）．B （3，2），过点P （2，－1）的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A ．[1,3]-B ．(1,3)-C ．(,1][3,)-∞-?+∞D ．(,1)(3,)-∞-?+∞2．直线y kx =与双曲线221169x y -=不相交，则k 的取值范围是 3．已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（）（A ）），（2222-（B ）），（22-（C ）），（4242-（D ）），（8181-⼆．典型例题1．若直线y=x+b 与曲线21y x -=恰有⼀个公共点,则有b 的取值范围是。
2．双曲线1422=+ky x 的离⼼率为e ，且e ∈(1，2)则k 的范围是________。
3．若直线y x b =+与曲线224(0)x y y +=≥有公共点，则b 的取值范围是（）A ． [2,2]-B ． [0,2]C ．D ． [-4．直线y=kx －2与焦点在x 轴上的椭圆1522=+my x 恒有公共点，求m 的取值范围5．已知椭圆C ：2214x y += 和直线:2l y x m =+，椭圆C 上存在两个不同的点A 、B 关于直线l 对称，求m 的取值范围三．巩固练习1．若平⾯上两点A （-4，1），B （3，-1），直线2+=kx y 与线段AB 恒有公共点，则k 的取值范围是。
参数取值范围问题
一、利用函数的图像求参数取值范围问题（数形结合思想）1．已知函数32)(2+-=x x x f 在闭区间[0，m ]上的最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围为________．2．已知函数x y sin =的定义域为],[b a ，值域为[－1，12]，则b －a 的取值范围为________． 3．当210≤<x 时，x a x log 4<，则a 的取值范围是． 4．使得1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是．5．若存在正数x ，使得1)(2<-a x x 成立，则a 的取值范围是．6．.函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤+-=.1,12,1,25)1()(x xa x x a x f ，在定义域R 上单调递减，则a 的取值范围是 ．7．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+->=-.6,4)24(,6,)(5x x a x a x f x 若函数)(x f 在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是__________ 8．已知数列{})(n f 是单调递增数列，且通项公式为⎪⎩⎪⎨⎧≤+->=-.6,4)24(,6,)(5n n a n a n f n 则实数a 的取值范围是___________ ．9．函数⎩⎨⎧≥<+-=.1,log ,1,4)13()(x x x a x a x f a 在R 是单调减函数，则实数a 的取值范围是_________．10．函数⎩⎨⎧≥<+-=.1,log ,1,4)13()(x x x a x a x f a 在R 不是单调函数，则实数a 的取值范围是_________． 11．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-+-≥-+=.0,)3(4,0),1()(2222x a x x x a k x k x f ,其中R a ∈. 若对任意的非零实数1x ,存在唯一的非零实数 )(212x x x ≠,使得)()(21x f x f =成立,则k 的取值范围是_________．12．已知函数⎩⎨⎧>-≤+-=.1,1,1,)(2x ax x ax x x f 若2121,,x x R x x ≠∈∃，使得)()(21x f x f =成立，则实数a 的取值范围是__________ ．13．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤-->-=.0,2,0,12)(2x x x x x f x ，若m x f x g -=)()(有3个零点，则实数m 的取值范围是 14．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=.2,)1(,2,2)(3x x x x x f ，若关于x 的方程k x f =)(有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是．15．已知10<<a ，0≠k ，函数⎩⎨⎧<+≥=.0,1,0,)(x kx x a x f x ，若k x f x g -=)()(有两个零点，则实数k 的取值范围是．16．已知⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=.10,621,100|,lg |)(x x x x x f ，若c b a ,,互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则abc 的取值范围是 17．方程1||2=+-a x x 有四个不同的实数解，则实数a 的取值范围是．18．已知函数⎩⎨⎧>+-≤+=.0,12,0,1)(2x x x x x x f 若关于x 的方程0)()(2=-x af x f 恰有5个不同的实数解，则a 的取值范围是________．19．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的奇函数，当0>x 时，x x x f 2)(2-=，若函数)(x f 在区间],1[t -上 的最小值为1-，则实数t 的取值范围是 ________ ．20．已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间),0(+∞上单调递增。
参数范围问题常见解法
参数范围问题—常见解题6法求解参数的取值范围是一类常见题型．近年来在各地的模拟试题以及高考试题中更是屡屡出现．学生遇到这类问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍几种解决这类问题的策略和方法．一、确定“主元”思想常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量．例1.对于满足0的一切实数，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范围．分析：习惯上把x当作自变量，记函数y= x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p时y>0恒成立，求x的范围．解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的．若把x与p 两个量互换一下角色，即p视为变量，x为常量，则上述问题可转化为在[0,4]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题．解：设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，当x=1时显然不满足题意．由题设知当0时f(p)>0恒成立，∴f(0)>0,f(4)>0即x2-4x+3>0且x2-1>0，解得x>3或x<-1．∴x的取值范围为x>3或x<-1．二、分离变量对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。
例2．若对于任意角总有成立，求的范围．分析与解：此式是可分离变量型，由原不等式得，又，则原不等式等价变形为恒成立．根据边界原理知，必须小于的最小值，这样问题化归为怎样求的最小值．因为即时，有最小值为0，故．评析：一般地,分离变量后有下列几种情形：①f(x)≥g(k) [f(x)]min≥g(k)②f(x)> g(k) g(k) < [f(x)] min③f(x)≤g(k) [f(x)] max≤g(k)④f(x)<g(k) [f(x)] max < g(k)三、数形结合对于含参数的不等式问题，当不等式两边的函数图象形状明显，我们可以作出它们的图象，来达到解决问题的目的．例3．设，若不等式恒成立，求a的取值范围．分析与解：若设函数，则，其图象为上半圆．设函数，其图象为直线．在同一坐标系内作出函数图象如图，依题意要使半圆恒在直线下方，只有圆心到直线的距离且时成立，即a的取值范围为．四、分类讨论当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时，应用分类讨论的方法来处理，分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素，为问题的解决提供新的条件。
一次函数含参数取值范围问题及答案
【1：一次函数与线段公共点问题】1．如图，A（1，0），B（3，0），M（4，3），动点P从点A出发，以每秒2个单位长的速度向右移动，且经过点P 的直线l：y＝﹣x+b也随之移动，设移动时间为t秒，若直线l与线段BM有公共点，则t的取值范围为（）A．1≤t≤3B．2≤t≤4C．1≤t≤4D．2≤t≤3【解答】解：当直线y＝﹣x+b过点B（3，0）时，0＝﹣3+b，解得：b＝3，0＝﹣（1+2t）+3，解得t＝1．当直线y＝﹣x+b过点M（4，3）时，3＝﹣4+b，解得：b＝7，0＝﹣（1+2t）+7，解得t＝3．故若l与线段BM有公共点，t的取值范围是：1≤t≤3，故选：A．2．对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜1时，它们对应的函数值互为相反数：当x≥1时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y＝x﹣4，它的相关函数为y＝，已知点A（b﹣1，2），点B坐标（b+3，2），函数y＝4x﹣3相关函数与线段AB有且只有一个交点，则b的取值范围是﹣≤b＜﹣或＜b≤．．【解答】解：根据题意：函数y＝4x﹣3相关函数是：y＝，∴当y＝2时，x＝或x＝，∵点A（b﹣1，2），点B（b+3，2），∵函数y＝4x﹣3相关函数与线段AB有且只有一个交点，∴，解得﹣≤b＜﹣，或，解得＜b≤故答案为﹣≤b＜﹣或＜b≤．3、已知函数y＝（n为常数）．（1）当n＝﹣2时，①点P（5，a）在此函数图象上，求a的值；②求此函数的最大值．（2）已知线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2）、B（4，2），当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，求n的取值范围．【解答】解：（1）当n＝﹣2时，函数y＝，①将P（5，a）代入y＝﹣2x﹣2得，a＝﹣12；②当x≥﹣2时，当x＝﹣2时函数y＝﹣2x﹣2有最大值为2；当x＜﹣2时，y＝x+1＜﹣1，∴此函数的最大值为2；（2）①当n＞0时，函数图象如图所示：将A（2，2）、B（4，2）分别代入y＝nx+n中，得到n1＝，n2＝，∴当≤n≤时，图象与线段AB只有一个交点；②当n＜0时，函数图象如图所示：∴此时图象与线段AB没有交点．③当n＝0时，函数y＝（n为常数）为常数函数y＝0，即x轴，此时显然线段AB与函数图象没有交点．综上所述：当≤n≤时，图象与线段AB只有一个交点．4、已知直线y1＝﹣2x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，6）；（2）求出△AOB的面积；（3）直线AB上是否存在一点C（C与B不重合），使△AOC的面积等于△AOB的面积？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．（4）若直线l：y2＝x与直线y1＝﹣2x+6相交于点D，①求点D的坐标；②直接写出当y1＞y2时x的取值范围．③若存在直线a：y＝kx+b平行于直线l，且与线段AB有公共点，直接写出k的值及b的取值范围．【解答】解：（1）当y＝0时，﹣2x+6＝0，解得：x＝3∴A（3，0）；当x＝0时，y＝﹣2x+6＝6∴B（0，6）．故答案为：（3，0），；（0，6）．（2）△AOB的面积为：×3×6＝9．（3）存在．设C（t，﹣2t+6）∵△AOC的面积等于△AOB的面积∴×3×|﹣2t+6|＝9解得：t1＝6，t2＝0（舍去）∴C点坐标为（6，﹣6）．（4）①∵y2＝x与直线y1＝﹣2x+6相交于点D∴x＝﹣2x+6∴x＝2，y＝2∴点D的坐标为：（2，2）．②当y1＞y2时x的取值范围为：x＜2；③直线a：y＝kx+b平行于直线l：y2＝x∴k＝1；∵A（3，0），B（0，6）∴直线a：y＝kx+b与线段AB有公共点时，﹣6≤b≤3．∴符合题意的k的值为1，b的取值范围为﹣6≤b≤3．5．如图，点A（1，0）、B（4，0）、M（5，3）．动点P从A点出发，沿x轴以每秒1个单位的速度向右移动，过点P的直线l：y＝﹣x+b也随之移动．设移动时间为t秒．（1）当t＝1时，求直线l的解析式．（2）若直线l与线段BM有公共点，求t的取值范围．（3）当点M关于直线l的对称点落在坐标轴上时，求t的值．【解答】解：（1）直线y＝﹣x+b交x轴于点P（1+t，0）（b＞0，t≥0）．当t＝1时，1+t＝2，∴P（2，0），∴﹣2+b＝0，解得b＝2，故当t＝1时，直线l的解析式为y＝﹣x+2．（2）当直线y＝﹣x+b过点B（4，0）时，有1+t＝4，∴t＝3；当直线y＝﹣x+b过点M（5，3）时，有3＝﹣5+b，解得：b＝8，∴0＝﹣（1+t）+8，解得t＝7．故若l与线段BM有公共点，t的取值范围是：3≤t≤7．（3）点M关于直线l的对称点落在对称轴上分两种情况（如图所示）：①当点M的对称点落在y轴上时，过点M作MC⊥直线l，交y轴于点C，交直线l于点D，则点C为点M在坐标轴上的对称点．设直线MC的解析式为y＝x+m，则：3＝5+m，解得：m＝﹣2，∴直线MC的解析式为y＝x﹣2．当x＝0时，y＝0﹣2＝﹣2，∴C点坐标为（0，﹣2）．∵（0+5）÷2＝2.5，（3﹣2）÷2＝0.5，∴D点坐标为（2.5，0.5），当直线y＝﹣x+b过点D（2.5，0.5）时，有0.5＝﹣2.5+b，解得：b＝3，即0＝﹣（1+t）+3，解得t＝2．∴t为2时，点M关于l的对称点落在y轴上．②当点M的对称点落在x轴上时，设直线MC分别与x轴、直线l交与点E，F．当y＝0时，有x﹣2＝0，解得：x＝2，∴点E（2，0），点F（3.5，1.5）．∴1.5＝﹣3.5+b，解得：b＝5，∴t＝b﹣1＝4，∴t＝4时点M关于l的对称点落在x轴上．综上，t＝2或4时，M的对称点在坐标轴上．6．已知，如图，A点坐标是（1，3），B点坐标是（5，1），C点坐标是（1，1）（1）求△ABC的面积是4；（2）求直线AB的表达式；（3）一次函数y＝kx+2与线段AB有公共点，求k的取值范围；（4）y轴上有一点P且△ABP与△ABC面积相等，则P点坐标是（0，）或（0，）．【解答】解：（1）∵A点坐标是（1，3），B点坐标是（5，1），C点坐标是（1，1），∴AC＝3﹣1＝2，BC＝5﹣1＝4，∠C＝90°，∴S△ABC＝AC•BC＝×2×4＝4．故答案为4；（2）设直线AB的表达式为y＝kx+b．∵A点坐标是（1，3），B点坐标是（5，1），∴，解得，∴直线AB的表达式为y＝﹣x+；（3）当k＞0时，y＝kx+2过A（1，3）时，3＝k+2，解得k＝1，∴一次函数y＝kx+2与线段AB有公共点，则0＜k≤1；当k＜0时，y＝kx+2过B（5，1），1＝5k+2，解得k＝﹣，∴一次函数y＝kx+2与线段AB有公共点，则﹣≤k＜0．综上，满足条件的k的取值范围是0＜k≤1或﹣≤k＜0；（4）过C点作AB的平行线，交y轴于点P，此时△ABP与△ABC是同底等高的两个三角形，所以面积相等．设直线CP的解析式为y＝﹣x+n，∵C点坐标是（1，1），∴1＝﹣+n，解得n＝，∴直线CP的解析式为y＝﹣x+，∴P（0，）．设直线AB：y＝﹣x+交y轴于点D，则D（0，）．将直线AB向上平移﹣＝2个单位，得到直线y＝﹣x+，与y轴交于点P′，此时△ABP′与△ABP是同底等高的两个三角形，所以△ABP与△ABC面积相等，易求P′（0，）．综上所述，所求P点坐标是（0，）或（0，）．故答案为（0，）或（0，）．7．在平面直角坐标系中，点A（a，1），B（b，6），C（c，3），且a，b，c满足．（1）若b＝2，求△ABC的面积；（2）如图1，已知线段AB在与y轴相交于点E，直线AC与直线OB交于点P，若2P A≤PC，求实数a的取值范围；（3）如图2，点A在y轴左侧，点B关于x轴的对称点为D，将线段BC向左平移m个单位长度（此时点D不动），若线段BC与直线AD有公共点，请直接写m的取值范围．【解答】解：（1）当b＝2时，原方程组为：，解得：，∴A（﹣1，1），B（2，6），C（6，3），如图3，过点A，B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为F，G，H，∴S△ABC＝S梯形AFGB+S梯形BGHC﹣S梯形AFHC＝（1+6）×3+（3+6）×4﹣（3+1）×7＝14.5；（2）解方程组，得，∴A（a，1），B（a+3，6），C（a+7，3），∵线段AB在与y轴相交于点E，∴a≤0，a+3≥0，∴﹣3≤a≤0，∵2P A≤PC，∴2S△ABP≤△S△BPC，2S△AOP≤△S△OCP，∴2S△AOB≤△S△BOC，如图1，过点A，B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，K，∵S△AOB＝S梯形AMNB﹣S△BON＝×（1+6）×（a+3﹣a）﹣（﹣a）×1﹣（3+a）×6＝，S△BOC＝S△BON+S梯形BNKC﹣S△KOC＝×（3+6）×[（a+7）﹣（a+3）]+（3+a）×6﹣（7+a）×3＝，2（）≤，解得a≥﹣，∴实数a的取值范围是：﹣≤a≤0；（3）将线段BC向左平移m个单位长度后对应的点C（a+7﹣m，3），点B（a+3，6）关于x轴的对称点是D（a+3，﹣6），设直线AD的解析式为y＝kx+n，则，解得：，∴直线AD的解析式为y＝x+1+，若平移后点B（a+3﹣m，6）落在直线AD上，则6＝（a+3﹣m）+1+，解得：m＝，若平移后点C（a+7﹣m，3）落在直线AD上，则3＝（a+7﹣m）+1+，解得：m＝，∵线段BC与直线AD有公共点，∴m的取值范围是：≤m≤．8．如图，正方形ABCD的边长为3，BC边在x轴上，BC的中点与原点O重合，过定点M（﹣2，0）与动点P（0，t）的直线MP记作l．（1）A点坐标为（﹣，3），D点坐标为（，3）；（2）若l的解析式为y＝2x+4，判断此时点A是否在直线l上，并说明理由；（3）当直线l与AD边有公共点时，求t的取值范围．【解答】解：（1）∵BC的中点与原点O重合，则点B、C的坐标分别为（﹣，0）、（，0），则点A、D的坐标分别为（﹣，3）、（，3），故答案为：（﹣，3）、（，3）；（2）当x＝﹣时，y＝2x+4＝2×（﹣）+4＝1≠3，故点A不在直线l上；（3）直线l过点P，则设直线l的表达式为y＝kx+t，将点M的坐标代入上式得：0＝﹣2k+t，解得k＝t，则直线l的表达式为y＝tx+t，当直线l过点A时，则3＝﹣×t+t＝t，解得t＝12，当直线l过点D时，则3＝t×+t＝，解得t＝，故≤t≤12．【2：一次函数与图形公共点问题】1．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+4与x轴交于点A，与过点B（0，2）且平行于x轴的直线l交于点C，点A关于直线l的对称点为点D．（1）求点C、D的坐标；（2）将直线y＝x+4在直线l上方的部分和线段CD记为一个新的图象G．若直线y＝﹣x+b与图象G有两个公共点，结合函数图象，求b的取值范围．【解答】解：（1）∵直线y＝x+4与x轴交于点A，∴A（﹣4，0）∵直线y＝x+4与过点B（0，2）且平行于x轴的直线l交于点C，∴C（﹣2，2）∵点A关于直线l的对称点为点D，∴D（﹣4，4）（2）如图：当直线y＝﹣x+b经过点C（﹣2，2）时，∴2＝﹣×（﹣2）+b，解得b＝1当直线y＝﹣x+b经过点D（﹣4，4）时，∴4＝﹣×（﹣4）+b，解得b＝2∴b的取值范围为1＜b≤2．2．在平面直角坐标系中，如果点A、点C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A、C在直线y＝x上，那么称该菱形为点A、C的“极好菱形”．如图为点A、C的“极好菱形”的一个示意图．已知点M的坐标为（1，1），点P 的坐标为（3，3）．（1）点E（2，1），F（1，3），G（4，0）中，能够成为点M、P的“极好菱形”的顶点的是F、G．（2）若点M、P的“极好菱形”为正方形，求这个正方形另外两个顶点的坐标．（3）如果四边形MNPQ是点M、P的“极好菱形”．①当点N的坐标为（3，1）时，求四边形MNPQ的面积．②当四边形MNPQ的面积为8，且与直线y＝x+b有公共点时，直接写出b的取值范围．【解答】解：（1）如图1中，观察图象可知：F、G能够成为点M，P的“极好菱形”顶点．故答案为：F，G；（2）如图2所示：∵点M的坐标为（1，1），点P的坐标为（3，3），∴MP＝2．∵“极好菱形”为正方形，其对角线长为2，∴其边长为2．∴这个正方形另外两个顶点的坐标为（1，3）、（3，1）．（3）①如图2所示：∵M（1，1），P（3，3），N（3，1），∴MN＝2，PN⊥MN．∵四边形MNPQ是菱形，∴四边形MNPQ是正方形．∴S四边形MNPQ＝4．．②如图3所示：∵点M的坐标为（1，1），点P的坐标为（3，3），∴PM＝2，∵四边形MNPQ的面积为8，∴S四边形MNPQ＝PM•QN＝8，即×2×QN＝8，∴QN＝4，∵四边形MNPQ是菱形，∴QN⊥MP，ME＝，EN＝2，作直线QN，交x轴于A，∵M（1，1），∴OM＝，∴OE＝2，∵M和P在直线y＝x上，∴∠MOA＝45°，∴△EOA是等腰直角三角形，∴EA＝2，∴A与N重合，即N在x轴上，同理可知：Q在y轴上，且ON＝OQ＝4，由题意得：四边形MNPQ与直线y＝x+b有公共点时，b的取值范围是﹣4≤b≤4．3．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“距离“，记作d（M，N）．特别的，当图形M，N有公共点时，记作d（M，N）＝0．一次函数y＝kx+2的图象为L，L与y轴交点为D，△ABC中，A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）．（1）求d（点D，△ABC）＝1；当k＝1时，求d（L，△ABC）＝；（2）若d（L，△ABC）＝0，直接写出k的取值范围；（3）函数y＝x+b的图象记为W，若d（W，△ABC）≤1，求出b的取值范围．【解答】解：（1）一次函数y＝kx+2的图象与y轴交点D（0，2），d（点D，△ABC）表示点D到△ABC的最小距离，就是点D到点A的距离，即：AD＝2﹣1＝1，∴d（点D，△ABC）＝1当k＝1时，直线y＝x+2，此时直线L与AB所在的直线平行，且△ABC和△DOE均是等腰直角三角形，d（L，△ABC）表示直线L到△ABC的最小距离，就是图中的AF，在等腰直角三角形ADF中，AD＝1，AF＝1×＝d（L，△ABC）＝故答案为：1，；（2）若d（L，△ABC）＝0．说明直线L：y＝kx+2与△ABC有公共点，因此有两种情况，即：k＞0或k＜0，仅有一个公共点时如图所示，即直线L过B点，或过C点，此时可求出k＝2或k＝﹣2，根据直线L与△ABC有公共点，∴k≥2或k≤﹣2，答：若d（L，△ABC）＝0时．k的取值范围为：k≥2或k≤﹣2．（3）函数y＝x+b的图象W与x轴、y轴交点所围成的三角形是等腰直角三角形，并且函数y＝x+b的图象与AB 平行，当d（W，△ABC）＝1时，如图所示：在△AGM中，AG＝GM＝1，则AM＝，OM＝1+，M（0，1+）；即：b＝1+；同理：OQ＝OP＝1+，Q（0，﹣1﹣），即：b＝﹣1﹣，若d（W，△ABC）≤1，即b的值在M、N之间∴﹣1﹣≤b≤1+答：若d（W，△ABC）≤1，b的取值范围为﹣1﹣≤b≤1+．4．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3）、点B（3，0），一次函数y＝﹣2x的图象与直线AB交于点P．（1）求P点的坐标．（2）若点Q是x轴上一点，且△PQB的面积为6，求点Q的坐标．（3）若直线y＝﹣2x+m与△AOB三条边只有两个公共点，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵A（0，3）、点B（3，0），∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，由，解得，∴P（﹣3，6）．（2）设Q（m，0），由题意：•|m﹣3|•6＝6，解得m＝5或1，∴Q（1，0）或（5，0）．（3）当直线y＝﹣2x+m经过点O时，m＝0，当直线y＝﹣2x+m经过点B时，m＝6，∴若直线y＝﹣2x+m与△AOB三条边只有两个公共点，则有0＜m＜6．5．定义：在平面直角坐标系中，点（m，n）是某函数图象上的一点，作该函数图象中自变量大于m的部分关于直线x＝m的轴对称图形，与原函数图象中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于点（m，n）的“友好函数”．例如：图①是函数y＝x+1的图象，则它关于点（0，1）的“友好函数”的图象如图②所示，且它的“友好函数”的解析式为y＝．（1）直接写出函数y＝x+2关于点（0，2）的“友好函数”的解析式．（2）如图③，点M是函数G：y＝x﹣2的图象上的一点，设点M的横坐标为m，G′是函数G关于点M的“友好函数”．①当m＝2时，若函数G′的函数值y取值范围是﹣1≤y＜2，求此时自变量x的取值范围；②如图④，当以点A（﹣3，2）、B（﹣3，﹣2）、C（3，﹣2）、D（3，2）为顶点的矩形ABCD与函数G′的图象只有两个公共点时，直接写出m的取值范围．（3）当（2）②中的函数G′的图象与矩形ABCD有且仅有一个公共点时，请问函数G′上是否存在一点M，使△ACM是以AC为直角边的直角三角形，如果存在，请写出所有符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）函数y＝x+2在x＞0的部分任取一点（1，3）关于直线x＝0的对称点为（﹣1，3），设函数y＝x+2图象关于x＝0对称的部分的图象解析式为y＝kx+b，将（0，2），（﹣1，3）代入解析式，得：，解得：，∴函数y＝x+2关于点（0，2）的“友好函数”的解析式为：y＝；（2）①当m＝2时，函数G′的图像如下图：G′的函数关系式为y＝，当y＝2时，代入函数，得：x﹣2＝2，解得：x＝8，∵点（8，2）关于直线x＝2的对称点为（﹣4，2），∴当﹣1≤y＜2时，﹣4＜x＜8；②由①知：G′的函数关系式为y＝，将D（3，2），B（﹣3，﹣2）分别代入y＝﹣x+m﹣2中，得：m＝和m＝﹣，当m＜﹣时，由图象④得G′的右半部分必与矩形ABCD有2个交点，当m＝﹣时，有2个交点，当﹣＜m≤0时，有4个交点，当0＜m＜时，有2个交点，当m＝时，有1个交点，当m＞时，无交点，综上所述，m的取值范围为；（3）当函数G′的图像与矩形ABCD有且仅有一个公共点时，图像如下：此时函数G′过点D（3，2），∴，设直线DE解析式为：y＝kx+b，∴，解得：，∴函数G′的解析式为：y＝；因为Rt△ACM以AC为直角边时，分两种情况：①当∠CAM＝90°时，当AM与直线DE相交时，设M（n，﹣n+），∵AC2+AM2＝MC2，∴，∴，∴；当AM与直线EF相交时，设M（n，﹣2），∵AC2+AM2＝MC2，∴，∴，∵n＞，所以舍去．②当∠ACM＝90°时，当CM与直线DE相交时，设M（n，﹣n+），∵AC2+CM2＝AM2，∴，∴n＝5，∴点M的坐标为（5，1）；当CM与直线EF相交时，设M（n，﹣2），∵AC2+CM2＝AM2，∴，∴，因为，所以舍去，综上所述：符合条件的点M的坐标为（5，1）或．6．在平面直角坐标系xOy中，如果点A、点C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A、C在直线y＝x上，那么称该菱形为点A、C的“极好菱形”．如图为点A、C的“极好菱形”的一个示意图．已知点M的坐标为（1，1），点P的坐标为（3，3）．（1）点E（2，4），F（1，3），G（4，0），H（3，2）中，能够成为点M、P的“极好菱形”的顶点的是F，G；（2）如果四边形MNPQ是点M、P的“极好菱形”．①当点N的坐标为（）时，求四边形MNPQ的面积；②当四边形MNPQ的面积为12，且与直线y＝x+b有公共点时，求出b的取值范围．【解答】解：（1）如图1中，观察图象可知：F、G能够成为点M，P的“极好菱形”顶点．故答案为：F，G；（2）①如图2，∵M（1，1），P（3，3），（），设点Q的坐标为（x，y），则（1+3）＝（x+）且（1+3）＝（y+），解得，故点Q的坐标为（，），由点P、M的坐标得，PM＝＝2，同理可得QN＝，则边形MNPQ的面积＝PM•QN＝×＝2；②如图2，∵点M的坐标为（1，1），点P的坐标为（3，3），∴PM＝2，∵四边形MNPQ的面积为12，∴S四边形MNPQ＝PM•QN＝12，即×2×QN＝12，∴QN＝6，∵四边形MNPQ是菱形，∴QN⊥MP，EM＝，EN＝3，作直线QN，交x轴于A，过点N作x轴的平行线交y＝x于点M′，∵M（1，1），∴OM＝，∴OE＝2，∵M和P在直线y＝x上，∴∠MOA＝45°，∴△EM′N是等腰直角三角形，∴EM′＝EN＝3，则点M′（﹣1，﹣1），故点N的纵坐标为﹣1，则点N的坐标为（5，﹣1），将（4，﹣1）代入y＝x+b得：﹣1＝5+b，解得b＝﹣6，同理可知：Q的坐标为（﹣1，5），此时，b＝6，由题意得：四边形MNPQ与直线y＝x+b有公共点时，b的取值范围是﹣6≤b≤6．7．已知直线AB与正比例函数y＝kx（k≠0）的图象交于点A（5，5），与x轴交于点B（﹣，0）．点P为直线OA 上的动点，点P的横坐标为t，以点P为顶点，作矩形PDEF，满足PD∥x轴，且PD＝1，PF＝2．（1）求k值及直线AB的函数解析式．（2）在点P运动的过程中，当点F落在直线AB上时，求t的值．（3）若点P在射线AO上运动时，且矩形PDEF与直线AB有公共点，求t的取值范围．【解答】解：（1）将点A的坐标代入比例函数y＝kx（k≠0）表达式得：5＝5k，解得：k＝1，设直线AB的解析式为y＝mx+n，则，解得，∴直线AB的解析式为y＝x+；（2）∵点P为直线OA上，∴P（t，t），∴F（t，t+2），把F（t，t+2）代入y＝x+中得t+2＝t+，解得t＝﹣1；（3）∵P（t，t），∴D（t+1，t），把D（t+1，t）代入y＝x+中得t＝（t+1）+，解得t＝7，而点P在射线AO上运动，故t≤5，而t＝﹣1时，点F在AB上，故若矩形PDEF与直线AB有公共点，t的取值范围为﹣1≤t≤5．8．在面直角坐标系xOy中，直线l为二、四象限角平分线，图形T关于x轴的对称图形称为图形T的一次反射图形，记作图形T1；图形T1关于直线l的对称图形称为图形T的二次反射图形，记作图形T2．例如，点（2，5）的一次反射点为（2，﹣5），二次反射点为（5，﹣2），根据定义，回答下列问题：（1）①点（﹣2，5）的一次反射点为，二次反射点为；②当点A在第二象限时，点M（3，1）、N（3，﹣1），P（5，﹣1）中可以是点A的二次反射点的是．（2）若点A在第一象限，点A1，A2分别是点A的一次、二次反射点，△OA1A2为等边三角形，求射线OA与y 轴所夹锐角的度数；（3）已知点E（1，n），F（2，n）．若以EF为边的正方形的二次反射图形与直线x＝3有公共点，则n的取值范围为．【解答】解：（1）①∵点（﹣2，5）关于x轴的对称点为：（﹣2，﹣5），点（﹣2，﹣5）关于直线l的对称点为：（5，2），∴点（﹣2，5）的一次反射点为（﹣2，﹣5），二次反射点为（5，2），故答案为：（﹣2，﹣5），（5，2）；②∵点A在第二象限，∴一次反射点在第三象限，二次反射点在第一象限，∵点M（3，1）、N（3，﹣1），P（5，﹣1），∴只有点M在第一象限，∴点M可以是点A的二次反射点，故答案为：点M；（2）∵点A在第一象限，∴点A1，A2在第四象限，在x轴正半轴取点B、在直线l第四象限内取点C、在y轴负半轴上取点D，如图1所示：则∠COD＝∠BOC，∠A1OC＝∠A2OC，∠AOB＝∠A1OB，分两种情况：①当射线OA与y轴所夹锐角的度数大于45°时，如图1所示：∵△OA1A2为等边三角形，∴∠A1OC＝∠A2OC＝∠A1OA2＝×60°＝30°，∴∠AOB＝∠A1OB＝45°﹣∠A1OC＝45°﹣30°＝15°，∴射线OA与y轴所夹锐角的度数为：90°﹣15°＝75°；②当射线OA与y轴所夹锐角的度数小于45°时，如图2所示：∵△OA1A2为等边三角形，∴∠A1OC＝∠A2OC＝∠A1OA2＝×60°＝30°，∴∠AOB＝∠A1OB＝45°+∠A1OC＝45°+30°＝75°，∴射线OA与y轴所夹锐角的度数为：90°﹣75°＝15°；综上所述，射线OA与y轴所夹锐角的度数为75°或15°；（3）∵点E（1，n）、F（2，n），∴点E、F的二次反射坐标为（n，﹣1）、（n，﹣2），∴当n≤0时，以EF为边的正方形的二次反射图形与直线x＝3没有公共点，∴n＞0，∴以EF为边的正方形的范围为：，∴正方形一次反射的范围为：，正方形二次反射的范围为：，∵以EF为边的正方形的二次反射图形与直线x＝3有公共点，∴，∴2≤n≤4，故答案为：2≤n≤4．9．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝15，OC＝12，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处．（1）求CE和OD的长；（2）求直线DE的表达式；（3）直线y＝kx+b与AE所在的直线垂直，当它与矩形OABC有公共点时，求出b的取值范围．【解答】解：（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，∴在Rt△ABE中，AE＝AO＝15，AB＝OC＝12，BE＝＝＝9，∴CE＝15﹣9＝6，在Rt△DCE中，DC2+CE2＝DE2，又∵DE＝OD，∴（12﹣OD）2+62＝OD2，∴OD＝7.5．（2）∵CE＝6，∴E（6，12）．∵OD＝7.5，∴D（0，7.5），设直线DE的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴直线DE的解析式为y＝x+．（3）∵直线y＝kx+b与AE所在的直线垂直，DE⊥AE，∴直线y＝kx+b与DE平行，∴直线为y＝x+b，∴当直线经过A点时，0＝×15+b，则b＝﹣，当直线经过C点时，则b＝12，∴当直线y＝kx+b与矩形OABC有公共点时，﹣≤b≤12．10．规定：若直线l与图形M有公共点，则称直线l是图形M的关联直线．已知：矩形ABCD的其中三个顶点的坐标为A（t，0），B（t+2，0），C（t+2，3）（1）当t＝1时，如图以下三个一次函数y1＝x+4，y2＝﹣x+2，y3＝x+2中，y2＝﹣x+2，y3＝x+2是矩形ABCD 的关联直线；（2）已知直线l：y＝x+2，若直线l是矩形ABCD的关联直线，求t的取值范围；（3）如果直线m：y＝tx+2（t＞0）是矩形ABCD的关联直线，请直接写出t的取值范围．【解答】解：（1）当t＝1时，A（1，0），B（3，0），C（3，3），D（1，3），则三个一次函数y1＝x+4，y2＝﹣x+2，y3＝x+2中，y2＝﹣x+2，y3＝x+2是矩形ABCD的关联直线；故答案为：y2＝﹣x+2，y3＝x+2；（2）由矩形的性质得D（t，3），当y＝3时，t+2＝3，解得t＝1；当y＝0时t+2+2＝0，解得t＝﹣4．故t的取值范围为﹣4≤t≤1；（3）由矩形的性质得D（t，3），当y＝3时，t2+2＝3，解得t＝±1（负值舍去）．故t的取值范围为0＜t≤1．11．在平面直角坐标系xOy中，直线x＝5与直线y＝3，x轴分别交于点A，B，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A且与x轴交于点C（9，0）．（1）求直线y＝kx+b的表达式；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．①结合函数图象，直接写出区域W内的整点个数；②将直线y＝kx+b向下平移n个单位，当平移后的直线与区域W没有公共点时，请结合图象直接写出n的取值范围．【解答】解：（1）由图可得，点A的坐标为（5，3），∵直线y＝kx+b过点A（5，3），点C（9，0），∴，得，即直线y＝kx+b的表达式是y＝x+；（2）①由图象可得，区域W内的整点的坐标分别为（6，1），（6，2），（7，1），即区域W内的整点个数是3个；②由图象可知，当点A向下平移3个单位长度时，直线y＝kx+b与区域W没有公共点，即n的取值范围是n≥3．【3：一次函数与极值问题】1．定义：已知点P（n，0）在x轴上，过点P作直线m∥y轴，将函数l的图象沿直线m折叠，得到新的函数l′的图象，我们称函数l′是函数l关于直线m的“相关”函数．例如：当n＝0时，函数y＝x+1的“相关”函数为y＝﹣x+1．（1）已知：一次函数y＝x﹣1．①当n＝1时，它的“相关”函数为y＝﹣x+1；②当它的“相关”函数为y＝﹣x+3，则n＝2；（2）如图1，直线y＝x与x轴、y轴分别交于点A、C，当n＝0时，它的“相关”函数交x轴于点B；当直线m经过点A时，点C关于直线m的对称点为D，请判断四边形ABCD的形状，并证明；（3）如图2，若n≠0，当n﹣2≤x≤n+4时，函数y＝2x﹣1的“相关”函数图象上的点到x轴距离的最小值为3，求n的值．【解答】解：（1）①当n＝1时，如图3中，直线y＝x﹣1交x轴于C（1，0），交y轴于A（0，﹣1），∵n＝1，∴点A关于直线x＝1的对称点A′（2，﹣1），∴直线AC′的解析式为y＝﹣x+1；故答案为y＝﹣x+1．②∵直线y＝﹣x+3交x轴于（3，0），点（1，0）和点（3，0）的中点为（2，0），∴n＝2．故答案为2．（2）如图2中，四边形ABCD是菱形．理由：∵直线y＝x+交x轴于A（﹣1，0），交y轴于C（0，），A，B关于原点对称，∴B（1，0），∴AB＝2，CB＝＝2，∵C，D关于直线x＝﹣1对称，∴D（﹣2，），∴CD＝2，AD＝＝2，∴AD＝CD＝AB＝CB，∴四边形ABCD是菱形．（3）如图2﹣1中，当n＞时，∵M（n+4，3）与N（n﹣4，3）关于直线x＝n对称，∴3＝2（n﹣4）﹣1，解得n＝6．如图2﹣2中，当n＜时，∵M（n+2，﹣3）与N（n﹣2，﹣3）关于直线x＝n对称，∴﹣3＝2（n+2）﹣1，解得n＝﹣3．综上所述，满足条件的n的值为6或﹣3．2．阅读理解题：【定义】对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应函数值相等．我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y＝x﹣1，它的相关函数为y＝．（1）已知点A（﹣2，5）在一次函数y＝ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；（2）已知一次函数y＝﹣2x+3．①若点B（t，﹣4）在这个函数的相关函数的图象上，求t的值；②当﹣1≤x≤2时，求函数y＝﹣2x+3的相关函数的最大值和最小值．【解答】（1）函数y＝ax﹣3的相关函数是，∵﹣2＜0，∴2a+3＝5，∴a＝1；（2）y＝﹣2x+3的相关函数是，①当t＜0时，2t﹣3＝﹣4，解得t＝﹣0.5；当t≥0时，﹣2t+3＝﹣4，解得t＝3.5；∴t＝﹣0.5或3.5；②当﹣1≤x＜0时，y＝2x﹣3随着x的增大而增大，∴﹣5≤y＜﹣3；当0≤x≤2时，y＝﹣2x+3随着x的增大而减小，∴﹣1≤y≤3；∴最小值为﹣5，最大值为3．3．对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜1时，它们对应的函数值互为相反数：当x≥1时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数，例如：一次函数y＝x﹣4，它的相关函数为y＝（1）一次函数y＝﹣x+5的相关函数为y＝．（2）已知点A（b﹣1，4），点B坐标（b+3，4），函数y＝3x﹣2的相关函数与线段AB有且只有一个交点，求b 的取值范围；（3）当b+1≤x≤b+2时，函数y＝﹣3x+b2的相关函数的最小值为﹣3，求b的值．【解答】解：（1）由题意得：一次函数y＝﹣x+5的相关函数为y＝；故答案为：y＝；（2）函数y＝3x﹣2的相关函数是y＝，如图1和2所示，﹣3x+2＝4，x＝﹣，3x﹣2＝4，x＝2，∵点A（b﹣1，4），点B坐标（b+3，4），∴AB＝4，AB∥x轴∵函数y＝3x﹣2的相关函数与线段AB有且只有一个交点，且CD＝2+＜4，∴或，解得：＜b≤3或﹣≤b＜﹣1；（3）函数y＝﹣3x+b2的相关函数为y＝，①当b+2＜1时，b＜﹣1，此时当x＝b+1时取得最小值，则有﹣3＝3（b+1）﹣b2，整理得：b2﹣3b﹣6＝0，解得b＝或（舍弃），②当b+1≥1时，b≥0，此时当x＝b+2时取得最小值，则有﹣3＝﹣3（b+2）+b2，整理得：b2﹣3b﹣3＝0．解得b＝或（舍弃），③当b+1＜1≤b+2时，﹣1≤b＜0，此时当x＝b+2时取得最小值，则有﹣3＝﹣3（b+2）+b2，整理得：b2﹣3b﹣3＝0．解得b＝（舍弃）或，综上所述，满足条件的b的值为或或．【4：一次函数与增减性问题】1．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴的正半轴上，OA＝6，点B在直线y＝上，直线l：y＝kx+与折线AB﹣BC有公共点．（1）点B的坐标是（8，6）；（2）若直线l经过点B，求直线l的解析式：（3）对于一次函数y＝kx+（k≠0），当y随x的增大而减小时，直接写出k的取值范围．【解答】解：∵OA＝6，矩形OABC中，BC＝OA∴BC＝6..．∵点B在直线y＝上，∴6＝x，解得x＝8故点B的坐标为（8，6）故答案为（8，6）（2）将点B（8，6）代入y＝kx+得6＝8k+，解得k＝..．∴直线l的解析式：y＝x+．（3）∵一次函数y＝kx+（k≠0）y随x的增大而减小，∴k＜0，∵当函数y＝kx+（k≠0）经过点C时，0＝8k+，∴，∵直线y＝kx+与折线AB﹣BC有公共点，∴，∴．2．对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数，对于分段函数．在自变量x不同的取值范围内，对应的函数表达式可以不同，例如：y＝是分段函数，当m＝0时分段函数可表示为y＝．（1）当m＝1时，①直接写出此分段函数的表达式，并在平面直角坐标系内画出相应的函数图象；②当﹣3≤x≤4时，直接写出函数值y的收值范围；③当﹣4≤y≤2时，直接写出自变量x的取值范围；（2）已知点A的坐标（﹣3，1），点B的坐标（3，1）．当函数y＝的图象与直线AB有两个公共点时，求m的取值范围；（3）已知点A的坐标（﹣3，1），点B的坐标（3，1），过点A、B向x轴作垂线，垂足为D、C．依次连接点A、B、C、D得到长方形ABCD，当函数y＝在长方形ABCD内部的图象是y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．【解答】解：（1）①y＝．②当﹣3≤x＜1时，函数y＝x+2（x＜1）随x增大而增大．当x＝﹣3时，y＝﹣1，当x＝1时，y＝3，∴﹣1≤y＜3．当1≤x≤4时，函数y＝﹣x+2（x≥1）随x增大而减小．当x＝1时，y＝1，当x＝4时，y＝﹣2，∴﹣2≤y≤1．综上所述，当﹣3≤x≤4时，﹣2≤y＜3．③∵﹣x+2＝﹣4时，x＝6，x+2＝﹣4时，x＝﹣6，x+2＝2时，x＝0，∴结合图象可得﹣4≤y≤2时，﹣6≤x≤6．（2）当函数y＝的图象与直线AB有两个公共点时，y＝﹣x+2（x≥m）与AB有一个交点，y＝x+2（x＜m）与AB有一个交点，即﹣3＜m≤3，y＝﹣x+2（x≥m）与直线x＝m交点（m，﹣m+2）在AB上或AB上方，与直线x＝3交点（3，﹣1）在AB下方，y＝x+2（x＜m）与直线x＝﹣3交点（﹣3，﹣1）在AB下方，与直线x＝m交点（m，m+2）在AB上方，∴，解得﹣1＜m≤1．（3）直线y＝﹣x+2（x≥m）或直线y＝x+2（x＜m）落在矩形内部符合题意，当直线x＝m在AD左侧或在BC右侧时满足题意，∴m≥3或m≤﹣3，当﹣3＜m＜3时，y＝﹣x+2（x≥m）与直线x＝m交点（m，﹣m+2）在CD下方满足题意，即﹣m+2＜0，解得m＞2，y＝x+2（x＜m）与直线x＝m交点（m，m+2）在CD上或CD下方满足题意，即m+2≤0，解得m≤﹣2，综上所述，m＞2或m≤﹣2．【5：一次函数与整数点问题】1．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫作整点，直线y＝kx﹣3（k＞0）与坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）有且只有三个整点，则k的取值范围是（）A．≤k≤B．≤k＜1C．≤k＜1D．≤k＜1【解答】解：如图：直线y＝kx﹣3（k＞0），一定过点（0，﹣3），把（3，0）代入y＝kx﹣3得，k＝1；把（3，﹣1）代入y＝kx﹣3得，k＝；直线y＝kx﹣3（k＞0），与坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）有且只有三个整点，则k的取值范围为≤k＜1，故选：C．2．在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（）A．≤t＜2B．＜t≤1C．1＜t≤2D．≤t≤2且t≠1【解答】解：∵y＝tx+2t+2＝t（x+2）+2（t＞0），∴直线y＝tx+2t+2（t＞0）经过点（﹣2，2），如图，当直线经过（0，3）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则3＝2t+2，解得t＝；当直线经过（0，6）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则6＝2t+2，解得t＝2；当直线经过（0，4）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，则4＝2t+2，解得t＝1；∴直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是≤t≤2且t≠1，故选：D．3．直角坐标系中，我们定义横、纵坐标均为整数的点为整点在0＜x＜3内，直线y＝x+2和y＝﹣x所围成的区域中，整点一共有（）A．8个B．7个C．6个D．5个【解答】解：当x＝1时，y＝x+2＝3，y＝﹣x＝﹣1，∴横坐标为1的整点有3个，分别为（1，0），（1，1），（1，2）；当x＝2时，y＝x+2＝4，y＝﹣x＝﹣2，∴横坐标为2的整点有5个，分别为（2，﹣1），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3）．∴在0＜x＜3内，直线y＝x+2和y＝﹣x所围成的区域中整点一共有8个．故选：A．4．在平面直角坐标系xOy中，过点A（5，3）作y轴的平行线，与x轴交于点B，直线y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）经过点A且与x轴交于点C（9，0）．我们称横、纵坐标都是整数的点为整点．（1）记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．请你结合函数图象，则区域W内的整点个数为3；（2）将直线y＝kx+b向下平移n个单位（n≥0），若平移后的直线与线段AB，BC围成的区域（不含边界）存在整点，请结合图象写出n的取值范围≤n＜．【解答】解（1）由图象可得，区域W内的整点的坐标分别为（6，1），（6，2），（7，1），即区域W内的整点个数是3个，故答案为3；（2）∵直线y＝kx+b过点A（5，3），点C（9，0），∴，∴，即直线y＝kx+b的表达式是y＝﹣x+设平移后的直线解析式是y＝﹣x+m，把（6，2）代入得，2＝﹣+m，解得m＝，则﹣＝，把（6，1）代入得，1＝﹣+m，解得m＝，则﹣＝，由图象可知，将直线y＝kx+b向下平移n个单位（n≥0），若平移后的直线与线段AB，BC围成的区域（不含边界）存在整点，请结合图象写出n的取值范围≤n＜．故答案为≤n＜．。
参数范围问题—常见解题6法
参数范围问题—常见解题6法求解参数的取值范围是一类常见题型．近年来在各地的模拟试题以及高考试题中更是屡屡出现．学生遇到这类问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍几种解决这类问题的策略和方法．一、确定“主元”思想常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量．例1.对于满足0的一切实数，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范围．分析：习惯上把x当作自变量，记函数y= x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p时y>0恒成立，求x的范围．解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的．若把x与p两个量互换一下角色，即p视为变量，x为常量，则上述问题可转化为在[0,4]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题．解：设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，当x=1时显然不满足题意．由题设知当0时f(p)>0恒成立，∴f(0)>0,f(4)>0即x2-4x+3>0且x2-1>0，解得x>3或x<-1．∴x的取值范围为x>3或x<-1．二、分离变量对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。
例2．若对于任意角总有成立，求的范围．分析与解：此式是可分离变量型，由原不等式得，又，则原不等式等价变形为恒成立．根据边界原理知，必须小于的最小值，这样问题化归为怎样求的最小值．因为即时，有最小值为0，故．评析：一般地,分离变量后有下列几种情形：①f(x)≥g(k)[f(x)]min≥g(k)②f(x)> g(k) g(k) < [f(x)] min③f(x)≤g(k)[f(x)] max≤g(k)④f(x)<g(k) [f(x)] max < g(k)三、数形结合对于含参数的不等式问题，当不等式两边的函数图象形状明显，我们可以作出它们的图象，来达到解决问题的目的．例3．设，若不等式恒成立，求a的取值范围．分析与解：若设函数，则，其图象为上半圆．设函数，其图象为直线．在同一坐标系内作出函数图象如图，依题意要使半圆恒在直线下方，只有圆心到直线的距离且时成立，即a的取值范围为．四、分类讨论当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时，应用分类讨论的方法来处理，分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素，为问题的解决提供新的条件。
近年高考试题中四类求参数取值范围的统一解法
以 下 几种 ：
增，Ｇ （ ）≥０，Ｆ（ｘ）～Ｆ （Ｏ）ｚ≥０（当且仅 当 ５＝ ０时等号成
官方提 供的方 法通常 是利用 题 目的第 １问或第 １Ｉ问 的 立）．故 ，对于任意 Ｘ≥０，都有 Ｆ（５）≥Ｆ （０）ｚ恒成立．
结果对参数分类讨 论，通过正 、反两个方面逐步筛选 出结果 ．
使用定理 １可 以解决 以下题 目：
恒成立，所 以 １≤０，０的取值范围是 『１，＋。。）．
题型 二 对 于任意 ≥０，都有 Ｖ（ｘ）≤ ｎ 恒 成立，求 实
题型三 对 于任意 ｚ≥０，都有 Ｆ（ｘ）≥ｎｚ。恒成立，求实
数 。的取 值 范 围 ．
数 。的取 值 “对 于 任 意 ≥ ０，都有 Ｆ（ｚ）≤
近年 高考试题 中四类 求参数取值范 围的统一解 法
广 东省佛 山市南海 区石 门高级 中学 （５２８２２５） 徐正印 梁爱海
根据 含参数不 等式恒 成立求参 数取 值范 围的 问题 常常
证 明 设 ｖ（５）＝ Ｆ（５）一Ｆ （０）ｚ（ ≥ Ｏ），则 ｃ（ｏ）＝ ０，
是高考 的压轴题．这类题 目灵活多变，解法多种多样，大致有 Ｇ （ ）： Ｆ （ｚ）一Ｆ （０），Ｇ （ｚ）＝Ｆ （ ）≥ ０，Ｇ （ｚ）单 调递
容 易理 解，若 能证 明 “对 于任 意 ≥ ０，都 有 Ｆ（ｚ）≥
Ｆ （０） 恒成立 ”，则 Ｆ （０）≤Ⅱ．
题 目 ４ （选 自 ２０１６ 年 劢 课 标 卷 ＩＩ文 科 ）已 知 凼 数
数 ａ的取值范 围．
，（ｚ）： （ｚ＋ １）ＩｎＸ— ａ（ｘ一 １），若 对 于 任 意 的 Ｘ ＞ １，都
容 易 理解 ，若 能 证 明 “对 于 任 意 ｚ ≥ ０，都有 Ｆ ）≥ 有 ，（ｚ）＞０恒成立，求实数 ａ的取值 范围．