07-无穷小与无穷大课件
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无穷小量与无穷大量ppt课件
例如, 函数
当
但
所以
时 ,
不是无穷大 !
*
三、无穷小量与无穷大量的关系
若
为无穷大,
为无穷小 ;
若
为无穷小, 且
则
为无穷大.
则
据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
定理2. 在自变量的同一变化过程中,
说明:
*
内容小结
1. 无穷小与无穷大的定义
2. 无穷小与函数极限的关系
Th1
第一章
二、 无穷大量
三 、 无穷小量与无穷大量的关系
一、 无穷小量
第四节
无穷小量与无穷大量
*
当
一、 无穷小量
定义1 . 若
时 , 函数
则称函数
例.
函数
当
时为无穷小;
函数
时为无穷小;
函数
当
为
时的无穷小量 ,简称无穷小.
时为无穷小.
即：极限为零的变量(函数)称为无穷小.
*
注:
（1）除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !
的 x , 总有
使对
若在定义中将 ①式改为
①
则记作
(正数 X ) ,
记作
总存在
则称函数
当
时为无穷大量,
*
注
1° 不可把无穷大与很大的固定的数混为一谈,
无穷大是变量，而再大的固定的数也是常量；
3°
2°不能笼统地说某函数是无穷大，
而应当说
函数是自变量趋向某个值时的无穷大；
*
4° 无穷大与无界的关系
3. 无穷小与无穷大的关系
Th2
*
高教社2024高等数学第五版教学课件-1.4 无穷小与无穷大
是无穷小.
1
因为
→∞
=0
2．无穷大量
定义2
如果函数 = ()的绝对值在自变量的某一变化过
程中无限增大，则称函数 = ()为无穷大量，记作 () = ∞.
例如，因为 = ∞，所以 是 → ∞时的无穷大；因为
→+∞
1
→0
=
1
示()的绝对值无限变大且都是负值，而后者表示()的绝对值无限
变小，趋于零.
3．无穷小与无穷大的关系
定理1
1
在自变量的同一变化过程中，如果()是无穷大，则
是
()
无穷小；反之，如果()是无穷小，且() ≠
例如，当 →
1时， 2
1
0，则
是无穷大.
()
1
− 1是无穷小，而 2 是无穷大.
⑴称一个函数()是无穷小，必须指明自变量的变化趋势，如
3 + 1是当 → −1时的无穷小，但当 → 0时就不是无穷小.
⑵ 不要把一个绝对值很小的非零常数(如10−100 )说成是无穷小，
因为这个数的极限不为0.
⑶ 数“0”可以看成无穷小.（是唯一可作为无穷小的常数）
1
⑷ 无穷小的定义对数列也适用，例如数列{ }，当 → ∞时，就
∞，所以 是
→ 0时的无穷大.
这里，虽然使用了极限的符号 () = ∞，但并不意味着
()有极限. 因为，根据极限的定义，极限值必须是常数. 然而∞不
是常数，它只表示()的绝对值无限变大的一种变化趋势.
注意：⑴ 称一个函数()是无穷大，必须指明自变量的变化趋势，
1
是当
′
′
1
因为
→∞
=0
2．无穷大量
定义2
如果函数 = ()的绝对值在自变量的某一变化过
程中无限增大，则称函数 = ()为无穷大量，记作 () = ∞.
例如，因为 = ∞，所以 是 → ∞时的无穷大；因为
→+∞
1
→0
=
1
示()的绝对值无限变大且都是负值，而后者表示()的绝对值无限
变小，趋于零.
3．无穷小与无穷大的关系
定理1
1
在自变量的同一变化过程中，如果()是无穷大，则
是
()
无穷小；反之，如果()是无穷小，且() ≠
例如，当 →
1时， 2
1
0，则
是无穷大.
()
1
− 1是无穷小，而 2 是无穷大.
⑴称一个函数()是无穷小，必须指明自变量的变化趋势，如
3 + 1是当 → −1时的无穷小，但当 → 0时就不是无穷小.
⑵ 不要把一个绝对值很小的非零常数(如10−100 )说成是无穷小，
因为这个数的极限不为0.
⑶ 数“0”可以看成无穷小.（是唯一可作为无穷小的常数）
1
⑷ 无穷小的定义对数列也适用，例如数列{ }，当 → ∞时，就
∞，所以 是
→ 0时的无穷大.
这里，虽然使用了极限的符号 () = ∞，但并不意味着
()有极限. 因为，根据极限的定义，极限值必须是常数. 然而∞不
是常数，它只表示()的绝对值无限变大的一种变化趋势.
注意：⑴ 称一个函数()是无穷大，必须指明自变量的变化趋势，
1
是当
′
′
《无穷小无穷大》课件
无穷小是极限为零的变量或函数。
无穷小是数学分析中的一个重要概念，是 研究函数极限和连续性的基础。
无穷小是相对于自变量的某个变化范围而 言的，不是绝对的零。
无无穷小的性质
无穷小具有局部性、相对 性和极限性。
无穷小是相对于自变量的 某个变化趋势而言的，不 是绝对的零。
无穷小具有可加性、可减 性、可乘性和可除性等性 质。
无穷大的应用
无穷大在数学分析、实数理论、集合论等领域有着广泛的应用，是研究数学的基 础概念之一。
在实际应用中，无穷大可以用来描述物理现象和工程问题，例如在电路分析中， 无穷大可以用来表示电源电压或电流的极限值。
04
无穷小与无穷大的关系
无穷小与无穷大的关系
无穷小是无穷大的基 础
无穷小是无限趋近于0的数，而无穷 大是无限增大的数。无穷小和无穷大 之间的关系是相互依存的，无穷小是 无穷大的基础，因为任何无穷大的数 都可以分解为无穷小的数相加或相乘 。
无穷大分为实无穷和潜无穷两种类型 ，实无穷认为存在一个最大的数或集 合，而潜无穷则认为数列或集合可以 无限地增大而没有最大值。
无穷大的性质
01
无穷大具有传递性，即如果一个 数或集合大于另一个数或集合， 且后者大于另一个数或集合，则 前者也大于后者。
02
无穷大具有不可比较性，即无法 比较两个无穷大的大小，因为它 们都超出了任何有限的界限。
无穷级数和无穷乘积是微积分中的重 要工具，无穷小和无穷大在它们的计 算和证明中也有着重要的应用。
导数和积分
导数和积分是微积分中的重要概念， 无穷小和无穷大在导数和积分的计算 中也有着重要的应用。
物理中的应用
相对论
在相对论中，时间和空间都是相 对的，无穷小和无穷大在相对论 中有着重要的应用，例如光速的
第四节无穷小与无穷大
f (2nπ ) = 2 nπ → ∞ (当 n → ∞ )
但 所以
f ( π + nπ ) = 0 2
y
y = x cos x
x → ∞ 时 , f ( x) 不是无穷大 !
o
x
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结束
1 例 . 证明 lim =∞ x →1 x − 1 1 1 证: 任给正数 M , 要使 > M , 即 x −1 < , M x −1 1 只要取 δ = , 则对满足 0 < x − 1 < δ 的一切 x , 有 M 1 y 1 >M y= x −1 x −1 1 = ∞. 所以 lim o 1 x x →1 x − 1
x → x0
f ( x) = A + α , 其中α 为 x → x0
时的无穷小量 .
∀ε > 0 , ∃δ > 0 , 当 0 < x − x0 < δ 时,有 f ( x) − A < ε
α = f ( x) − A
x → x0
lim α = 0
对自变量的其它变化过程类似可证 .
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( lim f ( x) = ∞ )
x →∞
若在定义中将 ①式改为 f ( x) > M ( f ( x) < − M ) , 则记作 lim f ( x) = +∞ ( lim f ( x) = − ∞)
x → x0 ( x →∞ ) x → x0 ( x →∞ )
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结束
注意: 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 f ( x) = x cos x , x ∈ (−∞ , + ∞ )
《无穷小于无穷大》PPT课件
界变量.（2）当x 0时，f (x)不是无穷大.
证 (1) 任给M 0(无论M多么大），存在k N+ ,
使
xk
1
2k
(0,1).
于是
f
( xk
)
2k
2
,
2
当k充分大时, f (xn ) M . 无界，
(2)
取
xk
1
2k
(k 0,1, 2,3, )
对任意正数 ，当k充分大时, xk ,
f (x)
当x
x0时,
f
1 为无穷小. (x)
函数与极限
14
反之,设 lim f ( x) 0,且 f ( x) 0.
M
x x0
0, 对
1 M
,
0,使得当0
x x0
时
恒有 f (x) 1 , 由于 f ( x) 0, 从而 1 M .
M
f (x)
当x
x0时,
f
1 为无穷大. (x)
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
函数与极限
15
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1、主要内容: 2、几点注意:
（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混 淆，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. （3） 无界变量未必是无穷大.
第四节 无穷小与无穷大 一、无穷小的概念
1.定义: 极限为零的变量称为无穷小.
定义 1 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),
总 存 在 正 数 ( 或 正 数 X ), 使 得 对 于 适 合 不 等 式
0 x x0 (或 x X )的一切 x,对应的函数值
证 (1) 任给M 0(无论M多么大），存在k N+ ,
使
xk
1
2k
(0,1).
于是
f
( xk
)
2k
2
,
2
当k充分大时, f (xn ) M . 无界，
(2)
取
xk
1
2k
(k 0,1, 2,3, )
对任意正数 ，当k充分大时, xk ,
f (x)
当x
x0时,
f
1 为无穷小. (x)
函数与极限
14
反之,设 lim f ( x) 0,且 f ( x) 0.
M
x x0
0, 对
1 M
,
0,使得当0
x x0
时
恒有 f (x) 1 , 由于 f ( x) 0, 从而 1 M .
M
f (x)
当x
x0时,
f
1 为无穷大. (x)
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
函数与极限
15
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1、主要内容: 2、几点注意:
（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混 淆，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. （3） 无界变量未必是无穷大.
第四节 无穷小与无穷大 一、无穷小的概念
1.定义: 极限为零的变量称为无穷小.
定义 1 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),
总 存 在 正 数 ( 或 正 数 X ), 使 得 对 于 适 合 不 等 式
0 x x0 (或 x X )的一切 x,对应的函数值
无穷小与无穷大及四则运算课件
宁波职业技术学院数学教研室
高等数学 Advanced Mathematics
注意！
?1? 无穷大不是数 ,而是当 x ? x0 ?或x ? ? ?时极限
为 ? 的函数 ,因此要把无穷大与很大 的数分开 .
?2? 无穷大必须指明自变 量的变化趋向 .
?3? 极限 为? ，但极限仍然不存在。
简言之 ，极限为 无穷 的量叫做无穷大量 .
1.5
0.3 0.03 …
0.25 0.01 0.0001 …
10
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高等数学 Advanced Mathematics
3、无穷小的比较
定义 设? 和?是同一变化过程中的两个无穷小，
即lim ? =0和lim?=0
(１) 如果
? lim ?
?
0
，那么称? 是?的高阶无穷小
(２)
? lim 1 ? 0, ? 函数 1 是当 x ? ? 时为无穷小
x? ? x
x
5
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高等数学 Advanced Mathematics
例1 判断下列函数哪些是无穷小，哪些不是无穷小。
(1) f (x) ? 0(x ? 3)
? lim 0 ? 0 x? 3
0是当 x ? 3 时为无穷小 (2) 1 (x ? 1)
4
宁波职业技术学院数学教研室
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一、 无穷小概念
1.无穷小的定义
如果当 x ? x（0 或 x ? ?）时，函数f(x)的极限是零，那么称函 数f(x)当 x ? x（0 或 x ? ?）时为无穷小。常用? , ? ,?表示
? ? 例 ? lim x3 ? 27 ? 0, ? x3 ? 27是当x ? 3时为无穷小 . x? 3
《无穷大无穷小》课件
导数定理
导数定理是微积分学中的基本定理之一，它建立了函数在某点的导数与该点附近切线的斜率之间的关系。导数定理是研究函数行为和性质的重要工具，特别是在处理无穷大和无穷小的情况时。
中值定理
中值定理是导数定理的一种特殊形式，它说明如果一个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，那么在开区间内至少存在一点，使得该点处的导数等于函数在该区间内的平均变化率。这个定理对于理解函数在无穷大或无穷小处的行为非常有帮助。
பைடு நூலகம்5
无穷大与无穷小的实际应用案例
总结词
物理学中，无穷大与无穷小概念的应用广泛，涉及天体运动、量子力学等领域。
详细描述
在天文学中，宇宙的尺度是无穷大的，而黑洞、奇点等天体现象则体现了无穷小的概念。在量子力学中，粒子波函数的无穷大和无穷小描述了微观粒子的状态和行为。
总结词
物理学中的无穷大与无穷小有助于揭示自然界的基本规律和现象。
通过几个具体的例子，如切线斜率、高阶无穷小等，来解释无穷小的应用。
总结词
切线斜率是无穷小的一个实例，当函数在某点的导数为0时，该点处的切线斜率为无穷小；高阶无穷小也是一个重要的概念，表示比其他无穷小更高的阶数，在数学分析中有着广泛的应用。
详细描述
VS
无穷小的应用包括泰勒级数展开、微积分基本定理、函数的连续性和可导性等方面。
在物理学中，无穷大与无穷小的概念可以用来描述一些极端情况下的物理现象，例如黑洞、宇宙大爆炸等。
在经济学中，无穷大与无穷小的概念可以用来描述一些极端情况下的经济行为和风险。
04
无穷大与无穷小的数学定理
极限定理
01
极限定理是研究函数极限的重要工具，它描述了函数在无穷大或无穷小处的性质和行为。根据极限定理，函数在某点的极限值可以通过该点附近的函数值来逼近，这是函数极限定义的基础。
《高等数学》无穷小与无穷大、无穷小的比较 ppt课件
取 Xma X 1,x X2 { }当 , x X时,恒有
, 22
0 (x )
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
例如 ,n时,1是无穷小， n
但n个1之和1不 为是无.穷小 n
定理 3
有界函数与无穷小的乘积是无穷 小.
证 设函u在 数 U(x0,1)内有界，
则 M 0 ,10 ,使0 得 x当 x 01 时 恒u 有 M .
2. 函数的极限与无穷小量的关系
分析
若 x l x 0 i f ( x ) m a ,则 0 ,当 0 |x x 0 | 时 , |f ( x ) a | |( f ( x ) a ) 0 | ,
即x当 x0时 , f(x)a是一个.无穷 令 ( x ) f ( x ) a , 则 ( x ) 0 ( x x 0 ) , 且 f( x ) a ( x )( x x 结论 ?
定理1
limf (x)a f(x) a (x),
xx0 (x)
其 ,( x ) 0 中 ( x x 0 , ( x ) .)
由此可看出, 寻找函数极限运算法则 可归结为寻找无穷小量的运算法则.
意义
1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷 小);
2.给出了函 f(x数 )在x0附近的近似表 f(x)A,误差为 (x).
3.无穷小的运算性质:
定理2
在同一极限过程中,有限个无穷小的代 数和仍是无穷小.
定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍 是无穷小.
证 设及是当 x时的两个, 无穷小
0, X 10,X 20,使得
当xX1时恒 有 2; 当xX2时恒 有 2;
limx2 .
x
(ii) y x3,
limx3 . (iii), (iv) 自己画
, 22
0 (x )
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
例如 ,n时,1是无穷小， n
但n个1之和1不 为是无.穷小 n
定理 3
有界函数与无穷小的乘积是无穷 小.
证 设函u在 数 U(x0,1)内有界，
则 M 0 ,10 ,使0 得 x当 x 01 时 恒u 有 M .
2. 函数的极限与无穷小量的关系
分析
若 x l x 0 i f ( x ) m a ,则 0 ,当 0 |x x 0 | 时 , |f ( x ) a | |( f ( x ) a ) 0 | ,
即x当 x0时 , f(x)a是一个.无穷 令 ( x ) f ( x ) a , 则 ( x ) 0 ( x x 0 ) , 且 f( x ) a ( x )( x x 结论 ?
定理1
limf (x)a f(x) a (x),
xx0 (x)
其 ,( x ) 0 中 ( x x 0 , ( x ) .)
由此可看出, 寻找函数极限运算法则 可归结为寻找无穷小量的运算法则.
意义
1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷 小);
2.给出了函 f(x数 )在x0附近的近似表 f(x)A,误差为 (x).
3.无穷小的运算性质:
定理2
在同一极限过程中,有限个无穷小的代 数和仍是无穷小.
定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍 是无穷小.
证 设及是当 x时的两个, 无穷小
0, X 10,X 20,使得
当xX1时恒 有 2; 当xX2时恒 有 2;
limx2 .
x
(ii) y x3,
limx3 . (iii), (iv) 自己画
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x3
x3
x
x0 x
M 0 ， 0 ，当 0 x x0 时，恒有 f x M .
定理 在自变量 x 的同一变化过程中
，
如果 f x 是无穷大，
则
f
1
x
是无穷小 ；
如果
f
x
是无穷小，且
f
x
0
，则
f
1
x
是无穷大 .
比如，由 limx 3 0 可得lim 1 .
x3
x3
无穷大
如果函数 f x 当 x x0 (或 x )时,
其绝对值 f x 无限增大，则称函数 f x
为
当 x x0 （或 x ）时的无穷大.
定义 设函数 f x 在 x0 的某一去心邻域内有
定义（或 x 大于某一正数时有定义）. M 0 ，
0（或 X 0 ），当 0 x x0 （或 x X ）时
恒有 f x M ，则称函数 f x 为
x x0 （或 x ）时的无穷大.
(infinity)
注 1.我们也说“函数的极限为无穷大”，并记作
lim f x 或 lim f x , 等等
xx0
x
如果 lim f x 或 lim f x ，则
xx0
x x0
直线 x x0 是函数 y f x 的图形的铅直渐近线.
(vertical asymptote)
2 . lim f x ， lim f x ，
xx0
x
lim f x ，等等
xx0
例 证明lim 1 .
y
x0 x
1
O1
y1 x
x
例 证明lim 1 . x0 x
证明 M 0 ， 要使 1 M ，只要 x 1 ，
x
M
取 1 ，则当0 x 0 时
无穷小与无穷大
lim
ln x
1 e x3
x2 x2 1
无穷小与无穷大
无穷小
定义 如果 f x当 x x0（或 x ）时的极限为零，
则称 f x为当 x x0 （或 x ）时的无穷小.
(infinitesimal)
特别地，以零为极限的xn也称为n 时的无穷小.
比如，因为lim 1 0 ，所以 1 是 x 时的无穷小.
x x
x
注：1.除了常数 0 是无穷小，其他任何常数，
即便是这个数的绝对值很小很小，都不是无穷小 .
2. 无穷小是以零为极限的函数.
定理 在自变量 x 的同一变化过程中，函 数
f x 有极限 A 的充分必要条件
是
f x A x，其中 x 是无穷小.
比如，由 lim x 3 可得lim x 3 0 .