结构优化设计理论基础精讲
船舶结构优化设计的理论与实践
船舶结构优化设计的理论与实践船舶作为人类在海洋上的重要交通工具和工程装备，其结构的安全性、可靠性和经济性一直是船舶设计领域的核心关注点。
船舶结构优化设计旨在通过科学的方法和技术，在满足各种性能要求的前提下，实现结构重量最轻、强度和刚度最佳、成本最低等目标。
本文将从理论和实践两个方面对船舶结构优化设计进行探讨。
一、船舶结构优化设计的理论基础1、力学原理船舶在航行过程中会受到各种载荷的作用，如静水压力、波浪载荷、货物重量等。
因此，船舶结构优化设计必须基于力学原理，包括静力学、动力学、材料力学、结构力学等。
通过对这些力学知识的运用，可以准确地分析船舶结构在不同工况下的应力、应变和位移情况，为优化设计提供基础数据。
2、数学模型数学模型是船舶结构优化设计的重要工具。
常见的数学模型包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划等。
这些模型可以将船舶结构的设计问题转化为数学上的优化问题，通过求解数学方程，得到最优的设计方案。
3、优化算法优化算法是求解数学模型的关键。
目前，在船舶结构优化设计中常用的优化算法有遗传算法、模拟退火算法、粒子群优化算法等。
这些算法具有不同的特点和适用范围，可以根据具体的设计问题选择合适的算法。
4、有限元分析有限元分析是一种有效的数值分析方法，可以对船舶结构进行精确的力学分析。
通过将船舶结构离散为有限个单元，并对每个单元进行力学计算，可以得到整个结构的应力、应变和位移分布。
有限元分析为船舶结构优化设计提供了可靠的分析手段。
二、船舶结构优化设计的实践应用1、船体结构优化船体是船舶的主体结构，其优化设计对于提高船舶的性能和经济性具有重要意义。
在船体结构优化中，可以通过改变船体的形状、尺寸、板厚等参数，来实现结构重量减轻、强度和刚度提高的目标。
例如，采用流线型的船体外形可以减小水阻力，提高船舶的航行速度；合理分布船体的板厚可以在保证强度的前提下减轻重量。
2、舱室结构优化船舶的舱室结构包括货舱、油舱、水舱等，其优化设计对于提高船舶的载货能力和安全性至关重要。
结构优化设计知识点总结
结构优化设计知识点总结1. 结构设计的基本原则结构设计是指对建筑物、桥梁、机械等工程结构的构造形式、结构性能和材料的选择等方面的设计。
在进行结构设计时，应该考虑以下基本原则：- 安全原则：结构设计的首要目标是确保结构的安全性，即在正常使用和预期的最坏条件下都能保证结构的完整性和稳定性。
- 经济原则：结构设计需要在满足安全性的前提下，尽可能降低工程造价，减少材料和人力资源的消耗。
- 美观原则：结构设计应该考虑到建筑物的美观性，并且更好地结合环境和功能需求。
2. 结构设计的基本要素结构设计的基本要素包括荷载、构件、材料和连接。
其中，荷载是作用在结构上的外力，主要包括静荷载和动荷载；构件是组成结构的基本单元，通过构件的分布和排列来形成结构稳定的平衡状态；材料是构件所采用的原材料，包括钢材、混凝土、木材等；连接是构件之间的连接方式，包括焊接、螺栓连接等。
3. 结构设计的理论基础结构设计的理论基础主要包括结构力学、材料力学、工程结构静力学、结构可靠性理论等。
结构力学是研究结构内力和变形的学科，通过对结构的受力分析来确定结构的设计方案；材料力学是研究材料在外力作用下变形和破坏的学科，通过对结构材料的强度和刚度进行分析来确定材料的选用和构件的尺寸；工程结构静力学是研究结构受力和变形的学科，通过对结构的受力平衡和变形条件进行分析来确定结构的稳定性和强度；结构可靠性理论是研究结构在设计使用期限内能够满足安全性要求的概率学科，通过对结构的安全性进行可靠性评估来确定结构的设计方案。
4. 结构设计的优化方法结构设计的优化方法主要包括减少结构重量、减少成本、提高结构性能和减少结构体积等。
其中，减少结构重量的方法包括合理选择材料、优化构件尺寸和结构形式等；减少成本的方法包括降低材料和人力成本、减少结构修理和维护费用等；提高结构性能的方法包括提高结构的稳定性、刚度和强度等；减少结构体积的方法包括减小构件尺寸、优化布置和排列方式等。
第三章优化设计问题的若干理论基础2
目标函数是凸函数，可行域是凸集，则最优点是内点。
相当于·X*无约束问题的最优点。
目标函数是凸函数,可行域是凸集，则目标函数等值线与适时约束曲面的切点为最优点，而且是全局最优点。
Q pRpQR则目标函数等值线与适时约束曲面可能存在多个切点，是局部极值点，其中只有一个点是全局最优点。
结论u极小点在可行域内，是一个内点u极小点是一个边界点起作用约束。
如其它的几种情况。
则，该方向要满足以下两个条件——a )这是一个可行方向，即这个方向必须在可行域内，b )这是一个使函数值下降的方向。
Ⅱ. 如果它是一个局部极小点，那么又是否是一个全域极小点？Ⅰ. 这个点是否是一个局部最小点？Ⅰ℘∈X约束优化问题的最优解及其必要条件库恩-塔克条件在优化实用计算中，为判断可行迭代点是否是约束最优点，或者对输出的可行结果进行检查，观察其是否满足约束最优解的必要条件，引入库恩-塔克条件。
上式也称为约束优化问题局部最优点的必要条件。
=≥=≥=∇−∇−∇∑∑==j u q x h x g x F u q u j v k v v k u u k ,...,2,10.. (321)00)()()(11λνµµλν，，K -T 条件：这q 个约束的梯度向量线性无关，则点为约束极小点的必要条件是：目标函数的负梯度向量可以表示为约束梯度向量的线性组合，即：()[]()[]0)()(≥∇=∇∑∗∗u q uu X g X f λλ其中，210()[])(∗∇X f )(∗X将上式用梯度形式表示，为或者表明库恩-塔克条件的几何意义是，在约束极小值点x *处，函数f (x )的梯度一定能表示成所有起作用约束在该点梯度（法向量）的非负线性组合。
()())(0)(-)(1)()(1)(k u qu u k k q u u uk x g x f x g x f ∇=∇=∇∇∑∑==λλ库恩-塔克条件的几何意义若x k 点是极值点，则可以写成此条件要求点x k 一定要落在约束曲面g 1(x )=0和g 2(x )=0的交线上，而且-∇f (x k )和∇g 1(x k ) 及∇g 2(x k )应该线性相关，即三者共面。
工程结构优化设计理论
工程结构优化设计理论作者：庞学椿杨建兴来源：《城市建设理论研究》2014年第05期摘要：与传统的建筑结构设计相比较，结构设计优化不仅能够降低建筑造价，而且通过优化结构投资方向，提高关键结构部位或构件的安全度、延性和韧性，从而提高整个建筑物的安全度。
通过这种有的放矢的优化设计，使整个建筑物的土建投资有效利用率大大提高关键词：结构优化设计理念中图分类号： TU318文献标识码： A结构优化设计，能大大减少建筑造价并提高结构的安全度。
设计单位在进行结构设计的时候，在建筑功能需求得到满足和遵循相关规范和规程的前提下，应综合考虑施工的可行性、施工进度和投资造价以及结构安全性等诸多要素，合理优化结构投资方向，使结构设计成为一项系统工程，做到设计成果既安全可靠，又经济合理。
一、建筑结构优化设计的意义进行结构设计优化的原因概括起来有以下几方面：1、钢筋混凝土和砌体等常用建筑材料的费用构成了结构成本的绝大部分，而这一部分成本通长占到结构主体造价的4０％以上，通过结构优化设计能够将建筑工程的总造价减少１０％~３５％。
对于一个大型的工程来说，这将是一笔不菲的费用，并且结构的安全度也得到了提高，因此结构优化有助于建设方减少投资，增加利润和提高资金周转率，其经济价值巨大。
2、据统计设计责任是造成建筑工程质量事故的主要原因，占据了大约４０％的比例。
现阶段各设计单位设计水平良莠不齐，设计质量差导致施工停工或返工的现象时有发生。
有些设计单位缺乏成本意识，算不清就多配钢筋，造成有些关键构件的设计反倒偏于不安全，这些现象有的造成了资源和成本的浪费，有的对建筑工程留下了潜在的危险。
因此进行合理的结构优化设计，能够帮助业主提高设计质量并消除不必要的质量缺陷和工程风险，同时在减少不必要投资的前提下获得高品质的建筑，也符合创建节能、安定型社会的宗旨。
3、随着国家宏观调控力度的加大和原材料价格的上涨，通过销售获得利润的空间被大大压缩，从内部挖掘潜力，节约成本成为企业赢利的重要手段，科学合理的节约成本能够提高企业的盈利率和生存能力。
优化理论基础课件
拟牛顿法
一种改进的牛顿法
通过构造和更新拟牛顿矩阵来近似海森矩阵，从而在每一步迭代中更新解向量。适用于大规模的优化 问题，具有较好的收敛性和数值稳定性。
共轭梯度法
一种结合梯度下降法和共轭方向的优 化算法
结合梯度下降法的搜索方向和共轭方 向，通过迭代更新解向量，使得目标 函数值逐渐减小。适用于大规模的优 化问题，具有较快的收敛速度。
02
优化算法
梯度下降法
一种迭代优化算法
基于目标函数的梯度信息，沿着负梯度的方向搜索最小值点。在每一步迭代中， 更新解向量使得目标函数值逐渐减小。适用于连续可微的优化问题。
牛顿法
一种二阶迭代优化算法
基于目标函数的二阶导数（海森矩阵）信息，通过求解牛顿方程来找到最小值点。适用于二阶可微的优化问题，具有较快的 收敛速度。
配送策略优化
03
结合客户需求和配送资源，制定最优的配送计划和配送策略，
提高客户满意度和降低配送成本。
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THANKS
粒子群优化算法
粒子群优化算法是一种基于群体智能的优化算法，通过模拟鸟群、鱼群等生物群体的行为 ，寻找多目标优化问题的Pareto最优解。
模拟退火算法
模拟退火算法是一种基于物理退火原理的优化算法，通过模拟金属退火过程，寻找多目标 优化问题的全局最优解。
多目标优化问题的应用场景
资源分配问题
在资源有限的情况下，如何合理分配资源以达到 多个目标的最优。
配电优化
针对配电网的供电需求和分布式能源的接入，优化配电网的拓扑结构 、无功补偿和电压控制等，提高供电可靠性和电能质量。
物流优化
运输路径优化
01
通过合理规划运输路线和车辆调度，降低运输成本、缩短运输
建筑结构分析与设计的理论基础
建筑结构分析与设计的理论基础在建筑工程领域中，建筑结构分析与设计是一个至关重要的环节。
它涉及到对建筑物的承载能力、稳定性和安全性进行综合考虑和计算，以确保建筑物可以在设计寿命内正常运行。
本文将重点探讨建筑结构分析与设计的理论基础。
一、力学基础建筑结构分析与设计的理论基础之一是力学理论。
力学是研究物体的力学特性、运动规律和相互作用的学科，它包括静力学和动力学两个方面。
在建筑结构中，静力学是最基础的理论，它是研究建筑物在平衡状态下受力的学科。
静力学的基本原理包括平衡条件、力的合成和分解、受力分析等。
通过对建筑物受力进行合理的分析和计算，可以确保建筑物在承载设计荷载时不会发生力学失稳。
而动力学是研究物体在外力作用下的运动规律的学科。
在建筑结构设计中，动力学主要用于分析建筑物在地震、风力等外力作用下的响应和振动特性。
通过动力学的分析，可以为建筑物的抗震设计和振动控制提供依据。
二、材料力学材料力学是建筑结构分析与设计的另一个重要理论基础。
它研究材料在力的作用下的变形特性和破坏机理，为建筑结构的材料选择和计算提供依据。
常见的建筑材料包括混凝土、钢材、木材等。
它们的受力性能和特性不同，需要根据具体情况进行合理的选择和计算。
材料力学中的弹性力学、塑性力学和破坏力学等理论可以帮助工程师准确估算建筑材料的受力性能，从而保证建筑结构的安全性和稳定性。
三、结构力学结构力学是建筑结构分析与设计的核心理论基础之一。
它研究建筑物的力学特性和受力行为，为建筑结构的分析和设计提供方法和准则。
结构力学包括静力学和动力学两个方面。
在静力学领域，结构力学通过应力、应变和位移的计算，对建筑物受力状态进行分析和评估。
在动力学领域，结构力学通过模拟和计算建筑物在外力作用下的振动特性，为抗震设计和振动控制提供依据。
四、结构分析与设计方法建筑结构分析与设计的理论基础还包括各种结构分析与设计方法。
这些方法包括解析法、数值法和试验法等。
解析法是指通过数学公式和力学原理，直接推导出建筑结构的受力状态和变形情况。
结构力学教学中的结构优化与创新探讨学生如何通过结构力学的优化方法来设计创新的结构
结构力学教学中的结构优化与创新探讨学生如何通过结构力学的优化方法来设计创新的结构结构力学教学中的结构优化与创新探讨结构力学是土木工程等相关学科中的重要基础课程之一，其教学内容涵盖了结构的受力分析、结构的设计原理等方面。
在结构力学的教学中，结构优化与创新是一个重要的研究领域，它探讨了如何通过结构力学的优化方法来设计创新的结构。
本文将就这个话题进行探讨。
一、结构力学的基本原理在深入讨论结构优化与创新之前，有必要先了解一下结构力学的基本原理。
结构力学是研究结构在外部作用下的力学性能和变形规律的学科，主要涉及静力学、动力学、稳定性理论以及结构振动等内容。
学生通过学习结构力学，可以了解结构受力分析的基本原理和方法，并掌握结构设计的基本技术。
二、结构优化的基本概念与方法结构优化是通过调整结构形状、尺寸和材料等参数，以达到最佳性能指标的一种方法。
结构优化的目标可以是最小化结构的重量、最大化结构的刚度、最小化结构的变形等。
在结构优化的过程中，经常使用的方法有参数优化、拓扑优化、形态优化等。
通过这些优化方法，可以得到结构的最优设计方案。
三、结构优化在创新设计中的应用结构优化方法在创新结构设计中发挥着重要的作用。
通过优化设计，可以实现更加经济、高效的结构方案，同时满足设计要求。
例如，在高层建筑的设计中，通过结构优化可以最大程度地降低结构的重量，提高整体的抗震能力。
在桥梁的设计中，通过结构优化可以降低结构的变形，提高桥梁的承载能力。
通过结构优化，将传统的结构设计与现代科技相结合，可以实现更加创新的结构设计。
四、学生如何通过结构力学的优化方法进行创新设计在结构力学的教学中，学生可以通过以下步骤来进行创新设计：1. 熟悉结构力学的基本原理和方法：学生首先需要充分了解结构力学的基本概念和方法，并掌握结构优化的基本原理。
2. 选择适当的优化方法：学生需要根据所设计结构的具体情况选择合适的优化方法，如参数优化、拓扑优化等。
3. 设定设计目标与约束条件：学生需要明确设计的目标与约束条件，如最小化结构重量、最大化结构刚度等，并将其形式化为数学模型。
机械工程中的结构优化设计与验证
机械工程中的结构优化设计与验证在机械工程领域，结构优化设计与验证是一个至关重要的环节。
它涉及到了如何通过合适的设计和验证手段来提高机械结构的性能和可靠性。
本文将从理论到实践，从优化设计到验证方法等方面进行探讨。
一、结构优化设计的理论基础1.1 材料力学与结构分析在进行机械结构的优化设计之前，了解材料力学和结构分析的基本原理是必不可少的。
材料力学研究材料的力学性能，包括材料的强度、刚度和韧性等。
结构分析则是通过数学模型和解析方法来预测和分析机械结构在不同工况下的响应和行为。
这些基础理论为优化设计提供了理论基础和计算方法。
1.2 优化理论与方法优化理论和方法是结构优化设计的核心内容。
优化理论主要包括最优化原理、约束条件和优化算法等。
最优化原理指导着如何找到使目标函数达到极小或极大值的设计变量组合，而约束条件则规定了设计变量所必须满足的限制条件。
优化算法是实现最优化过程的具体方法和策略，如遗传算法、粒子群算法等。
二、结构优化设计的实践方法2.1 拉伸和压缩试验拉伸和压缩试验是评估材料的强度、刚度和韧性等力学性能的主要手段。
通过使用标准试样和测试设备，可以对材料在不同加载条件下的力学性能进行定量分析。
这些试验数据可用于建立材料模型和验证结构的优化设计。
2.2 数值模拟与仿真数值模拟和仿真是结构优化设计的重要工具。
它通过数学模型和计算机算法，对结构的应力、位移和变形等进行预测和分析。
其中，有限元法是最常用的数值分析方法之一。
通过建立结构的有限元模型，可以对其在不同工况下的力学性能进行计算和评估，从而为结构的改进和优化提供依据。
三、结构优化设计的验证方法3.1 静态和动态试验静态和动态试验是验证结构优化设计效果的常用方法。
静态试验通过加载外部力或重物，测量结构的力学响应，包括应力、位移和变形等。
动态试验则是在结构振动条件下进行的实验，以研究结构的共振特性和模态分析等。
通过与理论分析结果进行对比，可以验证结构优化设计的有效性。
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第二章
基 础 知 识
2.3 无约束极值问题的最优性条件
第二章
基 础 知 识
2.3 无约束极值问题的最优性条件
第二章
基 础 知 识
2.3 无约束极值问题的最优性条件
第二章
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2.3 无约束极值问题的最优性条件
x s，
第二章
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2.3 无约束极值问题的最优性条件
第二章
基 础 知 识
2.4 等式约束极值问题 的最优性条件
第二章
基 础 知 识
2.4 等式约束极值问题的最优性条件
第二章
基 础 知 识
2.4 等式约束极值问题的最优性条件
f ( X ) k hk ( X )
k 1
l
第二章
基 础 知 识
2.4 等式约束极值问题的最优性条件
1h1
f ( X )
2 h2
Y
X Y
X Y
cos 1, 180o
cos 1, 0o
第二章
基 础 知 识
“内积”的几何意义
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
梯度与方向导数关系
第二章
基 础 知 识
2
x
*
g1 (x)
g1 (x) 0
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
Constrained Optimum Point 4
2. 性质
• 任意多个凸集的交集是凸集
x
(1)
x ( )
• 两个凸集的代数和是凸集
• 凸集的数乘是凸集 • 凸集的闭包是凸集
凸集
x
(2)
x
(1)
x ( )
非凸集
x (2)
第二章
（二）凸函数 1. 定义
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
如果 x(1) , x(2) ; [0,1] ，若 x( ) x(1) (x(2) x(1) ) 有
m
( j 1,2,, m)
(4) j 0
j 1
起作用的约束经过最优点 ， g j (x) 0 , j 0
(3) j g j ( (x) 0
g 2 (x)
(2) g j (x) 0
这就是K-K-T条件，
P
f (x)
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
X Y
X Y cos
X
X
180o
90
o
Y
Y
Y
Y
X
X
0o
X X
Y
Y
X Y 0
cos 0 , 90o
X Y X
（三）凸规划 1. 定义
如果可行域 为凸集，而且目标函数 f (x) 在 上为凸函数，则 称为凸规划问题。
2. 定理
凸规划问题的局部极小点就是其全局极小点。
第二章
基 础 知 识
2.3 无约束极值问题
的最优性条件
第二章
基 础 知 识
2.3 无约束极值问题的最优性条件
第二章
基 础 知 识
2.3 无约束极值问题的最优性条件
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
第二章
基 础 知 识
2.2 函数的极值与凸性
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
一、无约束最优解与有约束最优解
1. 无约束最优解
无约束 优化问题
Find x R N min f (x)
x* R N f (x* ) min f ( x) * N
x
最优点 最优函数值
x*
f ( x) 0
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
二、局部最优解与全局最优解
1. 全局最优解
若 x* 是问题的极小点，如果不等式 f (x) f (x* ) 对于所有的
x 均成立，则称 x*为全局极小点或全局最优解。
2. 局部最优解
* 如果存在 x* 的某个邻域 (x ) ，使得不等式 f (x) f (x* ) 对于任意 的 x* (x* ) 都成立，则称点 x* 为问题的局部极小点或局部最优 解（简称局优解）。
g j ( x) 0; 0
g j ( x) 0; 0
第二章
基 础 知 识
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
2)构造Lagrange函数（约束优化问题的无约束化） 不等式约束优化问题
min f ( x ) 2 s . t g ( x ) j j 0
3. 严格极小点
如果在上述情况下，不等式处处严格成立，则称 x* 为严格全局极小 点或严格局部极小点。
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
二、局部最优解与全局最优解
1. 全局最优解
2. 局部最优解
3. 严格极小点
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
三、函数的凸性
（一）凸集
1. 定义
设集合 R N ，如果 x(1) , x(2) ; [0,1] ，若 x( ) x(1) (x(2) x(1) ) 仍然有 x( ) ，则称 为一个凸集。
松弛互补条件与约束条件
=0 等价
第二章
基 础 知 识
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
2）梯度条件与需要考虑的约束
L f ( x) j 0, j 0, 0 x j x j j 0, g j 0
起不起作用的约束
第二章
梯度条件
基 础 知 识
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
第二章
基 础 知 识
2.4 等式约束极值问题的最优性条件
第二章
基 础 知 识
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
2.5 不等式约束极值问题 的最优性条件
第二章
基 础 知 识
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
不等式约束优化问题
第二章
基 础 知 识
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
1）不等式约束的等式约束化
2.1 数学预备知识
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
梯度的几何意义
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
x0
x0 x
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
x R
最优点
最优函数值
f ( x)
f ( x) 0
x*
第二章
基 础 知 识
2.1 数学预备知识
f ( x)
2. 有约束最优解
Find x R N 有约束 min f (x) 优化问题 s.t. hk (x) 0 (k 1, , m) g j (x) 0 ( j 1, , n)
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
K-K-T条件的几何意义
min f (x) s.t g j (x) 0 ( j 1,2,, m)
(1) (2) (3) (4) (5) f ( x ) j g j ( x ) 0
j 1 m
可行域 hk (x) 0 (k 1, , m) x g ( x ) 0 ( j 1, , n ) j
f ( x) 0
x* f ( x)
f ( x) 0
x* f ( x)
x* R N f (x* ) min f ( x) *
需要考虑的约束条件
梯度条件只考虑起作用的约束
不考虑考虑起作用的约束
第二章
3）非负条件
基 础 知 识
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
第二章
基 础 知 识
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
4）起作用约束线性无关条件
第二章
基 础 知 识
2.5 不等式约束极值问题的最优性条件
第二章
基 础 知 识
2 f H f ( x) f ( x) x x i j N N
2
第二章
4. 性质
基 础 知 识
（二）凸函数
2.1 数学预备知识
① 凸函数的非负线性组合仍为凸函数。 ② 实值凸函数的非减函数仍为凸函数。
③如果所有约束函数 g j (x)均为在 R N上的凸函数，则 R N 中满足 g j (x) 0 的子集 为凸集。
f (x)
2 g 2 (x) 0
夹角；
2
P
f (x)
g 2 (x)
P