相对论的德布罗意物质波 及其应用于量子跃迁 Rabi振荡过程
高二物理配套课件2.5 德布罗意波(粤教版选修3-5)
物质波的意义
德布罗意假说是光的波粒二象性的一种推广，使之包括了 所有的物质粒子，即光子与实物粒子都具有粒子性，又都 具有波动性，与光子对应的波是电磁波，与实物粒子对应 的波是物质波． 我们感觉不到宏观物体波动性的原因 任何物体，小到电子、质子，大到行星、太阳都存在波动
性，我们之所以观察不到宏观物体的波动性，是因为宏观
m/s 的速度运动，则它们的德布罗意波的波长分别是多 长？(中子的质量为1.67×10－27 kg)
解析 中子的动量为：p1＝m1v 子弹的动量为：p2＝m2v h 据 λ＝ 知中子和子弹的德布罗意波长分别为 p h h λ1＝p ，λ2＝p 1 2
h h 联立以上各式解得 λ1＝ ，λ2＝ m1 v m2 v 将 m1＝1.67×10
－27
kg，v＝1×103 m/s
h＝6.63×10－34 J·s，m2＝1.0×10－2 kg 代入上面两式可解得
λ1＝4.0×10－10 m，λ2＝6.63×10－35 m.
答案 4.0×10－10 m 6.63×10－35 m
注意
不确定性关系不是说微观粒子的坐标测不准，也不
是说微观粒子的动量测不准，更不是说微观粒子的坐标和 动量都测不准，而是说微观粒子的坐标和动量不能同时测 准．
不确定性关系是自然界的一条客观规律 对任何物体都成立， 并不是因为测量技术和主观能力而使 微观粒子的坐标和动量不能同时测准． 对于宏观尺度的物体，其质量 m 通常不随速度 v 变化(因 为一般情况下 v 远小于 c)，即Δ p＝mΔv，所以Δ xΔ v≥ h .由于 m 远大于 h， 因此Δ x 和Δ v 可以同时达到相当 4π m 小的地步， 远远超出最精良仪器的精度， 完全可以忽略． 可 见，不确定现象仅在微观世界方可观测到．
《德布罗意波 电子衍射》 知识清单
《德布罗意波电子衍射》知识清单一、德布罗意波的提出在 20 世纪初，物理学界对于微观粒子的行为存在着诸多困惑。
传统的经典物理学在解释微观世界的现象时遇到了巨大的挑战。
就在这时，法国物理学家路易·维克多·德布罗意（Louis Victor de Broglie）提出了一个大胆而创新的想法，即德布罗意波。
德布罗意认为，不仅光具有波粒二象性，微观粒子，如电子，也应该具有波动性。
他的这一想法并非凭空而来，而是受到了当时一些物理学研究成果的启发。
例如，爱因斯坦的光子理论成功地解释了光电效应，表明光既有粒子的特性，又有波的特性。
德布罗意通过类比和推理，提出了物质波的假设：对于一个质量为m、速度为 v 的微观粒子，其对应的波长λ可以表示为：λ ＝ h ／（mv)，其中 h 是普朗克常量。
这一假设的提出，为人们理解微观粒子的行为打开了新的大门，也为后来的量子力学发展奠定了重要的基础。
二、德布罗意波的实验验证德布罗意波的理论提出后，需要实验的验证来证明其正确性。
其中，最为著名的实验就是电子衍射实验。
在电子衍射实验中，科学家们让电子束通过非常薄的晶体。
如果电子只是粒子，那么它们应该像子弹一样直线穿过晶体，在屏幕上形成一个亮点。
然而，实验结果却令人惊讶。
电子束在通过晶体后，在屏幕上形成了类似于光通过狭缝衍射所产生的衍射条纹。
这表明电子具有波动性，能够像波一样发生衍射现象。
这个实验有力地证明了德布罗意波的存在，也让人们对微观世界的认识发生了深刻的变革。
三、电子衍射的原理要理解电子衍射，首先需要了解衍射的基本原理。
衍射是指波在传播过程中遇到障碍物或孔隙时，其传播方向发生改变，并在障碍物后面产生新的波前的现象。
对于电子衍射，当电子束通过晶体时，晶体中的原子就相当于障碍物。
由于晶体中的原子排列具有周期性和规律性，电子波与这些原子相互作用，导致其传播方向发生改变，从而产生衍射现象。
在电子衍射实验中，通过测量衍射条纹的间距和角度等信息，可以推断出晶体的结构和电子的波长等重要参数。
德布罗意波(物质波)
单值, 有限, 连续, 归一化
三. 薛定锷方程
波函数与粒子所处条件的关系式 1. 薛定锷方程
一维非相对论形式
i U 2 t 2m x
2 2
薛定锷
三维
2 2 i U t 2m
2 2 2 2 2 2 2 x y z
——隧道效应
四. 扫描隧道显微镜(STM)
原理：利用电子的隧道效应。
48个Fe原子形成 “量子围栏”， 围栏中的电子形成驻波。
25.6 谐 振 子
分子和固体中原子的振动 势能函数
1 2 1 U kx mw 2 x 2 2 2
一维谐振子的定态薛定锷方程
d 2 2m 1 2 2 2 ( E mw x ) 0 2 dx 2
二. 波函数
能量E(E<U0)的粒子从左边射入 定态薛定锷方程
d 2 2m 2 E 0, x 0 2 dx d 2 2m 2 ( E U 0 ) 0, x 0 2 dx
令
k1
2
2 m( E U 0 ) 2mE 2 , k2 2 2
3. 由边界条件及归一化条件求出A,B,k的值
因粒子只能在势阱内
(0) (a) 0 A (0) 0, B sin ka (a) 0 B 0, k 0
n k , n 1,2,3, a
n ( x) B sin x,0 x a a
3. 30年代以后，实验发现，中子、质子、中性原子都具有衍射现象。
4. 自然界中的一切微观粒子，都具有波粒二象性。
▲应用
电子等实物粒子的波长比光波波长小的多
利用高速电子束代替光束制成显微镜
物质波与德布罗意假说
物质波与德布罗意假说物质波与德布罗意假说是量子力学的重要基础理论，它们揭示了微观粒子的波粒二象性，对于解释微观世界的行为具有重要意义。
本文将介绍物质波和德布罗意假说的基本概念、实验证据以及其在量子力学中的应用。
一、物质波的概念物质波是指微观粒子（如电子、中子等）具有波动性质的现象。
根据量子力学的理论，微观粒子不仅具有粒子的特性，还具有波动的特性。
这一概念最早由法国物理学家路易·德布罗意在1924年提出。
根据德布罗意的假说，微观粒子的波动性质可以用波长来描述，即德布罗意波长。
德布罗意波长的计算公式为λ = h / p，其中λ为德布罗意波长，h为普朗克常数，p为粒子的动量。
这个公式表明，动量越大的粒子，其德布罗意波长越短，波动性越不明显。
二、德布罗意假说的实验证据德布罗意假说的实验证据主要来自于电子衍射实验。
1927年，美国物理学家克林顿·戴维森和莱斯特·杰拉德·汤姆逊进行了一系列的电子衍射实验，验证了德布罗意假说的正确性。
在电子衍射实验中，他们使用了一台电子束发射装置，将电子束射向一个晶体样品。
通过观察电子束经过晶体后的衍射图样，他们发现电子束也会出现衍射现象，类似于光的衍射。
这一实验结果表明，电子具有波动性质，验证了德布罗意假说的正确性。
除了电子衍射实验，还有其他实验证据也支持了德布罗意假说。
例如，中子衍射实验、质子衍射实验等都观察到了类似的波动现象，进一步证实了物质波的存在。
三、物质波的应用物质波的发现对量子力学的发展产生了深远的影响，为解释微观粒子的行为提供了重要的理论基础。
物质波的应用主要体现在以下几个方面：1. 电子显微镜：电子显微镜是一种利用电子束代替光束进行成像的显微镜。
由于电子具有波动性质，其波长比光的波长要短得多，因此电子显微镜具有更高的分辨率，可以观察到更小的物体。
2. 量子力学：物质波的发现为量子力学的建立提供了重要的理论基础。
量子力学是研究微观粒子行为的理论体系，通过波函数描述微观粒子的状态和运动规律。
物质波的德布罗意公式
物质波的德布罗意公式本文介绍物质波的德布罗意公式，探讨其对物理学的重要性以及应用。
下面是本店铺为大家精心编写的4篇《物质波的德布罗意公式》，供大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
《物质波的德布罗意公式》篇1物质波的德布罗意公式是物理学中一个重要的公式，它描述了微观粒子具有波动性的现象。
该公式由法国物理学家德布罗意在 1924 年提出，它表明一个具有质量 m 和速度 v 的运动粒子的波动波长等于普朗克恒量 h 与粒子动量 mv 的比，即 h/（mv）。
德布罗意公式的提出是基于光具有波粒二象性的启发。
光子具有波动性和粒子性，这个现象在量子力学中得到了很好的解释。
德布罗意假设，类似于光子，一切微观粒子，包括电子和质子、中子，都具有波粒二象性。
他提出了物质波的概念，即物质也具有波动性质。
物质波的德布罗意公式表明了波动性和粒子性之间的联系。
这个公式描述了粒子在空间中传播时的波动性质，即粒子在空间中传播时，不仅仅是粒子，还伴随着波。
这种波被称为物质波或德布罗意波。
德布罗意公式在物理学中有着广泛的应用。
例如，在电子显微镜中，我们可以观察到电子的波动性质。
此外，物质波的德布罗意公式还为粒子物理学提供了重要的理论支持。
《物质波的德布罗意公式》篇2物质波的德布罗意公式描述了微观粒子在空间中的波动性质，其公式为：λ = h / p其中，λ表示物质波的波长，h 表示普朗克常数，p 表示粒子的动量。
这个公式表明，当粒子的动量越大时，物质波的波长就越短，波动性质就越不明显。
德布罗意公式是物质波理论的基础，它揭示了微观粒子在空间中的波动性质，为量子力学的发展奠定了基础。
《物质波的德布罗意公式》篇3德布罗意公式描述了粒子在空间中的波动性质，其公式为：λ = h / p其中，λ表示粒子的波长，h 为普朗克常数，p 为粒子的动量。
这个公式表明，当粒子的动量越大，其波长就越短，波动性质就越不明显。
德布罗意公式是相对论协变的，即粒子的波长随着参考系的变化而变化，其变换方式遵循洛伦兹变换。
相对论下德布罗意波长
相对论下德布罗意波长一、引言德布罗意波是指物质粒子具有波动性质的现象，这一概念最早由法国物理学家路易·德布罗意在1923年提出。
德布罗意假设物质粒子具有波动性质，即每个物质粒子都可以看作是一个波包，其波长与其动量成反比关系。
这一假设得到了爱因斯坦的支持，并成为了相对论中的基本理论之一。
二、相对论下的德布罗意波长1. 传统的德布罗意波长在传统的牛顿力学中，德布罗意波长λ是由以下公式计算得出：λ=h/p其中，h为普朗克常数，p为物体的动量。
这个公式也被称为“经典”德布罗意波长。
2. 相对论下的修正然而，在相对论中，由于物体运动速度接近光速时会发生时间膨胀和长度收缩等效应，因此需要对经典德布罗意波长进行修正。
根据相对论理论，当物体速度接近光速时，其能量将变得非常大。
因此，在计算德布罗意波长时，需要将物体的总能量考虑进去。
相对论下的德布罗意波长公式为：λ=h/p(1+v^2/c^2)^1/2其中，v为物体速度，c为光速。
3. 德布罗意波长与相对论的关系相对论下的德布罗意波长是一种修正后的计算方法，可以更准确地描述物质粒子的波动性质。
在相对论中，物质粒子的波动性质与其运动状态有关。
当物体接近光速时，其德布罗意波长将变得非常短，这也说明了为什么高能粒子在加速器中具有非常短的波长。
三、应用1. 电子显微镜德布罗意假设为电子显微镜的发展提供了理论基础。
电子显微镜利用电子束代替光束成像，因此可以观察到比光学显微镜更小尺寸和更高分辨率的样品。
这是因为电子具有比光子更小的德布罗意波长。
2. 加速器技术加速器技术利用粒子在加速器中运动时产生的高能辐射来进行研究。
加速器中的粒子速度接近光速，因此其德布罗意波长非常短，可以用来研究极小尺寸的物质结构。
3. 量子力学量子力学是描述微观世界的理论体系，其中德布罗意波假设是一个基本理论。
量子力学中的粒子被描述为波包，其波长与动量成反比关系。
这一概念对于解释原子和分子结构、核物理和宇宙学等领域都非常重要。
德布罗意和物质波理论ppt
德布罗意 （Louis-vector de Brogile）
大雾笼罩的物理世界，迷雾重重．道 道难题，对勇敢的年轻人是多大的诱 惑！
德布罗意自度“有纯理论家的气质， 而不是实验工作者和工程师的材 料……”，他有志于探索物理学的纯概 念王国
德布罗意是波动力学的伟大先驱之一 ,1929年， 他因为发现电子的波动性而获得了诺贝尔物理 学奖。他的成长历程充满了传奇：从文才到战 士，从历史系的文科生到波动力学之巨擎，其 人其事令人称奇。在20年代初，他在当时上无 实验支持的情况下，大胆的断言所有物质皆具 有波粒二相性，并创立了物质波理论，完成了 波和粒子观念的伟大综合 。为波动学的建立奠 定了基础。L.德布罗意还在量子力学、相对论、 非线性理论以及他的治学方法都给我们留下了 丰富的科学遗产。
《 辐射—波与量子》
第一篇的题目是《辐射—波与量子》，提出了 实物粒子也有波粒二象性，认为与运动粒子相 应的还有—正弦波，两者总是保持相同的位 相．后来他把这种假想的非物质波称为相 波．他考虑一个静质量为 的运动粒子的相对 论效应，把相应的内在能量 视为一种频率为 简单周期性现象．他把相波概念应用到以闭合 轨道绕核运动的电子，推 出玻尔量子化条 件．
Hale Waihona Puke 和经典力学中莫培丢（Mauoertuis，1698－1759）
变分原理类似：
（二）
他大胆设想，不仅光有粒子和波动两种性 质，而且“一般的”物质也具有这两种性 质．德布罗意认为：既然粒子概念在波的 领域里成功地解释了令人困惑的康普顿效 应．那么，波动概念也能解释粒子领域令 人困惑的定态．
三篇有关波和量子的论文
（三）
从1922年底到1923年夏，德布罗意一直在深思这 个问题：到底可否将他的光量子所暗示的波粒二象 性推广到一般物质，特别是电子之上？这是一个重 大而独创的问题，也是一个从来未被任何实验揭示 的问题，它将关系到～般物质是否都具有波粒二象 性这一史无前例的答案．1923年夏末，德布罗意终 于跨越了革命性的一步．用他自己的话讲：“我不 能记起它产生的确切日期，但它的确是产生于1923 的夏天—那时，我突然有一个想法，即把波粒二象 性扩展到物质粒子，特别是电子上去．”
物质波与德布罗意假说
物质波与德布罗意假说物质波与德布罗意假说是量子力学的重要基础理论之一。
它由法国物理学家德布罗意于1924年提出，为后来的量子力学的发展奠定了基础。
本文将介绍物质波的概念、德布罗意假说的内容以及其在量子力学中的应用。
一、物质波的概念物质波是指物质粒子具有波动性质的现象。
在经典物理学中，物质被认为是由粒子组成的，其运动遵循牛顿力学的规律。
然而，德布罗意假说的提出改变了这一观念。
根据德布罗意假说，不仅电磁波具有粒子性质，物质粒子也具有波动性质。
德布罗意假说的核心思想是，对于具有动量p的物质粒子，存在一个与其相关的波长λ，即德布罗意波长。
这个波长与物质粒子的动量之间存在着简单的关系，即λ=h/p，其中h为普朗克常数。
这意味着物质粒子的波动性质与其动量密切相关。
二、德布罗意假说的内容德布罗意假说的提出，为量子力学的发展提供了重要的理论基础。
根据德布罗意假说，物质粒子的波动性质可以通过波函数来描述。
波函数是一个数学函数，它描述了物质波的性质，包括波的振幅、相位等信息。
德布罗意假说还提出了波函数的演化方程，即薛定谔方程。
薛定谔方程描述了物质波的演化规律，可以用来计算物质波在空间中的分布和变化。
通过求解薛定谔方程，可以得到物质波的波函数，从而得到物质粒子的波动性质。
德布罗意假说还指出，物质波的波函数的平方值，即波函数的模方，可以解释为物质粒子在空间中的概率分布。
这意味着物质粒子的位置、动量等物理量不再具有确定的值，而是具有一定的概率分布。
这与经典物理学中的确定性观念有所不同，体现了量子力学的概率性质。
三、物质波的应用物质波的概念和德布罗意假说的内容在量子力学中有广泛的应用。
首先，物质波的波函数可以用来描述粒子在空间中的运动和行为。
通过求解薛定谔方程，可以得到物质波的波函数，从而得到粒子的波动性质。
其次，物质波的波函数的模方可以解释为粒子在空间中的概率分布。
这意味着我们可以通过物质波的波函数来计算粒子在不同位置、不同动量下的概率分布，从而得到粒子的统计性质。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Department of Physics, Beihang University, Beijing Received: May 4 , 2018; accepted: May 21 , 2018; published: May 28 , 2018
th st th
Abstract
Modern Physics 现代物理, 2018, 8(3), 139-147 Published Online May 2018 in Hans. /journal/mp https:///10.12677/mp.2018.83017
Relativistic De Broglie Matter Wave and Its Application to Dynamic Rabi Flopping in Quantum Transition
2. 相对论的德布罗意物质波
这里简单介绍一下相对论的德布罗意物质波[3]。按照德布罗意的最初表述，物质波是相位波[8]。那 么，如图 1，氢原子电子云中的相邻两点 A 和 B 出现的电子应当遵循相同的力学定律而只是运动相位不 同。具体来讲，A 点和 B 点的电子四维速度 u A 和 uB 都满足相对论牛顿第二定律
3. 在电磁波作用下原子内的电子概率变化
相对论德布罗意物质波公式(9)式允许我们沿经典粒子轨道积分来计算物质波相位，这使得它特别适 合描述经典圆形轨道或椭圆轨道的电子量子行为。 如果一束激光照射在一个氢原子上，如果频率合适，这个氢原子就会吸收电磁波能量从定态 1 跃迁 到定态 2。根据(9)式，定态 1 和定态 2 的德布罗意物质波可以写成
(8)
根据已知的量子波动的实验知识，我们知道这里 就是普朗克常数(它应当由实验来确定，而不是推导计
现代物理
崔怀洋
i x ψ exp ∫x ( muµ + qAµ ) dxµ = 0
(9)
这里，积分是从 x0 到 x 的任意积分路径(积分路径无关性，见 Green 定理)，这个路径是四维速度场 内的数学积分路径而不是粒子运动轨迹；当然，沿粒子运动轨迹计算积分也可以，因为轨迹也在四维速 度场内即整个电子云内。本文把(8)式和(9)式中的波函数称为相对论德布罗意物质波[3]。对于一维自由粒 子，它就是我们比较熟悉的德布罗意物质波公式
我们注意到，相对论牛顿第二定律(2)式的两边：左边是关于速度场，而右边是关于电磁场，并且可 以进一步写成
∂ ( qAν ) ∂ ( qAµ ) ∂ ( muµ ) = − uν = qF uν µν u Aν ∂xν ∂xµ ∂xν
这里 A 表示电磁场的四维矢势。移项后，上式成为
(2)
DOI: 10.12677/mp.2018.83017
140
现代物理
崔怀洋
Figure 1. The electrons at A and B in the hydrogen atomic electron cloud are governed by the same dynamics, and different in phase for their matter waves 图 1. 氢原子电子云中的相邻两点 A 和 B 出现的电子应当遵循相同的力学定律而只是运动相位不同
∂ ( muν ) −c 2 and uν = uν uν = 0 ∂xµ
(4)
(5)
至此，我们得到一个非常有意义的结果
∂ ( muµ + qAµ ) ∂ ( muν + qAν ) = uν 0 − ∂xν ∂xµ
和它的特殊解(显而易见的解)
∂ ( muµ + qAµ ) ∂xν − ∂ ( muν + qAν ) ∂xµ 0 =
(3)
∂ ( muµ + qAµ ) ∂ ( qAν ) = uν − 0 ∂xν ∂xµ ∂ ( muν + qAν ) ∂ ( muν ) ∂ ( muν + qAν ) = uν − = uν ∂xµ ∂xµ ∂xµ uν
其中，我们已经使用了下式的正交性
(6)
(7)
下面我们只讨论这个特殊解。根据多元微积分的 Green 定理，(7)表明我们可以引入一个势函数 Φ ，设为 复数形式的势 Φ = −i lnψ ，它满足
∂Φ ∂ lnψ −i muµ + qAµ = = ∂xµ ∂xµ
算出来)， ψ 就是波函数。上式的积分形式就是
DOI: 10.12677/mp.2018.83017 141
A new approach is used for extending the De Broglie matter wave to relativistic formalism. The relativistic matter wave expression is obtained, and successfully applied to analyze the dynamic process of Rabi flopping in atomic quantum transition. Under external electromagnetic wave, the electronic probability flow in an atom becomes an alternating current, positively responding to the external electromagnetic wave. In the resonance process, the atomic alternating current absorbs or emits the electromagnetic wave energy by the amount of one photon energy. The resonance condition is just the selection rule. The dynamic evolution curve was calculated by computer simulation.
Open Access
1. 引言
量子跃迁在很短的时间内完成，通常小于 1 纳秒[1]，人们对此有一个印象：似乎它是瞬间发生的， 因而很多人忽视它的物理过程的细节，或者简单地认为物理过程的细节不可描述。爱因斯坦辐射量子理 论只讨论辐射跃迁概率之间的关系，是建立在热力学统计平衡基础上的集体模型，它并不具体讨论每一 个电子是如何吸收或发射光子。物理教科书中都只讨论量子跃迁的结果和概率[1] [2]，缺乏对每个电子的 物理过程的深入刻画。原子发射一个光子的时间再短，光子也有一个从无到有的物理过程[3]-[8]，这就是 本文要探讨的问题。 本文作者提出了一种推广德布罗意物质波到相对论中去的新方法[3]，写出了相对论德布罗意物质波 的数学表达式。 本文把相对论德布罗意物质波应用于研究一个原子吸收(或发射)一个光子的物理动态过程。 重点讨论电子与光子之间的功能转换过程，从而让人们深入地了解到量子跃迁的动力学细节。
文章引用: 崔怀洋. 相对论的德布罗意物质波及其应用于量子跃迁 Rabi 振荡过程[J]. 现代物理, 2018, 8(3): 139-147. DOI: 10.12677/mp.2018.83017
崔怀洋
摘
要Hale Waihona Puke 使用一种推广德布罗意物质波到相对论中去的新方法，写出了相对论德布罗意物质波的数学表达式。把 相对论德布罗意物质波成功地应用于研究一个原子吸收一个光子的Rabi振荡动态过程。在电磁波的作用 下， 原子内部的电子概率分布会发生动态变化而形成交流电， 并与外来电磁波发生共振。 在共振过程中， 原子吸收或发射一个光子能量的电磁波而完成一次跃迁。共振条件也就成为量子跃迁的选择定则。用计 算机模拟了原子量子跃迁从开始到结束的动态过程曲线。
关键词
量子跃迁，交流电，选择定则
Copyright © 2018 by author and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
m m
du Aµ dτ du B µ dτ
= qFµν u Aν = qFµν u Bν
(1)
四维速度 u A 和 uB 之间存在相位差。式中，m 和 q 是电子的静止质量和电荷。也就是说，A 点周围分布着 四维速度场。那么，A 点的四维速度可以按照场的概念写成(以下忽略脚标 A)
duµ ∂uµ dxν ∂uµ = m m = muν dτ ∂xν dτ ∂xν
现代物理
崔怀洋
2 ψψ * = a12 + a2 + 2a1a2 cos
( J 2 − J1 ) θ
−
( E2 − E1 ) t
(14)
这可以理解为一个在过渡轨道上的交流电：原子内的电子概率分布像交流电一样变化。注意： 它不是半径 r 的函数，而是坐标θ的函数，表明过渡轨道长大过程中，任何一个时刻交流电分布具有 相同的形态(拓扑同构)。如图 3 所示意。只有过渡轨道上有交流电，定态轨道(因为 = a1 0= or a2 0 ) 上没有交流电。 根据波动的相长和相消规律，方程(14)式要求这个交流电必须满足选择定则(波动的相长条件)
ip x iEt = ψ exp x −
(10)
要注意，本文的相对论德布罗意物质波与相对论 Dirac 波动方程以及相对论 Klein-Gordon 波动方程 没有直接的关系。因为，相对论 Dirac 波动方程的波函数是四分量的，与本文不相符；而相对论 Klein-Gordon 波动方程的波函数需要对时间求两次导数，也与本文不相符。