第6章-1 湍流基本理论-2010
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第六讲-湍流模型
是流体的属性是一个常量而a与流体的属性一般来说由于运动的水平尺度和垂直尺度存在差异垂直尺度存在差异以致水平方向上的动量混合与垂直方向上的动量混合一般是不相同的因此ah和av通常是不相等的
第六讲 湍流模型
宋丹
浙江大学海洋科学立雷诺应力与平均运 动之关系，以求解雷诺方程的数学 模型
6.1 湍流粘性系数
（分子粘性系数）和A（湍流粘性系数）的区别： 1、 起源于分子动量的微观传递，而A起源于横向脉 动所引起的在二流体层间的动量宏观传递； 2、湍流粘性系数一般要比分子粘性系数大很多，通常 A要超过 几万倍； 3、 是流体的属性，是一个常量，而A与流体的属性 无关，它决定于湍流的结构，是逐点变化的。
一般来说，由于运动的水平尺度和 垂直尺度存在差异，以致水平方向 上的动量混合与垂直方向上的动量 混合一般是不相同的，因此AH和AV 通常是不相等的。
6.2 Prandtl混合长度理论
当流体湍动地沿壁面流动时，流体质点结成了作为一 个整体运动着的流体团，这样的流体团无论是在横向 上还是在纵向上在给定的长度（l）上是结合在一起的， 并且保持其平行于x轴的动量不变。
混合长度是以其初始的平均速度运 动着的流体团要使它的速度与新的 流体层内的速度差等于当地的湍流 脉动速度的平均值所必须移动的横 向距离。
Prandlt混合长度的概念类似于气体 运动论中的平均自由程。
第六讲 湍流模型
宋丹
浙江大学海洋科学立雷诺应力与平均运 动之关系，以求解雷诺方程的数学 模型
6.1 湍流粘性系数
（分子粘性系数）和A（湍流粘性系数）的区别： 1、 起源于分子动量的微观传递，而A起源于横向脉 动所引起的在二流体层间的动量宏观传递； 2、湍流粘性系数一般要比分子粘性系数大很多，通常 A要超过 几万倍； 3、 是流体的属性，是一个常量，而A与流体的属性 无关，它决定于湍流的结构，是逐点变化的。
一般来说，由于运动的水平尺度和 垂直尺度存在差异，以致水平方向 上的动量混合与垂直方向上的动量 混合一般是不相同的，因此AH和AV 通常是不相等的。
6.2 Prandtl混合长度理论
当流体湍动地沿壁面流动时，流体质点结成了作为一 个整体运动着的流体团，这样的流体团无论是在横向 上还是在纵向上在给定的长度（l）上是结合在一起的， 并且保持其平行于x轴的动量不变。
混合长度是以其初始的平均速度运 动着的流体团要使它的速度与新的 流体层内的速度差等于当地的湍流 脉动速度的平均值所必须移动的横 向距离。
Prandlt混合长度的概念类似于气体 运动论中的平均自由程。
f第六章 湍流2012
对平均流动（时均流）而言，湍流应力的 六个分量和湍流热通量的三个分量，都是未知 的，必须补充九个关系式而同时又不引入别的 未知量，才能使平均流动问题在数学上得以封
闭。这就是所谓的湍流的封闭性问题。
航空宇航学院空气动力学系
第六章
湍流
只要沿将湍流分解成多个部分或层次的思路， 就注定绕不开封闭性问题。针对湍流封闭性问题, 主要是凭借对具体湍流流动的一些实验研究成果和 取得的有关经验，做出一定程度上合理的假设，提 出一些补充关系和方程,这属于半经验和半理论的 方法，即所谓的“湍流模式理论”。这种模式理论， 对理解湍流机理可能会有助益，但真正重要的是其 实际工程应用价值。
航空宇航学院空气动力学系
第六章
湍流
粘性底层: 紧靠近壁面的层次，脉动速度很小， 总应力中粘性应力绝对占优，雷诺应力可以不计， 因此该层称为粘性底层。这大致相当于边界层总 厚度的0.2%。粘性底层又称为线性律层 ,因为
u y
航空宇航学院空气动力学系
第六章
湍流
完全湍流层 :在过渡层外，粘性应力的影响很小 而雷诺应力占绝对优势，这一层为完全湍流层， 又叫对数律层 。上边界大致相当于20%的边界层 厚度。其中常数由试验据定出 。
第六章
动量方程
湍流
U 1 1 u u u v U1 x y x y
内能方程
T T q u cv (u v ) x y y y
航空宇航学院空气动力学系
第六章
湍流
（二）涡流粘性假设和混合长模式理论
•Boussinesq 首先引入涡流粘性假设 来解决雷诺应力模型问题
第六章
湍流
§6.2 湍流时均运动方程——雷诺方程 及其封闭性问题
闭。这就是所谓的湍流的封闭性问题。
航空宇航学院空气动力学系
第六章
湍流
只要沿将湍流分解成多个部分或层次的思路， 就注定绕不开封闭性问题。针对湍流封闭性问题, 主要是凭借对具体湍流流动的一些实验研究成果和 取得的有关经验，做出一定程度上合理的假设，提 出一些补充关系和方程,这属于半经验和半理论的 方法，即所谓的“湍流模式理论”。这种模式理论， 对理解湍流机理可能会有助益，但真正重要的是其 实际工程应用价值。
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第六章
湍流
粘性底层: 紧靠近壁面的层次，脉动速度很小， 总应力中粘性应力绝对占优，雷诺应力可以不计， 因此该层称为粘性底层。这大致相当于边界层总 厚度的0.2%。粘性底层又称为线性律层 ,因为
u y
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第六章
湍流
完全湍流层 :在过渡层外，粘性应力的影响很小 而雷诺应力占绝对优势，这一层为完全湍流层， 又叫对数律层 。上边界大致相当于20%的边界层 厚度。其中常数由试验据定出 。
第六章
动量方程
湍流
U 1 1 u u u v U1 x y x y
内能方程
T T q u cv (u v ) x y y y
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第六章
湍流
（二）涡流粘性假设和混合长模式理论
•Boussinesq 首先引入涡流粘性假设 来解决雷诺应力模型问题
第六章
湍流
§6.2 湍流时均运动方程——雷诺方程 及其封闭性问题
流体力学第六章 边界层理论 (附面层理论)
x
dx
(
4
)
u y
0.
AB上 摩 擦 力 dx
2021/8/5
流体力学第六章
卡门-波尔豪森动量积分关系式的物理意义： 在定常情形下，流出所论区域边界的动量流率等于 作用在区域内流体上一切力的合力。
2021/8/5
流体力学第六章
在方程（6-2-3）中，令k=1，得到列宾森积分方程：
k
U2 U
L
2
2021/8/5
流体力学第六章
比较
p x
U2 L
p y
U2 L2
得
p x
p y
把以上数量级的分析加以整理，得普朗特边界层微分方程式
u
u x
v
u y
p x
2u y 2
p
y
0
u
x
v y
0
证明如下
(6 1 2)
2021/8/5
流体力学第六章
u
第二节 微分方程式的积分—卡门和列宾森方法 6.2.1哥路别夫积分方程
流体力学第六章
u
u x
v
u y
p x
2u y 2
已知普朗特方程组
p y
0
u
x
v y
0
uk 1
udy
ukv
udy
p
uk dy
uk
2u dy
0
x 0
y
x 0
0 y2
积分一
积分二
积分三
其中 (x)
(6 2 1)
x
0
udy
p x
0
uk
dy
k
0
uk1
第六章——不可压缩粘性流体的内部流动
Du Dt
fx
1
p x
2u x2
2u y2
2u z 2
1
3
( V ) x
利用已知条件：
(1) =常数；=常数
(2)定常流动： 0
t
(3)充分发展流动:
u x
2u x2
0
,
u u( y )
(4)质量力沿x分量: fx 0
化简后得：
dp dx
d2u dy2
17
6.3 平板间的层流
压强p与y无关，速度u与x无关，积分得：
单位宽度上的流量为：
Q
h
udy
h g sin ( y2 2hy)dy gh3 sin
0
0 2
3
25
6.4 管内湍流 1. 湍流脉动现象与值 湍流（紊流） ：流动雷诺数Re> 2300的流动 湍流脉动现象：湍流流动参数随时间和空间作随机变化的现象。
26
6.4 管内湍流
图6-10 某热线仪测得的管内轴向瞬时速度
6
6.1 流动阻力
【解】油的平均流速为 V G 0.329(m / s)
A
流动沿程阻力损失为：
hf
l
d
V2 2g
9.94(m)
建立入口和出口间的伯努利方程
V12 2g
z1
p1
g
V22 2g
z2
p2
g
hw
出口端的油压
p0 p2 (V12 V22 ) g(z1 z2 ) p1 ghw 305090(Pa)
u U (1 y ) 2h
6-26
此时，平板间的速度随y呈线性分布，这种由上平板运动带
动流体产生的流动称为库艾特剪切流
2010 第六章 平面势流 流体力学
2
式中 V = u2 + v2 = 2a；r
O
x
图5.4 W = az 2 的流线图
r ——原点到该点的距离。
当r = 0 处，p = p0 ，V = 0 ，C = p0，此时
p0
=
p
+
ρ
2
⋅ 4a2r 2
即 p = p0 − 2ρa 2r 2 为平面中各点压强分布。
15:58
附例2 已知复势函数，求其流场的速度分布。
第六章 平面势流理论
本章内容： 研究不可压理想流体无旋运动流场的 速度分布、压力分布及作用于物体上的力。
Background：
Aviation, ship & ocean eng. water waves.
15:58
势流问题的求解方法
内容（理想流体的势流）：
1、目的是求出流体作用在物体上的力和力矩
u = 2ax
v=
−2ay
（2）由复势
W = az2 = a(x + iy)2 = a(x2 − y2 ) + i2axy
15得:58流函数 ψ = 2axy
y
流线方程ψ = 常量， xy = C ( y ≥ 0)
上半平面的流线图如图所示。
（3）由于流动是无旋的， 按拉格朗日方程求压强分布
p + ρ V 2 = C
(4)入流断面和出流断面的部分流动条件应该是已知的，根据已知条件可以确定这些 断面上的等势线和流线的位置。入流断面和出流断面与平行平面的交线是等势线，称边 界等势线。
在绘制流网时，一般的步骤可以如下
（1）先用铅笔在图纸上按一定的比例绘出流动边界，根据边界条件定出边界流线和 边界等势线。
式中 V = u2 + v2 = 2a；r
O
x
图5.4 W = az 2 的流线图
r ——原点到该点的距离。
当r = 0 处，p = p0 ，V = 0 ，C = p0，此时
p0
=
p
+
ρ
2
⋅ 4a2r 2
即 p = p0 − 2ρa 2r 2 为平面中各点压强分布。
15:58
附例2 已知复势函数，求其流场的速度分布。
第六章 平面势流理论
本章内容： 研究不可压理想流体无旋运动流场的 速度分布、压力分布及作用于物体上的力。
Background：
Aviation, ship & ocean eng. water waves.
15:58
势流问题的求解方法
内容（理想流体的势流）：
1、目的是求出流体作用在物体上的力和力矩
u = 2ax
v=
−2ay
（2）由复势
W = az2 = a(x + iy)2 = a(x2 − y2 ) + i2axy
15得:58流函数 ψ = 2axy
y
流线方程ψ = 常量， xy = C ( y ≥ 0)
上半平面的流线图如图所示。
（3）由于流动是无旋的， 按拉格朗日方程求压强分布
p + ρ V 2 = C
(4)入流断面和出流断面的部分流动条件应该是已知的，根据已知条件可以确定这些 断面上的等势线和流线的位置。入流断面和出流断面与平行平面的交线是等势线，称边 界等势线。
在绘制流网时，一般的步骤可以如下
（1）先用铅笔在图纸上按一定的比例绘出流动边界，根据边界条件定出边界流线和 边界等势线。
湍流的理论与实验研究
湍流的理论与实验研究湍流是流体力学界公认的难题，被认为是经典物理学中最后一个未被解决的问题。
自然界和工程领域的绝大多数流动都是湍流，因此湍流研究具有重大意义。
近年来，随着实验测量技术和数值模拟能力的不断增强，学术界对高雷诺数和高马赫数湍流有了许多新的认识。
我国科学界也结合国家重大战略需求和学科发展前沿，分析国际上湍流研究的特点、现状和发展趋势，希望对湍流产生机制和流动本质进行深入研讨，加强与航空、航天、航海等相关单位和部门间的沟通与联系，推动湍流研究的发展。
针对国内学科发展现状，尤其是实验研究相对薄弱的特点，国家自然科学基金委员会数理科学部、工程与材料科学部和政策局，于2014年3月20-21日在北京联合举办了第110期双清论坛，论坛主题为“湍流的理论与实验研究”。
来自全国15个单位的近50位流体力学与工程领域的专家学者应邀出席。
与会专家通过充分而深入的研讨，凝练了该领域的重大关键科学问题，探讨了前沿研究方向和科学基金资助战略。
本期特刊登此次论坛学术综述。
一、湍流研究的重要意义自1883年雷诺（Reynolds）发现湍流以来，湍流问题的研究一直困扰着众多学者。
著名物理学家费曼曾说，湍流是经典物理学中最后一个未被解决的难题；2005年《科学》杂志在其创刊125周年公布的125个最具挑战性的科学问题中，其中至少两个问题与湍流相关。
在我们日常生活中，湍流无处不在。
自然界和工程应用中遇到的流动，绝大部分是复杂的湍流问题。
在自然界，从宇宙星系的时空演化，到星球内部的翻滚流动，从大气环流的全球运动，到江河湖泊的区域流动，都有湍流的身影。
在工程领域，从陆地、海洋、空天等交通运载工具，到原子弹、氢弹、导弹、战斗机、舰船等国防武器的设计；从全球气象气候的预报，到地区水利工程的设计；从传统行业如叶轮机械、房桥建筑、油气管道，到新兴行业如能源化工、医疗器械、纳米器件的设计，都需要了解和利用湍流。
因此，湍流流动的研究不仅仅是一个学科发展的问题，更具有重要的工程应用价值。
湍流基础
ρ[
∂w ∂ ( w u ) ∂ ( w v ) ∂ ( w w ) ∂p ∂ ∂w + + + ] = − + (µ − ρw'u ' ) ∂τ ∂x ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂ ∂w ∂ ∂w ' ' 与速度脉动有关 + (µ − ρw v ) + ( µ − ρw' w' ) ∂y ∂y ∂z ∂z 的附加项
du v = cl l dy
' '
u’、v’ 符号相反： 、 符号相反：
u 'v ' = − u ' v '
' ' '2
τ
' yx
du 2 = ρu v = ρcl l ( ) dy
' yx
τ
du 2 = ρu v = ρl ( ) dy
' ' 2
τ =τ
' yx
' xy
∂v ∂u + ) = − ρu v = µ t ( ∂x ∂y
10-2湍流的基本方程 湍流的基本方程
φ = φ +φ'
连续性方程： 连续性方程：
∂u ∂v ∂w + + =0 ∂x ∂y ∂z
把瞬时值代入上式后， 把瞬时值代入上式后，再作时均运算
0
∂u ∂v ∂w + + =0 ∂x ∂y ∂z
X向动量方程（忽略体积力）： 向动量方程（忽略体积力）： 向动量方程
F=80.00
F=81.12 图6. Re=750、No.10,11,12周期的温度场 Fig.6 No.10,11,12 Temperature fields at Re=750
高等流体-第八讲,湍流理论
2 U x u 1 P p 2 U x u x x v 2 2 x x y
U y u y t
U x u x
U y u y x
(U y u y )
2、涡粘性
涡粘性是流体流动的性质，而不像分子粘性那样是 流体的物理性质。涡粘性是指由于涡旋的运动引起的
类似于分子运动导致的粘性效应。湍流中小尺度的涡
旋对大尺度的涡旋的作用是一种扩散作用。涡粘性系 数起到削弱湍流平均运动速度的效果 。 3、级串 cascade 是指大小涡旋的能量传递，在级串过程中，第一级 大涡的能量一般来自外界。大涡失后产生第二级的小 涡，小涡失稳后产生更小的涡旋。 4、标度律 充分发展了的湍流运动，应服从标度律。
uy x i (x t ) u i ( y ) e y x
( y )ei (x t )
2 u u u u u d Ux y y x x x 代入： ( ) Ux ( ) uy t y x x y x dy2 uy 1 p 2 u x v ( ) x y x
u 主流流动（平均流动）Ux、 Uz P +小扰动流动 、U y x , u y , uz , p
u x U x u x u y U y u y z u z U z u
p P p
为了简单起见，考虑不可压缩流体，二维平行定常流动+二维非定常流
uy
1 P p Ux v 2u y t x y uy
由于主流满足： 1 P 2U x v y 2 x P 0 y u u dU x 1 p x x Ux uy v 2u x t x dy x uy uy 1 p Ux v 2u y t x y
U y u y t
U x u x
U y u y x
(U y u y )
2、涡粘性
涡粘性是流体流动的性质，而不像分子粘性那样是 流体的物理性质。涡粘性是指由于涡旋的运动引起的
类似于分子运动导致的粘性效应。湍流中小尺度的涡
旋对大尺度的涡旋的作用是一种扩散作用。涡粘性系 数起到削弱湍流平均运动速度的效果 。 3、级串 cascade 是指大小涡旋的能量传递，在级串过程中，第一级 大涡的能量一般来自外界。大涡失后产生第二级的小 涡，小涡失稳后产生更小的涡旋。 4、标度律 充分发展了的湍流运动，应服从标度律。
uy x i (x t ) u i ( y ) e y x
( y )ei (x t )
2 u u u u u d Ux y y x x x 代入： ( ) Ux ( ) uy t y x x y x dy2 uy 1 p 2 u x v ( ) x y x
u 主流流动（平均流动）Ux、 Uz P +小扰动流动 、U y x , u y , uz , p
u x U x u x u y U y u y z u z U z u
p P p
为了简单起见，考虑不可压缩流体，二维平行定常流动+二维非定常流
uy
1 P p Ux v 2u y t x y uy
由于主流满足： 1 P 2U x v y 2 x P 0 y u u dU x 1 p x x Ux uy v 2u x t x dy x uy uy 1 p Ux v 2u y t x y