安徽名校2020-2021学年高二上学期期中联考数学(文)试题
高二文科数学试卷 第1 页(共4页)
2020~2021学年安徽名校第一学期期中联考
高二文科数学
本试卷共4页,全卷满分150分,考试时间120分钟。
考生注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答
题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在
试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和
答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的。
1.若集合M=x0
A.0,1(]B.0,3(]C.0,2(]D.-2,1
(]
2.在平行四边形ABCD中,AE→=34AC→,设AB→=a,BC→=b,则向量DE
→
=
A.
14a-34bB.34a-1
4
b
C.
23a-13bD.13a-2
3
b
3.正项等比数列an{}的公比是13,且a2a4=1,则其前3项的和S
3
=
A.14B.13C.12D.11
nx,
v=1
in=-1
ii=-1
vvxi=+
i≥？0
v
4.秦九韶是我国南宋时期的数学家,在他所著的《数书九章》中提出的多项式
求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法,给出如图所示的秦九韶算法
程序框图,若输入n,x的值分别为5,2,则输出v的值是
A.259B.32C.65D.130
5.已知x,y的取值如下表所示:
x2345
y2.23.85.5m
若y与x线性相关,且回归直线方程为
^
y=1.46x-0.61,则表格中实数m的值
为
A.6.5B.6.69C.7.5D.7.69
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4
2242
2
6.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是
A.322B.322+166
C.323D.162+246
7.已知函数f(x)=sinωx+φ()(ω>0,φ<π2)图象上相邻两条对称轴
之间的距离为π2,且若将函数y=f(x)的图象向左平移π3个单位后,
得到的图象关于y轴对称,那么函数y=f(x)的图象
A.关于点π12,0()对称B.关于点-π12,0
()
对称
C.关于直线x
=
π12对称D.关于直线x=-π
12
对称
x
y
O
8.如图是函数H(x)图象的一部分,设函数f(x)=sinx,g(x)=1x,则
H(x)可以表示为
A.f(x)·g(x)B.
f(x)
g(x)
C.f(x)+g(x)D.f(x)-g(x)
9.若2cos2α-sin2αsinα+cosα=-6,则cosα·tan(α-π4)
=
A.-32B.32C.-3D.3
10.在平面四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,将该四边形沿着对角线BD折叠,得到空间四边形
ABCD,则异面直线AC,BD所成的角是
A.π6B.π4C.π3D.
π
2
11.在△ABC中,AB→=(cos24°,cos66°),AC→=(2cos69°,2cos21°),则△ABC的面积为
A.22B.2C.22D.
2
3
12.设函数f(x) ì î ï 数t的取值范围是 ) 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。 14.某人将甲、乙两颗骰子先后各抛一次,a,b分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所得的点数,若点S(a, b)落在不等式组x>0y>0 ì î ï 15.已知一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形.则此圆锥外接球的体积是. 是. 已知圆C:x2+y2=14和直线l:y=kx-1(k∈R). 18.(12分) 05.115.225.335.445. （） (2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,说明理由; 19.(12分) D⊥平面ACD(如图 所示). A B A B D (1)证明:AB1⊥平面B (2)若AB=1,BC=2,求三棱锥B1-ACD的体积. 20.(12分) 相垂直. (2)若△ABC外接圆的半径是1,面积是32,求△ABC的周长. 21.(12分) (1)求实数c的值和fz()的解析式; (2)若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆C截得的弦长为6,求 22.(12分) = ∗ (1)求数列a (2)若不等式1a1a2+1a2a3+…+1anan+1≥log λ对任意n∈N
=
x,-1
f(x-1)
+
1,0
í
ï
ï
若函数y=f(x)-4t在区间(-1,1)内有且仅有两个零点,则实
A.(-14,+∞)B.(-∞,0)C.(-14,0)D.-14,0
é
ë
ê
ê
13.已知角α的终边经过点P(4,-3),则2sinα+cosα的值是.
x+y≤4
í
ï
ï
表示的平面区域内的事件记为A,则事件A的概率是.
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16.过点T(1,2)引直线l分别交x、y轴正半轴于A、B两点,当△OAB的面积最小时,直线l的方程
三.解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)
(1)若直线l与圆C相交,求k的取值范围;
(2)若k=1,点P是圆C上一个动点,求点P到直线l距离的最大值和最小值.
我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查,
通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),
…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
O
0.04
0.08
0.12
0.16
a
0.42
0.50
/
(1)求直方图中a的值;
(3)估计居民月均用水量的中位数.
在矩形ABCD中,将△ABC沿其对角线AC折起来得到△AB
1C,且平面AB1
B
C
D
1
C
1
CD;
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在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且向量m=(a-c,
b2)和向量n=(a+c
2
,b-3a)互
(1)求角C的大小;
设函数fz()对一切实数m,n都有fm+n()-fn()=mm+2n+1()成立,且f1()=0,f(0)=c,圆C
的方程是(x+1)
2+(y+c)2
=
9.
4a+b
ab
的最小值.
设数列a
n{}的前n项和Sn
n2,n∈N
.
n
{}
的通项公式;
1
8
∗
恒成立,求实数λ的取值范围.
2020-2021学年安徽省合肥十一中高二(上)期中数学试卷(文科)
2020-2021学年安徽省合肥十一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.直线x−y−1=0的倾斜角是()A. π6B. π4C. π3D. π22.若直线l与平面α平行，直线a⊂α，则l与a位置关系()A. 平行B. 异面C. 相交D. 没有公共点3.直线3x−4y−12=0在x轴上的截距为()A. 7B. 1C. 4D. 34.点P(1,4)关于x轴的对称点为Q，则点Q的坐标为()A. (4,1)B. (−1,−4)C. (1,−4)D. (−1,4)5.已知直线l1：ax+2y−3=0，l2：3x+(a+1)y−a=0，若l1⊥l2，则a的值为()A. −25B. 25C. 1D. −26.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A. 12√2πB. 12πC. 8√2πD. 10π7.圆C1：x2+y2−4x+3=0与圆C2：(x+1)2+(y−4)2=a外切，则实数a的值为()A. 4B. 16C. 8D. 128.已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，给出下列命题：①{m⊥αm⊥n ⇒n//α②{m⊥βn⊥β⇒n//m③{m⊥αm⊥β⇒β//α④{m⊂αn⊂βα//β⇒m//n，其中的正确命题序是()A. ②③B. ③④C. ①②D. ①②③④9.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1−BB1D1D的体积为()A. √23B. 13C. √26D. 1410.圆：x2+y2−2x−2y+1=0上的点到直线x−y=2的距离最大值是()A. 2B. 1+√2C. 1+√22D. 1+2√211.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A. √5−14B. √5−12C. √5+14D. √5+1212.《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑．在鳌臑P−ABC中，PA⊥平面ABC，PA=4，AB=BC=2，鳌臑P−ABC的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是()A. 16πB. 20πC. 24πD. 64π二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.原点到直线x+2y−5=0的距离为______ ．14.若球的半径为2，则与球心距离为√3的平面截球所得的圆面面积为______ ．15.某几何体的三视图如图，则它的体积是______．16.已知直线l：kx−y+1−2k=0(k∈R).则点A(5,0)到l的距离的最大值为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知A，B为直线l1上两点，且A(1,0)，B(−3,3)，直线l2：6x+my+14=0．(1)求直线l1方程；(2)若l1//l2，求l1，l2之间的距离．18.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为棱DD1的中点．(1)证明：BD1//平面PAC；(2)求异面直线BD1与AP所成角的大小．19.已知圆心为C的圆经过点A(1,0)，B(2,1)，且圆心C在y轴上．(1)求圆C的方程．(2)求以点P(−1,1)为中点的弦所在的直线l方程．20.如图，三棱锥A−BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．(Ⅰ)求证：CD⊥平面ABD；(Ⅱ)若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A−MBC的体积．21.阿波罗尼斯(约公元前262−190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.已知动点M 到点A(−1,0)与点B(2,0)的距离之比为2，记动点M的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)过点P(5,−4)作曲线C的切线，求切线方程．22.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，PA=AB=AC=2，平面PAC⊥底面ABCD，E是PC上的一点．(1)证明：平面PAC⊥平面EBD；(2)若直线PA//平面EBD，且PC=2√2，求直线ED与平面ABCD所成角的大小．答案和解析1.【答案】B【解析】解：直线y=x−1的斜率是1，．所以倾斜角为π4故选：B．根据直线方程求出斜率，根据斜率得出对应的倾斜角．本题考查了根据直线方程求斜率与倾斜角的应用问题，是基础题目．2.【答案】D【解析】解：∵直线l与平面α平行，∴l与平面α没有公共点，又直线a⊂α，∴l与a没有公共点，故C错误，D正确；直线l与直线a没有公共点，则l与a可能平行，也可能异面，故A与B错误．故选：D．由直线与平面平行的定义可得l与平面α没有公共点，即可判断C与D；结合没有公共点的直线可能平行也可能异面判断A与B．本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．3.【答案】C【解析】解：由3x−4y−12=0，令y=0可得x=4，故选：C．结合直线的截距的定义即可直接求解．本题主要考查了直线的截距的应用，属于基础试题．4.【答案】C【解析】解：由题意得：点P(1,4)关于x轴的对称点为Q(1,−4)，故选：C．根据点P(x,y)关于x轴的对称点为P′，则P′(x,−y)，求出答案即可．本题考查了对称关系，考查求点的坐标问题，是一道基础题．5.【答案】A【解析】解：∵直线l1：ax+2y−3=0，l2：3x+(a+1)y−a=0，若l1⊥l2，∴a×3+2×(a+1)=0，求得a=−2，5故选：A．由题意利用两条直线垂直的性质，求得a的值．本题主要考查两条直线垂直的性质，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：设圆柱的底面直径为2R，则高为2R，圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，可得：4R2=8，解得R=√2，则该圆柱的表面积为：π⋅(√2)2×2+2√2π×2√2=12π．故选：B．利用圆柱的截面是面积为8的正方形，求出圆柱的底面直径与高，然后求解圆柱的表面积．本题考查圆柱的表面积的求法，考查圆柱的结构特征，截面的性质，是基本知识的考查．7.【答案】B【解析】解：根据题意，圆C1：x2+y2−4x+3=0，即(x−2)2+y2=1，其圆心C1为(2,0)，半径R=1，圆C2：(x+1)2+(y−4)2=a，其圆心C2为(−1,4)，半径r=√a，若两圆外切，必有|C1C2|=√9+16=5=√a+1．解可得：a=16，故选：B．根据题意，求出两个圆的圆心与半径，由圆与圆的位置关系可得|C1C2|=√9+16=5=√a+1，解可得a的值，即可得答案．本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的方程，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，知：对于①可得到n//α或n⊂α，故①错误；对于②可得到n//m，由直线与平面垂直的性质定理得②正确；对于③可得到β//α，由面面平行的判定定理得③正确；对于④m//n或m，n异面，故④错误．，故选：B．在①中，有可能n⊂α；在②中，由直线与平面垂直的性质定理能判断正误；在③中，由面面平行的判定定理能判断正误；在④中，m，n有可能异面．本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间相互关系的合理运用．9.【答案】B【解析】解：由题意可知四棱锥A1−BB1D1D的底面是矩形，边长：1和√2，四棱锥的高：12A1C1=√22．则四棱锥A1−BB1D1D的体积为：13×1×√2×√22=13．故选：B．求出四棱锥的底面面积与高，然后求解四棱锥的体积．本题考查几何体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．10.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查圆上的点到直线的距离问题，属于基础题．先将圆x2+y2−2x−2y+1=0转化为标准方程：(x−1)2+(y−1)2=1，明确圆心和半径，再求得圆心(1,1)到直线x−y=2的距离，最大值则在此基础上加上半径长即可．【解答】解：圆x2+y2−2x−2y+1=0可化为标准形式：(x−1)2+(y−1)2=1，∴圆心为(1,1)，半径为1，圆心(1,1)到直线x−y=2的距离d=√2，则所求距离最大为1+√2，故选：B．11.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查棱锥的几何性质，属于中档题．先根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而求解结论．【解答】解：设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为ℎ′，则依题意有：{ℎ2=12aℎ′ℎ2=ℎ′2−(a2)2因此有ℎ′2−(a2)2=12aℎ′⇒4(ℎ′a)2−2(ℎ′a)−1=0⇒ℎ′a=√5+14(负值舍去)；故选：C．12.【答案】C【解析】解：把鳌臑P−ABC补成一个长方体，如图所示：则长方体的外接球即是鳌臑P−ABC的外接球，又∵PA=4，AB=BC=2，×√42+22+22=√6，∴长方体的外接球半径R=12∴鳌臑P−ABC的外接球半径为R=√6，则该球的表面积是4πR2=24π，故选：C．根据题意，把鳌臑P−ABC补成一个长方体，则长方体的外接球即是鳌臑P−ABC的外接球，从而求出鳌臑P−ABC的外接球半径为R，再利用球的体积公式即可求出结果．本题主要考查了三棱锥的外接球，是基础题．13.【答案】√5=√5．【解析】解析：根据点到直线的距离公式，得d=√12+22故答案为：√5．用点到直线的距离公式直接求解．点到直线的距离公式是高考考点，是同学学习的重点，本题是基础题．14.【答案】π【解析】解：根据题意，截球所得圆的半径r=√4−3=1，∴截球所得圆的面积为：π．故答案为：π．可求出截球所得圆的半径，然后即可求出截球所得圆的面积．本题考查了球心和截球所得圆的圆心的连线和球截面垂直，圆的面积公式，考查了计算能力，属于基础题．15.【答案】8−2π3【解析】【分析】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知的三视图判断出几何体的形状是解答的关键．由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱挖掉一个圆锥形成的组合体，分别求出棱柱和圆锥底面面积和高，代入可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱挖掉一个圆锥形成的组合体，棱柱是一个棱长为2的正方体，故V=8；圆锥的底面直径为2，故底面面积S=π，高ℎ=2，故V=2π3，故组合体的体积为：8−2π3．故答案为：8−2π3．16.【答案】√10【解析】解：根据题意，直线l：kx−y+1−2k=0，即y−1=k(x−2)，过定点(2,1)，设M(2,1)，当直线l与直线AM垂直时，点A(5,0)到l的距离最大，且其最大值为|AM|=√9+1=√10，故答案为：√10．根据题意，分析直线l经过定点(2,1)，设该定点为M，进而由点到直线的距离公式分析可得答案．本题考查点到直线的距离，涉及直线过定点的问题，属于基础题．17.【答案】解：(1)∵A，B为直线l1上两点，且A(1,0)，B(−3,3)，直线l2：6x+my+14=0，∴k1=k AB=−34，∴直线l1方程为：3x+4y−3=0．(2)∵l1//l2，∴63=m4≠14−3，即m=8，故直线l2：6x+my+14=0可化为3x+4y+7=0，∴两平行线之间的距离d=√32+42=2．【解析】(1)由题意利用直线的斜率公式求出直线l1的斜率，再用点斜式求直线直线l1的方程．(2)由题意利用两条直线平行的性质求得m的值，再利用两条平行直线间的距离公式，求得l1，l2之间的距离．本题主要考查直线的斜率公式，用点斜式求直线的方程，两条直线平行的性质，两条平行直线间的距离公式，属于基础题．18.【答案】(1)证明：设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点．连结PO ，又因为P 是DD 1的中点，所以PO//BD 1．又因为PO ⊂平面PAC ，BD 1⊄平面PAC所以直线BD 1//平面PAC ．(2)解：由(1)知，PO//BD 1，所以∠APO 即为异面直线BD 1与AP 所成的角．因为PA =PC =√2，AO =12AC =√22且PO ⊥AO ， 所以sin∠APO =AO AP =√22√2=12． 又∠APO ∈(0°,90°]，所以∠APO =30°故异面直线BD 1与AP 所成角的大小为30°．【解析】(1)AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点．推导出PO//BD 1.由此能证明直线BD 1//平面PAC ．(2)由PO//BD 1，得∠APO 即为异面直线BD 1与AP 所成的角．由此能求出异面直线BD 1与AP 所成角的大小．本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系的求法，运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)设圆C 的标准方程为(x −a)2+(y −b)2=r 2，r >0， ∵圆心C 在y 轴上，∴a =0，又∵A(1,0)，B(2,1)在圆上，{1+b 2=r 24+(1−b)2=r 2⇒{b =2r 2=5， 所以圆C 的标准方程为：x 2+(y −2)2=5；(2)∵点P 为直线l 中点，∴由圆的性质可知CP ⊥l ，∵k CP =1−2−1−0=1，∴k l =−1，∴直线l方程为y−1=−(x+1)，即x+y=0．【解析】(1)设圆C的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，r>0，由题设求出圆心的坐标(a,b)及半径r，即可求得其方程；(2)利用直线PC⊥l求得l的斜率，即可求得直线l方程．本题主要考查圆的方程的求法及性质的应用，属于中档题．20.【答案】(Ⅰ)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，∵CD⊥BD，AB∩BD=B，，∴CD⊥平面ABD．(Ⅱ)解：∵AB⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BD．∵AB=BD=1，∴S△ABD=12，∵M为AD的中点，∴S△ABM=12S△ABD=14，∵CD⊥平面ABD，∴V A−MBC=V C−ABM=13S△ABM⋅CD=112．【解析】本题考查线面垂直，考查三棱锥A−MBC的体积，正确运用线面垂直的判定定理是关键，属于中档题．(Ⅰ)要证明CD⊥平面ABD，只需证明AB⊥CD；(Ⅱ)利用转换底面，V A−MBC=V C−ABM=13S△ABM⋅CD，即可求出三棱锥A−MBC的体积．21.【答案】解：(1)设动点M的坐标为(x,y)，则|MA|=√(x+1)2+y2，|MB|=√(x−2)2+y2，所以√(x+1)2+y2√(x−2)2+y2=2，化简得(x−3)2+y2=4，因此，动点M的轨迹方程为(x−3)2+ y2=4；(2)当过点P的直线无斜率时，直线方程为x−5=0，圆心C(3,0)到直线x−5=0的距离等于2，此时直线x−5=0与曲线C相切；当切线有斜率时，不妨设斜率为k，则切线方程为y+4=k(x−5)，即kx−y−5k−4=0，由圆心到直线的距离等于半径可知，|3k−5k−4|√k2+1=2，解得k=−34．所以，切线方程为3x+4y+1=0．综上所述，切线方程为x−5=0或3x+4y+1=0．【解析】(1)设动点M的坐标为(x,y)，求出距离，列出方程化简求解即可．(2)当过点P的直线无斜率时，验证即可；当切线有斜率时，不妨设斜率为k，切线方程为kx−y−5k−4=0，利用圆心到直线的距离等于半径求解即可．本题考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．22.【答案】(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又因为平面PAC⊥底面ABCD交于AC，所以BD⊥平面PAC，又BD在平面EBD内，所以平面EBD⊥平面PAC．(2)设AC与BD交于O点，连接EO，因为PA=AC=2，PC=2√2，所以△PAC为等腰直角三角形，则PA⊥AC．因为平面PAC⊥底面ABCD交于AC，所以PA⊥底面ABCD．又因为PA//平面EBD，所以PA//EO，则EO⊥底面ABCD，则∠EDO为直线ED与平面ABCD所成角，因为O是AC的中点，所以E是PC的中点，则EO为△PAC中位线．因为PA=2，则所以EO=1．因为底面ABCD为菱形，AB=AC=2，则DO=√3．所以tan∠EDO=EODO =√33，故∠EDO=30°，则直线ED与平面ABCD所成角的大小为30°．【解析】(1)证明BD⊥AC，推出BD⊥平面PAC，然后证明平面EBD⊥平面PAC．(2)设AC与BD交于O点，连接EO，说明∠EDO为直线ED与平面ABCD所成角，然后求解∠EDO=30°，得到结果．本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力．。
2020年11月安徽名校高二上学期期中联考文科数学试题参考答案
所以
1.46 0.61 ，解得 m 6.5.
4
2
6.【解析】几何体为直三棱柱, 高为 4, 底面是腰为 2 6, 底边是 4 2, 底边上的高是 4 的等腰三
1 角形, 因此其表面积是 2 4 2 4 2 4 2 6 4 4 2 32 2 16 6.
2
π 7.【解析】由函数 y f (x) 图象相邻两条对称轴之间的距离为 可知其周期为 π ，所以
3
31
2.【解析】 DE AE AD (a b) b a b.
4
44
3.【解析】因为正项等比数列 an 满足 a2 a4 1，由于 a2a4 a32 ，所以
a32
1, a3
1, a1q2
1.
因为 q
1 3
，所以 a1
9. 因此 S3
a1(1 q3) 1 q
13.
4.【解析】初始值 n 5, x 2 ，程序运行过程如下表所示 v 1； v 1 2 4 6 ；
2
2
所以 2 AB AC AB AC cos A,cos A ,sin A .
2
2
1
2
于是 ABC 的面积为 AB AC sin A .
2
2
x, 12.【解析】 f (x) 1 x 1 1,
1 x 0 0 x 1.
其图象如下.
函数 y f (x) 4t 在区间 (1,1) 内有且仅有两个零点
其高是
2 3, 外接圆的半径是
3
42
. 故此圆锥外接球的体积为 (
3 )3 32
3 .
3
33
27
16.【答案】 2x y 4 0 【解析】设Ａ（ a ，０），Ｂ（０， b ），其中 a ， b ＞０，则直线 l
2020-2021学年安徽省池州市第一中学高二上学期期中考试数学(文)试题 Word版
4池州市第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学（文科）试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．若直线过点(1,2)，(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，异面直线AB ，A 1D 1所成的角等于 ( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°3．如图所示的正方体中，M 、N 分别是AA 1、CC 1的中点，作四边形D 1MBN ，则四边形D 1MBN 在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是( )4．若点A (－2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是 ( ) A ．k ≤34或k ≥43B ．k ≤－43或k ≥－34C ．34≤k ≤43D ．－43≤k ≤－345．过点P (0,1)且和A (3,3)，B (5，－1)距离相等的直线的方程是 ( )A ．y ＝1B ．2x ＋y －1＝0C ．y ＝1或2x ＋y －1＝0D ．2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝06．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1AD 上运动，则异面直线CP 与1BA 所成角θS 的取值范围是（） A ．02πθ<<B ．02πθ<≤C.03πθ<≤D ．03πθ≤≤7．已知直线l 1：ax ＋4y －2＝0与直线l 2：2x －5y ＋b ＝0互相垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c 的值为( ) A ．－4B ．20C ．0D ．248．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（）A ．510B 71020C ．2105D 213134PQ M N A B CD 9．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是 ( ) A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④10．如图所示，则这个几何体的体积等于( )A ．4B ．6C ．8D ．1211．已知直线121:210,:(21)+02l x ay l a x ay +-=--=与平行，则a 的值是（） A ．0或1 B ．0或14C ．0 D ．1412．一个倒置的圆锥形漏斗，底面半径是10cm ，母线长是26cm ，把一个球放在漏斗内，圆锥的底面正好和球相切，则这个球的体积是( ) A ．π813200B ．π8132000C ．π812300D ．π8123000二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的相应横线上） 13．已知点M 是直线l ：3x －y ＋3＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 旋转30°，所得到的直线l ′的方程为________________________________。
安徽省安庆市怀宁县第二中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学(文)试题 Word版含答案
2020—2021学年度第一学期期中考试高二数学试题（文科）第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．直线310x y+-=的倾斜角是A．30B．120︒C．135︒D．150︒2．已知△ABC是边长为4的等边三角形，则△ABC的斜二测直观图的面积为A．6B．26C．43D．233．如图是一个几何体的三视图，则此几何体的直观图是A．B．C．D．4．已知直线310x y+-=与直线2330x my++=平行，则它们之间的距离是A．1B．54C．3D．45．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断正确的是A．平面BME//平面CAN B．AF CN//C ．//BM 平面EFD D ．BE 与AN 相交6．已知α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，有以下命题： ①若m α⊥，m β⊥，则αβ∥.②若//m α，//n α，则//m n .③若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥.④若l αβ=，m α⊂，m l ⊥，则m β⊥. 其中真命题有A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④ 7．与直线2x+y －1=0关于点（1－0）对称的直线方程是A ．2x+y －3=0B ．2x+y +3=0C ．x +2y +3=0D ．x+2y －3=0 8．若方程224250x y mx y m ++-+=表示的曲线为圆，则m 的取值范围是 A ．114m << B ．14m <或1m C ．14m < D ．1m 9．已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数a = A ．1 B ．1- C ．2-或1 D ．2或1 10．如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形，ED ⊥平面ABCD ，FC ⊥平面ABCD ，22ED FC ==，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为A ．13B ．55C ．31010D ．2311．在直三棱柱111ABC A B C -中，13AB BC AB BC ，，==⊥，122AA =，则其外接球的体积为A ．12πBC ．D ． 12．已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是A ．()1,1-B ．()(),11,∞∞--⋃+C ．[]1,1-D ．][(),11,∞∞--⋃+第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知直线1:(2)(1)10l a x a y ++--=与直线2:(1)(23)20l a x a y -+++=垂直，a =_____－14．已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11C D 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为 .15．设三棱锥P ABC -的三条侧棱两两垂直，且2PA PB PC ===，则三棱锥P ABC -的体积是______．16．经过点P （2，1）作直线l 分别交x 轴、y 轴的正半轴于A 、B 两点，当△AOB 面积最小时，直线l 的方程为_____.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知平面内两点(8,6),(2,2)A B -.（1）求AB 的中垂线方程；（2）求过点(2,3)P -且与直线AB 平行的直线l 的方程．18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，,D E 分别是11A B ，BC 的中点. 求证：（1）平面ACD ⊥平面11BCC B ；（2）1//B E 平面ACD .19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//BC AD ，AB BC ⊥，1AB BC ==，2AD AP ==，E 为PD 的中点，F 为BP的中点.（1）求证：//CE 平面PAB ；（2）求点D 到平面PBC 的距离.20．已知直线l 方程为()2380m x my m +---=，m R ∈.（1）求证：直线l 恒过定点P ，并求出定点P 的坐标；（2）若直线l 在x 轴，y 轴上的截距相等，求直线l 的方程.21．求下列圆的方程（1）已知点A (-4，-5)，B (6，-1)，以线段AB 为直径的圆的方程． （2）过两点C (-1，1)和D (1，3)，圆心在x 轴上的圆的标准方程．22．在正方体1111ABCD A B C D -中.（1）求证：11C D BD ⊥；（2）M 是AB 中点时，求直线1C M 与面11BCD A 所成角.2020—2021学年度第一学期期中考试高二数学试题（文科）参考答案1．D【解析】【分析】首先求出直线的斜率，由倾斜角与斜率的关系即可求解.【详解】直线10x +-=的斜率k== 设其倾斜角为()0180θθ︒≤<︒，则tan θ=， ∴150θ=︒.故选：D.【点睛】本题考查了直线斜率与倾斜角的关系，属于较易题.2．A【解析】【分析】本题首先可以设△ABC 的原图面积为1S 以及斜二测直观图的面积为2S ，然后根据题意求出△ABC 的原图面积1S ，最后根据原图面积与斜二测直观图面积比值为果.【详解】设△ABC 的原图面积为1S ，斜二测直观图的面积为2S ，因为△ABC 是边长为4的等边三角形，所以△ABC 的原图面积11423432S ，因为原图面积与斜二测直观图面积比值为1222S S ， 所以斜二测直观图的面积12622S S ，故选：A. 【点睛】本题考查三角形的斜二测直观图的面积的求法，可通过原图面积与斜二测直观图面积比值为.3．D【解析】【分析】由已知可得原几何体是一个圆锥和圆柱的组合体，上部分是一个圆锥，下部分是一个圆柱，而且圆锥和圆柱的底面积相等，故此几何体的直观图是：故选D【详解】4．B【解析】【分析】12m m=⇒=10y +-=可化为220y +-=，再由两直线之间的距离公式，即可求解.【详解】10y +-=与直线30my ++=12m m=⇒=，即230y ++=10y +-=可化为220y +-=，所以两直线之间的距离为54d ==，故选B. 【点睛】本题主要考查了两条平行线的距离的求解，其中解答中根据两直线的平行关系，求得m 的值，再利用两平行线间的距离公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．A【解析】【分析】将正方体的平面展开图复原为几何图形，进而判断选项的正误即可.【详解】解：将正方体的平面展开图复原为几何图形，选项A ，如图可知//AN BM ，且BM ⊂平面BME ，//AN 平面BME ， NC BE //，且BE ⊂平面BME ，//NC 平面BME ，所以平面BME //平面CAN ，故正确.选项B ，如图，可知AF 与CN 为异面直线，不平行，故错误.选项C ，如图可知平面EFD 与BM 会相交，并不平行，故错误.选项D，如图可知BE与AN为异面直线，不相交，故错误.故选：A.【点睛】本题考查空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的关系，考查空间想象能力，属于基础题.6．B【解析】【分析】①由线面垂直的性质和面面平行的定义，命题正确②m与n有可能相交，命题错误③由面面垂直的判定定理判断，命题正确④成立的前提是面面垂直，命题错误【详解】对命题①，由线面垂直的性质和面面平行的定义可知，若m α⊥，m β⊥，则α平面与β无公共点，可证αβ∥，命题①正确对命题②，若m 与n 为另一平行平面的两条交线，也满足条件，但推不出结论，命题②错误对命题③，由面面垂直的判定定理可知：如果一个平面经过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直. ③中m α⊂，m β⊥，所以αβ⊥．命题③正确对命题④，若二面角的平面角为锐角时，m 与β斜交，命题④错误．【点睛】本题考查空间线面位置关系的判断证明，旨在考查学生基础知识的掌握能力和空间想象能力 7．A【解析】在所求直线上取点（x－y ），关于点（1－0）对称的点的坐标为（a－b ），则1202x a y b +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩－a=2-x－b=-y－－－a－b ）在直线2x+y -1=0上 －2a+b -1=0－2－2-x－-y -1=0－2x+y -3=0故选A8．B【解析】【分析】根据二元二次方程表示圆的条件，可以求得若方程224250x y mx y m ++-+=表示圆，必有2164200m m +->，即可求出m 的取值范围.【详解】方程224250x y mx y m ++-+=表示圆，必有2164200m m +->， 即24510m m -+>，解可得，14m <或1m ， 故选：B.【点睛】 本题考查二元二次方程表示圆的条件，若方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆，则有2240D E F +->，考查计算能力，属于基础题.9．D【解析】【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a 的值，即可得到答案．【详解】由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为122x y a a a+=--，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a 2a a-=-，解得a 1=； 综上所述，实数a 2=或a 1=．故选D ．【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10．C【解析】【分析】根据题意画出图形,取ED 中点P ,连接,AP PF ,可得//AP BF ,故EAP ∠为异面直线AE 与BF 所成角,结合已知,即可求得答案.【详解】根据题意画出图形,取ED 中点P ,连接,AP PF//PD FC 且PD FC =∴四边形PDFC 是平行四边形∴//PF DC 且PF DC =又四边形ABCD 是的正方形可得//AB DC 且AB DC =故//AB PF 且AB PF =∴四边形ABPF 是的平行四边形∴//BF AP 且BF AP =故EAP ∠为异面直线AE 与BF 所成角在Rt APD 根据勾股定理可得:AP ==在Rt EAD 根据勾股定理可得:AE ===在EAP 中根据余弦定理:2222cos EP EA AP EA AP EAP =+-⋅⋅∠ 可得：222cos 2EA AP EP EAP EA AP+-∠=⋅=== 故选:C【点睛】本题考查求异面直线夹角,解题关键是掌握异面直线夹角的定义和将异面直线夹角转化为共面夹角的求法,考查分析能力和计算能力,属于中档题.11．D【解析】【分析】三棱柱的外接球就是长方体的外接球，从而可得结果.【详解】因为直三棱柱111ABC A B C -中，1AB BC AB BC ==⊥，，1AA =三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径就是长方体的体对角线长，所以2R R ===外接球的体积为334433R ππ==，故选D.【点睛】 本题主要考查直三棱柱的性质以及球的体积公式，属于中档题. 求多面体外接球的体积与表面积时，除了设出球心求外接球半径外，还可以将所给多面体补成长方体求解.12．D【解析】分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．详解：－点A－－3－4－－B－3－2），过点P－1－0）的直线L 与线段AB 有公共点， －直线l 的斜率k≥k PB 或k≤k PA －－PA 的斜率为4031--- =－1－PB 的斜率为2031--=1－ －直线l 的斜率k≥1或k≤－1－故选D－点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.13．1或-1【解析】【分析】由直线垂直可得（a+2－－a－1－+－1－a－－2a+3－=0，解之即可．【详解】依题意，l1⊥l2－故（a+2－－a－1－+－1－a－－2a+3－=0－化简得a2=1，解得a=1或a=－1故a的值为：1或﹣1【点睛】本题考查直线垂直的充要条件l1－l2 A1A2－B1B2－0.，属于基础题．14．2 3【解析】【分析】【详解】连接DE，设AD=2，易知AD－BC，－－DAE就是异面直线AE与BC所成角，在－RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3，－cos－DAE==．15．4 3【解析】【分析】根据锥体的体积公式，找到并求出三棱锥的高及底面面积即可求解. 【详解】由题意可知该三棱锥为棱长为2的正方体的一个角，如图所示：所以1114 =(22)23323 PBCV S PA⋅=⨯⨯⨯=锥故答案为：4 3【点睛】本题考查锥体体积公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题.16．x+2y﹣4＝0；【解析】【分析】先设出直线方程，然后表示出三角形的面积，利用基本不等式即可求解．【详解】由题意可知，直线的斜率一定存在，故设直线方程y﹣1＝k（x﹣2），k＜0，令x＝0可得，y＝1﹣2k，令y＝0可得x＝2﹣1k，则11121222AOBS OA OB kk=⋅=⨯--＝()1114444422kk⎛⎫--+≥+=⎪⎝⎭，当且仅当﹣4k ＝﹣1k 即k ＝﹣12时取等号， 此时直线方程y ﹣1＝﹣12（x ﹣2）,即x +2y ﹣4＝0． 故答案为：x +2y ﹣4＝0．【点睛】本题主要考查了直线方程的应用及利用基本不等式求最值问题，属于基础题．17．（1）34230x y --=; （2）4310x y ++=.【解析】试题分析：(1)首先求得中点坐标，然后求得斜率，最后利用点斜式公式即可求得直线方程；(2)利用点斜式可得直线方程为4310x y ++=.试题解析：（1）8252+=，6222-+=- ∴AB 的中点坐标为()5,2- 624823AB k --==--，∴AB 的中垂线斜率为34∴由点斜式可得()3254y x +=- ∴AB 的中垂线方程为34230x y --= （2）由点斜式()4323y x +=-- ∴直线l 的方程4310x y ++= 18．（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）证明AC ⊥平面11BCC B 得到答案.（2）F 为AC 中点，连接EF ，DF ，确定四边形1FEB D 为平行四边形，得到证明.【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C -，则1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，故1CC AC ⊥， AC BC ⊥，1BC CC C =，故AC ⊥平面11BCC B ，AC ⊂平面ACD ，故平面ACD ⊥平面11BCC B .（2）如图所示：F 为AC 中点，连接EF ，DF ，故1//2EF AB ，11//2DB AB ， 故1//EF DB ，故四边形1FEB D 为平行四边形，故1//B E DF ，DF ⊂平面ADC ， 故1//B E 平面ACD .【点睛】本题考查了面面垂直，线面平行，意在考查学生的推断能力和空间想象能力.19．（1）证明见解析；（2. 【解析】【分析】（1）取AP 的中点G ，连接,EG BG ，证明四边形BCEG 为平行四边形，则有//CE BG ，即可证//CE 平面PAB ；（2）过点A 作AH BP ⊥，垂足为H ，证明AH ⊥平面PBC ，又//AD BC ，所以点D 到平面PBC 的距离即为AH 长，求解AH 即可.此问也可采用等体积法求解.【详解】（1）如图，取AP 的中点G ，连接,EG BG .∵,DE PE AG PG ==，∴//GE AD 且2AD GE =.∵2AD =，∴1GE =.∵//,1BC AD BC =，∴//GE BC 且GE BC =，∴四边形BCEG 为平行四边形，∴//CE BG .又∵BG ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，∴//CE 平面PAB .（2）如图，过点A 作AH BP ⊥，垂足为H .∵AP ⊥平面,ABCD BC ⊂平面ABCD ，∴⊥AP BC .∵,BC AB AB AP A ⊥⋂=，又,AP AB ⊂平面PAB ，∴BC ⊥平面PAB .∵AH ⊂平面PAB ，∴AH BC ⊥.∵,,,AH BP BP BC B BP BC ⊥⋂=⊂平面PBC ，∴AH ⊥平面PBC .在Rt APB △中，AB AP BP AH BP ⨯===== ∵//,AD BC BC ⊂平面,PBC AD ⊄平面PBC ，∴//AD 平面PBC ，∴点D 到平面PBC 的距离与点A 到平面PBC 的距离相等，故点D 到平面PBC . （注：也可利用P BCD D PBC V V --=求解）【点睛】本题主要考查了直线与平面平行的证明，直线与平面垂直的判断，点到平面距离的计算，考查了学生的直观想象，逻辑推理与运算求解能力，考查了转化与化归的思想.20．（1）()4,1P（2）50x y +-=或40x y -=【解析】【分析】(1)将含有m 的项提取出来,再令m 所乘的式为0,不含m 的项也为0,列方程求解即可.(2)算出直线l 在,x y 轴上的截距令其相等求解即可.【详解】(1) 由()2380m x my m +---=化简得(3)280m x y x --+-=,令3042801x y x x y --==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩ ,故直线l 恒过定点()4,1P (2)由题得()2380m x my m +---=中20,0m m +≠≠.令0x =有38380m my m y m -----=⇒=,故l 在y 轴上的截距为38m m--. 令0y =有()3823802m m x m x m ++--=⇒=+.故l 在y 轴上的截距为382m m ++. 故()()3838382202m m m m m m --+=⇒++=+,故1m =-或83m =-. 当1m =-时, 化简得50x y +-=,当83m =-时,化简得40x y -= 故直线的方程为50x y +-=或40x y -=【点睛】本题主要考查了直线方程的定点问题以及解决的问题等,属于中等题型.21．（1）22(1)(3)29x y -++=；（2）22(2)10x y -+=．【解析】【分析】（1）求出圆心坐标和圆的半径即可得；（2）设圆心坐标为(,0)a ，利用圆上两点到圆心距离相等求得a ，然后再求得圆半径，得圆方程．【详解】（1）由题意线段AB 中点坐标为(1,3)-，半径为r ==∴所求圆方程为22(1)(3)29x y -++=；（2）设圆心坐标为(,0)a ，∵圆过,C D 两点，=，解得2a ==，∴圆方程为22(2)10x y -+=．【点睛】本题考查求圆的标准方程，确定圆心与圆的半径是解题关键． 22．（1）见解析；（2）4π. 【解析】【分析】（1）连接1CD ，证明1C D ⊥平面1BCD ，进而可得出11C D BD ⊥；（2）连接1BC 、1A B 、1AB ，设11C DCD O =，过点M 在平面11AA B B 内作1MQ A B ⊥，垂足为点Q ，连接OQ ，设1OQ C M N =，则角1C NO ∠和MNQ ∠均为直线1C M 与平面11BCD A 所成的角，从而可得出111sin C O MQ C NO C M+∠=，即可求出所求角. 【详解】（1）如下图所示，连接1CD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，BC ⊥平面11CDD C ，1C D ⊂平面11CDD C ，1C D BC ∴⊥， 四边形11CDD C 为正方形，11C D CD ∴⊥，1BC CD C =，1C D ∴⊥平面1BCD ，1BD ⊂平面1BCD ，11C D BD ∴⊥； （2）连接1BC 、1A B 、1AB ，设11C DCD O =，过点M 在平面11AA B B 内作1MQ A B ⊥，垂足为点Q ，设11AB A B E =，设正方体的棱长为2，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AD B C 且11AD B C =，所以，四边形11AB C D 为平行四边形，11//AB C D ∴，1C D ⊥平面11BCD A ，1AB ∴⊥平面11BCD A ，在平面11ABB A 内，11AB A B ⊥，1MQ A B ⊥，1//MQ AB ∴，1//MQ C O ∴，则M 、Q 、1C 、O 四点共面， M 为AB的中点，111242MQ AE AB ∴===，且1112C O C D == BM ⊥平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ，1BM BC ∴⊥，由勾股定理得13C M ===， 连接OQ ，设1OQ C M N =，则直线1C M 与面11BCD A 所成角为1C NO MNQ ∠=∠， 则111sin C O C NO C N ∠=，sin MQ MNQ MN ∠=，由连比定理得111112sin 32C O MQ C O MQ C NO C N MN C M ++∠====+，则14C NO π∠=， 因此，直线1C M 与面11BCD A 所成角为4π. 【点睛】 本题考查线线垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
安徽省合肥市第十一中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学(文)试题及答案
2020－2021学年度第一学期高二年级期中教学质量检测数学（文）参考答案第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.每小题4个选项中，只有1个选项符合题目要求.）题号123456789101112答案B D C C A B B A A B C C第II 卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中的横线上.）13.514.π15.283π-16.10三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答题应写出文字说明及演算步骤.）17.解：（1）解：（1）134AB k k ==-∴直线1l 方程为：3430x y +-=.........5分（2）∵l 1∥l 2，∴63＝m 4≠14－3，即m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，∴两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.．......10分18.（1）证明：设AC 和BD 交于点O ，连接PO ，，O 分别是，BD 的中点，，又面PAC ，面PAC ，面PAC ．............6分（2）解：由（1）知，，异面直线与AP 所成的角就等于PO 与AP 所成的角，即为异面直线与AP 所成角，，，且，异面直线与AP 所成角的正弦值为：.异面直线与AP 所成角为6π.....12分19.[解]（1）设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=∵圆心C 在y 轴上，∴0a =又∵A(1，0)，B(2，1)在圆上，222222154(1)b b r r b r =⎧+=⎧⇒⎨⎨=+-=⎩⎩所以圆的标准方程为：22(2)5x y +-=..................6分（2）∵点P 为直线l 中点，CP l ∴⊥11CP l k k =∴=- ∴直线l 方程为0x y +=....................12分20.(1)证明：因为AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以AB ⊥CD .又因为CD ⊥BD ，AB ∩BD ＝B ，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，所以CD ⊥平面ABD .......................6分(2)由AB ⊥平面BCD ，得AB ⊥BD .又AB ＝BD ＝1，所以S △ABD ＝12×12＝12.因为M 是AD 的中点，所以S △ABM ＝12S △ABD ＝14.根据(1)知，CD ⊥平面ABD ，则三棱锥C ABM 的高h ＝CD ＝1，故V A MBC ＝V C ABM ＝13S △ABM ·h ＝112.........................12分21.解：（1）设动点M 的坐标为，则，所以，化简得，因此，动点M 的轨迹方程为；..........6分（2）当过点P 的直线无斜率时，直线方程为，圆心到直线的距离等于2，此时直线与曲线C 相切；当切线有斜率时，不妨设斜率为k ，则切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于半径可知，，解得．所以，切线方程为．综上所述，切线方程为或．........12分22.（1）证明：因为底面ABCD为菱形，所以，又因为平面底面ABCD交于AC，所以平面PAC，又BD在平面EBD内，所以平面平面PAC．........6分（2）设AC与BD交于O点，连接EO，因为，，所以为等腰直角三角形，则．因为平面底面ABCD交于AC，所以底面ABCD．又因为平面EBD，所以，则底面ABCD，则为直线ED与平面ABCD所成角，因为O是AC的中点，所以E是PC的中点，则EO为中位线．因为，则所以．因为底面ABCD为菱形，，则．所以，故，则直线ED与平面ABCD所成角的大小为...........12分。
安徽省池州市第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学(文)试卷
高二数学（文科）试卷
满分 150 分，考试时间 120 分钟
一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。）
1．若直线过点(1,2)，(4,2＋ 3)，则此直线的倾斜角是 ( )
（1）求证：PA∥面 BDE； （2）求证：平面 PAC⊥平面 BDE； （3）若二面角 E－BD－C 为 30°，求四棱锥 P－ABCD 的体积．
22．如图 1，在直角梯形 ABCD 中，∠ADC＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝1AB＝2，E 为 AC 的中 2
点，将△ACD 沿 AC 折起，使折起后的平面 ACD 与平面 ABC 垂直，如图 BC⊥平面 ACD； （2）点 F 在棱 CD 上，且满足 AD∥平面 BEF，求几何体 F－BCE 的体积．
∵平面 ACD⊥平面 ABC，平面 ACD∩平面 ABC＝AC，
∴BC⊥平面 ACD．
(2)∵AD∥平面 BEF，AD⊂平面 ACD，平面 ACD∩平面 BEF＝EF，
∴AD∥EF，
∵E 为 AC 的中点，
∴EF 为△ACD 的中位线，
由(1)知，VF－BCE＝VB－CEF＝13×S△CEF×BC，
C．
2
D．
13
20
5
13
1
9．给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
安徽省合肥市第十一中学2020-2021学年高二上学期期中数学(文)试题
1 2020-2021学年度第一学期高二年级期中
教学质量检测数学（文）试卷 满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.每小题4个选项中，只有1个选项符合题目要求.） 1. 直线10xy的倾斜角是（ ）
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 B 1yx，斜率为1，故倾斜角为π4.
2. 若直线l与平面平行，直线a，则l与a位置关系：（ ）
A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 没有公共点 D 根据直线与平面平行的性质可判断. 若直线l与平面平行，直线a，则直线l与a可能平行或异面，不可能相交，即没有公共点.故选：D. 3. 直线34120xy在x轴上的截距为：（ ）
A. 7 B. 1 C. 4 D. 3 C 化简直线的方程为143xy，即可得到直线在x轴上的截距，得到答案. 由题意，直线34120xy可化为143xy，所以直线在x轴上的截距为4.故选：C. 4. 点1,4P关于x轴的对称点为Q，则点Q的坐标为：（ ）
A. 4,1 B. 1,4 C. 1,4 D. 1,4 C 平面直角坐标系中任意一点,Pxy，关于x轴的对称点的坐标是,Pxy，即可得答案. 因为平面直角坐标系中任意一点,Pxy，关于x轴的对称点的坐标是,Qxy， 2
所以点1,4P关于x轴的对称点为1,4Q故选：C. 5. 已知直线1l：230axy，2l：310xaya，若12ll.则a的值为：（ ）
A. 25 B. 25 C. 1 D. -2 A 由斜率相乘为1即可求出.
12ll，显然两直线的斜率存在且都不为0，
312+1aa
，解得25a.故选：A.
6. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O，2
安徽省合肥市第十一中学2020-2021学年高二上学期期中数学(文)试卷及解析
安徽省合肥市第十一中学2020-2021学年高二上学期期中数学(文)试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.直线的倾斜角是（ ）A.6πB.4πC.3πD.2π 2.若直线l 与平面α平行，直线a α⊂，则l 与a 位置关系：（ ）A.平行B.异面C.相交D.没有公共点 3.直线34120x y --=在x 轴上的截距为（ ）A.7B.1C.4D.34.点()1,4P 关于x 轴的对称点为Q ，则点Q 的坐标为：（ ）A.()4,1B.()1,4--C.()1,4-D.()1,4- 5.已知直线1l ：230ax y +-=，2l ：()310x a y a ++-=，若12l l ⊥.则a 的值为：（ ）A.25-B.25C.1D.-26.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A. 12√2πB. 12πC. 8√2πD. 10π7.圆1C ：22430x y x +-+=与圆2C ：()()2214x y a ++-=外切，则实数a 的值为：（ ）A.4B.16C.8D.12 8.已知m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，给出下列命题：①//m n m n αα⊥⎧⇒⎨⊥⎩；②//m m n n ββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩；③//m m ααββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩；④////m n m n αβαβ⊂⎧⎪⊂⇒⎨⎪⎩. 其中正确命题的序号是：（ ）A.②③B.③④C.①②D.①④9.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则四棱锥111A BB D D -的体积为（ ）A.13B.14C.12D.1610.圆222210x y x y +--+=上的点到直线2x y -=的距离最大值是（ ）A.2B.1C.1+D.1+11.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A.14 C.14 D.1212.《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑.在鳌臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，4PA =，2AB BC ==，鳌臑P ABC -的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是（ ）A.16πB.20πC.24πD.64π第II 卷（非选择题）二、填空题13.原点到直线50=的距离为______14.若球的半径为2_________. 15.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 ．16.已知直线():120l kx y k k R -+-=∈，则点()5,0A 到l 的距离的最大值为_________.三、解答题17.已知A ，B 为直线1l 上两点，且1,0A ，()3,3B -，直线2l ：6140x my ++=. （1）求直线1l 方程；（2）若12l l //，求1l ，2l 之间的距离.18.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为棱1DD 的中点.（1）证明：1//BD 平面PAC ；（2）求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.19.已知圆心为C 的圆经过点1,0A ，()2,1B ，且圆心C 在y 轴上.（1）求圆C 的方程.（2）求以点()1,1P -为中点的弦所在的直线l 方程.20.如图，三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面,BCD CD BD ⊥.（1）求证：CD ⊥平面ABD ；（2）若1AB BD CD ===，M 为AD 中点，求三棱锥A MBC -的体积.21.阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.已知动点M 到点()1,0A -与点()2,0B 的距离之比为2，记动点M 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）过点()5,4P -作曲线C 的切线，求切线方程.22.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，2PA AB AC ===，平面PAC ⊥底面ABCD ，E 是PC 上的一点.（1）证明:平面PAC ⊥平面EBD ；（2）若直线//PA 平面EBD ，且=PC ED 与平面ABCD 所成角的大小.参考答案1.B【解析】1.1y x =-，斜率为1，故倾斜角为π4. 2.D【解析】2. 根据直线与平面平行的性质可判断.若直线l 与平面α平行，直线a α⊂，则直线l 与a 可能平行或异面，不可能相交，即没有公共点.故选：D.3.C【解析】3. 化简直线的方程为143x y -=，即可得到直线在x 轴上的截距，得到答案. 由题意，直线34120x y --=可化为143x y -=，所以直线在x 轴上的截距为4. 故选：C.4.C【解析】4.平面直角坐标系中任意一点(),P x y ，关于x 轴的对称点的坐标是(),P x y '-，即可得答案. 因为平面直角坐标系中任意一点(),P x y ，关于x 轴的对称点的坐标是(),Q x y -， 所以点()1,4P 关于x 轴的对称点为()1,4Q -故选：C.5.A【解析】5.由斜率相乘为1-即可求出.12l l ⊥，显然两直线的斜率存在且都不为0，312+1a a ⎛⎫⎛⎫∴-⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得25a =-. 故选：A.6.B【解析】6.分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积.详解：根据题意，可得截面是边长为2√2的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是√2的圆，且高为2√2，所以其表面积为S=2π(√2)2+2π⋅√2⋅2√2=12π，故选B. 7.B【解析】7.求出两圆的圆心和半径，根据外切可得圆心距等于半径之和即可求出.将圆22430x y x +-+=化为标准方程为()2221x y -+=，故圆1C 的圆心为()2,0，半径为1；圆2C 的圆心为()1,4-1=16a =. 故选：B.8.A【解析】8.根据线面垂直，面面平行的性质可判断.对于①，若,m m n α⊥⊥，则//n α或n ⊂α，故①错误；对于②，若,m n ββ⊥⊥，则由线面垂直的性质可得//m n ，故②正确；对于③，若,m m αβ⊥⊥，则可得//αβ，故③正确；对于④，若,,//m n αβαβ⊂⊂，则//m n 或,m n 异面，故④错误.故选：A.9.A【解析】9.先确定锥体的高，再根据锥体体积公式得结果.由正方体性质得11A C ⊥平面11BB D D ，所以四棱锥111A BB D D -的体积为1111111132323BB D D A C S ⨯⨯=⨯=，故选：A.10.B【解析】10.先求得圆心到直线2x y -=的距离为d =1d +，即可求解，得到答案. 由题意，圆222210x y x y +--+=，可得圆心坐标(1,1)O ，半径为1r =，则圆心(1,1)O 到直线2x y -=的距离为d ==所以圆222210x y x y +--+=上的点到直线2x y -=的距离最大值是11d +=. 故选：B .11.C【解析】11.设,CD a PE b ==，利用212PO CD PE =⋅得到关于,a b 的方程，解方程即可得到答案.如图，设,CD a PE b ==，则PO ==， 由题意212PO ab =，即22142a b ab -=，化简得24()210b b a a -⋅-=，解得14b a +=（负值舍去）. 故选：C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.12.C【解析】12.四个面都是直角三角形，由AB BC =得AB BC ⊥，然后证明BC PB ⊥，这样PC 中点O ，就是P ABC -外接球球心，易求得其半径，得面积．四棱锥P ABC -的四个面都是直角三角形，∵2AB BC ==，∴AB BC ⊥，又PA ⊥平面ABC ，∴AB 是PB 在平面ABC 上的射影，PA CA ⊥，∴BC PB ⊥，取PC 中点O ，则O 是P ABC -外接球球心．由2AB BC ==得AC =4PA =，则PC ==OP =所以球表面积为224()424S OP πππ==⨯=．故选：C ．【解析】13.直接利用点到直线的距离公式求解.由题得原点到直线250x y +-==14.π【解析】14.利用球截面的性质进行求解即可.设与球心距离为d =r ，球的半径为R ，由球截面的性质可知：2221R r d r =+⇒===，所以圆面的面积为：21ππ⋅=.故答案为：π15.283π-． 【解析】15.试题由三视图可得几何体为正方体挖去一个圆锥：则： ，211212333S Sh ππ==⨯⨯=圆锥。
安徽省宿州市中学2020-2021学年高二上学期期中联考数学(理+文)试题含答案
宿州市十三所重点中学2020-2021学年度第一学期期中质量检测高二数学试卷（理科）注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．考生务必将答题内容填写在答题卡上，写在试题卷上无效。
一、选择题1．在空间直角坐标系中，点()1,3,1A -和点()2,1,2B -之间的距离为（ ）A ．2B CD 2．下列命题正确的是（ ） A ．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B ．斜棱柱的侧面中可能有矩形C ．用一个平面去截圆锥，得到的一定是一个圆锥和一个圆台D ．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线3．如图，网格纸的各小格都是边长为1的正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）A ．72B ．64C ．48D ．244．直线()()()21230m x m y m m R ++---=∈过定点（ ） A ．()2,1B ．()1,2-C ．()1,1-D ．()1,15．如图，正三棱柱111ABC A B C -中，14A A =，1AB =．一只蚂蚁从A 点出发，沿每个侧面爬到1A ，路线为1A M N A →→→，则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）A ．4B ．5C 、6D ．16．圆1O ：()()22122x y -+-=与圆2O ：224230x y x y +++-=的位置关系是（ ） A ．外切B ．内切C ．相离D ．相交7．已知两条不同的直线m ，n ，三个不重合的平面α，β，γ，下列命题正确的是（ ） A ．若//m n ，nα，则//m α B ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若αβ⊥，mα，则m β⊥8．已知点E ，F 分别是三棱锥P ABC -的棱PA ，BC 的中点，6PC AB ==，若异面直线PC 与AB 所成角为60°，则线段EF 长为（ ）A ．3B ．6C ．6或D ．3或9．已知圆C ：()()22232x y ++-=，从点()1,3P 发出的光线，经直线1y x =+反射后，光线恰好平分圆C 的周长，则入射光线所在直线的斜率为（ ） A ．2-B ．12-C ．4-D ．14-10．若圆锥的母线长为4，底面半径为SA ，SB 为圆锥的任意两条母线，则SAB △面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．8D ．1611．若P 是直线l ：3490x y +-=上一动点，过P 作圆C ：2240x y x ++=的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为（ ）A B ．C D ．12．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1CC 的中点．则下列说法正确的是（ ）A ．异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为3B ．三棱锥1B ABM -的体积是三棱锥C ABM -体积的3倍C ．直线BM 与平面11BDD B D ．在棱AB 上一定存在点N ，使得1//C N 平面BDM 二、填空题13．如图，平行四边形O A B C ''''是四边形OABC 的直观图．若3O A ''=，2O C ''=，则原四边形OABC 的周长为______．14．若圆222440x y x y ++-+=关于直线0x y m -+=对称，则实数m 的值为______．15．关于x x k =+恰有两个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是______． 16．已知三棱锥A BCD -的四个顶点在球O 的球面上，AB AC AD ==，BCD △是边长为6的正三角形，E ，F 分别是AB ，BC 上的点，且2AE EB =，2CF FB =，DE EF ⊥，则球O 的表面积为______． 三、解答题17．已知直线l ：2360x y ++=．（1）求经过点()2,1P -且与直线l 平行的直线方程；（2）求与直线l 垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为3的直线方程． 18．如图，正四棱锥P ABCD -中，2PA AB ==，E 为PC 的中点．（1）求证：//PA 平面BDE ； （2）求点B 到平面CDE 的距离．19．已知圆C 过点()1,3A -和点()5,1B ，且圆心C 在直线0x y -=上． （1）求圆C 的方程；（2）若过点()3,2的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点且MN =l 的方程．20．如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，且AB =，M 是CD上异于C ，D 两点的一个动点．（1）证明：MC ⊥平面ADM ；（2）当四棱锥M ABCD -的体积最大且最大值为9时，求该四棱锥M ABCD -的侧面积． 21．如图1所示，在ABC △中，90ABC ∠=︒，AB BC =，点M ，N 分别在线段AB ，AC 上，且2AM MB =，//MN BC ．如图2所示，将AMN △沿MN 折起到PMN △的位置，使得二面角P MN B --的大小为60°，连接PB ，PC ． （1）求证：平面PBN ⊥平面BCNM ；（2）在棱PC 上是否存在点G ，使得//GN 平面PBM ？说明理由．22．已知圆C ：2224150x y x y +-+-=．（1）过点()3,0M -的直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程：（2）过圆C 上一点()1,2P -作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B 两点，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补．求证：直线AB 的斜率为定值．宿州市十三所重点中学2020-021学年度第一学期期中质量检测高二数学（理科）试卷参考答案一、选择题二、填空题13．14 14．315．2,⎡⎣16．54π三、解答题17．解：（1）由题意，可设所求直线的方程为230x y λ++=．把点()2,1P -代入，得430λ-+=，即1λ=-．故所求直线的方程为2310x y +-=．（2）由题意，可设所求直线的方程为320x y m -+=． 令0y =，则3m x =-；令0x =，则2my =． 由題意知，13232m m ⋅-⋅=．解得6m =±． 故所直线的方程为3260x y --=或3260x y -+=． （其他解法，酌情赋分！）18．解：（1）连接AC 交BD 与点O ，再连接OE ，则点O 是AC 的中点． 因为E 为PC 的中点，所以//PA EO ． 又PA ⊄平面BDE ，EO 平面BDE ，所以//PA 平面BDE ．（2）由四棱锥P ABCD -是正四棱锥可知，PO ⊥平面ABCD ．在正方形ABCD 中，2AB =，则AO =在Rt POA △中，PO AO ⊥，2PA =，AO =所以PO ==又E 为PC 的中点，所以点E 到平面ABCD 的距离为12PO =所以111122323223E BCD BCD V S PO -⎛⎫=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭△．设点B 到平面CDE 的距离为h ，则11113326B CDE CDE V S h h h -=⋅=⨯⨯=△．又E BCD B CDE V V --=，所以h =故点B 到平面CDE（其他解法，酌情赋分！）19．解：（1）设所求圆的方程为()()222x a y b r -+-=，则由题意可得，0a b r-=⎧==解得1a b ==，4r =．故所求圆的方程为()()221116x y -+-=．（2）由（1）知，圆C 的圆心坐标为()1,1，半径4r =． ①当直线l 斜率不存在时，此时直线l 的方程为3x =，满足题意．②当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为()23y k x -=-，即320kx y k --+=．由MN ===，则2d ==．解得34k =-．此时，直线l 的方程为34170x y +-=． 故所求直线l 的方程为3x =或34170x y +-=． （其他解法，酌情赋分!）20．（1）证明：由题设知，平面CDM ⊥平面ABCD ，平面CDM ⋂平面ABCD CD =，AD CD ⊥，AD平面ABCD ，所以AD ⊥平面CDM ．又MC平面CDM ，故AD MC ⊥．因为M 为CD 上异于C ，D 的点，且CD 为半圆弧CD 的直径， 所以DM MC ⊥． 又AD DM D ⋂=，AD 平面ADM ，MD平面ADM ，所以MC ⊥平面ADM ．（2）由题意可知，当M 是半圆弧CD 的中点时，四棱锥M ABCD -的体积最大． 设BC a =，则AB CD==，则21932M ABCD V a -=⋅=，解得3a =．此时，AB CD ==3AD BC ==．易知，此时MCD △为等腰直角三角形，可求得3MD MC ==． 由（1）知，AD ⊥平面CDM ． 所以AD DM ⊥，BC CM ⊥． 易证，MCD MBC MAD ≌≌△△△， 所以193322MCD MBC MAD S S S ===⨯⨯=△△△．又因为MA MB AB ===(2MABS ==△．故该四棱锥M ABCD -的侧面积为272+． （其他解法，酌情赋分!）21．解：（1）由题意可知，在ABC △中，AB BC =，AB BC ⊥． 因为//MN BC ，所以MN AB ⊥．翻折后垂直关系没变，仍有MN PM ⊥，MN BM ⊥， 又PM BM M ⋂=，所以MN ⊥平面PBM ． 又PB平面PBM ，所以PB MN ⊥．又因为MN PM ⊥，MN BM ⊥，所以PMB ∠是二面角P MN B --的平面角． 所以60PMB ∠=︒．令2PM a =，则BM a =，在PMB △中，由余弦定理得PB =．所以222PB BM PM +=，即PB BM ⊥．又因为BM MN M ⋂=，所以PB ⊥平面BCNM ． 又因为PB平面PBN ，所以平面PBN ⊥平面BCNM ．（2）在PC 上是存在一点G ，当13CG CP =时，使得//GN 平面PBM ． 证明如下：过点N 作//NH MB ，交BC 于点H ， 则四边形BMNH 是平行四边形．令3AB BC a ==，则2MN BH a ==，CH a =．又由NH ⊂/平面PBM ，MB平面PBM 知，//NH 平面PBM ．再过点H 作//GH PB ，交PC 于点G ，则13CH CG CB CP ==． 由GH ⊂/平面GHN ，PB 平面PBM 知，//GH 平面PBM ． 又NH平面GHN ，GH平面GHN ，GH HN H ⋂=，所以平面//GHN 平面PBM ． 又GN平面GHN ，所以//GN 平面PBM ．（其他解法，酌情赋分!）22．解：（1）由题意可知，点()3,0M -在圆C 上，则点()3,0M -是圆C 的切点． 又圆C 的方程可化为，()()221220x y -++=．所以圆C 的圆心为()1,2-，半径r =． 所以021312MC k +==---． 由1MC l k k ⋅=-可求得，2l k =．此时，所求直线l 的方程为()023y x -=+，即26y x =+． 故所求直线l 的方程为260x y -+=．（2）由题意知，直线PA 和PB 的斜率存在，且互为相反数． 可设直线PA 的方程为()21y k x -=+，由()222124150y k x x y x y ⎧-=+⎨+-+-=⎩消元，得()()22221241830k x k k x k k +++-++-=．由点()1,2P -在圆C 上可知，点()1,2P -的横坐标1x =-是上述方程的一个解．所以()228311A k k x k +-⋅-=+，即22831A k k x k --+=+． 可设直线PB 的方程为()21y k x -=-+，同理可得，22831B k k x k -++=+．所以()()()11212B A B A B A AB B A B A B A k x k x k k x x y y k x x x x x x -+-+--+-====----．故直线AB 的斜率为定值12-． （其他解法，酌情赋分！）宿州市十三所重点中学2020-2021学年度第一学期期中质量检测高二数学试卷（文科）注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。