第五章 正态分布、常用统计分布和极限定理
统计学中的正态分布与中心极限定理
统计学中的正态分布与中心极限定理在统计学中，正态分布和中心极限定理是两个非常重要的概念和原理。
它们在数据分析、推断统计等领域中起着至关重要的作用。
本文将详细介绍正态分布和中心极限定理的概念、特性以及在实际应用中的重要性。
一、正态分布正态分布，又称为高斯分布，是一种连续型概率分布。
它的概率密度函数曲线呈钟形，左右对称，中心点位于均值处，标准差决定了曲线的宽窄。
正态分布的数学表达式为：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * exp(-(x-μ)² / (2σ²))其中，f(x)表示概率密度函数，x表示随机变量的取值，μ表示均值，σ表示标准差，π是圆周率，exp是自然指数。
正态分布的均值决定了曲线的中心位置，而标准差则决定了曲线的宽度。
正态分布具有以下特性：1. 对称性：正态分布的概率密度函数曲线左右对称，均值处为峰值，左右两侧的曲线呈对称分布。
2. 峰度：正态分布的峰度决定了曲线的陡缓程度。
标准正态分布的峰度为3，即呈中等陡峭的钟形曲线。
3. 均值与中位数相等：正态分布的均值和中位数是相等的，即分布的对称性保证了这一点。
4. 标准正态分布：当均值μ为0，标准差σ为1时，称为标准正态分布。
正态分布在实际应用中非常常见，例如自然界的身高分布、考试成绩分布等等。
它在统计推断中有着重要的作用，能够帮助我们进行参数估计、假设检验等统计分析。
二、中心极限定理中心极限定理是统计学中的一组定理，主要描述了在一定条件下，大量随机变量的和或平均值的分布趋近于正态分布。
中心极限定理为统计学的推断提供了基础。
中心极限定理的基本思想是：当测量对象的总体分布未知或不服从正态分布时，从该总体中随机抽取较大样本，计算样本的和或平均值，这些和或平均值的分布趋近于正态分布。
中心极限定理可以形式化地表示为：当样本量n足够大时，样本的和或平均值的分布近似服从正态分布，即：(X₁ + X₂ + ... + Xn - nμ) / (√(nσ)) ~ N(0,1)其中，X₁、X₂、...、Xn是从总体中抽取的随机样本，μ和σ分别是总体的均值和标准差，N(0,1)表示标准正态分布。
正态分布的理论原理及应用
正态分布的理论原理及应用正态分布（Normal Distribution），又称高斯分布（Gaussian Distribution），是概率统计学中最重要的概率分布之一，也是最常见的连续概率分布之一、正态分布在理论研究和实际应用中都起到了重要的作用。
1.中心极限定理：中心极限定理是正态分布理论的基础，它指出，独立同分布的随机变量的和的极限分布依近似于正态分布。
这意味着，对于大量独立随机变量的和，即使这些变量的分布不同，其总体分布也会接近于正态分布。
2.正态分布的概率密度函数：正态分布的概率密度函数由两个参数决定，即均值（μ）和标准差（σ）。
其概率密度函数可以表示为：f(x)=(1/(σ*√(2π)))*e^(-((x-μ)^2/(2σ^2)))3.正态分布的特性：-均值μ是分布的中心，标准差σ决定了分布的离散程度。
-68%的观测值在均值左右一个标准差范围内，95%的观测值在均值左右两个标准差范围内，99.7%的观测值在均值左右三个标准差范围内。
1.统计分析：正态分布广泛应用于统计分析中。
很多统计模型都需要基于正态分布的假设。
例如，参数估计、假设检验、方差分析等都需要基于正态分布进行推断。
2.质量控制：质量控制中常常使用正态分布。
通过收集样本数据，计算平均值和标准差，可以对产品的质量进行控制和评估。
例如，正态分布常用于确定产品的上下公差。
3.自然科学：正态分布在自然科学中也有应用。
例如，生物学中研究身高、体重等指标时可以使用正态分布。
物理学中粒子运动的速度和位置分布也可以近似为正态分布。
4.金融与经济学：金融市场和经济领域中，许多变量的分布近似为正态分布。
例如，股票收益率、利率、汇率等可以建模为正态分布。
这使得研究人员能够使用正态分布的属性来做出预测和决策。
5.归一化处理：正态分布是进行归一化处理的常用工具之一、通过将数据转化为标准正态分布，可以对不同数据进行比较和分析。
概率与统计中的正态分布和中心极限定理
概率与统计中的正态分布和中心极限定理正态分布（Normal distribution），又称高斯分布（Gaussian distribution），在概率与统计学中是一种经常出现的分布。
它具有钟形曲线的特征，广泛应用于各个领域，如自然科学、社会科学、经济学等。
正态分布的形状是由均值（μ）和标准差（σ）所决定的。
本文将介绍正态分布的特点以及它在概率与统计中的重要作用，进而探讨与之相关的中心极限定理。
一、正态分布的特点正态分布具有以下几个重要的特点：1. 对称性：正态分布是关于均值对称的，即以均值为中心，两边的尾部概率相等。
这意味着在正态分布中，均值、中位数和众数均相等。
2. 峰值：正态分布的曲线呈现出一个明显的峰值，同时两边的尾部逐渐减少。
这意味着大部分的数据会集中在均值附近，而远离均值的数据发生的概率较小。
3. 参数决定：正态分布的形态由均值和标准差所决定。
均值决定了曲线的位置，而标准差决定了曲线的宽度。
标准差越大，曲线越宽。
二、正态分布的应用正态分布在各个领域都有广泛的应用，下面列举几个常见的应用示例：1. 自然科学：在物理学、生物学等自然科学研究中，许多实验数据都服从正态分布。
例如，物体的测量误差、实验数据的偏差等都可以用正态分布进行描述和分析。
2. 社会科学：在社会调查、民意测验等社会科学研究中，许多指标的分布也符合正态分布。
例如，身高、体重、智力水平、收入水平等都可以用正态分布来描述。
3. 经济学：在经济学中，许多经济指标的分布也近似于正态分布。
例如，收入分布、失业率等经济指标都可以采用正态分布进行统计分析。
三、中心极限定理中心极限定理是概率论与统计学中的一条重要定理，它描述了当样本容量足够大时，样本的均值近似服从正态分布的规律。
中心极限定理有以下几个关键概念：1. 独立性：样本观测值之间相互独立，意味着一个观测值的取值不受其他观测值的影响。
2. 同分布性：样本观测值来自同一个总体，并且具有相同的概率分布。
概率论第五章：正态分布
一. 一般正态分布N(, 2)
X ~ f (x)
1
(x)2
e 2 2 , x
2
E( X ) xf (x)dx
x
(x)2
e 2 2 dx
2
t x
t
2
e
t2 2
dt
D( X ) (x )2 f (x)dx 2
16
二. 标准正态分布N(0, 1)
X ~ f (x)
1
x2
e 2,
x
2
E( X ) xf (x)dx
x
e
x2 2
dx
0(奇函数)
2
D( X ) E{[ X E( X )]2} [x E( X )]2 f (x)dx
x2
1
x2
e 2 dx 1
2
17
例1 已知随机变量X的密度函数为
f (x) 1 ex2 2x1, x
求 E( X )、D ( X ).
X ~ f (x)
1
(x)2
e 2 2 , x
2
E( X ) xf (x)dx
x
(x)2
e 2 2 dx
2
t x
t
2
e
t2 2
dt
D( X ) (x )2 f (x)dx 2
7
(二)标准正态分布N(0, 1)
X ~ f (x)
1
x2
e 2,
x
2
E( X ) xf (x)dx
(0.7) [1 (1.3)] 0.7580[1 0.9032] 0.6612 .
10
例2. 设 XN(,2),求P{-3<X<+3}
社会统计学(卢淑华),第五章
卡方分布性质
性质1 如果随机变量 1 ， 2 ，…… k 相互独立，
2
量：
x
2
1
2
i
k 2 i 1
仍然服从自由度为k的 X2 的平方分布。
性质2：
如果随机变量 和 独立，并且分别服 从自由度为K1与K2的X2 分布，则其和 服从自由度为K1 + K2的X2分布。
，求
2）P 1.3 3）P1.3 2.3
2、ξ 满足N 0,1 ，P 0.05 ，求λ 值。 3、ξ 满足 N 50,52 ，求 P 61
第四节 常用统计分布
一、X2分布（卡方分布） 1、设随机变量 1，2， k 相互独立，且都服
三、切贝谢夫大数定理
1、定义：设随机变量 ， …是相互独立服 从 同 一 分 布 ， 并 且 有 数 学 期 望 E i 差 Di 2 ，那么对于任何一个正数 ，
1
2
有： n 为 1 ， 2 …n个随即变量的平均值 2、含义：当实验次数n足够大时，n个随机变 量的平均值 与单个随机变量的数学期望 的 差可以任意的小，这个事实以接近于1的很大 概率来说是正确的，即 趋近于数学期望 3、实际:意义可以用抽样的均值 做为总体均
P 2 z 2 0.9546
P 3 z 3 0.9973
例：
例1：σ相同而µ 不同。学习成绩：甲位于一班， 乙位于二班。一班平均成绩80分，二班平均成绩 60分，甲成绩80分，乙成绩80分。σ相同，为 10，比较二者在班上的成绩。 例二： µ 相同而σ不同：如果 1 2 60
正态分布与中心极限定理
正态分布与中心极限定理是概率论与数理统计中的核心概念，它们在统计学、自然科学、社会科学以及工程技术等众多领域都有着广泛的应用。
下面将对这两个概念进行详细阐述，并分析它们在实际应用中的重要性。
一、正态分布1. 正态分布的定义正态分布（Normal Distribution）又称高斯分布（Gaussian Distribution），是一种连续型概率分布，描述了实值随机变量的分布规律。
其概率密度函数为f(x|μ,σ2)=(1σ2π)exp[−12σ2(x−μ)2]f(x|\mu, \sigma^2) = \left(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\right)\exp\left[-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\right]f(x|μ,σ2)=(σ2π1)exp[−2σ21(x−μ)2]其中，μμ\mu为均值（Mean），σ2\sigma^2σ2为方差（Variance），σ\sigmaσ为标准差（Standard Deviation）。
正态分布由均值和方差完全确定，这两个参数决定了分布的位置和形状。
2. 正态分布的性质正态分布具有许多优良的性质，如对称性、单峰性、集中性等。
此外，正态分布还具有稳定性，即多个独立同分布的随机变量之和仍服从正态分布，且均值和方差分别为各变量均值之和和方差之和。
这一性质使得正态分布在实际应用中具有广泛的适用性。
3. 正态分布的应用正态分布在实际应用中具有广泛的应用，如测量误差、生物统计、金融分析、信号处理等领域。
例如，在生物统计中，许多生物特征（如身高、体重等）都服从正态分布；在金融分析中，股票价格的波动也常常假设为正态分布。
二、中心极限定理1. 中心极限定理的定义中心极限定理（Central Limit Theorem，CLT）是概率论中的一个基本定理，它指出：对于独立同分布的随机变量序列，其和的分布逐渐逼近正态分布，无论这些随机变量具有何种分布。
第五章-正态分布、常用统计分布和极限定理
的面积， 然后根据1 0.125 0.875查附表4， 对应
Z 1.15,那么录取分数线
x X Z X 74 1.1511 86.65(分)
表5-2
例11：
0Z 图5-11
(1)求Z 1分数以上的概率是多少 ？
解：Z 1时， (Z) 0.34134, Z以上的概率为
（Z） Z
1
t2
e 2 dt
2
(Z 2 ) 图5-8 Z 2
(Z2 Z1)
图5-9Z1 Z 2
例4：已知服从标准正态分布 N(0，1)， 求P( 1.3) ? 解：因为() 1,() P( 1.3) P( 1.3) 所以( 1.3) 1 P( 1.3) 1 (1.3) 1 - 0.9032 0.0968
2
如果把u 0， 1代入(x)
1
e
(
xu)2
2 2
2
(x)
1
x2
e2
2
标准正态分布其实是一般正态分布的一个特 例，记作N(0，1)，一般正态分布记作N(μ，σ2)。
一般正态分布之所以能变成唯一的标准正态 分布，就是把原来坐标中的零点沿着X轴迁到μ点， 并且以σ为单位记分。
σ=1
0
图5-5
13.6%
13.6%
2.16% 0.11%
3 2 1 图05-6 1
2.16% 0.11%
23
三、标准分的实际意义
例1：甲、乙、丙3个同学《社会统计学》分数 都是80分，甲同学所在班平均成绩μ甲=80分， μ 乙=75分， μ丙=70分，标准差都是10，比较甲、乙、 丙3个同学在班上的成绩。
正态分布、常用统计分布和极限定理
X
-0.2 0 0.2
Z
例：假定某公司职员每周的加班津贴服从均值为50元、标准 差为10元的正态分布，那么全公司中有多少比例的职员每周 的加班津贴会超过70元，又有多少比例的职员每周的加班津 贴在40元到60元之间呢？
解：设 设=5 =50 0， =10，X～N(50,102)
70 50 P( X 70) 1 P( X 70) 1 Φ ( ) 1 Φ (2) 10 1 0.9772 0.0228 60 50 40 50 P(40 X 60) Φ( ) Φ( ) Φ(1) Φ (1) 2Φ (1) 1 10 10 2 0.8413 1 0.6826
1. 对于标准正态分布，即Z~N(0,1)：
P (a Zb) b a
P (|Z| a) （ a 0.5）*2=2* a - 1
Za
第三节 标准正态分布表的使用
对于负的 z值 可由 (-z)1 z得到
第三节 标准正态分布表的使用
2.对于一般正态分布，即X~N( , )，需要进行标准化：
x
1 2
第一节 正态分布
µ与σ的含义
µ σ
E x xdx （数学期望）
2 xdx （标准差） x D
+
+
= 正态随机变量X的均值
2= 正态随机变量X的方差
一般将正态分布记做 N , 2
第一节 正态分布
例： µ相同而σ不同：如果 1 2 60
1 10 ， 2 20 ，比较甲、乙的成绩。
Z(A)=(80-60)/10=2 Z(B)=(80-60)/20=1
还可以用于不同总体间综合指标的比较
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t
正态 分布
- 分布的形状（图示）
标准正态分布
Z
t (df = 13) t (df = 5)
t-分布
X
t 分布与正态分布的比较 不同自由度的t分布
t
查 t
- 分布表
P(t t )
P(t t /2 ) / 2
X
T(k) 分布
t ta/2
第五节
大数定律和中心极限定理
一、大数定律
一般正态分布的表示
标准正态分布的表示
标准正态分布
一般正态分布1
Z
标准正态分布
一般正态分布2
x
1
Z
x
标准化的例子 P(5 X 6.2)
X 6.2 5 Z 0.12 10
一般正态分布
=10
标准正态分布
=1
.0478
=5 6.2
3.切贝谢夫大数定律
正态分布函数的性质
1. 图形是关于x= 对称的钟形曲线，且峰值在x= 处， 也是分布的中位数和众数
2.
正态分布是一个分布族，每一特定正态分布通过均值 的 标准差来确定。 决定正态分布曲线的位置，决定曲 线的平缓程度，即胖瘦。
当X的取值向横轴左右两个方向无限延伸时，曲线的两个 尾端也无限渐近横轴，理论上永远不会与之相交
3.
4.
正态随机变量在特定区间上的取值概率由正态曲线下的 面积给出，而且其曲线下的总面积等于1
和 对正态曲线的影响
f(x)
=1/2 =1
B
A
C
1
2
x
正态分布的概率
概率是曲线下的面积!
φ(x)
P(a b) ( x)dx ?
a
b
a
b
x
正态分布曲线下面的面积
解： (1)
5 10 5 P ( 10) P 3 3 5 P 1.67 (1.67) 0.9525 3
2 5 5 10 5 P (2 10) P 3 3 3 5 P 1 1.67 3 (1.67) ( 1) 0.7938
φ(x)
68.27% 95.45% 99.73%
-3
-2
-1
0
+1
+2
+3
Z
标准正态分布与一般正态分布
φ(x)
68.27%
95.45%
99.73%
-3
-2
-1
0
+1
+2
+3
Z
φ(x)
68.27%
95.45%
99.73%
μ -3σ
μ -2σ
μ -σ
μ
μ +σ
μ +2σ
μ +3σ
x
标准正态分布表的使用
b a P ( a b)
标准化的例子P(2.9ξ 7.1)
2.9 5 Z .21 10 7.1 5 Z .21 10
一般正态分布 标准正态分布
= 10
= (3)- (-1)= (3) – [1-(1)]
= 0.9987-(1-0.8413)=0.8354 (4) P(| ξ | 2) = P(-2 ξ| 2)= (2)- (-2) = (2)- [1-(2)]=2 (2)- 1=0.9545
正态分布（实例）
【例】设ξ ~N(5，32)，求以下概率 (1) P(ξ 10) ； (2) P(2< ξ <10)
时只需要查一张表
4.
Z分数（标准正态变量）
标准正态分布
1. 标准正态分布的概率密度函数
1 ( x) e 2
x2 2
, x
2.标准正态分布的分布函数
( x) ( x)dt
x
x
1 2
e dt
t2 2
3.随机变量具有均值为0，标准差为1的正态分布
60 50 40 50 P(40 X 60) Φ( ) Φ( ) Φ(1) Φ(1) 2Φ(1) 1 10 10 2 0.8413 1 0.6826
卡方分布
卡方分布是一种连续型随机变量的概率分布，主要用于列联 表 检验。 1.数学形式 设随机变量X1，X2，„Xk，相互独立，且都服从同一的正态分布N (μ ，σ 2)。那么，我们可以先把它们变为标准正态变量 Z1，Z2，„Zk，k个独立标准正态变量的平方和被定义为卡方分布 。通常把这个分布叫做自由度为K的X2分布。
(2)
正态分布 (例题分析)
【例】假定某公司职员每周的加班津贴服从均值为50元、标准差为10元的正态 分布，那么全公司中有多少比例的职员每周的加班津贴会超过70元，又有多少比 例的职员每周的加班津贴在40元到60元之间呢？
解：设=50， =10，X～N(50,102)
70 50 P( X 70) 1 P( X 70) 1 Φ( ) 1 Φ(2) 10 1 0.97725 0.02275
用来检验两个总体的方差是否相等，多个总体的均值是 否相等。 1.数学形式 设 和 相互独立，那么随机变量
服从自由度为(k1，k2)的F分布。其中，分子上的自由 度k1叫做第一自由度，分母上的自由度k2叫做第二自由度。
2014-1-10 23
[例] 试求下列பைடு நூலகம்值：
[解]查F分布表(附表8)得
2014-1-10
(3) F分布的期望值与变异数(方 差)
2014-1-10
25
t – 分布的概念
如果ξ、η相互独立，且ξ～N(0，1)，η ～χ2(k)，那么
t= t(k)
k t(k)就是自由度为k的t分布 t分布是单峰对称分布，取值在-∞到+∞之间 E(t)=0 D(t)=k/(k-2)，在k＞2时 当k逐渐增大时，t分布趋近于标准正态分布. 当正态总体标准差未知时，在小样本条件下对总体均值的估 计和检验要用到t分布，t分布的概率即为曲线下的面积。
2.贝努里大数定律
设m是n次独立观测中事件A出现的次数，而p是事件A在每次 观测中出现的概率，那么对于任何一个正数ε，有
m lim P ( p < )=1 n n
从数量上说明，在相同条件下进行多次观察时，随机事件的 频率m/n有接近于它概率的趋势。 贝努里大数定律为用抽样成数（ m/n ）来估计总体成数p 奠定了基础。
D( )
例：p162
2
切贝谢夫不等式（例题）
某地进行了收入情况调查。收入的分布不清楚。但知道平均收入为80元，标准差为10元。问 60元-100元之间的概率是多少？ 解：由于切贝谢夫不等式是不受分布限制的，因此本题在分布不清楚的情况下，可带入公式 进行估算。根据题意，E(ξ)=80(元)， ε 取20（元），则
1. 2. 3. 4.
将一个一般的转换为标准正态分布 计算概率时 ，查标准正态概率分布表 对于负的 x ，可由 (-x)1 x得到 对于标准正态分布，即ξ~N(0,1)，有
P (a ξ b) b a P (|ξ| a) 2 a 1
5.
对于一般正态分布，即ξ~N( , )，有
P( 80 20) 1
D( )
2
1 10 2 / 20 2 0.75
即收入在60-100元之间的概率值将大于0.75。 为了比较，不妨设本题的收入情况满足正态分布，那么根据正 态分布可以计算：
P(
80
20) P (60
100)
60 80 100 80 Z ) 10 10 P ( 2 Z 2) 0.9544 P(
φ(x)
68.27% 95.45% 99.73%
μ -3σ
μ -2σ
μ -σ
μ
μ +σ μ +2σ
μ +3σ
x
标准正态分布的重要性
一般的正态分布取决于均值和标准差 计算概率时 ，每一个正态分布都需要有自己的正态概率 分布表，这种表格是无穷多的
1. 2.
3.
若能将一般的正态分布转化为标准正态分布，计算概率
=1
.1664
.0832 .0832
2.9 5 7.1 X
-.21 0 .21
Z
正态分布（实例）
【例】设ξ~N(0，1)，求以下概率： (1) P(ξ <1.5) ；(2) P(ξ >2)； (3) P(-1< ξ 3) ； (4) P(| ξ | 2) 解：(1) P(ξ <1.5) = (1.5)=0.9332 (2) P(ξ >2)=1- P(ξ 2)=1-0.9973=0.0227 (3) P(-1< ξ 3)= P(ξ 3)- P(ξ <-1)
第五章
正态分布、常用统计分布和极限定理
常见的连续型随机变量的概率分布
连续型随机变 量的概率分布
正态分布
χ 2分布
t-分布
F-分布
正 态 分 布 正态分布的重要性
1. 由C.F.高斯(Carl Friedrich Gauss，1777—1855)作为 描述误差相对频数分布的模型而提出
2. 描述连续型随机变量的最重要的分布
X
0 0.12
Z
标准正态分布曲线下面的面积