高中数学人教A版选修2-1课件:3.1.3 空间向量的数量积运算


������1 ������ + ������1 ������1 + 1 ������������ · ������������ + 1 ������������1 2 2 |������1 ������|· |������������|
������1 ������· ������������ |������1 ������|· |������������|
ห้องสมุดไป่ตู้
因为������������ = (a+b), ������������ = ������ −b,|������������ | = |������������ | =
所以异面直线 OE 与 BF 所成的角的余弦值是 .
2 3
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思根据空间两个向量数量积的定义:a· b=|a||b|cos<a,b>,得空间两 个向量 a,b 的夹角的余弦值 cos<a,b>=
2 2
(2)(������������ + ������������) ·(������������ + ������������) = (������������ + ������������) ·(������������ − ������������ + ������������ − ������������ ) =(������������ + ������������) ·(������������ + ������������ − 2������������ ) = (������������ + ������������) ·(������������ + ������������) − (������������ + ������������) ·2������������ =|������������|2 + 2������������ ·������������ + |������������|2 − 2������������ ·������������ − 2������������ ·������������ 1 1 1 =1+2×1×1× + 1 − 2 × 1 × 1 × − 2 × 1 × 1 × = 3 − 2 = 1.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思立体几何中直线与直线的垂直问题可转化为空间向量的数量 积为零的问题.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练2】 如图所示,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底 面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°,求证:CC1⊥BD.
证明: 设������������ =a, ������������ =b, ������������1 =c, 则|a|=|b|. ∵ ������������ = ������������ − ������������ =b-a, ∴ ������������ ·������������1 = (b-a)· c=b· c-a· c =|b||c|cos 60°-|a||c|cos 60°=0. ∴ ������1 ������ ⊥ ������������,即 C1C⊥BD.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
利用数量积证明垂直 【例2】 已知在空间四边形OACB中,OB=OC,AB=AC. 求证:OA⊥BC.
分析:结合图形,利用向量知识证明 OA⊥BC,就是证明������������ · ������������ = 0.
证明:∵OB=OC,AB=AC,OA=OA, ∴△OAC≌△OAB. ∴∠AOC=∠AOB. ∴ ������������ ·������������ = ������������ ·(������������ − ������������) = ������������ ·������������ − ������������ ·������������ =|������������||������������ |cos∠AOC-|������������||������������|· cos∠AOB=0, ∴ ������������ ⊥ ������������ , 即OA⊥BC.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
数量积的运算 【例1】 已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为 AB1的中点,F为A1D1的中点.试计算:
(1)������������ ·������������1 ;
(2)������������ ·������������1 ;
(3)������������ ·������������1 .
解:如图,设������������ =a, ������������ =b, ������������1 =c, 则|a|=|c|=2,|b|=4,a· b=b· c=c· a=0.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
(1)������������ ·������������1 = ������������ ·(������1 ������1 − ������1 ������ )
解析: ������1 ������ = ������1 ������ + ������������ = ������1 ������ + ������1 ������1 + ������������ ,
1 ������������ = ������������ + ������������ = ������������ + ������������1 , 2
������· ������ , |������||������| π 0, 2
这个公式在今后的求解及证明中应用很广泛. 需要注意的是两条异面直线所成角的范围是
和两个向量夹角的范围是[0,π],所以在处理此类题目时应注意符号.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练3】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱 CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是 .
= (-a+b+c)· ������ + ������ =− |������|2 + |������|2=2.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思在几何体中进行向量的数量积运算,要充分利用向量加减法的 几何性质,把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练 1】 已知正四面体 OABC 的棱长为 1.求: (1)������������ ·������������; (2)(������������ + ������������) ·(������������ + ������������); (3)|������������ + ������������ + ������������ |. 1 1 解:(1)������������ ·������������ = |������������||������������|· cos 60°=1×1× = .
1 = ������������ ·[������1 ������1 − (������1 ������ + ������������ )] 2
1 2
=b· (������-������) + ������ = |������|2=42=16. (2)������������ ·������������1 = (������������1 + ������1 ������ ) ·(������������ + ������������1 ) =(������������1 − ������������ + ������1 ������ ) ·(������������ + ������������1 ) = ������-������ + ������ · (a+c)=|c|2-|a|2=22-22=0. (3)������������ ·������������1 = (������������1 + ������1 ������ ) ·(������������1 + ������1 ������1 )
答案:90°
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
利用数量积求两点间的距离 【例4】 已知线段AB在平面α内,线段AC⊥α,线段BD⊥AB,且与α所 成的角是30°,如果AB=a,AC=BD=b.求C,D两点间的距离. 分析:求C,D两点间的距离即求CD的长,首先将CD用向量表示,然 后求其与自身数量积,根据已知向量的模及向量间的夹角得其模的 平方,最后开平方即为所求.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
利用数量积求异面直线所成的角 【例3】 已知空间四边形O -ABC的各边及对角线的长都相等,E,F 分别为AB,OC的中点,求OE与BF所成的角的余弦值.
分析:利用������������ ·������������ = |������������ ||������������ |cos < ������������ , ������������ >, 先求出向量������������ 与������������ 夹角的余弦值,再转化为求异面直线所成的角的余弦值.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解:如图所示.设������������ =a, ������������ =b, ������������ =c, 且|a|=|b|=|c|=1. π 易知∠AOB=∠BOC=∠AOC= , 则 a· b=b· c=c· a= .
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高中数学人教A版选修2-1练习课件:3.1.3 空间向量的数量积运算

高中数学人教A版选修2-1练习课件:3.1.3 空间向量的数量积运算

→· → -OA →· → =0, =OA OC OB →· → =OB →· → -OA →) OB AC (OC →· → -OB →· → =0. =OB OC OA →· → -OB →· → =0, ①-②,得OA OC OC →· → =0. ∴OC AB ∴OC⊥AB.


课后提升训练
答案:C
知识点三
用数量积求长度
π π 4.设 a⊥b, 〈a,c〉= , 〈b,c〉= ,且|a|=1,|b|=2, 3 3 |c|=3,则|a+b+c|=________.
解析:|a + b +c|2 = |a|2 + |b|2 + |c|2 + 2a· b+2a· c+ 2b· c=12 π π + 2 + 3 + 2×1×3cos + 2×3×2×cos = 23. 故 |a + b + c| = 3 3
)
解析:∵b=-5a,∴a·b=-5a2=-5|a|2=-5. 答案:C
知识点二
用数量积求夹角
→ 与BC → 的夹角是 3.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量AB 1 1 ( ) A.30° C.60° B.45° D.90°
→ |=|BC → |= 2a, →· → 解析: 设正方体的棱长为 a, 则|AB AB BC 1 1 1 1 → +AA → )· → +BB → )=AA →· → =a2,∴cos〈AB → ,BC → 〉= =(AB ( BC BB 1 1 1 1 1 1 1 → ,BC → 〉≤180° ,又 0° ≤〈AB ,∴夹角为 60° . 1 1 2
2 2
23.
答案: 23
Hale Waihona Puke 知识点四用数量积证明垂直问题
5. 已知在空间四边形 OABC 中,OA⊥BC,OB⊥AC,求 证:OC⊥AB.

高中数学 3.1.3空间向量的数量积运算课件 新人教A版选修2-1

高中数学 3.1.3空间向量的数量积运算课件 新人教A版选修2-1

例 2.如图,在空间四边形 ABCD 中,AB 2 ,BC 3 ,
BD 2 3 ,CD 3 ,ABD 30 ,ABC 60 ,求
AB

CD
的夹角的余弦值 新疆 王新敞
奎屯
解:∵ CD BD BC ,
∴ AB CD AB BD AB BC
| AB | | BD | cos AB, BD
例1 已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线 长都等于 a,如图所示,点 E,F 分别是 AB,AD 的中点,求:
(1)A→B·A→C; (2)E→F·B→C.
【解】 (1)A→B·A→C=|A→B||A→C|cos〈A→B,A→C〉 =a×a×12=a22.
(2)∵E,F 分别为 AB,AD 的中点, ∴E→F=12B→D.
3.1.3空间向量的数量积运算
学习目标 1.理解空间向量的夹角与长度的概念. 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质. 3.掌握数量积的运算律及计算方法.
知新益能
1.向量的夹角 (1)如图,已知两个非零向量 a、b,在空 间中任取一点 O,作O→A=a,O→B=b, 则∠AOB 叫做向量 a、b 的夹角,记作 _〈_a_,_b_〉__. (2)向量 a、b 的夹角〈a,b〉的范围是 _[0_,__π]____,当〈a,b〉=π2时,则称向量 a、b 互相垂直,记作a_⊥__b ___.
利用向量解决垂直问题
证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直, 将两个方向向量表示为几个已知向量a,b,c的线性形式,然 后利用两个方向向量的数量积为零,说明两直线的方向向量垂 直,进而转化为直线垂直.
例4 在三棱锥SABC中,SA⊥BC,SB⊥AC,求证:SC⊥AB.
证明:如图, S→C=S→A+A→C,A→B=A→S+S→B, 则S→C·A→B=(S→A+A→C)·(A→S+S→B) =-S→A2+S→A·S→B+A→C·A→S+0 =S→A·(S→B-S→A-A→C) =S→A·(A→B-A→C)=S→A·C→B=0. ∴S→C⊥A→B,即 SC⊥AB.

人教新课标A版高二数学《选修2-1》3.1.3 空间向量的数量积运算

人教新课标A版高二数学《选修2-1》3.1.3 空间向量的数量积运算

M、N分别是OA、BC的中点,G是MN的中点.求证:OG⊥BC.
解:
几何条件向量化
典例分析
跟踪训练
已知在空间四边形OABC中,OB=OC,AB=AC,求证:OA⊥BC.
归纳小结
当堂训练
D
B
谢谢大家!
5.一个非常重要的性质
求模即为求数量积
典例分析
P F
解:
A E 四个面均为 全等的正三角O
O
A
C B
A
C B
几何条件向量化
典例分析
A
解:
B
M
D C N
典例分析
跟踪训练
D A E
F
C
B
典例分析
例3 已知空间四边形OABC中,∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC,
第三章 空间向量与立体几何
§3.1.3 空间向量的数量积运算
引入课题
空间中任意两个向量均为共面向量,
平面向量的概念及运算在空间中仍然成立, 将平面向量的数量积推广到空间向量.
基础梳理
1.两个向量的夹角
B B B O A θ
2.数量积的定义
4.数量积的运算律
3.数量积的几何意义
有共同起点
①定义:∠AOB ③范围:[0,π]

高中数学3.1空间向量及其运算3.1.3空间向量的数量积运算课件新人教a选修2_1

高中数学3.1空间向量及其运算3.1.3空间向量的数量积运算课件新人教a选修2_1

(2)向量
a,b
的夹角<a,b>的范围是[0,π],如果<a,b>=
π 2
,
那么向量 a,b 互相垂直,记作 a⊥b.
知识拓展(1)当<a,b>=0时,两个向量同向共线;当<a,b>=π时,两
个向量反向共线.若a∥b,则<a,b>=0或π.
(2)对空间任意两个向量a,b,有以下两个特点:
①<a,b>=<b,a>;
A.5
B.
1 5
C. −5
D.

1 5
解析:∵b=-5a,
∴a·b=-5a2=-5|a|2=-5.
答案:C
【做一做 2-2】在空间中,已知正三角形 ABC 的边长为 2,则������������ ·
������������ = _________________.
解析:∵|������������| = |������������| = 2, 且 < ������������, ������������ >= 60°,
③若 θ 为 a 与 ④|a·b|≤|a||b|.
b
的夹角,则
cos
θ=
|������������|·|������������|.
归纳总结两个向量的数量积,其结果是个数量,而不是向量,它的
值为两个向量的模与两个向量夹角的余弦值的乘积;对于两个非零
向量的数量积,其符号由夹角的余弦值的正负决定.
【做一做 2-1】 在空间中,若|a|=1,b=-5a,则 a·b 等于( )
①(λa)·b=λ(a·b); ②交换律:a·b=b·a; ③分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.

高二数学人教版A版选修2-1课件:第三章 空间向量与立体几何 3.1.3

高二数学人教版A版选修2-1课件:第三章 空间向量与立体几何 3.1.3

解析答
― → ― → ― → (2)| OA + OB + OC |.
解 = =
― → ― → ― → | OA + OB + OC | →+― →+― →2 ― OA OB OC →2 ― →2 ― →2 ― →― → ― →― → ― →― → OA + OB + OC +2 OA · OB + OB · OC + OA · OC
= 12+12+12+21×1×cos 60° ×3= 6.
解析答
类型二
例2
利用数量积求夹角
BB1⊥平面ABC,且△ABC是∠B=90°的等腰直角三角形,▱ABB1A1、▱BB1C1C的对角线都分
别相互垂直且相等,若AB=a,求异面直线BA1与AC所成的角.
反思与
解析答
跟踪训练2
且l⊥OA.
其中正确的有(
A.①② C.③④
)
D B.②③ D.②④
解析 结合向量的数量积运算律,只有②④正确.
解析答
1
2 3 4 5
― → ― → ― → 2.已知正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 a,设 AB =a,AD =b, AA′ ― ― → ― ― ― → =c,则〈A′B, B′D ′〉等于( A.30° C.90° B.60°
当堂训练
问题导学 知识点一 空间向量数量积的概念
思考
如图所示,在空间四边形 OABC 中,OA=8,
AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45° ,∠OAB=60° , ― → ― → 类比平面向量有关运算,如何求向量 OA 与 BC 的数量 积?并总结求两个向量数量积的方法.
梳理
(1)定义:已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos〈a,b〉叫做a,b的数量积,记作a·b.

2018年高中数学人教A版选修2-1: 3.1.3 空间向量的数量积运算 (14张)

2018年高中数学人教A版选修2-1: 3.1.3 空间向量的数量积运算 (14张)

A
C
OB (OC OA) 0
B
所以 OA OC OA OB
OB OC OB OA 所以 OAOC OB OC 0
(OA OB) OC 0
BAOC 0
所以 OC AB
2019年4月29日
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9
业文档
巩固练习:利用向量知识证明三垂线定理
2) (a b) c a (b c)
()
3)
2
p
2
q

(
p q)2
( )
2
2
4) p q p q p q
( )
2019年4月29日
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7
业文档
例1:已知m,n是平面内的两条相交直线,直线l 与的交点为B,且l⊥m,l⊥n,求证:l⊥
3.1.3空间向量的 数量积运算
2019年4月29日
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1
业文档
F

S
W= |F| |s| cos
根据功的计算,我们定义了平面两向量的
数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运
算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.
2019年4月29日
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2
业文档
∴ l⊥g
这就证明了直线l垂直于平面内的
眼皮蹦跳跳专任业一文档条眼直皮蹦线跳,跳专所以l⊥
8
业文档
例2:已知:在空间四边形OABC中,OA⊥BC, OB⊥AC,求证:OC⊥AB
O
证明:由已知 OA BC,OB AC
所以 OA BC 0 , OB AC 0

2016年秋高中数学人教A版选修2-1精品课件:3.1.3空间向量的数量积运算

平面向量的数量积的定义:
已知两个非零向量a, b,则|a| |b|cos
叫做向量a, b的数量积,记作 a b
即 a b | a || b | cos
并规定 a 0 0
第三页,编辑于星期五:二十二点 五十三分。
你能类比平面向量的数量积的有关概 念、计算方法和运算律推导出空间向 量的数量积的有关概念、计算方法和 运算律
第十页,编辑于星期五:二十二点 五十三分。
典型例题
例1 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜 线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
已知:如图, PO 、PA分别是平面 的垂线、斜线,
AO 是 PA在平面 内的射影, l ,且 l OA ,
求证: l PA
分析:用向量来证明
P
两直线垂直,只需证
O A a
l
第十三页,编辑于星期五:二十二点 五十三分。
变式
设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足
AB AC 0, AB AD 0, AC AD 0
则△BCD是 ( C)
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定
第十四页,编辑于星期五:二十二点 五十三分。
例2:(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)
AD 3 , AA 5 , BAD 90 , BAA DAA 60 ,
求对角线 AC的长。
| AC | 85
第十八页,编辑于星期五:二十二点 五十三分。
小 结:
通过学习, 我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以 下问题:
1、证明两直线垂直;
2、求两点之间的距离或线段长度; 3、求两直线所成角.
第四页,编辑于星期五:二十二点 五十三分。
概念

【多彩课堂】高中数学 3.1.3 空间向量的数量积运算名师课件 新人教A版选修2-1


rr
⑴范围: 0 ≤ a, b ≤ .
r
rr rr ⑵ a, b=b, a.
a
rA
a
r
O
r
B
rr ⑶如果 a, b


,那么向量
ar
b
,
r b
br 互相垂直,记作 a

r b
.
2
两个向量的数量积
rr rr rr
已知两个非零向量 a, b ,则 a b cosa, b
rr
rr
已知:如图, PO, PA 分别是平面 的垂线、斜线, AO 是 PA在 平面 内的射影, l ,且 l OA .求证: l PA.
分析:用向量来证明两直线 垂直,只需证明两直线的方
向向量的数量积为零即可!
P OO A
l
如图,已知:PO , AO 为 射 影 , l , 且 l OA
如果 l m, l n, 求证 : l .
l
分析:要证明一条直线与一个平面 垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是 要证明这条直线与平面内的任意一条直 线都垂直.
r
g l ur m
n
r n
ur g
m
取已知平面内的任一条直线g,拿相关直线的方向向量来分析
,看条件可以转化为向量的什么条件?要证的目标可以转化为 向量的什么目标?怎样建立向量的条件与向量的目标的联系?
在充分了解平面向量的概念、运算及空间向量的概念、向量的 加、减以及数乘向量等运算基础上,进一步类比探究并获得空间向 量的数量积的定义、性质并掌握空间向量数量积的应用.例1的实质 是著名的三垂线定理,在以后的解题中有着广泛的应用;例2是利 用空间向量的数量积运算证明直线与平面垂直的判定定理。

2021年全优指导高中数学人教A版选修2-1课件:3.1.3 空间向量的数量积运算


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探究四
规范解答
-23-
3.1.3 空间向量的数量积运算
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变式训练3 导学号03290059已知空间四边形OABC中,M,N,P,Q 分别为BC,AC,OA,OB的中点,若AB=OC,求证:PM⊥QN.
-9-
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探究一求空间向量的数量积 【例1】 已知三棱锥O-ABC的各个侧面都是等边三角形,且边长 为2,点M,N,P分别为AB,BC,CA的中点.试求:
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变式训练4 正三棱柱ABC-A1B1C1角,然后按照数量积的定义计算 求解,必要时,对向量进行分解.
-10-
3.1.3 空间向量的数量积运算
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2019-2020年高中数学人教A版选修2-1课件: 3.1.3 空间向量的数量积运算 课件2

a2=|a|2=9
(a+2b)·(a-b)=a2+a·b-2b2
=9+6 3-32
=6 3-23.
2.已知 a 2 2 , b 2 , a b 2 , 2
则 a 与b 的夹角大小为_1_3__5_.
题型一 利用数量积求夹角
【例1】
如图,在空间四边形OABC中,OA=8, AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°, ∠OAB=60°,求OA与BC所成角的余弦 值.
如果 ⊥m, ⊥n,求证: ⊥ .
g
m
n
例3:已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 ⊥m, ⊥n,求证: ⊥ .
解: 在 内作不与m ,n重合的任一直线g,在
上取非零向量
因m与n相交,故向量m ,n
不平行,由共面向量定理,存在唯一实数 ,使
g
m
n
题型三 利用数量积求两点间的距离
【例4】如图所示,平行六面体ABCD-
1) 空间两个向量的夹角的定义
思考:1、〈a,b〉与〈b,a〉相等吗?
2、〈a,b〉与〈a,-b〉相等吗? 注意:〈a,b〉=〈b,a〉,〈a,-b〉=π-〈a,b〉
2)两个向量的数量积
已知空间两个向量a,b,则 a b cosa,b叫做向量a,b的数量积, 记作:a b,即
a b a b cosa,b
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时,首先思考应该从什么地方下手,然后在思考用什么方法,通过什么样的过程来进行解 答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容,上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过,并没有详细解答, 大家要及时地把它们记下来,下课再向老师请教。
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