《特征值与特征向量》习题
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ﻩ
《３.1.１ 特征值与特征向量》习题 2
错误! １．求矩阵 M＝
的特征值和特征向量．
错误! ２. 已知矩阵 M＝
的一个特征值为３，求另一个特征值及其对应的一个特征
(1)求证 M 和Ｎ互为逆矩阵;
(2)求证 α1 和 α２都是矩阵Ｍ的特征向量.
错误! 错误! １０．给定矩阵 M＝
及向量 α＝
．
(1)求矩阵 M 的特征值及与其对应的特征向量 α１,α２; (2)确定实数 a,b,使向量 α 可以表示为 α=aα1＋bα2; (3)利用(2）中的表达式计算Ｍ3α，Ｍnα; (４)从(3）中的运算结果，你能发现什么？
来的 2 倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转 90°．
(1)求矩阵Ａ及 A 的逆矩阵 B;
错误! （2)已知矩阵 M＝
，求 M 的特征值和特征向量；
错误! （3)若 α＝
在矩阵Ｂ的作用下变换为 β，求Ｍ50β.(结果用指数式表示）
错误! 8． 已知二阶矩阵 M 的一个特征值 λ＝8 及与其对应的一个特征向量 α1＝
错误! 设 λ2=－1 对应的一个特征向量为 α=
，
则由错误!得 x＝－y
令 x＝1,则 y=－１.
错误! 所以矩阵 M 的另一个特征值为－1,对应的一个特征向量为 α=
.
错误! 错误! 错误! ３. 【解】 （1）因为 2α＋3β=2
＋3
＝
,所以Ｍ(2α+3β)=
错误!错误! 错误! ＝
，所以向量 2α+3β 在矩阵Ｍ表示的变换作用下的象为
由错误!错误!＝错误!,
错误! 得 M 属于 1 的特征向量为 α1=
；
当 λ２=6 时,由错误!错误!＝６错误!，
错误! 得 M 属于６的特征向量为 α2=
.
（3)由 Bα=β,
得 β=错误!错误!=错误!，
设错误!＝mα1＋nα2=ｍ错误!＋n错误!
=错误!，
则由错误!
解得错误!
所以 β＝-α1+2α2． 所以 M50β＝M50（－α1+2α２） =-M50α１+2M5０α2
，
可知错误!错误!＝错误!,所以 3c－2d=-２.②
联立①②可得错误!
解得错误!
错误! 错误! 即 A=
,A 的逆矩阵 A－１＝
.
7．【解】 (1)A＝错误!错误!＝错误!；
错误! B=A-1＝
.
(２)设 M 的特征值为 λ，
错误! 则由条件得
＝0,
即(λ－３)(λ-4)－６＝λ２－7λ＋6=0. 解得 λ１=１,λ２=6. 当 λ1=１时,
错误!．
错误! 错误!错误! (2)向量 γ＝
不是矩阵 M 的特征向量.理由如下：Mγ＝
=
错误!,向量错误!与向量
错误! γ=
不共线,所以向量
γ＝错误!不是矩阵
M
的特征向量．
错误! ４． 【解】 矩阵 A 的特征多项式为 f(λ)=
＝λ2－５λ+6=0,
解得 λ１＝2,λ2＝3.
错误! 当 λ1＝２时,得 α1=
向量.
3. 已知矩阵 M＝错误!，向量 α＝错误!,β=错误!.
(1)求向量 2α＋3β 在矩阵Ｍ表示的变换作用下的象；
错误! (2）向量 γ=
是矩阵 M 的特征向量吗?为什么?
错误! 错误! 4. 已知矩阵 A＝
，设向量 β=
，试计算Ａ5β 的值．
错误! ５． 已知矩阵 A=
，其中 a∈R，若点 P(1，1)在矩阵Ａ的变换下得到点 P′(０,-
参考答案
1.【解】 矩阵 M 的特征多项式
错误! f(λ)＝
=（λ+１)(λ－６).
错误! 令 f(λ）＝0,解得矩阵 M 的特征值 λ1＝-１,λ2＝6.将 λ1＝-１代入方程组
错误! 错误! 易求得
为属于 λ1＝-1 的一个特征向量.将 λ2=6 代入方程组
易求得
错误! 错误! 为属于 λ2＝6 的一个特征向量．综上所述，M＝
的特征值为 λ1＝-1，λ2=6，
错误! 错误! 属于 λ1=-１的一个特征向量为
，属于 λ2＝６的一个特征向量为
.
２.【解】 矩阵 M 的特征多项式为
错误! f(λ)=
=(λ-1)(λ-ｘ)－4
因为 λ1＝３为方程 f(λ)=0 的一根,所以 x=1 由（λ－1)(λ－１）-4=０得 λ２＝-１，
是矩阵 A 的属于特征值 λ2＝3 的一个特征向量．∴矩阵Ａ的特征值
为 λ１＝-1,λ2＝3，
错误! 错误! 属于特征值 λ1=－1，λ2=3 的特征向量分别为 Nhomakorabea,
.
错误! 错误! ６． 【解】 由矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量 α1=
,可知
错误!=6错误!，所以 c＋d=6，①
错误! 由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量 α2＝
，
并且矩阵 M 对应的变换将点(－１,2)变换成(－2,４）． (1）求矩阵Ｍ; (2)求矩阵 M 的另一个特征值及与其对应的另一个特征向量 α２的坐标之间的关系; (3）求直线 l：ｘ－y＋1＝０在矩阵 M 的作用下的直线 l′的方程．
9. 给定矩阵 M＝错误!,Ｎ=错误!及向量 α1=错误!,α2=错误!.
３)
（１)求实数 a 的值；
(２）求矩阵Ａ的特征值及特征向量.
错误! 错误! 6. 已知矩阵 A＝
,若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量 α１＝
,
错误! 属于特征值 1 的一个特征向量 α2＝
，求矩阵 A，并写出 A 的逆矩阵.
7. 已知矩阵 A 对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原
；
当 λ2＝3 时，
得 α2＝错误!,
由 β＝ｍα1＋nα2,
得错误!,
得 m=3,n＝1， ∴Ａ5β＝A５(3α1+α2) ＝3(Ａ５α１）＋Ａ５α2
＝3（λ错误!α1)+λ错误!α２
=3×25错误!+35错误!＝错误!.
5．【解】 （１）∵错误!错误!＝错误!，
∴错误!＝错误!,
∴a=－４.
(2)∵A=错误!，
错误! ∴ｆ(λ）＝
＝λ2-2λ-３.
令 f(λ)＝0，得 λ1=－１,λ2＝３，
错误! 错误! 对于特征值 λ1＝－１，解相应的线性方程组
得一个非零解
，
错误! 因此 α１＝
是矩阵 A 的属于特征值 λ1=-1 的一个特征向量．
错误! 错误! 对于特征值 λ２＝3,解相应的线性方程组
得一个非零解
,
错误! 因此 α2＝
考研数学二(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷5(题后含答案及解析)
考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷5(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．n阶方阵A有n个互不相同特征值是A与对角矩阵相似的【】A．充分必要条件．B．充分而非必要的条件．C．必要而非充分条件．D．既非充分也非必要条件．正确答案：B 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量2．设A、B都是n阶矩阵，则A与B相似的一个充分条件是【】A．r(A)＝r(B)．B．｜A｜＝｜B｜．C．A与B有相同的特征多项式．D．A、B有相同的特征值λ1，…，λn，且λ1，…，λn互不相同．正确答案：D 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量3．设n阶矩阵A与B相似，则【】A．λE－A＝λE－B．B．A与B有相同的特征值和特征向量．C．A和B都相似于同一个对角矩阵．D．对任意常数t，tE－A与tE－B都相似．正确答案：D 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量4．与矩阵D＝相似的矩阵是【】A．B．C．D．正确答案：C 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量填空题5．设α1＝(1，0，－2)T和α2(2，3，8)T都是A的属于特征值2的特征向量，又向量β＝(0，－3，－10)T，则Aβ＝_______．正确答案：(0，－6，－20)T．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量6．设4阶矩阵A与B相似，A的特征值为，则行列式｜B-1－E｜＝_______．正确答案：24．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量7．设向量α＝(1，0，－1)T，矩阵A＝ααT，a为常数，n为正整数，则行列式｜aE－An｜＝_______．正确答案：a2(a－2n)．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量8．设可逆方阵A有一个特征值为2，则必有一个特征值为________．正确答案：涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量9．设可逆方阵A有特征值λ，则(A*)2＋E必有一个特征值为_______．正确答案：涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
3.1 矩阵的特征值和特征向量
习题3.1选讲 习题3.1选讲
第三章
5. 设λ0是n阶矩阵A的一个特征值 , 试证 (1) kλ0是kA的一个特征值 ( k为常数 );
m ( 2) λ0 是Am的一个特征值 ( m为常数 );
( 3) 若A可逆 , 则 ( 4) 若A可逆 , 则
1
λ0
A
是A−1的一个特征值; 是 A 的一个特征值;
习题二第11题 习题二第11题
设 n阶矩阵 A各行的元素之和均为零 , 且 r ( A ) = n − 1. 求齐次线性方程组 AX = O的全部解 .
练习2.5第 练习2.5第3题: 矩阵, 矩阵. 证明AB 设 A 为m × n 矩阵, B为 n × s 矩阵. 证明AB = O ⇔ B 的解. 的每一个列向量均为齐次线性方程组 AX = O 的解.
第三章
1. 设 A 是 n 阶矩阵，则 A 与 AT 具有相同的特征值. 阶矩阵， 具有相同的特征值. 3. 设 λ1 , λ2 , … λm 是方阵 A 的 m 个互异特征值, α1 , α2 , 个互异特征值, 依次是与之对应的特征向量, … , αm 依次是与之对应的特征向量, 则 α1 , α2 , … , αm 线性无关. 线性无关. 4. 设 n 阶矩阵 A 的互异特征值为 λ1 , λ2 , … λm . A 的属于 λi 的线性无关的特征向量为 则向量组
*
λ0
( 5) 对任意数 k , k − λ0是kE − A的一个特征值 .
P16P16-15
习题3.1选讲 习题3.1选讲
第三章
7. 设 λ1 , λ2是 n阶矩阵 A的两个不同特征值 , 对应的特征向量 分别为 α 1 , α 2 , 试证 c1α 1 + c 2α 2 ( c1 ≠ 0, c 2 ≠ 0 )不是 A的特征 向量 .
线性代数解题技巧及典型题解析01-特征值与特征向量练习题_24
特征值与特征向量1．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=2 4 24 2 22 2 1A ，求A 的特征值与特征向量。
3．若3是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2 1 0 01 0 00 0 0 10 0 1 0y A 的一个特征值，求A y 及的其它特征值。
4．设33⨯A 的特征值为1，－2，－3，求A 及1-A 、*A 、E A A ++22的特征值。
5．设E B P A P B P A 2,,1 0 01 0 10 1 0,3 2 22 3 22 2 3*1+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-求的特征值与特征向量。
6．设.2,,,)1,0,1(n T T A E n aa A a -=-=求为正整数7．设n 阶可逆阵A 的每行元素之和均为E A a a 32),0(1+≠-求的一个特征值与对应的特征向量。
8．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---= 0 13 b 5c 1 a c a A ，*,1A A -=有一个特征值0λ，属于0λ的一个特征向量为0,,,)1,1,1(λα及求c b a T --=.9．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1 2 20 2 00 2 1A ，问A 能否与对角阵相似？10． 1 2 20 2 00 0 1A --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，问A 能否与对角阵相似？. 2)(,33351315 2.的特征值及，求设A c A r c A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=11．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=3241223 k k A ，问k 取何值时，存在可逆阵P ，使AP P 1-为对角阵？并求P 及相应的对角阵。
12．若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=6 0 0 2 80 2 2a A 相似于对角阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆阵P 使.1Λ=-AP P13．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=5 3 3 4 1 1 1y x A 有三个线性无关的特征向量，2=λ是A 的二重特征值，试求可逆阵P ，使AP P 1-为对角阵。
14．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----= a A 33242111与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= b B 00020002相似，求a,b 及可逆阵P ，使.1B AP P =-15．设110 1 1,,11 2 k A k l k l l ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭正交相似于求及正交阵Q ，使10 1 2Q AQ -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
考研数学二(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷22(题后含答案及解析)
考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷22(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设三阶矩阵A的特征值是0，1，一1，则下列选项中不正确的是( ) A．矩阵A—E是不可逆矩阵。
B．矩阵A+E和对角矩阵相似。
C．矩阵A属于1与一1的特征向量相互正交。
D．方程组Ax=0的基础解系由一个向量构成。
正确答案：C解析：因为矩阵A的特征值是0，1，一1，所以矩阵A一E的特征值是一1，0，一2。
由于λ=0是矩阵A—E的特征值，所以A—E不可逆。
因为矩阵A+E的特征值是1，2，0，矩阵A+E有三个不同的特征值，所以A+E可以相似对角化(或由A～Λ=> A+E～Λ+E而知A+E可相似对角化)。
由矩阵A有一个特征值等于0可知r(A)=2，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由n—r(A)=3—2=1个解向量构成。
选项C的错误在于，若A是实对称矩阵，则不同特征值的特征向量相互正交，而一般n阶矩阵，不同特征值的特征向量仅仅线性无关并不一定正交。
故选C。
知识模块：矩阵的特征值和特征向量2．设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵有特征值( )A．B．C．D．正确答案：B解析：因为A为A的非零特征值，所以λ2为A2的特征值，为(A2)—1的特征值。
因此的特征值为。
故选B。
知识模块：矩阵的特征值和特征向量3．设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )A．λ1≠0。
B．λ2≠0。
C．λ1=0。
D．λ2=0。
正确答案：B解析：令k1α1+k2A(α1+α1)=0，则(k1+k2λ1)α1+k2λ2α2=0。
因为α1，α2线性无关，所以k1+k2λ1=0，且k2λ1=0。
当λ2≠0时，显然有k1=0，k2=0，此时α1，A(α1+α2)线性无关；反过来，若α1，A(α1+α2)线性无关，则必然有λ2≠0(否则，α1与A(α1+α2)=λ1α1线性相关)。
北师大版高中数学选修4-2矩阵变换的特征值与特征向量同步练习.docx
矩阵变换的特征值与特征向量 同步练习一，选择题1，零为矩阵A 的特征值是A 为不可逆的( )A. 充分条件 B .必要条件 C.充要条件 D .非充分、非必要条件2,设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值, βα与是A 的分别属于21,λλ的特征向量, 则有βα与是( )A.线性相关B.线性无关C.对应分量成比例D.可能有零向量3, 设A 、B 都是2阶方阵, 下面结论正确的是( )A.若A 、B 均可逆, 则A + B 可逆.B.若A 、B 均可逆, 则AB 可逆.C.若A + B 可逆, 则A －B 可逆.D. 若A + B 可逆, 则A , B 均可逆. 二，填空题4,矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛2152的特征值是 .5,给定矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a M ,设矩阵M 存在特征值λ,及其对应的特征向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=y x α,只有当 时,方程组⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00y x d c b a λλ才可能有非零解.6,当矩阵M 有特征值及对应的特征向量α,即αλα=M 则有=αn M .三，解答题7,求矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=32521M 的特征值和特征向量8,若矩阵A 有特征向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01i 和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10j ,且它们对应的特征值分别为1,221-==λλ,(1)求矩阵A 及其逆矩阵1-A(2)求逆矩阵1-A 的特征值及特征向量;(3)对任意向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x α,求α100A 及α1-A参考答案1，C 2,B 3,B 4,52,5221-=+=λλ 5, 0=----dcbaλλ6, αλn7,解:矩阵M 的特征值λ满足方程:2,4:.082:)25)(2()3)(1(325210212-===------+=---+=λλλλλλλλ的两个特征值解得矩阵即M .452,0250)2()14(,0)2()1(,4),1(111的一个特征向量为属于持征值则可取也就是即则它满足方程的和特征向量为设属于特征值=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-=-++=-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλy x y x y x y x.212,020)2()12(,0)2()1(,2),2(212的一个特征向量为属于持征值则可取也就是即则它满足方程的和特征向量为设属于特征值-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-++-=-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλλy x y x y x y x⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=122,524,2,432521,2121的一个特征向量为属于的一个特征向量为属于有两个特征值综上所述λλλλM8,解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='+'=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='='-='⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--210201,210012,1001)3(01,1021,1)2(10021,1002)1(1211001001002100110021211y x y x j y i x A y x y x j y i x A j y i x y x y x i j A A λλαλλααλλλλ则由于可以取属于的特征向量可以取属于的特征向量分别为逆矩阵的特征值有两个。
北师大版数学选修4-2练习：(第5章)矩阵的特征值与特征向量(2)(含答案)
第五章矩阵的特征值与特征向量同步练习(二) 1、设21,是矩阵A 的两个不同的特征值,,是A 的分别属于21,的特征向量, 则有与是( )A 、线性相关B 、线性无关C 、对应分量成比例D 、可能有零向量2、矩阵4121M 的特征值为（）A 、3,221B 、3,221C 、3,221 D 、3,2213、矩阵1001M 的特征值为____________，对应的特征向量为________________。
4、矩阵2543A 的特征值是_________。
5、给定矩阵d c b a M ，设矩阵M 存在特征值，及其对应的特征向量y x，只有当 ________________时，方程组0y x d c b a才可能有非零解。
6、矩阵123211的特征值是。
7、当矩阵M 有特征值及对应的特征向量，即M ，则有n M 。
8、若矩阵A 有特征向量01i和10j ,且它们对应的特征值分别为1,221,(1)求矩阵A 及其逆矩阵1A ；(2)求逆矩阵1A 的特征值及特征向量；(3)对任意向量y x,求100A 和1A 。
9、自然界生物群的成长受到多种条件因素的影响，比如出生率、死亡率、资源的可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等等。
因此，它们和周边环境是一种既相生又相克的生存关系。
但是，如果没有任何限制，种群也会泛滥成灾。
现假设两个互相影响的种群X ，Y 随时间段变化的数量分别为n n b a ,，有关系式n n n n n nb a b b a a 23211，其中4,611b a ，试分析20个时段后，这两个种群的数量变化趋势。
考研数学二(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷18(题后含答案及解析)
考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷18(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．已知A是四阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若A*的特征值是1，一1，2，4，那么不可逆矩阵是( )A．A—E。
B．2A—E。
C．A+2E。
D．A一4E。
正确答案：C解析：因为A*的特征值是1，一1，2，4，所以｜A*｜=一8，又｜A*｜=｜A｜4－1，因此｜A｜3=一8，于是｜A｜=一2。
那么，矩阵A的特征值是：一2，2，一1，一。
因此，A一E的特征值是一3，1，一2，一。
因为特征值非零，故矩阵A—E可逆。
同理可知，矩阵A＋2E的特征值中含有0，所以矩阵A+2E 不可逆。
所以应选C。
知识模块：矩阵的特征值和特征向量2．已知A是三阶矩阵，r(A)=1，则λ=0( )A．必是A的二重特征值。
B．至少是A的二重特征值。
C．至多是A的二重特征值。
D．一重、二重、三重特征值都有可能。
正确答案：B解析：A的对应λ的线性无关特征向量的个数小于或等于特征值的重数。
r(A)=l，即r(OE—A)=1，(OE—A)x=0必有两个线性无关的特征向量，故λ=0的重数大于等于2。
至少是二重特征值，也可能是三重。
例如A=，r(A)=1，但λ=0是三重特征值。
所以应选B。
知识模块：矩阵的特征值和特征向量3．设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )A．λ1≠0。
B．λ2≠0。
C．λ1=0。
D．λ2=0。
正确答案：B解析：令k1α1+k2A(α1+α2)=0，则(k1+k2λ1)α1+k2λ2α2=0。
因为α1，α2线性无关，所以k1+k2λ1=0，且k2λ2=0。
当λ2≠0时，显然有k1=0，k2=0，此时α1，A(α1+α2)线性无关；反过来，若α1，A(α1+α2)线性无关，则必然有λ2≠0(否则，α1与A(α1+α2)=λ1α1线性相关)，故应选B。
第五章、矩阵的特征值和特征向量习题答案
1 2 3 (2) 2 1 3
3 3 6
1 2 3
E A 2 1 3
3 3 6
3 82 9 ( 1)( 9)
1 1, 2 0, 3 9
1E AX
2 2 3
2 2 3X
3 3 7
1 1 0
0 0 1X
0 0 0
x1 x2
x3 0
1 1 1 0T
8 3X
3 3
x1
x2
1
2 1T
X k33 (k3 R, k3 0)
5、已知3阶矩阵A的特征值为1，2，3，求: A3 5A2 7E
解：
f ( A) A3 5A 7E
' f () 3 5 7
1' '2
3 5
'3 11
A3 5A2 7E 165
9、设 P1, P2 是A的属于特征值3的线性无关的
两个向量
PP11TT
P2 P3
0 0
x1 x2 x3 0
P1T X
x1 x2 x3
1 1 P2 1 , P3 0
0 1
（方法一） 1 1 1
P (P1, P2 , P3) 1 1 0 1 0 1
1 3
5 2 4
2 8 2 X
4 2 5
1 0
0 1
1 1
X
0 0
2 0
3 2 1 2T
x1 x3
x2
1 2
x3
e3
3 3
2 3
1 3
2 T
3
P e1 e2 e3
P1AP
8、 解：
A 1(2)3 6 0
A可逆
第五章 矩阵的特征值和特征向量
第五章 矩阵的特征值和特征向量习题一 矩阵的特征值和特征向量一、填空题1．A 为n 阶方阵，Ax =0有非零解，则A 必有一特征值为________． 2．若λ0为A 的特征值，则A k (k 为正整数)有特征值为________．3．若α为A 的特征向量，则________为P -1AP 的特征向量． 4．n 阶矩阵A 与_____________有相同的特征值． 二、计算题1.设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----122212221 (1) 试求矩阵A 的特征值；(2) 利用(1)的结果，求矩阵E +A -1的特征值，其中E 是三阶单位矩阵．２．求矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----632223221的实特征值及对应的特征向量．三、证明题1．设A 满足A 2-3A +2E =0，证明其特征值只能取值1或2．2．若n 阶矩阵A ，存在自然数m ，使得0=mA ，则A 的特征值是０．3．如果A 可逆，λ是A 的特征值，则1-λ是1-A 的特征值．4．证明：)()(),()()(A kTr kA Tr B Tr A Tr B A Tr =+=+．习题二 相似矩阵和矩阵可对角化一、填空题1．若A ~kE ，则A =________．2．若n 阶方阵A 与B 相似，且A 2=A ，则B 2=________．． 3．已知A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----533242111，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛20002000λ 且A ~B ，则λ=________．4．A 可对角化当且仅当 ． 5．n 阶矩阵A 有n 个互不相同的特征值是A 可对角化的___________． 6．判别矩阵A 可对角化的方法是 ．二、 1．设A =[a ij ]为三角矩阵，且对角线元素互不相等．试指出A 是否有与它相似的对角矩阵，并说明理由．2．矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--314020112能否对角化？若能，求可逆矩阵P ，使P -1AP 为对角矩阵．三、判别下列矩阵是否可对角化⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=031302120B四、矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-113222x和B=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-y21是相似矩阵．求x与y；习题三实对称矩阵的对角化一、求正交矩阵T，使ATT1-为对角矩阵．①⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=34243222A②⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=1222223B③⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=411141141114C二、设实对称矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-124222421，求可逆矩阵Q ，使Q -1AQ 为对角矩阵．三、已知三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，设矩阵B =A 3-5A 2试求：(1) 矩阵B 的特征值及与其相似的对角阵；(2) 行列式|B |和|A -5E |．四、设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201021313，求 (1) A 的所有特征值与特征向量；(2) 判断A 能否对角化，若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使A 化为对角形矩阵； (3) 计算A m ．综合复习题一、空题与选择题1．矩阵________20222002⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛与．2．设),(,F M T A n ∈其中T 可逆，则k AT T k _(__________)(1=-为非负整数）， ][)(_,__________)(1x F x f AT T f ∈=- .（][x F 表示数域F 的全体多项式，)(F M n 表示全体n 阶矩阵） 3．相似矩阵有________秩，有相同秩的矩阵_________相似．4．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=411205123A 的三个特征值为321,,λλλ则 .________.____________321321==++λλλλλλ 5．设)(x f 是方阵A 的特征多项式，则_______;)(=A f若B A ~,则)(B f = _________.6．下面四个命题中原命题和逆命题都正确的是（ ） （A ）相似矩阵有相同的特征多项式；（B ）设σ是数域F 上向量空间的一个线性变换．A 是σ关于V 的一个基的矩阵，如果λ是σ的特征根，那么λ是A 的特征根；（C ）n 维向量空间的一个线性变换关于V 的两个基的矩阵是相似矩阵； （D ）设)(F M A n ∈，若)(x f A 在数域F 内有单根，则A 可对角化． 7．下列三个矩阵中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a A a a a A a a a A 001001,001000,000000321 ① 21~A A ； ② 31~A A ； ③ 32~A A ；④ 321,,A A A 中两两都不相似．（A ）① 正确； (B) ②正确； (C) ③ 正确 ； (D) ④ 正确． 8．设A 是n 阶矩阵，那么① 在复数域C 上A 一定与某一对角矩阵相似； ② 在C 上A 一定与某一上三角矩阵相似；③ 在C 上A 一定与某一下三角矩阵相似．（A ）① 正确； (B) ②，③正确； (C) ①， ② 正确 ； (D) ①，②，③正确． 9．下列矩阵中，不可对角化的仅是（Ａ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0280； (B) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111； (C) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1101； （Ｄ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3210． 10．设,0),(,,≠∈T F M T B A n 且B A ,在F 上均可对角化，则① B A + 可对角化； ②AB 可对角化； ③AT T 1-可对角化；④ T B T m 1-可对角化. *N m ∈（*N 表示全体正整数） （A ），②正确； ( B) ③，④正确； (C) ①，②，③，④正确 ； (D) ① 正确． 二、计算与证明题1．求下列矩阵的全部特征值与特征向量（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200210311A （2）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=624232426A （3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=633312321A （4）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=201034011A2．找出1题中可对角化的矩阵A ，并求可逆矩阵X 使AX X1-为对角矩阵．3．求正交矩阵T 使AT T1-为对角矩阵（1） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=542452222A （2）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=342432220A (3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1333313333133331A （4）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1101111001111011A 4．试证：矩阵A 可逆的充分必要条件是：它的特征值都不等于零．5．设n 阶可逆矩阵A 的特征值是n λλλ,,,21 ，证明：1-A 的特征值为11211,,,---n λλλ ． 6．如果任一个n 维非零向量都是n 阶矩阵A 的特征向量，试证明A 是一个数量矩阵． 7．A 是一个n 阶实对称矩阵，试证：如果0λ是A 的k 重特征值，则矩阵A E -0λ的秩等于k n -．自测题一、填空题1．若A 为n 阶矩阵，0=AX 有非零解，则A 必有一特征值为__________． 2．若0λ是A 特征值，则kA （k 为正整数）有特征值为____________．3．若α为A 的特征向量，则AP P 1-的特征向量为_____________．4．若n 阶矩阵A 有n 个属于特征值λ的线性无关的特征向量，则A =__________．5．已知三阶矩阵A 的三个特征值为1，2，3，则1_____;-=A A 的特征值为___________．6．n 阶零矩阵的全部特征向量是___________． 7．若kE A ~，则=A ______________．8．若n 阶矩阵A 与B 相似，且A A =2，则=2B ___________．9．已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=20002000,533242111λB A 且B A ~，则._______=λ 10．三阶矩阵A 的三个互异特征值为321,,λλλ，它们对应的特征列向量分别为 ,,,321ααα则矩阵（,,,321ααα）的秩为__________．二、选择题1.设λ=2是非奇异矩阵A 的特征值，则矩阵12)31(-A 有一特征值等于( )．(a ) 34 (b ) 43 (c ) 21 (d ) 412.若n 阶矩阵A 的任意一行中n 个元素的和都是a ，则A 的一个特征值为( )．(a ) a (b ) –a (c ) 0 (d ) a -13.设A 是n 阶矩阵，λ1，λ2是A 的特征值，α1，α2是A 的分别对应于λ1，λ2的特征向量，则( )．(a ) λ1=λ2时，α1，α2一定成比例 (b ) λ1=λ2时，α1，α2一定不成比例(c ) λ1≠λ2时，α1，α2一定成比例 (d ) λ1≠λ2时，α1，α2一定不成比例4.设n 阶矩阵A 与B 相似，则( )(a ) λE -A =λE -B (b ) |λE -A |=|λE -B |(c ) |λE -A |~λE -B (d ) A 与B 都相似于一个对角矩阵D5.n 阶方阵A 具有n 个特征值是A 与对角矩阵相似的( )(a ) 充分必要条件 (b ) 充分而非必要条件 (c ) 必要而非充分条件 (d ) 既非充分也非必要条件6.矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300030000与下列哪个矩阵相似( )(a ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000030300 (b ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300130010 (c ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300000003 (d ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛030300010 7.n 阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是( )．(a ) A 有n 个不全相同的特征值 (b ) A T 有n 个不全相同的特征值 (c ) A 有n 个不相同的特征值 (d ) A 有n 个线性无关的特征向量8.n 阶方阵A 与某对角矩阵相似，则( )．(a ) 方阵A 的秩等于n (b ) 方阵A 有n 个不同的特征值(c ) 方阵A 一定是对称矩阵 (d ) 方阵A 有n 个线性无关的特征向量9.λ1，λ2是n 阶矩阵A 的特征值，X 1，X 2是相应于λ1，λ2的特征向量，对于不全为零的常数c 1，c 2：( )(a ) 当λ1≠λ2时，则c 1X 1+ c 2X 2必为A 特征向量(b ) 当λ1≠λ2时，则X 1，X 2是A 相应于λ1，λ2唯一的两个线性无关的特征向量 (c ) 当λ1=λ2时，则c 1X 1+ c 2X 2必为A 特征向量(d ) 当λ1=λ2时，则X 1，X 2必为A 相应于λ1，λ2的线性无关的特征向量 10.设n 阶矩阵A 为满秩矩阵，则A ( )(a ) 必有n 个线性无关的特征值 (b ) 必有n 个线性无关的特征向量 (c ) 必相似于一满秩的对角矩阵 (d ) 特征值必不为零 三、计算题1．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=122212221A （1） 试求矩阵A 的特征值；（２）利用（1）的结果，求1-+A E 的特征值．2．求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=632223221A 的特征值及特征向量．3．设实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=124222421A ，求可逆矩阵Q 使AQ Q 1-为对角矩阵． 4．设A 为n 阶实矩阵，满足0,<=A E AA T，试求A 的伴随矩阵*A 的一个特征值．5．已知三阶矩阵A 的特征值为1，1-，2，矩阵235A A B -=，试求 （1） 矩阵B 的特征值和与B 相似的对角矩阵；(2) 行列式B 和E A 5-.6．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=201021313A ，求 （1）A 的所有特征值与特征向量；（2）判别A 能否对角化，若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使AP P 1-为对角矩阵； （3）计算mA ．四、证明题1．若n 阶矩阵A 满足A A =2，则A 的特征值仅能是0或1．2．若n 阶矩阵A 满足I A =2，则A 的特征值仅能是1或1-．3．设A 满足0232=+-E A A ，证明：A 的特征值只能是1或2．4．设A 是实数域上奇数阶方阵，且0>A ，证明：A 有正特征值． 5．设][)(),(x F x f F M A n ∈∈，A 在F 上可对角化，证明：)(A f 在F 上可对角化．二次型习题一 二次型及表示方法一、填空题1．二次型f (x 1，x 2，x 3，x 4)=x 12+2x 22+3x 32+4x 1x 2+2x 2x 3________．2. 矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--314122421对应的二次型是________．3．),(21x x q =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21211222)(x x x x 的矩阵为__________. 4．二次型),,,(21n x x x q 经过__________的线性替换总可以化为标准形2222211nn y c y c y c +++ .5．n 阶对称矩阵同时实行行和列的初等变换总可化为_______矩阵. 二、写出下列各二次型的矩阵1．23322231212138232x x x x x x x x x ++-+-2．243231212x x x x x x x ++-三、写出下列对称矩阵所对应的二次型1．⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------=012320113113221233121A2．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011121110B四、对于对称矩阵A 与B ，求出可逆矩阵C ，使B AC C T=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011121110A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101112B习题二 化二次型为标准型一、用配方法化下列二次型为标准型. 1．31212322214245x x x x x x x -+-+2． 32312164x x x x x x +-二、用初等变化的方法求一奇异矩阵C ，使AC C T为对角矩阵.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=310102021A三、用初等变换法将二次型f (x 1，x 2，x 3，x 4)=x 12+x 22+x 32+x 42+2x 1x 2+2x 2x 3+2x 3x 4化为规范形，并求所作的非退化变换矩阵，且用矩阵验算结果．四、求一正交矩阵P ，使AP P T为对角矩阵.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=1132112332112311A四、试用配方法将二次型f (x 1，x 2，x 3)=x 12+x 22+3x 32+4x 1x 2+2x 1x 3+2x 2x 3化为标准形(平方和)和规范形．习题三 正定二次型一、填空题1．实二次型f (x 1，x 2，x 3)=x 12-x 22+3x 32的秩为________，正惯性指数为________，负惯性指数为________．2．设n 阶实对称矩阵A 的特征值分别为1，2，…，n ，则当t ________时，tE -A 为正定矩阵．3. 若n 阶实对称矩阵A 的秩为r (<n )且A 2=A ，则是________矩阵(正定、半正定，…)，正惯性指数为________．4．____二次型),,,(21n x x x q 成为正定的，如果对于任意一组),,,(21n c c c ______ 都有),,,(21n c c c q _________.5． 5． 对称矩阵A 正定当且仅当A 与_________矩阵合同.6．实对称矩阵A 正定当且仅当A 的一切顺序主子式__________或者A 的一切主子式 ______________.7． 7． 对称矩阵的特征根都是_____________.二、计算题：1．求α的值，使二次型为正定.(1) 3231212322214225x x x x x ax x x x +-+++(2) 3231212322212245x x x x x x ax x x --+++2．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101020101，矩阵B =(kE +A )2，其中k 为实数，E 为单位矩阵．求对角矩阵Λ，使B 与Λ相似，并求k 为何值时，B 为正定矩阵．（1） （1） 3．设A 1~A 1和B 1~B 2．试证⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11B A ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22B A判断三元二次型f = x 12+5x 22+x 32+4x 1x 2-4x 2x 3的正定性．三、证明题：1．A 是n 阶实对称矩阵，AB +B T A 是正定矩阵，证明A 可逆．2．设A 是n 阶正定矩阵，证明|A +2E |>2n ．3．令A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21A O O A , B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21B O O B ,如果1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，则A 与B 合同.4．证明：实二次型),,,(21n x x x q 负定的充分必要条件是它的矩阵A 的奇数阶顺序主 子式全小于零，偶数阶顺序主子式全大于零.自测题一、填空题1．二次型322123222143212432,,,(x x x x x x x x x x x f ++++=）_______. 2．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=314122421A 对应的二次型是_____________________. 3．二次型),,(321x x x f =31212322212224x x x tx x x x ++++是正定的，那么t 应满足不等式_________.4．二次型),,(321x x x f =2322213x x x +-的秩为__________.正惯性指数为__________,负惯性指数为__________.5．设n 阶实对称矩阵A 的特征值分别为n ,,2,1 ，则当t =______时，A tE -为正定矩阵.6．若n 阶实对称矩阵A 的秩为)(n r <且A A =2，则是_______矩阵，正惯性指数为___________.7．二次型的规范形由_____________唯一确定；复二次型的规范形由____唯一确定.8．实对称矩阵A 正定的充分必要条件是它的特征值___________. 9．若A 是实对称矩阵且可逆，则将Ax x f T =化为y A y f T 1-= 的线性变换为_____________.10．设A 为n 阶实对称矩阵，那么T AA 是_______(对称、非对称、对角).二、选择题i. i. 1.设A ，B 均为n 阶方阵，x =(x 1，x 2，…，x n )T ，且X T AX = X T BX ，当( )时，A =B ．(a ) 秩(A )=秩(B ) (b ) A T =A(c ) B T =B (d ) A T =A 且B T =Bii. ii. 2.实二次型f (x 1，x 2，x 3，x 4)= X T AX 为正定的充分必要条件是( )．(a ) |A |>0 (b ) 存在n 阶可逆矩阵C ，使A =C T C(c ) 负惯性指数为零 (d ) 对于某一x =(x 1，x 2，…，x n )T ≠0，有X T AX >0．iii.iii. 3.实二次型f (x 1，x 2，x 3，x 4)= x 12+2x 1x 2+tx 22+3x 32，当t =( )时，其秩为2． (a ) 0 (b ) 1 (c ) 2 (d ) 3 iv. iv. 4.设A ，B 为同阶可逆矩阵，则( )(a ) AB =BA(b ) 存在可逆矩阵P ，使P -1AP =B(c ) 存在可逆矩阵C ，使C T AC =B(d ) 存在可逆矩阵P 和Q ，使P AQ =Bv.v. 5.设A 为正定矩阵，则下列矩阵不一定是正定的是( ) (a ) A T (b )A -1 (c ) A +E (d ) A -E vi.vi. 6.设A 是一个三阶实矩阵，如果对任一三维列向量X ，都有X T AX =0，那么( )． (a ) |A |=0 (b ) |A |>0 (c ) |A |<0 (d ) 以上都不是 vii. vii. 7.n 阶实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是( )．(a ) 所有k 阶子式为正(k =1，2，…，n )(b ) A 的所有特征值非负(c ) A -1为正定矩阵 (d ) 秩(A )=nviii. viii. 8.设A ，B 都是n 阶实对称矩阵，且都正定，那么AB 是( )(a ) 实对称矩阵 (b ) 正定矩阵 (c ) 可逆矩阵 (d ) 正交矩阵ix. ix. 9.下列矩阵为正定的是( )．(a ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200032021 (b ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200042021 (c ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---200052021 (d ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛520210002 x.x. 10.设A 、B 是n 阶正定矩阵，则( )是正定矩阵． (a ) A *+B * (b ) A *-B * (c ) A *B * (d ) k 1A *+k 2B *三、对二次型32212221442x x x x x x f --+=分别作下列两个非退化线性替换. （1） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321*********y y y x x x (2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32132121001101121y y y x x x四、试用配方法将二次型3231212322213212243),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=化为标准形（平方和）和规范形.五、用初等变换法将二次型43322142322214321222),,,(x x x x x x x x x x x x x x f -+++++= 化为标准形，求所作的非退化矩阵，并用矩阵验算结果.六、已知二次型)0(2332),,(32232221321>+++==a x ax x x x x x x f ，通过正交变换化成标准形23222152y y y f ++=，求参数a 及所用正交变换矩阵. 七、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，矩阵2)(A kE B +=，其中k 为实数，E 为单位矩阵，求 对角矩阵A ，使B 与A 相似，并求k 为何值时，B 为正定矩阵.八、设1A 与2A 相似，1B 与2B 相似.试证⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11B A 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22B A . 九、判断三元二次型3221232221445x x x x x x x f -+++=的正定性. 十、A 是n 阶实对称矩阵，A B AB T +是正定矩阵，证明：A 可逆.十一、设A 是n 阶正定矩阵，证明：n E A 22>+.。