北京大学量子力学教材 第七章
量子力学讲义第7章
第七章 定态问题的近似解（本部分内容尽可能采用精讲多练的方法教学，减少课堂推导，增加例题训练）7.1 非简并态微扰论微扰论的基本精神 -- 对小量逐级展开一、非简并微扰论适用的条件①n n n E H t H ψψ==∂∂,0；②H H H H ''+= ,0要远小于00,H H为分立谱；③)0()0()0()0()0(0,,nn n n n E E H ψψψ= 已知或易求； ① 所研究的那个能级无简并。
二 、零级近似方程和各级修正方程为表征微扰程度，引入参数H H '→'≤λλ:1，按λ的幂次展开。
方程： n n n E H H ψψλ='+)(0设 ......)2(2)1()0(+++=n n n n E E E E λλ ......)2(2)1()0(+++=n n n n ψλλψψψ代入方程： ...)...)((...))(()2(2)1()0()2(2)1()0()2(2)1()0(0++++++=+++'+n n n n n n n n n E E E H H ψλλψψλλψλλψψλ 比较各级得：)0()0()0(00:n n n E H ψψλ=)0()1()1()0(01)()(:n n n n E H E H ψψλ-'-=-)0()2()1()1()2()0(02)()(:n n n n n n E E H E H ψψψλ+-'-=-……最后令λ=1，求得各级 )()(,m nm n E ψ。
三、n n E ψ, 的各级近似 1、一级近似用}{)0(n ψ展开∑=ll l n na )0()1()1()1(:ψψψ。
代入一级近似方程：)0()1()0()1()0(0)()(n n l ll n E H a E H ψψ-'-=-∑用)*0(k ψ左乘上式，利用kl l k d δτψψ=⎰)0()*0( 得,)1()1()0()1()0(kn n knk n k k E H a E a E δ+'-=-其中⎰''='H d H H n k kn~)0()*0(τψψ在0H 表象的矩阵元。
量子力学第七章
第七章 近似方法7.1 粒子处于宽度为a 的一维无限深势阱中，若加进微扰⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+≤≤-='a x ab ax b H 220ˆ当当计算粒子的能量和波函数的一级修正值。
解 （1）能量的一级修正公式为τϕϕd H E nn n 00'ˆ*'=⎰ 代入ax n a n πϕsin20=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+≤≤-='a x a b a x b H 220ˆ当当得 'n E xdx a n a b xdx a n a b a a a ππ220sin 2sin 22⎰⎰+-= 2cos sin 212aa x n x a n x a n n a ab ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⋅-=ππππ aa a x n x a n x a n n a ab 2cos sin 212⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⋅+ππππ022122212=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-=ππππn n a a b n n a a b 可见能量的一级修正为零。
（2）波函数的一级修正为0'''kkn kn A ψψ∑=90 式中 00'000*0'ˆkn kn kn nk knE E H E E d H A-≡-'=⎰τψψ 注意到 222202ma n E nπ=， ax n a n πψsin20= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+≤≤-='a x a b a x b H 220ˆ当当∴ )(2222222kn H n ma A kn kn -'=' π其中 dx HH nk akn0*00ˆψψ'='⎰dx a x k a x n a b dx a x k a x n a b a a a ππππsin sin 2sin sin 220⎰⎰+=dx ax n k a b dx a x n k a b dxax n k a b dx a x n k a b a a a a a a ππππ)cos()cos()cos()cos(222200+--+++--=⎰⎰⎰⎰2)sin()(2)sin()(2)sin()(2)sin()(ππππππππn k n k b n k n k b n k n k b n k n k b +++--+++---=]2)sin()(12)sin()(1[2ππππn k n k n k n k b ---++=∴ 2)sin()(1[1422222πππn k n k k n b ma A kn ++-⋅='91)(]2)sin()(1n k n k n k ≠---ππ∴ ⨯-='∑≠a xk k n a b ma n k n ππψsin )(12422222]2)sin()(12)sin()(1[ππππn k n k n k n k ---++⨯ 其中当n k +及n k -为偶数时为零。
北大《量子力学》chpt7
第七章自旋第七章目录§7.1 电子自旋存在的实验事实 (2)（1）Stern-Gerlach 实验（1922年） ........... 2 （2）电子自旋存在的其他证据 .. (3)§7.2 自旋－微观客体的一个动力学变量 (3)（1）电子的自旋算符和它的矩阵表示 ........... 3 （2）考虑自旋后，状态和力学量的描述 ......... 7 （3）考虑自旋后，电子在中心势场中的薛定谔方程10§7.3 碱金属的双线结构 (10)（1）总角动量 .............................. 11 （2）碱金属的双线结构 . (15)§7.4 两自旋为1/2的粒子的自旋波函数 (16)(1) )S ,S (z z 21表象中两自旋为21/的粒子的自旋波函数 16(2) )S ˆ,S ˆ(z2表象中两自旋为21/的粒子的自旋波函数16 (3) Bell 基 (17)§7.5 Einstein -Podolsky-Rosen 佯谬和Bell 不等式 18(1) Einstein-Podolsky-Rosen 佯谬 ........... 18 (2) Bell Inqualities (18)§7.6 全同粒子交换不变性－波函数具有确定的置换对称性 21(1)交换不变性 .............................. 22 (2)全同粒子的波函数结构，泡利原理 .......... 23 (3)全同粒子的交换不变性的后果 .. (26)第七章 自旋在较强的磁场下（∽T 10），我们发现一些类氢离子或碱金属原子有正常塞曼效应的现象，而轨道磁矩的存在，能很好的解释它。
但是，当这些原子或离子置入弱磁场（∽T 101-）的环境中，或光谱分辨率提高后，发现问题并不是那么简单，这就要求人们进一步探索。
大量实验事实证明，认为电子仅用三个自由度z ,y ,x 来描述并不是完全的。
量子力学---课件 《第七章》
第七章自旋与全同粒子Spin and Identical Particales第七章自旋与全同粒子第七章自旋与全同粒子自旋是粒子的一种运动形式，以角动量形式表现出来。
如果把电子绕原子核的运动称作“轨道运动”，则自旋类似与经典物体的自转。
然而自旋又区别于经典物体的自转，它有着独特的规律。
因此，自旋是微观粒子特有的概念。
提出的依据是实验：全同粒子是指具有相同内禀属性（静质量、电荷、自旋、磁矩和寿命等）的粒子。
全同粒子具有区别于宏观粒子而独有的特性，即微观粒子的不可分辨性。
这正是不确定关系所要求的。
碱金属原子光谱的双线结构复杂Zeeman 效应——弱磁场中光谱线分裂成偶数条。
本章主要内容§7.1电子的自旋§7.2自旋算符和自旋波函数§7.3简单Zeeman 效应§7.4两个角动量的耦合§7.5光谱的精细结构§7.6全同粒子的特性§7.7全同粒子体系的波函数Pauli 原理§7.8两个电子的自旋波函数§7.9氦原子（微扰法）§7.10氢分子共价键§7.1 电子的自旋Spin of an Electron§7.1 电子的自旋（2）复杂Zeeman 效应（1912）：在弱磁场中光谱线分裂成偶数条。
如D 1→4条，D 2→6条（1）碱金属原子光谱的双线结构：λ≈589.3μm →D 1: 589.6μm ，D 2: 589.0μmÀ电子自旋提出的实验基础（3）Stern-Gerlach 实验（1922）：银原子束通过非均匀磁场分裂为两束——证实角动量的空间量子化。
无磁场加磁场D 1D 2简单Zeeman 效应谱线分裂成奇数条S S NNPP O§7.1 电子的自旋Stern-Gerlach 实验（1922）说明了中性的原子具有磁矩，磁矩在外磁场中受磁场的作用（∝dB /dz ）。
北京大学物理学院量子力学系列教学大纲
北京大学物理学院量子力学系列教学大纲课程号： 00432214新课号： PHY-1-044课程名称：量子力学开课学期：春、秋季学分： 3先修课程：普通物理（PHY-0-04*以上）、理论力学（PHY-1-051）、电动力学（PHY-1-043）基本目的：使得同学掌握量子力学的基本原理和初步的计算方法，适合于非物理类专业的同学选修。
内容提要：1．量子力学基本原理：实验基础、Hilbert空间、波函数、薛定谔方程、算符、表象变换、对称性与守恒律2．一维定态问题：一般讨论、自由粒子、一维方势阱、谐振子、一维势垒3．轨道角动量与中心势场定态问题：角动量对易关系、本征函数、中心势、三维方势阱、三维谐振子、氢原子4. 量子力学中的近似方法：定态微扰论、跃迁、散射。
5．全同粒子与自旋：全同性原理、自旋的表述、自旋与统计的关系、两个自旋的耦合、磁场与自旋的相互作用教学方式：课堂讲授教材与参考书：曾谨言，《量子力学教程》，北京大学出版社, 1999.学生成绩评定方法：作业10％、笔试90％课程号： 00432214新课号： PHY-1-054课程名称：量子力学I开课学期：春、秋季学分： 4先修课程：普通物理（PHY-0-04*以上）、高等数学、数学物理方法（PHY-1-011或以上）基本目的：使得同学掌握量子力学的基本理论框架和计算方法。
适合物理学院各类型同学以及非物理类的相关专业同学选修。
内容提要：1．量子力学基本原理：实验基础、Hilbert空间、波函数、薛定谔方程、算符、表象变换、对称性与守恒律2．一维定态问题：一般讨论、自由粒子、一维方势阱、谐振子、一维势垒3．轨道角动量与中心势场定态问题：角动量对易关系、本征函数、中心势、三维方势阱、三维谐振子、氢原子4．全同粒子与自旋：全同性原理、自旋的表述、自旋与统计的关系、两个自旋的耦合、磁场与自旋的相互作用；5．定态微扰论与变分法：定态微扰论、简并的情形、变分法6．跃迁与散射：跃迁几率、散射、Born近似、分波法教学方式：课堂讲授教材与参考书：●《量子力学导论》曾谨言, 北京大学出版社。
北京大学量子力学课件_第7讲
E 2 1 3 0 z ( 2 ) z m g
me 2 3 z ( ) 1.17 10 3 m m
所以，对于经典物理学，则认为 z=0。而对于 量子粒子则为 z 11 3 i. 尘粒： m 10 克 , z 10 m ; 3 z 1.17 10 m 。 ii. 电子： 就我个人的看法： 测不准关系是对两个物 理量同时测量结果可能值的最佳区域（或不确定 度）关系的约束，它不是测量的影响导致的。
k 0 k i ( kx t ) dk k 0 k C(k )e
这个波包扩展度的区域不是任意小，即 2 x k
于是有
x p x 2 h
（2）一些实验： A．位置测量：一束 电子平行地沿x方向入通过 窄缝a，从而测出y方向的位 置。由于波的衍射，在y方 向有一不确定度
x0 x0
ik ( A B) ik 1D
得
k1 D A (1 ) 2 k
k1 D B (1 ) k ， 2
x0 x0
k 1 ikx D k 1 ikx D (1 )e (1 )e u E (x) 2 k 2 k 结果有 ik1x De
Se ikx u E ( x ) ikx ikx Ae Be xa x0
这形式是普遍的，只要远离作用区。而沿x 方向的几率流密度为
k 2 ji A， m
B R A
k 2 jR B， m
2
B A S A
k 2 jT S m
2
S T A
所以只要求得 , 即可。 对于 0 x a 有方程
Ⅱ.一维定态问题 三维问题可化为一维问题处理，所以一 维问题是解决三维问题的基础。
量子力学第七章7.7
ˆ H 0 (q2 )φ j (q2 ) = ε jφ j (q2 )
ˆ H 0 (q N )φ k (q N ) = ε k φ k (q N )
则体系的本征解为：
E = ε i + ε j + ... + ε k
Φ = φi ( q1 )φ j ( q2 )...φk (q N )
a. 能量有交换简并 能量的交换简并度为 b. 满足对称条件波函数的构成 N个粒子在 i，j … k态中 Bose子体系： 的一种排列
= ε iφi (q1 )φ j (q2 ) + ε jφi (q1 )φ j (q2 ) = (ε i + ε j )φi (q1 )φ j (q2 )
= EΦ（q1 , q2 )
a. 能量有交换简并 若把两个粒子交换一下，
ˆ P Φ ( q1 , q2 ) = Φ (q2 , q1 ) = φ j (q1 )φi (q2 ) 12
N! 。
Φ S (q1 , q2 ,...q N ) = C ∑ Pφi (q1 )φ j (q2 )...φk (q N )
P
Байду номын сангаас
归一化系数
对各种可能排列 p 求和
C=
∏ nγ ! γ
=1
N
N!
nγ 表示在 γ
态上占据的粒子数
例: 3 个全同Bose 子组成的体系体系，设有三个单粒子 态，分别记为 φ1 、φ2 、 φ3 ，求：该体系对称化的波函 数。 1. n1=n2=n3=1
2. n1=3，n2=n3=0
3!0!0! Φ （q1 , q2 , q3 ) = φ（q1 )φ1 (q2 )φ1 (q3 ) 1 3!
量子力学导论(第二版)曾谨言+北京大学出版社+课后答案
nx , ny , nz = 1, 2,3,
1.3 设质量为 m 的粒子在谐振子势V (x) = 1 mω 2 x 2 中运动，用量子化条件求粒子能量 E 的可能取值。 2
∫ 提示：利用 p ⋅ dx = nh, n = 1, 2, , p = 2m[E − V (x)]
V (x)
解：能量为 E 的粒子在谐振子势中的活动范围为
2
2
a
1.4 设一个平面转子的转动惯量为 I，求能量的可能取值。
∫ 提示：利用
2π 0
pϕ dϕ
= nh,
n = 1, 2,
, pϕ 是平面转子的角动量。转子的能量 E = pϕ2 / 2I 。
解：平面转子的转角（角位移）记为ϕ 。
.
它的角动量 pϕ = I ϕ （广义动量）， pϕ 是运动惯量。按量子化条件
a 2 − x 2 dx
−a
2
−a
= 2mωa 2 ⋅ π = mωπ a 2 = nh 2
得 a 2 = nh = 2 n mωπ mω
（3）
代入（2），解出 En = n ω,
n = 1, 2,3,
（4）
∫ 积分公式：
a 2 − u 2 du = u a 2 − u 2 + a 2 arcsin u + c
−i
∂ψ ∂t
*
=
−
2
2m
∇ 2ψ
*
+
(V1
− iV2 )ψ
*
（2）
ψ * × （1）-ψ × （2）,得
( ) ( ) i
∂ ψ *ψ ∂t
2
= − ψ *∇ 2ψ −ψ∇2ψ * 2m
+ 2iψ *V2ψ
[练习]北京大学量子力学课件 自旋与全同粒子
令
Sˆˆ
2
分量 形式
进
S
x
S
y
2
2
x y
S
z
2
z
对S ˆ 易 S ˆ i S ˆ 关 ˆ ˆ 系 2 i ˆ ：
分 量 形 式 ： ˆˆx y ˆˆzy ˆˆzyˆˆyx22iiˆˆxz ˆzˆx ˆxˆz 2iˆy
因为Sx, Sy, Sz的本征值都是 ± /2， 所以σx,σy,σz的本征值都是±1 ；
电子波函 数表示成
12((rr,,tt))
矩阵形 式后，
波函数的归一化时必须同时对自旋求和和对空间坐标
积分，即
d
* 1
* 2
1 2 ( (r r ,,tt) ) d[ |1|2|2|2]d1
（2）几率密
度
(r ,t) |1|2|2|2
1 ( r ,t) 2 ( r ,t)
（1） SZ的矩阵形式 电子自旋算符（如SZ）是
a b
作用与电子自旋波函数上的
Sz 2c d
，既然电子波函数表示成了 2×1 的列矩阵，那末，电
因为Φ1/2 描写的态，SZ有子确自定旋值算符/2的，矩所阵以表Φ1示/2应是该SZ
的本Sz征12态，2本12征值矩为阵形式/2，是即2×有 2 a c 2：矩d b 阵 。1(0 r ,t) 2 1(0 r ,t)
求：自旋波函数
SχZ(S的z本) 征方程 Sˆz(Sz)2(Sz)
令
212和 (Sz )2和的自 12 (S旋 z )分波别函为数本，征即值 SSˆˆ zz
1
2
(Sz
)
2
1
2
1 2
(Sz
)
2
量子力学习题解答-第7章
解：
¥
å （a）任意波函数可以用能量本征函数展开为y = cny n ，其中y 1 = y gs 为基态波函数。
n =1
¥
å 由于 y y gs = 0 ，则有： cn y1 y = c1 = 0 ；基态的展开系数为 0。则
n =1
¥
¥
å å H = En cn 2 ³ E fe cn 2 = E fe
-
5 4
Z
ù úû
E1
对 Z 求导求最小值有
¶H ¶Z
=
éêë-4Z
+
4Z0
-
5ù 4 úû
E1
=
0
Þ
Z
=
Z0
-
5 16
H
min
=
é êêë
2çæ è
Z0
-
5 16
2
ö ÷ ø
+
4çæ è
Z0
-
5 16
÷öZ ø
p 2b
ö ÷÷ø
=
3bh2 2m
ò V = 1 mw2 A 2 ¥ x4e-2bx2 dx = 1 mw2 A 2 2 3
p = 3mw2
2
-¥
2
32b2 2b 8b
则
H
3bh 2 =
+ 3mw ， ¶
H
3h2 3mw 2
mw
=-
=0Þb=
2m 8b
¶b 2m 8b2
2h
H = 3h2 mw + 3mw2 2h = 3 hw ³ 3 hw
2
ö ÷ ø
3
=
3 4
æ ç è
3a 2h4 4m2
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§7.6 全同粒子交换不变性－波函数具有确定的置 换对称性 ............................. 26
(1)交换不变性 .............................. 27 (2)全同粒子的波函数结构，泡利原理 .......... 29 (3)全同粒子的交换不变性的后果 .............. 32
g s 2(1
) 2.0023192 2
§7.2 自旋－微观客体的一个动力学变量
既然电子有自旋，这表明描述电子运动的变量就不能仅取 x , y, z ，还应有第四个
ˆ 。 变量 Sz ，相应算符为 S z
（1）电子的自旋算符和它的矩阵表示
由于电子具有自旋，实验发现，它也具有内禀磁矩
其对应的表示为 ，
1 0
0 1
ˆ ,S ˆ 2． S x y 在 Sz 表象中的矩阵表示
ˆ ˆ ˆ ,S ˆ 我们知道， 这只要将 S x y 作用于 Sz 的基矢并以 Sz 基矢展开，
从展开系数来获得 由
ˆ ,S ˆ [S z x ] i S y
即
ˆ S, m (S m )(S m 1) S, m 1 S s s s s
同理可得
ˆ S, m (S m )(S m 1) S, m 1 S s s s s
ˆ S, m ( (S m )(S m 1) S, m 1 S x s s s s 2 (S m s )(S m s 1) S, m s 1
4
e S me
所以，自旋这个动力学变量是具有角动量性质的量，当然它又不同于轨道角动 量（仅取二个值， g s 2 ） 。对于这样一个力学量，当然仍应用线性厄密算符来表 征它。于是我们假设：自旋算符 S 有三个分量 Si ，并满足角动量所具有的对易关系。 A. 对易关系
[Si , S j ] i ijk Sk
矩阵形式的本征方程为
[( y ) nk m s nk ]a k 0
k
要 a k 不同时为 0 ，系数行列式应为 0
ms i
对于
i 0 ms
2 ms 1
2 1 ms
ms 1
1 i a1 i 1 0 a 2
dB dz 从经典观点看 cos 取值（从 1 1 ）,因此，不同原子（磁矩取向不同）受力 不同，而取值 dB dB — dz dz 所以原子分裂成一个带。 F U cos
但 Stern-Gerlach 发现，当一束处于基态的银原子通过这样的场时，仅发现 分裂成二束，即仅二条轨道（两个态） 。而人们知道，银原子（ z 47 ）基态 l 0 ， 所以没有轨道磁矩，而分成二个状态（二个轨道） ，表明存在磁矩，而这磁矩在 任何方向上的投影仅取二个值。这磁矩既然不是由于轨道运动产生的，因此， 只能是电子本身的（核磁矩可忽） ，这磁矩称为内禀磁矩 s ，与之相联系的角动 量称为电子自旋，它是电子的一个新物理量，也是一个新的动力学变量。 （2）电子自旋存在的其他证据
称为泡利矩阵。 i 的本征值为 。
2 2 [ i , j ] 2i ijk k ， 2 x y z 1
由此得 x y y x
1 ( x 2i y 2i y x ) 2i 1 ( x [ z , x ] [ z , x ] x ) 2i 1 [ z , 2 x] 2i 0
第七章
自 旋
第七章
目 录
§7.1 电子自旋存在的实验事实 ................ 3
（1）Stern-Gerlach 实验（1922 年） ........... 3 （2）电子自旋存在的其他证据 ................. 3
§7.2 自旋－微观客体的一个动力学变量 ........ 4
s
②
e S me
， 2
所 以
电子自旋在任何方向上的测量值仅取两个值
z
e 2m e
z e Sz me
以
e 为单位，则 gs 2m e
2 （而 g l 1 ）
自旋的回磁比为 g s 2
现在很清楚，电子自旋的存在可由 Dirac 提出的电子相对论性理论自然得到。 考虑到辐射修正
§7.1 电子自旋存在的实验事实
（1）Stern-Gerlach 实验（1922 年）
当一狭窄的原子束通过非均匀磁场时，如果原子无磁矩，它将不偏转；而当 原子具有磁矩 ，那在磁场中的附加能量为
U B B cos
如果经过的路径上，磁场在 z 方向上有梯度，即不均匀，则受力
e B ，而是 2
gD
e B 。对于不同能级， g D 可能不同，而不是简单为 1 ( g D 称 Lande g 因子)。 2 根据这一系列实验事实，G. Uhlenbeck（乌伦贝克）和 S.Goudsmit （古德斯密特）提出假设
① 电子具有自旋 S ，并且有内禀磁矩 s ，它们有关系
B. 由于它在任意方向上的分量测量仅取二个数值,
，所以 2
ˆ2 S ˆ2 S ˆ 2 1 2 S x y z 4 ˆ 2 3 2 1 (1 1 ) 2 是一常数 于是 S 4 2 2 C. 矩阵形式
ˆ ,S ˆ ˆ 由于其分量仅取二个数值， 也即本征值有二个， 所以 S x y , Sz 可
ˆ sin cos S ˆ sin sin S ˆ cos S ˆ S n x y z
i 2 cos e 2 则本征矢 sin e i 2 2
S
i 2 sin e 2 i 2 cos e 2
1 1 2 i
a 2 i ， a1 1
ms 1
1 i a1 i 1 0 a 2 a 2 1 ， a1 i
1 i 2 1
A．碱金属光谱的双线结构 钠原子光谱中有一谱线，波长为 5893Å，但精细测量发现，实际上，这是由两
3
条谱线组成。
D1 5895.93 Å D 2 5889.95 Å
这一事实，从电子仅具有三个自由度是无法解释的。 B．反常塞曼效应（Anomalous Zeeman effect） 原子序数 z 为奇数的原子，其多重态是偶数，在弱磁场中分裂的光谱线条数 为偶（如钠 D1 和 D 2 的两条光谱线，在弱磁场中分裂为 4 条和 6 条） 。这种现象称为反 常塞曼效应。不引入电子自旋也是不能解释的。 C．在弱磁场中，能级分裂出的多重态的相邻能级间距，并不一定为
于是有 ∴
2 x y x y y x 2i z x yz i
7
为使我们对表象变换及算符矩阵表示以及由矩阵表示求本征值，本征矢有进 一步认识，我们举一些例子。
ˆ y 的本征值，本征矢 例 1．求 0 i ˆ y 在 z 表象中矩阵形式为 因已知 i 0
2 ˆ S ˆ S, m s S S, m s A
ˆ 2 S ˆ 2 S ˆ S, m S, m s S z z s 3 2 2 2 ms ms 2 4 1 1 ( m s )( m s 1) 2 2 2
A (S m s )(S m s 1)
③ Pauli Operator；为方便起见，引入泡利算符
2
于是，在 z 表象中有（或称 Pauli 表象）
0 1 0 i 1 0 ， ， ( x ) ( ) ( ) y z 1 0 i 0 0 1
2
第七章
自旋
在较强的磁场下（∽ 10T ） ，我们发现一些类氢离子或碱金属原子有正常塞曼效应的 现象，而轨道磁矩的存在，能很好的解释它 但是，当这些原子或离子置入弱磁场（∽ 10
1
T ）的环境中，或光谱分辨率提高后，
发现问题并不是那么简单，这就要求人们进一步探索。大量实验事实证明，认为电子仅用 三个自由度 x , y, z 来描述并不是完全的。 我们将引入一个新的自由度—自旋，它是粒子固有的。 当然，自旋是 Dirac 电子的相对论性理论的自然结果。现在我们从实验事实来引入。
ˆ S, m i ( (S m )(S m 1) S, m 1 S y s s s s 2 (S m s )(S m s 1) S, m s 1 )
ˆ 11 11 S x 22 2 2 2 ˆ 11 11 S x 2 2 2 22
6
0 1 0 1 ˆ ) 得系数矩阵为 转置得 (S x 2 1 0 2 1 0
用 2 2 矩阵表示。
ˆ 作为力学量完全集，即取 S 表象，那 S ˆ 在自身表象中的表示自 1．若选 S z z z
然为对角矩阵，而对角元就是它的本征值
1 0 (Sz ) 2 0 1
相应的本征矢
S, Sz
1 1 , 2 2
ˆ S, m m S, m S z s s s
（1）总角动量 .............................. 14 （2）碱金属的双线结构 ...................... 19
§7.4 两自旋为 1/2 的粒子的自旋波函数 ....... 20
(1) (S1z , S 2 z ) 表象中两自旋为 1 / 2 的粒子的自旋波函 数..................................... 20 ˆ 2 ,S ˆ ) 表象中两自旋为1 / 2 的粒子的自旋波函数 (2) (S z ....................................... 20 (3) Bell 基 ................................. 22