2017年北京大学理论物理量子力学(612)真题回忆版
北大理论物理考研经验
北大理论物理考研经验不能算是经验，只能算是关于自己复习经历的记述，希望大家能够吸取我的经验教训。
另外如果我的同考同行有回忆出来题目，我会持续更新的。
在我复习完了准备去考研的时候我就决定，决定不管我考上还是没考上，我都要让我之后的物理考研人少走弯路，至少不去走我所走过的弯路。
首先说下我自己的情况吧。
我本科是某985学校应用物理系，应届报考北大理论物理。
考研结果为英语76，政治63，量子力学101，经典物理104，总分344。
在全部报考北大理论物理专业的200多名考生中排名17，由于在我前面有三个同学因为单科分数未达到北大复试线而被刷，在所有进入北大理论物理复试的20名考生中，我是14名，现在我被理论物理专业粒子物理方向录取，导师是李重生教授。
首先说理论物理的事情，选择理论物理这条道路绝对不是一件轻松的事情。
不能只是为他感兴趣就去选择它，我建议，如果你决定，至少目前决定这辈子都从事理论物理这个事业的话，你再去报考理论物理。
如果你现在是大一或者大二，你的gpa不错，英语基础也不差，本科是国内牛校，那么出国吧，不要来考研，这是一条很有可能吃力不讨好的道路。
如果你选择了考研这条路，并且想报考理论物理，那么继续往下看。
首先说下院校选择的事情，要记住院校的选择是一条路的事情。
我本人在北大分数出来以后联系过很多院校，也就是通常说的自主划线34所，老师们都很客气的回复了我的邮件，这之中中科大，复旦，浙大等大家比较关心的院校都是政策上就不允许招收调剂过来的学生。
所以说，除非你考上，要不然就调剂到差一个档次的学校，要不二战。
以上是为了说明选择院校的重要性。
下面说说院校选择的问题首先按照教育部学位中心2009年的学科排名，物理学排名前列的院校情况如下（后面为评分）1、南京大学：952、中国科学技术大学：923、北京大学：914、清华大学：885、复旦大学：856、浙江大学：857、中山大学：818、南开大学：799、上海交通大学：7610、武汉大学:7611、吉林大学：7512、四川大学：75当然排名什么的不能代表什么，而且这里面还没有各研究院所~~ 每年考生最容易扎堆报考的有两个地方，一个是北大理论物理，一个就是中科院理论所。
量子力学习题及解答
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）(有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kThc kT hc e kT hc e hcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kT hce kThc λλ ⇒ kThce kT hc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为x e x =--)1(5:这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =】如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λ nmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及,eVc e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
2017年北京大学理论物理量子力学（612）真题回忆版
2017年北京大学理论物理量子力学（612）真题回忆版
2017年北京大学理论物理之量子力学（612）真题回忆版
一、
1）宽度为L 2的无限深势阱，范围为L x L -<<，求能量本征态和相应的本征值
2）已知t 0=时处于基态，势阱宽度突然变为L 4，范围为22L x L -<<，求随时间变化的波函数表达式)(t ?，求处于变化后体系本征能量的概率，求体系的能量平均值)(t E 二、一个二维谐振子，哈密顿量为222211?2222
y x x y p p H m x m y m m ωω=+++ 1）若4
3=y x ωω，求第一个和第二个简并能级 2）若y x ωω=，有两个自旋为
21的全同粒子处于此谐振子势场中，求体系最低三个能级，并给出简并度
三、
1）在z σ表象下，x σ、y σ、z σ的矩阵表示及其归一化本征态，本征值
2）在x σ表象下，y σ和z σ的归一化本征态
四、体系哈密顿量为()1221?+= H ，1和2为体系两个正交归一的本征态。
在t=0
时，算符22113?-=O
的平均值为1-，求体系初始状态及0>t 的体系最快转化为1的时间
五、考虑氢原子核不是点电荷，而是均匀带电的球体
1）体系能量基态本征函数为a r
Ne -=ψ，求归一化系数N 和不确定度2)(x ?和()2
r ?
2）用微扰求出这种效应对氢原子能量基态能量的一级修正六、一维粒子由右边入射，收到的势能为20()()02x V x g x a x m
δ∞ ?? 1)若能量0E >，求反射波与入射波之间的相位差，及相位差在低能和高能下的表现 2求存在束缚态的条件。
北京大学-量子力学习题集1
ψ ( x, t ) = α xe
2
2μ E 2 μα = 2 − = =2
(6)
式(6)两边平方，得
2μ E ⎞ 1 ⎛ 2 μα 2 = ⎜ 2 − V0 ⎟ 2 2α ⎝ = = ⎠
(7)
显然 E 有解的条件是 2 2 = V0 2 μα 2 > V0 , 或 α > 2 2μ = 这正是存在束缚态的条件.由式(7)得
⎛ 2 μα ⎞ − V0 ⎟ E = 2 ⎜ 2 8μα ⎝ = ⎠ =
Δx ⋅ Δp ≥
4
解先对态ψ(x) 进行归一化.由波函数的归一化条件
∫
有 得 于是
∞
−∞
ψ ( x) dx = 1
dx = A 4λ
2 3
2
∫
∞
0
A x e
2
2 −2 λ x
=1
A = 2λ 3 / 2
⎧2λ 3/ 2 xe − λ x , x ≥ 0 ψ ( x) = ⎨ x<0 ⎩0,
(I)粒子坐标的概率分布函数为
⎡ =2 ∂ ⎤ ∂ ⋅ 2 + V ( x ) ⎥ψ ( x, t ) i = ψ ( x, t ) = ⎢ − ∂t ⎣ 2 M ∂x ⎦
则得
= −γ x = − ( β 2 x − 2 β ) + V ( x) x 2M
2
由此可解出 x > 0 时的势
=2 V ( x) = −γ + 2M ⎛ 2 2β ⎞ ⎜β − ⎟ x ⎝ ⎠
则有
= 1 d ⋅ 2 ψ E ( x), V ( x) = E + 2m ψ E ( x) dx
2 2
(1) 如果给定一个定态波函数ψ E ( x) ，则由式(1) 可给出 V ( x) − E ，欲分别求出 E和 V ( x)，还需
北京大学-量子力学习题集5
a A 6.设 V (r ) = − + 2 , (a, A > 0) ,求粒子能 r r
量本征值。
解：取守恒量完全集为 ( H , L , Lz ) ，其共 同本征函数为 χ (r ) Ylm (θ , ϕ ) ψ (r , θ , ϕ ) = R(r )Ylm (θ , ϕ ) = r χ (r ) 满足的径向方程
ψ ( x) =
1 2π
∫ ϕ ( P ')e
i − ( p '+ p ) x
dp ' = e
i − xp
ψ 0 ( x)
⎛α ⎞ 其中 ψ 0 ( x) = ⎜ π ⎟ ⎝ ⎠
2
1/ 4
e
−α 2 x 2 2
⎛ mω ⎞ α =⎜ ⎟ ，故有 ， ⎝ ⎠
2 p2 − 2 mω
1/ 2
P = ∫ψ ( x)ψ ( x)dx = e
任何位置，单位体积内测到一个粒子的概 率为1. 若沿用上面的方法来求归一化系 数，则会出现
∫
∞
−∞
Ae
2 − ikx ikx
e dx = ∫ A dx = ∞ ⋅ A
2 −∞
∞
2
要使积分为1，必须A=0，因此波函数不能 归一，只能归一为δ函数。
1 ∫−∞ 2π exp {−ik ′x} exp {ikx} dx = δ (k − k ′)
⎛a⎞ 2 2 设归一化的本征态为 ⎜ ⎟ ， a + b = 1则 b⎠ ⎝ 由本征方程
⎛ B −iA ⎞ ⎛ a ⎞ ⎛a⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = λ ⎜ ⎟ ⎝ iA − B ⎠ ⎝ b ⎠ ⎝b⎠
可以解出本征态为
Ψ± ⎡ ⎤ 1 =⎢ ⎥ 2 2 2 2 ⎢ ⎣ A + (B ∓ A + B ) ⎥ ⎦
2017北京高考物理部分试题及解答
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试（北京卷）第I 卷（选择题 共120分）本卷共20小题，每小题6分，共120分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
13．一个氢原子从n ＝3能级跃迁到n ＝2能级，该氢原子（）B ，（A ）放出光子，能量增加（B ）放出光子，能量减少（C ）吸收光子，能量增加（D ）吸收光子，能量减少14．一束单色光经由空气射入玻璃，这束光的（）A ，（A ）速度变慢，波长变短（B ）速度不变，波长变短（C ）频率增高，波长变长（D ）频率不变，波长变长15．一个小型电热器若接在输出电压为10V 的电源上，消耗电功率为P ；若把它接在某个正弦交流电源上，其消耗电功率为P /2。
如果电热器电阻不变，则此交流电源输出电压的最大值为（ ）C ，（A ）5V（B ）5V（C ）10V （D ）10V2216．处于匀强磁场中的一个带电粒子，仅在磁场力作用下做匀速圆周运动。
将该粒子的运动等效为环形电流，那么此电流值（）D ，（A ）与粒子电荷量成正比（B ）与粒子速度成正比（C ）与粒子质量成正比（D ）与磁感应强度成正比17．一个弹簧振子沿x 轴做简谐运动，取平衡位置O 为x 轴坐标原点。
从某时刻开始计时，经过四分之一的周期，振子具有沿x 轴正方向有最大加速度。
能正确反映振子位移x 与时间t 关系的图像是（）A ，18．关于环绕地球运动的卫星，下列说法中正确的是（ ）B ，（A ）分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期（B ）沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率（C ）在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同（D ）沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合19．物理课上，老师做了一个奇妙的“跳环实验”。
如图，她把一个带铁芯的线圈L 、开关S 和电源用导线连接起来后，将一金属环套置于线圈L 上，且使铁芯穿过套环。
北大物理部分真题
北大物理部分真题北京大学量子力学真题部分北京大学量子力学的部分真题。
1992年4.设粒子处于半径为a的球壁内,(1)求基态能量。
(2)求基态粒子对球壁的压强。
1994年6.假设两个质量为m=70Me/c2的夸克可以通过位势V=-a(?1.?2-b)r2束缚在一起,其中r是两个夸克之间的距离?1和?2分别为夸克1和夸克2的包利自旋矩阵,a=68.99Me/fm2,而b是一个待定的参数,(1)b 应取什么值,才能使两个夸克束缚在一起?(2)设两个夸克是不同类型的,并取b=3/2,试求基态能量和简并度,(3)设两个夸克是同一类型的,并取b=3/2,试求基态能量和简并度。
(4)当b=0时,求两个全同夸克在基态的方均根距离, hc=1.97.3MeV.fm.为自旋1和自旋2,h都是带横岗的1995年5.设L为轨道角动量。
在(L2,Lz)表象(即以Ilm>为基矢的表象)中,写出L=1的子空间中Lx的矩阵表示式,并求出它的本征值和本征态。
1998年7.在一维无限深位阱中,V(x)=0,0<xa.</x(1)求一维无限深位阱的能量本征值,及相应的本征函数。
(2)如果有两个无相互作用的自旋为1/2的全同粒子在此中,试写出此位阱系统基态和第一激发态的能量值和波函数。
1999年6.一个质量为m的粒子在一维势场V(x)=正无穷,x<0.V(x)=1/2mw平方x平方,x>0中运动,求其能级,不必作详细计算。
2000年6.考虑体系H=T+V(x),V(x)=无穷x<0,V(x)=Ax,x>0(A>0).(1)利用变分法,取试探波函数函数1=(2比b根号π）1/2e的-x平方/2b平方,求基态能量上限E1;(2)我们知道,如试探波函数为函数2==(1比b根号π）1/2(2x/b)e 的-x平方/2b平方,则基态能量上限为E2=(81/4π)根号1/3(A平方h 平方/m)根号1/3,对这两个基态的能量上限,你能接受哪一个,为什么?2001年6.质量为m的粒子在位势V=无穷,x<0,V=cx平方,x>0中运动,c>0,(1)试利用变分法估计体系基态能量;(2)它是精确解的上限还是下限?你能给出精确的基态能量吗?2007年5.H(t)=-h平方/2mx导数平方+1/2mw零平方x平方(1+1/cosh 平方兰姆达t)t趋向于负无穷时刻,该体系处在谐振子基态I0>.在t趋向于正无穷时刻态体系跃迁到激发态In>的概率记为p零趋向于n.(a)求(b)当(c)讨论2008年VI.质量为m的粒子在位势V(x)=-兰姆达扥特(x),(兰姆达>0)中运动。
北大理论物理考研真题合集
(f) 3¥%á|¥§Ä ; Äþ•ÛŠº¿‰{‡)º"
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3. £16©¤3(Sˆ2, Sˆz)L–¥§
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4.
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−
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∇2
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Ð^‡•t = 0ž§âf?u|1 "£5µ Ñei2ω0t‘§qµ12 = µ21¤
(b) ½5©Ûù‡(J Ôn¿Â"
|2 E0 cos ω0t
|1
ω0 = ω2 − ω1
E2 = h¯ω2 E1 = h¯ω1
January 16, 2014
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3. £16©¤Xâf?ue ³¥
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∞ 0
V
=
∞ 0 ∞
x≥a 0<x<a x=0 −a < x < 0 x ≤ −a
4. £16©¤b S1!S2•ü‡g^´¯h/2 š Óâf g^ŽÎ§
(a) dšÍÜ α(1)α(2)§α(1)β(2)§β(1)α(2)Úβ(1)β(2) ¤§‚ 8˜z g^S = S1 + S2•S = 1§M = 0 ÍÜ ¶
(b)
y²F
−
H
½n§=
∂En ∂λ
=
∂H ∂λ
"
n
(c) α!β´g^•þ!•e §k8˜z
北大《量子力学》chpt7
第七章自旋第七章目录§7.1 电子自旋存在的实验事实 (2)（1）Stern-Gerlach 实验（1922年） ........... 2 （2）电子自旋存在的其他证据 .. (3)§7.2 自旋－微观客体的一个动力学变量 (3)（1）电子的自旋算符和它的矩阵表示 ........... 3 （2）考虑自旋后，状态和力学量的描述 ......... 7 （3）考虑自旋后，电子在中心势场中的薛定谔方程10§7.3 碱金属的双线结构 (10)（1）总角动量 .............................. 11 （2）碱金属的双线结构 . (15)§7.4 两自旋为1/2的粒子的自旋波函数 (16)(1) )S ,S (z z 21表象中两自旋为21/的粒子的自旋波函数 16(2) )S ˆ,S ˆ(z2表象中两自旋为21/的粒子的自旋波函数16 (3) Bell 基 (17)§7.5 Einstein -Podolsky-Rosen 佯谬和Bell 不等式 18(1) Einstein-Podolsky-Rosen 佯谬 ........... 18 (2) Bell Inqualities (18)§7.6 全同粒子交换不变性－波函数具有确定的置换对称性 21(1)交换不变性 .............................. 22 (2)全同粒子的波函数结构，泡利原理 .......... 23 (3)全同粒子的交换不变性的后果 .. (26)第七章 自旋在较强的磁场下（∽T 10），我们发现一些类氢离子或碱金属原子有正常塞曼效应的现象，而轨道磁矩的存在，能很好的解释它。
但是，当这些原子或离子置入弱磁场（∽T 101-）的环境中，或光谱分辨率提高后，发现问题并不是那么简单，这就要求人们进一步探索。
大量实验事实证明，认为电子仅用三个自由度z ,y ,x 来描述并不是完全的。
2017-2019年高考真题物理分项汇编_专题14 原子结构、原子核和波粒二象性
专题14 原子结构、原子核和波粒二象性1．（2019·新课标全国Ⅰ卷）氢原子能级示意图如图所示。
光子能量在1.63 eV~3.10 eV 的光为可见光。
要使处于基态（n =1）的氢原子被激发后可辐射出可见光光子，最少应给氢原子提供的能量为A ．12.09 eVB ．10.20 eVC ．1.89 eVD ．1.5l eV【答案】A【解析】由题意可知，基态（n=1）氢原子被激发后，至少被激发到n=3能级后，跃迁才可能产生能量在1.63eV~3.10eV 的可见光。
故 1.51(13.60)eV 12.09eV E ∆=---=。
故本题选A 。
2．（2019·新课标全国Ⅱ卷）太阳内部核反应的主要模式之一是质子—质子循环，循环的结果可表示为1401214H He+2e+2v →，已知11H 和42He 的质量分别为P 1.0078u m =和 4.0026u m α=，1u=931MeV/c 2，c 为光速。
在4个11H 转变成1个42He 的过程中，释放的能量约为A ．8 MeVB ．16 MeVC ．26 MeVD ．52 MeV【答案】C【解析】由2E mC ∆=∆知()242p e E m m m c α∆=⨯--⋅，2Em c∆∆==6191693110 1.610J 910-⨯⨯⨯⨯27311.710kg 0.910kg --≈⨯⨯，忽略电子质量，则：()24 1.0078 4.0026MeV 26E u u c ≈∆=⨯-⋅，故C 选项符合题意；3．（2019·天津卷）如图为a 、b 、c 三种光在同一光电效应装置中测得的光电流和电压的关系。
由a 、b 、c 组成的复色光通过三棱镜时，下述光路图中正确的是【答案】C【解析】由光电效应的方程k E hv W =-，动能定理k eU E =，两式联立可得hv WU e e=-，故截止电压越大说明光的频率越大，则有三种光的频率b c a v v v >>，则可知三种光的折射率的关系为b c a n n n >>，因此光穿过三棱镜时b 光偏折最大，c 光次之，a 光最小，故选C ，ABD 错误。
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2017年北京大学理论物理之量子力学（612）真题回忆版
一、
1）宽度为L 2的无限深势阱，范围为L x L -<<，求能量本征态和相应的本征值
2）已知t 0=时处于基态，势阱宽度突然变为L 4，范围为22L x L -<<，求随时间变化的波函数表达式)(t ϕ，求处于变化后体系本征能量的概率，求体系的能量平均值)(t E 二、一个二维谐振子，哈密顿量为222211ˆ2222
y x x y p p H m x m y m m ωω=+++ 1）若4
3=y x ωω，求第一个和第二个简并能级 2）若y x ωω=，有两个自旋为
21的全同粒子处于此谐振子势场中，求体系最低三个能级，并给出简并度
三、
1）在z σ表象下，x σ、y σ、z σ的矩阵表示及其归一化本征态，本征值
2）在x σ表象下，y σ和z σ的归一化本征态
四、体系哈密顿量为()1221ˆ+= H ，1和2为体系两个正交归一的本征态。
在t=0
时，算符22113ˆ-=O
的平均值为1-，求体系初始状态及0>t 的体系最快转化为1的时间
五、考虑氢原子核不是点电荷，而是均匀带电的球体
1）体系能量基态本征函数为a r
Ne -=ψ，求归一化系数N 和不确定度2)(x ∆和()2
r ∆
2）用微扰求出这种效应对氢原子能量基态能量的一级修正 六、一维粒子由右边入射，收到的势能为20()()02x V x g x a x m
δ∞ <⎧⎪=⎨-- >⎪⎩ 1)若能量0E >，求反射波与入射波之间的相位差，及相位差在低能和高能下的表现 2求存在束缚态的条件。