经济数学1.1.8函数图形的描绘
——函数图形的描绘PPT课件
lim f (x) ；
xa
(iii)
lim f (x) ；
xa
(iv)
. lim f (x)
xa
第11页/共27页
以上四种情形可参考下列各图
a
a (图 (i))
(图 (ii)) a
a (图 (iii))
(图 (iv)) 第12页/共27页
如果下列条件之一成立，则称直线 y a 为 f 之 水平渐近线：
(i) lim f (x) a ； a
(ii) lim f (x) a . x
以上二种情形可参考下列各图：
a
(图 2.3.2(i))
a
(图 2.3.2(ii))
第13页/共27页
如果下列条件之一成立，则称直线
y ax b ，( a 0 )为 f 之斜渐近线：
(i)
lim f (x) (ax b) 0 ；
曲线 在(,0]为凸的； 当x 0时， y 0, 曲线 在[0,)为凹的； 注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点.
第4页/共27页
➢曲 线 的 拐 点 及 其 求 法
1、定义 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 2、拐点的求法
定理 2 如果 f ( x)在( x0 , x0 )内存在二阶导
点(0 ， 0)为拐点．
其相关结论见表:
x (, 1) -1 (-1，0) 0 (0， 1) 1 (1, )
f (x) +
0
-
-
-0Βιβλιοθήκη +f (x) -
-
-
0
+
+
+
f (x)
函数图形的描绘
的图形. (其中 0, x0为实数)
x0
列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点与拐点.
x
( x ) ( x )
( x )
(, x0 )
x0
( x0 , x0 )
x0
( x0 , x0 )
( x0 ,)
(1,
0
拐点
1 ) 2 πe
x
f ( x ) f ( x )
f ( x)
( ,0)
0 0
0
拐点
( 0 , 1) 1
(1 , 3)
3
0
( 3, )
无 定
义
极小值点 27 (3 , ) 4
( 0 , 0)
特殊点 : ( 0 , 0) ( 3 ,
间 断 点
作图
另 : x 0 时, y 0 x 0 时, y 0
( x x0 ) 2 , 令 ( x ) 0, 得驻点 x x0 ,
( x x0 ) 2 1 2 4 ( x x0 ) 2 1 2 e 2 ( x x0 )2 2 2π 5
( x )
二. 斜渐近线 若
( k x b)
斜渐近线 y k x b .
f ( x) b k lim[ ] x x x
(或 x )
( k x b)
f ( x) b lim x[ k ] 0 x x x
f ( x) k lim x x
(或 x )
y
1. 水平渐近线
(或 x )
函数图像的画法
04 利用计算器或软件绘制函 数图像
使用计算器绘制函数图像
确定函数表达式
首先需要确定要绘制的函数表达式， 例如 y = x^2。
选择计算器功能
在计算器上找到绘制函数图像的功能， 通常在科学计算器上会有专门的图形 功能键。
输入函数表达式
将函数表达式输入到计算器的相应位 置。
开始绘图
按下绘图功能键，计算器会自动绘制 出该函数的图像。
函数图像的画法
contents
目录
• 函数图像的基本概念 • 常见函数的图像画法 • 函数图像的变换 • 利用计算器或软件绘制函数图像 • 函数图像的应用
01 函数图像的基本概念
函数图像的定义
函数图像
函数图像是将函数的每一个自变 量x值与对应的因变量y值，用点 表示出来，并将这些点用线连接 起来形成的图形。
二次函数的图像
总结词
抛物线形状
详细描述
二次函数图像是抛物线。根据抛物线的开口方向和顶点位置，二次函数可以分为开口向上、向下、向左和向右四 种类型。在直角坐标系中，二次函数的标准形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，a 不等于 0。
三角函数的图像
总结词
周期性波形
详细描述
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
缺点
需要一定的编程基础，对于初学者来说可能需要一定的学习 成本。另外，软件绘图可能需要较长时间才能掌握其各种功 能和操作技巧。
05 函数图像的应用
在数学中的应用
解析几何
函数图像可以用来表示解析几何中的曲线、曲面等，帮助理解几 何概念和性质。
微积分
函数图像在微积分中用于描述函数的单调性、极值、拐点等，有助 于理解函数的性质和变化规律。
【中学课件】函数图形的描绘-PPT文档资料
x( 2 ,0 ) 3 , 2 ) 2 ( , 3 ) 3 (
f (x)
0
不存在
(0 , )
f (x)
0 0
拐点
( 3, 26 ) 9
f ( x)
极值点
docin/sundae_meng
3
间 断 点
补充点 : ( 1 3 , 0 ), ( 1 3 , 0 );
y . 2
2、图形描绘的步骤
利用函数特性描绘函数图形.
第一步
y f ( x ) 确 定 函 数 的 定 义 域 , 利 用 函 数 奇 偶 性 、 周 期 性 缩 小 范 围 ;
确 定 特 殊 点 : 曲 线 与 x 轴 的 交 点 , 即 : f ( x ) = 0 ; ' " f ( x ) 0 f( x ) 0 使 和 及 导 数 不 存 在 的 点 .
第二步
docin/sundae_meng
用 特 殊 点 将 函 数 的 定 义 域 划 分 成 几 个 部 f'( x )和 分 区 间 , 列 成 表 格 .确 定 在 这 些 部 分 区 间 内 f" ( x ) 的 符 号 ， 并 由 此 确 定 函 数 的 增 减 性 、 极 值 和 函 数 的 凹 凸 性 和 拐 点 。
4 ( x 2 ) f ( x ) 3 , 4 ( x 1 ) x , lim f ( x ) lim [ 2 2 ] x 0 x 0 x 8 (x 3 ) f (x ) . 得铅直渐近线 x0 . 4 x
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:
docin/sundae_meng
3、作图举例
第五节--函数图形的描绘
第五节 函数图形的描绘分布图示★ 引言 ★ 渐近线 ★ 函数图形描绘的步骤 ★ 例1★ 例2 ★ 例3 ★ 例4★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-5内容要点一、渐近线的概念 水平渐近线 铅直渐近线 斜渐近线；二、函数图形的描绘：对于一个函数，若能作出其图形，就能从直观上了解该函数的性态特征，并可从其图形清楚地看出因变量与自变量之间的相互依赖关系. 在中学阶段，我们利用描点法来作函数的图形. 这种方法常会遗漏曲线的一些关键点，如极值点、拐点等. 使得曲线的单调性、凹凸性等一些函数的重要性态难以准确显示出来. 本节我们要利用导数描绘函数)(x f y =的图形，其一般步骤如下:第一步 确定函数)(x f 的定义域, 研究函数特性如: 奇偶性、周期性、有界性等, 求出函数的一阶导数)(x f '和二阶导数)(x f '';第二步 求出一阶导数)(x f '和二阶导数)(x f ''在函数定义域内的全部零点，并求出函数)(x f 的间断点和导数)(x f '和)(x f ''不存在的点, 用这些点把函数定义域划分成若干个部分区间;第三步 确定在这些部分区间内)(x f '和)(x f ''的符号, 并由此确定函数的增减性和凹凸性，极值点和拐点;第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其它变化趋势;第五步 算出)(x f '和)(x f ''的零点以及不存在的点所对应的函数值，并在坐标平面上定出图形上相应的点；有时还需适当补充一些辅助作图点(如与坐标轴的交点和曲线的端点等)； 然后根据第三、四步中得到的结果，用平滑曲线联接而画出函数的图形.例题选讲求曲线渐近线例1 作函数1)(23+--=x x x x f 的图形. 解 定义域为),,(+∞-∞无奇偶性及周期性. ),1)(13()(-+='x x x f ).13(2)(-=''x x f令,0)(='x f 得,3/1-=x .1=x 令,0)(=''x f 得.3/1=x 列表综合如下:补充点: ),0,1(A ),1,0(B .85,23⎪⎭⎫⎝⎛C 综合作出图形.例2(E01) 按照以下步骤作出函数()10434+-=x x x f 的图形.(1) 求()x f '和()x f '';(2) 分别求()x f '和()x f ''的零点;(3) 确定函数的增减性、凹凸性、极值点和拐点; (4) 作出函数()10434+-=x x x f 的图形.解 (1) ()23124x x x f -='，()x x x f 24122-=''.(2) 由()012423=-='x x x f ，得到0=x 和3=x .由()024122=-=''x x x f ，得到0=x 和2=x .(4) 算出0=x ，2=x ，3=x 处的函数值()100=f ，()62-=f ，()173-=f .根据以上结论，用平滑曲线连接这些点， 就可以描绘函数的图形.函数作图例3 (E02) 作函数2)1(4)(2-+=x x x f 的图形.解 ,0:≠x D 非奇非偶函数，且无对称性.51015---51015-11234O xy,)2(4)(3x x x f +-='.)3(8)(4xx x f +='' 令,0)(='x f 得;2-=x 令,0)(=''x f 得.3-=x)(lim x f x ∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∞→2)1(4lim 2x x x ,2-= 得水平渐近线;2-=y )(lim 0x f x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=→2)1(4lim 20x x x ,+∞= 得铅直渐近线.0=x 列表综合如下:补充点: ),0,31(-);0,31(+ ),2,1(--A ),6,1(B ).1,2(C作出图形例4 (E03) 作函数 2221)(x ex -=πϕ的图形.解 函数定义域),,(+∞-∞且.4.021)(0≈≤<πϕx偶函数,图形关于y 轴对称.,2)(22x e x x --='πϕ.2)1)(1()(22x e x x x --+=''πϕ令,0)(='x ϕ得驻点,0=x 令,0)(=''x ϕ得特殊点,1-=x .1=x)(lim x x ϕ∞→ 2221limx x e-∞→=π,0=得水平渐近线.0=y综合作出图形课堂练习1.两坐标轴0,0==y x 是否都是函数xxx f sin )(=的渐近线? 2.若函数)(x f 有,1)(lim,0)(lim ==-∞→+∞→xx f x f x x ,)(lim ,0)(lim ,2])([lim 2∞===-→+∞→-∞→x f x x f x x f x x x 并且当)1,0(∈x 时, 0)(<'x f , 否则),2(0)(≠>'x x f 当)2,2/1(∈x 时, 0)(>''x f , 否则),0(0)(≠<''x x f 则(1) 函数)(x f 的单调区间(注明增减)是._______ (2) 函数曲线的凹向和拐点是._______(3) 当_______=x 时, 函数取得极大值._______ (4) 函数的渐近线有._______。
3-6第六节函数图形的描绘
f (0) 0
1 x
教 案
f (x) 1 2x 1 , f (0) 0 (1 x)2
f (x) 2 2 2[1 1 ] 0 (x 0)
(1 x)3
(1 x)3
武
汉 科
所以当x>0时,f(3)(x)严格单调增加,即f”(x)>f”(0) (x>0) 从而
教
案
朗日中值定理,有 f(b)-f(a)=f ’(ξ)(b-a)
1
an
1
a n1
a
ln a( 1
1
), 其中 (
1
, 1)
n n 1
n 1 n
武
汉
1
1
科 技
1 1 n 1 n 1 a n a n1 a , ( 1 , 1 )
学
n n 1 n(n 1) n(n 1)
武
汉 科
等式右边是由于f (x) 0
技
学
院 数
而F(x) 0表示F(x)严格单调减少
理
系
高
等 b 0F(b) F(0) f (a b) f (b) f (a) f (0) 数
学 电
f (a b) f (a) f (b)
子 教
40 利用函数的极值与最值
系
高 等 50 利用泰勒公式 数 学 若已知函数f(x)在某区间上有二阶以上的导数,在证不等式 电 子 时常用泰勒公式. 教 案
例7 设f(x)在[a,b]上二次可微,且对任意x∈(a,b),有
|f”(x)|≤M,又f(a)=f(b),证明
武
汉
科 技 学 院
函数图形的描绘解读
第五步 算出特殊位置的函数值，定出相应的点，最后作图。
36x 描绘函数 y 1 2 的图形 x 3 解 （1）定义域为 ,3 3, 363 x 72x 6 y ,y 3 x 3 x 34
（2） y 0 的根为 x 3, y 0 的根为 x 6, 函数在
11 4
函数图形有一条水平渐近线 y 1和铅直渐近线 x 3
11 11 3 3
又 f 0 1, f 1 8, f 9 8, f 15
11 0,1, 1,8, 9,8, 15, 4
§3.8 函数图形的描绘 利用导数描绘函数图形的一般步骤
第一步 确定函数 f x 的定义域及函数的某些特性（奇偶性、 周期性等），求出函数的 f x 和 f x
第二步 求出
f x 0 和 f x 0 在函数定义域内的全部
实根及不存在的点并进行区间划分； 第三步 确定各部分区间内 f x 和 f x 的符号，并确定函数 的升降、凹凸、极值点和拐点。 第四步 确定函数图形的水平铅直渐近线以及其它的变化趋势；
x 3 处没有定义。 把 ,3 3, 分成
,3, 3,3, 3,6, 6,
x
f x f x f x
（3）
,3 3,3
3
3,6
6
6,
0
极大
0
拐点
f x 1, lim f x （4） lim x x 3
函数图形的描绘
2. 斜渐近线 若
(或 x )
( k x b) ( k x b)
斜渐近线 y k x b .
f ( x) b lim x[ k ]0 x x x f ( x) b lim [ k ]0 x x x
f ( x) b 即 k lim [ ] x x x
1 令 f ( x ) ＝ 0， 得可疑点： x 2
lim f ( x ) lim e
x x x2
0
得水平渐近线 y 0 ，
曲线 y f ( x ) 不存在其它渐近线.
列表确定函数单调区间,凹凸区间，极值点和拐点:
x
f ( x ) f ( x )
1 1 1 (, ) ( ,0) 2 2 2
第六节 函数图形的描绘
第六节 函数图形的描绘
一、曲线的渐近线 二、函数图形的描绘
三、内容小结
返回
一、 曲线的渐近线 定义 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为 曲线C 的渐近线 . 或为“纵坐标差”
y
C M
y f ( x)
解:
定义域： (,0) (0,)
f ( x ) 4( x 2) , 3 x f ( x ) 8( x 3) . 4 x
令 f ( x ) 0, 得驻点 x 2, 令 f ( x ) 0, 得点 x 3.
4( x 1) lim f ( x ) lim [ 2] 2 得水平渐近线 y 2 ， 2 x x x
y kxb
L
PN
例如, 双曲线 有渐近线
o
x y 0 a b
【中学课件】函数图形的描绘
f ( x)
0 不存在
f (x)
0
f (x)
拐点
极值点
3 (3, 2h6tt)p:///sundae_meng 9
间 断 点
补充点: (1 3,0), (1 3,0);
A (1,2), 作图
B (1,6), C (2,1). y
得特殊点 x 1 . 3
补充点: A (1,0),
B (0,1), C (3 , 5). 28
列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点:
/sundae_meng
x (, 1) 1 ( 1 , 1) 1
3
3 33
3
f (x)
0
第五步 描出与方程 f '( x) 0 和 f "( x) 0 的根对 应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综 合前四步讨论的结果画出函数的图形.
/sundae_meng
3、作图举例
例1
作函数
f
(
x)
4(
x x2
1)
2
的图形.
解 D : x 0, 非奇非偶函数,且无对称性.
有铅直渐近线两条: x 2, x 3.
/sundae_meng
水平渐近线 (平行于 x 轴的渐近线)
如果 lim f ( x) b 或 lim f ( x) b (b 为常数)
x
x
那么 y b 就是 y f ( x) 的一条水平渐近线.
1
x
例3 作函数 f ( x) x3 x2 x 1 的图形.
解 D : (,), 无奇偶性及周期性.
f ( x) (3x 1)(x 1), f ( x) 2(3x 1).
《函数图形的描绘》课件
手工绘制法
适用范围
适用于初步学习函数图形的描绘，以 及没有计算机辅助的情况下进行绘制 。
缺点
精度和效率较低，容易出错，不适合 绘制复杂的函数图形。
01
02
工具
直尺、圆规、铅笔、橡皮等绘图工具 。
03
步骤
首先确定函数表达式，然后选择适当 的坐标系，接着使用绘图工具在坐标 纸上绘制出函数的图形。
步骤
首先确定函数表达式，然后选择适当的坐 标系和绘图参数，接着使用计算机软件或 编程语言编写代码来绘制函数图形。
函数图形的绘制工具
手绘工具
直尺、圆规、铅笔、橡皮等。
计算机软件
如GeoGebra、Desmos、Graphviz等数学软件，以及Python、Matlab等编程 语言的绘图库。
03
函数图形的性质分析
选择坐标系
根据函数关系式的特点选择合 适的坐标系，如直角坐标系、 极坐标系等。
描点
根据函数关系式在坐标轴上描 出对应的点。
确定函数关系式
首先需要确定要描绘的函数关 系式。
绘制坐标轴
在选定的坐标系中绘制坐标轴 ，标明刻度和单位。
连线
将描出的点用平滑的曲线连接 起来，形成函数图形。
02
函数图形的绘制方法
分析图像的单调性、过定点、定义域和值域等性质。
详细描述
使用图形软件或数学软件绘制出这些函数的图像。
结合函数表达式，深入理解指数和对数函数的性质和特 点。
THANKS
感谢观看
函数图形描绘的重要性
01
02
03
直观理解数学概念
通过函数图形的描绘，可 以直观地理解数学概念， 加深对数学知识的理解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、曲线的凹凸与拐点 1、 凹凸
设曲线的方程为)(x f y =，且处处有切线。
如果在某区间内，曲线弧位于任意一点切线的上方，则称曲线在这个区间内是凹的；如果在某区间内，曲线弧位于任意一点切线的下方，则称曲线在这个区间内是凸的。
2、 拐点
曲线的凹与凸的分界点成为曲线的拐点。
3、 判断法则
设函数)(x f 在区间),(b a 内具有二阶导数，那么
（1）如果),(b a x ∈时，恒有0)('
'>x f ，那么曲线)(x f y =在)
,(b a 内是凹的； （2）如果),(b a x ∈时，恒有0)('
'<x f ，那么曲线)(x f y =在)
,(b a 内是凸的。
【例1】求曲线12)(3
4+-=x x x f 的凹凸区间及拐点。
解 定义域为),(+∞-∞
23'64)(x x x f -=，
)1(121212)(2''-=-=x x x x x f
令0)('
'=x f ，解得01=x ，12=x
列表如下： x )0,(-∞ 0
)1,0( 1 ),1(+∞ )(''x f + 0 — 0 +
)(x f ⋃ 拐点 )1,0( ⋂ 拐点 )0,1(
⋃
所以，曲线的凹区间)0,(-∞、),1(+∞，凸区间)1,0(；拐点)1,0(、)0,1(。
【例2】求曲线3
5)2()(-=x x f 的凹凸区间及拐点。
解 )(x f 的定义域为),(+∞-∞，
32
'
)2(35)(-=x x f ，3''2
910)(-=x x f
2=x 时)(''x f 不存在
列表如下：
所以，曲线的凹区间),2(+∞，凸区间)2,(-∞；拐点)0,2(。
二、渐近线
1、水平渐近线
如果函数)(x f y =的定义域是无限区间，且有
A x f x =∞
→)(lim （A x f x =+∞
→)(lim 或A x f x =-∞
→)(lim ）
，其中A 是常数 则称A y =是曲线)(x f y =的一条水平渐近线。
2、铅垂渐近线 如果有常数0x ，使得
∞=→)(lim 0
x f x x （∞=+→)(lim 0
x f x x 或∞=-→)(lim 0
x f x x ）
， 则称0x x =是曲线)(x f y =的一条铅垂渐近线。
【例3】求曲线1
1)(-=x x f 的渐近线。
解 01
1lim
=-∞→x x 0=∴y 是曲线的一条水平渐近线。
∞=-→1
1lim 1x x 1=∴x 是曲线的一条铅垂渐近线。
三、图形的描绘
1、确定函数的定义域、并讨论其对称性和周期性。
2、用一阶导数讨论单调性、极值和极值点。
3、用二阶导数讨论凹凸性和拐点。
4、确定渐近线。
5、由曲线的方程计算出一些点的坐标，特别是曲线与坐标轴的交点坐标。
6、列表讨论，并描绘函数的图形。
【例4】作函数2)
1(4)(2
-+=
x
x x f 的图形。
解 定义域为),0()0,(+∞⋃-∞，无对称性和周期性
3')2(4)(x x x f +-
=，4
'
')3(8)(x
x x f += 令0)('
=x f ，解得0=x ， 令0)('
'=x f ，解得3-=x ，
因2]2[
lim 2
-=-∞
→x x 故2-=y 是曲线的一条水平渐近线。
因∞=-+→]2)
1(4[
lim 20x
x x 故0=x 是曲线的一条铅垂渐近线。
描几个点)2,1(--、)6,1(、)1,2(、)9
2,3(-
【例5】作函数2
)(x e
x f -=的图形。
解 定义域为),(+∞-∞，偶函数
22)('x xe x f --=，)12(2)(2''2
-=-x e x f x
令0)('
=x f ，解得0=x ，
令0)(''=x f ，解得2
2±=x ，
因0lim 2
=-∞
→x x e
故0=y 是曲线的一条水平渐近线。
描几个点)1,0(、),2
2(21
-e
小结：。